Content uploaded by S. A. Plaksa
Author content
All content in this area was uploaded by S. A. Plaksa on Oct 11, 2021
Content may be subject to copyright.
DOI: 10.37863/umzh.v73i8.6658
УДК 517.54
М. В. Ткачук, С. А. Плакса (Iн-т математики НАН України, Київ)
АНАЛОГ ТЕОРЕМИ МЕНЬШОВА – ТРОХИМЧУКА ДЛЯ МОНОГЕННИХ
ФУНКЦIЙ У ТРИВИМIРНIЙ КОМУТАТИВНIЙ АЛГЕБРI
The aim of this work is to weaken the conditions of monogeneity for functions that take values in a given three-dimensional
commutative algebra over the field of complex numbers. The monogeneity of the function is understood as a combination
of its continuity and the existence of the Gˆ
ateaux derivative.
Послаблено умови моногенностi функцiй зi значеннями в певнiй тривимiрнiй комутативнiй алгебрi над полем
комплексних чисел. Пiд моногеннiстю мається на увазi неперервнiсть та iснування похiдної Гато.
1. Вступ. В алгебрi комплексних чисел Cфункцiя F:C−→ Cназивається моногенною в точцi
ξ0∈C,якщо iснує скiнченна границя
lim
ξ→ξ0
F(ξ)−F(ξ0)
ξ−ξ0
.(1)
При цьому границя (1) називається похiдною функцiї Fв точцi ξ0.Функцiя, яка є моногенною
в усiх точках областi D⊂C,називається голоморфною в цiй областi (див. [1]).
Встановленню послаблених умов голоморфностi функцiй комплексної змiнної присвячено
роботи [2 – 18].
Наведемо одну з умов Меньшова, яку, зберiгаючи позначення автора, називають умовою
K,а саме, кажуть, що функцiя F(ξ)задовольняє умову K в точцi ξ0,якщо iснує границя
(1), де ξналежить об’єднанню двох неколiнеарних променiв з початком у точцi ξ0.
Д. Є. Меньшов [4 –6] показав достатнiсть виконання умови K в кожнiй точцi областi
D(за винятком не бiльш нiж зчисленної їх кiлькостi) для конформностi вiдображення Fу
випадку, коли F:D→C— неперервна однолиста функцiя. Ю. Ю. Трохимчук [9] зняв умову
однолистостi функцiї F, довiвши при цьому таку теорему.
Теорема Меньшова – Трохимчука. Якщо функцiя F:D→Cнеперервна в областi Di в
кожнiй її точцi, за винятком не бiльш нiж зчисленної їх кiлькостi, виконується умова K ,то
функцiя Fголоморфна в областi D.
А. В. Бондар [19, 20] довiв аналог цiєї теореми для функцiй, заданих у багатовимiрному
комплексному просторi Cn.При цьому ним доведено, що для голоморфностi функцiї достатньо
неперервностi цiєї функцiї та iснування i рiвностi похiдної Фреше вздовж 2nспецiально виб-
раних напрямкiв. А. В. Бондар [20] i В. I. Сiрик [21] довели також для функцiй, заданих в Cn,
аналоги iншої теореми Меньшова –Трохимчука, в якiй використовується певна умова збережен-
ня кутiв. О. С. Грецький [22] узагальнив згаданi результати А. В. Бондаря на вiдображення
банахових просторiв.
Метою даної роботи є послаблення умов моногенностi для функцiй, що набувають зна-
чень в однiй iз тривимiрних комутативних алгебр над полем комплексних чисел. При цьому
моногеннiсть функцiї розумiється як поєднання її неперервностi з iснуванням похiдної Гато.
c
М. В. ТКАЧУК, С. А. ПЛАКСА, 2021
1120 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 8
АНАЛОГ ТЕОРЕМИ МЕНЬШОВА–ТРОХИМЧУКА ДЛЯ МОНОГЕННИХ ФУНКЦIЙ .. . 1121
2. Моногеннi функцiї в тривимiрнiй комутативнiй гармонiчнiй алгебрi з двовимiрним
радикалом. Розглянемо тривимiрну комутативну асоцiативну банахову алгебру A3з одини-
цею над полем C,базисом якої є трiйка 1, ρ, ρ2,при цьому виконується рiвнiсть ρ3= 0.
Визначимо евклiдову норму елемента алгебри рiвнiстю
a+bρ +cρ2
:= |a|2+|b|2+|c|2, a, b, c ∈C.
