![quadro. Todos os problemas eram selecionados do livro didático, exceto por um, criado por Adam. Durante a aula, Adam usou Autograph para corrigir as respostas dos estudantes, digitando as funções para que os gráficos fossem projetados no quadro. Em seguida, uma discussão e demonstração da solução algébrica foi conduzida por ele no quadro branco. Quando dois estudantes acabaram os problemas passados no quadro antes do resto da turma, Adam propôs uma questão extra, que ele pode ter sugerido espontaneamente em resposta à necessidade de mais trabalho. A questão extra tinha duas partes: a primeira pedia duas funções modulares diferentes sem interseção, e a segunda pedia duas que tivessem uma interseção. "É possível? Vocês podem me mostrar duas com uma interseção?", Adam perguntou à turma, e se seguiu o diálogo: Estudante A: í µí±¦ = |í µí±¥| e í µí±¦ = 2 |í µí±¥| [Adam plotou os gráficos no Autograph (Figura 2)]](https://www.researchgate.net/publication/353939165/figure/fig2/AS:11431281117645328@1675490418324/quadro-Todos-os-problemas-eram-selecionados-do-livro-didatico-exceto-por-um-criado-por_Q320.jpg)
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REVISTA DO PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO
EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA DA UNIVERSIDADE
FEDERAL DE MATO GROSSO DO SUL (UFMS)
ISSN 2359-2842 Volume 14, número 35 – 2021 DOI: 10.46312/pem.v14i35.13407
https://periodicos.ufms.br/index.php/pedmat/index
perspectivas.educacaomatematica@gmail.com
Afinando o Foco em Matemática: Desenho, Implementação
e Avaliação de Atividades MathTASK para a Formação de
Professores de Matemática
Sharpening the Focus on Mathematics: Designing,
Implementing and Evaluating MathTASK Activities for
Mathematics Teacher Education
Irene Biza
1
Lina Kayali
2
Bruna Moustapha-Corrêa
3
Elena Nardi
4
Athina Thoma
5
RESUMO
MathTASK é um programa de pesquisa e desenvolvimento que engaja professores de matemática
em situações de sala de aula desafiadoras e altamente contextualizadas na forma de tarefas
1
Doutora em Educação Matemática pela Universidade Nacional (Kapodistriano) de Atenas, Grécia.
Professora Associada de Educação Matemática da Universidade de East Anglia (Reino Unido).
Coordenadora do programa MathTASK (https://www.uea.ac.uk/groups-and-centres/a-z/mathtask).
Email: i.biza@uea.ac.uk. ORCID: https://orcid.org/0000-0003-1727-3884.
2
Doutora em Educação Matemática pela University of East Anglia (Reino Unido). Associada
acadêmica na Universidade de East Anglia e professora de matemática na Universidade de Bristol
(Reino Unido). E-mail: L.Kayali@uea.ac.uk. ORCID: https://orcid.org/0000-0002-3251-460X.
3
Doutora em Ensino e História da Matemática e da Física pela Universidade Federal do Rio de
Janeiro Professora Adjunta do Departamento de Matemática da Universidade Federal do Estado do
Rio de Janeiro. E-mail: bruna.correa@uniriotec.br. ORCID: https://orcid.org/0000-0003-1849-4195
4
Doutora em Educação Matemática pela University of Oxford (Reino Unido). Professora Titular de
Educação Matemática da Universidade de East Anglia (Reino Unido). Coordenadora do grupo de
Pesquisa em Educação Matemática da Universidade de East Anglia (https://www.uea.ac.uk/groups-
and-centres/research-in-mathematics-education-group). E-mail: e.nardi@uea.ac.uk. ORCID:
https://orcid.org/0000-0002-7145-6473.
5
Doutora em Educação Matemática pela Universidade de East Anglia (Reino Unido). Associada
acadêmica na Universidade de East Anglia. E-mail: A.Thoma@uea.ac.uk. ORCID:
https://orcid.org/0000-0002-5985-3820.
2
Perspectivas da Educação Matemática – INMA/UFMS – v. 14, n. 35 – Ano 2021
(chamadas de mathtasks). As respostas de professores às tarefas revelam seus discursos
matemáticos e pedagógicos e abrem oportunidades para articular, considerar e reconstruir tais
discursos. As tarefas foram usadas como instrumento de pesquisa e também de formação de
professores e desenvolvimento profissional no Reino Unido, na Grécia e no Brasil. Neste artigo,
apresentamos o programa MathTASK e um exemplo de mathtask. Em seguida, apresentamos um
resumo dos construtos teóricos que emergiram na análise dos dados do programa MathTASK. Então,
indicamos os princípios gerais do uso de mathtasks na pesquisa e formação de professores e damos
quatro exemplos dos princípios, cada um dirigido a diferentes aspectos do ensino e da aprendizagem
de matemática, e cada um desenvolvido tendo em mente níveis educacionais e contextos.
Concluímos com observações sobre os benefícios de usar mathtasks como uma forma de estimular e
facilitar reflexões de professores de matemática sobre suas práticas.
PALAVRAS-CHAVE: MathTASK. Professores/as de Matemática. Formação de
Professores/as. Discurso Matemático e Pedagógico. Situações de Sala de Aula.
ABSTRACT
MathTASK is a research and development programme that engages mathematics teachers with
challenging and highly contextualised classroom situations in the form of tasks (mathtasks). Teacher
responses to these tasks reveal their mathematical and pedagogical discourses and provide
opportunities to articulate, reflect and reform said discourses. These tasks have been used as
instruments for research as well as teacher education and professional development in the UK,
Greece and Brazil. In this chapter, we first introduce the MathTASK programme and a mathtask
example. We then present a summary of theoretical constructs that have emerged in the course of
analysis of MathTASK data. We then present the general principles in using mathtasks into research
and teacher education and we exemplify these principles through four examples, each addressing
different issues of mathematics teaching and learning, and each developed with different educational
levels and contexts in mind. We conclude with observations on the benefits of using mathtasks as a
means to trigger and facilitate mathematics teachers’ reflection on their practice.
KEYWORDS: MathTASK. Mathematics Teachers. Teacher Education. Mathematical and
Pedagogical Discourse. Classroom Situations.
Introdução
Professores de matemática têm grandes aspirações ao entrar em sala.
Querem que os estudantes entendam, apreciem e aproveitem matemática.
Entretanto, é comum que o que encontrem na sala de aula esteja muito longe de tais
aspirações: as respostas de estudantes podem não fazer sentido, trabalhar com
necessidades individuais é difícil, a turma não coopera, a tecnologia é confusa e os
recursos são aquém do necessário
6
. MathTASK
7
, um programa de pesquisa e
desenvolvimento que une pesquisadores, formadores de professores de
matemática
8
(aqui chamados simplesmente de formadores de professores) e
professores do Reino Unido, da Grécia e do Brasil, tem o objetivo de ajudar
professores a lidar com situações desafiadoras que frequentemente encontram na
6
Veja uma breve animação descrevendo MathTASK em: https://youtu.be/gt0HZBfBBGI.
7
Usamos MathTASK (https://www.uea.ac.uk/groups-and-centres/a-z/mathtask) quando nos referimos
ao programa e seus princípios, e mathtask quando nos referimos a tarefas específicas desenhadas
nos princípio do programa MathTASK.
8
Formadores de professores de matemática são aqueles que atuam em formação continuada (em
exercício) ou inicial de professores de matemática.
3
Perspectivas da Educação Matemática – INMA/UFMS – v. 14, n. 35 – Ano 2021
sala de aula — e, por fim, ajudar professores de matemática a transformar suas
aspirações em estratégias eficientes de sala de aula. Para tal objetivo, projetamos
tarefas baseadas em situações específicas para professores de matemática e os
convidamos a interagir com tais tarefas. Chamamos as tarefas de mathtasks. As
tarefas são apresentadas aos professores na forma de narrativas curtas
representando uma situação em sala de aula na qual um professor e seus
estudantes lidam com um problema matemático e um dilema que pode surgir das
diferentes respostas ao problema propostas por diferentes estudantes. O problema
matemático, as respostas dos estudantes e as reações do professor são inspirados
na vasta gama de questões que comumente surgem na complexidade das aulas de
matemática e que são indicadas como cruciais por pesquisas anteriores. Até agora,
o programa MathTASK se concentrou em quatro tipos de questões: abordagens
diferentes ou potencialmente falhas para o problema matemático, apresentadas por
diferentes membros da turma; questões de gerenciamento de turma causadas pelas
trocas durante a aula, interferindo com a aprendizagem matemática dos estudantes;
tensões, criativas ou não, que surgem do uso de recursos digitais na solução de
problemas matemáticos; e inclusão em atividades matemáticas de aprendizes
comumente excluídos, tais como aprendizes com alguma deficiência. Os
professores são convidados se engajar nas tarefas por meio de reflexões, respostas
escritas e discussões. No cerne de MathTASK está a afirmação de que, partindo de
— e afinando o foco em — elementos específicos de matemática presentes em
situações de sala de aula que são prováveis de ocorrer na prática real, podem
emergir abordagens pedagógicas de matemática consistentes, específicas e
sustentadas por pesquisa. Nosso artigo visa fornecer evidências para tal afirmação.
Especificamente, neste texto introduzimos algumas mathtasks e
apresentamos os princípios gerais do desenho e uso de mathtasks para fins de
pesquisa e formação de professores
9
. Ilustramos esses princípios em exemplos de
mathtasks. A seguir, apresentamos um resumo dos construtos teóricos que
emergiram da análise de dados do MathTASK. Continuamos com quatro exemplos,
9
Por formação de professores, nos referimos a qualquer curso voltado para a aprendizagem de
professores. Pode ser um curso de formação inicial de professores para estudantes de graduação ou
pós-graduação que desejam se tornar professores (professores ainda não atuantes) ou um curso de
desenvolvimento profissional para aqueles que já são profissionais do ensino (professores atuantes)
e gostariam de melhorar o conhecimento e a prática profissional. Neste artigo, usamos o termo
formação de professores de forma geral e especificamos se nos referimos a formação inicial de
professores ou desenvolvimento profissional somente se queremos nos referir a algum curso
específico para professores não atuantes, ou atuantes, respectivamente.
4
Perspectivas da Educação Matemática – INMA/UFMS – v. 14, n. 35 – Ano 2021
cada um de um estudo conduzido por pelo menos uma das autoras. Concluímos
com uma breve discussão dos benefícios do uso de mathtasks para pesquisa e
formação de professores.
Estudando os discursos de professores de matemática
O foco do nosso trabalho é a exploração de discursos pedagógicos e
matemáticos de professores em sua preparação para ensinar e em reflexões sobre
suas práticas docentes, especialmente no que diz respeito à interação com seus
formadores (por exemplo, em cursos de formação de professores na graduação ou
pós-graduação) ou colegas (por exemplo, ao discutir o ensino na rotina cotidiana ou
em cursos de desenvolvimento profissional em exercício). Cursos de formação de
professores esperam que professores transformem o conteúdo teórico oferecido
naquilo que eles fazem no trabalho cotidiano de sala de aula. Tal transformação já
foi descrita por construtos como a transformação didática (transposition didactique)
de Chevallard (1985), os dilemas e compromissos de Lampert (1985), o
conhecimento pedagógico do conteúdo de Shulman (1986, 1987), o conhecimento
matemático para o ensino de Hill e Ball (2004) e o quarteto do conhecimento de
Rowland et al. (2011). Ao longo dos anos, tais conceitos evoluíram. Por exemplo, a
atenção dos trabalhos iniciais estava no conhecimento que os professores precisam
possuir para se tornarem eficientes em seu ensino (SHULMAN, 1986, 1987). A
tipologia de Shulman é seminal e foi o ponto de partida para diversos estudos, que
se atentam, por exemplo, a acontecimentos factuais na sala de aula de matemática
(como no estudo sobre conhecimento matemático para o ensino de Hill e Ball, 2004).
