Content uploaded by Hasan Kara
Author content
All content in this area was uploaded by Hasan Kara on May 12, 2022
Content may be subject to copyright.
2301
Iğdır Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Dergisi, 11(3): 2301-2306, 2021
Journal of the Institute of Science and Technology, 11(3): 2301-2306, 2021
ISSN: 2146-0574, eISSN: 2536-4618
Matematik / Mathematics
DOI: 10.21597/jist. 916177
Araştırma Makalesi / Research Article
Geliş tarihi / Received: 15-04-2021
Kabul tarihi / Accepted: 28-04-2021
Atıf İçin: Kara H, Atasoy D, 2021. İnvaryant Yakınsaklık Yardımıyla Tanımlanan Modülüs Fonksiyonlar Uzayları, Iğdır
Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Dergisi, 11(3): 2301-2306.
To Cite: Kara H, Atasoy D, 2021. The Space of Modulus Functions Defined by Invariant Convergence, Journal of the
Institute of Science and Technology, 11(3): 2301-2306.
İnvaryant Yakınsaklık Yardımı ile Tanımlanan Modülüs Fonksiyonlar Uzayı
Hasan KARA1, Dinçer ATASOY2*
ÖZET: Bu çalışmada invaryant yakınsaklık yardımı ile bazı dizi uzayları tanımlanarak bazı kapsamlar
kuruldu. uzaylarının uzaylarına genelleştirildiği gibi
uzaylarını da uzaylarına genişletildi ve modülüs fonksiyonlar
uygulandı.
Anahtar Kelimeler: İnvaryant yakınsaklık, dizi uzayları, modülüs fonsiyonu.
The Space of Modulus Functions Defined by Invariant Convergence
ABSTRACT: : In this study, some scopes are established by defining some sequence spaces with the
help of invariant convergence. Just as the spaces are generalized to the
spaces, so do the spaces it has been extended to the spaces
and modulus functions have been implemented.
Keywords: Invariant convergence, sequence spaces, module function.
1 Hasan KARA (Orcid ID: 0000-0001-9828-9006), Iğdır Üniversitesi, Fen-Edebiyat Fakültesi, Matematik Bölümü, Iğdır,
Türkiye
2* Dinçer ATASOY (Orcid ID: 0000-0003-0389-1059), Iğdır Üniversitesi, Iğdır Meslek Yüksekokulu, Finans - Bankacılık
ve Sigortacılık Bölümü, Iğdır, Türkiye
*Sorumlu Yazar/Corresponding Author: Dinçer ATASOY, e-mail: dincer.atasoy@igdir.edu.tr
Hasan KARA ve Dinçer ATASOY
11(3): 2301-2306, 2021
İnvaryant Yakınsaklık Yardımı ile Tanımlanan Modülüs Fonksiyonlar Uzayı
2302
GİRİŞ
Das ve Sahoo (1992) mutlak ve kuvvetli hemen hemen yakınsaklık kavramına dayanan aşağıdaki
yeni diz uzaylarını tanımladılar ve incelediler.
ve
(1)
(2)
olmak üzere
(3)
(4)
(5)
(Sahoo, 1992)
(6)
Daha sonra Kara (1994) yılında uzayını kullanarak özel olarak Das ve Sahoo’nun
dizi uzaylarını elde edecek şekilde yeni dizi uzaylarını tanımladı.
(7)
(8)
(9)
ayrıca
(10)
olmak üzere
(11)
(Kara, 1994)
(12)
Mursaleen (1983) Banach limitleri yerine invaryant limitleri alarak kuvvetli invaryant dizileri
uzayını
(Mursaleen, 1983)
(13)
şeklinde tanımlayarak inceledi.
Biz bu çalışmamızda
uzaylarına genelleştirerek modülüs fonksiyon kavaramını
uygulayarak bir kısın özelliklerini çalışacağız.
Hasan KARA ve Dinçer ATASOY
11(3): 2301-2306, 2021
İnvaryant Yakınsaklık Yardımı ile Tanımlanan Modülüs Fonksiyonlar Uzayı
2303
MATERYAL VE METOT
Tanım 1: [0, ] aralığı üzerinde tanımlı ve aşağıdaki özellikleri sağlayan reel değerli bir f fonksiyonuna
modülüs fonksiyonu denir (Nakano, 1953).
i)
ii)
iii)
iv)
Tanım 2: her m.n pozitif tamsayıları için
olacak şekilde bire-bir dönüşüm olan
olmak üzere bir lineer fonksiyoneline aşağıdaki özellikleri sağlaması halinde invaryant
limit ya da denir.
i)
ii)
iii)
Özel olarak olması halinde bir Banach limitidir.
İnvaryant limitleri eşit olan sınırlı bir diziye invaryant veya dizi denir.
dizilerin cümlesi ile gösterilir.
Eğer
(14)
(15)
olmak üzere olması için gerek ve yeter şart n’e göre düzgün olarak
limitinin
mevcut olmasıdır. Ayrıca olması halinde klasik Banach limitlerine ve
cümleside hemen hemen yakınsaklık dizilerin f cümlesine indirgenir (Savaş, 1989 (a)).
Biz bu çalışmamızda uzaylarına modülüs fonksiyonlarını uygulayarak bazı yeni dizi
uzayları tanımlayacağız. Ayrıca Savaş’ın (1989) genelleştirdiği gibi
uzayların sırasıyla
uzaylarına genelleştirerek
bir kısım özelliklerini inceleyeceğiz (Savaş, 1989 (b)).
