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Soluciones exactas de agujeros negros en la teoría generalizada de Proca

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Abstract

Con el fin de restringir la teoría generalizada de Proca y de determinar su compatibilidad con las futuras observaciones en el ámbito astrofísico, se estudiaron soluciones de agujeros negros en el marco de esta teoría. Para ello, en primer lugar, se determinaron las ecuaciones de campo gravitacional y de campo vectorial correspondientes a la acción generalizada de Proca para, posteriormente, obtener sus versiones adaptadas a agujeros negros estáticos y esféricamente simétricos. Posteriormente se encontraron soluciones de las ecuaciones de campo para diferentes tipos de acoplamientos dentro de esta teoría las cuales, debido a las condiciones establecidas para las funciones métricas, difieren de las soluciones de Reissner-Nordström y de Schwarzschild tan sólo en las funciones que describen al campo vectorial dependiendo del acomplamiento estudiado. A juzgar únicamente por este resultado, la teoría de la Relatividad General luce más atractiva que la teoría generalizada de Proca.
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Soluciones exactas de agujeros negros en la teoría generalizada de Proca
doi: https://doi.org/10.18257/raccefyn.1276
Rev. Acad. Colomb. Cienc. Ex. Fis. Nat. 2021
Soluciones exactas de agujeros negros en la teoría
generalizada de Proca
Exact black hole solutions in the generalized Proca theory
Sergio Manuel Cubides Pérez1,Yeinzon Rodríguez García1,2,3
1Escuela de Física, Universidad Industrial de Santander
2Centro de Investigaciones en Ciencias Básicas y Aplicadas, Universidad Antonio Nariño
3Simons Associate at The Abdus Salam International Centre for Theoretical Physics
Resumen
Con el fin de restringir la teoría generalizada de Proca y de determinar su compatibilidad con las
futuras observaciones en el ámbito astrofísico, se estudiaron soluciones de agujeros negros en el marco
de esta teoría. Para ello, en primer lugar, se determinaron las ecuaciones de campo gravitacional y
de campo vectorial correspondientes a la acción generalizada de Proca para, posteriormente, obtener
sus versiones adaptadas a agujeros negros estáticos y esféricamente simétricos. Posteriormente se
encontraron soluciones de las ecuaciones de campo para diferentes tipos de acoplamientos dentro de
esta teoría las cuales, debido a las condiciones establecidas para las funciones métricas, difieren de las
soluciones de Reissner-Nordström y de Schwarzschild tan sólo en las funciones que describen al campo
vectorial dependiendo del acomplamiento estudiado. A juzgar únicamente por este resultado, la teoría
de la Relatividad General luce más atractiva que la teoría generalizada de Proca.
Palabras clave: Agujeros negros, gravedad modificada, teorías vector-tensor.
Abstract
In order to constrain the generalized Proca theory and determine its compatibility with the future
astrophysical observations, we have studied black holes solutions in the framework of this theory.
To this end, in the first place, we have obtained the gravitational field and vector field equations
from the generalized Proca action to subsequently obtain its adapted versions to static and spherically
symmetric black holes. Later, exact solutions were found for different couplings in this theory. Due
to established conditions for the metric functions, these solutions differ from the Schwarzschild and
Reissner-Nordström solutions only in the functions that describe the vector field, depending on the
studied coupling. Judging only from this result, General Relativity looks more attractive than the
generalized Proca theory.
Keywords: Black holes, modified gravity, vector-tensor theories.
