Available via license: CC BY 4.0
Content may be subject to copyright.
Физика волновых процессов и радиотехнические системы
2021. Т. 24, № 3. С. 71–79
© Архипов Н.С. и др., 2021 van341@mail.ru (Полянский Иван Сергеевич)
71
79
Архипов Н.С. и др.
Математическая модель канала связи с беспилотным летательным аппаратом
Arkhipov N.S. et al.
Mathematical model of a communication channel with an unmanned aerial vehicle
DOI 10.18469/1810-3189.2021.24.3.71-79 Дата поступления 13 мая 2021
УДК 621.396.933 Дата принятия 15 июня 2021
Математическая модель канала связи
сбеспилотным летательным аппаратом
Н.С. Архипов1, 2, И.С. Полянский2, 3 ,
Ю.Н. Яковлев2, А.В. Субботенко3
1 АО «Эврика»
196084, Россия, г. Санкт-Петербург,
Московский пр., 118
2 АО «Технологический институт адаптивных систем»
196006, Россия, г. Санкт-Петербург,
ул. Коли Томчака, 9, лит. Б
3 Академия Федеральной службы охраны Российской Федерации
302015, Россия, г. Орел,
ул. Приборостроительная, 35
Аннотация – В работе предложена математическая модель канала связи с беспилотным летательным аппаратом и
учетом специфики мест размещения наземного пункта связи при определении эффектов рефракции, дифракции и
интерференции электромагнитных волн. Сформирована содержательная постановка задачи на основе математической
взаимосвязи между энергетическими параметрами первого уравнения передачи и показателями качества (BER) второго
уравнения передачи. Основные особенности вычисления параметров первого уравнения состоят в определении правил
расчета уровня затуханий, обусловленных влиянием земной поверхности. Расчет затуханий уточнен для случаев удаления
беспилотного летательного аппарата от наземного пункта связи в пределах областей прямой видимости, полутени и тени.
Второе уравнение передачи базируется на математической модели Райсовского канала связи. В отношении энергетических
параметров и выбранного показателя качества связи для сформированной математической модели приведены примеры
графических зависимостей при исследовании типовых расчетных задач.
Ключевые слова – математическая модель; радиоканал; БПЛА; распределение Райса; отражение от земной поверхности.
Введение
В настоящее время особый интерес вызыва-
ют вопросы развития и применения комплексов
связи УКВ-диапазона на беспилотных летатель-
ных аппаратах (БПЛА) [1–3]. Построение адек-
ватных математических моделей, способных при
относительной универсальности и простоте ма-
тематических обозначений, сформировать адек-
ватное представление физического процесса при-
ема/передачи сигналов между БПЛА и наземным
пунктом связи (НПС), как правило, положено в
основу формирования подобных систем. В то же
время существующие математические модели
канала связи БПЛА – НПС [3–6] не способны в
полной мере учесть специфику мест размещения
НПС при определении эффектов рефракции, диф-
ракции и интерференции электромагнитных волн
на участке связи БПЛА – НПС при одновременном
сохранении простоты формируемого решения.
В этой связи построение адекватной матема-
тической модели канала связи БПЛА с наземным
пунктом связи представляется актуальной.
1. Содержательная постановка задачи
математического моделирования
Содержательное описание модели формируется
из следующих представлений (рис. 1).
Параметры, характеризующие взаимное по-
ложение НПС и БПЛА при формировании кана-
ла связи относительно среды распространения,
определены следующими переменными: H – вы-
сота БПЛА над поверхностью Земли (м); h – вы-
сота антенны НПС над земной поверхностью (м);
D – дальность связи (км); d – расстояние между
точками проекции на поверхность Земли БПЛА
и НПС;
( )
R d Hh= +−
2
2 – наклонная дальность
между НПС и БПЛА. Взаимосвязь переменных D
и d устанавливается при аппроксимации земной
поверхности сферой радиуса ý
6366,1977R
= км
соотношением
( )
ýý
sin , .d R DR=2 05
Для формирования математической модели
канала связи с БПЛА задаются первое и второе
уравнения передачи. Первое уравнение передачи
относительно прямого (НПС – БПЛА) и обратного
(БПЛА – НПС) каналов определяет уровень сигна-
лов на входах приемников [7]:
72
Архипов Н.С. и др. Математическая модель канала связи с беспилотным летательным аппаратом
Arkhipov N.S. et al. Mathematical model of a communication channel with an unmanned aerial vehicle
ÁÏËÀ ÍÏÑ ÍÏÑ ÍÏÑ
ïðì ïðä ïðä ïðä
Ï ÁÏËÀ ÁÏËÀ
ïðì ïðì ;
PP G
WG
S
= −η + −
− + −η (1)
ÍÏÑ ÁÏËÀ ÁÏËÀ
ïðì ïðä ïðä
ÁÏËÀ Î ÍÏÑ ÍÏÑ
ïðä ïðì ïðì ,
PP
G WG
S
= −η +
+ − + −η (2)
где ÁÏËÀ
ïðì
P и ÍÏÑ
ïðì
P – уровень сигнала на входе
приемников БПЛА и НПС (дБВт); ÁÏËÀ
ïðä ,η ÁÏËÀ
ïðì
η
и ÍÏÑ
ïðä ,η ÍÏÑ
ïðì
η – затухания в трактах передачи,
приема для БПЛА и НПС (дБ); ÁÏËÀ
ïðä ,G ÁÏËÀ
ïðì
G и
ÍÏÑ
ïðä ,G ÍÏÑ
ïðì
G – коэффициенты усиления антенн в
режимах передачи и приема для БПЛА и НПС (дБ);
ÁÏËÀ
ïðä
P и ÍÏÑ
ïðä
P – мощность передатчиков БПЛА и
НПС (дБВт); Ï,WS Î
WS – затухание в среде распро-
странения для прямого и обратного каналов (дБ).