Алгебра A3має єдиний максимальний iдеал I:= {λ1ρ+λ2ρ2:λ1, λ2∈C},який є також її
радикалом.
Оскiльки ядром лiнiйного вiдображення f:A3→C,що визначається рiвнiстю
fa+bρ +cρ2=a, (2)
є максимальний iдеал I,то fє неперервним мультиплiкативним функцiоналом (див. [23,
с. 135]).
Зафiксуємо спочатку дiйсний тривимiрний пiдпростiр
E3:= {ζ=xe1+ye2+ze3:x, y, z ∈R} ⊂ A3,
де e1, e2, e3— лiнiйно незалежнi вектори над полем дiйсних чисел R,проте, взагалi кажучи, не
утворюють базис алгебри A3.На вибiр пiдпростору E3накладемо лише одну вимогу: образом
E3при вiдображеннi fє вся комплексна площина (див. [24, 25]).
Важливими з точки зору застосувань прикладами таких пiдпросторiв є пiдпростори, побудо-
ванi на гармонiчних базисах {e1, e2, e3}алгебри A3,що задовольняють рiвнiсть e2
1+e2
2+e2
3= 0
(див. [26, 27]). Iснування гармонiчних базисiв у комутативнiй алгебрi є iстотною передумовою
побудови розв’язкiв тривимiрного рiвняння Лапласа у виглядi компонент розкладу диференцi-
йовних функцiй за векторами базису (див. [26, 28, 29]).
Вiдомо, що iснують рiзнi типи диференцiйовностi вiдображень в лiнiйних нормованих
просторах. Насамперед, використовуються сильна диференцiйовнiсть за Фреше i слабка ди-
ференцiйовнiсть за Гато (див., наприклад, [23]), при цьому вiдповiднi похiднi Фреше i Гато
визначаються як лiнiйнi оператори. Для функцiї, заданої в областi скiнченновимiрної комута-
тивної асоцiативної алгебри, Г. Шефферс [30] розглядав похiдну, яка розумiється як функцiя,
визначена в тiй самiй областi. Узагальнюючи такий пiдхiд на випадок довiльної комутатив-
ної банахової алгебри, Е. Р. Лорх [31] увiв сильну похiдну функцiї, яка також розумiється як
функцiя, визначена в тiй же областi, що i сама функцiя.
Функцiя Φ:Ω→A3називається диференцiйовною за Лорхом в областi Ω⊂E3,якщо для
кожної точки ζ∈Ωiснує елемент алгебри Φ
L(ζ)∈A3такий, що для кожного ε > 0iснує таке
δ > 0,що для всiх h∈E3,для яких h< δ, виконується нерiвнiсть
Φ(ζ+h)−Φ(ζ)−hΦ
L(ζ)
≤ hε. (3)
Похiдна Лорха Φ
L(ζ)є функцiєю змiнної ζ, тобто Φ
L:Ω→A3.При цьому вiдображення
Bζ:E3→A3,задане рiвнiстю Bζh=hΦ
L(ζ),є обмеженим лiнiйним оператором.
Отже, функцiя Φ,диференцiйовна за Лорхом в областi Ω,має похiдну Фреше Bζв кожнiй
точцi ζ∈Ω.Обернене твердження загалом не є правильним (див. приклад у монографiї
[23, с. 116]).
Використовуючи диференцiал Гато, I. П. Мельниченко [29] запропонував розглядати похiд-
ну Гато також як функцiю, визначену в тiй же областi, що i сама функцiя.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 8
1122 М. В. ТКАЧУК, С. А. ПЛАКСА
Якщо для функцiї Φ:Ω−→ A3,заданої в областi Ω⊂E3,у кожнiй точцi ζ∈Ωiснує
елемент алгебри Φ
G(ζ)∈A3такий, що
lim
δ→0+0 (Φ(ζ+δh)−Φ(ζ)) δ−1=hΦ
G(ζ)∀h∈E3,(4)
то функцiю Φ
G:Ω−→ A3будемо називати похiдною Гато функцiї Φ.
Очевидно, що з iснування сильної похiдної Лорха Φ
L(ζ)випливає iснування слабкої похiд-
ної Гато Φ
G(ζ)i рiвнiсть Φ
L(ζ) = Φ
G(ζ),проте з iснування похiдної Фреше Bζне випливає
iснування похiдної Φ
G(ζ),що демонструє згаданий вище приклад з монографiї [23, с. 116].
