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Abstract

Rubio-Chueca, J.M., Muñoz-Escolano, J.M., Beltrán-Pellicer, P. (2021). Estrategias de resolución en un problema sobre probabilidad condicional en la XXIX Olimpiada aragonesa. Entorno Abierto, 43, 27-32. En el currículo estatal y autonómico aragonés la probabilidad condicional aparece explícitamente en 4.º de ESO. Queda fuera de toda duda que se trata de una de las nociones básicas de probabilidad que todo estudiante de secundaria debería comprender, bien por su importancia e interés en la estocástica, como por los potentes razonamientos informales que se sustentan alrededor de ella (Borovcnick, 2012). Sin embargo, junto con la idea de independencia de sucesos, los problemas asociados a la probabilidad condicional constituyen una fuente habitual para la expresión de sesgos de razonamiento y de dificultades para el alumnado (Batanero, 2014). Por otro lado, como varios elementos sobre los que se construye la idea de probabilidad condicional aparecen desde el comienzo de la secundaria (por ejemplo, tablas o diagramas de árbol), una pregunta que nos podemos plantear es si el alumnado es capaz de des-arrollar estrategias intuitivas en situaciones donde aparecen sucesos condicionados. Si esto fuera así, estas estrategias podrían servir de base para el diseño de secuencias didácticas (Martínez-Juste y otros, 2015). Teniendo esto en consideración, resulta particularmente interesante analizar el siguiente problema, propuesto en la final de la XXIX Olimpiada Matemática de 2.º de ESO en Aragón.
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En el currículo estatal y autonómico aragonés la probabilidad condicional aparece explícitamente en 4.º de ESO.
Queda fuera de toda duda que se trata de una de las nociones básicas de probabilidad que todo estudiante de secun-
daria debería comprender, bien por su importancia e interés en la estocástica, como por los potentes razonamientos
informales que se sustentan alrededor de ella (Borovcnick, 2012). Sin embargo, junto con la idea de independencia
de sucesos, los problemas asociados a la probabilidad condicional constituyen una fuente habitual para la expresión
de sesgos de razonamiento y de dificultades para el alumnado (Batanero, 2014). Por otro lado, como varios elementos
sobre los que se construye la idea de probabilidad condicional aparecen desde el comienzo de la secundaria (por
ejemplo, tablas o diagramas de árbol), una pregunta que nos podemos plantear es si el alumnado es capaz de des-
arrollar estrategias intuitivas en situaciones donde aparecen sucesos condicionados. Si esto fuera así, estas estrategias
podrían servir de base para el diseño de secuencias didácticas (Martínez-Juste y otros, 2015).
Teniendo esto en consideración, resulta particularmente interesante analizar el siguiente problema, propuesto
en la final de la XXIX Olimpiada Matemática de 2.º de ESO en Aragón:
Estrategias de resolución
en un problema
sobre probabilidad condicional
en la XXIX Olimpiada aragonesa
por
J. M. RUBIO-CHUECA, JOSÉ M.ª, MUÑOZ-ESCOLANO, PABLO BELTRÁN-PELLICER
(Universidad de Zaragoza)
Boletín de la SAPM noviembre 2021Entorno Abierto #43 27
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Para qué sirven
ProblemasOlímpicos
Contexto y participantes
Este año, debido a la situación sanitaria extraordinaria vivida por la pandemia, en la fase final de la XXIX Olim-
piada Matemática Aragonesa de 2.º de ESO participaron finalmente cuarenta y siete alumnos y alumnas de dis-
tintas localidades de Aragón (Sierra, 2021). Esta fase final de la olimpiada autonómica se llevó a cabo el sábado
22 de mayo de 2021 en el aula magna de la Facultad de Ciencias. En ella, se propusieron seis problemas durante
dos sesiones, de una hora cada una, con contenidos relacionados con el currículo utilizando los estudiantes para
resolverlos diferentes procedimientos interesantes de analizar.
