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Carmen Mueller-Karger, Sara Wong, Alexandra La Cruz (Eds.): CLAIB 2007, IFMBE Proceedings 18, pp. 281–285, 2007
www.springerlink.com © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2007
Estimación Espacial y Temporal del Movimiento Cardíaco 3D,
Utilizando Algoritmos de Flujo Óptico
Antonio Bosnjak1, Guillermo Montilla1, Hyxia Villegas1
1 Centro de Procesamiento de Imágenes, Universidad de Carabobo, Valencia. Venezuela
E-mail: abosnjak@uc.edu.ve ; antoniobosnjak@yahoo.fr
Abstract— This paper proposes a new technique for 3D mo-
tion estimation of the left ventricle from a sequence of a heart-
beat. Accurate motion estimation of the movement of cardiac
walls has been shown to be very important for studying the
cardiovascular illnesses. This technique is based on a process-
ing chain from the acquisition to the 3D segmentation of the
left ventricle area obtained from each image during the car-
diac cycle. With the purpose of estimating the movement of the
Left Ventricle we calculate the optical flow starting from a
sequence of images using the method proposed by Horn and
Schunck [1].
Our work demonstrates the application of Horn and
Schunck algorithms for optical flow to estimate the 3D cardiac
motion, and proposes to improve the accuracy of estimation by
introducing constraints obtained by matching method.
Palabras claves— Ecocardiografía 3D, Flujo óptico, Estima-
ción de Movimiento, Segmentación.
I. INTRODUCCIÓN
Este artículo presenta un método para la estimación del
movimiento 3D del Ventrículo Izquierdo (VI) a partir de
una secuencia de imágenes de ultrasonido para un corazón
humano. El movimiento del ventrículo izquierdo puede ser
representado como un sistema sumamente complejo de
rotaciones y traslaciones de los puntos de su superficie. La
estimación precisa de la trayectoria espacio-temporal de
cada uno de los puntos de las paredes cardíacas da una
información muy importante para el estudio de las
enfermedades cardiovasculares [2]. Por otra parte, se puede
utilizar el modelaje con elementos finitos [3] para encontrar
regiones cuyo comportamiento es irregular. Las técnicas
que están relacionadas con este problema se pueden
catalogar como: invasivas y no-invasivas. Las técnicas
invasivas utilizan marcadores que están físicamente
implantados en la superficie de la pared ventricular [4]. El
movimiento de los marcadores es seguido durante la
secuencia de imágenes cardíacas haciendo posible el cálculo
del movimiento del VI. Estas técnicas no son apropiadas en
la mayoría de las aplicaciones ya que necesitan de una
intervención quirúrgica para colocar los marcadores. Por
otra parte las técnicas no-invasivas solucionan este
problema, y se pueden agrupar en tres grupos: El primer
grupo usa la técnica de marcaje con resonancia magnética,
donde la magnetización del tejido es alterada justamente
donde se produce la intersección de los planos [5]. Los
puntos de intersección se pueden seguir fácilmente cuando
el tejido se mueve. El segundo grupo de técnicas analiza la
forma de la pared cardiaca previamente segmentada,
extrayendo la información del movimiento a partir de los
cambios en la forma [6]. Estas aproximaciones están
limitadas a extraer algunos puntos característicos del borde
del VI. El tercer grupo de técnicas utiliza el flujo óptico con
la finalidad de estimar el movimiento [7], el cual detecta
cambios en la intensidad de cada píxel de la imagen. El
método de flujo óptico ha demostrado obtener excelentes
resultados en la estimación del movimiento de objetos
simples, pero el movimiento observado en las imágenes
cardiacas es complejo, por lo tanto el algoritmo necesita ser
mejorado con algunas condiciones adicionales. Es por esta
razón que se plantea una nueva metodología basada en una
cadena de procesamiento.
II. METODOLOGÍA
Este proyecto está conformado por una cadena de
procesamiento de imágenes (ver figura 1).
Esta cadena de procesamiento se divide en varios
módulos que van desde la adquisición de imágenes hasta la
Fig. 1 Metodología para el procesamiento de imágenes de ultrasonido.
