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La Enseñanza del cálculo, las
ciencias y las matemáticas
CARLOS ARMANDO CUEVAS VALLEJO
Y MAGALLY MARTÍNEZ REYES
COORDINADORES
La Enseñanza del cálculo, las ciencias y las matemáticas COLECCIÓN TECNOLÓGICA-CIENTÍFICA
Hacia 1952 diversos grupos de profesores de
matemáticas empezaron a plantearse la necesidad de
modificar su enseñanza; sobre todo en cuanto a la educación
elemental y básica: es el punto de partida de la llamada
«matemática moderna». Aunado a ello, poco tiempo después
el gobierno estadunidense comienza la famosa reforma
educativa de las matemáticas modernas y, en México, a finales
de los sesenta, con el propósito de establecer investigaciones
y propuestas científicas que abordaran el problema de la
enseñanza de la matemática se crea la sección de Matemática
Educativa (hoy Departamento de Matemática Educativa).
A este proyecto se sumaron muchos matemáticos interesados
en la investigación de educación matemática de diferentes
partes del país y del mundo. Hoy, gracias a los auspicios de la
Universidad Autónoma del Estado de México y el
Departamento de Matemática Educativa del Centro de
Investigación y Estudios Avanzados del Instituto Politécnico
Nacional, con patrocinio del Consejo Nacional de Ciencia y
Tecnología, sale a la luz Investigaciones Educativas con la
intención de reflexionar en torno a una de las mayores fallas
en educación matemática en los niveles medio superior y
superior: el cálculo diferencial e integral.
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Investigaciones Educativas
La enseñanza del cálculo,
las ciencias y las matemáticas
2021
Coordinadores
Carlos Armando Cuevas Vallejo
Magally Martinez Reyes
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Investigaciones Educativas
La enseñanza del cálculo, las ciencias y las matemáticas
© Asociación Mexicana de Profesionales de la Edición, AC (PEAC)
Coordinadores
Carlos Armando Cuevas Vallejo
Magally Martinez Reyes
1ª edición: septiembre 2021
ISBN 978-607-99351-0-8
Investigaciones Educativas es una publicación anual editada por Asociación Mexicana de Pro-
fesionales de la Edición, AC (PEAC).
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como tampoco su incorporación a un sistema informático ni su transmisión, en cualquier
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autorización previa y por escrito de la Universidad Autónoma del Estado de México. La
infracción de estos derechos puede constituir un delito contra la propiedad intelectual.
Cada uno de los capítulos que integran el libro fueron sometidos a un proceso de arbitraje de
doble ciego con especialistas en la materia, por lo que cuentan con el aval de un comité de
arbitraje.
La publicación del libro estuvo fi nanciada por la Universidad Autónoma del Estado de México,
con el apoyo de la Secretaría de Educación Pública, por intermediación del Programa de
Fortalecimiento a la Calidad Educativa (PFCE) 2021.
Coordinación editorial
Carlos Armando Cuevas Vallejo, ccuevas@cinvestav.mx
Magally Martinez Reyes, mmartinezr@uaemex.mx
Comité científico de evaluación
Dr. Miguel Delgado Pineda, miguel@mat.uned.es
Dr. José del Carmen Orozco Santiago, jorozco@cinvestav.mx
Dra. Claudia Leticia Méndez Bello, claudia.mendez@casiomexico.com.mx
Dr. Rigoberto Gabriel Argüelles, jgabriel@uv.mx
Dra. Eloísa Benítez Mariño, elbenitez@uv.mx
Dra. Judith Hernández Sánchez, judith700@hotmail.com
Dr. Eduardo Briseño Solís, ecbs@gmail.com
Dra. Darly Kú Euán, ku.darly@gmail.com
Dr. José Luis Díaz Gómez, jdiaz@mat.uson.mx
Dr. Ramiro Ávila Godoy, ravilag@mat.uson.mx
Dr. Juan de Dios Miramontes Miranda, juan.viramontes@uacj.mx
M. en C. Heidy Cecilia Chavira, heidy.chavira@uacj.mx
M. en C. Sofía Paz Rodríguez, sofia.paz@cinvestav.mx
M. en C. Sergio Rubio-Pizzorno, sergio.rubio@cinvestav.mx
Dra. Lilia López Vera, lilia_lopez@hotmail.com
Dra. Rosa Elvira Páez, rosa.paez@uacm.edu.mx
Dr. José Carlos Cortés Zavala, jcortes@umich.mx
Dr. Freddy Y. Villamizar Araque, freddymatedu@gmail.com
Dr. José Dionicio Zacarías Flores, jzacarias@fcfm.buap.mx
Dr. Gabriel Alejandro López Morteo, galopez@uabc.edu.mx
Dr. José David Zaldivar Rojas, david.zaldivar@uadec.edu.mx
Dr. Yani Betancourt González, yanibg.mat@gmail.com
Dr. José Manuel Dueñas Guzmán, manuel.dueñas.guzman@cbtis149.edu.mx
Dra. Guadalupe Cabañas Sánchez, gcabanas@uagro.mx
Dra. Landy Sosa Moguel, smoguel@correo.uady,mx
Dra. Rosa María Rodríguez Aguilar, águila_rosa@hotmail.com
Dra. Yedid Erandini Niño Membrillo, yeninom@uaemex.mx
Dra. Alma Delia Cuevas Rasgado, almadeliacuevas@gmail.com
Dr. Oliverio Cruz Mejía, oliverio.cruz.mejia@gmail
Dra. Doricela Gutierrez Cruz, dgutierrezcr@uaemex.mx
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Lic. Brenda Elizabeth Artigas López, brendaeartigas@gmail.com
M. en C. Rocío Selene Razo Sánchez, rsrazos@uaemex.mx
Ing. Francisco Javier Flores Giles, flores.giles@gmail.com
Dra. Anabelem Soberanes Martín, asoberanesm@uaemex.mx
Dra. Esperanza Cotera Regalado, peracotera@hotmail.com
Dr. René G. Cruz Flores, renecruzflores1@gmail.mx
Dr. José Ismael Arcos Quezada, ismael_arcos@msn.com
Dr. Felipe de Jesús Matías Torres, fmatias@cinvestav.mx
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Investigaciones Educativas es una publicación ofi cial de
LA ENSEÑANZA DEL CÁLCULO, LAS CIENCIAS Y LAS MATEMÁTICAS, celebrado
de manera virtual del 22 al 26 de septiembre de 2020, con los
auspicios de la Universidad Autónoma del Estado de México
y el Departamento de Matemática Educativa del Centro de
Investigación y Estudios Avanzados del Instituto Politécnico
Nacional; con el patrocinio del Consejo Nacional de Ciencia
y Tecnología en su convocatoria de Apoyos a Actividades
Académicas 2020.
El EICAL es un importante programa académico que nace a raíz
de la generosidad y amor a la ciencia que los profesores de las
universidades participantes sienten, luego de detectar una de las
mayores fallas en educación matemática en los niveles medio
superior y superior: el cálculo diferencial e integral. Tema del que
poco se hace para estudiar esos resultados, pese a los alarmantes
índices de reprobación.
Con esta preocupación, hace más de doce años organizamos un
seminario virtual a fi n de analizar la problemática desde distintas
aristas; en ese entonces participaron la Universidad Veracruzana
(UV), la Universidad Autónoma de Zacatecas (UAZ), la Universidad
de Sonora (UAS), la Universidad Autónoma de Coahuila (UAC), la
Universidad Autónoma de Ciudad Juárez (UACJ), la Universidad
Autónoma de Nuevo León (UANL), la Universidad Autónoma de la
Ciudad de México (UACDMX), la Universidad Autónoma del Estado
de México (UAEMex) y el Cinvestav. También tuvimos la presencia
de la Universidad Nacional de Educación a Distancia (UNED), de
España, y la Universidad Nacional Abierta y a Distancia (UNAD), de
Colombia.
A partir de esas reuniones se generaron importantes propuestas
que, la mayoría de los casos, han podido llevarse a cabo
con resultados altamente satisfactorios como sucedió en la
UAEMex al disminuir los índices de reprobación. Producto de
ese seminario también son los EICAL, en los que a lo largo ya de
once años ha participado en un gran número de conferencistas,
talleristas, profesores de todos los niveles educativos, alumnos e
investigadores.
En esta ocasión, en plena pandemia, la comunidad mostró durante
cuatro días de intensas actividades, una completa disposición a
encontrar nuevas propuestas que ayudaran a migrar las buenas
prácticas, conocidas en benefi cio de los objetivos de aprendizaje
de los estudiantes a la nueva modalidad en línea. Sin lugar a dudas
los EICAL no sólo han propiciado el diálogo y la posibilidad de
encontrar algunas soluciones para mejorar la matemática escolar,
sino también han permitido extenderse a la enseñanza de las
ciencias.
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Contenido
IntroduccIón
EjE 1. tEcnología En EducacIón
Diseño e implementación de una secuencia de aprendizaje con el uso
de GeoGebra 3D para el concepto de límite de una función de dos
variables
Luis EnriquE EnhorabuEna Mata, José iván LópEz FLorEs
Cómo fortalecer la capacidad de representación y comunicación
matemática mediante el uso de registros semióticos
Diana JuDith quintana sánchEz, Luis vicEntE MEJía aLEMán
Situaciones en contexto con el uso de GeoGebra
anEL EsquivEL navarrEtE, GEMMa GuaDaLupE pLiEGo FLorEs
Características de las estrategias de aprendizaje en matemáticas
con alumnos universitarios mexicanos
prócoro oMar butrón zaMora, José GabriEL sánchEz ruiz
CASIO EDU+ y la creación de clases en línea
Mario Yos
Diseño, desarrollo y aplicación de la plataforma SPE-CBT
para la asignatura de ecología
JanEtt naLLELY hErnánDEz MaGaLLanEs
Videojuego en la visualización matemática de planos
MiGuEL ánGEL MartínEz MartínEz, LiLia LópEz vEra Y aLFrEDo aLanís Durán
GeoGebra y aula invertida: una propuesta para la significación del
área bajo la curva
José aLEJanDro LópEz rEntEría, Luis abrahaM FarFán Matú
La modelación 3D como recurso didáctico en matemáticas
aLEJanDro truJiLLo castro, MaGaLLY MartínEz rEYEs
Enseñanza y comprobación de la operación división con la realidad
aumentada como recurso didáctico
brEnDa LEticia hErnánDEz DELGaDo, Marco aLbErto MEnDoza pérEz
EjE 2. EnsEñanza dE las matEmátIcas y cIEncIas En nIvEl supErIor
Aportes de la modelación matemática de problemas auténticos al
concepto de integral
shirLEY Johana toLoza pEña, JorGE EnriquE FiaLLo LEaL
Imágenes digitales para la enseñanza y aprendizaje del álgebra lineal
pabLo EnriquE MorEira GaLván, Gustavo arroYo DELGaDo
Aprendizaje significativo de la estadística
rEYna aMaDor vELázquEz, ana María hErnánDEz Díaz, María canDELaria
Mónica niEMbro Gaona
Epistemología matemática del significado de límite. Un referente para
su enseñanza
raúL MaY tzuc, LanDY sosa MoGuEL
Las conexiones matemáticas para hallar la ecuación de la recta
tangente a una curva en un punto usando la derivada
caMiLo anDrés roDríGuEz-niEto, FLor MonsErrat roDríGuEz-vásquEz
Acciones y expresiones en la concepción métrica del concepto de
límite de una función en un punto
sErGio a. Guarin a., sanDra E. paraDa r.
77
84
90
92
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112
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Creación de problemas de optimización en estudiantes universitarios:
un análisis mediante mapas híbridos
EsMEraLDa Jasso vázquEz, EDuarDo carLos bricEño soLís, nEhEMías MorEno
MartínEz
Cómo medir objetos geométricos y calcular su masa
José isMaEL arcos quEzaDa
Aprendizaje de la estadística
ana María hErnánDEz Díaz, María canDELaria Mónica niEMbro Gaona, rEYna
aMaDor vELázquEz
Anomia en la clase de matemáticas en línea de la Universidad
Politécnica
bEatriz aDriana roDríGuEz GonzáLEz Y JuLissa roMEro viLLEGas
Estudio comparativo de los significados de la derivada de una función
de variable. Presentes en el currículum oficial e impartido en una
licenciatura en matemáticas
aLExis castro soto, JuDith aLEJanDra hErnánDEz sánchEz, EDuarDo carLos
brisEño soLís
Influencia de la emoción en la enseñanza de la matemática: un caso
en el aprendizaje del número complejo
Mónica anGuLo cruz
Modelo creativo de la enseñanza del algebra en la Facultad de
Química de la UAEMex
JEsús aLFrEDo Liévanos barrEra, Luis GutiérrEz JaiMEs
Comportamiento tendencial de las funciones: resignificación de la
asintoticidad en un diseño de situación escolar
hEnrY brian chávEz MartínEz, Francisco corDEro osorio
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173
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Desarrollo cognitivo del estudiante sobre el concepto de imagen
de una función en una variable real
YaDira airaLY GuEvara MartínEz, oFELia MontELonGo aGuiLar
EjE 3. EnsEñanza dE las matEmátIcas y cIEncIas En sEcundarIa
Secuencia de aprendizaje con uso de realidad aumentada para
modelación gráfica de funciones lineales en nivel básico
ariEL ortEGa áLvarEz, José iván LópEz FLorEs, José Luis LópEz MartínEz
Potencia como relación y operación. Análisis del conocimiento
matemático para la enseñanza del concepto
Katia MarLEnE caMpos ucan, LanDY sosa MoGuEL
Propuesta de enseñanza-aprendizaje: La función lineal en secundaria
antonia itzEL bLanco hurtaDo
Experiencia pedagógica en un grupo de tercer grado de secundaria
Uso del modelo de Van Hiele para favorecer el aprendizaje de la
simetría axial
Juan pabLo hErnánDEz brEtón
Covariación, Variación y el unificador de un sistema de referencia:
fundamentos de ideas cartesianas
itzEL GonzáLEz roDríGuEz, José DaviD zaLDívar roJas
Uso de la lectoescritura en matemáticas con estudiantes de primaria
para potenciar la habilidad de solucionar problemas
aMira Lucia GáMEz robLEs, FrEDDY YEsiD viLLaMizar
Experiencia didáctica para introducir la función cuadrática en nivel
secundaria
EDwar ortiz, FrEDDY YEsiD viLLaMizar araquE, MawEncY vErGEL ortEGa
184
192
194
199
207
214
218
226
232
11
Implementación del método Polya para resolver problemas
matemáticos en noveno grado del Centro de Educación La Fenicia
carLos aLbErto contrEras DELGaDo, FrEDDY YEsiD viLLaMizar araquE
EjE 4. EnsEñanza dE las matEmátIcas y cIEncIas En bachIllErato
Propuesta de enseñanza para la variación proporcional directa
mediante la modelación escolar
aDa cEciLia bLanco ruiz, María EsthEr MaGaLi MénDEz GuEvara
Del lenguaje natural al algebraico: un estudio de caso sobre la
simbolización
noELia LonDoño MiLLán, MiriaM vErónica vanEGas popoca, aLibEit KaKEs cruz
Dificultades en la traducción del lenguaje natural al lenguaje
algebraico
abrahaM cuEsta borGEs, Juana E. EscaLantE vEGa, Francisco s. saLEM siLva
Una metodología didáctica para desarrollar competencias en
docentes de bachillerato
José Luis véLiz torrEs, noELia LonDoño MiLLán, arturo buEno toKunaGa,
Luis FErnanDo caMacho ortEGon
Tratamiento de la función logarítmica mediante un experimento
de enseñanza
Martha YaDhira roLDán LópEz, MarcELa FErrari EscoLá
Propuesta para abordar la proporcionalidad directa e inversa
en secundaria con Excel
Mónica DEL rocío torrEs ibarra, óscar ascEncio raMírEz, ELvira borJón
robLEs, LEticia sosa GuErrEro
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246
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256
263
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278
286
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Niveles de razonamiento covariacional al trabajar la progresión
aritmética
Juana aLicia roJas EstraDa, María EsthEr MaGaLi MénDEz GuEvara
Niveles de razonamiento covariacional en la modelación del llenado
de recipientes
KarEn zúñiGa GonzáLEz Y María EsthEr MaGaLi MénDEz GuEvara
Estrategia de aprendizaje para problemas de multiplicación con una
y dos cifras, en niños sordos ibagueños
YEnniFEr sMith Gaona castiLLo, YuLiana KathErinE pErDoMo cErvEra, Jobana
FaYinE aGrEDo MoraLEs, Juan carLos bEnaviDEs-parra
Herramientas matemáticas en el nivel medio superior:
representaciones y uso de Software
ortEGa-MEDina ánGEL Gaspar Y bEnítEz-Mariño ELoísa
EjE 5. rEcursos EducatIvos En la pandEmIa
El uso de la metodología de Aprendizaje Integrado de Contenidos y
Lenguas Extranjeras (AICLE-CLIL) como herramienta de motivación
de vocaciones STEM entre los estudiantes
héctor aLva cortEs
Las medidas de tendencia central enseñadas a través del comic
sánchEz soto Juan ManuEL, MartínEz rEYEs MaGaLLY, José raMón García ibarra
Jóvenes adolescentes, familia y uso de las TIC
JaiME vELázquEz GonzáLEz, bLanca ELia hErnánDEz MartínEz
Didáctica matemática para la resolución de problemas
MáxiMo pérEz FLorEs
292
300
308
315
322
324
331
338
346
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Minicurso de Cálculo 2 como recurso educativo en la pandemia
Juan Luis ManríquEz zEpEDa
Estrategias para enseñar y aprender matemáticas a distancia
siLvia GuaDaLupE canabaL cácErEs, Laura isabEL Mora rEYEs
Y Luis aLbErto raMos hErnánDEz
Experiencia de desarrollo profesional del docente de matemáticas en
tiempo de pandemia
María EsthEr MaGaLi MénDEz GuEvara, MarcELa FErrari EscoLá
Una experiencia en línea con profesores de matemáticas: el caso de
las exponenciales
MarcELa FErrari EscoLá Y María EsthEr MaGaLi MénDEz GuEvara
Aprendizaje de matemáticas y física en estudiante universitarios en
una etapa de transición de la modalidad presencial a la virtual
JaviEr roMEro-torrEs, MaGaLLY MartínEz rEYEs, EspEranza cotEra rEGaLaDo
EjE 6. InstrumEntacIón dE propuEstas dIdáctIcas
El concepto de variable: una oportunidad para tratar la brecha entre la
investigación en matemática educativa y la práctica docente
anGéLica Espino siLva, JuDith aLEJanDr a hErnánDEz sánchEz,
DarLY aLina Kú Euán
De lo discreto a lo denso: una forma de promover un cambio conceptual
MaYra suárEz-roDríGuEz*
Metodologías para el aprendizaje: una comparación de la teoría
antropológica de la didáctica y la investigación basada en el diseño
FabioLa orquíDEa sánchEz hErnánDEz, MaGaLLY MartínEz rEYEs, anabELEM
sobEranEs Martín
351
356
363
370
378
386
388
396
404
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Diseño y análisis de actividades de aprendizaje en la formación inicial
docente de matemáticas.