Tipos de estrategias en las respuestas correctas de los participantes
De forma verbal e intuitiva
La resolución a dicho problema se puede llevar a cabo con un razonamiento verbal, desde un significado intuitivo
de la probabilidad. Para ello, suponiendo que las bolas son indistinguibles, se ha de observar lo que ocurre en los
casos:
Caso 1: sacar bola blanca en la bolsa Ae introducirla en la B.
Caso 2: sacar bola negra en la bolsa Ae introducirla en la B.
En el primer caso, la probabilidad de sacar bola blanca en la extracción de la bolsa Aes menor que la de sacar
bola negra, puesto que hay menos bolas blancas. Entonces, al pasar una bola blanca a la bolsa Bnos encontramos
con que habrá 4 bolas blancas y 2 negras. Por lo tanto, la probabilidad de sacar bola blanca en la urna Bes mayor
puesto que habrá más bolas blancas.
En el segundo caso, la probabilidad de sacar bola negra en la bolsa Aes mayor que la de sacar bola blanca. Al
pasar una bola negra a la bolsa Btendremos el mismo número de bolas blancas que de negras, por lo que la pro-
babilidad de sacar bola blanca en la bolsa Bes la misma que sacar bola negra en la B.
Como en uno de los casos es más probable terminar sacando una bola blanca de la bolsa By en el otro es igual
de probable sacar bola blanca que sacar bola negra, se deduce que en términos globales es más probable sacar
bola blanca.
En el análisis de las resoluciones del alumnado se contabilizan diez participantes que utilizaron un razonamiento
verbal de tipo similar. Cuatro de ellos dieron una solución correcta al problema sin hallar ningún tipo de proba-
bilidad, como la estrategia seguida por el estudiante que se muestra en la figura 1. Para argumentar el resultado
no le ha sido necesario calcular ninguna probabilidad. Simplemente ha tenido en cuenta el número de bolas que
aparece en la bolsa Buna vez introducida la bola que se haya obtenido de la bolsa A. Para dicho participante, el
hecho de ser más probable obtener una determinada bola depende del número de bolas que haya de cada color
(a mayor número de bolas más probabilidad de obtener esa bola).
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Figura 1. Resolución correcta usando un razonamiento verbal cualitativo
Y seis de ellos, aunque no se pedía explícitamente el cálculo de probabilidades, calcularon algunas como el que
se muestra en la figura 2 para dar soporte a su razonamiento. El estudiante se apoya en el conocimiento de la pro-
babilidad simple observando los resultados en cada una de las situaciones que nos podemos encontrar: pasar una
bola negra de la bolsa Aa la bolsa Bo pasar una bola blanca de la bolsa Aa la bolsa Bcalculando las probabilidades
de obtener bola blanca en la bolsa Ben cada caso (probabilidades condicionales).
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Figura 2: Resolución correcta usando un razonamiento verbal cuantitativo (probabilidades condicionales)
Resulta curioso que, de los diez estudiantes que emplean este enfoque intuitivo, la mayoría (seis) se vea en la
necesidad de ofrecer algún dato cuantitativo y calcular las probabilidades de algunas de las extracciones previas o
finales, a pesar de que no era necesario realizar ninguno de esos cálculos para resolver correctamente el problema,
como hemos visto en las producciones que seguían una estrategia cualitativa. Quizás el motivo de este fenómeno
pueda situarse en la asunción implícita por parte de los estudiantes de ciertas cláusulas del contrato didáctico
escolar habitual (y que también puede estar vigente en las olimpiadas) como que, para resolver cualquier tarea de
matemáticas, sea obligatorio operar con números del enunciado para dar un resultado numérico al problema.