282 Antonio Bosnjak, Guillermo Montilla, Hyxia Villegas
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visualización 3D del corazón. Los módulos son los
siguientes: Adquisición, Filtraje, Segmentación, Cálculo del
flujo óptico, Reconstrucción y Visualización 3D [8]. El
aporte novedoso de este trabajo es la combinación de la
segmentación del VI, con los campos de velocidad
obtenidos utilizando la metodología de flujo óptico, el cual
permite obtener los vectores de movimiento de las paredes
cardíacas en tres dimensiones. Así, mientras el flujo óptico
calcula el movimiento en todo el volumen de cuatro
dimensiones, la segmentación se encargará de validar cuales
vectores de movimiento son los más significativos para
caracterizar el comportamiento dinámico del corazón.
La segmentación inicial del área del ventrículo izquierdo
es realizada utilizando un algoritmo de frentes de
propagación (ó Level Set) propuesto originalmente por
Sethian [9]. Este método comienza con un círculo ó una
esfera que pertenece al interior del objeto que se desea
segmentar, e iterativamente se expande buscando el
conjunto de píxeles ó vóxeles que pertenecen a la misma
región. El frente de propagación se detiene en el borde
utilizando una función de velocidad que depende del
gradiente de la imagen [8]. Al finalizar este proceso la
región y su borde son claramente detectados. Esta técnica
fue probada con las imágenes 2D del ciclo cardíaco. Los
contornos extraídos de las imágenes de todos los cortes
espaciales 2D de un mismo instante de tiempo, son
combinados para formar el contorno 3D del VI, para
procesarlo posteriormente.
III. BASES MATEMÁTICAS – CÁLCULO DEL FLUJO ÓPTICO
El flujo óptico, vector de desplazamiento o vector de
velocidad, es un campo vectorial, que asigna a cada píxel de
una imagen las dos componentes de desplazamiento,
utilizando la información de intensidad de una secuencia de
imágenes. Este campo vectorial no corresponde al
desplazamiento real tridimensional, sino al movimiento
aparente en el plano de la imagen. En el caso de imágenes
médicas donde la imagen no es una proyección sino un
corte sobre un plano fijo; el flujo óptico representa
cuantitativamente el desplazamiento visto por un
observador ubicado perpendicularmente al plano de
adquisición de la imagen.
El tópico principal de esta sección es la deducción
matemática del algoritmo de Horn y Schunk [1] y su
adaptación a nuestro trabajo de investigación. El objetivo
del algoritmo es interpretar los cambios del nivel de gris
como movimiento.
Sean (x, y) las coordenadas de los píxeles en el tiempo t,
y sea
()
tyxG ,, la función del nivel de gris de la imagen.
Esta función relaciona la posición del píxel, con el cambio
de su nivel de gris en el caso del movimiento de un píxel.
Así el primer paso es calcular las derivadas parciales
espaciales y temporales de la imagen de entrada: x
G, y
G,
t
G Sí relacionamos la posición del píxel al patrón de
movimiento (el píxel bajo consideración es parte del
patrón), entonces el nivel de gris no cambia. Se puede
describir el nivel de gris como:
()( )
ttyyxxGtyxG
δ
δ
δ
+++= ,,,, (1)
donde x
δ
, y
δ
, y t
δ
representan el desplazamiento
espacial y temporal del patrón. Al aplicar la expansión en
series de Taylor a la parte derecha de la ecuación (1)
tenemos:
()()
R
t
G
t
y
G
y
x
G
xtyxGtyxG +
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+=
δδδ
,,,, (2)
Despreciando los términos de orden superior R y
dividiendo la expresión anterior por t
δ
, se obtiene:
0=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
t
G
y
G
t
y
x
G
t
x
δ
δ
δ
δ
(3)
Sí t
δ
es infinitesimalmente pequeña, se puede obtener la
ecuación que describe los cambios espaciales y temporales
de los niveles de gris.
0=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
t
G
dt
dy
y
G
dt
dx
x
G (4)
ó de manera abreviada:
0=++ tyx GvGuG (5)
Las derivadas parciales de los niveles de gris (Gx, Gy, y
Gt) se pueden obtener sin ningún problema. Pero para la
obtención de los dos parámetros desconocidos u y v se
necesita más que una ecuación diferencial. Horn y Schunck
[1] le añadieron condiciones de suavidad, ya que la
condición de iluminación constante es insuficiente para
calcular todos los componentes del flujo óptico. Esta
condición se basa sobre la idea fundamental de que los
puntos de una imagen no se mueven irregularmente. Con el
objetivo de describir esta idea Horn y Schunk [1] usaron los
cambios espaciales de las componentes del movimiento.
