ArticlePDF Available

Information paradox of the rectilinear motion and the rest state

Authors:

Abstract

Starting from the invaluable mathematical conclusion according to which the torsion of a straight line is undefined and knowing that the rectilinear motion implies moving on a straight line, we can conclude that a rectilinear motion results in an undefined torsion of line. Thus, the information about torsion is not preserved in physical interactions that involves straight lines. Besides that, the information about the curvature of trajectory is also lost for a body that reaches the rest state, due to the fact that the curvature is well defined exclusively for non null velocities. To get out of the impasse determined by this paradox I propose, as a possible solution, another law of inertia which generalizes the current law, inherited from Galileo Galilei.
Information paradox of the rectilinear
motion and the rest state
Professor Abel Cavași,
Romania
abel.cavasi@gmail.com
Abstract
Starting from the invaluable mathematical conclusion according to which the torsion of a
straight line is undefined and knowing that the rectilinear motion implies moving on a straight
line, we can conclude that a rectilinear motion results in an undefined torsion of line. Thus, the
information about torsion is not preserved in physical interactions that involves straight lines.
Besides that, the information about the curvature of trajectory is also lost for a body that reaches
the rest state, due to the fact that the curvature is well defined exclusively for non null velocities.
To get out of the impasse determined by this paradox I propose, as a possible solution, another
law of inertia which generalizes the current law, inherited from Galileo Galilei.
Keywords
: rest state, rectilinear motions, curvature, torsions, the law of inertia, paradox,
information.
Introduction
Both the rectilinear motion and the rest state play very important roles in nowadays Physics, and
that is why for any additional information that we can obtain regarding these fundamental motion
types can lead to deep consequences in overall Physics. Furthermore, the torsion of a curve on
which bodies can move, a notion of which we can easily say was completely neglected
throughout nowadays studies, could constitute a fruitful research subject in the future, research
that would result in plenty of new knowledge in regards to motion.
In this context, this paper highlights upfront dramatic relations, on one hand between the
rectilinear movement and torsion, and on the other hand between the rest state and curvature,
relations that, as it seems, imply simply giving up the rectilinear motion and the rest state,
motion types that present themselves as full of mathematical non-deterministics, incompatible
with reality.
Relying on the staggering fact already known by mathematicians, that the torsion of a line and
the curvature of the point in the rest state are undetermined, I will show that a fundamental
paradox reveals itself in Physics - the solution to which, in my opinion, implies reformulating the
law of inertia.
Mathematical considerations
In differential geometry ([1]) a very important theorem was demonstrated, even named “the
fundamental theorem of space curves” ([2] or [3]), which states that any space curve that could
be traveled by a body (so, any trajectory which can be traveled at finite velocities and
accelerations) has two parameters (curvature and torsion) that uniquely describes the curve until
an isometry is reached. They are characteristic parameters because, if we know these two
important functions of time, curvature and torsion, then we can determine unequivocally the
shape of the trajectory of the body, independently of how is it rotated or translated in space. That
is why, to completely characterise a space curve, both
the curvature and the torsion parameters
are needed. Both are invariant intrinsec parameters relative to the curve, of a fundamental
importance, because both parameters, only taken together, cary the complete information about
the shape of the trajectory in interactions. Not just the curvature, but the torsion as well. We
don’t have a mathematical justification through which to favor one of the parameters more than
the other, not to mention favouring the curvature more than the torsion.
Given a curve that can be traveled by a body through space, defined by the position vector , (t)r
time-dependent vector, the curvature of it is
𝛋=|r' 𝗑 r''|/|r'|3,
and its torsion is ([4])
𝝉=(r',r'',r''')/|r' 𝗑 r''|2,
where , , are, respectively, first, second and third derivative of position relative to time, r
r
′′ r
′′
meaning speed, acceleration and jerk.
Notice that both the curvature and the torsion are fractions, and a fraction is defined only if the
denominator is not canceled
. But the denominator of the torsion is exactly the numerator of the
curvature (squared). Therefore, the torsion cannot be defined for a curve which as its curvature
null.
But the line has its curvature exactly null. So, the torsion of a line can no longer be correctly
defined!
As a result, the line weirdly enough loses the information about the torsion.
Furthermore, the curvature is, just the same, undefined for null velocities, because the
denominator of the curvature cancels itself if the velocity is null. Thus, the rest state implies the
loss of information about the curvature. Therefore, the rectilinear motion and the rest state
introduces unwanted mathematical non-deterministics.