Розглянемо тепер поняття моногенної функцiї.
Функцiю Φ:Ω−→ A3називаємо моногенною в областi Ω⊂E3,якщо Φє неперервною i
має похiдну Гато в кожнiй точцi областi Ω(див. [27, 32, 33]).
Хоча з iснування похiдної Гато Φ
G(ζ)не випливає iснування похiдної Лорха Φ
L(ζ),проте
моногеннi функцiї Φ:Ω−→ A3в областi Ω⊂E3є диференцiйовними за Лорхом у цiй
областi. Це випливає iз зображення моногенних функцiй Φ(ζ), ζ ∈Ω,через голоморфнi функцiї
комплексної змiнної f(ζ),встановленого в роботi [27].
У роботi [34] послабено одну з умов моногенностi, а саме, показано, що за умови iснування
похiдної Гато функцiї Φ:Ω−→ A3в усiх точках областi Ω⊂E3неперервнiсть функцiї Φ
можна замiнити її локальною обмеженiстю в областi Ω.
3. Аналог теореми Меньшова – Трохимчука для моногенних функцiй в областях прос-
тору E3.Введемо деякi позначення. Перетином радикала алгебри A3з лiнiйним простором E3
є множина необоротних елементiв, що належать E3.Цiєю множиною є деяка пряма L:= {c l :
c∈R},де через l∈E3позначено напрямний вектор прямої L. Прообразом довiльної точки
ξ∈CвE3при вiдображеннi fє пряма Lζ:= {ζ+c l :c∈R},де ζ— деякий елемент iз E3
такий, що ξ=f(ζ).Очевидно, що пряма Lζпаралельна прямiй L.
Зазначимо, що тут i далi до об’єктiв з E3застосовуються геометричнi поняття (пара-
лельнiсть, опуклiсть в напрямку прямої тощо), якi, строго кажучи, мають сенс по вiдношен-
ню до конгруентних прообразiв цих об’єктiв у R3при взаємно однозначнiй вiдповiдностi
ζ=xe1+ye2+ze3мiж елементами ζ∈E3i точками (x, y, z)∈R3.
Нехай область Ω⊂E3є опуклою в напрямку прямої L(область називається опуклою в
напрямку прямої, якщо вона мiстить кожен вiдрiзок, який з’єднує двi точки областi i паралель-
ний цiй прямiй). При цьому перетини областi Ωз усiма прямими Lζ,де ζ∈Ω,є зв’язними
внаслiдок опуклостi областi Ωв напрямку прямої L.
Розглянемо такий гiперкомплексний аналог умови Меньшова K в алгебрi A3для функцiй
Φ:Ω→A3,визначених в областi Ω⊂E3.
Означення 1. Будемо говорити, що функцiя Φ:Ω→A3задовольняє умову K
A3,E3в точцi
ζ∈Ω,якщо iснує елемент Φ∗(ζ)∈A3такий, що рiвнiсть
lim
δ→0+0 (Φ(ζ+δh)−Φ(ζ)) δ−1=hΦ∗(ζ)(5)
виконується для трьох векторiв h, а саме, векторiв h1, h2ih3=lабо h3=−l, що утворю-
ють базис у просторi E3.
Зауважимо, що у випадку, коли функцiя Φ:Ω→A3задовольняє умову K
A3,E3в рiзних
точках областi Ω⊂E3,набiр векторiв h1, h2, h3може бути рiзним у рiзних точках цiєї областi.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 8
АНАЛОГ ТЕОРЕМИ МЕНЬШОВА–ТРОХИМЧУКА ДЛЯ МОНОГЕННИХ ФУНКЦIЙ .. . 1123
Лема 1. Нехай область Ω⊂E3є опуклою в напрямку прямої Li неперервна в Ωфункцiя
Φ:Ω→A3має вигляд Φ(ζ) = ρ2Φ2(ζ),де Φ2(ζ)∈C,i задовольняє умову K
A3,E3в усiх
точках ζ∈Ω,крiм не бiльш нiж зчисленної множини точок. Тодi Φ2(ζ) = F2(f(ζ)),де
F2:D→C— голоморфна функцiя в областi D, яка є образом областi Ωпри вiдображеннi f.
Доведення. Нехай ζ∈Ω— довiльна точка, в якiй функцiя Φзадовольняє умову K A3,E3.