JaviEr García pinEDa, María EsthEr MaGaLi MénDEz GuEvara
El aporte de Giordano Bruno, alternativa de enseñanza en la
comprensión del principio de relatividad
FELipE Matías, aurora GaLLarDo
La parábola, una primera aproximación a través del doblado de papel
y su matematización usando rectángulos
Mario aDaLbErto García García
Formación de profesores de matemáticas alrededor de la enseñanza
del cálculo y la atención a la diversidad
cristian LEonarDo EchEvErria baLLEstEros, sanDra EvELY paraDa rico
412
418
425
431
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La recursividad de Los sistemas
In Memoriam
François Charles Bertrand Pluvinage nació el 8 de julio 1940, en
Clermont-Ferrand, Francia. Obtuvo su agregado de matemáti-
cas (Agrégé de mathématiques) en 1962 y su doctorado en cien-
cias (Docteur es Sciences) en 1977; en 1986 obtuvo las Palmas
Académicas como caballero (Palmes académiques: chevalier), y
el de oficial (ocier) en 1993.
El doctor François Pluvinage fue mi maestro, mi colega y mi amigo; su
compañía no sólo fortaleció mi conocimiento en la matemática y la
cognición, sino que además me hizo reflexionar en muchos sentidos
sobre la responsabilidad y el amor a la vida. Pocas personas europeas
se adaptan a nuestras costumbres e ideología mexicana, pero François,
con ese enorme carisma y sencillez lo logró casi de inmediato.
Como víctima de las carencias de la segunda guerra mundial siendo
niño, François degustaba con verdadero placer la comida y en particular
la mexicana; con su gran conocimiento de experto gourmet, aseguraba
que era de las cinco mejores comidas del mundo.
Su pueblo natal, Estrasburgo, fue capital de la región Alsacia, fronte-
ra con Alemania, dos veces ocupada por los alemanes; por lo tanto,
François tuvo la fortuna de tener dos lenguas nativas: el alemán y el
francés. Sin embargo, su enorme curiosidad intelectual le llevó a apren-
der al menos tres lenguas más, entre ellas el español que llego a domi-
nar con la soltura del argot alburero.
François fue un hombre generoso: compartía su conocimiento con pla-
cer y sin prejuicio; cosa rara en el medio científico. Como todo auténtico
científico, François era una verdadera máquina incansable de trabajo;
aunque también se daba tiempo para el estudio de la música, la historia
y la geografía: inquietud que lo llevó a conocer las regiones más recón-
ditas de cada uno de los países que visitaba.
Y México no fue la excepción. Con ironía, François nos mostraba cómo
conocía mejor que muchos mexicanos nuestro país: hablaba de las
16
EjE 1. TEcnología En Educación
distintas regiones, de sus costumbres, de su gastronomía, de sus textiles
y sobre todo de su historia. En su largo caminar siempre le acompañó
Genèvieve su infatigable esposa.
El legado de François es extenso. En lo personal, tuve el honor de publi-
car con él varios artículos, libros, capítulos de libros y conferencias en
diversos países. Juntos fundamos proyectos, como el Seminario Inter-
nacional sobre la Enseñanza del Cálculo, la Enseñanza de la Ciencia y la
Matemática, la revista El Cálculo y su Enseñanza, los encuentros interna-
cionales sobre la enseñanza del cálculo y la enseñanza de la ciencia.
Juntos también aplicamos experimentos educativos en diversas univer-
sidades… en fin, con François hicimos una gran cantidad de proyectos.
En particular agradezco su reflexión y permitirnos poder compartirla en
nuestro artículo más citado: «Didáctica Cuevas y Pluvinage».
El doctor Pluvinage también recibió honores en su país de origen,
Francia, en 2003 fue homenajeado en el Symposioum; fue director en
dos ocasiones del Institut de recherche sur l'enseignement des mathé-
matiques | IREM en Francia. Asimismo, fundó la revista Les Annales de
Didactique et de Sciences Cognitives en 1988, con Raymond Duval .
Escribió innumerables artículos internacionales, capítulos de libros, fue
coautor de libros y sobre todo dio su enorme apoyo a jóvenes investi-
gadores: para muchos, el apoyo de François representó su entrada al
mundo académico.
Descanse en paz y donde quiera que esté. Un abrazo y gracias por com-
partir momentos de su vida familiar. Gracias François, gracias por tus
enseñanzas de vida.
arManDo cuEvas-vaLLEJo
presidente del Comité Ejecutivo
17
La recursividad de Los sistemas
Introducción
Una breve historia
El movimiento de la llamada «matemática moderna» arrancó hacia
1952, cuando diversos grupos de profesores de matemáticas
empezaron a plantearse la necesidad de modificar su enseñanza y
la manera como debía llevarse a cabo; sobre todo en cuanto a la edu-
cación elemental y básica (Little and High School). De forma inesperada
el 4 de octubre de 1957 se lanzó desde el cosmódromo de Baikonur,
en Kazajistán de la antigua Unión de Repúblicas Soviéticas y Socialistas
(URSS), el Sputnik 1 al espacio sideral.
Al día siguiente, el afamado diario New York Times publicaba en primera
plana: «Sonda soviética sobrevuela a Estados Unidos quince veces cada
24 horas». El suceso, en plena guerra fría, había conmocionado las es-
tructuras sociales y políticas de la potencia americana que sintió herido
su orgullo nacional. A manera de respuesta, el gobierno estadunidense
analizó la educación científica del país y el resultado les hizo preocupar-
se por la escasa capacidad científica de que disponían.
De inmediato buscaron remediar el desequilibrio mostrado en la edu-
cación; pero para ello se requería incrementar el número de cientí-
ficos en el área dura de las ciencias. Así comienza la famosa reforma
educativa de las matemáticas modernas: dándole un fuerte contenido
de rigor y formalidad a la educación elemental. Esta reforma, que em-
pieza en los años sesenta con fuerte influencia de la escuela francesa
bourbaquiana, encuentra reflejo en toda Latinoamérica y en particular
en nuestro país.
En el paroxismo de su propósito totalizador, se llegó a proponer que en
la educación secundaria se introdujera el lenguaje de categorías (abs-
tracciones de segundo orden donde se estructuran aspectos comunes
a diversas estructuras), con un programa de 17 teoremas y conceptos
como los funtores «que toda persona bien educada debe conocer»
18
EjE 1. TEcnología En Educación
(Peter J. Hilton. Conferencia en el Primer Congreso Internacional de
ZWIN. 1972. Centro Belga de Pedagogía Matemática).
Esta embriaguez de la matemática moderna fue una fuerte influencia
en la educación matemática de los años sesenta, setenta e inclu-
so todavía en los ochenta. No obstante, en 1972 Morris Klein intenta
sepultar esta reforma con la publicación de su famoso texto: ¿Por qué
Juanito no sabe sumar? El Fracaso de la Matemática Moderna.
En México, a finales de los sesenta, un grupo de profesores del Departa-
mento de Matemáticas (puras), encabezados por el eminente matemático
Carlos Imaz, inicia un proyecto muy sui géneris para los cánones formales
y rigurosos del departamento: escribir un libro de matemáticas para la
educación primaria por encargo de la SEP. Al proyecto se sumaron los
más connotados colegas del doctor Imaz y muchos de sus alumnos.
Como una cosa lleva a la otra, en 1975 los ya fallecidos doctores Imaz,
Eugenio Filloy y Juan José Rivaud crean la sección de Matemática
Educativa: hoy Departamento de Matemática Educativa (DME). El
propósito era establecer investigaciones y propuestas científicas que
abordaran el problema de la enseñanza de la matemática en México.
Si bien en 1968 ya se habían creado los IREM (L’Institut de Recherche
sur l’Enseignement des Mathématiques) en Francia, no dejaba de ser
inédito para la investigación científica mundial que por primera vez un
grupo eminente de matemáticos abriera una disciplina científica con
todos los riesgos que eso supone.
Por ello, desde el principio, los fundadores hicieron una convocatoria
internacional y a ella se sumaron muchos matemáticos interesados en
la investigación de educación matemática. Dejo lugar a las palabras
de François Pluvinage, donde narra sus inicios:
Encontré a Eugenio Filloy en Santiago de Compostela, España, no en una pere-
grinación, sino en un congreso de la CIEAEM. A pesar de mi ignorancia completa
del castellano en aquel tiempo, me invitó a México durante el verano de 1979,
junto con Guy Brousseau y Narasiman.
19
la recursiViDaD De los sistemas
Por desgracias, una de las primeras víctimas de esta terrible pandemia
fue precisamente el doctor Eugenio Filloy Yagüe, fundador del Departa-
mento de Matemática Educativa, lo mismo que el doctor François Pluvi-
nage, cofundador del proyecto Enseñanza del Cálculo: punto central de
este Encuentro Internacional sobre la Enseñanza del Cálculo, al que se
agrega también la enseñanza de las ciencias y la matemática; precurso-
res de la investigación en matemática educativa.
De ahí que en este undécimo EICAL le rindamos tributo al doctor
François Pluvinage, quien con generosidad y altruismo nos acompañó
durante todos estos años.
No nos queda más que poner a su disposición los trabajos presentados
en este EICAL 11; todos evaluados y aprobados para su publicación en
esta Actas de Investigación Educativa 2020. Enhorabuena, los encomia-
mos a seguir participando en estos importantes trabajos de comunica-
ción científi ca
arManDo cuEvas-vaLLEJo
presidente del Comité Ejecutivo
19
20
EjE 1. TEcnología En Educación
EjE 1
tEcnología
En EducacIón
21
La recursividad de Los sistemas
22
Diseño e implementación de una
secuencia de aprendizaje con el uso
de Geogebra 3D para el concepto de
límite de una función de dos variables
Luis EnriquE EnhorabuEna Mata Y José iván LópEz FLorEs
Universidad Autónoma de Zacatecas*
RESUMEN. Uno de los problemas encontrados en la enseñanza y aprendizaje del
cálculo es la difi cultad que se ha encontrado en los estudiantes para lograr
que comprendan los conceptos y métodos de pensamiento de esta área de
las matemáticas. En la literatura se reporta que, de los conceptos centrales del
cálculo, el límite presenta diversas difi cultades para su aprehensión. Si bien el
estudio de este concepto matemático en el ámbito de la matemática educativa
ha sido y es ampliamente estudiado, los trabajos se han centrado en el límite
de una función en el contexto del cálculo de una variable, dejando relegado
el conocimiento en torno al aprendizaje y la enseñanza de este concepto en el
cálculo multivariable. Por lo tanto se considera valioso explorar en la ense-
ñanza del límite de una función de dos variables a través de una secuencia de
aprendizaje con el uso de Geogebra 3D.
PALABRAS CLAVE:Representaciones semióticas, Cálculo multivariable, Enseñan-
za-aprendizaje en nivel superior, Grafi cador y construcción de concepto.
*Luis Enrique Enhorabuena Mata, atamesiul@gmail.com, José Iván López Flores, ivan.lopez.fl ores@gmail.com
EjE 1. tEcnología En EducacIón
23
Diseño e implementación De una secuencia De aprenDizaje
Introducción
En la literatura de matemática educativa es ampliamente aceptado
que el límite es una noción difícil para la mayoría de los estudian-
tes (Kabael, 2014). La afirmación surge del amplio estudio de la
enseñanza y aprendizaje que sobre el concepto de límite se tiene de la
función de una variable (Brandes y Hardy, 2018).
En este estudio abordaremos el límite de una función de dos variables;
con todo y que se trata de una noción fundamental en las matemáticas y
sus aplicaciones (Martínez y Trigueros, 2012), es necesario enfatizar que
para los autores existe un vacío de investigación que limita la manera
como los estudiantes aprenden las ideas principales y los conceptos
relacionados con el estudio del cálculo multivariable.
En este tenor, nuestra investigación busca aportar elementos que
contribuyan a dar luz al proceso de enseñanza aprendizaje del cálculo,
mediante una secuencia que promueva entre los estudiantes de una
licenciatura de matemáticas, la comprensión del concepto de límite
de una función de dos variables, con el uso de Geogebra 3D, ya que
este software nos permite mostrar diversas representaciones, al mis-
mo tiempo que nos da oportunidad de cobijar en parte el diseño de la
secuencia de aprendizaje con la teoría de registros de representación
semiótica (TRRS) de Duval (2006).
Para nuestra investigación son fundamentales la conversión y el trata-
miento, constructos de la TRRS; de donde se entiende que el tratamien-
to es «una transformación que se efectúa en el interior de un mismo
registro, aquel en el que se utilizan las reglas de su funcionamiento: un
tratamiento, pues, no moviliza más que un solo registro de representa-
ción» (Duval, 2005, p. 31). Mientras que a la conversión se le considera
«una transformación que hace pasar de un registro a otro; requiere pues
su coordinación por parte del sujeto que la efectúa» (Duval, 2005, p. 31),
en este sentido, Duval (2006) postula que la conversión es el resultado
de la comprensión conceptual.
24
EjE 1. TEcnología En Educación
Por otro lado, si bien nuestra investigación está aún en desarrollo, se
tiene claro que sigue un enfoque cualitativo (Kothari, 2004) y que la
población de estudio será la conformada por los estudiantes de tercer
semestre de la licenciatura en matemáticas de la Unidad Académica de
Matemáticas de la Universidad Autónoma de Zacatecas (UAZ).
DEsarrollo
Para alcanzar nuestro objetivo (lograr la comprensión del concepto
de límite de una función de dos variables), consideramos necesario
diseñar e implementar nuestra secuencia tomando como base la con-
versión y el tratamiento de la TRRS con ayuda del software GeoGebra
3D, a fin de obtener evidencia de que se ha logrado constituir en los
estudiantes un conocimiento de tipo conceptual.
Para el diseño de la secuencia como primer paso se procedió a identifi-
car en el plan de estudios de la licenciatura en matemáticas los objetivos
de aprendizaje propuestos para el tema de límite de una función de dos
variables, al mismo tiempo que interpretamos esos objetivos en térmi-
nos de la TRRS. Del plan de estudios obtuvimos la necesidad de que los
estudiantes posean conocimientos conceptuales y procedimentales
del límite.
En una segunda etapa construimos y diseñamos las actividades en
GeoGebra 3D, que propiciarán conversiones y tratamientos entre los
registros gráficos, algebraico y verbales, con la finalidad de promover los
saberes conceptuales y procedimentales que se estipulan en el plan de
estudios de la licenciatura. Esto porque, según Duval (2006), una con-
versión entre registros de representación implica comprender y aceptar
que, mediante los tratamientos, es posible trabajar con las matemáticas:
que en nuestro caso significaría poder llevar a cabo saberes procedi-
mentales en el cálculo de límites.
En una tercera fase se diseñaron las interacciones que deberán tener
los estudiantes mediante una serie de actividades para, finalmente,
25
Diseño e implementación De una secuencia De aprenDizaje
analizar su producción, derivada de la implementación de la secuencia
de aprendizaje; de tal forma que nos ayude a identificar el avance de los
estudiantes para cubrir los objetivos de aprendizaje propuestos.
Cabe mencionar que todas las fases se llevaron a cabo mediante el
llenado del instrumento que se muestra a continuación (tabla 1), toma-
do de Sandoval (2018), aunque debe insistirse en que no es más que un
solo ejemplo y de ninguna manera representa la totalidad de los ob-
jetivos de enseñanza ni los diseños e interacciones de la secuencia de
aprendizaje.
Tabla
Instrumento utilizado para el diseño de la secuencia de aprendizaje del concepto
de límite de una función de dos variables, donde se presenta un ejemplo
de un diseño para un objetivo de aprendizaje.
Objetivos en el
plan de estudios Interpretación
en términos de la
TRRS
Diseño en GeoGe-
bra 3D Diseño de la
interacción con el
software
Que el estudiante sea
capaz de represen-
tar una vecindad
en un entorno
tridimensional.
Realizar tratamien-
tos en los registros
de representación
gráfico y algebraico
para trabajar con los
cuantificadores.
Representación de
vecindades en un en-
torno tridimensional
a través del registro
gráfico.
Se propone que el
estudiante analice
primero la implica-
ción de mover los
deslizadores.
En la primera columna se explican los objetivos de aprendizaje estable-
cidos en el plan de estudios; en la segunda, se interpretan esos mismos
objetivos y se relacionan con los constructos de conversión y tratamien-
to de la TRRS; en la tercera, se presentan las actividades que permitirán
obtener el objetivo de aprendizaje especifico; finalmente, en la cuarta
columna se describe la intención que deberán llevar a cabo los estu-
diantes, junto con las actividades para cada objetivo de aprendizaje. La
secuencia es prácticamente lo propuesto en las columnas 4 y 5, donde
se especifican tanto las actividades como la interacción que los alum-
nos deben tener. A continuación presentamos a manera de ejemplo un
fragmento de la interacción del estudiante con GeoGebra 3D, en una
actividad propuesta en nuestra secuencia:
26
EjE 1. TEcnología En Educación
Sesión 2
Considere la función f(x, y)= Sen(x + y).