Взаимосвязь вычисляемых из (1), (2) значе-
ний ÁÏËÀ
ïðì ,P ÍÏÑ
ïðì
P с показателем качества связи
(определяется битовой ошибкой – BER) в зависи-
мости от параметров передаваемого сигнала (ин-
формационная скорость èíô,V скорость кодиро-
вания
,
k
V
вид модуляции) определяется вторым
уравнением передачи. Вероятностное сопостав-
ление ÁÏËÀ
ïðì ,P ÍÏÑ
ïðì
P со значениями реальной и
пороговой чувствительностями приемников для
БПЛА формируют математические модели авиа-
ционного канала связи [4; 8; 9], асимптотические
оценки зависимости BER от отношения сигнал/
шум в которых отличны от общеизвестных [5; 6].
Указанные обобщенные представления перво-
го и второго уравнения передачи при формирова-
нии математической модели канала связи с БПЛА
предполагают последовательность решений,
включающих два основных этапа: 1) определение
соотношений, характеризующих элементы в урав-
нениях (1), (2); 2) определение соотношений для вы-
числения отношения сигнал/шум
ÁÏËÀ
,h2
ÍÏÑ
h2 на
входе демодуляторов БПЛА, НПС с последующей
оценкой зависимости BER от .h2
2. Определение энергетических
составляющих первого
уравнения передачи
Исходными данными относительно (1), (2) яв-
ляются ÁÏËÀ
ïðä ,G ÁÏËÀ
ïðì ,G ÍÏÑ
ïðä ,G ÍÏÑ
ïðì ,G ÁÏËÀ
ïðä
P
и ÍÏÑ
ïðä .P Величины потерь в фидерных трактах
ÁÏËÀ
ïðä ,η ÁÏËÀ
ïðì ,η ÍÏÑ
ïðä ,η ÍÏÑ
ïðì
η определяются с
учетом условий (как правило – «на наихудший слу-
чай») конструктивно-технологической реализа-
ции антенной системы. Особенность расчета (1), (2)
заключается в корректном вычислении Ï,W
S
Î,W
S
которое выполняется в соответствии с известны-
ми теоретическими и экспериментальными ис-
следовании в теории распространении и рассеи-
вания радиоволн наземных радиолиний [7; 10; 11]
и существующих рекомендаций МСЭ (ITU-R P.526,
ITU-R P.834, ITU-R.453, ITU-R.679, ITU-R.372). Раз-
личие в величинах Ï
WS и Î
WS определяется отли-
чием частот в прямом Ï
f
и обратном Î
f
каналах
связи. Методика определения Ï
WS и Î
WS являет-
ся единой. Поэтому решение по вычислению Ï
WS
и Î
WS рассмотрим относительно суммарного за-
тухания радиосигнала WS на интервале НПС –
БПЛА, передаваемого на частоте f. Значение WS
вычисляется при суммировании
ñâ àò ð ,
WWWW
S=++ (3)
где
( )
ñâ lgW Rf c= p 0
20 4 – величины затуханий в
свободном пространстве, (с0, м/с – скорость света
в вакууме); àò
W – затухание в газах атмосферы;
ð
W – затухание, учитывающее степень влияния
земной поверхности на энергетические параме-
тры интервала с учетом тропосферной рефракции.
Затухание в газах атмосферы àò
W вычисляет-
ся в соответствии с рекомендацией МСЭ ITU-R
P.676-9 приближенным соотношением, верифи-
цированным в диапазоне частот 1–350 ГГц, àò
W=
( )
,
w
R−
= γ +γ ⋅ 3
010 где γ
0
и
w
γ– погонное затуха-
ние в сухом воздухе и в водяных парах соответ-
ственно. Для частот ниже 1 ГГц величина
àò
W
Рис. 1. Геометрическое представление канала связи с БПЛА
Fig. 1. Geometric representation of the communication channel with the UAV
73
Физика волновых процессов и радиотехнические системы. 2021. Т. 24, № 3. С. 71–79
Physics of Wave Processes and Radio Systems, 2021, vol. 24, no. 3, pp. 71–79
пренебрежимо мала в сравнении с ð
,W
ñâ
W
и
приравнивается к нулю.
Для канала связи с БПЛА в (3) основную про-
блему составляет корректный учет затуханий ð,W
обусловленных влиянием земной поверхности
на энергетические параметры интервала. Харак-
тер влияния земной поверхности существенным
образом определяется ее электрическими пара-
метрами – удельной проводимостью
,s
относи-
тельными диэлектрической
e
и магнитной
µ
проницаемостями и их естественным различием
от аналогичных параметров атмосферы.
