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Abstract

Es habitual que las olimpiadas matemáticas susciten la curiosidad del alumnado de alta capacidad matemática. Por tanto, desde el punto de vista de las altas capacidades, resulta interesante analizar como son los problemas propuestos en este tipo de pruebas. El objetivo de este trabajo es analizar la demanda cognitiva, los lenguajes y los procedimientos de las tareas matemáticas propuestas en los problemas sobre probabilidad en las pruebas individuales de la semifinal y final en la Olimpiada Matemática Aragonesa (1989-2019) y los problemas llevados a cabo en la prueba individual de la Olimpiada Matemática Nacional (1990-2019). Centramos nuestra atención en los problemas de probabilidad para caracterizar también la representatividad de este contenido en las olimpiadas. Los resultados muestran que todas las tareas propuestas en las olimpiadas son de nivel alto según el modelo de demanda cognitiva, lo cual es adecuado como propuesta para estudiantes de alta capacidad matemática, con inclusión de tareas del nivel superior según ese mismo modelo, cuya resolución satisfactoria podría convertirse en un indicador de alta capacidad matemática. Por otro lado, la escasez de problemas de probabilidad en estas pruebas evidencia la necesidad de proponer más en estos concursos, promoviendo su aprendizaje en la educación secundaria.
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CONTEXTOS EDUCATIVOS, 28 (2021), 29-50. http://doi.org/10.18172/con.4970
LA PROBABILIDAD EN LOS PROBLEMAS DE OLIMPIADAS
MATEMÁTICAS DE SECUNDARIA EN ESPAÑA
José Miguel Rubio-Chueca
José M. Muñoz-Escolano
Pablo Beltrán-Pellicer
Universidad de Zaragoza
RESUMEN: Es habitual que las olimpiadas matemáticas susciten la
curiosidad del alumnado de alta capacidad matemática. Por tanto, desde el
punto de vista de las altas capacidades, resulta interesante analizar cómo son
los problemas propuestos en este tipo de pruebas. El objetivo de este trabajo es
analizar la demanda cognitiva, los lenguajes y los procedimientos de las tareas
matemáticas propuestas en los problemas sobre probabilidad en las pruebas
individuales de la semifinal y final en la Olimpiada Matemática Aragonesa
(1989-2019) y los problemas llevados a cabo en la prueba individual de la
Olimpiada Matemática Nacional (1990-2019). Centramos nuestra atención en
los problemas de probabilidad para caracterizar también la representatividad
de este contenido en las olimpiadas. Los resultados muestran que todas las
tareas propuestas en las olimpiadas son de nivel alto según el modelo de
demanda cognitiva, lo cual es adecuado como propuesta para estudiantes de
alta capacidad matemática, con inclusión de tareas del nivel superior según
ese mismo modelo, cuya resolución satisfactoria podría convertirse en un
indicador de alta capacidad matemática. Por otro lado, la escasez de problemas
de probabilidad en estas pruebas evidencia la necesidad de proponer más en
estos concursos, promoviendo su aprendizaje en la educación secundaria.
PALABRAS CLAVE: olimpiada matemática, tarea matemática, demanda
cognitiva, enfoque ontosemiótico, aprendizaje de la probabilidad.
THE PROBABILITY IN THE PROBLEMS OF HIGH SCHOOL MATH
OLYMPICS IN SPAIN
ABSTRACT: Among the participants in Mathematical Olympiads, it is usual
to find mathematically gifted students. Therefore, from the point of view of
the research about gifted students, it is interesting to analyze the problems
proposed in these events. The objective of this work is to analyze the cognitive
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demand, the languages and the procedures of the mathematical tasks proposed
in the problems on probability in the individual tests of both the semifinal
and the final in the Aragonese Mathematical Olympiad (1989-2019) and
the problems carried out in the individual test of the National Mathematical
Olympiad (1990-2019). We focus our attention on probability problems to
characterize the representativeness of this content in the Olympics. The results
show that all the proposed tasks in the Olympics are of a high level according
to the cognitive demand model, which is suitable as a proposal for the high
mathematical ability students, including tasks of the higher level according
to the same model, whose satisfactory resolution could become an indicator
of high mathematical ability. On the other hand, the scarcity of probability
problems in these tests, shows the need to propose more in these contests,
promoting their learning in secondary education.
KEYWORDS: Mathematical Olympiad, mathematical tasks, cognitive
demand, onto-semiotic approach, probability learning.
Recibido: 13/01/2021
Aceptado: 03/05/2021
Correspondencia: José M. Muñoz-Escolano, Facultad de Educación, Universidad de
Zaragoza, Calle de Pedro Cerbuna, 12, 50009 Zaragoza. Email: jmescola@unizar.es
IntroduccIón
Numerosos estudios e investigaciones consideran de suma importancia el estudio
de la probabilidad. Cualquier persona, en su día a día, debe tener conocimientos de
probabilidad para tomar decisiones que le pueden afectar, emitir juicios sobre rela-
ciones entre sucesos o efectuar inferencias y predicciones (Gigerenzer, 2002). En este
sentido, la conexión de la probabilidad con la vida cotidiana es mucho más directa
que el resto de los bloques de contenido de las matemáticas escolares. Inspirados
por la noción de alfabetización matemática (mathematical literacy), que surge en
el contexto de los estudios PISA de la OCDE, diversos autores como Jones (2005) o
Batanero (2006, 2014), señalan la necesidad de que toda la ciudadanía alcance un
alto grado de alfabetización probabilística.
Así mismo, es destacable el creciente interés que recibe la enseñanza de la pro-
babilidad y estadística debido a la necesidad mostrada por la UNESCO y otras insti-
tuciones, como el Instituto Internacional de Estadística (ISI), de ofrecer una formación
estadística y probabilística a los estudiantes con la finalidad de que sean competentes
en una sociedad dominada por la información (Engel, 2019). Tal demanda ha impul-
sado la enseñanza de la probabilidad incluyéndose en los currículos de secundaria
y primaria de diferentes países. Esto responde al deseo de contar con ciudadanos
alfabetizados estocásticamente. Siguiendo el modelo de alfabetización probabilística
propuesto por Gal (2005) se trata de ofrecer a los alumnos herramientas para contes-
tar a preguntas cuyas respuestas no son inmediatas, a la vez que les faciliten tomar
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decisiones en situaciones de incertidumbre. Desde esta perspectiva, y de acuerdo
con Batanero et al. (2016), se requiere prestar especial atención a los problemas prác-
ticos y pedagógicos vinculados a la incorporación y tratamiento de la estocástica.
A pesar de su importancia y presencia en los currículos escolares de educación
obligatoria, no existen muchos trabajos que analicen cómo los estudiantes de altas
capacidades resuelven problemas de probabilidad. Normalmente, los estudiantes
tienden a enfrentarse a las situaciones y problemas de probabilidad desde la intui-
ción, lo que es fuente de sesgos de razonamiento (Borovcnik y Kapadia, 2009). Balta-
ci (2016) reporta que los estudiantes de altas capacidades poseen un comportamien-
to y habilidades diferentes a las de sus pares cuando se enfrentan a problemas de
probabilidad. En su estudio señala que emplean la lógica, organizan la información
de forma sistemática y emplean conocimientos probabilísticos estructurados para su
resolución. Esto sugiere que los problemas de probabilidad pueden mostrarse espe-
cialmente adecuados para este tipo de alumnado.