Abra el archivo de Geogebra denominado «límites.ggb».
Dentro de este archivo se encuentran tres deslizadores: e, d y r. Los dos prime-
ros corresponden al épsilon-delta de la definición de límite, y el último es una
manera de controlar qué tanto se grafica la función; la intención es que no se
traslape lo que se mira. Lo que nos interesa es analizar
$→& ( , )
, considerando
la definición de límite de nuestro libro de texto.
Considere el punto A = (1,1). Para los valores particulares de = 1, ½,1/3, 1/10, dé
valores respectivos para , de tal manera que se cumpla la definición.
Analice el caso para A= (1,1) y los valores = 1 y =1.2.
Analice el caso en el que A se encuentra muy cercano a la recta x =0. ¿Qué pasa
con los valores de para los valores de antes considerados? Proporcione dos
valores de para cuando A = (2,0.1).
Analice el caso en el que A = (2,0).
Proporcione las imágenes correspondientes a cada caso estudiado y explíquelo
en términos de la definición de límite; por ejemplo, si A = (1,1) y =1, modifica-
mos los valores a e = 1 y d =0.33 (considerando r =7).
Parte del diseño en GeoGebra 3D, asociado a esta sesión 2, se puede ver
en la figura 1.
Los diseños en GeoGebra 3D junto con las interacciones de los estu-
diantes tratan lo propuesto en el plan de estudios, con la finalidad de
promover tratamientos o conversiones (en función de los objetivos de
aprendizaje) entre los registros de representación gráfico, algebraico y
verbal. Siempre tratando de explotar al máximo las bondades del sof-
tware para mejorar la enseñanza y aprendizaje del concepto de límite de
una función de dos variables.
27
Diseño e implementación De una secuencia De aprenDizaje
rEflExionEs
La investigación en torno a la enseñanza del cálculo señala como
problema central al límite; en el caso de las funciones de dos va-
riables, la información de que se dispone es poca. Por otro lado, dado
que la tecnología ofrece muchos beneficios para la enseñanza de las
matemáticas en el aula, consideramos que el aporte hecho desde esta
investigación es importante para la matemática educativa.
Asimismo, los posibles alcances de este trabajo de investigación se
concentran en el campo práctico y teórico de la matemática educativa.
Esto, mediante el incremento de herramientas didácticas que mejoren su
enseñanza y aprendizaje, así como sula investigación y aplicación en la
materia.. Confiamos que, mediante la secuencia de aprendizaje, se facilite
su enseñanza y se logre la comprensión del concepto de límite de una
función de dos variables; además de que también puede utilizarse para
mostrar el concepto de límite de los cursos de cálculo multivariable.
Figura 1. Ejemplo del diseño en GeoGebra 3D, sesión 2
28
EjE 1. TEcnología En Educación
rEfErEncias
Brandes, H., & Hardy, N. (2018). «From single to multi-variable Calculus:
a transition?» En V. Durand-Guerrier, R. Hochmuth, S. Goodchild, y
N. M. Hogstad. (Ed.), Proceedings of Indrum 2018, Second confe-
rence of the International Network for Didactic Research in Univer-
sity Mathematics (pp. 477-486). Kristiansand, Noruega: University
of Agder and INDRUM.
Duval, R. (2005). Cómo plantear y resolver problemas. Vigésimo sépti-
ma reimpresión. México: Trillas.
(2006). «Un tema crucial en la educación matemática: la habi-
lidad para cambiar el registro de representación». La Gaceta de la
RSME, 9(1), 143–168.
Kabael, T. (2014). Students’ Formalising Process of the Limit Concept.
Australian Senior Mathematics Journal, 28(2), 23-38.
Kothari, C. R. (2004). Research Methodology. Methods and Thechni-
ques. New Delhi: New Age International Publishers.
Martínez, R., & Trigueros, M. (2012). Students’ understanding of the
general notion of a function of two variables. Educational Studies
in Mathematics, 81(3), 365-384.
Sandoval, G. (2017). Diseño e implementación de una secuencia de
aprendizaje con el uso de GeoGebra en la aplicación de la derivada
a nivel bachillerato (tesis de maestría). Universidad Autónoma de
Zacatecas, Zacatecas, México.
29
Cómo fortalecer la capacidad de
representación y comunicación
matemática mediante el uso de
registros semióticos
Diana JuDith quintana sánchEz Y Luis vicEntE MEJía aLEMán
Universidad Nacional De Piura*
RESUMEN. El objetivo de esta investigación es mejorar la capacidad de comuni-
cación y representación matemática de los estudiantes de cálculo I de la Es-
cuela Profesional de Matemática, de la Facultad de Ciencias de la Universidad
Nacional de Piura (UNP) mediante una propuesta didáctica basada en la teoría
de registros semióticos de Raymond Duval, compuesta por un conjunto de
problemas sobre derivadas.El enfoque de la investigación fue cuantitativo y
sus resultados refl ejaron que el uso de varios registros semióticos había mejo-
rado la capacidad de representación y comunicación de las ideas matemáticas,
contribuyendo a potenciar la resolución de problemas. Durante la investiga-
ción se observó que a los estudiantes se les difi cultaba hacer la conversión de
registros; además de que las actitudes personales y colectivas relacionadas
con la capacidad para resolver problemas, se fortalecieron.
PALABRAS CLAVE: Registro de representación gráfi co, Simbólico, Verbal, Capaci-
dad, Resolución de problemas.
*Diana Judith Quintana Sánchez, dquintanas@unp.edu.pe, Luis Vicente Mejía Alemán,
lmejiaa@unp.edu.pe
EjE 1. tEcnología En EducacIón
30
EjE 1. TEcnología En Educación
Introducción
Un fenómeno didáctico frecuente en la enseñanza de los prime-
ros ciclos de la Universidad Nacional de Piura (UNP) en el área
de matemáticas es el alto número de estudiantes reprobados en
cálculo I. Aunque pueden ser muchas las razones, para efecto de esta
investigación consideramos las dificultades que los estudiantes presen-
tan ante la capacidad de representación y comunicación matemática
basada en el manejo de las operaciones de tratamiento y conversión de
registros que no les permitían abordar con éxito la resolución de proble-
mas sobre derivadas.
Para Duval (2017), «Un registro es un signo en el sentido más amplio de
la palabra: trazos, íconos, símbolos, etc.» Y agrega que «Se llama se-
miosis a la aprehensión o producción de una representación semiótica
y noesis a los actos cognitivos como la aprehensión conceptual de un
objeto, la discriminación de una diferencia o la comprensión de una
inferencia.»
Por lo tanto, en el proceso de aprendizaje de las matemáticas no hay
noética sin semiótica. En este sentido, estos signos pueden representar
objetos matemáticos y se constituyen en sistemas de representación,
según sus propiedades y características; Sin olvidar que cumplen con
una serie de reglas y convenios propios de las matemáticas. De ahí
que un sistema semiótico deba satisfacer tres actividades cognitivas: la
primera, ser un conjunto de marcas reconocidas como representación
de un objeto; la segunda, que las representaciones puedan transfor-
marse en el sistema y permitir el conocimiento; y la tercera, que estas
representaciones puedan convertirse en otros sistemas y permitir otras
características o significantes. ( Duval, 2017; Rico y Moreno, 2016).
Para representar un registro, D’amore (2015) facilita el siguiente
simbolismo:
"=ó − é( = 1,2,3,… )
<
"()= óó
− é( = 1,2,3, … )ó"
31
cómo fortalecer la capaciDaD De representación y comunicación matemática
Entonces, dado un objeto A para representar, se eligen sus ca-
racterísticas distintivas y la representación semiótica
"
#()
en el
registro de representación
o
. Con esta representación
"
#()
se
pueden hacer transformaciones para generar nuevas representacio-
nes
o
del objeto A, lo que se conoce como tratamiento.
Finalmente, la representación
o
puede también transformar-
se una representación
o
en un nuevo registro de represen-
tación
o
además
o
, conocida como
conversión.
Los problemas de la propuesta se seleccionaron de diversas fuentes
bibliográficas dedicadas al tema de las derivadas, considerando las
investigaciones de Planchart (2005), Gutiérrez y Parada (2007), Ro-
jas (2014) y Ospina (2012), cuyos resultados reflejaron dificultades de
los estudiantes para convertir el registro gráfico de las funciones en
registro algebraico, problemas para asociarles diferentes sentidos a las
expresiones dadas, predilección para anclarse en situaciones específi-
cas, mirar de manera icónica las expresiones algebraicas, propensión
a no utilizar el registro verbal en tareas relacionadas con la descripción
de procedimientos relativos a la aplicación de contenidos matemá-
ticos, y apegarse al uso de los registros únicamente cuando tienen la
necesidad de ampliar la información en su respuesta.
Aunque en nuestra investigación los problemas se presentaron en el
registro verbal, su solución promovió la movilización de los registros
verbal, algebraico y gráfico. Además, se aplicó la propuesta de cuatro
fases de Polya (1965), considerando que durante la aplicación de la
estrategia las fases pueden repetirse una y otro vez haciendo del pro-
ceso de resolución algo cíclico (Gomez y Puig, 2014). El enfoque que
utilizamos es cuantitativo, con un diseño cuasi experimental (Hernán-
dez, Fernández & Baptista, 2010); en tanto que el método fue correla-
cional longitudinal (Valderrama, 2015). Asimismo se utilizó la técnica
de la observación y los instrumentos usados fueron las pruebas pretest
y postest debidamente validadas por un juicio de expertos, junto con
listas de cotejo y rúbricas.
32
EjE 1. TEcnología En Educación
DEsarrollo
La aplicación de la propuesta tuvo una duración de medio semestre
académico con espacios de cinco horas semanales. Se desarro-
llaron diversas estrategias tales como clase magistral, dinámica de
trabajo en grupo y exposiciones, con la finalidad de promover en los
estudiantes la participación activa y constante; además de desarrollar
sus capacidades de análisis, síntesis y evaluación, indispensables para la
resolución de problemas.
A manera de ejemplo presentamos a continuación uno de los proble-
mas de la propuesta, junto con la descripción de cómo se analizó:
La casa del señor Pérez se encuentra rodeada por una barda de 1.5 metros de al-
tura. Desea colocar, desde la calle, una escalera que se recargue en la pared de su
casa y apenas libre la barda, como se muestra en la figura. Si la barda se coloca a
una distancia de 4 metros de la pared de su casa, ¿cuál debe ser la longitud mínima
de la escalera para lograr su propósito, y a qué distancia de la barda debe cons-
truirse una base para que la escalera no se resbale? (Ramírez et al., 2007, p.13)
El problema aparece cuando se hace uso de un registro verbal r1, se les
pide a los estudiantes una representación geométrica para visualizar las
propiedades matemáticas y poder aclarar las ideas y discutirlas. Partiendo
de que se reconoce la longitud de la escalera como el objeto matemático
que se estudiará, la primera representación del objeto se da en el registro
verbal.
o
: longitud de la escalera. A continuación se hace una conversión
de registro verbal al algebraico r2 de donde se obtiene
o
.
Aplicando operaciones de tratamiento se obtienen otras formas de re-
presentación:
o
o
o
. Aunque
también es conveniente convertir al registro gráfico r3 para determinar
las características de esta función que a simple vista no es posible deter-
minar si se tiene un máximo o mínimo, o qué valores puede tomar la va-
riable x. Para este propósito se emplea el software libre Geogebra. Una
vez que se han explorado los aspecto gráficos de la función, se retor
na al trabajo con el registro algebraico para aplicar el criterio de la pri-
mera derivada y así determinar el valor mínimo de x.
33
cómo fortalecer la capaciDaD De representación y comunicación matemática
La totalidad de los problemas de la propuesta se trabajaron de forma
similar a la expuesta, movilizando la mayor cantidad de registro de
representación, con la finalidad de promover una mejor comunicación
matemática. Asimismo, se plantearon tres hipótesis: la primera señalaba
que antes de la aplicación los estudiantes tenían calificaciones menores
a 13; pero, al procesar los resultados del pretest se obtuvo una media de
1=8,86, una mediana Me=10 y una moda Mo=11.
Además, una varianza de S2=8,6 y desviación estándar de S=2,933, lo
que indica que las calificaciones se encuentren muy alejadas de la
media. Dado que la evaluación mínima es de 2 y la máxima de 12, para
decidir cuándo se rechazaba la hipótesis y se calificaba como nula, se
consideró un nivel de significación
∝= 0,05
y y se obtuvo un valor de
p=0.00, con lo que se rechaza la hipótesis nula y se considera la hipóte-
sis alternativa.
La segunda hipótesis afirmaba que después de la aplicación de la
propuesta los estudiantes presentaron calificaciones mayores a 13. Al
procesar los resultados del postest se obtuvo una media de μ2= 15,21,
una mediana de Me=15,82 y una moda Mo=15,8. Una varianza de S2=2.04
y una desviación estándar de S=1,43 lo que indica que las calificacio-
nes están muy próximas a la media. Con una evaluación mínima de 12 y
una máxima de 16, para tomar la decisión de rechazar la hipótesis nula
se consideró un nivel de significación
∝= 0,05
y se obtuvo un valor de
p=0.00, lo que permitió rechazar la hipótesis nula en favor de la hipóte-
sis alternativa.
La tercera hipótesis señalaba que, después de la aplicación de la pro-
puesta didáctica, la mayoría de los estudiantes mejoraron su capacidad
para resolver problemas, debido a que las medias del pretest y postest
son diferentes. Para esta validación se aplicó la prueba T-Student en am-
bas pruebas y se obtuvo un p valor de 0.000, siendo menor que el nivel
de significancia de =0.05, con lo que se rechaza la hipótesis nula.
Como resultados, luego de la aplicación de la propuesta didáctica, los
estudiantes presentaron mejores calificaciones y manifestaron sentirse
34
EjE 1. TEcnología En Educación
más contentos y motivados con las actividades trabajadas en clase;
asimismo, minimizaron los temores a la evaluación de los aprendizajes
en este contenido de la asignatura, además de que el uso de diferentes
registros les permitieron mejorar el nivel de comprensión y razonamien-
tos de las matemáticas. El desarrollo de los procesos cognitivos fue fun-
damental y cada estudiante aprendió a reconocerlos cuando se enfrentó
a un problema matemático.
Al finalizar la investigación se obtuvieron las siguientes conclusiones:
∞ El uso del registro verbal permite potenciar su capacidad para
presentar los razonamientos matemáticos y sus conclusiones con
claridad y precisión de forma apropiada, tanto oral como escrita.
Antes y durante la aplicación de la propuesta se evidenció que los
estudiantes empleaban poco este registro, a pesar de ser el más
común, debido a la constante aplicación del registro algebraico al
que están acostumbrados desde la escuela.
∞ El uso del registro gráfico permite organizar información, hacer
estimaciones simples y generar estrategias de resolución. An-
tes de aplicar la propuesta los estudiantes tenían dificultad para
reconocer en una situación problemáticas el momento adecuado
en el que podían emplearlo; durante la propuesta los estudiantes
aprendieron a usar este registro como una herramienta para com-
prender información del problema e interpretar sus resultados.
∞ El uso del registro algebraico permite manejar el lenguaje mate-
mático y representar las situaciones reales mediante anotaciones
matemáticas, permitiendo a los estudiantes ganar seguri-
dad y confianza debido a su habilidad para hacer los cálculos
algebraicos.
rEflExionEs
∞ La propuesta que presentamos puede aplicarse a otras asigna-
turas de la carrera, considerando que las matemáticas tienen las
mismas características para sus objetos de estudio. Aunque esta
35
cómo fortalecer la capaciDaD De representación y comunicación matemática
investigación se efectuó en un momento en el que predominaba
el enfoque cuantitativo, actualmente puede practicarse desde un
enfoque cualitativo, con la finalidad de aplicar el análisis de otros
instrumentos que proporcionen mayor información y sin tener
que basarse en el análisis de una prueba pre y posest.
∞ En estos tiempos de pandemia es claro que aprovechamos
muchos recursos como Geogebra, Mathematica, Derive y apli-
caciones como padlet, meet y jamboard; plataformas educativas
como Classroom, editores de ecuaciones y tablets para facilitar la
comprensión de los estudiantes. Pero lo más importante es que
seguimos trabajando con tareas que permitan la movilización de
los registros y presenten diversos problemas de contexto.
rEfErEncias
D’amore, B. (2015). Bases filosóficas, pedagógicas, epistemológicas y
conceptuales de la didáctica de la matemática. Reverté.
Duval, R. (2017). Semiosis y pensamiento humano (Segunda). Programa
Editorial.
Espinosa, E., Canals, I., Meda, M., Pérez, R., & Ulín, C. (2009). Cálculo
Diferencial (Primera). Reverté.
Gomez, B., & Puig, L. (2014). Resolver problemas. Guada Impresores.
Gutiérrez, S. I., & Parada, D. A. (2007). Caracterización de tratamientos y
conversiones: el caso de la función afín en el marco de las aplica-
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Hernández, R., Fernández, C., & Baptista, P. (2003). Metodología de la
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Ospina, D. (2012). «Las representaciones semióticas en el aprendizaje del
concepto función lineal» (tesís de maestría), Universidad Autónoma
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Planchart, O. (2005). La visualización y la modelación la adquisición del
concepto de función. 176. http://ponce.inter.edu/cai/tesis/oplan-
chart/inicio.pdf
Polya, G. (1965). Primera parte En el salón de clases. Cómo plantear y
resolver problemas (vol. 136, pp. 25–46). https://docs.google.com/
36
EjE 1. TEcnología En Educación
viewer?a=v&pid=sites&srcid=ZGVmYXVsdGRvbWFpbnxtaXBsYXR-
hZm9ybWFlZHVjYXRpdmF8Z3g6MmMxMzJlZDBmNDQyYmJkNQ
Ramírez, C., Gómez, G., Lugo, M., Molina, A., & Morales, J. (2007).
Cálculo diferencial e integral I (Primera). Trillas.
Rico, L. y Moreno, A. (2016). Elementos de la didáctica de la matemáti-
ca para el profesor de secundaria. Pirámide.