Основу вычисления ð
W при заданных геоме-
трических параметрах представления канала свя-
зи с БПЛА составляют следующие подзадачи [7]:
– определение влияния гладкой поверхности
Земли при представлении этой поверхности сфе-
рическим сегментом или плоскостью;
– определение влияния переотражений от глад-
кой поверхности Земли;
– определение влияния рельефа местности.
В рассматриваемых задачах предполагается
гладкое определение земной поверхности. Спра-
ведливость указанного допущения при максималь-
ной высоте неровностей max
h∆=
( )
cos
l÷ ϑ
0
8 16
определяется критерием Рэлея, следуя которому
отражающую поверхность еще можно считать
гладкой, если высота ее неровностей
í
h∆ удов-
летворяет неравенству í max
hh
∆ <∆
(l
– длина
волны, ϑ
0
– угол отражения). При решении ука-
занных подзадач под переменной D понимается
дальность связи по земной поверхности эквива-
лентного радиуса ý ðô ý ,
R kR
=
0 где коэффициент
рефракции устанавливается равным величине
ðô ,k=43 соответствующей условиям нормаль-
ной рефракции [7].
Первые две из указанных подзадач рассматри-
ваются для случая, когда
R
не превышает рас-
стояния прямой видимости .R
0
В данном случае
прямая, соединяющая передающую и приемную
антенны, касается земной поверхности с эквива-
лентным радиусом ý ðô ý :
R kR
=
0
()()
ý ýý ý
.R Rh R RH R
= +− + + −
22
22
0 00 0
0 (4)
Относительно
R
0 введем параметр дально-
сти ,D
0
задаваемый выражением:
ý
DR
= ×
0
0
2
()
ý
arcsin , .RR×0
0
05 В зависимости от соотно-
шения
R
и R
0
в общих задачах распростране-
ния радиоволн вблизи земной поверхности рас-
сматривают три зоны: зона прямой видимости
;RR
<0 зона полутени
;RR
≈0 зона тени
.RR
>0
Для корректного определения зон прямой види-
мости, полутени и тени относительно установлен-
ных геометрических параметров интервала НПС –
БПЛА в соответствии с решением дифракционной
задачи Френеля методом Кирхгофа определяются
области минимального и существенного распро-
странения радиоволн. Известно, что форма этих
областей является эллипсоидом вращения, а в фо-
кусах эллипсоида располагаются фазовые центры
антенн НПС и БПЛА соответственно. Радиусы об-
ластей минимального min
ρ и существенного sign
ρ
распространения радиоволн, конфокальные соот-
ветствующим эллипсоидам зон Френеля, опреде-
ляются соотношениями:
min ;Rρ ≈l12 (5)
( )
sign arcsin , .R
−
ρ≈p l
1
2 08 (6)
При использовании правил (5), (6) и корректного
учета ð,W в соответствии с [7] , выделим три ос-
новные модели: 1) короткий пролет
,,RR
≤0
02
для
которого сферичность земной поверхности мало
влияет на параметры электромагнитного поля
(ЭМП) в точке приема и область минимального
распространения ЭМВ не пересекается с поверх-
ностью Земли; 2) пролеты средней протяженно-
сти
, ,,RR R
<≤
00
02 08 для которых минимальная
область распространения ЭМВ не пересекается с
поверхностью Земли, но сферичность земли учи-
тывается; 3) пролеты большой протяженности
,,RR>
0
08
для которых необходимо учитывать
поле дифракции на земном шаре.
Существо указанных моделей при вычислении
ð
W составляет решение трех канонических за-
дач дифракции. Их общую основу определяет за-
дание комплексного коэффициента отражения
Γ
плоской волны на границе раздела двух сред –
свободное пространство и почва. Исходя из того
что любая плоская ЭМВ может быть представлена
суперпозицией двух волн горизонтальной и вер-
тикальной поляризации, определение коэффици-
ента отражения производится относительно двух
составляющих:
– вертикальной:
()()
âcos cos ;
Z ZZ Z
Γ = ϑ− ϑ+
0 00 0
11
(7)
– горизонтальной:
()()
ãcos cos .ZZ ZZΓ= − ϑ + ϑ
00 00
11
(8)
где Z
=µ e= p
000120 – волновое сопротивле-
ние свободного пространства; Z0
1
– ′
µµ e
0 –
волновое сопротивление почвы; i
−
′
e = ee + sω 1
0 –
74
Архипов Н.С. и др. Математическая модель канала связи с беспилотным летательным аппаратом
Arkhipov N.S. et al. Mathematical model of a communication channel with an unmanned aerial vehicle
комплексная диэлектрическая проницаемость по-
чвы;
ϑ
– угол падения плоской ЭМВ на поверх-
ность раздела.
Для первой задачи
( ,)RR≤
0
02
ð
W вычисляется
по правилу [10]:
( )
( )
(
( ) ( ) ( )
,
ctg .
iDR
RR
W RD e
iD
′
β−
−
≤
−
−
′
= + Γϑ −
′ ′′ ′
− β Γ ϑ +Γ ϑ ϑ
0
1
02 0
1
1
0 00
1
2
(9)
где
( )
cos sinD hH d
′
= + ϑ= ϑ
00
– расстояние
между точкой положения БПЛА и точкой зеркаль-
ного относительно поверхности Земли отображе-
ния положения НПС;
( )
,
′
Γϑ
0
( )
′′
Γϑ
0 – первая и
вторая производные коэффициента отражения по
,ϑ
взятые в точке ;ϑ=ϑ
0
β= p l2 – волновое число.