Jaime y Gutiérrez (2014) señalan cuatro tipos de acciones habituales de apoyo
extraescolar a los estudiantes con alta capacidad matemática: acciones de tipo cu-
rricular, de tipo lúdico, actividades mixtas y de resolución de problemas. Dentro de
esta última categoría se ubican las competiciones matemáticas (Ortega, Berciano y
Pecharromán, 2018), donde las Olimpiadas Matemáticas de la Educación Secun-
daria Obligatoria (para estudiantes de 13-14 años), organizadas en España por la
Federación Española de Sociedades de Profesores de Matemáticas, son un claro y
exitoso ejemplo.
Este hecho no es solo propio del contexto español, puesto que las competiciones
matemáticas son una actividad usualmente realizada por estudiantes con alta capa-
cidad matemática de gran número de países. A partir de un estudio con entrevistas
a más de 230 estudiantes con altas capacidades, Olszewski-Kubilius y Lee (2004)
señalan que estos concursos son una actividad extraescolar que caracteriza a estos
estudiantes, por encima de otras, tanto en áreas científicas como humanísticas.
Además, Jaime y Gutiérrez (2017, p. 83) apuntan que “los estudiantes con alta
capacidad matemática se sienten con frecuencia solos en el contexto de sus clases
ordinarias, porque ninguno de sus compañeros tiene su capacidad matemática ni
su interés por resolver problemas difíciles”. De esta manera, valoran positivamente
el papel de las olimpiadas matemáticas, ya que la participación en estos concursos
permite a los estudiantes dotados y talentosos obtener una imagen más realista de sus
habilidades (Subotnik, Miserandino y Olszewski-Kubilius, 1996).
Por otro lado, Toh (2013) señala que las olimpiadas matemáticas, más allá de
ser concursos matemáticos puntuales, pueden servir como banco de recursos útiles
para que los profesores elaboren tareas “ricas” con finalidades instruccionales para
alcanzar dos objetivos: el desarrollo del interés de los estudiantes de altas capaci-
dades por las matemáticas y el desarrollo de habilidades de pensamiento de orden
superior en la materia.
Las olimpiadas u otros concursos matemáticos plantean diversas líneas de inves-
tigación en el campo de la didáctica de las matemáticas, si bien nuestra búsqueda
bibliográfica arroja pocas referencias en este sentido. Algunos trabajos se centran en
los estudiantes y analizan cómo se comportan cuando resuelven algunas de las tareas
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de estos concursos (Gairín y Escolano, 2009; Guinjoan, Gutiérrez y Fortuny, 2015),
otros trabajos se centran en el profesor y tratan de comprender el conocimiento que
ponen en juego los evaluadores de olimpiadas matemáticas al analizar errores co-
metidos por estudiantes (Huitrado y Climent, 2014), mientras que otros estudian los
recursos tecnológicos necesarios para la creación y diseño de materiales online para
la formación y preparación de estudiantes (Rotger y Ribera, 2019).
En su amplia revisión de la literatura al respecto, Jaime y Gutiérrez (2017) señalan
distintas investigaciones nacionales e internacionales sobre análisis de enunciados
de tareas (no necesariamente de olimpiada). En una de ellas, Benedicto, Jaime y
Gutiérrez (2015) emplean el constructo de demanda cognitiva de una tarea (Smith
y Stein, 1998) para analizar teóricamente problemas de patrones geométricos con
estudiantes de alta capacidad. Este modelo es refinado y adaptado por los autores
cuando es contrastado con resoluciones reales a problemas de patrones geométricos
de estudiantes de alta capacidad.
Es por tanto pertinente, analizar qué tareas sobre probabilidad se proponen en las
olimpiadas y qué características tienen, objetivo que asumimos en este estudio. Para
ello, abordaremos este análisis desde dos perspectivas. Por un lado, puesto que Bata-
nero (2005) muestra la necesidad de abordar todos los significados de la probabilidad
en un contexto rico de lenguajes y procedimientos, estudiamos los significados de la
probabilidad y configuraciones de estos objetos matemáticos primarios intervinientes
en los problemas. Por otro, analizamos la demanda cognitiva para constatar si esta es
de nivel alto, como cabría suponer en los problemas que aparecen en estas pruebas,
tal y como sugiere Toh (2013).
Marco teórIco
Enfoque ontosemiótico del conocimiento y la instrucción matemáticos (EOS)
El EOS (Godino, 2002; Godino, Batanero, y Font, 2007, 2019) proporciona herra-
mientas para el análisis de la enseñanza, de los recursos involucrados en ella y del
aprendizaje llevado a cabo por los alumnos. Este enfoque centra su interés en las prác-
ticas matemáticas (Godino y Batanero, 1998) cobrando gran relevancia la noción de
situación-problema (tarea, problema, etc.) y los objetos matemáticos intervinientes que
emergen en tales prácticas. Desde esta perspectiva, Godino, Batanero y Font (2007,
2019), proponen tipos de objetos matemáticos primarios, entendidos como “cualquier
entidad material o inmaterial que interviene en la práctica matemática, apoyando y
regulando su realización”. Tales objetos matemáticos primarios se pueden clasificar en:
– Situación-problema: tanto intra como extra-matemáticas, ejercicios, proble-
mas, tareas, etc. que requieran desarrollar una actividad matemática.
– Lenguaje: términos, expresiones, notaciones, gráficos, etc. empleados para
enunciar o resolver problemas, sea de forma escrita, oral, etc.
– Conceptos-definición: definiciones evocadas por el estudiante, implícita o ex-
plícitamente, al resolver una situación-problema.
– Proposiciones: enunciados sobre relaciones o propiedades de los conceptos
que deben ser utilizados para la resolución de problemas.
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– Procedimientos: algoritmos, operaciones, técnicas de cálculo, etc. que los es-
tudiantes deben conocer y aplicar para la resolución de problemas.
– Argumentos: enunciados utilizados para validar o explicar las proposiciones y
procedimientos o la solución de los problemas.
La identificación de estos objetos y cómo se articulan en lo que se denomina con-
figuraciones epistémicas, permite delimitar los significados matemáticos presentes en
los sistemas de prácticas. Ortiz, Albanese, y Serrano (2016) realizan un análisis deta-
llado de los lenguajes empleados en libros de texto de secundaria sobre probabilidad
en el marco teórico del EOS debido a la importancia que este otorga al lenguaje ma-
temático y la idea de conflicto semiótico, que puede surgir al interpretar tal lenguaje.
Mientras que Gómez (2014), también usando el mismo marco del EOS, estudia los
procedimientos referidos a la probabilidad en libros de texto de primaria teniendo
en cuenta el significado de la probabilidad que subyace en cada procedimiento. En
nuestro caso, dada la importancia que tienen los lenguajes y procedimientos, em-
plearemos este marco para analizar las situaciones-problema sobre probabilidad pro-
puestas en las olimpiadas teniendo en cuenta ambos objetos matemáticos primarios,
pues el significado de la probabilidad involucrado en estas se define a partir del que-
hacer matemático y, por tanto, con los objetos que se describen y aplican para ello.
Categorización de tareas según su demanda cognitiva
Un posible criterio de categorización de los problemas es a partir de la deman-
da cognitiva que la tarea implica para el sujeto que las enfrenta y desarrolla. De
acuerdo con Stein, Grover y Henningsen (1996) la demanda cognitiva de una tarea
puede variar según sus características propias y según cómo estas sean presentadas o
realizadas. Desde esta perspectiva proponen una categorización para las tareas ma-
temáticas de acuerdo con el tipo de pensamiento que se requiere para solucionarlas,
caracterizando a las tareas matemáticas en niveles de exigencia o demanda cogni-
tiva: memorización, procedimientos sin conexión, procedimientos con conexión y
construir matemática (Smith y Stein, 1998).
