Available via license: CC BY 4.0
Content may be subject to copyright.
ISSN 2410-2547
Опір матеріалів і теорія споруд/Strength of Materials and Theory of Structures. 2021. № 106
Mostovenko O.V., Kovalov S.N., Botvinovska S.I.
167
UDC 515.2+563.3
DETERMINATION OF LOAD DISTRIBUTION IN A GIVEN MEDIUM
ACCORDING TO THE VALUES OF THE LOADS AT CERTAIN
POINTS
O.V. Mostovenko,
Candidate of technical sciences, Associate professor
S.M. Kovalov,
Doctor of technical sciences, Professor
S.I. Botvinovska,
Doctor of technical sciences, Professor
Kyiv national university of construction and architecture,
31, Povitroflotskyi Ave., Kyiv,Ukraine, 03680
DOI: 10.32347/2410-2547.2021.106.167-175
Taking into account force, temperature and other loads, the stress and strain state calculations
methods of spatial structures involve determining the distribution of the loads in the three-
dimensional body of the structure [1, 2].
In many cases the output data for this distribution can be the values of loadings in separate points
of the structure. The problem of load distribution in the body of the structure can be solved by three-
dimensional discrete interpolation in four-dimensional space based on the method of finite
differences, which has been widely used in solving various engineering problems in different fields.
A discrete conception of the load distribution at points in the body or in the environment is also
required for solving problems by the finite elements method [3-7].
From a geometrical point of view, the result of three-dimensional interpolation is a multivariate of
the four-dimensional space [8], where the three dimensions are the coordinates of a three-dimensional
body point, and the fourth is the loading at this point. Such interpolation provides for setting of the three
coordinates of the point and determining the load at that point. The simplest three-dimensional grid in the
three-dimensional space is the grid based on a single sided hypercube. The coordinates of the nodes of
such a grid correspond to the numbering of nodes along the coordinate axes.
Discrete interpolation of points by the finite difference method is directly related to the numerical
solutions of differential equations with given boundary conditions and also requires the setting of
boundary conditions.
If we consider a three-dimensional grid included into a parallelepiped, the boundary conditions are
divided into three types: 1) zero-dimensional (loads at points), where the three edges of the grid
converge; 2) one-dimensional (loads at points of lines), where the four edges of the grid converge; 3)
two-dimensional (loads at the points of faces), where the five edges of the grid converge. The zero-
dimensional conditions are boundary conditions for one-dimensional interpolation of the one-
dimensional conditions, which, in turn, are boundary conditions for two-dimensional conditions, and the
two-dimensional conditions are boundary conditions for determining the load on the inner points of the
grid.
If a load is specified only at certain points of boundary conditions, then the interpolation problem is
divided into three stages: one-dimensional load interpolation onto the line nodes, two-dimensional load
interpolation onto the surface nodes and three-dimensional load interpolation onto internal grid nodes.
The proposed method of discrete three-dimensional interpolation allows, according to the
specified values of force, temperature or other loads at individual points of the three-dimensional
body, to interpolate such loads on all nodes of a given regular three-dimensional grid with cubic cells.
As a result of interpolation, a discrete point framework of the multivariate is obtained, which is a
geometric model of the distribution of physical characteristics in a given medium according to the
values of these characteristics at individual points.
Key words: three-dimensional interpolation, method of finite differences, four-dimensional
space, load, point, grid, boundary conditions.
ISSN 2410-2547
Опір матеріалів і теорія споруд/Strength of Materials and Theory of Structures. 2021. № 106
168
Introduction
The result of the three-dimensional interpolation, from a geometric point of
view, is a multivariate of the four-dimensional space [8], where three
dimensions are the coordinates of the point of a three-dimensional body, and
the fourth is the load at this point. Such interpolation involves setting three
coordinates of a point and determining the load at that point. The simplest
three-dimensional grid in three-dimensional space is a grid based on a single-
side hypercube. The coordinates of the nodes of such a grid correspond to the
numeration of nodes along the coordinate axes.