Physical considerations
1. If the torsion of a straight line cannot be defined, then there is a problem with the information
about the torsion for a movement on a straight line. Let’s suppose that, initially, a body travels a
random medium, for a span of time, on a trajectory with a non null curvature and, thus, a well
defined torsion. And, at the end of the time span, the body exits that medium, freeing itself.
According to nowadays Physics, a free body will travel on a straight line. Thus, our body, freed
from the medium that imposed a trajectory with a non-null curvature and a well defined torsion,
will start to follow a straight line, so will start to follow a curve of a null curvature and,
implicitly, of an undefined torsion.
But what happened with the information about the torsion that the body initially had? Was it lost
in nothingness?
2. Let’s suppose now a reversed situation. A body that is moving on a straight line, with an
undefined torsion, enters at a given time in a medium that alters its trajectory, thus marking the
beginning of torsion for this body. Where is the information about torsion coming from now?
From nothingness? Is there a connection between the undefined torsion of the initial trajectory
and the defined torsion of the final trajectory?
3. The same problems can be raised in regards to the appearance and disappearance of rest state.
As I mentioned above, the rest state means null velocity, and the curvature is undefined for null
velocities. Thus, any interaction that would determine the beginning of rest state, respectively,
the disappearance of such a state, would also determine the disappearance of information
regarding the trajectory of the initial curve, respectively appearance of information coming from
nothingness.
This calls, therefore, for a deep and very strict analysis of the rectilinear motion and rest state,
analysis that I bring into the attention of experts in the field, through this paper, in which I
suggest that it would be best to give up these two paradoxal notions.
Conclusions
As you can see, there is a problem with the rectilinear motion and the rest state. How to solve
this problem? You have the liberty to think of another solution, different than the one I propose
below, solution that should, however, help us get rid of this information paradox determined by
these two mathematical notions.
Meanwhile, until you will find another one, I thought of one myself. I consider that we must
reformulate the law of inertia in such a way that it will neither involve the straight line, nor will
it involve the rest state. Specifically, we need to reanalyse the reasons that determined us to
believe a free body would ever move on a straight line or stay in rest state, in order to better
understand and see if maybe our considerations were superficial to begin with.
Ever since Galileo we believed that a free body either moves on a straight line or stays in a rest
state, but we should not forget that Galileo did not have the means to accurately determine the
curvature or the torsion of a trajectory. In fact, in his time, it wasn’t even known of the existence
of torsion or the fundamental importance of both the curvature and torsion to describe a curve.
And even today we don’t have the means to establish with sufficient accuracy the curvature of a
trajectory or its torsion, accuracy that would undoubtedly ensure that a body travels strictly
rectilinear or stays strictly in a rest state. Therefore, assuming that a body travels on a rectilinear
line or stays in a rest state has no experimental ground but is and will always be a main
supposition.
But the main suppositions must be replaced with other main suppositions when we discover
paradoxes. Thus, trying to get rid of the paradox I just highlighted, I kept bumping with the need
to reconsider the law of inertia, law that continues to force us to make use of straight line and rest
state in such a paradoxical way.
Reformulating the law of inertia is, of course, a bold thing to do, boldness for which I will take
responsibility and for which I ask forgiveness, asking you to not forget that only the logical
necessities led me to such a conclusion.
Therefore, allow me to formulate another law of inertia, law to which I arrived by eliminating all
other options which proved wrong throughout years of my studies:
Free bodies are moving with constant speed on trajectories having constant curvature and
torsion.
After all my studies ([5]), this law of inertia does not contradict with any experimental or
theoretical fact. Also, it does not allow the appearance in Physics of trajectories having curvature
and torsion undefined.
But its most important property is that generalizes the current law of inertia. Because if we
assign the curvature the null value, then we reach the “rectilinear movement” limit. And if we
assign the curvature an infinite value, we reach the “rest state” limit.
Thus, the newly formulated law of inertia could play a role in Physics much like was played by
the parallel axiom in Geometry. Specifically, the new Physics based on this law (Physics we
could name "Helical Physics"), would be more general than the current Physics, just as
non-euclidean geometries are in comparison with the euclidean ones.
Of course, my proposition regarding generalizing the law of inertia is just a humble attempt to
solve the paradox highlighted in this paper, but the main purpose of this paper was none other
than to bring to your attention this information paradox regarding curvature and torsion.