Este constructo ha sido empleado exitosamente como herramienta de análisis y
comparación de tareas de probabilidad en textos escolares de sexto, séptimo y oc-
tavo grado en Estados Unidos (Jones y Tarr, 2007). Por medio de esta clasificación es
posible identificar y seleccionar aquellas tareas que realmente promuevan el razo-
namiento y la resolución de problemas, de manera que fomenten una comprensión
profunda de las matemáticas (NCTM, 2014). En nuestro caso, tareas que impulsen
hacia el desarrollo de una comprensión profunda de la probabilidad.
Un resumen de los cuatro niveles de demanda cognitiva de una tarea enunciados
por Smith y Stein (1998) sería:
Nivel 1: tareas de memorización. Involucran la reproducción de definiciones,
hechos, fórmulas o reglas previamente trabajadas o aprendidas. Son tareas con
un propósito claramente establecido, sin ambigüedades, y en las que no existe
conexión con los conceptos o con el significado subyacente a los hechos, fór-
mulas o reglas reproducidas.
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Nivel 2: tareas de procedimientos sin conexiones. Tareas algorítmicas, donde
se reclama la utilización de un procedimiento de forma muy evidente (por la
instrucción o por las actividades previas). Requieren una demanda cognitiva
limitada. Su propósito principal es la producción de respuestas correctas más
que el desarrollo de comprensión matemática (sin conexiones con los con-
ceptos o significados subyacentes a los procedimientos). Son tareas que no
solicitan explicaciones, como mucho la descripción del procedimiento usado.
Nivel 3: tareas de procedimientos con conexiones. Centradas en el significado
de un concepto o procedimiento, buscando desarrollar la comprensión de con-
ceptos e ideas matemáticas. Estas tareas sugieren pautas que seguir explícita o
implícitamente, aunque son procedimientos más generales que tienen conexión
con el significado o con diferentes representaciones de un concepto. Requieren
cierto nivel de demanda cognitiva, al necesitar establecer una relación con las
ideas conceptuales subyacentes para poder completar la tarea con éxito.
Nivel 4: tareas que requieren “hacer matemáticas”. Requieren de un pensa-
miento complejo y no algorítmico, sin sugerir un camino para seguir o respon-
der a un camino anteriormente definido o ensayado. Estas tareas demandan la
comprensión y exploración de la naturaleza de conceptos, procesos y relacio-
nes matemáticas; y la autorregulación del propio proceso cognitivo: acceso y
selección de conocimientos y experiencias relevantes, análisis de las posibles
estrategias de resolución diseñadas para la tarea y sus condiciones. Por todo
ello, son tareas que exigen una alta demanda cognitiva y que pueden provocar
una ansiedad inicial dada la naturaleza impredecible del proceso de resolu-
ción requerido.
En ocasiones, se consideran dos grandes niveles, correspondiendo los niveles 1 y
2 a una baja demanda cognitiva, y 3 y 4 a una alta demanda cognitiva.
objetIvos
El objetivo principal de este estudio es analizar los problemas que abordan con-
tenidos de probabilidad de la Olimpiada Matemática Nacional y de la Olimpiada
Matemática Aragonesa de Secundaria para 2º de ESO.
Nos planteamos caracterizar, en primer lugar, el tipo de problemas de probabi-
lidad que se plantean en estas pruebas. Para ello, emplearemos el marco del Enfo-
que Ontosemiótico del Conocimiento y la Instrucción Matemática (EOS) (Godino,
Batanero y Font, 2007), en especial su ontología de objetos matemáticos primarios,
mencionados en el marco teórico, de cara a identificar los lenguajes usados en los
enunciados de las tareas sobre probabilidad y significados de la probabilidad pues-
tos en juego en los procedimientos empleados. Posteriormente, clasificaremos los
problemas atendiendo a la demanda cognitiva del tipo de tareas implicadas (Smith y
Stein, 1998).
De esta manera, seremos capaces de cuantificar el número de problemas de pro-
babilidad en las olimpiadas, así como el significado de la probabilidad y procedi-
mientos presentes en ellos. También comprobaremos si las tareas propuestas son de
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nivel alto de demanda cognitiva como corresponde a un concurso de este tipo, cuya
resolución puede convertirse en un indicador de alumnos de altas capacidades mate-
máticas o nos pueden servir como recurso para atender la diversidad en las aulas de
secundaria con este tipo de alumnado.
Metodología
En el estudio para la demanda cognitiva y análisis de los objetos matemáticos
ligados a la probabilidad se utiliza como método el análisis de contenido (Krippen-
dorff, 2013) realizando un estudio de tipo exploratorio-descriptivo. Para el análisis
de contenido se adapta la metodología propuesta por Cobo (2003) para el análisis
de objetos matemáticos primarios y de Jones y Tarr (2007) para el análisis de la de-
manda cognitiva en tareas de libros de texto. En primer lugar, se seleccionaron los
problemas de las olimpiadas con tareas matemáticas relacionadas con la probabi-
lidad en las fases de la semifinal y final Autonómica de Aragón y la final Nacional.
En este sentido, hemos seguido un criterio similar al de Jones y Tarr (2007), basado
en la identificación del término “probabilidad” y sus derivados en los enunciados
de tareas de libros de texto. Posteriormente, los problemas se resolvieron por los
autores del artículo, correctores de las pruebas de olimpiada de 2º ESO en Aragón,
quienes discutieron posibles formas de abordarlos. Dicho análisis es el que se tomó
como referencia para estudiar el significado de la probabilidad a través de los pro-
cedimientos asociados a cada problema, así como su demanda cognitiva, siendo
este tipo de análisis realizado con anterioridad en distintos artículos científicos,
entre otros, Jones y Tarr (2007) para la demanda cognitiva y Gómez (2014) para los
procedimientos. Una vez establecidas las unidades de análisis se establecieron las
categorías a considerar para codificar la información: indicadores referidos al len-
guaje (Ortiz, Albanese y Serrano, 2016), indicadores referidos a los procedimientos
puestos en juego para la resolución de las tareas (Gómez, 2014) e indicadores
referidos a la demanda cognitiva (Smith y Stein, 1998). En cuanto a los indicadores
referidos a la demanda cognitiva, las tareas que han contenido cuestiones múltiples
han sido analizadas como un todo, por lo que se ha codificado cada tarea a un solo
nivel. En caso de que hubiese varios niveles en una misma tarea, se escogió el nivel
más alto. Finalmente, se categorizaron los problemas seleccionados realizando un
análisis por triangulación por parte de los investigadores, tomando ejemplos espe-
cíficos de tareas y objetos según las categorías.
Muestra y unidades de análisis
La muestra está compuesta por los problemas de probabilidad llevados a cabo en
las pruebas individuales de la semifinal y final en la Olimpiada Matemática Aragone-
sa desde 1989 (I Olimpiada Aragonesa) al 2019 (XXVIII Olimpiada Aragonesa) y los
problemas planteados en la prueba individual de la Olimpiada Matemática Nacional
desde 1990 (I Olimpiada Nacional) al 2019 (XXX Olimpiada Nacional). En total se
han revisado los 164 problemas de todas las olimpiadas matemáticas nacionales y los
327 problemas de las olimpiadas matemáticas aragonesas realizadas hasta la fecha,
tanto en su fase semifinal como final.