Recentemente, em parte no espírito da rápida emergência de abordagens
discursivas na pesquisa em Educação de Matemática (cf. KIERAN; FORMAN;
SFARD, 2002), a atenção se voltou para o discurso matemático para ensino
(COOPER, 2014). Esta mudança se dá no reconhecimento dos diferentes discursos
envolvidos na prática docente, pedagógicos e matemáticos, com foco em como tais
discursos se apresentam nas diferentes profissões envolvidas nessas práticas, como
professores, criadores de políticas, formadores de professores, e matemáticos que
formam professores. Nosso trabalho está situado nesses desenvolvimentos: nos
alinhamos com a recente perspectiva de práticas docentes como engajamento com
certos discursos profissionais ou acadêmicos. Assim, exploramos como acessar e
ajudar a desenvolver discursos de professores para fins de pesquisa, formação de
professores e desenvolvimento profissional.
5
Perspectivas da Educação Matemática – INMA/UFMS – v. 14, n. 35 – Ano 2021
Além disso, pesquisas relataram a discrepância evidente entre as visões
sobre matemática e pedagogia expressas por professores em teoria e fora de
contexto e suas reais práticas (cf. SPEER, 2005; THOMPSON, 1992). Speer (2005)
alega, por exemplo, que, em lugar de discutir práticas docentes de forma abstrata,
uma discussão em contexto concreto pode proporcionar compreensão
compartilhada entre pesquisadores e professores participantes sobre as crenças
atribuídas pelos pesquisadores aos professores. Com esta observação em mente,
em nosso trabalho partimos de situações específicas de sala de aula que podem
desencadear trocas e criar insights compartilhados entre pesquisadores e
professores. Mais especificamente, convidamos professores em formação inicial e
continuada para refletir sobre situações de sala de aula fictícias, porém realistas e
sustentadas em pesquisa (mathtasks), que incluem um problema matemático e as
reações de um ou mais estudantes (e um professor) ao problema (BIZA; NARDI,
2019; BIZA; NARDI; JOEL, 2015; BIZA; NARDI; ZACHARIADES, 2007, 2009, 2014,
2018; NARDI; BIZA; ZACHARIADES, 2012). Discutiremos os princípios de desenho
do MathTASK na seção seguinte.
Princípios de desenho, implementação e avaliação de MathTASK
Usando tarefas para pesquisa em ensino e professores de matemática e para
formação de professores
Na literatura, a palavra tarefa (task) tem usos variados (LEONT'EV, 1975;
CHRISTIANSEN; WALTER, 1986; MASON; JOHNSTON-WILDER, 2006) e costuma
indicar que tarefas são ferramentas de mediação para o ensino e aprendizagem de
matemática. No caso da formação de professores, uma tarefa pode ser usada para
desencadear a reflexão dos professores e para explorar seu conhecimento
matemático para o ensino, bem como suas percepções e crenças pedagógicas e
epistemológicas. Uma tarefa adequadamente desenhada, que aborda propósitos
complexos, proporciona oportunidade de engajamento com aspectos da matemática,
de estratégias didáticas, de teoria pedagógica e de crenças epistemológicas. Vemos
todos esses aspectos como cruciais na proficiência diagnóstica de professores ao
lidar com situações inesperadas em sala de aula que exigem reação imediata.
No campo da formação de professores de matemática, significativa atenção
tem sido direcionada à natureza, ao papel e ao uso de tarefas. Por exemplo, partes
do The Handbook of Mathematics Teacher Education (TIROSH; WOOD, 2009) se
concentram em trabalhos que integram tarefas na formação de professores. Além
disso, uma edição especial do Journal of Mathematics Teacher Education (2007),
6
Perspectivas da Educação Matemática – INMA/UFMS – v. 14, n. 35 – Ano 2021
organizada por Zaslavsky, Watson e Mason, assim como o livro organizado por
Zaslavsky e Sullivan (2011), sinalizam esse interesse.
Ademais, um substancial corpo de pesquisas explora o uso de casos, i.e.,
“qualquer descrição de episódio ou incidente que pode ser conectada à base de
conhecimento para ensino” (CARTER, 1999, p. 174), na pesquisa e na formação de
professores de matemática (ver, por exemplo, uma análise em Markovits e Smith,
2008). Shulman (1992, p. 28) viu o método de casos
como estratégia para superar muitas das deficiências mais sérias na
formação de professores. Por serem contextuais, locais e situados —
como toda narrativa —, casos integram o que costuma se manter
separado.
Ao longo dos anos, essa ideia chave ganhou ímpeto substancial na formação
de professores de matemática, seja na forma de situações breves de sala de aula
usadas como disparadores (cf. ERENS; EICHLER, 2013; DREHER; NOWINSKA;
KUNTZE, 2013), ou na forma de diálogos “imaginários” mais extensos em sala de
aula, como o “teatro de aula” de Zazkis, Sinclair e Liljedahl (2013). Conforme Zazkis
et al. (2013, p. 29): “com essa imaginação, atenção e percepção são desenvolvidas
em ‘câmera lenta’, com controle total da situação e a capacidade de repeti-la ou
corrigi-la, em vez de pensar com pressa e tomar decisões de momento”. O desenho
de tarefa que apresentamos em nosso estudo é consonante com esses trabalhos,
na identificação de incidentes críticos fictícios, mas realistas, de sala de aula e os
transformando em tarefas para professores. Antes de descrever os princípios de
desenho das mathtasks, discutiremos os incidentes críticos e seu papel na pesquisa
e na formação de professores.
Incidentes críticos
Incidentes críticos já foram largamente usados em programas de formação de
professores, na forma de breves relatos reflexivos, escritos por professores, sobre
situações de sala de aula que observaram ou viveram como parte da formação (cf.
GOODELL, 2006; POTARI; PSYCHARIS, 2018). De acordo com Skott (2001),
“incidentes críticos de prática” são ocasiões em que um professor toma decisões em
sala de aula considerando diversos motivos, alguns dos quais podendo ser
conflitantes, que são vitais para as prioridades do professor em relação à
matemática escolar e cruciais para o desenvolvimento de interações em sala de aula
e aprendizagem dos estudantes. Tripp (2012) descreve incidentes críticos como
eventos cotidianos ou rotinas que determinam as tendências, os propósitos e as
rotinas da prática dos professores; eles se tornam críticos quando alguém opta por
7
Perspectivas da Educação Matemática – INMA/UFMS – v. 14, n. 35 – Ano 2021
vê-los assim. Na visão desse autor, isso pode ser “problemático”, pois depende de
interpretações pessoais (2012, p. 28). Goodell (2006, p. 224) argumenta que “um
incidente crítico pode ser visto como um acontecimento cotidiano encontrado por um
professor em sua prática, que o faz questionar as decisões tomadas e abre caminho
para melhoria no ensino”. Acredita-se que reflexões sobre incidentes críticos podem
desempenhar papel importante na aprendizagem de professores (GOODELL, 2006;
HOLE; MCENTEE, 1999; POTARI; PSYCHARIS, 2018; SKOTT, 2001; TRIPP,
2012). Skott (2001, p. 19) argumenta que incidentes críticos de prática (critical
incidents of practice, ou CIPs) são úteis em dois aspectos:
Primeiro, permitem vislumbrar o papel das prioridades matemáticas
escolares dos professores quando são desafiadas como informativas
da prática docente pela emergência de múltiplos motivos para as
atividades. Segundo, CIPs podem se provar significativos para o
desenvolvimento a longo prazo das prioridades matemáticas
escolares de determinado professor.
Portanto, identificar incidentes críticos parar que professore reflitam sobre
eles “pode transformar a sala de aula em um ambiente de aprendizagem para
professores, além de para estudantes” (SKOTT, 2001, p. 4), e, consequentemente,
também para pesquisadores. Reflexões aprofundadas sobre incidentes críticos
inspira professores a pensar no que aconteceu, por que aconteceu, o que isso pode
significar e quais são as implicações (HOLE; MCENTEE, 1999). Ademais, Goodell
(2006) alega que pedir para professores identificarem incidentes críticos e
produzirem relatos reflexivos, seguidos de discussões em grupo, responde à
preocupação indicada por pesquisas prévias em formação de professores a respeito
da falta de estrutura nas reflexões de professores e seus desafios em olhar
objetivamente para experiências escolares e se beneficiar delas (cf. PULTORAK,
1993). Em nosso trabalho, desenvolvemos essa afirmação um pouco mais além:
argumentamos que familiarizar professores com incidentes críticos preparados com
antecedência (mathtasks) tem o potencial de introduzi-los em uma prática de
identificar e comunicar o que pode ser crítico para eles e de estruturar suas
reflexões a respeito. Voltaremos ao tipo de incidente que nosso trabalho pode
considerar como crítico na seção seguinte, apresentando os princípios do desenho
de MathTASK.
Princípios de desenho
No MathTASK, um incidente crítico é um evento ou ocorrência de sala de aula
em que professores devem tomar decisões quanto a sua própria reação. A escolha
8
Perspectivas da Educação Matemática – INMA/UFMS – v. 14, n. 35 – Ano 2021
de incidente é baseada em questões já identificadas como cruciais pela pesquisa e
pela experiência; é suficientemente direcionada para promover reflexões
estruturadas por professores; e é suficientemente ampla para abrir meta-discussões
sobre questões mais gerais sobre o ensino de matemática. Por exemplo, no cerne
das situações de ensino em nossas tarefas estão momentos essenciais no
crescimento do pensamento matemático do estudante. Esses momentos são
semelhantes ao que Leatham, Peterson, Stockero e Van Zoest (2015, p. 90)
chamam de oportunidades pedagógicas matematicamente significativas para
desenvolver pensamento discente (Mathematically Significant Pedagogical
Opportunities to build on Student Thinking, ou MOSTs), “ocorrências de pensamento
discente que têm potencial considerável em determinado momento para se tornar
objeto de discussões ricas sobre ideias matemáticas importantes”. Especificamente,
vemos a identificação e facilitação de formas para professores reconhecerem
MOSTs e otimizarem essas oportunidades no diagnóstico de questões em situações
de sala de aula e na abordagem dessas questões na prática (matemática e
pedagógica) como um objetivo central de nosso trabalho. Neste sentido, as
situações das mathtasks satisfazem as três características de MOSTs: “pensamento
matemático discente, importância matemática, e oportunidade pedagógica”
(LEATHAM et al., 2015, p. 91).