Запишемо рiвнiсть (5) для функцiї Φ(ζ) = ρ2Φ2(ζ):
lim
δ→0+0 ρ2(Φ2(ζ+δh)−Φ2(ζ)) δ−1=hΦ∗(ζ)(6)
i зазначимо, що вона виконується при h∈ {h1, h2, h3}.
Пiдставимо h=h1у рiвнiсть (6) i з урахуванням того, що h1є оборотним елементом
алгебри A3,отримаємо
Φ∗(ζ) = ρ2h−1
1lim
δ→0+0 (Φ2(ζ+δh1)−Φ2(ζ)) δ−1=: ρ2Ψ(ζ).(7)
Пiсля пiдстановки виразу (7) для Φ∗у рiвнiсть (6) вона набере вигляду
lim
δ→0+0 ρ2(Φ2(ζ+δh)−Φ2(ζ)) δ−1=hρ2Ψ(ζ).(8)
Тепер пiсля пiдстановки у (8) значення h=h3отримаємо нуль у правiй частинi рiвностi (8),
оскiльки h3∈ I.Звiдси випливає, що звуження функцiї Φ2на перетин областi Ωз прямою Lζв
усiх точках, крiм не бiльш нiж зчисленної множини точок цього перетину, має рiвну нулю одну з
одностороннiх (взагалi кажучи, рiзних у рiзних точках) похiдних уздовж прямої Lζ.При цьому
перетин областi Ωз прямою Lζє зв’язним внаслiдок опуклостi областi Ωв напрямку прямої
L. Тодi за теоремою 9 з монографiї [10, с. 103] функцiя Φ2є сталою на перетинi областi Ωз
прямою Lζ.Звiдси випливає, що функцiю Φ2можна записати у виглядi Φ2(ζ) = F2(f(ζ)),де
F2:D→C— деяка неперервна в областi Dфункцiя.
Доведемо, що функцiя F2голоморфна в областi D.
Спочатку зауважимо, що наслiдком означення (2) функцiонала fє рiвнiсть
ρ2hΨ(ζ) = ρ2f(h)f(Ψ(ζ)).
Тому, позначаючи ξ:= f(ζ),записуємо рiвнiсть (8) у виглядi
ρ2lim
δ→0+0 (F2(ξ+δf (h)) −F2(ξ)) δ−1=ρ2f(h)f(Ψ(ζ)).(9)
Оскiльки вирази бiля ρ2в обох частинах рiвностi (9) набувають комплексних значень, то з
єдиностi розкладу елемента алгебри за базисом випливає рiвнiсть
lim
δ→0+0 (F2(ξ+δf (h)) −F2(ξ)) δ−1=f(h)f(Ψ(ζ)),
яка виконується при h∈ {h1, h2}.Звiдси випливають рiвностi
f(Ψ(ζ)) = lim
δ→0+0 (F2(ξ+δt1)−F2(ξ)) (δt1)−1= lim
δ→0+0 (F2(ξ+δt2)−F2(ξ)) (δt2)−1,
де t1:= f(h1), t2:= f(h2).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 8
1124 М. В. ТКАЧУК, С. А. ПЛАКСА
Отже, в кожнiй точцi ξобластi D, за винятком не бiльш нiж зчисленної їх кiлькостi, iснують
похiднi функцiї F2вздовж двох неколiнеарних променiв iз початком у точцi ξi цi похiднi рiвнi.
Це означає, що неперервна функцiя F2задовольняє умову Меньшова K у точцi ξ. Тодi з
теореми Меньшова – Трохимчука випливає голоморфнiсть функцiї F2в областi D.
Лему 1 доведено.
Кожен елемент a+bρ +cρ2, a, b, c ∈C,за умови a= 0 має обернений елемент, розклад
якого за базисом 1, ρ, ρ2визначається рiвнiстю
a+bρ +cρ2−1=1
a−b
a2ρ+b2
a3−c
a2ρ2.