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matemáticas». Revista Digital: Matemática, Educación e Internet,
12(1). https://doi.org/10.18845/rdmei.v12i1.1686
Valderrama, S. (2015). Pasos para elaborar proyectos de investigación
científica (Quinta). San Marcos.
37
Situaciones en contexto con el uso
de GeoGebra
anEL EsquivEL navarrEtE Y GEMMa GuaDaLupE pLiEGo FLorEs*
Universidad Autónoma del Estado de México (uaEMex)
RESUMEN. La propuesta que compartimos es parte de nuestra experiencia didác-
tica en el bachillerato de la Universidad Autónoma del Estado de México, para
la enseñanza de las matemáticas. Por lo mismo establecemos situaciones en
contexto, de complejidad creciente, susceptibles de describir mediante un mo-
delo matemático para el que se utilizan conceptos básicos de aritmética, álgebra
o geometría, junto con el software GeoGebra. La experiencia nos indica que,
cuando se les presenta a los estudiantes situaciones del mundo real, alcanzables
en su nivel y entorno, es mucho más fácil que ellos describan el problema, cons-
truyan un modelo, expliquen y justifi quen su comportamiento, comprueben lo
que hicieron y comuniquen mejor sus ideas. Esta forma de enseñanza invita a
los estudiantes a obtener un aprendizaje signifi cativo ya que su interpretación
del resultado corresponde a la ciencia matemática y no se limita a describir una
serie de símbolos algebraicos que, en muchas ocasiones, carecen de sentido
para ellos.
*Anel Esquivel Navarrete, aesquiveln@uaemex.mx, y Gemma Guadalupe Pliego Flores
ggpliegof@uaemex.mx
EjE 1. tEcnología En EducacIón
38
EjE 1. TEcnología En Educación
Introducción
La dinámica de la sociedad actual exige una educación escolar no
tradicional; es decir, que ya no sea predominantemente oral por
parte del profesor, pues promueve la pasividad de los estudiantes y
la memorización mecánica del conocimiento. Además de que desvincula
a los estudiantes de la realidad social y de la suya en particular, por lo poco
significativo de sus contenidos. Ésta es la razón por la que se requiere de
una escuela en la que los educandos experimenten con herramientas
tecnológicas, tanto los objetos como las situaciones contextualizadas
que les implique funciones mentales básicas (como la memorización no
mecanizada) y superiores (como el razonamiento o la abstracción).
Una característica del pensamiento matemático es que generaliza y
abstrae; pero tiene que hacerse a partir de acciones concretas y activi-
dades específicas que llevan a un razonamiento situacional. En este sen-
tido, a lo largo de nuestra experiencia docente hemos detectado que ya
no es suficiente que los profesores seamos comunicadores de resulta-
dos, impartiendo la clase de forma extenuante, algorítmica y repetitiva.
No. Ahora nuestra función es crear condiciones que le permitan al estudiante
apropiarse del conocimiento, así como diseñar actividades capaces de brin-
dar un aprendizaje significativo y situacional que lo obliguen a involucrarse en
una tarea, un reto o una actividad que le demande acciones facilitadoras de
nuevos conocimientos que más tarde podrá utilizar.
Según Cantoral Uriza (2013), deben desarrollarse modelos matemáti-
cos que acaben con la pasividad del estudiante en la que únicamente
observa la clase, sin desarrollar su propio pensamiento matemático. Por
ejemplo, un modelo matemático es una representación simplificada de
ecuaciones, funciones o fórmulas sobre un fenómeno o la relación en-
tre dos o más variables; como entender fenómenos naturales, sociales,
físicos o de cualquier índole.
Según el objetivo que se pretenda alcanzar y el diseño del modelo es
posible predecir el valor de las variables en el futuro; como el número de
39
situaciones en contexto con el uso De GeoGebra
habitantes de una población en determinado tiempo, hacer hipótesis,
evaluar los efectos de una determinada política o actividad, proyectar
epidemias en determinado tiempo cuando no se erradican en el mo-
mento adecuado, entre otros objetivos.
Aunque parezca un concepto teórico, en realidad hay muchos aspectos de
la vida cotidiana que están regidos por modelos matemáticos. El problema
es que no están enfocados a teorizar, sino que únicamente se formularon
para que algo funcione: digamos, para saber lo que un automovilista debe
pagar en un estacionamiento por determinado número de horas.
El uso de modelos matemáticos en el aula, y en general las matemáti-
cas en contexto, le permiten al estudiante reconocer los roles de esta
ciencia en la vida cotidiana, con la finalidad de que aprenda en qué
situaciones y circunstancias puede utilizar una idea y no otra: para eso
es importante no confundir acreditación o logro con aprendizaje.
Entendemos que el aprendizaje es progresivo, es decir, ningún estudian-
te entiende y aprende todo de una sola vez y para siempre; sabemos
que va a cometer errores, va a equivocarse y va a tener que cambiar sus
ideas en un momento dado. En pocas palabras, debemos entender que
aprender no es copiar del exterior al interior; no es reproducir tal cual lo
que el profesor dice.
El aprendizaje mediante modelos matemáticos contextualizados se basa
en la construcción de ideas, que van ajustándose conforme se obtienen
exitosamente los resultados o se confirma que tiene errores; siempre to-
mando la realidad como un uso de la matemática en las ciencias y en la
vida cotidiana: todo ello es parte de los insumos que le permiten al joven
perfeccionar su propio pensamiento matemático.
DEsarrollo
La propuesta que compartimos en esta ponencia es parte de nuestra
experiencia didáctica en el bachillerato de la Universidad Autónoma
40
EjE 1. TEcnología En Educación
del Estado de México en cuanto a la enseñanza de las matemáticas;
por lo mismo, nuestra exposición la hacemos en un salón de clase para
identificar los momentos que involucra una secuencia didáctica.
Para empezar presentamos algunas situaciones en contexto, susceptibles
de ser descritas mediante un modelo matemático; ya sea en forma de
problema o de desafío. Cabe resaltar que siempre lo haremos en orden de
complejidad creciente, con la finalidad de que las herramientas utilizadas
para encontrar la solución al problema se basen en conceptos básicos de
aritmética, álgebra o geometría. Conforme avancemos iremos analizando
las situaciones planteadas, apoyándonos en acciones como la identifica-
ción de datos, la introducción de variables o lo que el problema requiera.
Bien. A lo largo de los años hemos experimentado las ventajas de au-
xiliarnos con la tecnología para mostrar gráficamente la interpretación
de los modelos que se van encontrando; en nuestro caso nos hemos
apoyado en GeoGebra: un software matemático interactivo libre para la
educación, en colegios y universidades, con un manejo amigable tanto
para el docente como para el estudiante; además de que es muy com-
pleto, permite el trazado dinámico de construcciones geométricas de
todo tipo: tanto la representación gráfica como el tratamiento algebrai-
co y el cálculo de funciones reales de variable real, de sus derivadas e
integrales y demás.
Una vez que el estudiante gana confianza para establecer sus modelos
matemáticos, se le proponen mayores retos y así se va avanzando hasta
que es capaz de desarrollar el modelo en papel. Para ellos es más fácil
usar el paquete graficador que ya comentamos, pues se trata de un
procesador geométrico y algebraico que reúne tanto geometría como
álgebra, estadística y cálculo; de tal forma que puede utilizarse en dife-
rentes disciplinas.
Si bien el objetivo de esta charla no es enseñar el uso de GeoGebra, es con-
veniente mostrar sus grandes bondades para entender por qué, a pesar de
que el estudiante pudiera tener carencias algebraicas, puede comprender
las soluciones que el software presenta para determinado problema.
41
situaciones en contexto con el uso De GeoGebra
Antes de concluir se recapitula el proceso completo de cada ejemplo,
enfatizando que en algunos casos el modelo obtenido en papel pudo
reforzarse con la ayuda de GeoGebra, mientras que en otros su solución
hizo que el estudiante tuviera que aprender a hacerlo; lo que se vuel-
ve muy significativo ya que en adelante tendrá otra interpretación del
resultado: ya no sólo una serie de símbolos algebraicos que, en muchas
ocasiones, carecen de sentido.
Porque la experiencia nos lo ha enseñado, defendemos la postura de
que usar la tecnología no significa hacer a un lado el conocimiento de
los conceptos matemáticos ni tampoco el desarrollo formal de los pro-
cesos; antes bien, se refuerzan y cobran mayor sentido.
conclusionEs
Cuando se aprende algo nuevo se involucran, sin duda, procesos de
razonamiento; aunque también están los factores de experiencia.
Es inevitable que el razonamiento sea ajeno a un entorno cultural, por
lo tanto, es necesario diseñar actividades o situaciones cercanas a la
realidad de los educandos, pensando siempre cubrir alguna necesidad
personal que les exija una pensamiento matemático.
En la forma clásica el maestro enseña y el alumno aprende; en la forma
moderna, el profesor diseña y el alumno participa. En nuestro taller nos
interesa proporcionar situaciones que nos lleven a generar modelos de
distintos tipos y diferentes grados de dificultad; situaciones que puedan
motivar a los docentes para que, en sus aulas de secundaria, bachillerato
o nivel superior, sean capaces de reproducirlos o bien generar nuevos
modelos; de acuerdo a las características y necesidades de sus grupos
escolares, con la idea de lograr una participación más entusiasta de los
estudiantes.
Estamos convencidas de que cuando se les presentan situaciones del
mundo real, es decir situaciones en contexto y alcanzables en su nivel
y entorno, ellos pueden describir el problema, construir un modelo,
42
EjE 1. TEcnología En Educación
explicar y justificar su comportamiento, además de hacer las compro-
baciones pertinentes y comunicar sus ideas.
rEfErEncias
Cantoral, R. (2013). Teoría epistemológica de la matemática educativa:
estudios sobre construcción social del conocimiento. México: GE-
DISA.
García, M.A. (2011). Matemáticas 1: Enfoque por competencias. México:
Esfinge.
González, R. (2014). Pensamiento numérico y algebraico. México: Gru-
po Editorial EM2YLC.
Ruíz, J. (2006). Geometría analítica. México: Publicaciones Cultural.
Sánchez, Fidel. (2009). Matemáticas 1: A partir de la solución de pro-
blemas, Bachillerato. México: Norte/Sur.
43
Características de las estrategias
de aprendizaje en matemáticas con
alumnos universitarios mexicanos
prócoro oMar butrón zaMora Y José GabriEL sánchEz ruiz
Benemérita Universidad Autónoma de Puebla,
Facultad de Estudios Superiores Zaragoza, UNAM*
RESUMEN. Las estrategias de aprendizaje (cognitivas, metacognitivas y relacio-
nadas con el uso de recursos) están estrechamente vinculadas con el rendi-
miento académico del alumno, lo que permite mejorar el aprendizaje. El objetivo
de este estudio es observar la confi abilidad del instrumento y detectar posibles
diferencias en el empleo de estrategias de aprendizaje en matemáticas, con
alumnos universitarios. Para ello se aplicó el cuestionario LIST a 208 estudian-
tes, de donde se encontró una aceptable confi abilidad del instrumento
(=0.93). A diferencia de las demás carreras, las de matemáticas aplicadas y
mecánica tienden a recurrir en mayor medida a las estrategias evaluadas; ade-
más, las alumnas, más que los varones, tienen la tendencia de gestionar mejor
los saberes matemáticos, tener un ambiente de aprendizaje adecuado y buscar
información en diferentes fuentes cuando se enfrentan a alguna difi cultad.
PALABRAS CLAVES: Cuestionario LIST, Estrategias de aprendizaje, Matemáticas,
Universidad.
*Prócoro Omar Butrón Zamora, maestría en Educación Matemática, Facultad de Ciencias Físico Mate-
máticas de la Benemérita Universidad Autónoma de Puebla, omar_21063@hotmail.com, y José Gabriel
Sánchez Ruiz, de los mismos lugares y la Facultad de Estudios Superiores Zaragoza, de la Universidad
Nacional Autónoma de México josegsr@unam.mx
EjE 1. tEcnología En EducacIón
44
EjE 1. TEcnología En Educación
Introducción
Las estrategias de aprendizaje son una herramienta esencial en el
aprendizaje y la enseñanza de las matemáticas, que afectan las
metas de un modelo educativo e, inciden en el tipo de aprendizaje
que se pretende lograr, entre otros aspectos, por lo mismo es indis-
pensable que se identifiquen de manera correcta (Gasco-Txabarri et al.
2017).
En los últimos años han conformado uno de los dominios de conoci-
miento más abordados por la psicología de la educación; no sólo por
su posibilidad de vincularse con diferentes constructos teóricos, sino
también por la importancia que conlleva su utilización; además de que
están muy vinculadas con el rendimiento académico del alumno, lo que
permite mejorar el aprendizaje. Entonces, estas son razones válidas para
que muchos investigadores intenten conocer mejor estos construc-
tos que tanto interés despiertan e indaguen todas sus posibilidades en
el ámbito de la educación matemática, como mencionan (Calderón y
Chiecher, 2012).
El objetivo del presente estudio consiste en observar la confiabilidad del
instrumento para cada estrategia, así como detectar posibles diferencias
en el empleo de las estrategias de aprendizaje en matemáticas en alum-
nos universitarios con el fin de poder comprender la diversidad existente
en función del área de estudio, semestre y del sexo de los estudiantes.
Marco DE la invEstigación
Concepto y clasicación de las estrategias de aprendizaje
Indagando acerca de antecedentes sobre estudios que se centran en
las estrategias de aprendizaje, se encontró una amplia y diversa gama
de definiciones y tipologías, por lo que se hace necesario focalizar el
estudio hacia determinadas perspectivas teóricas. Así, se decidió tomar
como referencia el concepto de estrategias de aprendizaje elaborado
por Wild (2000).
45
características De las estrateGias De aprenDizaje
El objetivo de las estrategias de aprendizaje también puede relacionarse
con el control indirecto del aprendizaje a través de la influencia inten-
cional de estados motivacionales y afectivos personales. El enfoque
principal de la investigación de la estrategia de aprendizaje hasta ahora
es predominantemente en el dominio cognitivo. Wild (2000) refiere a
las estrategias como las formas en que la información se selecciona, ad-
quiere, organiza o integra al conocimiento existente. El autor considera
tres grandes grupos de estrategias, que a su vez incluyen distintos pro-
cedimientos que se mencionan a continuación: estrategias de aprendi-
zaje cognitivas, estrategias de aprendizaje metacognitivas y estrategias
de aprendizaje relacionadas con los recursos (figura 1).
Figura 1. Descripción general de las estrategias de aprendizaje (Wild, 2005, p. 194, traducción del autor).
Estrategias
de supercie
Estrategias
primarias
Estrategias
secundarias
Recursos
externos
Recursos
internos
Gestión del
tiempo
Atención
Esfuerzo
Estudiando
con sus
compañeros
Uso de
fuentes de
información
Diseño del
ambiente de
trabajo
Estrategias de
profundidad
Estrategias de
elaboración
Pensamiento
crítico
Planicar los
pasos de
aprendizaje
Monitorear los
pasos de
aprendizaje
Regular los
pasos de
aprendizaje
Estrategias de Aprendizaje
(en un sentido más amplio)
Estrategias
de repetición
Estrategias de
organización
Estrategias
metacognitivas
Estrategias
cognitivas
Estrategias para el uso
de recursos internos
y externos
46
EjE 1. TEcnología En Educación
DEsarrollo: MEtoDología
Participantes
Participaron 208 estudiantes de nivel superior de la Universidad Au-
tónoma de Tlaxcala (México) de las carreras de: matemáticas apli-
cadas, computación, mecánica y sistemas electrónicos. De los cuales
67 (32.2%) eran mujeres y 141 (67.8%) hombres y con una edad prome-
dio de 20.09 años.
Instrumento
El cuestionario LIST (Estrategias de Aprendizaje en la Universidad) pre-
senta un instrumento centrado en estrategias cognitivas, metacogni-
tivas y relacionadas con los recursos, que comprende 69 ítems con 13
dimensiones de estrategias de aprendizaje agrupadas en consecuencia.
El cuestionario LIST (Wild y Schiefele, 1994) permite medir estrategias de
aprendizaje en estudios académicos; se compiló por primera vez en la dé-
cada de 1990 y desde entonces se ha modificado y probado varias veces.
Utiliza escalas Likert y abarca elementos generales que pueden aplicar-
se a todo tipo de temas; por ejemplo, una raíz del cuestionario LIST es
el Motivated Strategies for Learning Questionnaire (MSLQ) que mide la
motivación y el aprendizaje autorregulado a los estudiantes universitarios
en relación con un curso especial, Pintrich, et al. (1993). Además de la
motivación, las escalas de LIST se derivan directamente de MSLQ, aunque
el número de elementos varía. La principal diferencia entre los dos cues-
tionarios es que el MSLQ pone más énfasis en incluir diferentes aspectos
de la motivación como orientación a objetivos o control de creencias de
aprendizaje.
Otro estudio esencial que influye en el cuestionario LIST es el Learning
and Study Strategies Inventory (LASSI) de (Weinstein y Palmer, 2002) que
también separa los aspectos cognitivos. Las escalas LASSI cubren en parte
los mismos contenidos que LIST, aunque contienen nombres diferentes.
Los ítems se responden en función de una escala Likert de cinco puntos
(desde 1: completamente en desacuerdo, hasta 5: completamente de
acuerdo).
47
características De las estrateGias De aprenDizaje
Análisis de resultados y conclusiones
En el estudio se encontró una muy aceptable confiabilidad del instru-
mento LIST en todos sus ítems ( =0.93) y resulta aceptable en siete
dimensiones que presentan fiabilidades suficientes. Esto da una señal
positiva sobre la utilidad del instrumento para futuros estudios de estra-
tegias de aprendizaje en matemáticas de nivel universitario en México.
Las estrategias que más destacan en toda la muestra son: estrategia uso
de obras de referencia, metacognitiva de regulación, de elaboración y de
esfuerzo. Es decir, los estudiantes tienen tendencia a relacionar el saber
matemático con otras materias, lo mismo que a ordenar los pasos de
aprendizaje, así como a regular de manera permanente el esfuerzo y la
búsqueda de ayuda ante dificultades.