Desde el significado clásico
Otra forma de resolver el problema sería desde el significado clásico de la probabilidad, calculando la suma de las
probabilidades de las intersecciones, obtenidas a su vez empleando las probabilidades condicionadas. Es decir, la
probabilidad de terminar sacando una bola blanca de la bolsa Bes igual a la suma de las probabilidades de obtener
bola blanca en cada uno de los dos casos posibles. Para simplificar la notación, designaremos por bA al suceso
«sacar blanca en la bolsa A», nA al suceso «sacar negra en la bolsa A», bB al suceso «sacar blanca en la bolsa B» y
nB al suceso «sacar negra en la bolsa B». Simbólicamente:
pbB
()
=pbA!bB
()
+pnA!bB
()
=pbA
()
"pbB/bA
()
+pnA
()
"pbB/nA
()
=3
7"4
6+4
7"3
6=24
32 =4
7
pnB
()
=1!pbB
()
=1!4
7=3
7
Comparando ambas probabilidades se confirma que sacar
bola blanca es más probable, por lo que Hero-n tiene una proba-
bilidad mayor de ser la película elegida.
Ocho de los participantes aportaron una resolución correcta
usando el cálculo de las probabilidades condicionadas e inter-
secciones de esta manera, como se puede ver en la figura 3, para
finalmente sumar las probabilidades. En este caso, se observa
que el participante se apoya en un diagrama de árbol y halla
todas las probabilidades de forma correcta para dar su resul-
tado.
Mediante técnicas combinatorias
Dos de los participantes utilizaron técnicas combinatorias para
elaborar todas las posibilidades que encontramos en el espacio
muestral del experimento. Este tipo de resolución se fundamenta
en considerar como espacio muestral el conjunto de posibles re-
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Figura 3. Resolución correcta usando cálculo
de probabilidades condicionadas e intersecciones
sultados: E={NN, NB, BN, BB} y contabilizar el número de casos para cada uno de ellos. Este proceso de conteo
no es trivial, ya que exige distinguir los dos posibles escenarios, dependiendo de si la bola que pasa de una bolsa a
otra es blanca o negra.
De esta manera, hay 12 combinaciones de tipo NN (sacar bola negra en la bolsa Ay bola negra en la bolsa B),
que surgen de combinar las 4 bolas negras de la bolsa Acon las 3 bolas negras que habría en la bolsa Bal pasar
una de esas bolas negras. Análogamente se obtienen 12 combinaciones de tipo NB, 6 de tipo BN y 12 de tipo BB.
En total hay 42 casos posibles, acabando en 24 de ellos (la suma de NB y BB) con la extracción de una bola blanca
en la bolsa B. Considerando que todos estos casos son equiprobables, se obtiene que acabamos con bola blanca
con una probabilidad de 24/42.
Los dos participantes que emplearon una técnica de este estilo se apoyaron en algún tipo de representación
(diagramática y tabular) para hallar sus resultados. En la figura 4 podemos ver cómo el alumno utiliza un diagrama
de árbol para hallar el recuento de todas las posibilidades que nos podemos encontrar averiguando el espacio
muestral del experimento aleatorio: «extraer una bola de Buna vez que hemos pasado una bola de la bolsa A».
De forma similar, en la figura 5 se observa cómo el participante usa una tabla con el mismo fin.
Figura 4. Resolución correcta usando
técnicas combinatorias (diagrama de árbol)
Figura 5. Resolución correcta usando
técnicas combinatorias (tabla)
Una especie de ábaco probabilístico
Uno de los participantes utilizó una estrategia muy interesante, que recuerda a un ábaco probabilístico (Engel,
1975, 1976), a pesar de no incluir una representación gráfica, como vemos en la figura 6. Podemos imaginar este
ábaco en forma de árbol, como el de la figura 3, solo que, en lugar de emplear sus ramas para representar proba-
bilidades, lo que hacemos es introducir por su entrada un número de cuentas o fichas e irlas distribuyendo por las
ramas. La elección del número inicial de fichas no es trivial, ya que debe permitir la distribución de cantidades
enteras de fichas por todas las ramas del árbol (ábaco).