Propomos o uso de mathtasks na formação de professores para explorar,
avaliar e desenvolver o discurso matemático para o ensino (COOPER, 2014) dos
professores. Ademais, com essas tarefas, temos o objetivo de abordar ao conjunto
complexo de considerações que professores levam em conta ao determinar suas
ações. Para tal fim, usamos o que Herbst et al. (cf. HERBST, CHAZAN, 2003)
descrevem como racionalidade prática do ensino (practical rationality of teaching, ou
PRT). Aprofundamos as considerações e os resultados de nossa pesquisa anterior
sobre o espectro de garantias (spectrum of warrants, ou SW) que professores de
matemática consideram para contextualizar as decisões que têm intenção de tomar
na sala de aula: empírico–pessoais, empírico–profissionais, institucional–
curriculares, institucional–epistemológicas, a priori–epistemológicas, a priori–
pedagógicas, e avaliativas (NARDI; BIZA; ZACHARIADES, 2012; ver uma
apresentação mais elaborada dessas definições na seção seguinte).
Ademais, nos interessam as competências docentes em identificar questões
matemáticas e pedagógicas e no discurso matemático e pedagógico que endossam
nesses processos de identificação. Para isso, nos referenciamos no discurso
9
Perspectivas da Educação Matemática – INMA/UFMS – v. 14, n. 35 – Ano 2021
matemático para o ensino (mathematical discourse for teaching, ou MDT) de Cooper
(2014). Também nos baseamos no que Rowland e seus colaboradores (TURNER;
ROWLAND, 2011) descrevem como Fundação — um dos quatro elementos do
quarteto do conhecimento (knowledge quartet, ou KQ), sendo os outros três
conexão, transformação e contingência —, especificamente, entre outros,
“conhecimento de conteúdo explícito, fundamentação teórica da pedagogia, uso de
terminologia” (p. 200). Além disso, vemos o conhecimento de horizonte de conteúdo
(horizon content knowledge, ou HCK) de Ball, Thames e Phelps (2008) — “uma
percepção de como tópicos matemáticos se relacionam globalmente na matemática
incluída no currículo” e “a visão útil para ver conexões com ideias matemáticas muito
mais adiantadas” (p. 403) — como um componente útil do conhecimento matemático
para o ensino, que articula conteúdo matemático e curricular.
Portanto, ao desenhar as tarefas, temos os seguintes princípios em mente:
● O conteúdo matemático da tarefa abarca um tema ou questão conhecido
por sua sutileza ou por apresentar dificuldades para os estudantes, a partir de
informações provenientes da literatura e/ou da experiência docente (MOSTs:
pensamento matemático discente, importância matemática).
● A resposta do estudante reflete essa sutileza (ou falta dela) ou dificuldade e
fornece uma oportunidade para o professor demonstrar ou refletir sobre os modos
como ajudaria o estudante a atingir a sutileza ou a superar a dificuldade (MOSTs:
oportunidade pedagógica).
● A abordagem pedagógica do professor abarca questões matemáticas,
pedagógicas e epistemológicas conhecidas por sua sutileza ou por serem
desafiadoras para os professores (PRT, SW).
● O conteúdo matemático e as respostas de estudante/professor fornecem
um contexto em que os discursos do professor (MDT) se evidenciam, também em
relação ao conhecimento, às crenças e às práticas intencionadas (matemáticas,
pedagógicas e epistemológicas) do professor que vêm à tona (MKT, HCK, KQ).
● O conteúdo matemático e as ações e interações de estudantes/professores
são contextualizados no currículo e no contexto educacional familiar aos professores
(por exemplo, informações contextuais sobre o nível da turma e do estudante
permite que os professores se situem como professores daquela turma específica).
Objetivos de aprendizagem no uso de mathtasks
O uso de mathtasks com professores em formação inicial ou continuada tem
os seguintes objetivos de aprendizagem:
10
Perspectivas da Educação Matemática – INMA/UFMS – v. 14, n. 35 – Ano 2021
A. Gerais
• Identificar erros matemáticos dos estudantes.
• Perceber e valorizar contribuições dos estudantes em uma aula.
• Preparar e considerar sobre uma reação em uma situação de ensino.
• Avaliar uma abordagem pedagógica adotada por outro professor (quando
uma reação de um professor é fornecida).
• Avaliar e justapor soluções propostas por estudantes (quando mais de uma
solução é incluída no incidente).
• Apreciar o valor e os desafios de diferentes soluções.
• Apreciar o valor e os desafios de ferramentas tecnológicas.
B. Específicos ao conteúdo da situação de ensino em discussão.
• Aprender sobre tópicos matemáticos específicos e o ensino desses.
• Apreciar as diferentes facetas de uma atividade matemática (por exemplo,
raciocínio, demonstração, visualização etc.).
•Considerar as potencialidades e os desafios de usar tecnologia no ensino de
atividades ou tópicos matemáticos específicos.
Estrutura e formato de mathtasks
Começamos a trabalhar no desenvolvimento dessas tarefas em 2005 (o
formato inicial pode ser visto em Biza et al., 2007). Cada tarefa é baseada em uma
situação de ensino, que é fictícia, porém derivada de resultados de pesquisas
anteriores. Ao longo dos anos, utilizamos várias versões do desenho de tarefas
baseadas em situações específicas. Até o presente momento, a estrutura de uma
mathtask é a seguinte:
• Um contexto de situação de sala de aula é descrito (por exemplo, nível da
turma, ambiente da aula etc.)
• Um problema matemático é apresentado pelo professor aos estudantes
• Segue-se uma situação de sala de aula na forma de:
-- uma resposta de estudante;
-- mais de uma resposta de estudante;
-- resposta(s) de estudante(s) e reação de (ou diálogo com) um professor;
-- resposta(s) de estudante(s) e reação de (ou diálogo com) um professor,
seguida por diálogo entre professores.
• Uma lista de perguntas que convidam os participantes a se engajarem e a
refletirem sobre a situação, tais como:
11
Perspectivas da Educação Matemática – INMA/UFMS – v. 14, n. 35 – Ano 2021
-- resolva o problema matemático;
-- reflita sobre o objetivo de usar este problema matemático em aula;
-- identifique as questões na situação de sala de aula;
-- proponha como reagiria em uma situação semelhante se fosse o professor
da turma.
O formato de uma mathtask sempre começa com uma introdução escrita em
que o contexto e o problema matemático são dados e acaba com uma lista de
perguntas. O formato da situação de sala de aula varia entre:
• escrito em roteiro, muitas vezes na forma de diálogo, em que o trabalho dos
estudantes no problema é fornecido;
• um vídeo de uma interação real entre estudante e professor (editado para
manter a anonimidade) ou uma captura de tela do trabalho de estudantes com
poucas pausas, em momentos significativos, quando o participante é convidado a
responder e discutir.
O uso de uma mathtask pré-desenhada
Mathtasks podem ser usadas para fins de pesquisa e de formação de
professores, com professores em formação inicial ou continuada, trabalhando
individualmente ou em grupo. Em oficinas organizadas por pesquisadores ou
formadores de professores, mathtasks são distribuídas a professores que leem,
respondem por escrito e discutem suas respostas em grupos ou em discussões
plenárias. Há oportunidade para professores revisitarem e ajustarem as respostas
iniciais à tarefa após o fim da discussão, usando uma caneta de cor diferente.
Diferentes respostas antes e depois da discussão podem indicar possíveis
mudanças no discurso dos professores quanto à matemática e à pedagogia.
Especialmente para fins de pesquisa, entrevistas com professores (individualmente
ou em grupos como foco específico) sobre as respostas à tarefa podem fornecer
mais insight sobre as visões que expressaram nas respostas escritas.
Recentemente, mathtasks são usadas em programas de formação de professores
como forma de apresentar os professores à ideia de incidente crítico e como passo
intermediário antes de começarem a preparar seus próprios incidentes críticos. Para
além de eventos organizados por pesquisadores e formadores de professores,
professores podem usar mathtasks em suas discussões com colegas, em reuniões
regulares de equipes ou em conversas informais entre aulas. Ademais, mathtasks já
12
Perspectivas da Educação Matemática – INMA/UFMS – v. 14, n. 35 – Ano 2021
foram usadas em avaliações formativas e somativas de cursos de educação
matemática.
Quando mathtasks são usadas para fins de avaliação, tarefas são escolhidas
de acordo com os objetivos de aprendizagem do curso e as respostas são avaliadas
seguindo esses objetivos. Por exemplo, quando mathtasks são usadas para
apresentar estudantes de matemática à educação em matemática, o objetivo é
observar como os estudantes (por exemplo, professores em formação) usam o
conteúdo de matemática bem como de educação matemática. Nesse caso,
podemos avaliar as respostas de acordo com as quatro características de
Consistência, Especificidade, Reificação de discurso pedagógico e Reificação de
discurso matemático. Elaboramos os termos mais adiante neste artigo, após
exemplificar a estrutura e os princípios de desenho de MathTASK na seção
seguinte.
Exemplo dos princípios de desenho de MathTASK: a "Tarefa de Simplificação”
Os princípios que discutimos anteriormente são demonstrados na “Tarefa de
Simplificação” (BIZA; NARDI; JOEL, 2015). Na Figura 1, a mathtask tem comentários
ao lado para explicar seu desenho.
Figura 1 - A Tarefa de Simplificação com comentários
Em uma turma do 10º ano com habilidades medianas você convidou os estudantes a resolverem o seguinte problema:
Quando p=2,8 e c=1,2, calcule a expressão: 3c2+5p-3c(c-2)-4p.
Depois de trabalharem no problema durante algum tempo, você convida os estudantes a compartilharem suas
soluções com a turma. Acontece, então, o seguinte diálogo:
VOCÊ: Ok, vamos ver o que conseguimos fazer com essa questão. Quem quer compartilhar a resposta?
[Estudante A e Estudante B levantam a mão ao mesmo tempo.]
VOCÊ: Estudante A?
ESTUDANTE A: Eu achei 10.
VOCÊ: Como você achou 10?
ESTUDANTE A: Substituí os valores 2,8 e 1,2 na expressão. Demorei um tempão.
VOCÊ: Obrigado Estudante A! [para a turma] Todos concordam?
ESTUDANTE B: Eu obtive a mesma resposta, mas fiz bem mais rápido.
VOCÊ: Como?
ESTUDANTE B: Eu resolvi a expressão antes de substituir os números e obtive uma expressão mais simples: p+6c.
Depois substituí os valores 2,8 e 1,2 e achei 10, fácil!
ESTUDANTE A: Eu gosto do jeito que eu fiz, eu não gosto de simplificar.
ESTUDANTE B: Minha solução é brilhante, a sua demora um tempão. Você não consegue resolver com letras
porque você é burro [alguns estudantes dão risada] … mas o que posso esperar de você? [alguns
estudantes riem].
Você escutou o que o Estudante B disse…
Perguntas:
a. Como você responderá ao Estudante A, ao Estudante B e a toda a turma?
b. Quais são as questões presentes nesta situação?
c. Como você lidará com essas questões no futuro?
O contexto da situação de sala de aula: ano escolar 10 (15-16
anos de idade), turma de desempenho médio (estudantes na
Inglaterra são agrupados de acordo com o desempenho baixo,
médio e alto.