Discrete interpolation of points by the method of finite difference is
directly related to the numerical solutions of differential equations with given
boundary conditions and also requires the setting of boundary conditions. If we
consider a three-dimensional grid bounded by a parallelepiped (Fig. 1(a)), the
boundary conditions are divided into three types:
- zero-dimensional (loads at points A, C, H, F, V, X, Z, S), where the three
edges of the grid converge;
- one-dimensional (loads at the points of
the lines AC, AF, FH, CH, etc.), where the four
edges of the grid converge;
- two-dimensional (loads at the points of
the faces), where the five edges of the grid
converge.
The zero-dimensional conditions are the
boundary conditions for one-dimensional
interpolation of one-dimensional conditions,
which, in turn, are boundary conditions for
two-dimensional conditions, and two-
dimensional conditions are boundary
conditions for determining the load onto the
inner points of the grid.
If a load is given only at certain points of
boundary conditions, then the interpolation
problem is divided into three stages:
1) one-dimensional load interpolation onto
the line nodes;
2) two-dimensional load interpolation onto
the surface nodes;
3) three-dimensional load interpolation
onto the internal nodes of the grid.
The problem of discrete interpolation of the
load Ui on the grid with a uniform unit step in
the first stage is solved on the basis of a
system of finite and difference equations that
connect the loads to adjacent points of the
boundary edge of the grid:
j
i
k
A B C
F G H
DE
K
XYZ
R
V
(а)
A
B
C
D E
FG H
K
J
L
M
N
R
S T V
W
XYZ
(б)
Fig. 1
ISSN 2410-2547
Опір матеріалів і теорія споруд/Strength of Materials and Theory of Structures. 2021. № 106
169
1 1
2 0,
i i i i
U U U P
(1)
where і - is the grid node number; Р - the value of the finite difference.
In the interval АВ (Fig. 2), the system (1) has m – 2 equations with m–n–2
of unknown ordinates, where n is the number of given intermediate nodes
(point С). The number of
equations of system (1) and the
number of unknown coordinates
Uі can be compared due to the
unknown parameters of Рі.
It is known [9, 10] that if the
graph of the distribution of the
parameter Рі has a overfall, or
individual values of Рі are not
functionally related to the adjacent values of Рі -1 and Рі+1, then the Discretely
Presented Curve (DPC) in such places has a break. If the graph of the
distribution of the parameter Рі has a break, then the DPC consists of smooth
joint (in the discrete sense) curves. Therefore, it is proposed to form the
distribution of the parameter Рі on the principle of the DPC formation,
introducing additional parameters Qi:
1 1
2 0.
i i i i
P P P Q
(2)
In fig. 3 three graphs are shown where the graph of the change of the
parameter Q at the point М // has a difference, the graph of the change of the
parameter P at the point М / has a break, and the graph of the change of the
coordinate U at the point M is a smooth junction of the two DPCs.
When solving discrete interpolation problems the parametric analysis of the
initial conditions becomes important, as the number of unknowns in systems
(1) and (2) has to be equal to the number of equations. The tables show the
correspondence of the number of equations (1) and (2) to the number of the
unknown Uі, Рі and Qi with the arbitrary number
0 2
n m
of the given
intermediate nodes in the interval that has (m–1) steps.
Table
n Number of
equations (1)
Number of
equations (2)
Number of
unknown уі
Number of
unknown Рі
Number of
unknown Qі
0 m–1 (Pi=0) 0 m–1 0 0
1 m–1 (Pi=P) 0 m–3 m–1 0
2 m–1 m–3 m–4 m–1 1
3 m–1 m–3 m–5 m–1 2
4 m–1 m–3 … … …
… … … 1 m–1 m–2
m–2 m–1 m–3
The first row of the table shows the case when no intermediate nodes are
specified. Then the equation (1) takes the form:
Fig. 2
ISSN 2410-2547
Опір матеріалів і теорія споруд/Strength of Materials and Theory of Structures. 2021. № 106
170
1 1
2 0
i i i
U U U
and the DPC is a uniform series of points
on the line connecting the endpoints А and
В.