Introducción
Pese a que el modelo estándar cosmológico Λ𝐶𝐷𝑀 es compatible con las observaciones
(Aghanim, N., et al, 2020), éste no logra darle una explicación física consistente a los
problemas de la cosmología moderna como lo son la actual expansión acelerada del universo
(energía oscura) (Riess, A. G., et al, 1998; Perlmutter, S., et al, 1999) y la existencia de
materia oscura (Bertone, G. & Hooper, D., 2018). Debido a esto y en un intento por explicar
físicamente el problema del sector oscuro, se han construido gran cantidad de teorías que
modifican la gravedad. Una de las ramas más importantes de estas teorías es aquélla que
comprende todos los modelos en los cuales se asume la presencia de un campo acoplado de
forma no mínima con la gravedad que puede ser escalar (Deffayet, C., et al, 2011; Nicolis,
A., et al, 2009; Deffayet, C., et al, 2009a, 2009b; Horndeski, H. W.,, 1974; Deffayet, C., &
Steer, D., 2013; Gleyzes, J. et al, 2015; Crisostomi, M., et al, 2017; Ben Achour, J., et al,
2016; Crisostomi, M., et al, 2016; Langlois, D., & Noui, K., 2016), vectorial (Heisenberg,
L., 2014; Tasinato, G., 2014a, 2014b; Allys, E., et al, 2016a, 2016c; Beltrán Jiménez,
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Ciencias Físicas
Artículo original
Este artículo está bajo una licencia de
Creative Commons Reconocimiento-
NoComercial-Compartir Igual 4.0
Internacional
Citación: Cubides Pérez SM, Rodríguez
García Y.
Soluciones exactas de
agujeros negros en la teoría generalizada
de Proca.
Rev. Acad. Colomb. Cienc.
Ex. Fis. Nat. 2021 Ene 21. doi: https://
doi.org/10.18257/raccefyn.1276
Editor: María Elena Gómez
*Correspondencia:
Sergio Manuel Cubides Pérez;
sergioma11@hotmail.com
Recibido: 27 de julio de 2020
Aceptado: 9 de noviembre de 2020
Publicado en línea: 21 de enero de 2021
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Cubides Pérez SM, Rodríguez García Y
doi: https://doi.org/10.18257/raccefyn.1276
Rev. Acad. Colomb. Cienc. Ex. Fis. Nat. 2021
J., & Heisenberg, L., 2016; Rodríguez, Y., & Navarro, A., 2017; Heisenberg. L., et al,
2016; Gallego Cadavid, A., & Rodríguez, Y., 2019; Kimura, R., et al, 2017; Allys, E., et
al, 2016b; Beltrán Jiménez, J., & Heisenberg, L., 2017) o tensorial (de Rham, C., et al,
2011; Hinterbichler, K., 2012; de Rham, C., 2014; Hassan, S. F., & Rosen, R. A., 2012;
Hinterbichler, K., & Rosen, R. A., 2012; de Rham, C. & Gabadadze, G., 2010). Este
gran número de teorías existentes ofrece una amplia variedad en cosmología, brindándonos
herramientas para poner a prueba y descartar aquellas teorías que no sean compatibles con
las observaciones.
Un candidato natural para atacar el problema del sector oscuro es un campo escalar
acoplado de forma no mínima a la gravedad (Deffayet, C., et al, 2011; Nicolis, A., et al,
2009; Deffayet, C., et al, 2009a, 2009b; Horndeski, H. W.,, 1974; Deffayet, C., & Steer,
D., 2013; Gleyzes, J. et al, 2015; Crisostomi, M., et al, 2017; Ben Achour, J., et al, 2016;
Crisostomi, M., et al, 2016; Langlois, D., & Noui, K., 2016); sin embargo, las teorías
basadas en esta idea (teorías escalar-tensor) han sufrido fuertes restricciones a raíz de la
observación de la onda gravitacional GW170817 y su contraparte electromagnética GRB
170817A (Abbott, B. P., et al, 2017b, 2017a, 2017c; Baker, T., et al, 2017; Creminelli, P.