Тодi
t−a−bρ −cρ2−1=1
t−a+b
(t−a)2ρ+c
(t−a)2+b2
(t−a)3ρ2.(10)
Використовуючи цей розклад, легко записати розклад за базисом 1, ρ, ρ2головного продов-
ження голоморфної функцiї F:D→Cв область Π := {ζ∈E3:f(ζ)∈D},яка, очевидно, є
нескiнченним цилiндром, твiрнi якого паралельнi прямiй L:
1
2πi
γ
F(t)(t−ζ)−1dt =F(f(ζ)) + (b1x+b2y+b3z)F(f(ζ)) ρ+
+(c1x+c2y+c3z)F(f(ζ)) + (b1x+b2y+b3z)2
2F(f(ζ))ρ2(11)
∀ζ=xe1+ye2+ze3∈Π,
де i— уявна комплексна одиниця, замкнена жорданова спрямлювана крива γлежить в областi
Di охоплює точку f(ζ) = a1x+a2y+a3z, а комплекснi сталi ak, bk, ckпри k= 1,2,3— це
коефiцiєнти з розкладiв елементiв e1, e2, e3за базисом {1, ρ, ρ2}:
e1=a1+b1ρ+c1ρ2,
e2=a2+b2ρ+c2ρ2,
e3=a3+b3ρ+c3ρ2.
Розклад (11) узагальнює аналогiчний розклад, отриманий в теоремi 1.7 з [26] при додатковому
припущеннi, що e1= 1.
Лема 2. Нехай область Ω⊂E3є опуклою в напрямку прямої L, функцiя Φ:Ω→A3є
неперервною в Ωi задовольняє умову K
A3,E3в усiх точках ζ∈Ω,крiм не бiльш нiж зчисленної
множини точок. Тодi при всiх ζ∈Ωмає мiсце зображення
Φ(ζ) = 1
2πi
γF0(ξ) + F1(ξ)ρ+F2(ξ)ρ2(ξ−ζ)−1dξ, (12)
де F0, F1, F2— деякi функцiї, голоморфнi в областi D, яка є образом областi Ωпри
вiдображеннi f.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 8
АНАЛОГ ТЕОРЕМИ МЕНЬШОВА–ТРОХИМЧУКА ДЛЯ МОНОГЕННИХ ФУНКЦIЙ .. . 1125
Доведення. При ζ∈Ωрозглянемо розклад Φ(ζ)за базисом 1, ρ, ρ2:
Φ(ζ) = Φ0(ζ)+Φ1(ζ)ρ+ Φ2(ζ)ρ2.
Функцiя ρ2Φ(ζ) = ρ2Φ0(ζ)є неперервною в Ωi задовольняє умову K
A3,E3в усiх точках ζ∈Ω,
крiм не бiльш нiж зчисленної множини точок. Тодi з леми 1 випливає, що Φ0(ζ) = F0(f(ζ)),
де F0— голоморфна функцiя в областi D, яка є образом областi Ωпри вiдображеннi f.
Як випливає з рiвностi (11), першi компоненти в розкладах за базисом 1, ρ, ρ2функцiй
Φ(ζ)i1
2πi γ
F0(ξ)(ξ−ζ)−1dξ збiгаються в областi Ω.Тому справджується рiвнiсть
Φ(ζ)−1
2πi
γ
F0(ξ)(ξ−ζ)−1dξ = Φ11(ζ)ρ+ Φ12 (ζ)ρ2∀ζ∈Ω,(13)
де Φ11,Φ12 — деякi комплекснозначнi неперервнi в Ωфункцiї.
Тодi функцiя ρΦ11(ζ)ρ+ Φ12 (ζ)ρ2=ρ2Φ11(ζ)є неперервною в Ωi задовольняє умову
K
A3,E3в усiх точках ζ∈Ω,крiм не бiльш нiж зчисленної множини точок.
Отже, за лемою 1 маємо Φ11 (ζ) = F1(f(ζ)),де F1— голоморфна функцiя в областi D.
Далi, як i при доведеннi рiвностi (13), отримуємо
Φ11(ζ)ρ+ Φ12 (ζ)ρ2−ρ1
2πi
γ
F1(ξ)(ξ−ζ)−1dξ = Φ22(ζ)ρ2∀ζ∈Ω,(14)
де Φ22 — деяка комплекснозначна неперервна в Ωфункцiя.
Як наслiдок рiвностей (13), (14) маємо рiвнiсть
Φ(ζ)−1
2πi
γ
F0(ξ)(ξ−ζ)−1dξ −ρ1
2πi
γ
F1(ξ)(ξ−ζ)−1dξ = Φ22(ζ)ρ2∀ζ∈Ω.(15)
Тепер, з огляду на лему 1, приходимо до рiвностi Φ22(ζ) = F2(f(ζ)),де F2— голоморфна
функцiя в областi D. Тому справедливими є також рiвностi
ρ2Φ22(ζ) = ρ2F2(f(ζ)) = ρ21
2πi
γ
F2(ξ)(ξ−ζ)−1dξ ∀ζ∈Ω.(16)
Нарештi, як наслiдок рiвностей (15), (16), отримуємо зображення (12).
