Content uploaded by Hasan Kara
Author content
All content in this area was uploaded by Hasan Kara on May 12, 2022
Content may be subject to copyright.
88
Yüzüncü Yıl Üniversitesi
Fen Bilimleri Enstitüsü Dergisi
http://dergipark.gov.tr/yyufbed
Araştırma Makalesi
Modülüs Fonksiyon Yardımı ile Tanımlanan İnvaryant Yakınsak Dizi Uzaylarının
Topolojik Özellikleri
Hasan KARA1, Dinçer ATASOY*2
1Iğdır Üniversitesi, Fen-Edebiyat Fakültesi, Matematik Bölümü, Iğdır, Türkiye
2Iğdır Üniversitesi, Iğdır Meslek Yüksekokulu, Finans-Bankacılık ve Sigortacılık Bölümü, Iğdır, Türkiye
Hasan KARA, ORCID No: 0000-0001-9828-9006, Dinçer ATASOY, ORCID No: 0000-0003-0389-1059
*Sorumlu yazar e-posta: dincer.atasoy@igdir.edu.tr
Makale Bilgileri
Geliş: 31.05.2021
Kabul: 28.06.2021
Yayınlanma Ağustos 2021
DOI: 10.53433/yyufbed.945323
Anahtar Kelimeler
Dizi uzaylarının topolojik
özellikleri,
İnvaryant yakınsak dizi,
Modülüs fonsiyonu
Öz: Bu çalışmada Modülüs fonksiyon yardımı ile tanımlanan invaryant yakınsak
dizi uzayları tanımlanarak aralarında bazı kapsam bağıntıları kuruldu.
uzayları uzaylarına
genişletildi. Genelleştirilen bu dizi uzaylarının topolojik özellikleri incelendi.
Topological Properties of Invariant Convergent Sequences Defined with the Help of a
Modulus Function
Article Info
Recieved: 31.05.2021
Accepted: 28.06.2021
Published August 2021
DOI: 10.53433/yyufbed.945323
Keywords
Topological properties of
sequence spaces,
Invariant convergent sequence,
Modulus function
Abstract: In this study, invariant convergent sequence spaces defined with the help
of the Modulus function were defined and some scope relations were established
beyween them. Spaces of is extended to
spaces. Topological properties of generalized
sequence spaces are studied.
Yüzüncü Yıl Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Dergisi Cilt 26, Sayı 2 (Ağustos), 88-93, 2021
YYU FBED (YYU JNAS) 26 (2): 88-93
Kara & Atasoy/ Modülüs Fonksiyon Yardımı ile Tanımlanan İnvaryant Yakınsak Dizi Uzaylarının Topolojik Özellikleri
89
1. Giriş
Bu çalışmada modülüs fonksiyon yardımı ile tanımlanan invaryant yakınsak dizi uzayları
tanımlanmıştır. uzayları dizi uzaylarına
genişletilmişir. Lorentz (1948), Savaş (2018), Rafeiro ve ark. (2018) ve Oğur (2020) tarafından çeşitli
yönleri ile çalışmalar yapılmıştır. Bu çalışmalar kapsamında daha genel dizi uzaylarının bazı topolojik
özellikleri incelenmiştir.
Tanım 1.
X bir lineer uzayı üzerinde bir bir fonksiyonu aşağıdaki özellikleri sağlıyorsa
fonksiyonuna X üzerinde bir paranorm ve de bir paranormlu uzay denir (Lorentz, 1948).
olmasını gerektirir.
Tanım 2.
ve olacak şekilde reel sayılar dizisi olsun. Bu
takdirde
dur.
olduğunda uzaylarına eşit olur.
Ayrıca olduğunda, bu uzaylar dizi uzaylarına indirgenir.
(Sahoo, 1992).
Şimdi tanımlanan bu uzaylar ile ilgili özellikleri verelim.
Teorem 1.
kümeleri ℂ üzerinde lineer uzaylardır.
İspat.
kümeleri ℂ kümesinin alt kümeleridir.
kümesinin ℂ üzerinde lineer uzay olduğunu göstereceğiz.
kümeleri de benzer şekilde lineer uzay oldukları gösterilebilir.
ve için ve olmak
üzere
olduğundan
YYU FBED (YYU JNAS) 26 (2): 88-93
Kara & Atasoy/ Modülüs Fonksiyon Yardımı ile Tanımlanan İnvaryant Yakınsak Dizi Uzaylarının Topolojik Özellikleri
90
elde edilir (Maddox, 1979).
ve olduğundan sonucu
elde edilir. Bu da nin skaler çarpımla vektörel toplamlı bir lineer uzay olduğunu verir (Kara,
1994).
2. Materyal ve Yöntem
Teorem 2.
dizisi her m için olsun. Bu takdirde
olmak üzere
(1)
Fonksiyonu ile tam paranorumlu bir lineer topolojik uzaydır.
İspat.
Teoremin ispatı için ye bir fonksiyon ve için
olduğundan Şimdi paranorm şartlarını
sağlatalım.
i)
olur
ii)
olur (Mursaleen, 1983).
iii)
olduğundan
YYU FBED (YYU JNAS) 26 (2): 88-93
Kara & Atasoy/ Modülüs Fonksiyon Yardımı ile Tanımlanan İnvaryant Yakınsak Dizi Uzaylarının Topolojik Özellikleri
91
(2)
olur (Oğur, 2020).