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Categorías de análisis
En cuanto a las categorías de análisis del lenguaje, en primer lugar, distingui-
mos las expresiones verbales, considerando el trabajo de Shuard y Rothery (1984),
quienes distinguen las palabras del lenguaje cotidiano que se usan en los problemas
con sentido específico para referirse a procedimientos que tengan que ver con la
probabilidad. Dentro de las expresiones específicas, se ha diferenciado las propias
de la probabilidad y las de juegos de azar (Gómez, 2014). Además del verbal, se
han analizado otros registros lingüísticos siguiendo y adaptando el trabajo de Ortiz,
Albanese, y Serrano (2016):
Lenguaje simbólico-numérico empleado, encontrando expresiones numéricas
relacionadas con los números enteros, decimales y fracciones.
Lenguaje simbólico-conjuntista, que incluye en el análisis las expresiones de
igualdad, operaciones aritméticas, desigualdades, aproximación, letras como
símbolos y notación funcional.
Lenguaje tabular, cuyo principal uso es la presentación de datos y se relaciona
explícitamente con la probabilidad. La tabla de doble entrada implica un nivel
de razonamiento complejo puesto que establece relaciones entre tres objetos
matemáticos, relaciona las dos variables que se ubican en filas y columnas con
las frecuencias absolutas que se ubican en sus celdas, además de verse como
representación de un espacio muestral de un experimento compuesto. Esto es
un concepto preliminar de la probabilidad conjunta permitiendo introducir de
forma intuitiva su cálculo y facilitando la introducción de la probabilidad con-
dicionada. Los tipos de tablas que analizaremos son: listado de datos, tabla de
recuento, de frecuencia sin agrupar, con datos agrupados, de doble entrada y
frecuencias relativas.
Lenguaje gráfico-diagramático, donde se tienen en cuenta los diagramas de ba-
rra, de sectores y pictogramas puesto que sirven como base para la compren-
sión de la distribución de probabilidades y el significado frecuencial. Además,
también podemos encontrar el diagrama en árbol para representar el espacio
muestral asociado a un experimento aleatorio de varias etapas, pudiendo o no
establecer una conexión explícita con el cálculo de probabilidades compues-
tas o condicionadas.
Todo ello queda recogido en la Tabla 1 donde quedan definidos los siguientes
indicadores que nos ayudan al proceso de codificación para analizar los tipos de
lenguaje utilizados en los problemas de probabilidad.
En cuanto a los procedimientos, se analizan los procedimientos, algoritmos, ope-
raciones, técnicas de cálculo, etc. presentes en los problemas de las olimpiadas ya
sea de forma implícita o explícita para resolver las situaciones problema que se ex-
ponen en los mismos, categorizando, por tanto, las tareas de acuerdo aquellos que
movilizan. Siguiendo el trabajo de Gómez (2014) se han tenido en cuenta los pro-
cedimientos relacionados con los significados de la probabilidad: intuitivo, clásico,
frecuencial, subjetivo y axiomático (Batanero, 2005). Dichos procedimientos se han
registrado en la Tabla 2.
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Tabla 1. Indicadores utilizados en el proceso de codificación del lenguaje
Lenguaje Indicadores
Expresiones Verbales
LV1. Expresiones cotidianas: agrupar, asociar, calcular, clasificar,
colorear, pintar, completar, construir, dibujar, diseñar, elaborar,
estimar, hallar el número, interpretar, lanzar, …
LV2. Específicas de probabilidad: azar, casos (favorables, posibles),
conjunto, equiprobable, espacio muestral, experiencia (aleatoria,
irregular, regular), experimento, …
LV3. Específicas de juegos de azar: baraja, bola, bolsa, caja, cara,
carta, chincheta, cubo, cruz, dado, dardo, diana, …
Lenguaje simbólico-
numérico
LN1. Expresiones numéricas: enteros
LN2. Expresiones numéricas: decimales
LN3. Expresiones numéricas: fracciones
Lenguaje simbólico-
conjuntista
LSC1. Expresiones de igualdad
LSC2. Operaciones aritméticas
LSC3. Desigualdades
LSC4. Aproximación
LSC5. Letras como símbolos
LSC6. Notación funcional
Lenguaje tabular
LT1. Listado de datos
LT2. Tabla de recuento
LT3. Tabla de Frecuencia sin agrupar
LT4. Tabla con datos agrupados
LT5. Tabla de doble entrada
LT6. Frecuencias relativas
Lenguaje gráfico-
diagramático
LGD1. Diagramas de barra
LGD2. Diagrama de sectores
LGD3. Pictogramas
LGD4. Diagrama en árbol
LGD5. Diagramas de Venn
LGD6. Fotos e ilustraciones
Tabla 2. Indicadores utilizados en el proceso de codificación de los procedimientos
Procedimientos Indicadores
Relacionados con el
significado intuitivo
PRI1. Distinguir fenómenos aleatorios y deterministas.
PRI2. Reconocer la impredecibilidad de un resultado.
PRI3. Reconocer tipos de sucesos (posibles, imposibles, seguros).
PRI4. Valorar cualitativamente posibilidades.
PRI5. Comparar cualitativamente probabilidades.
Relacionados con el
significado clásico
PRC1. Analizar juegos de azar.
PRC2. Enumerar o contar casos favorables y posibles.
PRC3. Diferenciar casos favorables y no favorables.
PRC4. Distinguir sucesos elementales equiprobables.
PRC5. Comparar probabilidades con razonamiento proporcional.
PRC6. Aplicar la regla de Laplace en experimentos simples
PRC7. Decidir si un juego es equitativo o no.
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Procedimientos Indicadores
Relacionados con el
significado clásico
PRC8. Asignar probabilidad conjunta en un experimento
compuesto de dos o más etapas independientes.
PRC9. Asignar probabilidad conjunta en un experimento
compuesto de dos o más etapas dependientes.
Relacionados con el
significado frecuencial
PRF1. Enumerar o discriminar atributos en un colectivo.
PRF2. Calcular la frecuencia relativa (de atributos) a partir de
observaciones o datos.
PRF3. Representar una distribución de frecuencias en forma
tabular o gráfica.
PRF4. Leer e interpretar tablas de doble entrada (experimentos
compuestos).
PRF5. Estimar la probabilidad a partir de ensayos repetidos.
PRF6. Reconocer el carácter aproximado de la estimación del
valor de probabilidad.
PRF7. Análisis de experimentos en los que puede aplicarse el
significado frecuencial.
PRF8. Reflexionar sobre la fiabilidad.
Relacionados con el
significado subjetivo
PRS1. Analizar experimentos donde la probabilidad depende de
información personal.
De acuerdo con la demanda cognitiva, las tareas matemáticas vinculadas al estu-
dio de la probabilidad fueron clasificadas de acuerdo con la disposición y taxonomía
(Shuard y Rothery, 1984). Para ello se definió un conjunto de indicadores que fueron
utilizados en el proceso de codificación que han quedados recogidos en la Tabla 3.
Tabla 3. Indicadores utilizados en el proceso de codificación de la demanda
cognitiva
Tipo de tarea Indicadores
Memorización
I1: Foco en la reproducción memorística de aprendizajes previos
asociados a la probabilidad.
I2: Son tareas sobre probabilidad con un propósito claramente
establecido, sin ambigüedades.
I3: Uso de reproducción exacta de material visto previamente para el
estudio de la probabilidad en su nivel curricular correspondiente, y lo
que se reproduce se establece clara y directamente.