Yeni dizi uzayları
olmak üzere
(16)
(17)
(18)
(19)
Ayrıca
(20)
olmak üzere
(21)
(22)
Hasan KARA ve Dinçer ATASOY
11(3): 2301-2306, 2021
İnvaryant Yakınsaklık Yardımı ile Tanımlanan Modülüs Fonksiyonlar Uzayı
2304
Uzaylarını tanımlayalım. Bu uzaylarda olması halinde bu uzaylar
uzaylarına indirgenir. Şimdi bu uzaylar ile ilgili bazı özellikleri
inceleyelim.
Teorem 1:
(23)
İspat:
olur.
(24)
Ayrıca olduğundan
olur.
(25)
Bu da
ve
(26)
(27)
elde edilir.
Lemma:
olması için gerek ve yeter şart
i)
ii) n’e göre düzgün olarak
(28)
İspat:
olduğu açıktır.
(29)
Ayrıca
(30)
(31)
olur. Hipotezden dolayı giderken n’e göre düzgün olarak (i) şıkkından
giderken n’e göre düzgün olarak elde ederiz (Lorentz, 1948).
Tersine olarak (i) ve (ii) sağlansın
(32)
eşitsizliğinden olduğu görülür. Bu da ispatı
tamamlar.
Teorem 2:
İspat:
olduğunu kabul edelim. n’e göre düzgün olarak
olması giderken n’e göre düzgün olarak olmasını verir. Buradan olması
olacak şekilde ’nin varlığını gerektirir. Böylece olduğunu ispatlamak
için Lemmayı kullanarak sadece giderken n’e göre düzgün olarak
olduğunu göstereceğiz. Ayrıca
Hasan KARA ve Dinçer ATASOY
11(3): 2301-2306, 2021
İnvaryant Yakınsaklık Yardımı ile Tanımlanan Modülüs Fonksiyonlar Uzayı
2305
(Mısra, 1988).
(33)
Böylece
(34)
olur.
olduğundan her k ve n için
(35)
sonludur. n’e göre düzgün olarak
olduğundan dolayı göstermek istediğimiz (34) den çıkar
(35) denklemini kullanarak
(35)
(36)
(37)
olduğu görülür. Bu da teoremi ispatlar.
BULGULAR VE TARTIŞMA
Teorem 3:
İspat:
olsun . bu takdirde
olduğunu göstermeliyiz.
iken her n için
(1.3)
olacak şekilde en az bir p tamsayısı vardır (Sahoo, 1992). Böylece m sabit olmak üzere her n için
(1.4)
olur.
(1.5)
olduğundan (Maddox, 1979).
(1.6)
olur
elde edilir. Böylece (1.4) ve (1.6) den her k>p sabit ve bütün n’ler için
(1.7)
olduğu görülür. Burada bağlı bir sabittir. Yine tanımından
(1.8)
elde edilir. Buradan
olur. Dolayısıyla,
Hasan KARA ve Dinçer ATASOY
11(3): 2301-2306, 2021
İnvaryant Yakınsaklık Yardımı ile Tanımlanan Modülüs Fonksiyonlar Uzayı
2306
alırsak
(1.9)
elde edilir. Böylece (1.7) den her bir sabit olduğundan her için
(1.10)
elde edilir. Şimdi
olmak üzere (1.10) dan bütün
(1.11)
olduğu görülür. (1.8) den (1.12)
ve dolayısıyla (1.5), (1.12) den
olduğu görülür ki bu da ispatı tamamlar.
SONUÇ
Bu çalışmada uzaylarına modülüs fonksiyonlarını uygulayarak bazı yeni dizi
uzayları tanımlandı. Ayrıca Savaş’ın (1989(a) ve 1989 (b)) genelleştirdiği
gibi
uzayların sırasıyla
uzaylarına
genelleştirerek bir kısım özelliklerini incelendi. Bu çalışmada invaryant yakınsaklık yardımı ile bazı dizi
uzayları tanımlanarak bazı kapsamlar kuruldu. uzaylarının uzaylarına
genelleştirildiği gibi uzaylarını da uzaylarına genişletildi ve
modülüs fonksiyonlar uygulandı.
Çıkar Çatışması
Makale yazarları aralarında herhangi bir çıkar çatışması bulunmamaktadır.
Yazar Katkısı
Yazarlar makaleye eşit oranda katkı sağlamışlardır.
KAYNAKLAR
Kara H, 1994. İnvaryant Yakınsaklık Yardımıyla Tanımlanan Dizi Uzayları, Van Yüzüncü Yıl Üniversitesi Fen
Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim, Dalı Doktora Tezi (Basılmış).
Lorentz G, 1948. A Contribution to The Theory of Divergent Secunces. Acta Mathematica, 80: 167-190.
Maddox IJ, 1979. On Strong Alost Convergence. Mathematical Proceedings of the Cambridge
Philosophical Society. 85: 345-350.
Mısra GD, 1988. Absolute Almost Convegence With and Index. Di Matematica Serie-VII, 8: 501-510.
Mursaleen M, 1983. On some new invariant matrix methods of summability. Quarterly Journal of Mathematics,
34: 77-80.
Nakano H, 1953. Concave Modulars. Japan Journal of Mathmatics Society, 29-49.
Sahoo GD, 1992. On Some Squence Spaces. Journal of Mathmatics Analysis and Aplications, 164: 381-398.
Savaş E, 1989. Some Sequence Spaces Involving Invariant Means, Indian Journal of Mathmatics, 31(1): 140-145.
Savaş E, 1989. Strongly σ- Convergent Seguences. Bullettin Calcuta Mathematical Society, 81: 295-300.