The second row of the table shows the
case when one intermediate point is given,
and the unknown parameter P is the same
in all equations (1):
1 1
2 0.
i i i
U U U P
The third row of the table (n = 2)
shows that for two given intermediate
points, the equation (2) takes the form:
.02 11 iii PPP
The numbers of the equations (1) and
(2) are shown in the last row of the table,
if one node’s coordinate of the DPC is
unknown, and all others are given.
This principle of one-dimensional
interpolation can be used for the problem
solving of the two-dimensional and
multidimensional interpolation of points
on a uniform grid.
In the second stage, the two-
dimensional interpolation completes the
difference equations (1) and (2), and they,
respectively, take the form:
1, 1, , 1 , 1 , ,
4 0,
i j i j i j i j i j i j
U U U U U P
(3)
1, 1, , 1 , 1 , ,
4 0,
i j i j i j i j i j i j
P P P P P Q
(4)
where the results of the one-dimensional interpolation of the contour DPC are
accepted as boundary conditions for two-dimensional interpolation
The systems of equations (3) and (4) are formed for all the internal nodes of
the grid. For a grid having m x n cells, we have (m–1)(n–1) of the equations (3),
which have (m–2)(n–2)–l of the variable parameters Ui,j, where l - is the number
of given parameters Ui,j of the internal nodes. The equations of system (4) are
also compiled for all the internal nodes of the grid, and Рі,0=Рі,m=Р0,j=Рn,j=0 in
order to include the parameters Р1,1; Рm-1,1; Р1,n-1 і Рm-1,n-1 to this system.
Then the system (4) calculates the equation (m–2)(n–2) and has (m–2)(n––
2) of the virables of Рі,j parameters and (m–2)(n–2) of the variables of Qi,j
parameter. Together, the systems (3) and (4) have 2(m–2)(n–2) equations and
have 3(m–2)(n–2)–l of variables. In order for the number of variables to be
equal to the number of equations, the system (4) requires the number (m–2)(n–
2) of Qi,j variables to be reduced to l. This can be done by adding to the
systems (3) and (4) the equations (m–2)(n–2)–l of the type Qі -1,j=Qі,j, or
Qі,j=Qі,j-.
Fig. 3
ISSN 2410-2547
Опір матеріалів і теорія споруд/Strength of Materials and Theory of Structures. 2021. № 106
171
In the third stage, three-dimensional interpolation is performed, the
boundary conditions for which are the two-dimensional grids obtained in the
second stage. For all the internal nodes of the three-dimensional grid the finite-
difference equations are formed:
1, , 1, , , 1, , 1, , , 1 , , 1 , , , ,
1, , 1, , , 1, , 1, , , 1 , , 1 , , , ,
6 0,
6 0.
i j k i j k i j k i j k i j k i j k i j k i j k
i j k i j k i j k i j k i j k i j k i j k i j k
UUUUUU UP
P P P P P P P Q
(5)
The number of the variables
, ,
i j k
Q must be equal to the number of
specified parameters
, ,
i j k
U of the internal nodes of the three-dimensional grid.
Example (Fig. 1).
It is given the uniform three-dimensional grid in a limited space
;
4
0
i
;
4
0
j
.
4
0
k
We are given the coordinates і, j, k, U of the nodes А, В, … , Z : А(0; 0; 4;
8.94), В(0; 3; 4; 9.43), С(0; 4; 4; 9.8), D(2; 0; 4; 7.21), E(2; 1; 4; 7.28), F(4; 0;
4; 5.66), G(4; 2; 4; 6), H(4; 4; 4; 6.93), J(1; 3; 3; 8.19), K(4; 0; 3; 5), L(2; 2; 2;
6.63), M(3; 3; 2; 6.16), N(1; 1; 1; 7.14), R(4; 1; 1; 4.24), S(0; 0; 0; 8), T(0; 2; 0;
8.25), V(0; 4; 0; 8.94), W(1; 0; 0; 7), X(4; 0; 0; 4), Y(4; 2; 0; 4.47), Z(4; 4; 0;
5.66). We need to determine the value of the parameter Ui ,j,k in the other nodes
of the grid.
In the first stage, the interpolation of one-
dimensional elements AC, AF, FH, CH, SV, SX, VZ,
XZ, FX, AS, CV, HZ according to formulas (1) and
(2) is performed.