Con lo que respecta a las diferencias en función del curso académico se
pudo observar que hay diferencias estadísticamente significativas en las
estrategias de aprendizaje de esfuerzo, de gestión del tiempo y ambien-
te de aprendizaje. En las carreras de matemáticas aplicadas y mecánica,
matemáticas y computación, las diferencias estadísticas se producen
en las estrategias evaluadas. En el primer grupo en las estrategias de
esfuerzo y gestión del tiempo, mecánica obtiene puntuaciones supe-
riores a matemáticas y en ambiente de aprendizaje las puntuaciones son
iguales.
El alumnado de mecánica recurre con mayor frecuencia a estas estra-
tegias que los alumnos de matemáticas aplicadas. En el segundo grupo,
en las estrategias evaluadas, el alumnado de matemáticas obtiene pun-
tuaciones superiores que computación. Es decir, esta carrera recurre
en mayor medida a las estrategias que los alumnos de computación. A
lo que respecta a la ausencia de diferencias estos resultados indican un
empleo similar en las demás estrategias.
En las diferencias con respecto al sexo, se observó que los participantes
femeninos tienen tendencia a gestionar mejor los saberes matemáticos,
a tener un ambiente de aprendizaje adecuado y a la búsqueda de infor-
mación en diferentes fuentes ante dificultades, en mayor medida que
48
EjE 1. TEcnología En Educación
los varones. Coincide con Bidjerano (2005) donde se verifica una mayor
planificación del aprendizaje y autocontrol por parte de las alumnas
en educación secundaria. La estrategia de organización se presenta en
mayor medida en estudiantes femeninos, Gasco-Txabarri (2017) y en un
estudio realizado previamente en nivel bachillerato y en esta investiga-
ción por los autores.
La investigación en educación matemática a nivel superior puede ser un
campo de investigación interesante y puede dar lugar a resultados útiles
para que los docentes, en todos los niveles educativos, apliquen a su
enseñanza.
Con ello se tiene un instrumento confiable en México para futuras
investigaciones sobre estrategias de aprendizaje en matemáticas. Esto
coincide con investigaciones efectuadas en Alemania, España y Estonia
en el nivel superior, (Kaldo y Õun, 2019).
Hasta el momento, este estudio es la única investigación de las estrate-
gias de aprendizaje en matemáticas de los estudiantes de nivel superior
en México, ya que el área ha sido escasamente explorada y necesita
atención en un contexto mexicano.
rEfErEncias
Calderón, L. & Chiecher, A. (2012). «Estrategias de aprendizaje, ¿proce-
sos en construcción? Comparando el desempeño estratégico en
educación secundaria y universitaria». Revista Electrónica Actuali-
dades Investigativas en Educación, 12(2), 1-16
Gasco Txabarri, J. (2016). «El empleo de estrategias en el aprendizaje
de las matemáticas en enseñanza secundaria obligatoria». Revista
de Investigación Educativa, 34 (2), 487-502.
Gasco-Txabarri, J. R. e Iker, G. A. (2017). «Cuestionario de estrategias
de aprendizaje para las matemáticas (Ceama): medida y propieda-
des de una adaptación en lengua castellana». Cultura y Educación.
29, 1-27.
49
características De las estrateGias De aprenDizaje
Kaldo, I., & Õun, K. (2019). «Developing of Factor Structure for Learning
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Lockett, M., Ojeda, M. y Gili, A. (2008). Estudio sobre el mejoramiento
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Odontología de la Universidad del Nordeste, Argentina.
Pintrich, P., & García, T. (1993). «Intraindividual dierences in students’
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tional psychology, 7(3), 99-107.
Weinstein, C. E., & Palmer, D. R. (2002). Learning and Study Strategies
Inventory (LASSI): User’s manual (2nd ed.). Clearwater, FL: H&H
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Wild, K. P., Schiefele, U. (1994). «Lernstrategien im studium. Ergebnisse
zur Faktorenstruktur und Reliabilität eines neuen Fragebogens»
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reliability of a new questionnaire]. Zeitschrift für Dierentielle und
Diagnostische Psychologie, 15, 185–200.
Wild, KP. (2000). Lernstrategien im studium: strukturen und bedingun-
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Wild, K. P. (2005). «Individuelle lernstrategien von studierenden. Konse-
quenzen für die hochschuldidaktik und die hochschullehre». Bei-
träge zur Lehrerinnen-und Lehrerbildung, 23(2), 191-206.
50
Mario Yos, arq.mayos@gmail.com
EjE 1. tEcnología En EducacIón
CASIO EDU+ y la creación
de clases en línea
Mario Yos*
FPK Electrónicos Casio-Guatemala
RESUMEN. El desarrollo de actividades matemáticas en el salón de clases ha sido
vinculado al proceso de enseñanza-aprendizaje, lo mismo que a la utilización
de herramientas que fortalezcan el desarrollo del pensamiento matemático
y le permitan al estudiante formular estrategias de solución a las diferentes
situaciones que ayuden a explorar los conocimientos previos y se enlacen con
los nuevos, permitiéndoles integrarse para ampliar los saberes del estudiante.
Utilizar las herramientas tecnológicas, específi camente la App CASIO EDU+,
genera mayor capacidad de comprensión ya que pueden desarrollarse amplia-
mente cada una de sus características para crear una clase en línea en la que
se aborde la matemática en un escenario tecnológico.
PALABRAS CLAVE: Herramienta, Tecnología, Calculadora, Aprendizaje, Clase
51
casio eDu+ y la creación De clases en línea
Introducción
La matemática, como cualquier otro avance de la humanidad, es
producto de las mismas necesidades humanas: contar y medir.
De ahí que tanto las fórmulas como los números, las figuras, las
ecuaciones y todo lo que presenta esta asignatura en los distintos
niveles de enseñanza, se aplican constantemente en nuestro quehacer
cotidiano.
Por lo mismo es importante saber cuáles son esas aplicaciones y tener
las habilidades necesarias para resolver los problemas que suelen pre-
sentarse en la vida mediante la matemática; sin lugar a dudas, cualquier
herramienta que apoye este proceso es indispensable para una mejor
abstracción, debido a que
la matemática posee dimensiones abstractas en una mayor proporción y de
diferente forma que las otras ciencias, y generar un escenario tecnológico que
pueda resolver situaciones enfocadas al desarrollo del pensamiento matemático
(Ruiz, 2011:3).
Se trata de herramientas que «incluyen tópicos matemáticos y procesos
avanzados del pensamiento como abstracción, justificación, visualiza-
ción y estimación» (Cantoral, 2005:20) y generan un escenario tecno-
lógico donde el estudiante resuelve situaciones enfocadas al desarrollo
del pensamiento matemático, con ayuda de una calculadora Casio
Classwiz y la aplicación para dispositivos inteligentes CASIO EDU+, lo
que permite crear clases en línea para compartir y comparar los resulta-
dos de cálculo durante un trabajo grupal.
Con un escenario tecnológico como éste se dispone de una alternativa
para abordar la matemática con recursos tecnológicos, permitiendo
utilizarlos en diferentes contextos e incluso servir como complemento
de otros que promueven una matemática algorítmica.
52
EjE 1. TEcnología En Educación
fPK ElEctrónicos Para la EDucación MatEMática
Creatividad y contribución son los pilares de la filosofía de CASIO,
mediante FPK Electrónicos, con los que se compromete con la co-
munidad académica; de ahí que el Programa Gakuhan sea un programa
de formación y apoyo para docentes, investigadores y estudiantes, de
tal forma que puedan mejorar integralmente el proceso de enseñan-
za-aprendizaje en el área de matemática con la calculadora científica.
De esta manera, si se usa una calculadora de forma productiva, se forta-
lecen las habilidades para resolver problemas y se combinan los cálculos
matemáticos de rutina con el pensamiento matemático, lo que establece
una forma diferente de aprender en un escenario tecnológico que «per-
mita darle sentido a la matemática en el aula para lograr, con este proce-
so de aplicación, una comunidad de aprendizaje» (Gómez, 2004: 17)
Así, dado que las herramientas tecnológicas crean nuevas soluciones y
espacios de intercambio entre los estudiantes, abren campos de in-
tercambio de ideas y acceso inmediato a la información, con lo que se
potencia el desarrollo personal e intelectual: por eso es muy importante
que el docente diseñe y lleve a la práctica un currículo donde la tecno-
logía contribuye a que los estudiantes adquieran aprendizaje.
Para lograrlo es necesario planificar con detalle el uso de la tecnología y
las competencias que se quieran y puedan desarrollar en los estudian-
tes; además de diseñar las tareas y un sistema de evaluación con el que
se mida ese desarrollo.
Actualmente FPK Electrónicos apoya los proyectos más significativos,
impulsados por el vicedespacho de Diseño y Verificación de la Calidad
Educativa; tales como el Proyecto Matemática BEG (Bachillerato Experi-
mental Guatemalteco), el proyecto piloto que establece los contenidos
matemáticos acordes al BI (Bachillerato Internacional) y la Certificación
de Docentes en el Uso de la Calculadora como Herramienta de Apren-
dizaje CASIO- MINEDUC; proyecto que potencia la aplicación CASIO
EDU+ y la creación de clases en línea.
53
casio eDu+ y la creación De clases en línea
aPlicación casio EDu+
CASIO EDU+ es una aplicación de servicios para calculadoras cien-
tíficas CASIO, a los que se tiene acceso con sólo escanear el QR
Code correspondiente desde ClassWiz, proporcionando funciones
adicionales no disponibles en ClassWiz para un teléfono inteligente;
funciones como dibujo de gráfico/fórmula (visualización en línea),
compartir gráfico/fórmula (en línea) y establecer métodos de búsqueda
(manual en línea).
Asimismo, cuando la aplicación se utiliza con ClassWiz también es posi-
ble ajustar el algoritmo de escaneo de QR Code para mejorar la preci-
sión; de la misma manera las gráficas también pueden visualizarse en
teléfonos inteligentes, tabletas u otros dispositivos similares.
Fig. 1. Características de la aplicación CASIO EDU+
Un complemento para el uso de
la calculadora Casio ClassWiz es la
aplicación fx 570/991 LAX, con
la que pueden crearse clases en
línea; sus características pueden
observarse en la siguiente figura.
clasEs En línEa
(class)
Una Class en una página que
puede crearse para ver y
administrar gráficos y tablas de
QR Code con CASIO EDU+. Si
se comparan o combinan varios
grupos de datos con Class, es
posible visualizar los ejercicios
de los estudiantes en la pantalla
o comparar el resultado de un
trabajo de grupo; talcomo se
muestra en la siguiente figura. Figura 2. Cómo utilizar CASIO EDU+
54
EjE 1. TEcnología En Educación
EMulaDor y PrograMa aDMinistraDor
Los programas que emulan las operaciones de la calculadora cien-
tífica, incluidos los modelos gráficos, permiten utilizar todas las
funciones de una calculadora en una computadora u otro dispositivo
móvil, lo que le da opción al docente para preparar actividades de en-
señanza y presentarlas en un salón de clase mediante un proyector.
El emulador y administrador son herramientas efectivas para el diseño
de actividades de aprendizaje; de tal forma que el estudiante puede
aprender con mejores resultados ya que el programa hace y muestra las
operaciones de la misma manera que las calculadoras.
Además, les permite a los docentes crear materiales para sus clases de ma-
temática, auxiliándose en las funciones de copiar y pegar junto con coman-
dos, operaciones e imágenes capturadas en la pantalla de la calculadora.
los rEsultaDos
Usar la calculadora científica Casio ClassWiz con la aplicación CASIO
EDU+ y la clase en línea permite reducir el tiempo para los cál-
culos gracias al uso de la calculadora que permite centrarse más en el
pensamiento matemático para mejorar las habilidades de resolución
de problemas; además de explorar otras ideas matemáticas, ya que la
calculadora propicia la proactividad para comprender los cálculos con
razonamiento matemático; así como crear un ambiente de confianza
en un escenario tecnológico aplicable a la matemática.
conclusionEs
El uso de herramientas tecnológicas es un gran aporte para la ense-
ñanza de la matemática; saber cómo utilizarla generara una gran
oportunidad para avanzar en la sociedad de conocimiento. Por lo mis-
mo es importante fundamentar la enseñanza de la matemática en un
55
casio eDu+ y la creación De clases en línea
proceso para el desarrollo del pensamiento matemático, no solamente
en los procedimientos algorítmicos.En este sentido, la aplicación CA-
SIO EDU+ y la creación de Clase en línea permiten un escenario tec-
nológico en el que tanto el docente como los estudiantes interactúan
de manera eficaz para la resolución de situaciones matemáticas con
aplicaciones reales; siempre y cuando se considere al docente como
un protagonista en esta toma de decisiones para abordar de manera
diferente a la matemática.
rEfErEncias
Gómez, P. (2004). Análisis didáctico y uso de la tecnología en el aula de
matemática. Departamento de Didáctica de la Matemática. Univer-
sidad de Granada. España.
Ruiz, A. (2001). Asuntos de método en la educación matemática.
Centro de Investigaciones Matemáticas y Meta-Matemáticas. Universi-
dad de Costa Rica.
Cantoral R. (2005). Desarrollo del pensamiento matemático. México.
Universidad Virtual
Extensión de la calculadora. (sf). Recuperado el 01 de septiembre de
2020 de https://wes.casio.com/es-la/education/extension/casioe-
duplus/
Extensión de la calculadora. (sf). Recuperado el 01 de septiembre de
2020 de http://wes.casio.com/es-es/education/extension/
Emulador. (sf). Recuperado el 01 de septiembre de 2020 de https://
www.edu-casio.es/emulad
56
Diseño, desarrollo y aplicación
de la plataforma SPE-CBT*
para la asignatura de ecología
JanEtt naLLELY hErnánDEz MaGaLLanEs**
Universidad Autónoma del Estado de México
RESUMEN.Estar dispuestos a nuevos aprendizajes por medio de la educación
continua es un aspecto clave para hacerle frente a todo tipo de adversidades,
ya que son oportunidades de crecimiento. Este trabajo surge de la necesidad
de generar un material didáctico para la asignatura de ecología, perteneciente
al campo de las ciencias experimentales del bachillerato tecnológico, basado
en su programa de estudios; para ello se creó una plataforma tecnológica que
compila los contenidos y facilita el acceso a los alumnos, así como la adminis-
tración de la evaluación del docente, apoyada en la informática y la metodo-
logía de la enseñanza del aula invertida. Se utilizó tanto de manera presencial
como a distancia, y en ambos casos se alcanzaron los propósitos educativos.
Lo que a continuación presentamos son el diseño, el desarrollo y la aplicación
del módulo I de la plataforma SPE-CBT.
PALABRAS CLAVE: Ecología, Plataforma educativa, Aula invertida, Aprendizaje sig-
nifi cativo, Educación media superior.
EjE 1. tEcnología En EducacIón
*Plataforma para el Seguimiento de Programas de Estudios del CBT: Centro de Bachillerato Tecnológico.
**M. en Ed. Janett Nallely Hernández Magallanes, janett_jh@hotmail.com y jnhernandezm@uaemex.mx
57
Diseño, Desarrollo y aplicación De la plataforma spe-cbt
Introducción
Este 2020 ha sido un año de gran desafío en todo el mundo y en
todos los ámbitos laborales, debido a la presencia del SAR-CoV2
que derivó en una pandemia. En pleno ciclo escolar, todo el sector
educativo nos vimos obligados a trabajar y estudiar en casa, atendiendo
las recomendaciones de salud pública de organismos internacionales
y nacionales. Una gran cantidad de docentes se vio en la necesidad
de apoyarse por primera vez en la tecnología, para poder cumplir con
su labor académica; tuvieron que generar materiales y ambientes de
aprendizaje con gran rapidez, procurando que fueran accesibles y
pudieran ser comprendidos por los alumnos para así concluir su año
escolar con éxito.
Cabe señalar que ya en los últimos años se había estado manifestando
una realidad que mucha gente no quería atender y se resistía a aceptar,
pese a que han fortalecido todo tipo de actividades; me refiero a las
computadoras, las tabletas electrónicas y los teléfonos inteligentes,
cuyas aplicaciones lo mismo permiten hacer videollamadas que agen-
dar actividades, consultar información en línea, conocer la cantidad de
kilómetros caminados, verificar nuestro estado de salud, pedir un taxi,
escuchar música, tomar evidencias de eventos mediante videos o foto-
grafías, ubicar una dirección o consultar actividades financieras, entre
otras muchas: todo gracias a la red mundial de telecomunicaciones
llamada internet.
En este sentido, era de esperarse que las nuevas tecnologías obligaran
a los docentes a llevar a cabo una actualización profesional, alfabeti-
zación o educación continua en recientes invenciones, para generar
ambientes de aprendizaje creativos, innovadores y prácticos; tanto para
ellos mismos como para los alumnos, además de tener que optimizar
sus recursos para mejorar los métodos administrativos con una platafor-
ma o aplicación que facilite su trabajo diario y evalúe sus resultados.
En este documento expongo una propuesta para una institución edu-
cativa tecnológica pública perteneciente al sistema del nivel medio
58
EjE 1. TEcnología En Educación
superior. Vale la pena considerar que cada nivel académico tiene grupos
de más de 50 alumnos, lo que sin lugar a dudas complica poder darles el
seguimiento adecuado ya que cada persona tiene sus propios estilos de
aprendizaje (visual, auditivo, kinestésico)y sus propios problemas.
Independientemente de ello, los docentes deben lograr que los apren-
dizajes de sus asignaturas sean significativos para los jóvenes, y al mismo
tiempo que les ayuden a tomar decisiones acertadas en la solución de sus
problemas, así como mejorar su entorno y hacer aportaciones sociales,
tanto dentro como fuera de las aulas, en el presente y en el futuro.