Лему 2 доведено.
Основним результатом пункту 3 є таке твердження.
Теорема 1. Нехай область Ω⊂E3є опуклою в напрямку прямої L, функцiя Φ:Ω→A3є
неперервною в Ωi задовольняє умову K
A3,E3в усiх точках ζ∈Ω,крiм не бiльш нiж зчисленної
множини точок. Тодi:
1) функцiя Φє моногенною в областi Ω;
2) функцiя Φпродовжується до функцiї, моногенної в областi Π; таке продовження єдине
i задається рiвнiстю (12) при всiх ζ∈Π;
3) моногенне продовження (12) функцiї Φє диференцiйовним за Лорхом в областi Π.
Усi твердження теореми 1 є очевидними наслiдками зображення (12).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 8
1126 М. В. ТКАЧУК, С. А. ПЛАКСА
4. Узагальнення на iншi розмiрностi областi визначення функцiй. Узагальнимо отри-
манi результати на дiйсний пiдпростiр Ekалгебри A3довiльної розмiрностi 2≤k≤6,на
вибiр якого накладемо лише одну вимогу: образом Ekпри вiдображеннi fє вся комплексна
площина.
Для цього сформулюємо аналог умови Меньшова K для функцiй Φ:Ω→A3,визначених
в областi Ω⊂Ek.Зазначимо, що перетином простору Ekз радикалом Iалгебри A3є площина
розмiрностi k−2, яку позначимо LEk.Зокрема, LE3— це пряма L, визначена в п. 3, i
LE2={0}.
Означення 2. Будемо говорити, що функцiя Φ:Ω→A3задовольняє умову K
A3,Ekв точцi
ζ∈Ω⊂Ek,якщо iснує елемент Φ∗(ζ)∈A3такий, що рiвнiсть (5) виконується для kрiзних
векторiв, а саме, двох векторiв h1, h2,що мають неколiнеарнi образи при вiдображеннi f, i
k−2векторiв h3, . . . , hk,що утворюють базис у просторi LEk.
Зауважимо, що у випадку, коли функцiя Φ:Ω→A3задовольняє умову K
A3,Ekв рiзних
точках областi Ω⊂Ek,набiр векторiв h1, h2, . . . , hkможе бути рiзним у рiзних точках цiєї
областi.
Наступне твердження є узагальненням леми 1.
Лема 3. Нехай область Ω⊂Ekмає зв’язнi перетини площинами Lζ
Ek:= {ζ+τ:τ∈LEk},
де ζ∈Ω,паралельними площинi LEk,i неперервна в Ωфункцiя Φ:Ω→A3має вигляд
Φ(ζ) = ρ2Φ2(ζ),де Φ2(ζ)∈C,i задовольняє умову K
A3,Ekв усiх точках ζ∈Ω,крiм не бiльш
нiж зчисленної множини точок. Тодi Φ2(ζ) = F2(f(ζ)),де F2:D→C— голоморфна функцiя
в областi D, яка є образом областi Ωпри вiдображеннi f.
Доведення. Нехай ζ∈Ω— довiльна точка, в якiй функцiя Φзадовольняє умову K
A3,Ek.
Як i при доведеннi леми 1, отримуємо рiвнiсть (8), яка виконується при h∈ {h1, h2, . . . , hk}.
Тепер при пiдстановцi в рiвнiсть (8) значень h=h3, . . . , hkотримуємо нуль у правiй частинi
цiєї рiвностi.
Звiдси випливає, що похiднi функцiї Φ2вздовж напрямкiв h3, . . . , hk(якi, взагалi кажучи,
є рiзними в рiзних точках) дорiвнюють нулю скрiзь на множинi Lζ
Ek∩Ω,крiм не бiльш нiж
зчисленної множини точок. При цьому множина Lζ
Ek∩Ωє зв’язною. Тодi за теоремою 9 з
монографiї [10, с. 103] функцiя Φ2є сталою на множинi Lζ
Ek∩Ω.
Звiдси випливає, що функцiю Φ2можна зобразити у виглядi Φ2(ζ) = F2(f(ζ)),де
F2:D→C— деяка неперервна в областi Dфункцiя.
Доведення голоморфностi функцiї F2в областi Dаналогiчне доведенню голоморфностi
функцiї F2в лемi 1.