Para ello se describen dos tipos de errores cuadráticos. A
continuación se describirán las componentes:
2
2
2
2
2⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
=y
v
x
v
y
u
x
u
c
ε
(6)
Estimación Espacial y Temporal del Movimiento Cardíaco 3D, Utilizando Algoritmos de Flujo Óptico 283
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En la práctica, debido a errores en la medida del brillo
de la imagen, la ecuación (5) presentará una componente de
error 2
b
ε
, que podemos indicar como:
[]
2
2
tyxb GvGuG ++=
ε
(7)
Minimizando la suma pesada de los términos de
suavizamiento y el término de las condiciones de
iluminación se obtiene la siguiente ecuación de error:
()
∫∫ += dxdy
cb
2222
εαεε
(8)
Así, nuestro objetivo es minimizar el error de la
ecuación (8).
α
controla la relación de influencia de los
errores por separado sobre el error total. La herramienta
clásica para resolver un problema de minimización como
este es el cálculo de las variaciones. Después de realizar
todo el procedimiento de cálculo de variaciones, se obtienen
las dos ecuaciones de Euler:
0=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
−
∂
∂
yx u
F
yu
F
xu
F (9)
0=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
−
∂
∂
yx v
F
yv
F
xv
F (10)
Calculando todas las derivadas parciales de la función
()
222
cb
F
εαε
+= para la primera y segunda ecuación de
Euler se obtiene:
()
0222 222 =−−++ yyxxtxyxx uuGGvGGuG
αα
(11)
()
0222 222 =−−++ yyxxtyyxy vvGGuGGvG
αα
(12)
donde yyxx uuu +=∇2 y yyxx
vv +=∇2 corresponden a
los Laplacianos de
()
yxu , y
()
yxv , respectivamente.
Además para el cálculo de los Laplacianos se utilizó la
siguiente aproximación: uuu −≈∇2. Así, las ecuaciones
(11) y (12) se transforman en:
0
222 =+−++ uuGGvGGuG txyxx
αα
(13)
0
222 =+−++ vvGGuGGvG tyyxy
αα
(14)
Los valores de
()
yxu , y
()
yxv , corresponden al
promedio de las proyecciones del vector velocidad, en la
vecindad del punto
()
yx,. Es complicado resolver este
sistema de ecuaciones por cualquier método estándar.
Utilizaremos por consiguiente un método iterativo de
análisis, específicamente el método de Gauss-Seidel. Con
este método podemos calcular un conjunto de
desplazamientos
()
1
,+n
yxu y
()
1
,+n
yxv a partir de los
estimados de las derivadas y los valores promedios de los
desplazamientos previamente calculados
()
n
yxu , y
()
n
yxv ,, quedando finalmente las siguientes relaciones:
() () () ()
(
)
222
1
yx
t
n
y
n
xx
nn
GG
GvGuGG
uu ++
++
−=
+
α
(15)
() () () ()
(
)
222
1
yx
t
n
y
n
xy
nn
GG
GvGuGG
vv ++
++
−=
+
α
(16)
Esta formulación permite ahorrar tiempo de cálculo ya
que los términos largos en estas ecuaciones son idénticos.
La correspondencia de formas es el próximo paso de
nuestro algoritmo. Para ello, encontramos exactamente los
vectores de desplazamiento en los puntos característicos
seleccionados en la superficie del VI. Así, nos proponemos
comparar diferentes formas, comparando la curvatura en el
punto que deseamos examinar. La curvatura y cualquier
punto de la superficie está definida por dos parámetros,
curvatura media M
κ
, y curvatura Gaussiana G
κ
[10].
El próximo paso es hacer coincidir los puntos
característicos de dos imágenes de tiempo consecutivas, de
tal manera que el algoritmo encuentre para cada punto de la
primera imagen su par correspondiente en la segunda
imagen. En este proceso encontramos la mejor correlación
entre los valores de la curvatura en una pequeña ventana 3D
alrededor de cada par de puntos en dos imágenes
consecutivas. El tamaño de la ventana es 3x3x3 píxeles.