Для второй канонической задачи
(,RR<≤
0
02
,)
R≤
0
08 ð
W вычисляется по правилу [7]:
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
)
,,
cos arg ,
RR R
W
hH D
<≤
−
= +Γϑ Ρ + Γϑ Ρ×
′′
× p l + Γϑ
00
22
02 08 0 0
12
0
12
4
(10)
где
;hh h
′≈ −∆
;HH H
′≈ −∆
( )
ý;h DK R∆= 22 2
( )
()
ý;HD K R∆= − 2
20
12
( )
( )
,;
K hh H h h H
= ++ +
05
( )
ý.D hH R h H
′′ ′ ′
Ρ= + +
22
20
1 12
Относительно решения [11] для третьей модель-
ной задачи выделяются две подзадачи
RR
≥
0
и
,R
<
0
08
.RR
<0 В первом случае ð
W вычисляется
выражением:
( )
( )
()
( )
â,ã ,
j
ix t
i
RR j
j
jj j
W e x e wt y
wt y t q w t
∞
p
≥
=
−
= p −×
×− −
∑0
0
4
0 11
1
1
22
12 1
2
(11)
где
ýý
,;
xR R
=qβ
13
2
00
005
â;q im= η− η1 ã;q im= η η−1
ç;η=β β
22
()
ý
,;mR
= β
13
0
05
;
y Hm
= β
1 ;
y hm
= β
2
ç;c
′′
β = ω e µµ = β e µµ
2
00
ω
– угловая частота;
q
– угол между орт-
векторами, характеризующих положение НПС
и БПЛА в геоцентрической систем координат;
j
t – корни уравнения
( )
wt
′−
1
( )
;qw t =
10
( )
wt
′=
1
( )
;dw t dt=1
( )
wt
1 – функция Эйри, определяемая
Фоком через функцию Ханкеля первого рода:
( )
( )
( )
( )
( )
,.
i
wt e t
Ht t
p
= p −×
×− >
12 12
23
1
132
13
3
23 0
(12)
При ,
R RR
<<
00
08 для вычисления ð
W исполь-
зуются приближение (11), известное из [11] и опре-
деляемое для вертикальной и горизонтальной со-
ставляющих:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
â
ã
;
,
ip p
i
ip p
i
W e q ip q ip p p p e
W e q ip q ip p p p e
τ
τ
= −− + +
= −− + +
2
1
2
1
2
1
2
11 1
1
1
(13)
а б
Рис. 2. Зависимости WS от
f
и D для H = 100 м (а) и H = 50 м (б)
Fig. 2. Dependences of WS on
f
and D for H = 100 m (a) and H = 50 m (b)
75
Физика волновых процессов и радиотехнические системы. 2021. Т. 24, № 3. С. 71–79
Physics of Wave Processes and Radio Systems, 2021, vol. 24, no. 3, pp. 71–79
где
cos ;pm= ϑ
0
( )
;Rmτ=β − q
()
.p x px x y y
−
= +−−
12
1 0 00 12
2
В целом соотношения (9)–(11), (13) определяют
множитель ослабления в разах и при переводе в
децибелы составляют ð
W в (3). Отдельно следует
подчеркнуть, что переход применения соотноше-
ний (9) и (10) осуществляется в соответствии с ус-
ловиями
,RR≤
0
02
и
,R<
0
02
,.RR≤
0
08
Переход от
(10) к (13) с учетом требований ,R<
0
02 ,
RR
≤
0
08 и
,R
<
0
08
RR
<0 является условным и выполняется
в том случае, если область существенного распро-
странения ЭМВ пересекает поверхность Земли.
Переход от (13) к (11) выполняется при пересе-
чении области минимального распространения
ЭМВ поверхности Земли. Примеры графической
зависимости WS от частоты f, высоты H БПЛА
над поверхностью Земли и дальности связи D при-
ведены на рис. 2 при h = 2 м и параметрах почвы
−
s= ⋅ 3
5 10 См/м,
,e=5
.µ=1
Таким образом, заданные соотношения позво-
ляют установить унифицированную математиче-
скую взаимосвязь между исходными данными для
определения энергетических составляющих пер-
вого уравнения передачи интервала НПС – БПЛА
(1), (2).