Procedimientos
sin conexiones
I1: Se usan procedimientos relacionados con la probabilidad, con una
intencionalidad específica, o bien son evidentes según el nivel curricular
y el planteamiento del problema.
I2: Existe poca ambigüedad sobre qué se hace y cómo se hace.
I3: No tienen conexión con conceptos o significados subyacentes de los
procedimientos vinculados a la probabilidad que se usan.
I4: Están enfocadas en producir respuestas correctas en lugar de
desarrollar una comprensión de nociones asociadas a la probabilidad.
I5: No requiere explicaciones o estas solo se enfocan en describir el
procedimiento utilizado.
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Tipo de tarea Indicadores
Procedimientos
con conexiones
I1: Se focalizan en el uso de procedimientos con el propósito de
desarrollar niveles profundos de comprensión de los conceptos e ideas
asociadas a la probabilidad.
I2: Sugieren, explícita o implícitamente, caminos a seguir que son
procedimientos amplios y generales que tienen conexiones cercanas
con el significado o con diferentes representaciones de un concepto
vinculadas a la probabilidad.
I3: Aunque se puede seguir un procedimiento general, no pueden
seguirse sin pensar (requiere de cierto grado de esfuerzo cognitivo).
Se necesitan ideas conceptuales que subyacen a los procedimientos
usados para completar la tarea satisfactoriamente desarrollando una
comprensión de los conceptos e ideas asociadas a la probabilidad.
Hacer
matemáticas
I1: Requiere de un pensamiento complejo y no algorítmico en torno a la
probabilidad.
I2: El problema no sugiere, de forma explícita, un camino predecible.
I3: Requiere que los estudiantes exploren y comprendan la naturaleza de
los conceptos, procesos y relaciones vinculadas a la probabilidad.
I4: Requiere que los estudiantes accedan a conocimientos y experiencias
relevantes en torno a la probabilidad y que hagan uso de ellas al resolver
el problema.
I5: Requiere que se analice la tarea y se examinen las restricciones de la
misma pudiendo darse alguna limitación.
I6. Requiere una alta demanda cognitiva que puede provocar una
cierta ansiedad inicial dada la naturaleza impredecible del proceso de
resolución requerido.
Es evidente, que la asignación de tareas a las categorías de la demanda cognitiva
ha sido discutible. En todo caso, en la caracterización y asignación de la categoría, se
ha tenido en cuenta las circunstancias (concursantes de olimpiadas), la edad (13-14)
y los conocimientos (partimos del currículo oficial de 1º y 2º ESO).
análIsIs de los resultados
Una vez seleccionadas las unidades de análisis se codificaron de acuerdo con
los indicadores descritos. Para ello se dicotomizaron asignando puntuaciones a cada
indicador según su presencia (1) o ausencia (0) en cada uno de los problemas sobre
probabilidad. Ello nos ha proporcionado poder obtener unos resultados objetivos que
manifestamos a continuación de nuestro estudio.
Representatividad de los problemas vinculados a la probabilidad
En la fase semifinal de la Olimpiada Autonómica, de 162 problemas, solo dos
problemas (1,2%) corresponden a tareas relacionadas con la probabilidad, mientras
que, en la final de la Olimpiada Autonómica de 165 problemas, se identifican un
total de cuatro (2,4%).
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Contextos Educ., 28 (2021), 29-50
Tabla 4. Distribución por Olimpiada de los problemas de probabilidad
Olimpiada Nº Problemas Nº Problemas Probabilidad
Autonómica (semif.) 162 2
Autonómica (final) 165 4
Nacional 164 8
De la Tabla 4 se desprende que, en total, en la Olimpiada Autonómica de 327
problemas analizados seis (1,8%) tienen que ver con la probabilidad. De la misma
manera, analizando los problemas de la fase nacional, de 164 problemas en ocho
(4,8%) se tiene que realizar alguna tarea relacionada con la probabilidad. Por tanto,
se analizaron 491 problemas, de los cuales 14 (2,8%) corresponden a tareas relacio-
nadas con la probabilidad.
Lenguaje y procedimientos en los problemas de probabilidad propuestos
Veamos en primer lugar el lenguaje referido a las expresiones verbales empleadas
en las tareas.
Tabla 5. Expresiones verbales y frecuencia en los problemas de las Olimpiadas
Categoría Aut. (S) Aut. (F) Nac Total
Expresiones cotidianas 7 8 32 47
Específicas de probabilidad 2 6 26 34
Específicas de juegos de azar 13 29 30 72
Observando la Tabla 5, es destacable el predominio de las expresiones verbales
específicas de juegos de azar, seguidas de las cotidianas y específicas de probabilidad.
En cuanto a las expresiones numéricas, aparecen los números enteros en los pro-
blemas de las olimpiadas (Autonómica y Nacional). Sin embargo, no aparecen expre-
siones numéricas con decimales y solo en la fase nacional aparecen las fracciones.
La importancia del tipo de expresión numérica en problemas de probabilidad es
un aspecto tratado por algunos autores. Gigerenzer (1994) o Díaz y de la Fuente
(2005) sugieren que la dificultad de los problemas de probabilidad y en particular,
los de probabilidad condicional, es mucho menor si los datos se dan en términos
de frecuencias absolutas (números enteros) que si se presentan como probabilida-
des (números decimales) o proporciones (fracciones) y, de hecho, también tiene una
clara influencia en la validez que un corrector asigna a la resolución de una tarea
de probabilidad (Gairín, Muñoz-Escolano y Oller-Marcén, 2013). En este sentido,
mostramos en la Figura 1 un problema que contiene expresiones verbales cotidianas
(“lanzar”, “obtener”, ...), específicas de probabilidad (“probabilidad”) y específicas
de juegos de azar (“moneda”, “cara”, ...) predominando las específicas de juegos de
azar. Además, emplea el lenguaje simbólico numérico de enteros en el enunciado y
fracciones en cuatro de las opciones que dan como solución.
LA PROBABILIDAD EN LOS PROBLEMAS DE OLIMPIADAS MATEMÁTICAS DE SECUNDARIA EN ESPAÑA
41 Contextos Educ., 28 (2021), 29-50
Figura 1. Problema con predominio lenguaje específico de juegos de azar y lenguaje
numérico con números enteros y fracciones
Un ejemplo del uso del diagrama de árbol se observa en el problema 5 en la XV
Olimpiada Nacional de 2004 (Figura 2). Dicho gráfico representa un diagrama de
árbol en dos etapas. El uso del diagrama de árbol se considera fundamental como re-
curso para la probabilidad y combinatoria (Roldán, Batanero y Beltrán-Pellicer, 2018).
Figura 2. Problema con diagrama de árbol
Las fotos e ilustraciones que aparecen en los problemas se usan para contextua-
lizar los enunciados u ofrecer información relevante para su resolución. Mostramos
dos ejemplos de fotos e ilustraciones de dados con finalidades distintas. Por un lado,
en la Figura 3 se muestra una tarea en la que la ilustración sirve para contextualizar.
En el enunciado del problema aparecen dos dados simulando el lanzamiento de
estos, lo que enmarca el experimento aleatorio: lanzamiento de dos dados cúbicos.
Otro ejemplo distinto, en contraste con el anterior, se aprecia en la Figura 4, una tarea
en cuyo enunciado se muestra información necesaria y relevante para su resolución
ya que en la ilustración aparecen los desarrollos de los tres dados cúbicos con los
puntos correspondientes a cada cara.