& Vernizzi, F., 2017; Sakstein, J. & Jain, B., 2017; Ezquiaga, J. M. & Zumalacárregui,
M., 2017; Wang, H., et al, 2017; Kase, R. & Tsujikawa, S., 2019). Otra alternativa (teorías
vector-tensor) surge de acoplar de forma no mínima un campo vectorial a la gravedad, lo
que es motivado, en particular, por la existencia de campos de gauge en el Modelo Estándar
de la física de partículas como campos mediadores de las interacciones fundamentales. Un
aspecto que parece ser negativo concerniente al uso de campos vectoriales es el hecho de que
éstos generan anisotropía en la expansión del universo, lo cual no los erige como candidatos
naturales para dar cuenta del fenómeno de la energía oscura; no obstante, esta característica
podría, naturalmente, explicar aquellas anomalías relacionadas con una posible dirección
privilegiada en dicha expansión (Cai, R. G., et al, 2013; Rodrigues, D. C., 2008; Beltrán
Jiménez, J. & López Maroto, A., 2007; Campanelli, L., et al, 2006). Un caso particular
de estas teorías vector-tensor es el de la teoría generalizada de Proca (o teoría de Galileones
vectoriales) (Heisenberg, L., 2014; Tasinato, G., 2014a, 2014b; Allys, E., et al, 2016a,
2016c; Beltrán Jiménez, J., & Heisenberg, L., 2016; Rodríguez, Y., & Navarro, A.,
2017) en la cual la acción se construye a partir del campo vectorial y su primera derivada de
tal manera que tanto las ecuaciones de campo de la teoría completa como las de la respectiva
teoría en el límite de desacoplamiento contienen derivadas de orden no mayor a dos. Lo
anterior impide el desarrollo de la conocida inestabilidad de Ostrogradski (Ostrogradski,
M., 1850; Woodard, R. P., 2007; Woodard, R. P, 2015).
Así cómo sucedió con las teorías escalar-tensor, es necesario hacer uso de las observa-
ciones de los fenómenos astrofísicos para determinar la factibilidad de las teorías vector-
tensor. Una de las alternativas empleadas últimamente para este fin ha sido el estudio de
las soluciones de agujeros negros, en vista de las recientes observaciones de ondas gravita-
cionales (Abbott, B. P., et al, 2017b, 2017a, 2017c; Abbott, R., et al, 2020). Esto se debe
a que estas últimas transportan información acerca de los objetos que las producen, lo que
permite conocer más sobre la física de los agujeros negros y los alrededores de los mismos
así como comparar las características de estas ondas con aquéllas predichas por las diferentes
teorías de gravedad para estos objetos astrofísicos. Dicho enfoque ya ha sido recientemente
explorado en las teorías escalar-tensor mediante el análisis perturbativo de las soluciones de
agujeros negros (Kobayashi, T., et al, 2012, 2014; Ganguly, A., et al, 2018) y el cálculo de
los modos quasinormales de las ondas gravitacionales provenientes de este tipo de objetos
(Tattersall, O. J. & Ferreira, P. G., 2018; Dong, R., et al, 2017). También se ha explorado
la estabilidad de la respectivas soluciones en las teorías vector-tensor, en especial en la teoría
generalizada de Proca (Kase, R., et al, 2018; Heisenberg, L., et al, 2018).
En este trabajo se han encontrado, como primera aproximación y con base en el artículo
de la Ref. (Heisenberg, L., et al, 2017), soluciones exactas de agujeros negros estáticos y
esféricamente simétricos en la teoría generalizada de Proca. Esto se llevó a cabo, en primer
lugar, determinando las ecuaciones de campo gravitacional y de campo vectorial de la teoría.
Posteriormente se determinó el perfil de la métrica y del campo vectorial acoplado a la
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gravedad para cada acoplamiento presente en la acción generalizada de Proca. Finalmente
se establecieron las condiciones necesarias para obtener soluciones exactas para cada tipo de
acoplamiento.