3. Определение зависимости
отношения сигнал/шум на
входе демодулятора и BER
в канале связи с БПЛА
Из задаваемых по правилам (1), (2) уровней сиг-
налов ÁÏËÀ
ïðì ,P ÍÏÑ
ïðì
P (дБВт) на входах приемников
БПЛА, НПС соответствующие величины отноше-
ний сигнал/шум определяются при вычитании
ÁÏËÀ ÁÏËÀ
ÁÏËÀ ïðì ïîð
ÍÏÑ ÍÏÑ
ÍÏÑ ïðì ïîð
;
hPP
hPP
= −
= −
2
2 (14)
значений ÁÏËÀ
ïîð ,P ÍÏÑ
ïîð
P (дБВт), характеризующих
мощность шума в полосе соответствующих прием-
ных устройств. Величины ÁÏËÀ
ïîð ,P ÍÏÑ
ïîð
P опреде-
ляются в соответствии с соотношениями:
()
()
ÁÏËÀ ÁÏËÀ ÁÏËÀ
ïîð
ÍÏÑ ÍÏÑ ÍÏÑ
ïîð
lg ;
lg ,
P kT f
P kT f
SS
SS
= ∆
= ∆
10
10
(15)
где ÁÏËÀ ,fS
∆ ÍÏÑ
fS
∆ – шумовая полоса пропуска-
ния соответствующего приемника БПЛА, НПС
(определяется полосой пропускания фильтра ниж-
них частот на входе решающей схемы демодулято-
ра и соответствует технической скорости); ÁÏËÀ ,TS
ÍÏÑ
TS – эффективная шумовая температура при-
емного тракта;
k=
,−
⋅23
1 380649 10
( )
Âò/ Ãö Ê⋅ – по-
стоянная Больцмана.
Взаимосвязь между рассчитанным по правилу
(14) отношением сигнал/шум на входе демодуля-
тора
h
2 и
îø
Ð (BER) с учетом известных параме-
тров о ширине спектра радиосигнала ðñ
,f
∆ вида
модуляции (обозначим параметром
),γ
размера
сигнального алфавита (обозначим параметром
m), способа демодуляции (обозначим параметром
),κ
вида помехоустойчивого кодирования (обо-
значим параметром
)Κ
относительно второго
уравнения передачи первично задается îø
Ð
=
()
ðñ
, , , , , hf m=f ∆ γ κΚ
2 через некоторую функ-
цию f(•), устанавливающую связь энергетических
и сигнальных параметров канала связи с БПЛА
при оценке его качества. Предварительный этап в
задании f(•) состоит в переопределении
h
2 в от-
ношении энергии символа, получаемого с выхо-
да модема, к спектральной мощности плотности
шума :h2
0
( )
èíô ðñ .
k
h hV f V= ∆
22
0 (16)
В основе аналитического представления f(•) от
входных параметров лежит статистическая дис-
кретно-временная модель многолучевого канала
при дополнительных предположениях относи-
тельно того, что амплитуда прямого луча преоб-
ладает над переотраженными. В подобном опре-
делении амплитуда
( )
n
tζ
( , , ...;n=01
)
nn
tt t
+
∆= −
1
поступающего на вход демодулятора сигнала
представляется суммой регулярной
( )
n
tζ0 и
случайной
( )
n
tζ
компонент и подчиняется рай-
совскому распределению. Обозначим среднюю
мощность
( )
n
tζ0 и
( )
n
tζ
величинами ρ0 и
.ρ
Вподобной модели канала функция плотности ве-
роятности распределения отношения сигнал/шум
ρ
сигнала
( )
n
tζ будет задаваться следующим вы-
ражением [12]:
( )
()
exp ,
fI
− −−
ρ = ρ − ρ + ρ ρ ρ ρρ
1 0 1 10
02
(17)
где
( )
Ix
0 – модифицированная функция Бесселя
нулевого порядка первого рода.
С учетом заданных соотношениями (9)–(11), (13)
решений по определению величины ð
W (дБ), ко-
торая с учетом заданных представлений характе-
ризуется отношением ð
,
/W
−=
0 05
1 10 1 ,
−
ρρ =µ
01
при тождественном обозначении h
=ρ +ρ
20
0
пере-
определим (17) в виде
76
Архипов Н.С. и др. Математическая модель канала связи с беспилотным летательным аппаратом
Arkhipov N.S. et al. Mathematical model of a communication channel with an unmanned aerial vehicle
( )
()()
()
exp
.
fh h
Ih
ρ=µ+ −µ−µ+ ρ ×
× ρµ µ +
2 2 22 2
00
22 2
00
11
21
(18)
Для заданной функции плотности вероятность
символьной ошибки *
îø
Ð оценивается относи-
тельно битовой последовательности на входе по-
мехоустойчивого декодера. Для m позиционных
ортогональных сигналов при когерентном приеме
величина *
îø
Ð определяется при вычислении ин-
теграла вида [13]:
( ) ( )
*
îø
,,
Ð E mf d
∞
= ρ ρρ
∫
0
(19)
где при
m=2
( )
( )
, erf ;Em
ρ=− ρ12
при
m>2
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
( )
, log
, erf sin log
sin log , cos log ;
Em m
m
Vm m
−
ρ=− −
− ρp −
− ρp ρ p
1
2
2
22
1
05 2
22 2
( )
( )
()
, erf
xt
V x y ty x e dt
−−
= p
∫2
12
0
22 2
– табулированная функция Никольсона [13];
( )
erf
x
t
x e dt
−
= p ∫2
0
2
– функция ошибок. Примеры графиков зависимо-
сти *
îø
Ð от h2
0 для BPSK и QAM-16 и различных
ð
W приведены на рис.3.