Problema matemático: Calcular uma expressão algébrica para valores específicos de p e c;
problema matemático comum no ano 10 do currículo inglês; a pesquisa relata dificuldades de
estudantes no trabalho com variáveis em Álgebra (e.g. Arcavi, 2005) e tensões entre
compreensões instrumental e relacional (Skemp, 1976)
Situação de sala de aula:
Inspirada nos desafios de experiências de formação
continuada de professores quando eles enfrentam
a complexidade da sala de aula, como relatado na
prática e na pesquisa (por exemplo, tensões entre
gerenciar a sala e aula e simultaneamente atentar
às ideias dos estudantes), veja mais Biza el al.
(2015).
Em relação a questões de aprendizagem e ensino
• diferentes abordagens de dois estudantes:
substituindo os valores e então fazendo os
cálculos, ou simplificando as expressões
algébricas e então substituindo valores;
• ambas soluções estão corretas;
• diferentes qualidades entre soluções,
proficiência em importantes habilidades
algébricas vs trabalho extenso em operações
algébricas, e;
• aceitação e apreciação de diferentes soluções.
Questões de gerenciamento de sala de aula
• tensões entre estudantes;
• respeito mútuo entre estudantes;
• compartilhar e criticar de ideias em uma sala de
aula; e;
• líder com situações de comportamento
inadequado.
Uma lista de perguntas convidando os
participantes a se engajarem com e refletirem
sobre a situação
13
Perspectivas da Educação Matemática – INMA/UFMS – v. 14, n. 35 – Ano 2021
Fonte: adaptado de Biza, Nardi e Joel (2015, p. 188)
Voltaremos a exemplificar mais quatro mathtasks neste texto. Antes, porém,
apresentamos um resumo de construtos teóricos que emergiram ao longo da análise
de dados do programa MathTASK.
Construtos teóricos propostos pelo uso de mathtasks
Resultados de pesquisas sobre o uso de mathtasks revelaram o conjunto
complexo de considerações que professores de matemática levam e conta quando
tomam decisões ou refletem sobre seu ensino. Por exemplo, quando perguntamos a
um professor de matemática se “aceitaria um argumento baseado em gráficos como
uma demonstração”, ele respondeu:
matematicamente, na sala de aula, aceitaria a nível da aula, o
analisaria e elogiaria, mas não em uma prova.” Quando pedimos
para que elaborasse, ele declarou: “Por meio do argumento [baseado
no gráfico], eu tentaria direcionar a discussão a uma demonstração
normal (…) com definição, declividade, derivada etc.” Quando
pedimos para justificar ele acrescentou: “É isso que nós,
matemáticos, aprendemos até agora. Pedir precisão. (…) temos esse
princípio axiomático em nossas mentes. (…) É isso que é exigido em
exames. E é esperado que preparemos os estudantes para os
exames. (BIZA; NARDI; ZACHARIADES, 2009, p. 34).
O professor em questão parece abordar a argumentação visual a partir de
três perspectivas diferentes e interconectadas: as restrições do contexto educacional
atual, nesse caso, os exames de admissão na universidade; as condições
epistemológicas com respeito ao que transforma um argumento em demonstração
na comunidade matemática; e, por fim, o papel pedagógico da argumentação visual
como meio para a construção de conhecimento matemático formal. Essas três
perspectivas refletem três papéis que um professor de matemática deve equilibrar:
educador (responsável por facilitar a aprendizagem matemática dos estudantes),
matemático (responsável por introduzir as práticas normativas da comunidade
matemática) e profissional (responsável por preparar candidatos para um dos
exames mais importantes de suas trajetórias estudantis).
Essa observação nos levou à análise dos argumentos manifestados por
professores de matemática nas respostas por escrito a uma situação de sala de aula
descrita em uma mathtask e das entrevistas de acompanhamento. Nossa análise
visou discernir, diferenciar e discutir a gama de influências (epistemológicas,
pedagógicas, curriculares, profissionais e pessoais) nos argumentos apresentados
por professores em suas respostas escritas e entrevista. Nós nos concentramos
especialmente nas garantias dos argumentos, à luz do modelo de argumentos
14
Perspectivas da Educação Matemática – INMA/UFMS – v. 14, n. 35 – Ano 2021
informais de Toulmin (1958) e da classificação de justificativas de Freeman (2005), e
propusemos a seguinte classificação:
● uma garantia a priori é, por exemplo, recorrer a um teorema ou a uma
definição matemática (a priori–epistemológica) ou recorrer a um princípio
pedagógico (a priori–pedagógico);
● uma garantia institucional é, por exemplo, justificar determinada escolha
pedagógica por ser recomendada ou exigida em um livro didático (institucional–
curricular) ou por refletir práticas padrão da comunidade matemática (institucional–
epistemológica);
● uma garantia empírica é, por exemplo, citar uma ocorrência frequente na
sala de aula (de acordo com as experiências docentes de quem argumenta,
empírica–profissional) ou recorrer a experiências pessoais de aprendizagem de
matemática (empírica–pessoal);
● uma garantia avaliativa é justificar determinada escolha pedagógica por
com base em uma visão, um valor ou uma crença pessoal. (NARDI; BIZA;
ZACHARIADES, 2012, p. 160-161).
Em outro estudo, analisamos as respostas de professores a mathtasks em
relação a suas competências em diagnosticar questões nas respostas de estudantes
e a responder a essas questões. A análise sugeriu uma tipologia de quatro
características interconectadas de respostas dos professores:
● Consistência: o quão consistente é uma resposta na forma como comunica
a conexão entre as crenças declaradas do respondente e sua prática intencionada;
● Especificidade: o quão contextualizada e específica é uma resposta em
relação à situação de ensino na tarefa;
● Reificação de discurso pedagógico: o quão retificado é o discurso
pedagógico da resposta para descrever as questões pedagógicas e didáticas das
situações em sala de aula e a prática intencionada presente nas respostas escritas;
● Reificação do discurso matemático: o quão reificado é o discurso
matemático da resposta em relação à identificação do conteúdo matemático que
sustenta as situações de sala de aula e à transformação do conteúdo matemático na
prática intencionada presente nas respostas escritas. (BIZA; NARDI;
ZACHARIADES, 2018, p. 64).
O uso do termo reificação se baseia em perspectivas discursivas como a de
Sfard (2008), que define reificação como a transformação gradual de processos em
objetos. Discursos, de acordo com Sfard, mudam em uma “cadeia de expansão e
15
Perspectivas da Educação Matemática – INMA/UFMS – v. 14, n. 35 – Ano 2021
compressão intermitentes” (p. 118). Reificação é o elemento-chave de compressão
que pode ser endógeno, resultando de equalização (saming) em determinado
discurso, e exógeno, “fundindo vários discursos em um só” (p. 122). Reificação é
uma resposta ao que pesquisadores discursivos veem como nossa “necessidade de
conclusão” inata (p. 184) em nosso uso de significantes e une pelo menos dois
ganhos potentes: aumentar a eficiência comunicativa do discurso e aumentar a
eficiência prática do discurso. Por exemplo, em um sistema educacional que segue
grupos de estudantes de acordo com habilidade, uma abordagem dominante no
Reino Unido, uma caracterização de estudante de alto nível reifica certa habilidade
de aprendizagem, expectativas de desempenho, conjunto de tarefas apropriadas e,
com muita frequência, certos comportamentos em sala de aula. Acreditamos que um
uso potente dessas características pode servir como instrumento de análise de
reflexões de professores sobre a própria prática. Agora ilustraremos como os
princípios de desenho, implementação e avaliação do programa MathTASK se
materializaram em quatro exemplos diferentes.
Exemplo 1. Problematizando o uso de letras em álgebra
Álgebra tem papel importante no currículo escolar brasileiro. Entretanto, os
estudantes acham o conteúdo difícil, especialmente por conta das letras e dos
diferentes papéis que elas podem representar: incógnitas, variáveis, coeficientes,
parâmetros, símbolos abstratos etc. Professores que introduzem a álgebra a seus
estudantes frequentemente lidam com questões tais como: Como os estudantes
pensam nas letras em suas aulas de matemática? E se a mesma letra for usada
para propósitos diferentes? Como podemos tornar os estudantes conscientes dos
diferentes usos das letras?
A mathtask (Quadro 1) que apresentamos neste exemplo tem a intenção de
abordar essas questões, desencadeando a problematização de como letras são
usadas na álgebra. Foi desenhada e usada pela terceira autora em um mestrado
profissional para professores de matemática em uma instituição brasileira. No trecho
que se segue, começamos com a apresentação da mathtask e das evidências da
pesquisa e da prática que motivaram seu desenho. Em seguida, discutimos a
implementação em uma aula para professores em formação continuada.
A mathtask e seu desenho
Na mathtask (Quadro 1), o professor apresenta aos estudantes um conjunto
de problemas matemáticos com funções quadráticas (por exemplo: encontrar os
16
Perspectivas da Educação Matemática – INMA/UFMS – v. 14, n. 35 – Ano 2021
coeficientes, ou calcular valores específicos). Uma aluna, Bruna, pergunta: “Como
vamos resolver essa função?” Isso leva o professor a se perguntar: “Por que os
estudantes sempre dizem que precisam ‘resolver a função’?” A discussão sobre
“resolver a função” é central no desenho desta mathtasks. Nós a utilizamos para
problematizar a representação algébrica de equações e funções e também seu
ensino. Bruna, nesta situação de sala de aula, provavelmente não se dá conta de
que o de uma função não é o mesmo de uma equação. No Brasil, professores
passam quase todo o 9º ano do Ensino Fundamental estudando como resolver
equações quadráticas e, no ano seguinte, as funções quadráticas são apresentadas
aos estudantes. Contudo, a resolução da equação e o trabalho com
a função usam notações que são, ao mesmo tempo, muito
semelhantes e muito diferentes. Estudantes que estão acostumados a resolver
equações quadráticas e veem aplicado ao contexto das funções não percebem a
diferença e podem facilmente aplicar as rotinas conhecidas para resolver equações,
embora essas não sejam relevantes.
Quadro 1. Uma mathtask usada em um mestrado profissional para professores de
matemática a nível escolar
Em uma sala de 1º ano do Ensino Médio, o professor Victor começa o estudo de
funções quadráticas. Ele começa a escrever no quadro, como indicado, e continua a aula,
destacando os coeficientes e como é possível determinar imagens de valores específicos.
A seguir, a turma começa a resolver alguns exercícios selecionados pelo professor.
Exercícios
1. Indique os coeficientes das funções a seguir.
a)
b)
c)
d)
2. Considere . Determine.
a)
b)
c)
d)
e) , tal que
f) , tal que
g) , tal que
17
Perspectivas da Educação Matemática – INMA/UFMS – v. 14, n. 35 – Ano 2021
Aline e Bruna se sentam juntas para resolver a lista.
Bruna: Como vamos resolver essas funções?
Aline: Essa pergunta aqui é só pra indicar os coeficientes.
Bruna: Tá. Mas e o outro? A gente não tem que resolver?
O professor Victor fica intrigado com a pergunta de Bruna sobre "resolver funções".
Depois da aula, encontra um colega e conversa com ele.
Victor: Eu dou aula há anos e, até agora, não entendo por que estudantes dizem
que precisam “resolver a função”.
Perguntas:
a. O que está por trás do pedido de Bruna para “resolver a função” e da observação
de Victor?
b. Como professor, como lidaria com um estudante que quer “resolver a função”?