Si bien es cierto que las calificaciones aprobatorias son el parámetro
para que los alumnos, al concluir sus estudios, puedan obtener un
título de técnico profesional y tengan la posibilidad de entrar al mundo
laboral o continuar sus estudios en instituciones de nivel superior tecno-
lógico o universitario. No olvidemos que la esencia de las instituciones
educativas es generar seres proactivos, innovadores, creativos, analíti-
cos, reflexivos, críticos y humanísticos (sems.gob.mx, 2018). De ahí que
la experiencia didáctica que ahora comparto corresponde al diseño,
desarrollo y aplicación de una plataforma denominada SPE-CBT para la
asignatura de ecología.
La perspectiva científica y pedagógica de este proyecto es la de la teoría
del aprendizaje significativo de Ausubel, mediante la metodología de
la enseñanza de aula invertida.1 Para Quiroga, se trata de un enfoque
pedagógico en el que la instrucción se mueve de un espacio de apren-
dizaje colectivo a otro individual, haciéndolo dinámico e interactivo
para que el docente guíe a los estudiantes conforme van aplicando los
conceptos: es una manera de hacerlos participar creativamente (Quiro-
ga, 2014).La intención es llevar a cabo un aprendizaje por recepción con
enfoque constructivista.
Por eso es muy importante que el alumno adquiera la información en
un ambiente de aprendizaje agradable y lúdico; para ello primero debe
1 También conocida como The flipped classroom.
59
Diseño, Desarrollo y aplicación De la plataforma spe-cbt
organizarse, siguiendo una secuencia clara y coherente, con los con-
tenidos adecuados para el nivel de desarrollo cognitivo que se requiere
junto con los conocimientos preexistentes: siempre relacionados con
los nuevos. En un primer momento los alumnos acceden a esos mate-
riales multimedia desde sus casas, pero cuando están en clase practican
en ese tiempo el contenido. De esta manera el docente se convierte en
guía para que los estudiantes logren el aprendizaje esperado y los dicen-
tes autónomos lo hagan a su propio ritmo, sabiendo que siempre está
presente el maestro.
Es muy gratificante comprobar que los alumnos cambian su actitud
pasiva por una activa y su nivel de aprendizaje es realmente significati-
vo; es decir, de esta forma se lleva a los alumnos al mundo real para que
su toma de decisiones sea más asertiva. Recordemos que la estructura
de esta plataforma está hecha en función de la planeación didáctica
de la asignatura de ecología, y que cada diseño instruccional se trabajó
previamente con la docente responsable de la materia, gracias a que se
encontraba de año sabático; para concretarlo, se requería de los cono-
cimientos de informática con los que cuento.
Se consideró que una opción viable era la plataforma Moodle, ya que su
página oficial indica que está orientada a un entorno de aprendizaje di-
námico encauzado a objetos y modular; se trata de una herramienta de
gestión del aprendizaje de Learning Content Management2, de distribu-
ción libre, diseñada para proporcionarles a los educadores, administra-
dores y estudiantes un sistema integrado único, robusto y seguro.
Con Moodle se crean ambientes de aprendizaje personalizados, posee
una interfaz fácil de usar, el tablero se puede personalizar, sus herra-
mientas permiten diversas actividades colaborativas, tiene un calendario
todo en uno, los archivos se gestionan desde la plataforma de manera
conveniente, cuenta con un editor de textos, se envían notificaciones
según el caso, se mantiene un monitoreo del progreso, tiene una ma-
triculación masiva segura, se pueden gestionar los roles de los usuarios
2 Sistemas de gestión de contenido educativo.
60
EjE 1. TEcnología En Educación
y soporta estándares abiertos (Moodle, 2015). Veamos el desarrollo de la
plataforma creada.
DEsarrollo
L
a plataforma SPE-CBT cuenta con ocho módulos correspondientes
a cada uno de los ejes temáticos con su respectiva serie de conteni-
dos, que impulsan la asignatura de ecología; tales como la exploración
y comprensión del mundo natural y social, el pensamiento crítico y
la solución de problemas, así como el cuidado del medio ambiente.
Asimismo, los ámbitos que se desarrollan de manera transversal son el
lenguaje y la comunicación, las habilidades socioemocionales y el pro-
yecto de vida, la colaboración y el trabajo en equipo, y las habilidades
digitales.
De acuerdo con la planificación didáctica, las competencias genéricas
que se desean lograr son que los estudiantes escuchen, interpreten y
emitan mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utili-
zación de medios, códigos y herramientas apropiados; además de que
desarrollen innovaciones y propongan soluciones a problemas a partir
de métodos establecidos, así como que sustenten una postura personal
sobre temas de interés y relevancia general, considerando otros puntos
de vista de manera crítica y reflexiva.
El título de la primera secuencia didáctica es «Ecología, sustentabilidad y
desarrollo sustentable»; su eje transversal busca explicar la estructura y or-
ganización de los componentes naturales del planeta; su contenido central
es ecología, sustentabilidad y desarrollo sustentable; en tanto con sus con-
tenidos específicos desarrollan materiales basados en los siguientes temas:
a. ¿Qué es ecología, sustentabilidad y desarrollo sustentable?
b. ¿Qué puedo hacer para conservar el ambiente y preservar los
recursos naturales?
c. ¿Cuáles objetivos del desarrollo sostenible puedo apoyar de forma
individual y cuáles requieren la participación institucional?
61
Diseño, Desarrollo y aplicación De la plataforma spe-cbt
d. Los tres ámbitos de la sustentabilidad (ecológico, económico y social)
e. Los objetivos de desarrollo sostenible. La Agenda 2030 para el
desarrollo sostenible
f. La declaración de Río.
Por otro lado, se instaló la plataforma Moodle y, gracias a nuestros
conocimientos de informática, fue posible configurarla para asignarle
los materiales, las actividades, evaluaciones, y demás. Como el docente
funge como administrador, él es quien controla la plataforma y le da se-
guimiento a las evaluaciones (diarias/sumativas) de los alumnos. Sin lu-
gar a dudas su uso es muy práctico e intuitivo, por lo que no se requiere
de grandes conocimientos técnicos para navegarla.
Finalmente se les aplicó la plataforma SPE-CBT a un grupo muestra de
alumnos del 4º semestre de un Centro de Bachillerato Tecnológico y un
docente, con la intención de comprobar su efectividad. Como única-
mente se disponía de dos horas y una sala de cómputo, se optó por
aplicar sólo una de las ocho unidades del contenido temático.
La estrategia que se siguió fue solicitarles a las autoridades de la institución,
una semana antes de la fecha planeada, el préstamo de un grupo de alum-
nos muestra y el espacio para llevar a cabo el ensayo; al mismo tiempo, por
medio de la Orientadora, se les compartió el vínculo de los materiales que
deberían consultar antes de llegar al ensayo, con la finalidad de que más
adelante el docente pudiera llevar a cabo su diseño instruccional.
El experimento se agendó para el viernes 7 de febrero del 2020; cuando
las clases todavía se llevaban a cabo de manera presencial.
rEsultaDos
S
e permitió la participación de 22 alumnos de dos grupos del 4º
semestre de un Centro de Bachillerato Tecnológico. Posterior a
la exposición de la docente, se aplicó un instrumento de respuestas
abiertas, debido a que resultan más genuinas; en especial en lo que
62
EjE 1. TEcnología En Educación
nos interesa conocer que es la apreciación de los alumnos respecto a
la sesión, lo mismo que sobre la herramienta de apoyo al docente. Los
resultados de la aplicación fueron:
• 100% de los alumnos consideraron conveniente la integración del
teléfono y la computadora durante la sesión.
• 90% le gustaría que todas sus sesiones tuvieran esa misma
metodología.
• 10% consideró que hay distracción en las sesiones.
• 100% tuvieron sus sentidos activos (auditivo, vista, tacto,
sensaciones).
• 100% reflexionaron acerca de cómo destruimos el planeta por
dinero cuando visualizaron al orangután, y eso les provocó tristeza
y frustración.
• 100% tuvo al menos una actividad interactiva que les agradó du-
rante la sesión.
• 100% no tiene algún problema de salud que impida o baje su ca-
pacidad de aprendizaje.
• 95.5% no tiene problemas familiares.
• 100% opinó que estuvieron tan atentos en la sesión que el tiempo
se les pasó muy rápido.
• 100% opinó que la docente fue amable, atenta y trató de hacer
dinámica y divertida la sesión.
• 4.5% tiene estilo de aprendizaje visual y auditivo; 40.9% es kinesté-
sico; 45.5% es visual y 9.1% es auditivo.
• 100% resolvió favorablemente el examen sobre ecología, susten-
tabilidad y desarrollo sustentable con 17 reactivos.
conclusionEs
a. Para generar materiales con tecnologías que se desconocen, es
necesario pedir apoyo a expertos en el tema.
b. La metodología de Aula Invertida en el diseño instruccional propi-
cia la participación activa de los alumnos y la preparación conti-
nua del docente.
63
Diseño, Desarrollo y aplicación De la plataforma spe-cbt
c. Las acciones positivas producen placer, felicidad, alegría y moti-
vación; como consecuencia el aprendizaje es mucho más signifi-
cativo. Al contrario, los aprendizajes dolorosos deben canalizarse
para permitir la reflexión, el pensamiento crítico y el cambio de
comportamiento.
d. Cuando las nuevas tecnologías se usan debidamente con propó-
sitos educativos, se convierten en nuestras aliadas.
e. Se pretende aplicar de manera oficial esta plataforma.
f. Este tipo de herramientas permite que los docentes trabajen có-
modamente con sus alumnos a través de internet.
rEfErEncias
SEMS.GOB.MX. (2018). Nuevo currículo en la Educación Media Supe-
rior, Campo disciplinar de Ciencias Experimentales (Bachillerato
Tecnológico). Recuperado el 18 de marzo de 2019, de www.sems.
gob.mx
Quiroga, A. (11 de abril de 2014). Observatorio de Educación. Defi-
nición de Aula Invertida. Obtenido de http://crear.poligran.edu.
co/?p=1177
Moodle. (22 de julio de 2015). Obtenido de https://docs.moodle.org/
all/es/19/Ace
64
Videojuego en la visualización
matemática de planos
MiGuEL ánGEL MartínEz MartínEz, LiLia LópEz vEra Y aLFrEDo aLanís Durán*
Universidad Autónoma de Nuevo León
RESUMEN. En esta investigación se promueve la motivación de los estudiantes
hacia el aprendizaje de conceptos de rectas y planos en programas de cálculo
de varias variables; asimismo, se les orienta para que desarrollen la visualiza-
ción matemática de posiciones de oponentes y usuarios en un videojuego,
asociado a ecuaciones de planos y sus respectivos planos normales. La pro-
puesta didáctica condujo a la formación de estudiantes interesados en aplicar
sus conocimientos matemáticos para desarrollar videojuegos y participar en
proyectos de realidad virtual del cuerpo académico UANL-CA-303 de FCFM.
PALABRAS CLAVE: Visualización matemática, Realidad virtual, Videojuegos.
EjE 1. tEcnología En EducacIón
*Miguel Ángel Martínez Martínez, miguel.martinezmrt@uanl.edu.mx; Lilia López Vera,
lilia_lopez@hotmail.com y Alfredo Alanís Durán, aalanis56@uanl.edu.mx
65
ViDeojueGo en la Visualización matemática De planos
Introducción
E
n esta investigación se enfocó el desarrollo de la visualización
matemática como parte de las competencias matemáticas,
desarrolladas en el perfil de egreso de la licenciatura en multi-
media y animación digital (LMAD) que ofrece la Facultad de Ciencias
Físicas y Matemáticas (FCMM) de la Universidad Autónoma de Nuevo
León (UANL), cuyo objetivo es formar profesionistas capaces de di-
señar aplicaciones enfocadas a cubrir necesidades de la industria del
arte digital y medios interactivos, mediante las TIC y el arte gráfico
para los sectores público y privado.
Cabe mencionar que el tema de vectores rectas y planos en cálculo de varias
variables se encuentra en el tronco común de las licenciaturas en matemáti-
cas, física, ciencias computacionales y en actuaría, de la FCFM UANL. Desa-
fortunadamente se registra un alto porcentaje de alumnos de licenciatura
en multimedia y animación digital que estudian con la idea de que no requieren
formación matemática, aun en sus cursos de matemáticas para videojuegos.
Por esta razón se ha constatado un alto índice de reprobación en rectas
y planos en el espacio tridimensional; independientemente de su licen-
ciatura. De ahí que nuestro objetivo sea aplicar estrategias de aprendi-
zaje mediado para propiciar el desarrollo de la visualización matemática
mediante actividades de realidad virtual en el aprendizaje de planos en
cálculo de varias variables.
Marco tEórico
C
on la intención de motivar y orientar a los alumnos para que
aprendan las matemáticas que les permitirán diseñar actividades
de realidad virtual, se tomó como premisa el supuesto epistemológico
del enfoque centrado en proyectos (Posner, 2004), a fin de movilizar
los saberes en cuanto al desarrollo de la capacidad necesaria para utili-
zar y generar nuevos saberes; acordes al nivel educativo y la posibilidad
de alcance de la experiencia educativa.
66
EjE 1. TEcnología En Educación
En la FCFM se ha dado continuidad al proyecto Realidad virtual en
el aprendizaje de la matemática (MATHVR UANL), como parte de la
Red Temática de Cuerpos Académicos «Innovación educativa para el
aprendizaje de las matemáticas mediado con tecnología», que aborda
«Lo cognitivo, las metodologías y los medios digitales en la innovación
educativa para las matemáticas preuniversitarias y universitarias».
Generalmente los usuarios de videojuegos están acostumbrados a ver
los resultados de las acciones en los videojuegos, pero no los conciben
como consecuencias de cálculos matemáticos; es decir, como simples
usuarios, no se preguntan ni cuáles son sus requerimientos conceptua-
les ni cómo es el proceso que se llevó a cabo para diseñar el videojuego
que disfrutan cuando se conectan o cuando tienen éxito en su juego.
Partiendo de ello se buscó llevar al estudiante hacia el conocimiento
matemático, orientándolo para que identifique los elementos geomé-
tricos aislados o combinados, presentes en su entorno físico (aulas y
pasillos de FCFM UANL), a fin de que puedan asociarlos a los conceptos
matemáticos de su programa de estudio, requeridos para desarrollar
videojuegos y participar en proyectos de realidad virtual.
En consecuencia, se diseñó un entorno virtual en tiempo real, basado
en principios de simuladores virtuales (García, 2016), a partir de investi-
gaciones sobre el papel de los videojuegos para desarrollar habilidades
cognitivas y enriquecer ambientes de formación. En este sentido se
identificó a los videojuegos desde una perspectiva Vygotskiana, como
una herramienta y forma de interacción social con la información, el
conocimiento y otros miembros de una comunidad (Vygotsky, 2000).
Un videojuego tiene implícitos infinidad de conceptos matemáticos que
ayudan a transferir analogías y elementos del entorno real a la realidad
virtual. A manera de ejemplo se tomaron los personajes del videojuego
DOOM (1993), para identificar los elementos conceptuales del sistema
coordenado tridimensional; particularmente para identificar planos en
3D, con la imagen de los oponentes del usuario (en primera persona): pla-
nos con textura, siempre dirigidos por el vector normal hacia el usuario.
67
ViDeojueGo en la Visualización matemática De planos
ProPuEsta DiDáctica
C
onsiderando los objetivos del proyecto Realidad virtual en el
aprendizaje de la matemática (MATHVR UANL), los estudiantes
podrán tomar como analogía la misma infraestructura de la institución
para entender los conceptos matemáticos; incluso si están físicamente
en el edificio y no sólo en la clase.
Las paredes y pasillos de la institución educativa (figura1) se constitu-
yen en un apoyo como referencia de rectas y planos en 3D, paralelos o
perpendiculares en un sistema coordenado cartesiano tridimensional
modelado, que permite desarrollar algoritmos con un sustento mate-
mático. Entonces, el docente facilitador puede cuestionar a los alumnos
para encontrar el ángulo entre cada dos oponentes y así aplicar el co-
nocimiento previo «ángulo entre dos vectores», a fin de definir el ángulo
entre dos planos.
Figura 1. Modelo a escala del espacio físico como instrumento mediador digital y su correspondiente gráfica
en GeoGebra de la posición del usuario y los oponentes en el videojuego
68
EjE 1. TEcnología En Educación
Para la formalización de los conceptos, los alumnos y el profesor pue-
den apoyarse en GeoGebra u otros asistentes matemáticos para graficar
los vectores (que representan a los planos), calcular sus módulos (dis-
tancia entre oponentes y el usuario) y los ángulos entre vectores (direc-
ciones entre oponentes y usuario).
Simular la ecuación de un plano en 3D para un videojuego, abordando
el entorno físico de los estudiantes en la FCFM, es de suma importancia
para motivarlos y mantener su interés sobre el estudio de la matemática
requerida para el diseño de videojuegos; en particular, se motivan para
estudiar el tema de planos en 3D y se interesan por aplicar sus conoci-
mientos en el diseño de videojuegos.
conclusionEs
E
n el proceso de formación de recursos humanos calificados con
competencias matemáticas para el proyecto MATVR UANL, las con-
jeturas de los alumnos (acerca de las representaciones de los planos
y vectores que corresponden a los tres oponentes y el usuario), los
conduce a formalizar conceptos matemáticos en un proceso de iden-
tificación de registros de representación semiótica y funcionamiento
cognitivo del pensamiento.
En este sentido, establecer la relación entre un producto terminado
del gusto de los estudiantes (videojuego) y los conceptos matemáticos
implicados que sustentan ese producto, promueve el desarrollo de la
capacidad de los estudiantes para aplicar una analogía entre conceptos
del mismo videojuego y la terminología matemática.
rEfErEncias
Cordero, Francisco (2006), «La institucionalización del conocimiento
matemático y el rediseño del discurso matemático escolar», en G.
Martínez Sierra (ed.), Acta latinoamericana de matemática educa-
69
ViDeojueGo en la Visualización matemática De planos
tiva, vol. 19, México, Comité Latinoamericano de Matemática Edu-
cativa, pp. 824-830.