Заключение
На основе разработанной математической мо-
дели канала связи с беспилотными летательными
аппаратами получены аналитические выражения
для расчета суммарного затухания радиосигна-
ла (WS) на интервалах радиолинии БПЛА – НПС
с учетом влияния поверхности Земли, аппрокси-
мируемой гладкой сферой, с реальными параме-
трами: относительной диэлектрической прони-
цаемостью – e и проводимостью – s. Получены
аналитические выражения, позволяющие с высо-
кой степенью адекватности оценить показатели
качества связи в виде зависимости ÎØ( ),
Ph
2 что
позволяет производить энергетический расчет ра-
диолиний БПЛА – НПС с учетом реальной поверх-
ности Земли и заданными параметрами качества
передачи сигналов.
Анализ полученных результатов в виде зависи-
мости WS от длины радиолинии и рабочей часто-
ты (рис. 2) показывает: 1) существенную зависи-
мость затухания от частоты; 2) наличие глубоких
замираний сигнала в ближней зоне ,
RR
≤
0
02 за
счет интерференции (зона интерференции). Глуби-
на интерференционных замираний увеличивается
с ростом частоты и на частоте 900 МГц достигает
25…30 дБ, в то время как на частотах 100…300МГц
составляет не более 3 дБ. В целом результаты про-
веденного моделирования (рис. 2, 3) определяют
предпочтительное использование при органи-
зации связи с БПЛА диапазона метровых волн,
обеспечивающих в сравнении с дециметровыми
наименьшее затухание в областях тени п полуте-
ни. Последнее с применением помехоустойчивых
а б
Рис. 3. Примеры зависимостей *
îø
Ð от h2
0 и ð
W для BPSK (а) и QAM-16 (б)
Fig. 3. Examples of dependencies *
îø
Ð on h2
0
and ð
W for BPSK (a) and QAM-16 (b)
77
Физика волновых процессов и радиотехнические системы. 2021. Т. 24, № 3. С. 71–79
Physics of Wave Processes and Radio Systems, 2021, vol. 24, no. 3, pp. 71–79
видов модуляции (рис. 3) во взаимосвязи с совре-
менными методами пространственно-временной
обработки сигналов [14; 15] является принципиаль-
ным при обеспечении требуемой надежности связи
при расположении БПЛА на большом расстоянии
D от НПС и незначительной высоте полета H.
Список литературы
1. Перспективы развития и применения комплексов с беспилотными летательными аппаратами: сб. докл. и ст. по мат. II научно-
практической конф. / под общей ред. А.С. Бодрова, С.И. Безденежных. Коломна: 924 ГЦ БпА МО РФ, 2017. 337 c.
2. Чаховский Ю.В., Ковязин Б.С. Возможности использования беспилотных летательных аппаратов в военных целях // Наука и
военная безопасность. 2008. № 2. С. 38–40.
3. Ростопчин В.В. Ударные беспилотные летательные аппараты и противовоздушная оборона – проблемы и перспективы
противостояния. URL: https://www.researchgate.net/publication/331772628_Udarnye_bespilotnye_letatelnye_apparaty_i_protivovozdusnaa_
oborona_-problemy_i_perspektivy_protivostoania (дата обращения: 20.05.2019).
4. Haas E. Aeronautical channel modeling // IEEE Transactions on Vehicular Technology. 2002. Vol. 51, no. 2. P. 254–264. DOI: https://
doi.org/10.1109/25.994803
5. Фокин Г.А. Обзор моделей радиоканала связи с беспилотными летательными аппаратами // Труды учебных заведений связи.
2018. Т. 4, № 4. С. 85–101. URL: https://tuzs.sut.ru/release/tuzs_v4_i4_y2018/article_9.pdf
6. Hoeher P. A Statistical discrete-time model for the WSSUS multipath channel // IEEE Transactions on Vehicular Technology. 1992.
Vol. 41, no. 4. P. 461–468. DOI: https://doi.org/10.1109/25.182598
7. Калинин А.И. Распространение радиоволн на трассах наземных и космических радиолиний. М.: Связь, 1976. 296 с.
8. Bing L. Study on modeling of communication channel of UAV // Procedia Computer Science. 2017. Vol. 107. P. 550–557. DOI: https://
doi.org/10.1016/j.procs.2017.03.129
9. Low altitude UAV propagation channel modelling / X. Cai [et al.] // 2017 11th European Conference on Antennas and Propagation
(EUCAP). 2017. P. 1443–1447. DOI: https://doi.org/10.23919/EuCAP.2017.7928479
10. Бреховских Д.М. Волны в слоистых средах. М.: Наука, 1973. 343 с.
11. Фок В.А. Проблемы дифракции и распространения электромагнитных волн. М.: Сов. радио, 1970. 520 с.
12. Финк Л.М. Теория передачи дискретных сообщений. М.: Сов. радио, 1970. 728 с.
13. Прокис Дж. Цифровая связь / пер. с англ.; под ред. Д.Д. Кловского. М.: Радио и связь, 2000. 800 с.
14. Полянский И.С., Архипов Н.С., Мисюрин С.Ю. О решении проблемы оптимального управления адаптивной многолучевой
зеркальной антенной // Автоматика и телемеханика. 2019. № 1. С. 83–100. DOI: https://doi.org/10.1134/S0005231019010069
15. Полянский И.С., Патронов Д.Ю. Максимально правдоподобная оценка дисперсионно-ковариационной матрицы //
Современные проблемы науки и образования. 2013. № 1. URL: https://science-education.ru/ru/article/view?id=8516
References
1. Prospects for the development and use of complexes with unmanned aerial vehicles: col. report and art. by mat. II scientic and practical conf.