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Contextos Educ., 28 (2021), 29-50
Figura 3. Problema con ilustración contextualizando la situación
Figura 4. Problema con información relevante en la ilustración y demanda cognitiva
“hacer matemáticas” con indicadores 1, 2, 3, 4
En cuanto a los procedimientos, en la Tabla 6 se puede observar el número de
veces que aparecen en los problemas de las distintas olimpiadas. Varios de los proce-
dimientos vistos en la tabla pueden ser usados en un mismo problema.
Se observa en dicha tabla que el 96,7% de los procedimientos identificados en
las tareas se corresponden a procedimientos relacionados con el significado clásico,
destacando la regla de Laplace (23%) y enumerar casos favorables (23%). En efecto,
en todos los problemas, aparece en algún momento como procedimiento la aplica-
LA PROBABILIDAD EN LOS PROBLEMAS DE OLIMPIADAS MATEMÁTICAS DE SECUNDARIA EN ESPAÑA
43 Contextos Educ., 28 (2021), 29-50
ción de la regla de Laplace y enumerar casos favorables en el experimento. Los por-
centajes respecto a los procedimientos son similares tanto en la olimpiada nacional
como en la autonómica (fase semifinal y final), variando menos de cinco puntos.
Tabla 6. Procedimientos y frecuencia de veces que aparecen
Procedimientos Indicadores Aut. (S) Aut. (F) Nac. Total
Procedimientos
(significado clásico)
PRC1 1 3 4 8
PRC2 2 4 8 14
PRC3 1 3 7 11
PRC4
PRC5
PRC6 2 4 8 14
PRC7 1 1
PRC8 1 3 4 8
PRC9 1 1 1 3
Procedimientos
(significado
frecuencial)
PRF1
PRF2
PRF3
PRF4
PRF5
PRF6 1 1 2
PRF7
PRF8
Por otro lado, no aparecen como era de suponer, procedimientos con significados
intuitivos y subjetivos. Y, pese a estar en el currículo básico como contenido en el blo-
que 5 (estadística y probabilidad) de 1º y 2º ESO, solo el 3,3% de los procedimientos
puestos en juego para la resolución de los problemas asociados en nuestro estudio a
la probabilidad se relacionan con el significado frecuencial.
En el siguiente ejemplo (Figura 5) se muestra el problema correspondiente a la
fase final de la XXIII Olimpiada Aragonesa con procedimientos relacionados con el
significado clásico (PRC1, PRC2, PRC3, PRC6, PRC7, PRC8 y PRF6). Para resolverlo
debemos averiguar las piruletas que se debería llevar cada concursante cuando gana
el juego, comparando las probabilidades.
Figura 5. Problema con procedimientos: PRC1, PRC2, PRC3, PRC6, PRC7, PRC8,
PRF6
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En la Figura 6, encontramos un ejemplo en el que se debe tener en cuenta un
procedimiento relacionado con el significado frecuencial es el correspondiente al
problema 5 de la XII Olimpiada Nacional (2001). Tanto en el apartado 5.1 como en
el 5.2 debemos justificar el resultado basándonos en la ley de los grandes números
como aproximación a la probabilidad teórica. Ello nos ayudará a dar una estimación
del posible resultado.
Figura 6. Problema con procedimientos: PRC1, PRC2, PRC3, PRC6, PRC8, PRF6
Demanda cognitiva de los problemas de probabilidad propuestos
En las Tablas 7 y 8 se observa el número de problemas de probabilidad según el
nivel de demanda cognitiva y el número de indicadores asociados al nivel cognitivo
en los problemas de probabilidad en las diferentes olimpiadas (Autonómica Semifi-
nal, Autonómica Final, Nacional).
Tabla 7. Número de problemas según el nivel de demanda cognitiva
Nivel Cognitivo Aut. (S) Aut. (F) Nac.
Memorización 0 0 0
Procedimientos sin conexión 0 0 0
Procedimientos con conexión 2 4 4
Hacer matemáticas 0 0 4
Tabla 8. Porcentaje de presencia de los indicadores que caracterizan a las tareas
matemáticas sobre probabilidad para cada Olimpiada
Nivel Cognitivo Indicadores Aut. (S) Aut.(F) Nac. Total
Procedimientos
con conexión
I1 33,3 33,3 14,3 21,7
I2 33,3 33,3 14,3 21,7
LA PROBABILIDAD EN LOS PROBLEMAS DE OLIMPIADAS MATEMÁTICAS DE SECUNDARIA EN ESPAÑA
45 Contextos Educ., 28 (2021), 29-50
Nivel Cognitivo Indicadores Aut. (S) Aut.(F) Nac. Total
Procedimientos
con conexión
I3 33,3 33,3 14,3 21,7
TOTAL 100 % 100 % 42,9% 65,2%
Hacer matemáticas
I1 14,3 8,9
I2 14,3 8,9
I3 14,3 8,9
I4 14,3 8,9
I5 0 0
TOTAL 57,1% 34,8%
Desgranando la información obtenida en la última columna de la Tabla 8 se ob-
serva, en promedio, un predominio total de tareas matemáticas que satisfacen los
indicadores de un alto nivel de exigencia cognitiva (100%) en los problemas propues-
tos en las olimpiadas, destacando aquellas tareas vinculadas al uso de procedimien-
tos con conexión (64,4%). También cabe destacar la presencia de tareas vinculadas al
“hacer matemáticas” en la nacional (57,1%) frente a la autonómica (0%).
En lo que respecta a las tareas que implican un bajo nivel de demanda cognitiva,
se observa que las tareas relacionadas con procedimientos sin conexión y memoriza-
ción, como cabía esperar, no aparecen en ninguna de las pruebas analizadas.
Desde el punto de vista de los indicadores que se han definido para caracterizar
cada uno de los tipos de tareas (Tabla 3) a partir de los resultados recogidos en la
Tabla 8, es posible evidenciar cuáles son los indicadores que predominan en relación
con el total de las tareas sobre probabilidad analizadas para cada olimpiada. Es im-
portante tener presente que una misma tarea matemática puede atender a uno o más
de los indicadores definidos.
En el caso de la Olimpiada Autonómica, tanto en la fase semifinal como en la final,
todos los problemas requieren procedimientos con conexión, donde los indicadores
que presentan mayor presencia son los indicadores 1, 2 y el 3 a partes iguales (Tabla 8).
Un ejemplo de los indicadores 1, 2 y 3 que requieren procedimientos con cone-
xión lo vemos en el problema que exponemos en la Figura 7, correspondiente a la
fase semifinal de la II Olimpiada Matemática de Aragón (1990).
Figura 7. Problema demanda cognitiva: procedimiento con conexión. Indicadores 1,
2 y 3
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Contextos Educ., 28 (2021), 29-50
En dicho problema se determina, analizando el enunciado que se trata de un
experimento aleatorio que consiste en lanzar dos dados y registrar los resultados
considerando lo que sucede. Se busca desarrollar un nivel más profundo en la com-
prensión de la regla de Laplace, donde el alumno focaliza su atención en encontrar
el espacio muestral cuando lanzamos los dos dados variando los colores. Además, se
puede resolver mediante la realización de un diagrama de árbol o la construcción de
una tabla de doble entrada, procedimientos sistemáticos que permiten explorar todos
los casos posibles. Por último, para llevar a cabo la resolución de la tarea se consi-
dera que no puede realizarse solo con la intuición. En este caso, es necesario cierto
esfuerzo cognitivo para comprender y articular el papel que juega la probabilidad del
suceso intersección y la probabilidad condicionada.