Cook, T.D. y Reichardt, CH.S. (2000). Métodos cualitativos y cuantitati-
vos en investigación educativa. Madrid: Morata.
Duval, R. (1998). «Registro de representación semiótica y funciona-
miento cognitivo del pensamiento», en F. Hitt (ed.), Investigaciones
en matemática educativa II, Grupo Editorial Iberoamérica: México.
García Aretio, Lorenzo (2016). «El juego y otros principios pedagógicos.
Supervivencia en la educación a distancia y virtual RIED». Revista
Iberoamericana de Educación a Distancia, ISSN: 1138-2783. Vol. 19,
núm. 2, 2016, pp. 9-23. AIESDM, Organismo Internacional.
Posner, G. (2004). Analyzing the Curriculum. 3a. edición. Nueva York:
McGraw-Hill.
Vygotsky, L. (2000). El desarrollo de los procesos psicológicos superio-
res. Barcelona: Editorial Crítica. España.
70
GeoGebra y aula invertida: una
propuesta para la signifi cación
del área bajo la curva
José aLEJanDro LópEz rEntEría Y Luis abrahaM FarFán Matú*
Universidad Autónoma de Yucatán
RESUMEN. En este escrito presentamos los resultados de implementar una
propuesta didáctica con la metodología del aula invertida, relacionada con
el concepto de área bajo la curva que se estudia en la asignatura de cálculo
integral de nivel superior. Las difi cultadas asociadas con este concepto, en un
contexto geométrico e identifi cadas en la literatura y en la experiencia de aula,
dieron pie al diseño de un applet con GeoGebra, en el que la manipulación y
análisis gráfi co fueron factores sumamente importantes para la signifi cación
de los estudiantes. En consecuencia, esta puesta en escena permite vislumbrar
un camino para nuevas propuestas, en las que los alumnos tengan mayor au-
tonomía sobre sus procesos de aprendizaje con la guía de su profesor.
PALABRAS CLAVE: Applet, Aula invertida, Cálculo, Entorno Virtual de Aprendizaje,
GeoGebra
EjE 1. tEcnología En EducacIón
*José Alejandro López Rentería, jose.renteria@correo.uady.mx, y Luis Abraham Farfán Matú,
luis.farfan@corrreo.uady.mx
71
GeoGebra y aula inVertiDa: una propuesta para la siGnificación Del área bajo la curVa
Introducción
E
l cálculo del área bajo la curva de una función es una de las princi-
pales aplicaciones de la integral definida. En un escenario escolar,
el profesor parte de un problema guiado, mediante el límite al infi-
nito de una suma de Riemann, con la intención de hallar el área de una
función continua y positiva, así como llegar a la idea de integral definida.
Como consecuencia, según Giordano et al. (2014), se espera que los
estudiantes sean capaces de utilizar el teorema fundamental del cálculo
como herramienta para resolver problemas geométricos u otros.
No obstante, esta forma de presentar las actividades de enseñanza
(centradas en el profesor), pueden representar una dificultad para el
aprendizaje de los educandos. Por una parte, se espera que lleguen a un
nivel de aplicación del conocimiento luego de deducir la relación que
hay entre los conceptos involucrados; sin embargo, la falta de autono-
mía de sus procesos de aprendizaje y el cambio de significado de la inte-
gral definida respecto del área, cuando la función no es completamente
positiva, refleja dos obstáculos para el desarrollo de estas competencias.
En ese sentido, la propuesta que aquí se presenta busca que los alumnos
identifiquen la relación que tienen la integral definida y el área bajo la
curva; expresada mediante
y dotada de significado
en un contexto geométrico; al mismo tiempo que le reconocen un pa-
pel protagónico en el proceso de construcción y uso del conocimiento.
De acuerdo con Del Río (2020) el cálculo se caracteriza por el estudio
del cambio, la dependencia y la variación. Desde esta perspectiva, la au-
tora considera que las representaciones que el profesor puede construir
con la herramienta de autor GeoGebra tienen un gran potencial, pues
en lugar de ser estáticas (como se presentan en libros de texto o en una
pizarra) se vuelven completamente dinámicas.Ésta es la razón por lo que
consideramos importante construir un applet con GeoGebra para que
los alumnos exploraran la relación que tiene el área bajo la curva de una
función y la integral definida, mediante este dinamismo e interacción
con la representación gráfica y numérica.
72
EjE 1. TEcnología En Educación
Dadas las condiciones actuales de educación a distancia, fue necesario
construir un entorno virtual de aprendizaje (EVA) para que los estudian-
tes pudieran interactuar con el applet y construir sus propios significa-
dos de forma independiente; pero siempre basándose en el principio
de aprendizaje colaborativo. Los EVA, aplicados en esas condiciones,
permiten que los alumnos desarrollen sus propios aportes y expresen
sus inquietudes de forma síncrona y asíncrona; de tal manera que, con
el apoyo de herramientas multimedia, el aprendizaje es más agradable
y se convierte en un entorno interactivo para construir conocimiento
(Hiraldo, 2013).
No olvidemos que este entorno se construyó con las herramientas que
ofrece GeoGebra en la Web; específicamente las de actividades y gru-
pos, ya que son interactivas, gratuitas y abiertas, lo que permite que los
educandos puedan acceder a ellas desde cualquier plataforma median-
te una conexión a internet. En tanto, para la implementación de la acti-
vidad en el EVA construido, se eligió la metodología del aula invertida en
virtud de que se trata de
un modelo pedagógico que potencia el trabajo, la práctica y la autonomía en
el aula, para que el alumno tome protagonismo en su proceso de aprendizaje,
siempre bajo la tutela del profesor (Mestre-Mestre et al., 2015: 329).
De esta forma, se esperaba que los estudiantes trabajaran de forma
independente e interactuaran con el applet, mientras el profesor –de
forma asíncrona primero y luego, ya en la sesión, de forma síncrona–
profundizara en los significados construidos interactuando con todos
los alumnos.
DEsarrollo
L
a propuesta didáctica presentada en este documento se llevó a
cabo duante un curso de cálculo integral con 12 alumnos de dife-
rentes carreras de ingeniería, por tratarse de una asignatura común. En
un primer momento se construyó un applet con GeoGebra para que
73
GeoGebra y aula inVertiDa: una propuesta para la siGnificación Del área bajo la curVa
los alumnos pudieran manipular algunos elementos gráficos y analíti-
cos; como los límites del área bajo la curva (azul) y la expresión alge-
braica de la función que se desea analizar: la idea era que pudieran
observar los cambios numéricos de las manipulaciones en relación
con su antiderivada (rojo), como se aprecia en la figura 1.
Basándonos en el applet se diseñó una actividad GeoGebra en la Web a la
que se añadió un video de introducción para los estudiantes, presentán-
doles los conocimientos que deberían tener y explicándoles cuál era la
intención; además de una serie de preguntas guía (con respuesta abierta)
que motivara su análisis acerca de ciertas funciones como polinomios,
exponenciales y trigonométricas. Todas estas actividades se encuentran
disponibles de forma gratuita en https://www.geogebra.org/m/ug4fqdek.
A continuación se generó un EVA con ayuda de los grupos GeoGebra y
se les asignó la actividad para que respondieran individualmente e inte-
ractuaran con el profesor de forma asíncrona, lo que permitió evidenciar
su razonamiento y al mismo tiempo el funcionamiento de la actividad.
En la primera parte se les sugiere a los alumnos introducir una función
polinomial y para ello se fija el límite inferior en ; el paso siguiente
fue analizar el valor del área bajo la curva: algunos de los participantes
asociaron esta área únicamente con el valor de : tal como se espera-
ba que ocurriera (figura 2).
Figura 1.
Applet
Área bajo la curva e integral definida
74
EjE 1. TEcnología En Educación
Figura 4. Respuesta de los estudiantes C y D
en la tercera parte de la actividad
Figura 2. Respuesta de los estudiantes A y B
en la primera parte de la actividad
Figura 3.Respuestas del estudiante C
en la segunda parte de la actividad
Aunque en la primera parte era
necesario que los alumnos am-
pliaran la relación del área bajo la
curva, con los valores de y ,
en la segunda se les pidió que ana-
lizaran una función cuya antide-
rivada, evaluada en el punto ,
no fuera cero; como las funciones
exponenciales. En la figura 3,
como podemos observar, algu-
nos de los participantes pudieron
ampliar la relación y al mismo
tiempo diferenciar lo que ocurre
con las funciones exponenciales y
polinomiales.
Con el fin de que los alumnos pu-
dieran generalizar la relación del
área bajo la curva y los valores de
y , se les sugirió que anali-
zaran una función trigonométrica
como f(x)= sen x, con la condición
de que a ≥ 0 y b > a. Aunque no
todos los estudiantes pudieron ex-
presar algebraicamente esta rela-
ción, sí pudimos identificar en sus
respuestas que al menos pudieron
desarrollar la noción (figura 4).
Apoyados en estos razonamientos, durante la sesión síncrona se generó
una discusión con los estudiantes para profundizar y afianzar los signifi-
cados construidos; además de orientar a quienes no habían alcanzado
los objetivos esperados. En este sentido se identificó que poco más del
80% lograra contestar con éxito las preguntas planteadas en la actividad,
y expresara verbalmente las diferencias significativas que ocurrían al
calcular en los diferentes tipos de funciones analizadas.
75
GeoGebra y aula inVertiDa: una propuesta para la siGnificación Del área bajo la curVa
Adicionalmente también fue posible identificar la relación que exis-
te entre el área total bajo la curva de una función que toma valores
positivos y negativos en un intervalo cerrado, con la integral definida.
Quienes no pudieron identificar la relación, tuvieron dificultad para
comprenderla.
rEflExionEs
L
as condiciones actuales del sistema educativo imponen el gran reto
de favorecer la construcción de conocimiento de los alumnos a
distancia. En ese sentido, el docente debe poner en juego una combi-
nación de recursos tecnológicos y estrategias que les permitan cons-
truir entornos virtuales de aprendizaje a fin de lograr, con interacción y
autonomía, un proceso de razonamiento y análisis que los conduzca a
conjeturar sus propios significados.
Partiendo de esta experiencia, en un curso de cálculo se consideró
que el diseño del applet era fundamental para favorecer la interacción
con los conocimientos, ya que permite que los estudiantes desarrollen
su pensamiento variacional en diferentes registros de representación.
Asimismo, el uso de las herramientas Web de GeoGebra para la cons-
trucción del EVA, mediante la metodología empleada, fueron clave para
que la mayoría de los participantes hubieran identificado la relación que
hay entre la integral definida y el concepto de área bajo la curva en un
contexto geométrico de forma más autónoma.
Los paradigmas que se tienen sobre el aprendizaje en entornos virtuales
no sólo estigmatizan la labor de los profesores, sino que permea en la
forma en que los estudiantes se relacionan con ellos y con el saber. Sin
lugar a dudas después de esta experiencia será posible vislumbrar un
camino en el que sea posible desarrollar más propuestas para trabajar a
distancia o de forma semipresencial.
76
EjE 1. TEcnología En Educación
rEfErEncias
Del Río, L. (2020). «Recursos para la enseñanza del cálculo basados en
GeoGebra». Revista do Instituto GeoGebra Internacional de São
Paulo, 9(1), 120-131. http://dx.doi.org/10.23925/2237-9657.2020.
v9i1p120-131
Giordano, M. y Garnica, I. (2014). «El área bajo la curva. Construcción
de significado en contextos físicos», en P. Lestón (ed.) Acta Lati-
noamericana de Matemática Educativa (pp. 1013-1021), vol. 27.
Colegio Mexicano de Matemática Educativa A. C. y Comité Lati-
noamericano de Matemática Educativa A. C.
Hiraldo, R. (2013, 6-7 de noviembre). Uso de los entornos virtuales de
aprendizaje en la educación a distancia [ponencia]. EDUTEC, Costa
Rica https://www.uned.ac.cr/academica/edutec/memoria/ponen-
cias/hiraldo_162.pdf
Mestre-Mestre, E., Fita, I., Fita, A., Monserrat, J. y Moltó, G. (2015). Aula
Inversa en Estudios Tecnológicos. En A. Blanco, M. Sein-Echaluce
Lacieta, & F. García-Peñalvo (eds.) III Congreso Internacional sobre
Aprendizaje, Innovación y Competitividad (CINAIC 2015) (pp. 329-
334) Fundación General de la Universidad Politécnica de Madrid.
77
La modelación 3D como recurso
didáctico en matemáticas
aLEJanDro truJiLLo castro Y MaGaLLY MartínEz rEYEs*
Centro Universitario Valle de Chalco y Universidad
Autónoma del Estado de México
RESUMEN. La modelación 3D es un proceso tecnológico que se basa en diversos
conceptos matemáticos con el objeto decrear contenidos tridimensionales,
los cuales se emplean, junto con otras tecnologías, en el desarrollo de pro-
ductos como mecanismos, impresión 3D, películas, videojuegos y realidad
tanto aumentada como virtual. En este sentido, el propósito de este estudio es
justifi car los benefi cios que genera la modelación 3D como recurso didáctico
en temas relacionados con matemáticas en nivel secundaria. Para ello se em-
pleó una metodología de tipo exploratoria que permite conocer el impacto de
este recurso mediante una serie de experiencias virtuales. Para las actividades
propuestas se empleó el software BlocksCAD y se indicaron los contenidos
adecuados al nivel educativo correspondiente, en función de los estándares
curriculares de matemáticas en el eje temático forma, espacio y medida.
PALABRAS CLAVE: CAD, Modelación 3D, Recurso didáctico, Transformaciones
geométricas.
La modelación 3D como recurso
didáctico en matemáticas
EjE 1. tEcnología En EducacIón
*Alejandro Trujillo Castro, atrujilloc741@alumno.uaemex.mx, y Magally Martínez Reyes,
mmartinezr@uaemex.mx
78
EjE 1. TEcnología En Educación
Introducción
U
na forma de visualizar las ideas sobre el desarrollo de un producto
consiste en visualizar una representación tridimensional denomi-
nada modelo o prototipo, cuyo proceso permite validar las carac-
terísticas previas al producto final. Este trabajo empezó a utilizarse en la
década de 1990 cuando se integra el software al diseño de productos.
Tal es el caso del diseño asistido por computadora (CAD), que permi-
te la creación de modelos 3D específicos en el desarrollo de piezas
mecánicas y más ligado a la industria (Torreblanca, 2016). Asimismo,
también es posible encontrar software de modelado 3D especializado
en la creación de representaciones artísticas, con una demanda que va
en aumento cada vez más en el campo del diseño, gracias a su uso en
la creación de contenidos 3D; como películas, videojuegos, realidad
aumentada y realidad virtual (Dai y Nießner, 2018).
En la actualidad, es común que en niveles medio superior y superior se
enseñe a generar y utilizar este tipo de tecnologías, pero en nivel secun-
daria los escenarios no son tan halagadores pues son pocas las alterna-
tivas que se ofrecen; sobre todo para la asignatura de tecnología.
Con la intención de apoyar al docente de esta área, se propone imple-
mentar el CAD como una sugerencia didáctica, de tal forma que no
sólo sea una herramienta tecnológica de moda, sino que se convierta
en una práctica de conceptos matemáticos como transformaciones
geométricas, operadores booleanos, lógicos y aritméticos. De ahí que el
propósito del estudio sea justificar los beneficios que genera el proceso
de modelación 3D utilizado como recurso didáctico.
DEscriPción DE la tEcnología
D
e acuerdo con Jorquera (2016), la modelación 3D es el proceso
de creación de una representación matemática de superficies,
utilizando geometría y obteniendo como resultado un modelo 3D que
pueda simbolizarse como un gráfico bidimensional generado mediante
un proceso de renderizado, o como un objeto físico producido por una
impresora 3D u otra herramienta de fabricación de control numérico
por computadora (CNC).
No olvidemos que los gráficos por computadora pueden clasificarse en
tres principales ramas y se distinguen según el enfoque, los principios y
los procedimientos utilizados durante su desarrollo. A decir de Brozek,
et al. (2016) estas áreas son modelado gráfico 3D, programación de
gráficos 3D y temas matemáticos relacionados con los gráficos 3D.Para
estos autores, el modelado gráfico 3D es la forma más sencilla de obte-
ner un producto, por lo que consideran que es lo más adecuado para la
enseñanza a partir del nivel secundaria; debido a que los requerimientos
son mínimos ya que sólo se necesita una computadora y la experiencia
como usuario para integrar esta modalidad a la práctica educativa.
Los modelos gráficos también se conocen como modelos geométricos,
debido a que su representación está constituida de datos geométricos
(puntos, líneas, polígonos y circunferencias, entre otros). A su vez, los
modelos geométricos se clasifican en diferentes tipos de modelado
3D, con toda una variedad de funciones; algunas de las tecnologías de
modelado 3D más representativas, de acuerdo con Autodesk (2020), se
encuentran la estructura alámbrica 3D, el modelado de solidos 3D, las
superficies 3D y la malla 3D, como se aprecia en la figura 1.
Figura 1. Clasificación de los modelos 3D
Fuente: Autodesk (2020)
80
EjE 1. TEcnología En Educación
Para este estudio se determinó experimentar con modelos sólidos 3D,
debido a que sus procesos de construcción han sido adaptados para
interactuar de forma diferente en diversas aplicaciones y distintos dispo-
sitivos, lo que facilita la construcción de objetos 3D (Saorín et al., 2015).
Los modelos sólidos 3D pueden generarse mediante diferentes técnicas
de representación; en el ámbito educativo, los más común para el nivel
básico son los sólidos generados por barrido y la geometría sólida cons-
tructiva (CSG, por sus siglas en inglés), empleada en diferentes experien-
cias didácticas de nivel secundaria y para diversos temas relacionados
con las matemáticas (Beltrán, 2017; Beltrán y Rodríguez, 2017; Beltrán,
Rodríguez y Muñoz, 2020), por lo que su uso se considera muy apropia-
do en este ambito educativo.