Şimdi deki skaler çarpımın sürekliliğini gösterelim. dizisi için
olduğundan olacak şekilde bir sayısı vardır.
Şimdi olduğundan
olur. Böylece ve eğer dir.
sabit ve verilen sayısı vardır ki
(3)
ve olacak şekilde sayısı bulabiliriz (Nakano, 1953).
dolayısıyla
(4)
olur. Böylece (3) ve (4) ifadelerinden oldukça elde ederiz ki bu da ispatı
tamamlar (Savaş, 2018).
3. Bulgular
uzayının göre tam olduğu görülecektir.
bir Cauchy dizisi olsun. Yani
olsun.
ve
(5)
olduğundan
elde edilir. Özel olarak m=0 olmak üzere herhangi n için
YYU FBED (YYU JNAS) 26 (2): 88-93
Kara & Atasoy/ Modülüs Fonksiyon Yardımı ile Tanımlanan İnvaryant Yakınsak Dizi Uzaylarının Topolojik Özellikleri
92
dır. Böylece bir Cauchy dizisidir.
tam olduğundan dolayı olacak şekilde vardır. (5) numaralı ifadeden
(6)
olur.
Şimdi ve olsun. Bu takdirde (6) numaralı ifadeden
elde edilir. Buradan da
olur.
Bu da yakınsaması demektir (Mursaleen, 1983).
(6) numaralı ifadeden ve her bir s için nin lineer olduğundan
elde edilir. Buradan
olduğu elde edilir. Böylece nin tam olduğu görülür (Rafeiro ve ark, 2018).
Bu teoremde uzayı Banach uzayı ise p- normlu uzaya
indirgenir (Sahoo, 1992).
4. Tartışma ve Sonuç
Teorem 3.
dizisi her m için olsun. Bu takdirde
uzayları olmak üzere
fonksiyonu altında bir tam paranormlu lineer topolojik
uzaydır.
Teoremin ispatı teorem 2’nin ispatının benzeri olduğundan tekrar vermeyeceğiz.
Teorem 4.
a) Eğer ve
dur.
b) Eğer
dir.
İspat.
a) göstereceğiz
olduğu benzer şekilde gösterilir.
olsun. Bu takdirde
olacak şekilde M tamsayısı vardır. Böylece için
olup olduğundan da
YYU FBED (YYU JNAS) 26 (2): 88-93
Kara & Atasoy/ Modülüs Fonksiyon Yardımı ile Tanımlanan İnvaryant Yakınsak Dizi Uzaylarının Topolojik Özellikleri
93
yazılır. Bu eşitliğin her iki tarafının m üzerinden toplamı alınırsa
elde edilir. Sağdaki seri
n ye göre düzgün yakınsak olduğundan, soldaki seri de n ye göre düzgün yakınsak olur. O halde
dur.
b)
ispatını yapacağız.
olduğu da benzer şekilde gösterilir.b)
(7)
elde edilir. (II) yakınsak olduğundan
düzgün yakınsaktır. O halde
olur (Savaş, 2018).
Sonuç olarak modülüs fonksiyon yardımı ile tanımlanan invaryant yakınsak dizi uzayları
tanımlanarak bazı kapsamlar kurulmuştur.
uzayları uzaylarına genişletilerek genel
dizi uzaylarının topolojik özellikleri incelenmiştir.
Kaynakça
Kara, H. (1994). İnvaryant yakınsaklık yardımıyla tanımlanan dizi uzayları. (Doktora Tezi), Yüzüncü
Yıl Üniversitesi, Fen Bilimleri Enstitüsü, Van, Türkiye.
Lorentz, G. (1948). A contribution to the theory of divergent secunces. Acta Mathematica. 80, 167-190.
doi: 10.1007/BF02393644.
Maddox, I. J. (1979). On strong alost convergence. Mathematical Proceedings of the Cambridge
Philosophical Society. 85, 345-350. doi:10. 1017/S0305004100054281.
Mursaleen, M. (1983). On some new invariant matrix methods of summability. Quarterly Journal of
Mathematics, 34, 77. doi:10.1093/qmath/34.1.77.
Nakano, H. (1953). Concave modulars. Journal of the Mathematical Society of Japan, S:29-49.
doi:10.2969/jmsj/00510029.
Oğur, O. (2020). Modülüs fonksiyonu ile tanımlanmış genelleştirilmiş büyük lebesgue dizi uzaylarının
topolojik bazı özellikleri. Gümüşhane Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Dergisi 10 (4), 1148-
1149. doı: 10.17714/gumusfenbil.732116.
Rafeiro, H., Samkho, S. & Umarkhadzhiev, S. (2018). Grand lebesgue sequence spaces. Georgian
Mathematical Journal, 19(2), 235-246. doi:org/10.1515/gmj-2018-0017.
Sahoo, G. D. (1992). On some squence spaces. Journal of Mathematical Analysis and Aplications 164,
381-398. doi:10.1016/0022-247X(92)90122-T.
Savaş, E. (2018). On some new sequence spaces. Journal of the Institute of Science and Technology of
Balıkesir University. Special Issue, 20(3). 155-156. doi: 10.25092/baunfbed.487747.