In the second stage, according to the known
values of the parameter Ui,j,k of the vertices of one-
dimensional elements the values of the parameter
Ui,j,k are defined for the nodes of two-dimensional
boundaries ACHF, XSVZ, ASXF, ACVS, HCVZ,
FHZX when compiling and solving systems of
equations (3) and (4).
In the third stage, according to the known values
of the parameters Ui,j,k of the points of two-
dimensional elements of the boundaries the values
of the parameter Ui,j,k are defined for internal nodes
of the given three-dimensional grid when solving the
system (5).
According to the results of calculations in Fig. 4,
a discrete framework of the hypersurface
Ui,j,k=f(i,j,k) is constructed in layers, which
illustrates the load distribution in a given volume.
Conclusions
The proposed method of discrete three-
dimensional interpolation allows, according to the
specified values of force, temperature or other loads
at individual points of the three-dimensional body,
Fig. 4
ISSN 2410-2547
Опір матеріалів і теорія споруд/Strength of Materials and Theory of Structures. 2021. № 106
172
to interpolate these loads on all nodes of a given regular three-dimensional grid
with cubic cells. As a result of the interpolation, a discrete point framework of
the multivariate is obtained, which is a geometric model of the distribution of
physical characteristics in a given medium according to the values of these
characteristics at individual points.
REFERENCES
1. Bazhenov V.A. Vyznachennia oblasti vidmovy naftovoho rezervuara z nedoskonalostiamy
stinky pry kombinovanomu navantazhenni (Definition of the failure region of the oil tank with
wall imperfections in combined loading) / V.A. Bazhenov, O.O. Lukianchenko, О.V. Kostina
// Strength of Materials and Theory of Structures. 2018. № 100– 2018. - Vip.100. – P. 27 - 39.
2. Solodei I.I. Vyznachennia navantazhen vid masyvu gruntovykh sypuchykh porid pry
proektuvanni pidzemnykh sporud (Determination of loads from array of runningsoil when
designing underground structures) / I.I. Solodei, H.A. Zatiliuk. // Opir materialiv i teoriia
sporud. – 2016. – №97. – P. 145–154.
3. Bazhenov V.A. Osobennosty yspolzovaniya momentnoy skhemy konechnykh elementov
(MSKE) pry nelineynykh raschetakh obolochek i plastyn (Peculiarities of using the finite
element moment scheme (FEMS) in nonlinear calculations of shells and plates) / V.A.
Bazhenov, O.S. Saharov, O.I. Gulyar, C.O. Piskunov, Yu.V. Maksimyuk // Opir materialiv i
teoriya sporud. – 2017. - Vip.92. – P. 3-16.
4. Bazhenov V.A. Napivanalitychnyi metod skinchennykh elementiv u zadachakh ruinuvannia
zvychainykh tverdykh til (Semi-analytic method of finite elements in problems of destruction
of ordinary solids) / [Bazhenov V.A., Hulyar O.I., Pyskunov S.O., Sakharov O.S.] – K.,
KNUBA, 2005. – 298 p.
5. Bazhenov V.A. Chyselne modeliuvannia ruinuvannia zalizobetonnykh konstruktsii metodom
skinchennykh elementiv (Numerical modeling of the destruction of reinforced concrete
structures using the finite element method) / [Bazhenov V.A., Gulyar A.I., Kozak A.L.,
Rutkovskiy V.A., Sakharov A.S.] – K., Naukova dumka, 1996. – 360 p.
6. Hlushchenkov V.A. Chyselne doslidzhennya protsesiv vysokoshvydkisnoho deformuvannya na
osnovi metodu skinchennykh elementiv (Nu merical study of high-speed deformation
processes based on finite element method) / [Hlushchenkov V.A. etc.] // Mashynovedenye.
1986. №4. P.146-151.
7. Maksimyuk Yu.V. Kintsevyi element zahalnoho typu dlia rozviazannia osesymetrychnoi
zadachi pro nestatsionar nu teploprovidnist (A finite element of general type for the solution of
an axisymmetric problem of non-stationary heat conductivity) / Yu.V. Maksimyuk // Opir
materialiv i teoriya sporud: nauk.-tehn. zbirnik / Vidp. red. V.A.Bazhenov. –K.:KNUBA,
Vip.96, 2015. P. 148-157.