Teoría generalizada de Proca
Considérese, en primer lugar, un espaciotiempo plano. Es sabido que cualquier vector, debido
al teorema de Helmholtz, puede expresarse como la suma de una parte sin divergencia y una
sin rotacional de la siguiente manera:
𝐴𝜇=A𝜇+𝜕𝜇𝜋, (1)
con A𝜇siendo la parte sin divergencia y 𝜋, siendo un campo escalar que se identifica con
el grado de libertad longitudinal asociado a 𝐴𝜇. Entonces, si se desea que las ecuaciones de
campo, tanto para 𝐴𝜇como para su componente longitudinal 𝜋no sean de orden superior a
dos, con el fin de evitar la inestabilidad de Ostrogradski (Ostrogradski, M., 1850; Woodard,
R. P., 2007; Woodard, R. P, 2015), la acción del campo vectorial puede incluir, únicamente,
al campo mismo y a sus primeras derivadas espaciotemporales 𝜕𝜇𝐴𝜈(Rodríguez, Y., &
Navarro, A., 2017).
Para construir la acción de la teoría generalizada de Proca (o acción de Galileones
vectoriales) (Rodríguez, Y., & Navarro, A., 2017; Heisenberg, L., 2014; Beltrán Jiménez,
J., & Heisenberg, L., 2016; Allys, E., et al, 2016a, 2016c; Tasinato, G., 2014a, 2014b)
se deben identificar, en primer lugar, todos los posibles invariantes de Lorentz construidos
a partir de la contracción de campos vectoriales y derivadas espaciotemporales de primer
orden con los invariantes primitivos del grupo de Lorentz 𝑆𝑂(3,1): el tensor métrico y
el tensor de Levi-Civita. Una vez se han identificado estos términos, se agrupan en una
combinación lineal general. A continuación, se establecen relaciones entre los coeficientes
de la combinación lineal de tal manera que no se propaguen más de tres grados de libertad, en
consonancia con la estructura del grupo de Poincaré, lo cual se establece mediante la ligadura
primaria proveniente de la condición Hessiana H0𝜈=0(Heisenberg, L., 2014; Errasti, V.,
et al, 2020a, 2020b), en donde
H𝜇𝜈 𝜕2L
𝜕(𝜕0𝐴𝜇)(𝜕0𝐴𝜈).(2)
Como último paso, se realiza el reemplazo 𝐴𝜇𝜕𝜇𝜋y se remueven los términos cuya acción
resultante no corresponda a la de un Galileón escalar (o acción de Horndeski (Deffayet, C.,
& Steer, D., 2013; Nicolis, A., et al, 2009; Horndeski, H. W.,, 1974; Deffayet, C., et al,
2009a, 2009b)).
De todo lo anterior resulta que la acción para el Galileón vectorial que generaliza la
acción Abeliana de Proca es
𝑆=1
4𝐹𝜇𝜈𝐹𝜇𝜈 +1
2𝑚2𝐴2+
6
𝑁=2L𝐺𝑎𝑙
𝑁,𝐴d4𝑥, (3)
en donde (Beltrán Jiménez, J., & Heisenberg, L., 2016; Allys, E., et al, 2016c)
L𝐺𝑎𝑙
2,𝐴 =𝑓2(𝐴𝜇,𝐹
𝜇𝜈,˜
𝐹𝜇𝜈),(4)
L𝐺𝑎𝑙
3,𝐴 =𝑓3(𝐴2)𝑆𝜇
𝜇,(5)
L𝐺𝑎𝑙
4,𝐴 =𝑓4(𝐴2)(𝑆𝜇
𝜇)2𝑆𝜎
𝜌𝑆𝜌
𝜎,(6)
L𝐺𝑎𝑙
5,𝐴 =𝑓5(𝐴2)(𝑆𝜇
𝜇)33𝑆𝜇
𝜇𝑆𝜎
𝜌𝑆𝜌
𝜎+2𝑆𝜎
𝜌𝑆𝛾
𝜎𝑆𝜌
𝛾
+𝑔5(𝐴2)˜
𝐹𝛼𝜇 ˜
𝐹𝛽
𝜇𝑆𝛼𝛽,(7)
L𝐺𝑎𝑙
6,𝐴 =𝑔6(𝐴2)˜
𝐹𝛼𝛽 ˜
𝐹𝜇𝜈𝑆𝛼𝜇 𝑆𝛽𝜈,(8)
siendo 𝐹𝜇𝜈 𝜕𝜇𝐴𝜈𝜕𝜈𝐴𝜇,˜
𝐹𝜇𝜈 1
2𝜀𝜇𝜈𝜌𝜎 𝐹𝜌𝜎,y𝑆𝜇𝜈 𝜕𝜇𝐴𝜈+𝜕𝜈𝐴𝜇, en donde 𝜀𝜇𝜈𝜌 𝜎 es
el tensor de Levi-Civita.