Fonte: dados da pesquisa
Nosso objetivo com a tarefa é, portanto, chamar atenção para as
semelhanças e diferenças que equações e funções podem ter, especialmente em
relação aos diferentes papéis de letras na álgebra, como incógnitas, variáveis e
coeficientes. A incógnita é uma quantidade que não é conhecida, normalmente de
forma temporária, que satisfaz determinada equação (por exemplo, em ).
Uma variável é uma quantidade que varia de acordo com determinadas condições
(por exemplo, em , em que é qualquer número real). Coeficientes são
considerados como quantidades conhecidas representadas de forma genérica com
uma letra. Em uma equação genérica, determinar coeficientes é algo arbitrário,
enquanto que determinar a incógnita se dá pela solução (não arbitrária) da equação
(ver resumo no Quadro 2). A semelhança notável das representações da equação
( ) e da função ( ) do segundo grau pode esconder
a diferença entre incógnita ( na equação), variável ( na função) e coeficiente (a
tanto na equação como na função). Especificamente, o uso da letra x para
representar tanto incógnita em equações como variáveis em funções pode, portanto,
confundir os estudantes.
Quadro 2 - Usos diferentes de letras em expressões e equações algébricas
Letras como…
Exemplos
Caracterização
incógnitas (
Quantidades que não
conhecemos e que
satisfazem determinada
equação
Variáveis ( e
Quantidades que não
conhecemos e que podem
tomar valores arbitrários
determinados por certas
18
Perspectivas da Educação Matemática – INMA/UFMS – v. 14, n. 35 – Ano 2021
condições
Coeficientes ( e e )
Quantidades que
consideramos conhecidas
em determinadas
expressões algébricas para
descrever um caso genérico
Fonte: baseado em Roque (2012)
Embora o professor possa não ser aquele que ensinará letras como variáveis
(por exemplo, no 1º ano do Ensino Médio), é importante estar ciente dessas
possíveis questões ao ensinar letras como incógnitas. Da forma similar, ao ensinar
variáveis, o professor deve considerar que os estudantes podem já ter estabelecido
rotinas com letras como incógnitas (por exemplo, no 9º ano do Ensino Fundamental).
Tal consciência do professor é importante para preparar os estudantes para o que
vem a seguir e antecipar possíveis conflitos entre o que eles conhecem e o que é
novo para eles. Acreditamos que tal consciência pode ser estabelecida com
preparação docente adequada, que expanda os discursos matemático e pedagógico
dos professores por meio do fortalecimento de sua confiança no conteúdo
matemático; da identificação de conexões entre ideias matemáticas; da
demonstração de como objetos matemáticos, neste caso, as letras em álgebra,
podem ter diferentes usos e significados; e da aprendizagem sobre como tais
conexões podem ser integradas no ensino de matemática (ver as discussões sobre:
Conhecimento de Conteúdo de Horizonte, em Ball, Thames e Phelps, 2008;
dimensões de Fundação e Conexão do Quarteto do Conhecimento, em Turner e
Rowland, 2011; Discurso Matemático para o ensino, em Cooper, 2014). A mathtask
no Quadro 1 objetiva tal preparação e diz respeito a um conteúdo matemático que,
apesar de não ser necessariamente usado em aula, enriquecerá os discursos dos
professores e influenciará suas decisões no ensino.
Discussões em torno da pergunta (a) da mathtask oferecem a possibilidade
de falar sobre a diferença epistemológica entre variáveis e incógnitas, como
resumido no Quadro 2. Como coeficientes também aparecem nas expressões
genéricas de equações e d funções, também podem ser discutidos; exemplos são
bem-vindos para explicar, por exemplo, a arbitrariedade ou não das letras. Além
disso, na pergunta (b), há possibilidades de discutir questões de sala de aula e
potenciais abordagens para essas questões quando surgirem. Neste caso, a
experiência profissional do professor pode nos surpreender, com relatos de erros
comuns de estudantes ou estratégias desenvolvidas por professores para lidar com
situações parecidas.
19
Perspectivas da Educação Matemática – INMA/UFMS – v. 14, n. 35 – Ano 2021
Usando mathtask em um mestrado profissional para professores de
matemática a nível escolar
A mathtask no Quadro 1 acima foi usada no contexto da pesquisa de
doutorado da terceira autora (MOUSTAPHA-CORRÊA, 2020; MOUSTAPHA-
CORRÊA; BERNARDES; GIRALDO, 2019; MOUSTAPHA-CORRÊA et al., 2021).
Professores em formação continuada que assistiram à aula reconheceram suas
próprias práticas em situações semelhantes à presente na mathtask. Alguns deles
não perceberam que, na transição do estudo de equações para o estudo de funções,
é necessário prestar atenção às diferenças entre incógnitas e variáveis. Por outro
lado, o mesmo grupo de professores argumentou que em determinadas situações,
como 2(a), 2(b) e 2(c) (Quadro 1), eles “resolvem a função” para encontrar a solução
do problema. Portanto, a mathtask, como apresentada aqui, atingiu seus propósitos.
Mais especificamente, parece que alguns dos professores que participaram
no estudo não estavam habituados a destacar a diferença entre equações e funções
para seus estudantes. Passavam de incógnitas para variáveis sem considerar que
não são a mesma coisa — o que Giraldo e Roque (2014) chamam de naturalizar. Os
diferentes usos de letras em álgebra as tornam objetos diferentes no discurso
matemático de sala de aula. Não destacar essas diferenças pode causar um conflito
comognitivo (SFARD, 2008) entre o que o professor e o livro didático dizem e o que
os estudantes respondem nas tarefas. Um conflito comognitivo pode ocorrer quando
a mesma palavra é usada de modos diferentes pelos participantes de uma
discussão, especialmente quando esses não estão cientes das diferenças. No caso
de “resolver funções”, isso ocorre, pois, estudantes não mudaram seu discurso
sobre letras, e professores devem estar atentos e prontos para abordar a questão no
ensino.
Em desenhos futuros de mathtasks, a questão de “resolver funções” também
pode ser abordada por meio de uma situação de sala de aula em que se pede que
os estudantes estudem as propriedades de uma função quadrática, eles a igualam a
zero e resolvem a equação resultante, indiferentemente ao indicado no enunciado
ou pelo professor.
Exemplo 2. Tecnologia como mediador visual: “o que vocês veem?”
Os dados que inspiraram este exemplo de mathtask vêm da pesquisa de
doutorado da segunda autora, que aborda o trabalho de professores com recursos
(KAYALI, 2019; KAYALI; BIZA, 2017, 2021). Recursos aqui são definidos como
20
Perspectivas da Educação Matemática – INMA/UFMS – v. 14, n. 35 – Ano 2021
“qualquer coisa que pode intervir na atividade [de um professor]”; pode ser um
artefato (por exemplo, uma caneta), um material de ensino (por exemplo, uma folha
de exercícios), ou mesmo uma interação social (por exemplo, uma conversa com um
colega) (GUEUDET; BUTEAU; MESA; MISFELDT, 2014, p. 142). Nosso interesse
no trabalho de professores com recursos surgiu da influência de mão-dupla entre
recursos e professores (i.e. recursos influenciam e são influenciados por
professores); portanto, explorar as interações entre os dois pode ajudar a identificar
oportunidades de desenvolvimento do ensino (KAYALI; BIZA, 2021; GUEUDET et
al., 2014). Partindo desse interesse, uma série de aulas foi observada com um
professor de matemática, Adam, que trabalhava em uma escola britânica.
Observações que levaram ao desenho da mathtask
Contexto de aula
Essa foi a primeira aula que observamos com Adam. Na época da
observação, Adam tinha quatro anos de experiência docente, dando aulas para
estudantes na faixa etária de 12 a 18 anos. Ele é formado em economia e tem um
Certificado de Pós-Graduação em Pedagogia
10
para o ensino de matemática em
escolas de ensino secundário (estudantes de 12 a 18 anos) e estava prestes a
completar o mestrado em educação
11
. No Reino Unido, não é necessário que
professores sejam formados em matemática para dar aulas de matemática. Em
lugar disso, um curso de graduação que tenha um componente matemático é
suficiente, desde que juntamente a um certificado de pós-graduação em pedagogia,
que é um curso formação inicial de formação de professores. A primeira aula de
Adam que observamos foi para uma turma do 12º ano (estudantes de 17 a 18 anos)
e foi gravada em áudio. A aula foi dada em uma sala que continha um quadro
branco interativo e um computador para uso do professor. O computador do
professor tinha dois softwares de ensino matemático: Autograph (www.autograph-
10
O Certificado de Pós-Graduação em Pedagogia (Post-Graduate Certificate in Education, PGCE) é
um curso de formação de professores de um ou dois anos (“Teaching- What is a PGCE?”, 2019.
Acesso em: https://getintoteaching.education.gov.uk/explore-my-options/teacher-training-routes/pgce).
Esse é um dos caminhos para se qualificar como professor na Inglaterra, e exige que o candidato
tenha graduação em matemática ou área afim (“Teaching- Eligibility for teacher training”, 2019.
Acesso em: https://getintoteaching.education.gov.uk/eligibility-for-teacher-training). Se o diploma de
graduação do candidato não for em matemática, ele pode cursar uma disciplina de conhecimento de
conteúdo (“Teaching- Subject knowledge enhancement (SKE) courses”, 2019. Acesso em: Retrieved
from https://getintoteaching.education.gov.uk/explore-my-options/teacher-training-routes/subject-
knowledge-enhancement-ske-courses).
11
O Mestrado em Prática e Pesquisa Educacional é um curso de pós-graduação em dedicação
parcial para profissionais da educação (principalmente professores) interessados em expandir o
desenvolvimento profissional pelo estudo para um diploma a nível de mestrado ( " MA Educational
Practice and Research, UEA”, 2019).
21
Perspectivas da Educação Matemática – INMA/UFMS – v. 14, n. 35 – Ano 2021
maths.com) e GeoGebra (www.geogebra.org). O foco da observação foi o uso de
recursos por Adam, especialmente o uso de softwares de ensino de matemática,
neste caso, Autograph ou GeoGebra, que ele mencionou empregar com frequência
em suas aulas.
Visão geral da aula
A observação foi feita em uma aula de revisão sobre a solução de equações
lineares e modulares (i.e. equações que incluem valor absoluto). Adam começou
mexendo um bastão no ar para desenhar um gráfico específico, e pediu para os
estudantes reconhecerem o gráfico. Um dos gráficos era o da função seno, mas os
estudantes pareciam confusos quanto aos gráficos desenhados. Depois da atividade
do bastão, Adam pediu aos estudantes para resolverem problemas apresentados no
quadro. Todos os problemas eram selecionados do livro didático, exceto por um,
criado por Adam. Durante a aula, Adam usou Autograph para corrigir as respostas
dos estudantes, digitando as funções para que os gráficos fossem projetados no
quadro. Em seguida, uma discussão e demonstração da solução algébrica foi
conduzida por ele no quadro branco. Quando dois estudantes acabaram os
problemas passados no quadro antes do resto da turma, Adam propôs uma questão
extra, que ele pode ter sugerido espontaneamente em resposta à necessidade de
mais trabalho. A questão extra tinha duas partes: a primeira pedia duas funções
modulares diferentes sem interseção, e a segunda pedia duas que tivessem uma
interseção. “É possível? Vocês podem me mostrar duas com uma interseção?”,
Adam perguntou à turma, e se seguiu o diálogo:
Estudante A: e
[Adam plotou os gráficos no Autograph (Figura 2)]
Adam: Ah, é isso mesmo.