8. Pugachev E.V. Dyskretna interpoliatsiia dyskretno predstavlenykh hiperpoverkhon v
chotyryvymirnomu evklidovomu prostori (Discrete interpolation of discretely represented
hypersurfaces in four-dimensional Euclidean space) /E.V. Pugachev / Interdepartmental
Scientific and Tech. collection "Applied Geometry and Eng. graphics ". Issue 67. Editor-in-
Chief V.Ye. Mikhailenko.– K .: KNUBA, 2000.- P. 96-99.
9. Kovalov S.M. Statychna ta heometrychna interpretatsiia tr ytochkovykh riznytsevykh
operatoriv dlia odnovymirnoi priamoi ta zvorotnoi interpoliatsii (Static and geometric
interpretation of three-point difference operators for one-dimensional forward and backward
interpolation) / S.M. Kovalov, V.О. Vyazankin, S.I. Pustyulga // Proceedings of the Tavriya
State Agrotechnical Academy. - Melitopol, 2004. - Issue. 4, v. 28. - P. 21-25.
10. Zolotova A.V. Odnovymirna dyskretna interpoliatsiia tochok na ploshchyni (One-dimensional
discrete interpolation of points on the plane) / A.V. Zolotova // Scientific notes.
Interuniversity collection (in the field of "Engineering Mechanics"). Vip. 22, part 2. - Lutsk,
2008. - P. 125-130.
Стаття надійшла 22.03.2021
ISSN 2410-2547
Опір матеріалів і теорія споруд/Strength of Materials and Theory of Structures. 2021. № 106
173
Мостовенко О.В., Ковальов С.М., Ботвіновська С.І.
ВИЗНАЧЕННЯ РОЗПОДІЛУ НАВАНТАЖЕНЬ У ЗАДАНОМУ СЕРЕДОВИЩІ ЗА
ЗНАЧЕННЯМИ ТАКИХ НАВАНТАЖЕНЬ В ОКРЕМИХ ТОЧКАХ
Методи розрахунків напружено-деформованого стану просторових кон струкцій з
урахуванням силових, температурних та інших навантажень передбачають визначення
розподілу таких навантажень у тривимірному тілі конструкції [1, 2].
Вихідними даними для такого розподілу у багатьох випадках можуть бути значення
навантажень в окремих точках тіла конструкції. Задачу розподілу навантажень у тілі
конструкції можна розв’язати за допомогою тривимірної дискретної інтерполяції у
чотиривимірному просторі на основі методу скінчених різниць, який набув широкого
використання при вирішенні різноманітних інженерних задач у різних галузях. Дискретне
уявлення розподілу навантаження у точках тіла або середовища потрібно також для
розв’язання задач методом скінчених елементів [3 -7].
Результат тривимірної інтерполяції, з геометричної точки зору, є багатовидом
чотиривимірного простору [8], де три виміри є координатами точки тривимірного тіла, а
четвертий – навантаження у ц ій точці. Така інтерполяція передбачає задання трьох
координат точки і визначення навантаження у ц ій точці. Найпростішою тривимірною
сіткою у тривимірному просторі є сітка на основі гіперкуба з одиничною стороною.
Координати вузлів такої сітки відповідають нумерації вузлів уздовж координатни х осей.
Дискретна інтерполяція точок методом скінчених різниць має безпосередній зв’язок з
чисельним розв’язанням диференціальних рівнянь з заданими крайовими умовами і так
само потребує задання крайових умов.
Якщо розглядати тривимірну сітку, обмежену паралелепіпедом, то крайові умови
поділяються на три типи: 1)нульвимірні (навантаження в точках), де сходяться по три ребра
сітки; 2) одновимірні (навантаження в точках ліній), де сходяться по чотири ребра сітки; 3)
двовимірні (навантаження в точках граней), де сходяться по п ’ять ребер сітки. Нульвимірні
умови є крайовими для одновимірної інтерполяції одновимірних умов, які в свою чергу є
крайовими умовами для двовимірних умов, а двовимірні умови є крайовими умовами для
визначення навантаження на внутрішні точки сітки.