Ed. by A.S. Bodrov, S.I. Bezdezhnyh. Kolomna: 924 GTs BpA MO RF, 2017, 337 p. (In Russ.)
2. Chahovskij Yu.V., Kovjazin B.S. Possibilities of using unmanned aerial vehicles for military purposes. Nauka i voennaja bezopasnost’,
2008, no. 2, pp. 38–40. (In Russ.)
3. Rostopchin V.V. Attack unmanned aerial vehicles and air defense - problems and prospects of confrontation. URL: https://www.
researchgate.net/publication/331772628_Udarnye_bespilotnye_letatelnye_apparaty_i_protivovozdusnaa_oborona_-problemy_i_
perspektivy_protivostoania (accessed: 20.05.2019).
4. Haas E. Aeronautical channel modeling. IEEE Transactions on Vehicular Technology, 2002, vol. 51, no. 2, pp. 254–264. DOI: https://doi.
org/10.1109/25.994803
5. Fokin G.A. Review of radio communication channel models with unmanned aerial vehicles. Trudy uchebnyh zavedenij svjazi, 2018,
vol.4, no. 4, pp. 85–101. URL: https://tuzs.sut.ru/release/tuzs_v4_i4_y2018/article_9.pdf (In Russ.)
6. Hoeher P. A Statistical discrete-time model for the WSSUS multipath channel. IEEE Transactions on Vehicular Technology, 1992, vol. 41,
no. 4, pp. 461–468. DOI: https://doi.org/10.1109/25.182598
7. Kalinin A.I. Propagation of Radio Waves along the Paths of Terrestrial and Space Radio Links. Moscow: Svjaz’, 1976, 296 p. (In Russ.)
8. Bing L. Study on modeling of communication channel of UAV. Procedia Computer Science, 2017, vol. 107, pp. 550–557. DOI: https://doi.
org/10.1016/j.procs.2017.03.129
9. Cai X. et al. Low altitude UAV propagation channel modelling. 2017 11th European Conference on Antennas and Propagation (EUCAP),
2017, pp. 1443–1447. DOI: https://doi.org/10.23919/EuCAP.2017.7928479
10. Brehovskih D.M. Waves in Layered Media. Moscow: Nauka, 1973, 343 p. (In Russ.)
11. Fok V.A. Problems of Diraction and Propagation of Electromagnetic Waves. Moscow: Sov. radio, 1970, 520 p. (In Russ.)
12. Fink L.M. Discrete Message Transmission Theory. Moscow: Sov. radio, 1970, 728 p. (In Russ.)
13. Prokis J. Digital Communication. English trans. Ed. by D.D. Klovsky. Moscow: Radio i svjaz’, 2000, 800 p. (In Russ.)
14. Polyansky I.S., Arkhipov N.S., Misjurin S.Yu. On the solution of the problem of optimal control of an adaptive multi-beam reector
antenna. Avtomatika i telemehanika, 2019, no. 1, pp. 83–100. DOI: https://doi.org/10.1134/S0005231019010069 (In Russ.)
78
Архипов Н.С. и др. Математическая модель канала связи с беспилотным летательным аппаратом
Arkhipov N.S. et al. Mathematical model of a communication channel with an unmanned aerial vehicle
15. Polyansky I.S., Patronov D.Yu. Maximum likelihood estimate of the variance-covariance matrix. Sovremennye problemy nauki i
obrazovanija, 2013, no. 1, URL: https://science-education.ru/ru/article/view?id=8516 (In Russ.)
Physics of Wave Processes and Radio Systems
2021, vol. 24, no. 3, pp. 71–79
DOI 10.18469/1810-3189.2021.24.3.71-79 Received 13 May 2021
Accepted 15 June 2021
Mathematical model of a communication channel
with an unmanned aerial vehicle
Nikolay S. Arkhipov1, 2, Ivan S. Polyansky2, 3 ,
Yuri N. Yakovlev2, Alexander V. Subbotenko3
1 JSC «Eureka»
118, Moskovsky Avenue,
Saint Petersburg, 196084, Russia
2 JSC «Technological Institute of Adaptive Systems»
9, letter B, Kolya Tomchak Street,
Saint Petersburg, 196006, Russia
3 Academy of the Federal Guard Service of the Russian Federation
35, Priborostroitelnaya Street,
Oryol, 302015, Russia
Abstract – In this paper, a mathematical model of a communication channel with an unmanned aerial vehicle and taking into
account the specics of the locations of a ground communication point when determining the eects of refraction, diraction
and interference of electromagnetic waves is proposed. A meaningful statement of the problem based on the mathematical
relationship between the energy parameters of the rst transmission equation and the quality indicators (BER) of the second
transmission equation has been formed. The main features of calculating the parameters of the rst equation are to determine the
rules for calculating the level of attenuation due to the inuence of the earth’s surface. The calculation of attenuations for cases
of removal of an unmanned aerial vehicle from a ground communication point within the areas of line of sight, partial shade and
shadow has been claried. The second transmission equation is based on the mathematical model of the Rice communication
channel. With respect to the energy parameters and the selected communication quality indicator for the formed mathematical
model, examples of graphical dependencies are given in the study of typical computational problems. With respect to the
energy parameters and the selected communication quality indicator for the formed mathematical model, examples of graphical
dependencies in the study of typical computational problems are given.