En la Figura 8 mostramos como ejemplo un problema propuesto en la final de la
XVII Olimpiada Matemática Aragonesa (2007), donde identificamos los indicadores
de procedimientos con conexión 1, 2 y 3. Para resolver este problema, el resolutor no
puede responder a la pregunta del número de personas que van a parar a una entrada
con número par de forma intuitiva, debiendo usar un razonamiento probabilístico. Se
busca de nuevo, un nivel más profundo del uso de la regla de Laplace en un contexto
distinto que en el problema anterior. Para completar el problema de manera satisfac-
toria el resolutor debe poner en juego ideas y conceptos asociados a la probabilidad,
como la equiprobabilidad, al elegir al azar cada persona que pasa por los puntos A,
B y C para determinar un camino. El dibujo de la situación que acompaña al enun-
ciado sugiere de forma bastante explícita un diagrama de árbol para su solución, re-
presentación vinculada al estudio de la probabilidad condicionada, lo que permitiría
establecer conexiones con este objeto. No obstante, estas conexiones tendrían lugar
en cursos superiores, ya que en España la probabilidad condicionada se trabaja en
4º de ESO. Para resolver el problema basta con interpretar el dibujo e ir aplicando la
regla de Laplace en cada una de las divisiones de la cola.
Figura 8. Problema demanda cognitiva: procedimiento con conexión. Indicadores 1,
2 y 3
En la Olimpiada Nacional predominan los problemas con procedimientos con
conexión (42,87%) y “hacer matemáticas” (57,13%), donde los indicadores que
presentan mayor presencia son los indicadores de procedimientos con conexión
LA PROBABILIDAD EN LOS PROBLEMAS DE OLIMPIADAS MATEMÁTICAS DE SECUNDARIA EN ESPAÑA
47 Contextos Educ., 28 (2021), 29-50
1(14,29%), 2 (14,29%) y el 3 (14,29%) y los indicadores de “hacer matemáticas” 1
(14,29%), 2 (14,29%), 3 (14,29%), 4 (14,29%).
Un ejemplo de problema en la Olimpiada Nacional cuyos indicadores pertene-
cen al “hacer matemáticas” se encuentra en la Figura 4 anterior. Dicho problema se
llevó a cabo en la XIII Olimpiada Nacional (2002). Para resolver el último apartado
se requiere un pensamiento complejo de la probabilidad al lanzar los tres dados
a la vez. El registro de datos es bastante más complejo para determinar el espacio
muestral que cuando se lanzan dos dados. Además, requiere que los alumnos estu-
dien los diferentes casos propuestos en la parte a), b) y c) del problema explorando y
comprendiendo el concepto de experimento aleatorio, registro del espacio muestral
(lanzamiento de dos dados) y cálculo de la probabilidad utilizando para ello la regla
de Laplace para hallar quién, de los tres, tiene más probabilidades de ganar. Para
averiguar el apartado d) requiere acceder a conocimientos de combinatoria para ave-
riguar los casos favorables a cada uno de los tres jugadores al lanzar los respectivos
dados. Además, requiere que los concursantes analicen y examinen activamente el
enunciado comprobando que no se cumple la misma lógica argumentando el resul-
tado con conceptos probabilísticos.
conclusIones
De los 491 problemas olímpicos revisados, solo en 14 de ellos se observa presencia
de contenidos propios de probabilidad (lenguajes y procedimientos) lo que nos permi-
te concluir que existe poca presencia en cuanto a contenidos de probabilidad en las
Olimpiadas Matemáticas Nacionales y Autonómicas. Desde 2013 se vienen celebran-
do Olimpiadas de Estadística (conocidas desde 2017 como Competición Estadística
Europea) y, dado que forman parte de los contenidos curriculares, pensamos que en
las Olimpiadas de Matemáticas deberían tener una mayor presencia la probabilidad y
la estadística. Esto es algo que podría estar relacionado con los sistemas de creencias
del profesorado que imparte matemáticas en las diferentes etapas educativas (Estrada,
Batanero y Fortuny, 2004), lo cual abre una posible línea de investigación.
En cuanto al lenguaje, es sorprendente que en ningún momento aparezca nin-
guno de los múltiples registros propios del lenguaje tabular en los enunciados de
los problemas. No obstante, dicho lenguaje podría aparecer de forma implícita en
los procedimientos llevados a cabo en la resolución de problemas propuestos para
facilitar el recuento de casos favorables y el espacio muestral. La ausencia de tal re-
gistro se relaciona directamente con la ausencia de objetos asociados al significado
frecuencial (Batanero, 2005). Toh (2013) señala que los problemas de olimpiadas son
una fuente de tareas adecuadas para estudiantes de alta capacidad matemática. El
hecho de que en la mayoría de las tareas analizadas sobre probabilidad solo aparezca
representado el significado clásico puede conducir a que dichos estudiantes desarro-
llen un significado parcial de la probabilidad llevando a errores en razonamientos
probabilísticos importantes.
Constatar, en este análisis a priori que hemos realizado, que las tareas que plantean
los problemas en las olimpiadas son de demanda cognitiva alta correspondiendo en su
mayoría a lenguajes específicos de juegos de azar y probabilidad con procedimientos
JOSÉ MIGUEL RUBIO-CHUECA - JOSÉ M. MUÑOZ-ESCOLANO - PABLO BELTRÁN-PELLICER
48
Contextos Educ., 28 (2021), 29-50
relacionados con enumerar casos favorables y aplicación de la regla de Laplace. Úni-
camente encontramos tareas de nivel superior “hacer matemáticas” en la Olimpiada
Nacional, lo cual sugiere que la selección de los problemas considera que los parti-
cipantes en esa fase tendrán un perfil de alta capacidad matemática. Si bien este tipo
de tareas de probabilidad con una alta demanda cognitiva ha estado tradicionalmente
ausente en los libros de texto, recientemente se detecta una mayor presencia en las
propuestas editoriales (Jones y Tarr, 2007) favoreciendo con ello la atención a la diversi-
dad. El hecho de analizar y contar con este tipo de tareas propuestas en las olimpiadas
aumenta este tipo de actividades susceptible de ser trabajadas en las aulas.
Finalmente, como limitación al estudio, hay que señalar que únicamente se han
analizado los enunciados de las tareas, por lo que sería interesante analizar también
cómo resuelven los problemas los participantes en las olimpiadas. Por un lado, como
señalan Benedicto, Jaime y Gutiérrez (2015), los niveles de demanda cognitiva a prio-
ri pueden no corresponderse con la actividad que realiza el resolutor y, por otro lado,
nos permitiría caracterizar otros objetos matemáticos primarios, como las argumen-
taciones, que son subyacentes a los procedimientos empleados por los estudiantes en
la resolución de las tareas.
agradecIMIentos
Este trabajo se ha desarrollado dentro del proyecto PID2019-105601GB-I00 y
el grupo S60_20R - Investigación en Educación Matemática (Gobierno de Aragón y
Fondo Social Europeo).