Якщо задано навантаження тільки в окремих точках крайових умов, то задача
інтерполяції поділяється на три етапи: одновимірна інтерполяція навантаження на вузли
ліній, двовимірна інтерполяція навантаження на вузли поверхонь та тривимірна
інтерполяція навантаження на внутрішні вузли сітки.
Запропонований спосіб дискретної тривимірної інтерполяції дозволяє за заданими
значеннями силових, температурних або інших навантажень в окремих точках
тривимірного тіла проінтерполювати такі навантаження на всі вузли заданої регулярної
тривимірної сітки з кубічними клітинами. У результаті інтерполяції отримується
дискретний точковий каркас багатовиду, який є геометричною моделлю розподілу фізичних
характеристик у заданому середовищі за значеннями таких характеристик в окремих точках.
Ключові слова: тривимірна інтерполяція, метод скінчених різниць, чотиривимірний
простір, навантаження, точка, сітка, крайові умови.
Мостовенко А.В., Ковалев С.Н., Ботвиновская С.И.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ НАГРУЗКИ В ЗАДАННОЙ СРЕДЕ ПО
ЗНАЧЕНИЯМ ТАКИХ НАГРУЗОК В ОТДЕЛЬНЫХ ТОЧКАХ
Методы расчета напряженно-деформированного состояния пространственных
конструкций с учетом силовых, температурных и других нагрузок предусматривают
определение распределения таких нагрузок в трехмерном теле конструкции [1, 2].
Исходными данными для такого распределения во многих случаях могут быть значения
нагрузок в отдельных точках тела конструкции. Задачу распределения нагрузок в теле
конструкции можно решить с помощью трехмерной дискретной интерполяции в
четырехмерном пространстве на основе метода конечных разностей, который получил
широкое и спользование при решении различных инженерных задач в различных областях.
Дискретное представление распределения нагрузки в точках тела или среды нужно такж е
для решения задач методом конечных элементов [3 -7].
Результат трехмерной интерполяции, с геометрической точки зрения, является
многообразием четырехмерног о пространства [8], где три и змерения являются
координатами точки трехмерного тела, а четвертым - нагрузка в этой точке. Такая
интерполяция предусматривает задания трех координат точки и определения нагрузки в
этой точке. Простой трехмерной сеткой в трехмерном пространстве есть сетка на основе
ISSN 2410-2547
Опір матеріалів і теорія споруд/Strength of Materials and Theory of Structures. 2021. № 106
174
гиперкуба с единичной стороной. Координаты узлов такой сетки соответствуют нумерации
узлов вдоль координатных осей.
Дискретная интерполяция точек методом кон ечных разностей имеет непосредственую
связь с численным решением дифференциальных уравнений с заданными краевыми
условиями и так же требует задания краевых условий.
Если рассматривать трехмерную сетку, ограниченную параллелепипедом, то краевые
условия делятся на три типа: 1) нульмерные (нагрузка в точках), где сходятся по три ребра
сетки; 2) одномерные (нагрузка в точках линий), где сходятся по четыре ребра сетки 3)
двухмерные (нагрузка в точках граней), где сходятся по пять ребер сетки. Нульмерные
условия являются краевыми для одномерной интерполяции одномерных условий, которые в
свою очередь являются краевыми условиями для двумерных условий, а двумерные условия
являются краевыми условиями для определения нагрузки на внутренние точки сетки.
Если задана нагрузка только в отдельных точках краевых условий, то задача
интерполяции делится на три этапа: одномерная интерполяция нагрузки на узлы линий,
двумерная интерполяция нагрузки на узлы поверхностей и трехмерная интерполяция
нагрузки на внутренние узлы сетки.
Предложенный способ дискретной трехмерной интерполяции позволяет по заданным
значениям силовых, температурных или других нагрузок в отдельных точках трехмерного
тела проинтерполировать такие нагрузки на все узлы заданной регулярной трехмерной
сетки с кубическими клетками. В результате интерполяции получается дискретный
точечный каркас гиперповерхности, который является геометрической моделью
распределения физических характеристик в заданной среде п о значениям таких
характеристик в отдельных точках.