Bibliography
-1) Andrew Pressley. „Elementary Differential Geometry
, 2001, isbn 9781852331528, lccn
00058345 Springer undergraduate mathematics series;
-2) Andrei-Dan Halanay. „Curs de geometrie
” (last accessed in 8 January 2021);
-3) Weisstein, Eric W. "Fundamental Theorem of Space Curves." From MathWorld--A Wolfram
Web Resource
. http://mathworld.wolfram.com/FundamentalTheoremofSpaceCurves.html (last
accessed in 8 January 2021);
-4) Weisstein, Eric W. "Torsion." From MathWorld--A Wolfram Web Resource
.
https://mathworld.wolfram.com/Torsion.html (last accessed in 8 January 2021);
-5) Feynman R, Leighton R, and Sands M. „The Feynman Lectures on Physics” . 3 volumes
1964, 1966. Library of Congress Catalog Card No. 63-20717.
Paradoxul informațional al mișcării rectilinii
și al repausului
Profesor Abel Cavași,
România
abel.cavasi@gmail.com
Abstract
Pornind de la rezultatul matematic valoros conform căruia torsiunea dreptei este nedefinită
, dat
fiind faptul că mișcarea rectilinie presupune mișcarea în linie dreaptă, tragem concluzia
mișcarea rectilinie lasă nedefinită torsiunea dreptei. Așadar, informa
ț
ia despre torsiune nu se
conservă în interacțiuni fizice care implică linia dreaptă. De asemenea, informa
ț
ia despre
curbura traiectoriei se pierde
și ea complet pentru un corp care ajunge în repaus, căci curbura
este definită doar pentru viteze nenule. Pentru a ieși din impasul determinat de această situație
paradoxală propun ca o posibilă soluție un alt principiu al iner
ț
iei
, care generalizează principiul
actual, moștenit de la Galileo Galilei.
Cuvinte cheie
: repaus, mișcare rectilinie, curbură, torsiune, principiul inerției, paradox,
informație.
Introducere
Mișcarea rectilinie și repausul au un rol deosebit de important în Fizica actuală, motiv pentru
care orice informație suplimentară pe care o putem obține în legătură cu aceste tipuri
fundamentale de mișcare poate avea consecințe adânci în Fizică. De asemenea, torsiunea
curbelor pe care se pot deplasa corpurile, o noțiune despre care putem spune că este de-a dreptul
neglijată în cercetările actuale, ar putea constitui un subiect de cercetare fructuos în viitor,
aducând cu sine o mulțime de cunoștințe noi privind mișcarea.
În acest context, lucrarea de față scoate în evidență o legătură dramatică între mișcarea rectilinie
și torsiune, pe de o parte și între repaus și curbură, pe de altă parte, o legătură care se pare
impune pur și simplu renun
ț
area la mișcarea rectilinie și la repaus, mișcări ce se prezintă a fi
pline de nedeterminări matematice incompatibile cu realitatea.
Bazându-mă pe faptul tulburător, cunoscut deja de către matematicieni, că torsiunea dreptei și
curbura repausului sunt nedeterminate voi arăta apare în Fizică un paradox fundamental a
cărui rezolvare, în opinia mea, impune reformularea principiului inerției.
Considerații matematice
În geometria diferențială ([1]) s-a demonstrat o teoremă foarte importantă, numită chiar „teorema
fundamentală a curbelor” ([2] sau [3]), care spune că orice curbă din spațiu care ar putea fi
parcursă de un corp (deci orice traiectorie ce poate fi parcursă cu viteze și accelerații finite) are
doi parametri (curbură și torsiune) ce o caracterizează biunivoc până la o izometrie. Sunt
parametri caracteristici deoarece dacă cunoaștem aceste două funcții importante de timp, curbura
și torsiunea, atunci putem determina fără echivoc
forma traiectoriei corpului, indiferent cum este
aceasta rotită sau translatată în spațiu. De aceea, pentru a caracteriza complet o curbă din spaţiu
este nevoie de ambii
parametri, atât de curbură, cât și de torsiune. Ambii parametri sunt
invarianți intrinseci curbei, de o importanță fundamentală, căci ambii parametri, doar luați
împreună, transportă informație completă despre forma traiectoriei în interacțiuni. Nu doar
curbura, ci și torsiunea. Nu avem nicio justificare matematică prin care acordăm mai multă
atenție unuia dintre parametri în defavoarea celuilalt, deci, curburii în defavoarea torsiunii.