Лему 3 доведено.
Зауважимо, що у випадку k= 2 в лемi 3 виконується рiвнiсть Lζ
E2={ζ},i тому умова про
зв’язнiсть перетинiв Lζ
E2∩Ωпри ζ∈Ω,очевидно, виконується автоматично.
Наступне твердження є узагальненням теореми 1 на випадок функцiй, визначених в облас-
тях дiйсного пiдпростору Ekалгебри A3довiльної розмiрностi 2≤k≤6.
Теорема 2. Нехай область Ω⊂Ekмає зв’язнi перетини площинами Lζ
Ek,де ζ∈Ω,
паралельними площинi LEk,i неперервна в Ωфункцiя Φ:Ω→A3задовольняє умову K
A3,Ekв
усiх точках ζ∈Ω,крiм не бiльш нiж зчисленної множини точок. Тодi:
1) функцiя Φє моногенною в областi Ω;
2) функцiя Φпродовжується до функцiї, моногенної в областi Π := {ζ∈Ek:f(ζ)∈D};
таке продовження єдине i задається рiвнiстю (12) при всiх ζ∈Π;
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 8
АНАЛОГ ТЕОРЕМИ МЕНЬШОВА–ТРОХИМЧУКА ДЛЯ МОНОГЕННИХ ФУНКЦIЙ .. . 1127
3) моногенне продовження (12) функцiї Φє диференцiйовним за Лорхом в областi Π.
Доведення. Використовуючи рiвнiсть (10), отримуємо розклад за базисом {1, ρ, ρ2}голов-
ного продовження довiльної голоморфної функцiї F:D→Cв область Π:
1
2πi
γ
F(t)(t−ζ)−1dt =F(f(ζ)) + (b1x1+b2x2+. . . +bkxk)F(f(ζ)) ρ+
+(c1x1+c2x2+. . . +ckxk)F(f(ζ)) + (b1x1+b2x2+. . . +bkxk)2
2F(f(ζ))ρ2
∀ζ=x1e1+x2e2+. . . +xkek∈Π,
де замкнена жорданова спрямлювана крива γлежить в областi Di охоплює точку f(ζ) =
=a1x1+a2x2+. . . +akxk,а комплекснi сталi aj, bj, cjпри j= 1,2, . . . , k — це коефiцiєнти
з розкладiв елементiв e1, e2, . . . , ekза базисом 1, ρ, ρ2:
e1=a1+b1ρ+c1ρ2,
e2=a2+b2ρ+c2ρ2,
.....................
ek=ak+bkρ+ckρ2.
Тодi, спираючись на лему 3, як i при доведеннi леми 2, отримуємо iнтегральне зображення (12)
функцiї Φ,з якого випливають усi твердження теореми 2.
Теорему 2 доведено.
Частину результатiв роботи анонсовано в препринтi [35].
Лiтература
1. E. Goursat, Cours d’analyse mathematique, vol. 2, Gauthier-Villars, Paris (1910).
2. H. Bohr, ¨
Uber streckentreue und konforme Abbildung, Math. Z., 1, 403–420 (1918).
3. H. Rademacher, ¨
Uber streckentreue und winkeltreue Abbildung, Math. Z., 4, 131 – 138 (1919).
4. D. Menchov, Sur les differentielles totales des fonctions univalentes, Math. Ann., 105, 75– 85 (1931).
5. D. Menchov, Sur les fonctions monogenes, Bull. Soc. Math. France, 59, 141 – 182 (1931).
6. D. Menchov, Les conditions de monogeneite, Act. Sci. Ind., № 329 (1936).
7. В. С. Федоров, О моногенных функциях, Мат. сб., 42, № 4, 485 – 500 (1935).
8. Г. П. Толстов, О криволинейном и повторном интеграле, Тр. Мат. ин-та АН СССР, 35, 3 – 101 (1950).
9. Ю. Ю. Трохимчук, Непрерывные отображения и условия моногенности, Физматиз, Москва (1963).
10. Ю. Ю. Трохимчук, Дифференцирование, внутренние отображения и критерии аналитичности, Працi Iн-т
математики НАН України, 70 (2007).
11. Г. Х. Синдаловский, О дифференцируемости и аналитичности однолистных отображений, Докл. АН СССР,
249, № 6, 1325 – 1327 (1979).