Keywords – mathematical model; radio channel; UAV; Rice distribution; reection from the earth’s surface.
Information about the Authors
Nikolay S. Arkhipov, Doctor of Technical Sciences, associate
professor, advisor to the general director for science of JSC «Eure-
ka», Saint Petersburg, Russia. Number of scientic publications–
164.
Research interests: radio engineering, methods of analysis and
synthesis of antenna systems, computational electrodynamics,
digital signal processing, adaptive optics.
E-mail: arhns97@mail.ru
Ivan S. Polyansky, Doctor of Physical and Mathematical Sci-
ences, member of the Academy of the Federal Guard Service of the
Russian Federation, Oryol, Russia. The number of scientic pub-
lications – 152.
Research interests: mathematical modeling, dynamic systems, dif-
ferential equations, optimization methods, optimal control, con-
formal mapping, computational electrodynamics, digital signal
processing.
E-mail: van341@mail.ru
ORCID: https://orcid.org/0000-0002-1282-1522
Yuri N. Yakovlev, Candidate of Technical Sciences, leading
researcher of JSC «Technological Institute of Adaptive Systems»,
Saint Petersburg, Russia. The number of scientic publications –
121.
Информация об авторах
Архипов Николай Сергеевич, доктор технических наук, до-
цент, советник генерального директора по науке АО «Эврика»,
г. Санкт-Петербург, Россия. Число научных публикаций – 164.
Область научных интересов: радиотехника, методы анализа и
синтеза антенных систем, вычислительная электродинамика,
цифровая обработка сигналов, адаптивная оптика.
E-mail: arhns97@mail.ru
Полянский Иван Сергеевич, доктор физико-математиче-
ских наук, сотрудник Академии Федеральной службы охраны
Российской Федерации, г. Орёл, Россия. Число научных публи-
каций – 152.
Область научных интересов: математическое моделирова-
ние, динамические системы, дифференциальные уравнения,
методы оптимизации, оптимальное управление, конформные
отображения, вычислительная электродинамика, цифровая
обработка сигналов.
E-mail: van341@mail.ru
ORCID: https://orcid.org/0000-0002-1282-1522
Яковлев Юрий Николаевич, кандидат технических наук,
доцент, ведущий научный сотрудник АО «Технологический ин-
ститут адаптивных систем», г. Санкт-Петербург, Россия. Число
научных публикаций – 121.
79
Физика волновых процессов и радиотехнические системы. 2021. Т. 24, № 3. С. 71–79
Physics of Wave Processes and Radio Systems, 2021, vol. 24, no. 3, pp. 71–79
Research interests: radio engineering, military communication
systems, microwave antennas and devices, digital signal process-
ing, electromagnetic compatibility.
E-mail: yur.jakovle2017@yandex.ru
Alexander V. Subbotenko, Candidate of Technical Sci-
ences, member of the Academy of the Federal Guard Service
of the Russian Federation, Oryol, Russia. Number of scientic
publications– 56.
Research interests: radio engineering, antenna systems, digital
signal processing, military communication systems, antennas and
microwave devices.
E-mail: subbiki@yandex.ru
Область научных интересов: радиотехника, военные системы
связи, антенны и устройства СВЧ, цифровая обработка сигна-
лов, электромагнитная совместимость.
E-mail: yur.jakovle2017@yandex.ru
Субботенко Александр Владимирович, кандидат техниче-
ских наук, сотрудник Академии Федеральной службы охраны
Российской Федерации, г. Орёл, Россия. Число научных публи-
каций – 56.
Область научных интересов: радиотехника, антенные систе-
мы, цифровая обработка сигналов, военные системы связи, ан-
тенны и устройства СВЧ.
E-mail: subbiki@yandex.ru
Антипов, О.И.
Детерминированный хаос и фракталы в дискретно-нелинейных системах / О.И. Антипов,
В.А.Неганов, А.А. Потапов. – М.: Радиотехника, 2009. – 235 с., ил.
ISBN 978-5-88070-237-4
УДК 530.1:621.372+621.396
ББК 32.96
В монографии рассмотрены явления детерминированного хаоса и
фрактальности в дискретно-нелинейных системах на примере устройств
импульсной силовой электроники, приведены некоторые основные
определения современной нелинейной динамики и некоторые матема-
тические методы целочисленных и дробных мер.
Представленные явления стохастической работы могут наблюдаться
в широком классе систем с переменной структурой, действие которых
может быть описано системами дифференциальных уравнений с пере-
менными коэффициентами, скачкообразно меняющими свои значения с течением времени в за-
висимости от состояния системы. Объектами исследования явились импульсные стабилизаторы
напряжения различных типов и структур. Научной новизной является применение как фракталь-
ных, так и мультифрактальных мер детерминированного хаоса к анализу стохастической работы
импульсных стабилизаторов.
Для специалистов, интересующихся проблемами детерминированного хаоса, численным моделирова-
нием дискретно-нелинейных систем.