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En este trabajo analizamos el lenguaje de la estadística y probabilidad en tres libros de texto españoles de Educación Secundaria publicados el pasado año. Los resultados muestran la gran riqueza y diversidad de expresiones verbales y predominio de lenguaje coloquial frente al formal; el lenguaje se asocia a diversos significados de la probabilidad (intuitivo, clásico, frecuencial y formal). El lenguaje numérico se desarrolla de acuerdo a la introducción de diferentes sistemas numéricos en la enseñanza y se encuentra también amplio uso de representaciones tabulares y gráficas. Algunas diferencias en los libros indican el importante papel del profesor al seleccionar y usar estos libros en la enseñanza. Palabras clave: probabilidad, libros de texto, educación secundaria. Abstract In this document we analyse the language of probability in three Spanish secondary school textbooks published last years. The results show the great richness and variety of verbal expressions and a predominance of colloquial language against the formal. The language is associated to different meanings of probability (intuitive, classic, frequency and formal). The numerical language is developed according to the introduction of different number systems and there is also an extensive use of tabular and graphical representations. Some differences in the books indicate the important role of the teacher to select and use these books in teaching.
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Épsilon, 2018, nº 100, 7-63, ISSN: 2340-714X Los diagramas de árbol permiten representar la estructura de muchos problemas combinatorios y probabilísticos, facilitando su resolución. No obstante, la investigación sobre el tema muestra la existencia de dificultades en la construcción e interpretación de diagramas de árbol por parte de los estudiantes, posiblemente debido a que en la enseñanza no reciben la atención necesaria. En este artículo analizamos las propiedades del diagrama de árbol y las dificultades experimentadas en el trabajo con los mismos descritas en la investigación previa. Finalmente mostramos ejemplos de las oportunidades de aprendizaje que ofrece en la combinatoria y probabilidad, incluyendo la argumentación de algunos teoremas. Como conclusión, sugerimos la necesidad de su uso, desde edades tempranas, para conformar intuiciones correctas que luego se aplicarán durante todo el periodo de formación en probabilidad y combinatoria --- Tree diagrams allow representing the structure of many combinatorial and probabilistic problems, facilitating their resolution. However, research on this topic shows the existence of difficulties in the construction and interpretation of tree diagrams by students, possibly because they do not receive the necessary attention in teaching. In this work we analyze the properties of tree diagrams and the difficulties when working with them described in previous research. Finally, we show examples of learning opportunities offered in probability and combinatorics, including the understanding of some probability theorems. As a conclusion we suggest the need of using them from an early age in order to form correct intuitions that will then be applied throughout training in probability and combinatorics.
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Resumen En la actualidad va creciendo el consenso sobre la necesidad de atender de forma especializada y di-ferenciada las necesidades educativas especiales de los estudiantes con alta capacidad matemática. Paralelamente, se percibe un incremento en la cantidad de investigaciones centradas en este colectivo. En este texto, presentamos una panorámica de los resultados de investigaciones recientes, españolas e internacionales, sobre estudiantes con alta capacidad matemática. Después ofrecemos una síntesis de las investigaciones que estamos desarrollando en la Universitat de València basadas en diversos contenidos matemáticos pero con los objetivos comunes de entender mejor los procesos cognitivos de los estudiantes con alta capacidad matemática de Primaria y ESO y de proporcionar a los profesores materiales que les ayuden a atender adecuadamente a estos estudiantes en sus clases ordinarias. Palabras clave: alta capacidad matemática, educación primaria, educación secundaria obligatoria (ESO), procesos cognitivos, atención a la diversidad. Abstract There is growing consensus on the need to consider in a specialized and differentiated way the special educational needs of mathematically gifted students. At the same time, there is an increase in the number of research focused on those students. In this text, we present an overview of the results of recent research, both Spanish and international, on mathematically gifted students. Next, we offer a synthesis of the research we are developing at the University of Valencia based on various mathematical contents but with the common objectives of better understanding the cognitive processes of students with high mathematical ability in Primary and Lower Secondary schools and to provide teachers with materials that may help them to adequately teach to these students in their regular classes. INTRODUCCIÓN Son numerosos los focos de interés de la investigación en didáctica de las matemáticas (o educación ma-temática) actual. En ocasiones, estos focos de interés se simplifican y esquematizan en un triángulo edu-cativo en cuyos vértices están las matemáticas, los profesores y los estudiantes. Este triángulo tal vez fuera válido en la primera época, cuando se prestaba atención principalmente a las ideas matemáticas, a cómo llevarlas a los currículos escolares y a cómo enseñarlas para lograr que los estudiantes las aprendieran, pero dejó de ser representativo unas décadas después, cuando se produjo un movimiento de los focos de atención hacia la investigación de aspectos cognitivos de los estudiantes, que explicaran cómo se procesan, entienden y asimilan nuevas ideas matemáticas (Bass, 2008), y de aspectos profesionales de los profesores, que ayudaran a entender su problemática y mejorar su formación y su práctica. En la actualidad, sin olvidar el análisis de los contenidos matemáticos, los componentes cognitivos de los estudiantes ni los aspectos profesionales de los profesores, se ha ampliado enormemente el abanico de puntos de vista desde los que se analizan e investigan los procesos de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas. Jaime, A. y Gutiérrez, Á. (2017). Investigación sobre estudiantes con alta capacidad matemática. En J.M. Muñoz-Escolano, A. Arnal-Bailera, P. Beltrán-Pellicer, M.L. Callejo y J. Carrillo (Eds.), Investigación en Educación Matemática XXI (pp. 71-89). Zaragoza: SEIEM.
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Does probability education need to be seen as discrete and separate from statistics education? This has been an ongoing debate for many years, particularly since statistics has sometimes been seen as dominant in school education where data handling has been a key theme as part of the movement of mathematics for all. Conversely probability has been seen as harder and less relevant within this approach. However, probability is an important discipline in its own right, and actually contains the key underpinning concepts to understand and use data sensibly. The argument for seeing probability as discrete has been promoted by various schools of thought in mathematical education and also within the International Statistical Institute (ISI) and its educational wing, the International Association for Statistical Education (IASE). This finally led to two discrete topic groups at the International Congress on Mathematical Education (ICME 11) for probability and statistics respectively. […] As readers will know these papers are published electronically in IEJME. Regular readers will also be aware that relatively few papers in electronic journals make use of the range of technology available in this medium of publication. This is partly because of underlying technical constraints which are discussed below. Nevertheless, we encouraged all authors to make some use of the interactive possibilities with the result that all papers in this issue of IEJME include some interactive or electronic components. Some helpful rules for navigating through the electronic documents might be seen from this link. For the convenience of readers of other languages an overview on the contributions is offered by abstracts in Spanish and German.
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En este trabajo se exponen los resultados parciales de una investigación sobre el conocimiento profesional de los profesores evaluadores de olimpiadas matemáticas puesto en acción al analizar errores relativos al álgebra. A través de dos pruebas de interpretación de errores, y a partir de un análisis inspirado en la teoría emergente de los datos, obtuvimos dimensiones para la caracterización de saberes en la comprensión de los errores. En los resultados describimos los saberes de un profesor estrechamente relacionados con la práctica y con el conocimiento sobre el aprendizaje de los alumnos.Teacher’s knowledge in the interpretation of student’s errors on algebraThis paper presents the partial results of a research on the professional knowledge of mathematics olympiad evaluators teachers put into action when analyzing errors relating to algebra. By means of two tests on errors interpretation and by using analysis inspired by the grounded theory, we obtained dimensions for the characterization of knowledge in understanding about errors. In the results section, we describe a teacher's knowledge related to practice and knowledge about students’ learning.Handle: http://hdl.handle.net/10481/29577Nº de citas en WOS (2017): 1 (Citas de 2º orden, 0)Nº de citas en SCOPUS (2017): 1 (Citas de 2º orden, 0)