En la figura 6 vemos cómo el participante calcula el mínimo común múltiplo del número de bolas en la primera
bolsa y la segunda obteniendo 42. Para llegar a este 42 es imprescindible considerar esa bola que pasamos de la
bolsa Aa la B. Es decir, el 42 se obtiene multiplicando las 7 bolas que hay en la bolsa Ay las 6 que hay en la B
cuando hemos pasado ya una de las bolas de la bolsa A. Una vez ha obtenido ese número, el participante analiza
lo que «se esperaría» si se repitiera el experimento 42 veces, lo cual es equivalente a ver la distribución esperada
de 42 fichas que circulasen por una especie de máquina de Galton con las probabilidades adecuadas en las inter-
secciones. De esta forma, en la primera etapa, deduce que salen 3/7 de 42 = 18 bolas blancas y 4/7 de 42 = 24
bolas negras de la primera bolsa. En la segunda etapa, de esas 18 bolas blancas, 4/6 de ellas (es decir, 12) darán
lugar a una extracción de bola blanca en la bolsa B, mientras que 2/6 de las 18 (es decir, 6) darán lugar a una bola
negra. Por otro lado, de las 24 bolas negras, 3/6 de 24 =12 darán lugar a una bola blanca y otras 12 a una bola
negra. En definitiva, se concluye que de los 42 intentos, 24 dan lugar a bola blanca frente a 18 que dan lugar a
bola negra, por lo que es más probable terminar extrayendo bola blanca de la urna B.
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Figura 6. Resolución correcta usando ábaco probabilístico
Conclusiones
En la tabla 1 resumimos los resultados del análisis realizado. Teniendo en cuenta que la probabilidad condicional
no aparece de forma explícita en los cursos de 1.º y 2.º de ESO en el currículo, sorprende ver el uso del diagrama
de árbol para representar intersecciones y probabilidades condicionadas. Se trata de las resoluciones menos argu-
mentadas por parte de los participantes y podría ser indicativo de haber recibido instrucción específica en este
sentido, ya que se trata de una técnica estándar.
Tras el análisis de las resoluciones, es importante destacar que los resultados obtenidos muestran razonamientos
informales de los estudiantes muy interesantes que pueden ser incorporados de manera previa al estudio formal
de la probabilidad condicional.
Referencias bibliográficas
BATANERO, C. (2014), «Probability teaching and learning», en S. Lerman (Ed.), Encyclopedia of Mathematics Education, Springer, Dordrecht.
BOROVCNICK, M. (2012), «Multiple perspectives on the concept of conditional probability», AIEM. Avances de Investigación en Educación
Matemática, 2, 5–27.
ENGEL, A. (1975), «The probabilistic abacus», Ed. Stud. Math., 6(1), 1–22.
— (1976), «Why does the probabilistic abacus work?» Ed. Stud. Math., 7(1– 2), 59–69.
MARTÍNEZ-JUSTE, S., J. M. MUÑOZ-ESCOLANO y A. M. OLLER-MARCÉN, (2015), «Estrategias utilizadas por estudiantes de distintos niveles
educativos ante problemas de proporcionalidad compuesta», en C. Fernández, M. Molina y N. Planas (eds.), Investigación en Educación
Matemática XIX, SEIEM, Alicante, 351-359.
SIERRA, D. (2021), «Crónica», Entorno Abierto, 40, 1–2.
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Estrategia utilizada Número de participantes
4
6
2
1
25
Razonamiento verbal cualitativo
Razonamiento verbal cuantitativo
Cálculo de probabilidades condicionadas e intersecciones
Técnicas combinatorias
Enfoque frecuencial similar al ábaco probabilístico
Otras estrategias (incorrectas)
Soluciones en blanco 1
Tabla 1. Número de participantes que emplearon cada una de las estrategias (N=47)
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