Dată fiind o curbă ce ar putea fi parcursă de un corp prin spaţiu definită de vectorul de poziție
, vector dependent de timp, curbura acesteia este(t)r
𝛋=|r' 𝗑 r''|/|r'|3,
iar torsiunea acesteia este ([4])
𝝉=(r',r'',r''')/|r' 𝗑 r''|2,
unde , , sunt, respectiv, prima, a doua și a treia derivată a poziției în raport cu timpul, r
r
′′ r
′′
deci viteza, accelerația și supraaccelerația.
Observați că atât curbura cât și torsiunea sunt fracții, iar o fracție este definită doar dacă
numitorul frac
ț
iei nu se anulează
. Dar numitorul torsiunii este tocmai numărătorul curburii (la
pătrat). Prin urmare, torsiunea nu poate fi definită pentru o curbă a cărei curbură este nulă.
Dar dreapta are curbura tocmai nulă. Așadar, torsiunea dreptei nu mai poate fi definită corect!
Astfel, dreapta pierde în mod ciudat informația despre torsiune.
De asemenea, curbura este și ea nedefinită pentru viteze nule, căci numitorul curburii se anulează
dacă viteza este nulă. Astfel, repausul implică pierderea informației despre curbură. Prin urmare,
mișcarea rectilinie și repausul introduc nedeterminări matematice indezirabile.
Considerații fizice
1. Dacă torsiunea dreptei nu poate fi definită, atunci apare o problemă cu informația despre
torsiune la mișcarea în linie dreaptă. Să presupunem că, inițial, un corp se deplasează într-un
mediu oarecare, un interval de timp, pe o traiectorie de curbură nenulă și, astfel, de torsiune bine
definită. Apoi, la sfârșitul intervalului de timp considerat, corpul iese din acel mediu,
eliberându-se.
Conform Fizicii actuale, un corp liber se va deplasa în linie dreaptă. Așadar, corpul nostru,
eliberat din mediul care îi impunea o traiectorie de curbură nenulă și torsiune bine definită, va
începe să descrie o linie dreaptă, deci va începe să descrie o curbă de curbură nulă și, implicit, de
torsiune nedefinită.
Ce s-a întâmplat cu informația despre torsiunea pe care o avea inițial corpul? S-a pierdut în
neant?
2. Să presupunem acum o situație inversă. Un corp care se deplasează pe o linie dreaptă, cu
torsiunea nedefinită, pătrunde la un moment dat într-un mediu care îi deformează traiectoria,
determinându-i acesteia apariția torsiunii. De unde apare acum informația despre torsiune? Din
neant? Există vreo legătură între torsiunea nedefinită a traiectoriei inițiale și torsiunea definită a
traiectoriei finale?
3. Aceleași probleme pot fi ridicate și în legătură cu apariția sau dispariția repausului. Cum
spuneam mai sus, repausul înseamnă viteză nulă, iar curbura este nedefinită pentru viteze nule.
Prin urmare, orice interacțiune care ar determina apariția repausului, respectiv, dispariția
acestuia, ar determina și dispariția informației despre curbura traiectoriei inițiale, respectiv,
apariția acestei informații din neant.
Se impune, așadar, o analiză profundă și foarte severă a mișcării rectilinii și a repausului, analiză
pe care o supun atenției specialiștilor prin acest modest articol în care sugerez că ar fi mai bine să
renunțăm la aceste două noțiuni paradoxale.
Concluzii
După cum vedeți, există o problemă cu mișcarea rectilinie și cu repausul. Cum rezolvăm această
problemă? Aveți libertatea să vă gândiți la o altă soluție, diferită de cea pe care v-o propun mai
jos, soluție care să ne scape totuși de paradoxul informațional determinat de aceste două noțiuni
matematice.
Între timp, până când veți găsi dumneavoastră o alta, eu am imaginat, deci, o soluție. Eu unul
consider că trebuie să reformulăm principiul iner
ț
iei
în așa fel încât acesta să nu mai implice nici
linia dreaptă și nici repausul. Mai precis, trebuie reanalizăm cauzele care ne-au determinat să
credem un corp liber s-ar deplasa în linie dreaptă sau ar rămâne în repaus, pentru a le înțelege
mai bine și pentru a vedea dacă nu cumva considerațiile noastre nu au fost superficiale.