Cuando se selecciona un par de puntos con la mejor
correlación, se calcula el vector de desplazamiento como la
distancia entre estos dos puntos emparejados. Se asume que
el desplazamiento máximo posible es de 3 píxeles, así los
puntos característicos que caigan fuera del perímetro son
excluidos del proceso de correlación.
IV. RESULTADOS
Basándonos en el algoritmo de flujo óptico hemos
desarrollado una nueva técnica. Esta técnica utiliza los
vectores de desplazamiento, previamente estimados, para
obtener algunas características de los puntos que pertenecen
al borde del objeto. Las condiciones introducidas propagan
los valores a las localizaciones vecinas.
Para procesar el flujo óptico y obtener las imágenes del
campo vectorial se redujo la resolución de la imagen
original (ver figura 2) a la mitad, de manera que las
imágenes originales de 232 x 160 x 30 vóxeles se redujeron
a 116 x 80 x 30.
284 Antonio Bosnjak, Guillermo Montilla, Hyxia Villegas
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La figura 3 muestra el módulo del campo de velocidad en
(a) y su respectivo ángulo en (b). Sin embargo, su
interpretación resulta muy compleja por lo tanto se recurrió
a la gráfica de campos vectoriales de la figura 4. Cada
vector en esta gráfica esta representado por una aguja en
donde la cabeza de la aguja representa el origen del vector y
la punta de la aguja el final del vector; de manera que, si
todas las puntas de agujas se acercan hacia el centro,
significa que el ventrículo se está contrayendo.
La figura 4 muestra los resultados del flujo óptico. Sin
embargo, este método detecto el movimiento en toda la
imagen y consideró puntos que no pertenecen al VI, es por
esta razón que hace falta la segmentación previa de la
imagen para poder determinar cuales son los vectores de
movimiento que pertenecen al VI. Así, en la figura 5 se ha
logrado discriminar el campo vectorial que pertenece al VI
(rojo) del resto del movimiento observado en la imagen
(azul) de ultrasonido.
V. CONCLUSIONES
Este artículo presentó el método de flujo óptico para la
estimación del movimiento del VI a partir de una secuencia
de imágenes cardíacas. Este método resuelve algunos
problemas observados en la aplicación del método del flujo
óptico estándar, el cual no provee de la precisión suficiente
para estimar el desplazamiento. Una segmentación precisa
del contorno y la estimación de las deformaciones de las
paredes es importante para mejorar la estimación del
movimiento. Una vez segmentado el VI, y extraído su
contorno, se pueden seguir los contornos sucesivos, y se
pueden calcular los vectores de desplazamiento. Los
resultados experimentales demuestran que nuestra técnica
produce resultados factibles. Finalmente, podemos observar
que los vectores del campo de velocidad obtenidos con
nuestro método son mucho más suaves, y la orientación de
los vectores apunta generalmente hacia las deformaciones
observadas en las paredes del VI.
REFERENCIAS
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Ventrículo Izquierdo en Imagenología Cardíaca”, Tesis Doctoral
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Fig. 3. (a) Módulo del flujo óptico obtenido a partir de los instantes
de tiempo t_01 y t_02. (b) Representación del ángulo del campo
de velocidad durante el periodo de contracción del ventrículo izquierdo.
Fig. 2. (a) Imagen ecocardiográfica tiempo t_01, primer corte radial = 0.
(b) Imagen ecocardiográfica tiempo t_02, primer corte radial = 0.
Fig. 4. Campo vectorial obtenido únicamente con el método de flujo óptico.
Fig. 5. Superposición de los campos de velocidad del contorno segmentado
en conjunto con los campos de velocidad de la imagen sin segmentar.
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Tecnología Aplicada. Junio 1997, pp. IT-61 – IT-72.
8. Bosnjak A., “Segmentation et Modélisation Dynamiques, Application
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Vision, and Materials Science”. Cambridge University Press. 1999.
10. Osher S, Sethian J.A, “Fronts propagating with curvature dependent
speed: Algorithms based on Hamilton-Jacobi Formulations”, Journal
of Computational Physics, Vol. 79, 1988, pp. 12-49.
Autor: Antonio
BOSNJAK SEMINARIO
Instituto: Universidad de Carabobo.
Calle: Final Av. Universidad, Bárbula.
Ciudad: Valencia. Edo. Carabobo.
País: Venezuela.