Estudante A: Isso, você traduziu.
Estudante B: e .
[Adam plotou os gráficos no Autograph (Figura 3), olhou para os
gráficos no Autograph e balançou a cabeça, no que parecia
concordância hesitante].
Estudante C: Muda a inclinação.
Adam ajustou as equações conforme sugestão do estudante C e
escreveu
e sem comentar a resposta do estudante B.
[Adam não prosseguiu com discussões sobre a resposta do
estudante B, ou sobre a correção do estudante C. Em vez disso,
passou para uma atividade completamente diferente, com a qual
concluiu a aula].
22
Perspectivas da Educação Matemática – INMA/UFMS – v. 14, n. 35 – Ano 2021
Figura 2 - Resposta do estudante A no Autograph ( e )
Fonte: dados da pesquisa
Figura 3 - Resposta do estudante B no Autograph ( e )
Fonte: dados da pesquisa
O que é interessante nessa aula e por quê?
Softwares de educação matemática influenciam ações dos professores, pois
são adaptados para proporcionar acesso a conhecimento matemático; nota-se que
eles tornem o ensino mais complexo (por exemplo, se estudantes entendem mais de
tecnologia do que seus professores) e as tarefas mais difíceis de planejar (CLARK-
WILSON; NOSS, 2015). Tal complexidade pode levar a “soluços”, que são
momentos ou eventos inesperados na sala de aula que ocorrem devido ao uso de
tecnologia (CLARK-WILSON; NOSS, 2015). Momentos e eventos inesperados em
sala de aula também foram abordados por Rowland, Thwaites e Jared (2015) em um
contexto mais amplo (i.e., não somente em relação a tecnologia) na dimensão
“Contingência” do Quarteto do Conhecimento. Por exemplo, um momento
“contingente” pode ocorrer devido a contribuições inesperadas de estudantes. A
dimensão de contingência de Rowland et al. (2015) enfoca as respostas dos
professores a tais contribuições, suas respostas à disponibilidade ou não de
recursos, seu uso de oportunidades que surgem na sala de aula e o fato de
desviarem ou não de seu planejamento de aula.
A observação da aula abordada neste exemplo joga luz nessa complexidade
e nos eventos inesperados ou não planejados. Por um lado, evidencia a apreciação
de Adam pela facilidade de uso do Autograph para representações visuais; na forma
como ele usou o software para verificar o trabalho dos estudantes e apresentar
23
Perspectivas da Educação Matemática – INMA/UFMS – v. 14, n. 35 – Ano 2021
soluções gráficas antes de partir para soluções algébricas. Por outro lado, Adam
pareceu confuso com o Autograph no momento da resposta do estudante B, com a
qual pareceu concordar hesitantemente. Isso pode ter sido porque só um ponto de
interseção era visível na parte do gráfico mostrada (Figura 3). Nesse caso, Adam
perdeu a oportunidade de usar todos os recursos do Autograph (no caso, a
ferramenta de zoom) para melhorar a resposta do estudante B e explicar a resposta
correta ao resto da turma. Não houve evidência de que o resto da turma, exceto o
estudante C, tenha percebido onde estava problema como esse foi corrigido.
Usando a linguagem do Quarteto do Conhecimento (ROWLAND et al., 2015), esse
foi um momento contingente que ocorreu devido a respostas e contribuições
inesperadas de estudantes, e parece que o professor perdeu a oportunidade de
refletir sobre o ocorrido.
A mathtask e seu desenho
Com base na observação descrita, criamos uma tarefa que refletia a situação
de sala de aula observada, especialmente em relação ao uso de tecnologia. Uma
equipe de pesquisadores em Educação de Matemática e de professores atuantes
examinou o episódio de sala de aula e reconheceu que a questão extra que Adam
usou em aula (pedindo duas funções modulares diferentes sem interseção, e duas
com uma interseção) poderia ser a base de uma tarefa para compartilhar com os
professores. A equipe sugeriu substituir o Autograph pelo GeoGebra, pois esse
último é um software gratuito e, portanto, mais acessível a professores de diferentes
escolas. Assim, a tarefa do Quadro 3 foi produzido.
Quadro 3 - Uma mathtask sobre equações modulares
Em uma aula para o 12º ano sobre equações modulares, pede-se o seguinte aos
estudantes:
“Apresente duas funções modulares cujos gráficos têm apenas uma interseção.”
O professor e os estudantes têm acesso ao software Geogebra.
Depois de certo tempo, ocorre a seguinte conversa:
Estudante A: As duas funções modulares que encontrei foram e .
Estudante B: Encontrei outro par: e .
Professor: Vamos verificar essas soluções no GeoGebra.
O professor gera os gráficos das sugestões dos estudantes A e B no GeoGebra.
24
Perspectivas da Educação Matemática – INMA/UFMS – v. 14, n. 35 – Ano 2021
Estudante A Estudante B
Perguntas:
a. Que questões você acha que surgem das soluções propostas pelos estudantes A
e B?
b. Quais são os objetivos de realizar essa atividade em aula?
c. Se você fosse o professor, o que você faria a seguir, em resposta aos dois
estudantes e ao resto da turma?
d. Como você usaria o software GeoGebra, ou outro software, para justificar as
respostas acima?
Fonte: dados da pesquisa
Usando mathtask para reflexão e desenvolvimento profissional de professores
escolares
Professores atuantes que participaram de um evento de formação de
professores (neste caso, desenvolvimento profissional) do MathTASK no Reino
Unido foram apresentados a esta mathtask e convidados a refletir e discutir a
respeito de questões sobre o uso de tecnologia. A discussão girou em torno do uso
de tecnologia, assim como do uso de mais de uma abordagem para resolver o
problema. Questões ligadas ao software foram identificadas nas respostas de treze
professores, incluindo: o valor da representação visual de gráficos e soluções e a
ferramenta de zoom do software; e se o software deveria ser uma ferramenta
principal ou suplementar de ensino em tais situações. Além disso, alguns
professores sugeriram que a discussão em sala de aula deveria ser encorajada
neste caso, e que poderia ser iniciada com perguntas abertas como “o que vocês
veem?”. Outros sugeriram gerar o gráfico de uma função e criar outra que possa ser
manipulada usando controles deslizantes para a inclinação e/ou para a interseção
em y, de forma a permitir que os estudantes explorem o que aconteceria quando
esses valores mudassem. Nessa conversa, valorizamos o engajamento dos
professores com o conteúdo matemático relacionado com a mathtask (por exemplo,
resolver equações modulares, traduzir gráficos, o papel de inclinações etc.); o
25
Perspectivas da Educação Matemática – INMA/UFMS – v. 14, n. 35 – Ano 2021
significado matemático e o papel pedagógico de representações; o papel da
tecnologia na visualização de ideias matemáticas e suas potencialidades e
desvantagens pedagógicas (sobre o foco em discursos matemáticos e pedagógicos,
ver Biza et al. (2018)). Além disso, demos crédito ao uso da mathtask em manter a
discussão estruturada e contextualizada em questões especificas (sobre o foco na
especificidade de respostas de professores, ver Biza e Nardi (2019) e Biza et al.
(2018)). De forma geral, a tarefa ajudou a trazer à tona questões sobre o uso de
tecnologia e sobre o ensino/aprendizagem de matemática. Portanto, consideramos
que o objetivo principal da mathtask em discussão foi atingido.
Exemplo 3: O que a│b significa na matemática universitária?
A mathtask que discutimos nesta seção diz respeito ao ensino de matemática
em nível universitário e visa auxiliar no desenvolvimento profissional de professores
universitários de matemática
12
. Recentemente, instituições de educação superior no
Reino Unido têm investido mais recursos na preparação de seus professores para o
ensino. Até o momento, essa preparação era principalmente em pedagogia geral
(por exemplo, gestão de aprendizagem, uso de recursos ou avaliação) e menos na
pedagogia de uma disciplina específica — no nosso caso, a matemática. A mathtask
proposta se concentra no ensino de matemática em nível universitário com atenção
tanto em matemática como em pedagogia, e se baseia em resultados da pesquisa
de doutorado da quinta autora sobre o envolvimento esperando e factual de
estudantes com discursos matemáticos universitários no contexto de questões de
exames de fim de ano (THOMA, 2018; THOMA; NARDI, 2017, 2018). Começamos
com uma amostra dos resultados que levaram ao desenho desta mathtask.
Observações que levaram ao desenho da mathtask
A amostragem de dados que apresentamos aqui vem da análise de respostas
escritas de exames de fim de ano de vinte e dois estudantes em um módulo de
primeiro ano sobre Conjuntos, Números, Demonstrações e Probabilidade em um
departamento de matemática no Reino Unido (THOMA; NARDI, 2018). Uma das
questões propostas aos estudantes nesses exames é apresentada na Figura 4.
12
No contexto do Reino Unido, professores universitários são usualmente ser chamados de lecturers
e a sessão conduzida por esses professor é chamada de lecture. Na estrutura usual de uma lecture,
o lecturer expõe o conteúdo e os estudantes participam fazendo anotações e contribuições pontuais.
Também há outras formas de ensino, como seminars, em que estudantes trabalham em listas de
exercícios e o professor os ajuda, respondendo dúvidas que possam ter.
26
Perspectivas da Educação Matemática – INMA/UFMS – v. 14, n. 35 – Ano 2021
Figura 4 - Pergunta de prova no módulo sobre conjuntos, números, provas e probabilidade
Fonte: Thoma e Nardi (2018, p. 168)
Um estudante escreveu a resposta que vemos na Figura 5. Nessa resposta, o
estudante escreve d/a e d/b, em que d é o divisor de a e b. Os resultados dessas
frações, m e n, respectivamente, são considerados como números inteiros na
resposta do estudante, apesar de não sejam. Isso é conflitante com a introdução das
variáveis m e n na tarefa como números inteiros. Thoma e Nardi (2018) sugerem
que o estudante foi instruído a se engajar com os discursos de diferentes conjuntos
numéricos, os números inteiros e os números reais, e, ao trabalhar com os inteiros,
os viu como reais, e vice-versa. O erro “ocorreu porque o estudante não delimitou a
narrativa que produziu em um contexto numérico específico”. Thoma e Nardi (2018,
p. 168) descrevem isso como uma manifestação de um conflito comognitivo
subjacente relacionado a não “trabalhar no contexto numérico adequado”. Tal
observação levou à mathtask proposta, que apresentamos a seguir.