12. Г. Х. Синдаловский, Об условиях Коши–Римана в классе функций с суммируемым модулем и некоторых
граничных свойствах аналитических функций, Мат. сб., 128(170), № 3(11), 364 –382 (1985).
13. Д. С. Теляковский, Обобщение одной теоремы Меньшова о моногенных функциях, Изв. АН СССР, сер. мат.,
53, № 4, 886 – 896 (1989).
14. Д. С. Теляковский, О голоморфности функций, которые задают отображения, сохраняющие углы, Мат.
заметки, 56, № 5, 149 – 154 (1994).
15. Д. С. Теляковский, Об ослаблении условия асимптотической моногенности, Мат. заметки, 60, № 6, 902 – 911
(1996).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 8
1128 М. В. ТКАЧУК, С. А. ПЛАКСА
16. Д. С. Теляковский, Обобщение теоремы Меньшова о функциях, удовлетворяющих условию K , Мат. заметки,
76, № 4, 578 – 591 (2004).
17. Е. П. Долженко, Работы Д. Е. Меньшова по теории аналитических функций и современное состояние теории
моногенности, Успехи мат. наук, 47, № 5, 67 – 96 (1992).
18. М. Т. Бродович, Об отображениях пространственной области, сохраняющих углы и растяжения вдоль
системы лучей, Сиб. мат. журн., 38, № 2, 260 –262 (1997).
19. А. В. Бондарь, Многомерное обобщение одной теоремы Д. Е. Меньшова, Укр. мат. журн., 30, № 4, 435 – 443
(1978).
20. А. В. Бондарь, Локальные геометрические характеристики голоморфных отображений, Наук. думка, Киев
(1992).
21. В. И. Сирык, Некоторые критерии голоморфности непрерывных отображений, Укр. мат. журн., 37, № 6,
751 – 756 (1985).
22. О. С. Грецький, Про C-диференцiйовнiсть вiдображень банахових просторiв, Укр. мат. журн., 46, № 10,
1336 – 1342 (1994).
23. E. Hille, R. S. Phillips, Functional analysis and semi-groups, Amer. Math. Soc., Providence, R. I. (1957).
24. S. A. Plaksa, R. P. Pukhtaievych, Monogenic functions in a finite-dimensional semi-simple commutative algebra, An.
¸Stiin¸t. Univ. “Ovidius” Constan¸ta, Ser. Mat., 22, № 1, 221 – 235 (2014).
25. V. Shpakivskyi, Constructive description of monogenic functions in a finite-dimensional commutative associative
algebra, Adv. Pure and Appl. Math., 7, № 1, 63–75 (2016).
26. И. П. Мельниченко, С. А. Плакса, Коммутативные алгебры и пространственные поля, Працi Iн-т математики
НАН України, 71 (2008).
27. S. A. Plaksa, V. S. Shpakovskii, Constructive description of monogenic functions in a harmonic algebra of the third
rank, Ukr. Math. J., 62, № 8, 1251–1266 (2011).
28. P. W. Ketchum, Analytic functions of hypercomplex variables, Trans. Amer. Math. Soc., 30, 641–667 (1928).
29. I. P. Mel’nichenko, The representation of harmonic mappings by monogenic functions, Ukr. Math. J., 27, № 5,
499 – 505 (1975).
30. G. Scheffers, Verallgemeinerung der Grundlagen der gew¨
ohnlich complexen Funktionen, I, II, Ber. Verh. Sachs.
Akad. Wiss. Leipzig Math.-Phys. Kl., 45, 828– 848 (1893); 46, 120 – 134 (1894).
31. E. R. Lorch, The theory of analytic function in normed abelian vector rings, Trans. Amer. Math. Soc., 54, 414 – 425
(1943).
32. S. A. Plaksa, Commutative algebras associated with classic equations of mathematical physics, Adv. Appl. Anal.,
Trends Math., 177– 223 (2012).
33. S. A. Plaksa, Monogenic functions in commutative algebras associated with classical equations of mathematical
physics, J. Math. Sci., 242, № 3, 432 – 456 (2019).
34. S. A. Plaksa, On differentiable and monogenic functions in a harmonic algebra, Зб. праць Iн-ту математики НАН
України, 14, № 1, 210 – 221 (2017).
35. М. В. Ткачук, С. А. Плакса, Аналог теореми Меньшова – Трохимчука для моногенних функцiй в тривимiрнiй
комутативнiй алгебрi, e-print: arXiv:2006.12492v1 [math.CA], 2020.
Одержано 02.04.21
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 8