Noi credem de la Galilei că un corp liber se deplasează în linie dreaptă sau rămâne în repaus, dar
nu putem uita că Galilei nu a avut mijloace pentru a determina cu precizie suficientă curbura și
torsiunea traiectoriei. De fapt, pe vremea lui Galilei, nici măcar nu se știa de existența torsiunii
sau de importanța fundamentală a curburii și a torsiunii pentru forma traiectoriei.
Și nici măcar astăzi nu avem posibilități pentru a stabili cu precizie suficientă curbura unei
traiectorii sau torsiunea acesteia, precizie care să ne asigure fără niciun dubiu că un corp se miș
strict rectiliniu sau este strict în repaus. Prin urmare, presupunerea că un corp se mișcă pe o linie
dreaptă sau este în repaus nu are niciun temei experimental, ci este și va rămâne mereu o
presupunere principială.
Dar presupunerile principiale trebuie înlocuite cu alte presupuneri principiale atunci când
descoperim paradoxuri. Astfel, încercând scap de paradoxul pe care tocmai l-am scos în
evidență, m-am tot lovit de necesitatea de a reconsidera principiul inerției, singurul care ne
obligă încă să operăm cu linia dreaptă și cu repausul într-un mod atât de paradoxal.
Reformularea principiului inerției constituie, desigur, o îndrăzneală, pe care mi-o voi asuma și
pentru care vă cer iertare, rugându-vă să nu uitați că numai necesitățile logice m-au condus la o
asemenea concluzie.
Așadar, permiteți-mi să formulez un alt principiu al inerției, principiu la care am ajuns prin
eliminarea tuturor celorlalte variante care s-au dovedit incorecte de-a lungul anilor în studiile
mele:
Corpurile libere se mișcă cu viteză constantă pe traiectorii având curbura și torsiunea
constante.
Din câte am studiat eu ([5]), acest principiu al inerției nu contravine niciunui fapt experimental
sau teoretic. De asemenea, el nu mai permite apariția în Fizică a unor traiectorii având curbura și
torsiunea nedefinite.
Dar cea mai importantă proprietate a acestui principiu este aceea generalizează principiul
actual al inerției. Căci dacă atribuim curburii valoarea nulă, atunci ajungem la limită tocmai la
„mișcarea rectilinie”. De asemenea, dacă atribuim curburii valoare infinită, ajungem la limită la
ceea ce putem numi „repaus”.
Astfel, principiul nou formulat al inerției ar putea juca în Fizică un rol asemănător celui pe care
l-a jucat axioma paralelelor în Geometrie. Mai exact, noua Fizică bazată pe acest principiu
(Fizică pe care am putea s-o denumim „Fizică elicoidală”), ar fi mai generală decât Fizica
actuală, așa cum sunt geometriile neeuclidiene în comparație cu geometria euclidiană.
Desigur, propunerea mea privind generalizarea principiului inerției este doar o încercare umilă
de a rezolva paradoxul evidențiat în această lucrare, iar scopul principal al lucrării nu a fost altul
decât acela de a aduce în atenția dumneavoastră acest paradox informațional privind curbura și
torsiunea.
Bibliografie
-1) Andrew Pressley. „Elementary Differential Geometry
, 2001, isbn 9781852331528, lccn
00058345 Springer undergraduate mathematics series;
-2) Andrei-Dan Halanay. „Curs de geometrie
” (accesat ultima dată în 8 ianuarie 2021);
-3) Weisstein, Eric W. "Fundamental Theorem of Space Curves." From MathWorld--A Wolfram
Web Resource
. http://mathworld.wolfram.com/FundamentalTheoremofSpaceCurves.html
(accesat ultima dată în 8 ianuarie 2021);
-4) Weisstein, Eric W. "Torsion." From MathWorld--A Wolfram Web Resource
.
http://mathworld.wolfram.com/Torsion.html (accesat ultima dată în 8 ianuarie 2021);
-5) Feynman R, Leighton R, and Sands M. „The Feynman Lectures on Physics” . 3 volumes
1964, 1966. Library of Congress Catalog Card No. 63-20717.
ResearchGate has not been able to resolve any citations for this publication.
Fundamental Theorem of Space Curves
  • Eric W Weisstein
Weisstein, Eric W. "Fundamental Theorem of Space Curves." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/FundamentalTheoremofSpaceCurves.html (accesat ultima dată în 8 ianuarie 2021);