Figura 5 - Uma resposta de aluno à pergunta de prova da Figura 4
Fonte: Thoma e Nardi (2018, p. 169)
A mathtask e seu desenho
A mathtask no Quadro 4 refere-se a aulas de matemática de primeiro ano de
graduação e captura uma cena de uma aula de exercícios (seminar). No contexto do
Reino Unido, após as aulas teóricas (lectures), os estudantes têm aulas de
exercícios (seminars), nas quais trabalham com problemas relacionados com o
conteúdo apresentado nas aulas teóricas. O objetivo principal das aulas de
exercícios é que os estudantes trabalhem os problemas, individualmente ou com
colegas. Nessas aulas de exercício, na universidade onde esta pesquisa foi
conduzida, normalmente há cerca de vinte estudantes e um ou dois tutores
27
Perspectivas da Educação Matemática – INMA/UFMS – v. 14, n. 35 – Ano 2021
(docentes ou estudantes de doutorado). Os tutores andam pela sala e respondem a
perguntas que os estudantes podem ter. A situação a seguir ocorre em uma dessas
aulas em um módulo de primeiro ano de graduação em matemática. A tarefa
começa com uma breve descrição de contexto. O leitor que se engaja com a tarefa é
instruído a tomar o lugar do professor. O professor é confrontado com a solução de
dois estudantes e pedido para refletir sobre como responderia a eles.
Quadro 4 - A mathtask de teoria de números “a divide b"
Estudantes de primeiro ano de graduação foram apresentados ao conceito de
divisor na aula expositiva da semana passada. Agora, estão em uma aula de exercícios e
trabalham com uma lista de questões sobre o conceito de divisor. Os estudantes fazem os
exercícios individualmente, ou em duplas. Você anda pela sala e vê o que eles estão
fazendo. Você vê dois estudantes discutindo seu trabalho no seguinte problema:
“Prove que se e então , em que e são números inteiros.”
Eles parecem ter chegado a uma solução, que estão discutindo. Você vê o que eles
escreveram:
e
,
Então
e c
.
Você os ouve comentar:
Estudante A: Acho que é isso. Nós temos que divide e que divide , e nós
mostramos que divide .
Estudante B: É, acho que acabamos. Foi fácil.
Perguntas:
a. Como você resolveria esse problema matemático?
b. Qual poderia ser o objetivo de usar esse problema em aula?
c. Que questões você abordaria na sua resposta a esses estudantes?
Fonte: dados da pesquisa
Esta mathtask segue a metodologia do programa MathTASK, também
inspirada pela metodologia usada por Iannone e Nardi (2005), e por Nardi (2008),
que pediram que professores de graduação em matemática discutissem respostas
escritas selecionadas de estudantes. Seu principal objetivo é desencadear reflexões
sobre aspectos como: uso de simbolismo; uso de terminologia; e a transição entre
28
Perspectivas da Educação Matemática – INMA/UFMS – v. 14, n. 35 – Ano 2021
vários domínios numéricos. Discutimos esses aspectos também com base na
literatura de pesquisa relevante.
A adequação da convenção de usar o símbolo “│” para ilustrar a propriedade
de divisibilidade é questionada por Kontorovich (2019). Os participantes de seu
estudo são matemáticos que discutem convenções matemáticas e os símbolos
utilizados. Eles questionaram a característica simétrica do símbolo “│” e a
discrepância com a relação não simetria de . De forma semelhante, Zazkis
(1998) discute significados do termo divisor. A palavra divisor se refere ao número
pelo qual se divide no contexto da divisão; e, no contexto da teoria de números, a
palavra divisor indica um número inteiro. Especificamente, na teoria de números,
em que e são números inteiros significa que é um número inteiro múltiplo
de . Em outras palavras, , em que e são números inteiros.
Na mathtask do Quadro 4, os estudantes traduziram , que significa “
divide ” como o quociente entre e ( ). Os estudantes introduzem o símbolo
para indicar o resultado do quociente e, de forma semelhante, introduzem o
símbolo / para . Eles manipulam a expressão para criar a soma e sua
manipulação resulta em uma fração. Entretanto, não comentam o domínio numérico
das variáveis , e da fração resultante
. O resultado do quociente entre dois
números inteiros não é necessariamente um número inteiro. O problema de usar
símbolos sem fornecer informações explícitas sobre o domínio numérico da variável
também é documentado na pesquisa (BIEHLER; KEMPEN, 2013; EPP, 2011;
THOMA, 2018; THOMA; NARDI, 2017, 2018). A definição de que divide significa
que é um número inteiro múltiplo de . Em consequência, o resultado da divisão
deve estar nos inteiros. Entretanto, esses estudantes lidam com variáveis sem
especificar o conjunto numérico a que pertencem e sem considerar as restrições da
divisão no conjunto dos números inteiros, pois esse conjunto não é fechado em
relação à divisão. Além disso, o símbolo de divisibilidade (“│”) e o símbolo de divisão
(“/”) são muito semelhantes, mas expressam relações muito diferentes entre
números. Por exemplo, quando temos e inteiros e escrevemos “”, existe um
número inteiro tal que . Por outro lado, quando escrevemos “”, dizemos
“ dividido por ”. Nessa segunda situação, não há restrições quanto aos domínios
numéricos das variáveis e . O quociente da divisão não é necessariamente um
número inteiro, nem as variáveis e . Nesse caso, a relação pode ser representada
por , em que , e são números reais.
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Perspectivas da Educação Matemática – INMA/UFMS – v. 14, n. 35 – Ano 2021
Propomos que a discussão desta mathtask pode proporcionar oportunidades
para professores universitários refletirem sobre: o uso de variáveis e notações para
operações matemáticas; a introdução de variáveis especificando o conjunto
numérico a que essas pertencem; e se o resultado de uma divisão pertence ao
mesmo conjunto numérico dos números sendo divididos. De forma semelhante, o
objetivo desta tarefa é desencadear discussões em torno do objeto divisor e dos
diferentes usos do termo em várias questões matemáticas, com que os estudantes
podem ter familiaridade de sua educação escolar ou universitária. Além de
discussões sobre esses conflitos comocognitivos potenciais, outra questão
levantada pela tarefa é a restrição dos inteiros em relação à operação de divisão.
Isso pode levar a discussões sobre os vários domínios numéricos e à verificação do
fechamento de várias operações nesses domínios. Finalmente, o engajamento nesta
mathtask pode criar a oportunidade de discutir os diferentes usos e significados de
símbolos matemáticos e como a transição de estudantes entre áreas matemáticas
e/ou níveis educacionais (por exemplo, da escola para a universidade) podem
influenciar ou desafiar sua aprendizagem de matemática.
Exemplo 4: Pode a descrição não convencional de uma pirâmide de base
quadrada por um estudante cego desafiar perspectivas capacitistas sobre o
ensino de matemática?
Apesar de a justiça social ser uma preocupação de muitos pesquisadores
interessados em construir salas de aula de matemática mais igualitárias, até
recentemente, a atenção dada a estudantes com deficiências tem sido escassa. Em
particular, apenas recentemente esse tema começou a ganhar ímpeto na pesquisa e
no desenvolvimento em formação de professores de matemática. Além disso, onde
existem discursos sobre estudantes com deficiências, esses tendem a subestimar
seu potencial para a aprendizagem de matemática (GERVASONI; LINDENSKOV,
2011). Tais discursos foram descritos como “capacitistas”, sendo o capacitismo
uma rede de crenças, processos e práticas que produzem um tipo
específico de ser (self) e de corpo (o padrão corporal) que é
projetado como o tipo perfeito, típico da espécie e, portanto,
essencial e plenamente humano. A deficiência é, portanto, colocada
como um estado diminuído de humanidade (CAMPBELL, 2001, p.
44).
Há sinais de mudança, entretanto, como demonstrado por um volume
pequeno, mas crescente, de pesquisa que explora como suposições capacitistas
contribuem para a criação de ambientes de aprendizagem incapacitantes, nos quais
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Perspectivas da Educação Matemática – INMA/UFMS – v. 14, n. 35 – Ano 2021
estudantes com configurações cognitivas, emocionais, físicas ou sensoriais que
diferem daquilo que atualmente é definido como socialmente desejável e normal
estão em desvantagem (HEALY; POWELL, 2013). Foi com esse desejo de desafiar
o capacitismo, especialmente no contexto da formação e do desenvolvimento
profissional de professores, que foi concebido o projeto CAPTeaM (Challenging
Ableist Perspectives on the Teaching of Mathematics, ou Desafiando Perspectivas
Capacitistas sobre o Ensino de Matemática).
Opção por elementos de desenho de pesquisa de mathtask no projeto
CAPTeaM
Para explorar e desafiar o capacitismo, em especial no contexto de formação
e desenvolvimento profissional de professores, produzimos e testamos mathtasks
que encorajam professores a refletir sobre os desafios de ensinar matemática para
aprendizes com deficiências. A seguir, ilustramos como os princípios de desenho do
MathTASK foram implementados no desenho de uma mathtask para o CAPTeaM e
oferecemos também evidências de o engajamento de professores em formação
inicial e continuada com as mathtasks contribui para a reflexão sobre a inclusão de
aprendizes com deficiências em aulas de matemática. Depois disso, apresentamos
um construto teórico que emergiu de análises fundamentadas em dados coletados
pelo uso de mathtasks do CAPTeaM e que agora sustenta nossas análises de dados
em diferentes partes do projeto. Um resultado dessas análises é que programas de
formação e desenvolvimento profissional de professores precisam questionar mais
explicitamente as perspectivas (muitas vezes capacitistas) dos professores em
relação ao que constitui uma sala de aula de matemática normal.
O CAPTeaM é um projeto colaborativo envolvendo pesquisadores e
professores em formação inicial e em exercício no Brasil e no Reino Unido. Dois
financiamentos do Esquema de Parceria e Mobilidade Internacional da Academia
Britânica (British Academy International Partnership and Mobility Scheme) nos
permitiram combinar os diferentes focos de investigação de duas equipes de
pesquisa (no Reino Unido, a equipe por trás do MathTASK; no Brasil, a equipe do
projeto Rumo à Educação Matemática Inclusiva) de modo recíproco. A equipe
desenha mathtasks que visam criar oportunidades para professores em formação
inicial e continuada refletirem sobre questões ligadas à inclusão de estudantes com
deficiências em suas aulas de matemática. As tarefas enfatizam diferentes questões
ligadas à inclusão e desafiam o que identificamos como suposições capacitistas de
diferentes modos.
31
Perspectivas da Educação Matemática – INMA/UFMS – v. 14, n. 35 – Ano 2021
As mathtasks do CAPTeaM e seu desenho: princípios e um exemplo
O desenho das tarefas envolve a seleção, por membros da equipe brasileira,
de episódios de interações matemáticas entre estudantes e professores a partir do
banco de dados de evidências em vídeo coletadas nos diferentes estudos de seu
programa de pesquisa. Como escrito por Nardi, Healy, Biza e Fernandes (2016, p.
349):
o princípio de desenho por trás do processo de seleção é a ideia de
destacar a agência matemática de estudantes com deficiências: em
vez de tentar determinar realizações “normais” ou “ideais” e
posicionar aqueles que desviam das supostas normas como
problemáticos e necessitados de remediação, atenção deve ser
direcionada a como as ideias matemáticas dos estudantes podem se
desenvolver de formas diferentes e a que estratégias pedagógicas
são apropriadas para apoiar essas trajetórias de desenvolvimento. O
objetivo é, portanto, localizar episódios representativos de práticas
matemáticas bem-sucedidas associadas a formas específicas de
interação com o mundo — práticas de estudantes que veem com as
mãos e com os ouvidos, que falam com as mãos, cuja memória
visual é mais eficiente do que a memória verbal, ou que têm outras
formas interessantes de interagir com o mundo. Optamos por
episódios envolvendo o uso de estratégias matemáticas
interessantes e válidas, mas cujas propriedades e relações foram
expressas de formas surpreendentes ou pouco convencionais.