Debido a su facilidad de uso, la CSG es una de las técnicas de repre-
sentación más conocidas; de tal forma que la construcción de objetos
sólidos parte de primitivas básicas predeterminadas o generadas por
perfiles barridos. Mediante la combinación de primitivas instanciadas
con operadores booleanos se crea un nuevo sólido compuesto; ese
nuevo objeto se acumula como un árbol binario que utiliza operado-
res (unión, diferencia e intersección) a manera de nodos intermedios y
primitivas en sus hojas, como se aprecia en la figura 2.
El tipo de primitivas simples dis-
ponibles depende del software
que se utilice; dado que cada uno
cuenta con diferentes primitivas,
hay muchas opciones dentro del
diseño CAD. como AutoCAD®,
Rhinoceros 3D®, Solidworks®;
opciones libres FreeeCAD y
OpenSCAD, y algunas aplica-
ciones de tipo Web Tinkercad,
SketchUp y BlocksCAD.
Para llevar a cabo este experimen-
to se optó por utilizar BlocksCAD Figura 2. Sólido 3D mediante CSG
la moDelación 3D como recurso DiDáctico en matemáticas
81
(un entorno Web basado en OpenSCAD), ya que dispone de una interfaz de
programación visual y utiliza un lenguaje de programación por bloques, lo
que permite aplicar los principios básicos de manera fácil e intuitiva.
MEtoDología
C
on la finalidad de conocer los beneficios de este recurso didác-
tico en temas relacionados con matemáticas, en nivel básico se
empleó una metodología de tipo exploratorio (Hernández et al., 2014);
la situación didáctica abarca desde el diseño de objetos a través de
la modelación 3D mediante elementos geométricos, como transfor-
maciones geométricas, operadores booleanos, lógicos y aritméticos.
Para la muestra de estudio se consideraron tres grupos de alumnos del
tercer grado de secundaria; cada grupo estuvo compuesto por aproxi-
madamente 15 alumnos.
ProcEDiMiEnto
L
a propuesta considerada dentro del ámbito geométrico, pone
en práctica transformaciones geométricas (translación, rotación,
reflexión y dilatación), que en combinación con operadores
booleanos, lógicos y aritméticos posibilita la creación de distintos
objetos 3D.
Momento 1
Primero se ingresa al entorno de trabajo para conocer las cuatro seccio-
nes que lo componen: barra de bloques, barra de herramientas, área de
programa y área de dibujo o renderizado. A continuación se explora el
entorno BlocksCAD con una guía con el objeto de concer las diferentes
funcionrd de cada uno de los bloques y las primitivas simples del sof-
tware; a partir de ellas se generan nuevos sólidos. Finalmente se experi-
menta con las diferentes transformaciones y los operadores booleanos,
lógicos y aritméticos.
82
EjE 1. TEcnología En Educación
Momento 2
La primera actividad consiste en construir una maqueta virtual con
diferentes polígonos regulares e irregulares,utilizando formas 2D. Poste-
riormente se pasa a la construcción de una maqueta virtual de poliedros
regulares e irregulares, para poner en práctica conceptos geométricos.
En este momento se espera que los estudiantes empleen de forma
correcta las transformaciones para posicionar y maquetar las diferentes
figuras.
Momento 3
Dado que la secuencia didáctica se lleva a cabo de manera virtual, la
actividad comienza enviándole al alumno una imagen del objeto o
maqueta que deberá crear, junto con las especificaciones que, a su vez,
deberá considerar: como el volumen de líquido que almacenará, la for-
ma que debe tener y su tamaño; a continuación se procede a crear los
objetos contenedores de líquido.
Los aprendizajes esperados en este momento fueron que el alum-
no resolviera problemas en los que se calculen áreas y volúmenes de
figuras geométricas, además de emplear con corrección las distintas
transformaciones geométricas y los operadores booleanos, lógicos y
aritméticos.
conclusión
E
n esta propuesta se incorporó la modelización 3D mediante el uso
de software BlocksCAD, en una asignatura que tiene como propósi-
to la enseñanza de la tecnología, donde se espera que el alumno logre
primero el empoderamiento de la tecnología.
Posteriormente se establecieron experiencias dentro del ámbito
geométrico, procurando ayudar al alumnado a comprender, describir
y representar objetos 3D con utilidad y uso para el entorno en el que
viven. La experiencia se lleva acabo de manera virtual, debido a las
la moDelación 3D como recurso DiDáctico en matemáticas
condiciones de confinamiento que actualmente se viven. Se han pre-
sentado situaciones en las que algunos alumnos no disponen de com-
putadora o de internet, por lo que se ven en la necesidad de emplear
un dispositivo móvil. Se ha comprobado que las actividades propuestas
utilizando el software BlocksCAD indican contenidos adecuados al nivel
educativo, de acuerdo a los estándares curriculares de matemáticas del
nivel secundaria.
rEfErEncias
Autodesk, (2020). Acerca del modelado de objetos 3D. Recuperado de
http://help.autodesk.com/view/ACD/2020/ESP/
Beltrán, P. (2017). «Modelado e impresión 3D como recurso didáctico
en el aprendizaje de la probabilidad». Revista de Educación Mate-
mática, 34(95), 99-106.
Beltrán, P., y Rodríguez, C. (2017). «Modelado e impresión en 3D en la
enseñanza de las matemáticas: un estudio exploratorio». ReiDo-
Crea, 6, 16-28.
Beltrán, P., Rodríguez, C., y Muñoz, J. M. (2020). «Introduciendo Bloc-
ksCAD como recurso didáctico en matemáticas». Suma, 93, 39-48.
Brozek, J., Hamernik, D., Vesely, P., y Svoboda, V. (2016). «Application
of the Montessori method in tercial education of a computer 3D
graphics». Elektro, 655-659.
Dai, A., y Nießner, M. (2018). «Scan2Mesh: From Unstructured Range
Scans to 3D Meshes». Computer Vision Fundation, 5574-5583.
Hernández, R., Fernández, C., y Baptista, P. (2014). Metodología de la
investigación. México: McGraw-Hill.
Jorquera, A. (2016). Fabricación digital: Introducción al modelado e
impresión 3D. España: Secretaría general técnica.
Saorín, J. L., Meier, C., De la torre, J., Díaz, D., y Rivero, D. (2015).«Jue-
gos en tabletas digitales como introducción al modelado y la im-
presión 3D». Education in the Knowledge Society, 16(2), 129-140.
Torreblanca, D. (2016). «Tecnologías de fabricación digital aditiva: ven-
tajas para la construcción de modelo, prototipos y series cortas en
el proceso de diseño de productos». Inconofacto, 12(18), 118-143.
84
Enseñanza y comprobación de la
operación división con la realidad
aumentada como recurso didáctico
brEnDa LEticia hErnánDEz DELGaDo Y Marco aLbErto MEnDoza pérEz*
Centro Universitario UAEM Valle de Chalco
RESUMEN. En este trabajo se aborda el diseño de una secuencia didáctica para la
enseñanza y comprobación de la operación división, con el uso de la tecnolo-
gía educativa como recurso didáctico en alumnos de tercer grado de primaria,
junto con un prototipo de la aplicación en realidad aumentada (RA). La razón
es porque con frecuencia los alumnos aún no dominan las tablas de multi-
plicar y la división es la operación que les representa un reto mayor; de ahí el
interés por diseñar una secuencia didáctica y un prototipo de RA innovador,
creativo, amigable e interactivo, que le facilite al alumno un aprendizaje sig-
nifi cativo para comprender, solucionar y comprobar estos procedimientos: en
particular la operación división.
PALABRAS CLAVE: Aprendizaje basado en problemas (ABP), Enseñanza, Compro-
bación, Divisiones, Realidad aumentada.
EjE 1. tEcnología En EducacIón
*Brenda Leticia Hernández Delgado, hedb960213@gmail.com, y Marco Alberto Mendoza Pérez,
marcoalberto83@gmail.com
85
Introducción
L
a aritmética es una de las ramas base de las matemáticas cuyo
objetivo es estudiar los números y las operaciones básicas: suma,
resta, multiplicación y división; de ellas, la última es con frecuencia
la más complicada. Recordemos que la aritmética se conoce desde los
babilónicos, siguió con los egipcios, los griegos, los indios y los árabes; y
que cada una de estas culturas hizo grandes aportaciones para estable-
cer métodos de solución en las cuatro operaciones básicas de la
aritmética (Nambo y Eenens, 2020). Por ejemplo, los indios crearon
la numeración proposicional y de ahí pasó a los árabes.
La división consiste en repartir una cantidad en partes iguales y consta
de cuatro partes: dividendo (la cantidad que se va a repartir), divisor (el
número de partes iguales que se desea obtener), cociente (el resultado)
y residuo (lo que sobra). Cuando el residuo es cero, la división es exacta;
en caso contrario es inexacta. En la figura 1 se muestran las partes de la
división.
Figura 1. Partes de la división
La división se puede representar de diversas formas con distintos símbo-
los. Veamos:
Barra horizontal : introducida a Europa por los árabes en el siglo
XII, donde comenzó a ser utilizado por el matemático Fibonacci.
PartEs DE la División
enseñanza y comprobación De la operación DiVisión
86
EjE 1. TEcnología En Educación
Diagonal : la introdujo De Moran en 1845; es un símbolo mayor
que en la actualidad se emplea para expresar la división.
Paréntesis )(: actualmente ya casi no se usa, pero antes era la manera
como se representaba la división (como en la figura 1); por ejemplo,
la cifra 524)3(174 significa que 524 es el dividendo, el 3 es el divisor, y
174 el resultado†.
Barra horizontal con un punto arriba y uno abajo : introducido por
el matemático Johann Heinrich Rahn en 1659 en su obra Teutsche
Algebra; por tratarse de un signo muy gráfico, actualmente es el sím-
bolo que se utiliza en todas las calculadoras.
Dos puntos: introducidos por el alemán matemático Leibniz.
Gnomon o ángulo: se utiliza para separar las partes de la división
como se muestra en la figura 1. De la India los árabes adoptaron gran
parte de la aritmética y luego la llevaron a Europa; probablemente de
la India proceda también el método de «división larga», o «método
de la galera», semejante al de la actualidad como se muestra en la
figura 2 (Prades, 2019).
Figura 2. Símbolo gnomon o ángulo
Ya teniendo en cuenta las partes de la división y su símbolo, se procede a
su comprobación siguiendo esta fórmula:
Dividendo=(Cociente * Divisor) + Residuo
† Stiefel, Michael.
Arithmetica integra
, 1544.
87
enseñanza y comprobación De la operación DiVisión
Si la igualdad se cumple, la solución de la división es correcta. En la
figura 3 observamos la comprobación de la división de manera gráfica,
apoyándonos en los mismos colores que empleamos en la figura 1.
A principios de 1950 empezó a
aplicarse el aprendizaje basado en
problemas (ABP) en la escuela de
medicina de la Universidad de Case
Western Reserve de Estados Unidos;
en 1969, la Universidad de McMas-
ter en Hamilton, Ontario, introdujo
el ABP también en la enseñanza de
la medicina; a principios de 1980,
Mercer University, de Estados Unidos,
igualmente adoptó un currículum
con PBL y a finales de esa misma
década lo hace también la escuela
de medicina de la Universidad de
Harvard (Guevara, 2010).
Por todo ello adoptamos esta metodología que consiste en hacer que el
alumno investigue primero sobre el tema, con la finalidad de motivarlo a
ser autodidacta y lograr un mejor aprendizaje. Se caracteriza porque debe
aplicarse a un grupo pequeño de alumnos para que el tutor organice un
debate con las diferentes soluciones que aporten los participantes; al
final, se hace uso de las tecnologías para un mejor aprendizaje (Guevara,
2010). En este caso los alumnos deben dominar las tablas de multiplicar.
DEsarrollo
D
esde tiempos inmemoriales las matemáticas les resultan suma-
mente complejas a los niños de primaria; tan sólo con mencionar-
las puede ocasionar muchos dolores de cabeza, y más cuando se trata
del tema de las divisiones. Por ello se empleó una técnica con colores
para identificar las partes de la división y su comprobación.
Figura 3. Comprobación de la división
coMProbación
DE la División
88
EjE 1. TEcnología En Educación
Secuencia didáctica para la asignatura de
matemáticas básicas 3 (educación primaria)
Finalidad: que el alumno aprenda la operación división, sepa en qué
consiste, cuál es el proceso que se sigue para su resolución, cuán-
tos tipos de representación simbólica hay y cuáles son los tipos de
comprobación.
Propósito: que el alumno identifique con colores cada uno de
los elementos de la división; tanto para resolverla como para
comprobarla.
Duración: se efectúa en una sola sesión de aproximadamente hora y
media.
Tema general: enseñanza y comprobación de la operación división.
Contenido: planteamiento de la definición de división y su compro-
bación, junto con la identificación de las partes que lo componen
mediante colores.
Tabla 1. Línea de secuencia didáctica
Para la construcción del prototipo de RA se puede utilizar alguna de las si-
guientes herramientas de RA: Blippar, Aumentaty y HP Reveal, entre otras.
rEsultaDos
S
e espera que el alumno obtenga los conocimientos necesarios para
resolver divisiones y comprobarla; además de que conozca e identi-
fique con colores las partes que la componen; así como su aplicación
Línea de secuencia didáctica
asignatura: matemáticas básicas 3 (educación primaria)
Apertura Introducción al tema de la solución y comprobación
de la operación división.
89
enseñanza y comprobación De la operación DiVisión
en realidad aumentada: todo ello basado en la secuencia didáctica
propuesta.
conclusionEs
L
a propuesta de este trabajo tiene como propósito incorporar la se-
cuencia didáctica y la tecnología de realidad aumentada en la ense-
ñanza para la comprobación de la operación aritmética división. En este
sentido la aplicación abre la posibilidad de que ese aprendizaje significati-
vo lo adquieran, comprendan y apliquen los alumnos en diferentes situa-
ciones de la vida real de forma fácil e interactiva, gracias a la incorporación
de la tecnología en la educación el proceso de enseñanza-aprendizaje
puede ser innovador, amigable, interactivo y creativo para los alumnos.
rEfErEncias
Guevara, G. (2010). «Aprendizaje basado en problemas como técnica
didáctica para la enseñanza del tema de recursividad». Revista de
las Sedes Regionales, 11(20), 142-167.
Nambo, M y Eenens, P. (2020). «Historia de la división». Revista de Di-
vulgación Científica. Jóvenes en la ciencia, 3 (2), 1824-1829. www.
jovenesenlaciencia.ugto.mx/article/Download
Prades, A. (3 de octubre del 2019). Símbolos matemáticos: división y
multiplicación. Smartick. https://www.smartick.es/blog/matem-
aticas/curiosidades-matematicas/simbolos-matematicos-divi-
sion-y-multiplicacion/#comments
Gutiérrez, M; Mendoza, M y Cruz, R. (2019). «Desarrollo de una aplica-
ción en el robot NAO H25 para la enseñanza y comprobación de la
operación multiplicación con el método Maya». Revista de Aplica-
ciones de la Ingeniería, 6 (18), 19-28.
Solís, H; Mendoza, M y Cruz, R. (2020). «Diseño de una aplicación en
realidad aumentada para la enseñanza de un seguidor de línea».
Revista de Investigación Latinoamericana en Competitividad Orga-
nizacional, 2(7).
90
EjE 1. TEcnología En Educación
EjE 2
EnsEñanza dE
las matEmátIcas
y cIEncIas En
nIvEl supErIor
91
92
Aportes de la modelación matemática
al estudio del concepto de integral
shirLEY Johana toLoza pEña Y JorGE EnriquE FiaLLo LEaL*
Universidad Industrial de Santander y Universidad Industrial de Santander
RESUMEN. En este trabajo se presentan avances de una investigación en desarro-
llo, cuyo objetivo es reconocer las contribuciones de la modelación matemáti-
ca al estudio del concepto de integral, con estudiantes universitarios, median-
te el diseño, la implementación y la evaluación de situaciones problemas. Para
lograr este objetivo se hace uso de la teoría de modelación matemática desde
una perspectiva educativa, junto con la metodología Acodesa para el diseño
de las actividades. Dado que reconocer la autenticidad de un problema permi-
te desarrollar la participación, el empoderamiento en la producción de modelos
y el aprendizaje de conceptos, damos muestra de ello además de resaltar la
modelación ya que ello les permite a los estudiantes abordar signifi cados aso-
ciados al concepto y al contexto del problema abordado.
PALABRAS CLAVE: Modelación Matemática, Cálculo Integral, Auténticos, Modelo.
EjE 2. EnsEñanza dE las matEmátIcas y cIEncIas En nIvEl supErIor
*Shirley Johana Toloza Peña, shirley2198158@correo.uis.edu.co, y Jorge Enrique Fiallo Leal,
jfi allo@uis.edu.co
93
aportes De la moDelación matemática De problemas auténticos
Introducción
E
n la enseñanza y el aprendizaje del cálculo integral, Muñoz (2000)
menciona que uno de los problemas es separar lo algorítmico u
operativo de lo conceptual. Para propiciar su enlace, el autor iden-
tifica como necesaria la existencia de situaciones problema; es a partir
de ellas como se forman nociones y procedimientos relacionados con
el cálculo integral.
Kaiser y Schwarz (2010), por su parte, plantean que estas situaciones en
diversos conceptos matemáticos deben pensarse muy bien para que
les sean de interés al estudiante; es decir, no ayuda mucho considerar
únicamente situaciones inventadas, lejanas e inusuales: es necesario au-
tenticar el contexto para que la tarea provenga o evoque una situación
semejante a la que ocurre en la experiencia cercana del estudiante; de
esta manera se genere la actividad matemática.
En este sentido, Ustra y Ustra (2015) plantean que la modelación matemá-
tica permite ver los significados, los aprendizajes y los procesos que los es-
tudiantes tienen de un concepto cuando resuelven situaciones problema.
En este artículo presentamos algunos de los resultados de una investi-
gación en curso que centra la mirada en responder la pregunta ¿cómo la
modelación matemática de problemas auténticos contribuye al estudio
del concepto de integral con estudiantes universitarios?
sustEnto tEórico
K
aiser y Sriraman (2006) refieren que no se cuenta con una defini-
ción homogénea acerca de lo que es la mod