Ключевые слова: трехмерная интерполяция, метод конечных разностей,
четырехмерное пространство, нагрузка, точка, сетка, краевые условия.
УДК 515.2+563.3
Мостовенко О.В., Ковальов С.М., Ботвіновська С.І. Визначення розподілу навантажень у
заданому середовищі за значеннями таких навантажень в окремих точках // Опір
матеріалів і теорія споруд: наук.-тех. збірн. – Київ: КНУБА, 2021. – Вип. 106. – С. 167-175.–
Engl.
Методи розрахунків напружено-деформованого стану просторових конструкцій з
урахуванням силових, температурних та інших навантажень передбачають визначення
розподілу таких навантажень у тривимірному тілі конструкції.
Табл. 1. Іл. 4. Бібліогр. 10 назв.
UDC 515.2+563.3
Mostovenko O.V., Kovalov S.N., Botvinovska S.I. Determination of load distribution in a given
medium according to the values of the loads at certain points // Strength of Materials and
Theory of Structures: Scientific and technical collected articles. - Kyiv: KNUBA, 2021. - Issue
106. - Р. 167-175.
Taking into account force, temperature and other loads, the stress and strain state
calculations methods of spatial structures involve determining the distribution of the loads in the
three-dimensional body of the structure.
Tabl. 1. Fig. 4. Ref. 10.
УДК 515.2+563.
Мостовенко О.В., Ковальов С.М., Ботвіновська С.І.
Определение распределения нагрузки в заданной среде по значениям таких нагрузок в
отдельных точках// Опір матеріалів і теорія споруд: наук.-тех. збірн. – Київ: КНУБА, 2021.
– Вып. 106. – С. 167-175.–Engl.
Методы расчета напряженно-деформированного состояния пространственных
конструкций с учетом силовых, температурных и других нагрузок предусматривают
определение распределения таких нагрузок в трехмерном теле конструкции.
Табл. 1. Рис. 4. Библиогр. 10 назв.
ISSN 2410-2547
Опір матеріалів і теорія споруд/Strength of Materials and Theory of Structures. 2021. № 106
175
Автор (науковий ступінь, вчене звання, посада): кандидат технічних наук, доцент,
докторант кафедри нарисної геометрії та інж енерної графіки КНУБА МОСТОВЕНКО
Олександр Володимирович.
Адреса: 03680 Україна, м. Київ, Повітрофлотський просп., 31, КНУБА, кафедра нарисної
геометрії та інженерної графіки, Мостовенку Олександру Володимировичу.
Робочий тел.: +38(044) 241-55-47
Мобільний тел.: +38(050) 609-90-97
E-mail: a.mostovenko25@gmail.com
ORCID ID: https://orcid.org/0000-0002-3423-4126
Автор (науковий ступінь, вчене звання, посада): доктор технічних наук, професор,
професор кафедри нарисної геометрії та інженерної графіки КНУБА КОВАЛЬОВ Сергій
Миколайович.
Адреса: 03680 Україна, м. Київ, Повітрофлотський просп., 31, КНУБА, кафедра нарисної
геометрії та інженерної графіки, Ковальову Сергію Миколайовичу.
Робочий тел.: +38(044) 241-55-47
Мобільний тел.: +38(066) 103-64-35
E-mail: snkovalov41@gmail.com
ORCID ID: https://orcid.org/0000-0002-7713-1768
Автор (науковий ступінь, вчене звання, посада): доктор технічних наук, професор,
завідувачка кафедри нарисної геометрії та інженерної графіки КНУБА БОТВІНОВСЬКА
Світлана Іванівна.
Адреса: 03680 Україна, м. Київ, Повітрофлотський просп., 31, КНУБА, кафедра нарисної
геометрії та інженерної графіки, Ботвіновській Світлані Іванівні.
Робочий тел.: +38(044) 241-55-47
Мобільний тел.: +38(066) 213-02-58
E-mail: botvinovska@ua.fm
ORCID ID: https://orcid.org/0000-0002-1832-1342