Usando a abordagem do MathTASK, cada episódio é inserido como clipe de
vídeo em uma narrativa breve sobre uma sala de aula de matemática fictícia. Em
seguida, convidamos os participantes a assumir o papel do professor dessa turma e
avaliar as interações dos estudantes com deficiências apresentadas nos vídeos —
primeiro individualmente, em respostas escrita a um conjunto de perguntas, e depois
em uma discussão em grupo (na qual fazemos anotações de observação e que
também gravamos em áudio e em vídeo).
Apresentamos agora um exemplo de uma mathtask do CAPTeaM, André e a
pirâmide (Quadro 5 e Figuras 6 e 7). O vídeo usado na tarefa mostra um episódio
breve de uma atividade em que um estudante cego propõe uma descrição de uma
pirâmide de base quadrada (Figuras 6, 7). Mais detalhes sobre o contexto da
pesquisa em que a atividade foi utilizada encontram-se em Healy e Fernandes
(2011).
Quadro 5 - Exemplo de uma mathtask do CAPTeaM: André e a pirâmide
Imagine-se dando uma aula sobre figuras geométricas tridimensionais. Conforme os
estudantes exploram como descreveriam uma pirâmide de base quadrada para alguém que
não conhece o conceito, você percorre a sala para observar as estratégias. Você nota que
muitos contam faces, arestas e vértices. André, que é cego, está trabalhando com
32
Perspectivas da Educação Matemática – INMA/UFMS – v. 14, n. 35 – Ano 2021
materiais, como sólidos 3D. Ele observe a seguiste descrição.
Perguntas:
a) O que André propõe como descrição de pirâmide de base quadrada?
b) O que você faz a seguir?
c) Quais você acha que são questões nessa situação?
d) Que experiências prévias você tem para lidar com essas questões?
e) Que experiência prévia você tem para dar apoio à aprendizagem matemática de
estudantes cegos em sua sala de aula?
f) Qual é seu grau de confiança em relação a incluir estudantes cegos em sua sala
de aula?
Fonte: dados da pesquisa
O vídeo de 27 segundos mostra um estudante cego, André, descrevendo sua
visão de uma pirâmide de base quadrada. Conforme ele falava, André movia os
dedos ao longo nas arestas que unem os vértices na base da pirâmide (Figura 6) ao
vértice no seu ápice (Figura 7). Imagens estáticas tiradas do vídeo são apresentadas
em Nardi, Healy e Biza (2015, p. 55).
Figura 6 - Sentindo os vértices da base.
Figura 7 - Indicando o vértice do ápex.
Fonte: Nardi, Healy e Biza (2015, p. 55)
André diz: “Eu diria que a parte de baixo é quadrada… a base… é
quadrada… E conforme a gente sobe, ficam… os lados do quadrado ficam
menores… Até formar um ponto aqui no alto (ele move os dedos ao longo das
arestas até o vértice no ápice da pirâmide)”.
Usando uma mathtask do CAPTeaM para explorar perspectivas de professores
sobre a inclusão de estudante com deficiência em aulas de matemática
Análises fundamentadas em dados coletados em protocolos escritos de
respostas a esta mathtask, bem como em gravações de vídeo das discussões
plenárias (NARDI et al., 2016; NARDI; HEALY; BIZA, 2018) levaram a cinco temas:
33
Perspectivas da Educação Matemática – INMA/UFMS – v. 14, n. 35 – Ano 2021
1. Valor e Sintonia: em que grau um respondente valoriza e se sintoniza com
as contribuições do estudante com deficiência, e como (e se) aborda as
particularidades da agência matemática do estudante ou se adapta à restrição
imposta à comunicação;
2. Gerenciamento de Sala de Aula: como o respondente gerencia a sala de
aula após a contribuição do estudante com deficiência;
3. Experiência e Confiança: o quão experiente e confiante o respondente
alega ser no ensino para estudantes com a deficiência exemplificada na mathtask;
4. Possibilidades e Restrições Institucionais: que possibilidades e restrições
institucionais o respondente identifica como cruciais para o ensino dos estudantes
destacados nesta mathtask;
5. Ressignificação: evidências de reconsiderações do respondente sobre suas
visões e suas práticas intencionadas a partir do engajamento com a mathtask.
Nossas evidências sugerem que aqueles que se egajam com as mathtasks do
CAPTeaM são encorajados a pensar sobre como a agência matemática de
estudantes com deficiências pode ser ajudada ou inibida por aspectos dos
ambientes de aprendizagem em que experienciam a matemática e a reconhecer que
eles não são matematicamente deficientes a priori. Propomos que nossas tarefas
são bem-sucedidas em motivar os professores em formação inicial e continuada a
repensar a noção do estudante “normal”. Acreditamos que este seja um passo
importante na direção de preparar professores para trabalhar com estudantes com
deficiências e de influenciar como eles escolhem organizar as atividades de
aprendizagem que oferecem a todos os estudantes. Estamos, contudo, cientes de
uma ressalva: nossa escolha em situar as mathtasks em contextos de sala de aula
que os professores provavelmente experimentam (ou já experimentaram) pode ter
contribuído para estabelecer uma outra norma, a sala de aula normal. Construir uma
matemática escolar inclusiva exige a desconstrução dessa noção também e, com
frequência, é no que se segue à resposta escrita da mathtask (por exemplo, uma
discussão em plenária e/ou uma oportunidade de se engajar com não só uma, mas
com uma série de mathtasks) que se amplifica a oportunidade de começar a
imaginar o que uma sala de aula de matemática verdadeiramente inclusiva pode ser.
Conclusões
Este artigo apresenta nosso trabalho no programa MathTASK, que desenha
situações de sala de aula (mathtasks) para engajamento de professores de
matemática, com fins de pesquisa e de formação de professores. O trabalho se
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Perspectivas da Educação Matemática – INMA/UFMS – v. 14, n. 35 – Ano 2021
baseia em estudos anteriores que usam casos ou incidentes de sala de aula
específicos (reais ou fictícios) na formação de professores (cf. SHULMAN, 1992;
ZAZKIS et al., 2013) e propõe um desenho e uso de situações de sala de aula que
articule conteúdo matemático e pedagogia. Nas seções deste texto, apresentamos
as sustentações teóricas que influenciam este trabalho; os princípios de desenho,
implementação e avaliação, que demonstramos em um exemplo de mathtask; e os
construtos teóricos propostos pelo uso das tarefas. Em seguida, apresentamos
quatro exemplos de mathtasks que foram desenhadas para propósitos diferentes:
em um mestrado profissional para professores de matemática da educação básica;
para reflexão e desenvolvimento profissional de professores de matemática da
educação básica; para reflexão e desenvolvimento profissional de professores de
matemática da educação superior; e para explorar perspectivas de professores
sobre a inclusão de aprendizes com deficiências em aulas de matemática. Os três
primeiros exemplos estão associados às pesquisas de doutorado da segunda, da
terceira e da quinta autoras deste artigo. Mais especificamente, no primeiro exemplo,
as mathtasks foram desenhadas e aplicadas com propósito duplo: formação
continuada de professores, e pesquisa sobre as mudanças discursivas desses
professores a respeito do que é a matemática e do que é a verdade matemática
(MOUSTAPHA-CORRÊA, 2020; MOUSTAPHA-CORRÊA; BERNARDES; GIRALDO,
2019; MOUSTAPHA-CORRÊA et al., 2021). No segundo e no terceiro exemplos, o
desenho das mathtasks foi influenciado pela observação de pesquisa de uma sala
de aula de matemática escolar (KAYALI, 2019; KAYALI; BIZA, 2017, 2021), no
primeiro caso; e de práticas de avaliação no primeiro ano de graduação em
matemática (THOMA, 2018; THOMA; NARDI, 2018), no segundo. O primeiro e o
segundo exemplos abordam o ensino de matemática na escola básica do Brasil e do
Reino Unido, respectivamente, e foram usados no desenvolvimento profissional de
professores em exercício. O terceiro exemplo é uma nova direção do nosso trabalho,
com foco no desenvolvimento profissional de professores universitários de
matemática, uma área em rápido desenvolvimento no Reino Unido e nos EUA. O
quarto exemplo é parte do projeto CAPTeaM, que engaja professores de todas as
etapas educacionais em diferentes contextos nacionais e institucionais na reflexão
sobre a inclusão de aprendizes de matemática com deficiências.
Em todos os exemplos, o conteúdo matemático é central e sempre
entrelaçado com a pedagogia do ensino de matemática. Professores muitas vezes
atuam nas fronteiras dos discursos docentes (baseados em suas experiências como
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Perspectivas da Educação Matemática – INMA/UFMS – v. 14, n. 35 – Ano 2021
estudantes ou como professores), discursos matemáticos (baseados no componente
matemático de sua formação) e discursos pedagógicos (baseados no componente
pedagógico de sua formação). O programa MathTASK visa articular esses
discursos.
Além disso, pesquisas indicam que discussões sobre situações específicas de
sala de aula fornecem estrutura para os argumentos dos professores e os ajuda a
expressar suas perspectivas sobre ensino (GOODELL, 2006; SPEER, 2005).
Alinhadas com essas observações, damos crédito ao desenho de MathTASK pela
contextualização das reflexões dos professores.
De forma geral, vemos o desenho de tarefas baseadas situações específicas
que propomos e os resultados teóricos do uso de mathtasks em pesquisa —
classificação de garantias (NARDI et al., 2012) e tipologia de quatro características
(BIZA et al., 2012) — como ferramentas potentes de pesquisa e componentes de
avaliação formativa e somativa em programas de formação de professores. Ao
acentuar a especificidade da situação de sala de aula, convidamos professores a
refletir sobre as abordagens de estudantes (e de outros professores) e a imaginar
suas próprias práticas intencionadas. Assim, ganhamos insight sobre as visões dos
professores e, de forma crucial, desafiamos aspectos dessas visões.
Professores que participaram de oficinas de MathTASK comentaram que:
“essas atividades me fizeram refletir sobre minha prática docente”, “meu
engajamento com essas tarefas me ajudou a aprofundar meu próprio conhecimento
matemático” e “meu engajamento com essas tarefas me ajudou a antecipar
respostas e erros de estudantes, bem como suas diferentes formas de solucionar ou
abordar conceitos matemáticos”. Esse equilíbrio entre matemática e pedagogia nas
reflexões de professores está exatamente no cerne do programa MathTASK.
Agradecimento
O trabalho colaborativo entre nossas instituições, a partir do qual produzimos
este artigo, é facilitado por Higher Education Impact Funds (HEIF) recebidos pelo
programa MathTASK na UEA e um financiamento da British Academy International
Partnership and Mobility [PM160190]. Também agradecemos à CAPES (Programa
de Doutorado Sanduíche no Exterior – 88881.133350/2016-01) pelo apoio ao
doutorado da terceira autora, por meio de uma bolsa de estágio de doutoramento na
Rutgers University (New Jersey, USA).
Referências
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Perspectivas da Educação Matemática – INMA/UFMS – v. 14, n. 35 – Ano 2021
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Submetido em julho de 2021.
Aceito em agosto de 2021.