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La versión para espacio tiempo curvo se obtiene promoviendo las derivadas parciales a
derivadas covariantes y añadiendo los contratérminos requeridos para evitar la aparición de
derivadas de orden mayor a dos en las ecuaciones de campo asociadas al modo longitudinal
(Deffayet, C., et al, 2009a). De esta forma se obtiene (Heisenberg, L., 2014; Tasinato, G.,
2014a, 2014b; Allys, E., et al, 2016a, 2016c; Beltrán Jiménez, J., & Heisenberg, L., 2016;
Rodríguez, Y., & Navarro, A., 2017)
𝑆=d4𝑥𝑔𝐹+
6
𝑖=2L𝑖,(9)
en donde 𝑔es el determinante de la métrica, 𝐹≡−𝐹𝜇𝜈𝐹𝜇𝜈 /4,y
L2=𝐺2(𝑋, 𝐹𝜇𝜈,˜
𝐹𝜇𝜈),(10)
L3=𝐺3(𝑋)∇𝜇𝐴𝜇,(11)
L4=𝐺4(𝑋)𝑅+𝐺4,𝑋 (𝑋)(∇𝜇𝐴𝜇)2−∇𝜇𝐴𝜈𝜈𝐴𝜇,
(12)
L5=𝐺5(𝑋)𝐺𝜇𝜈𝜇𝐴𝜈1
6𝐺5,𝑋 (𝑋)(∇𝜇𝐴𝜈)3
3𝜇𝐴𝜇𝜌𝐴𝜎𝜎𝐴𝜌+2𝜌𝐴𝜎𝜈𝐴𝜌𝜎𝐴𝜈
+𝑔5(𝑋)˜
𝐹𝛼𝜇 ˜
𝐹𝛽
𝜇𝛼𝐴𝛽,(13)
L6=𝐺6(𝑋)𝐿𝜇𝜈𝛼𝛽 𝜇𝐴𝜈𝛼𝐴𝛽
+1
2𝐺6,𝑋 (𝑋)˜
𝐹𝛼𝛽 ˜
𝐹𝜇𝜈𝛼𝐴𝜇𝛽𝐴𝜈,(14)
siendo 𝑋≡−𝐴𝜇𝐴𝜇/2,𝑅el escalar de Ricci, 𝐺𝜇𝜈 el tensor de Einstein, 𝐺𝑖,𝑋 𝜕𝐺𝑖/𝜕𝑋,y
𝐿𝜇𝜈𝜌𝜎 es el tensor doble dual de Riemann
𝐿𝜇𝜈𝛼𝛽 1
4𝜀𝜇𝜈𝜌𝜎 𝜀𝛼𝛽𝛾 𝛿 𝑅𝜌𝜎𝛾 𝛿.(15)
Soluciones exactas de agujeros negros estáticos y esférica-
mente simétricos
Se emplearán a continuación las ecuaciones de campo gravitacional y vectorial de la teoría
generalizada de Proca presentadas en el apéndice. Se empleará, además, el siguiente ansatz
para la métrica y el campo vectorial de la teoría en coordenadas (pseudo)esféricas:
g=𝑓(𝑟)d𝑡d𝑡+1(𝑟)d𝑟d𝑟+𝑟2d𝜃d𝜃
+𝑟2sin2𝜃d𝜙d𝜙, (16)
A=𝐴0(𝑟)d𝑡+𝐴1(𝑟)d𝑟. (17)
Estos perfiles para los campos son compatibles con un espaciotiempo estático y esféri-
camente simétrico.
Solución de Reissner-Nordström en Relatividad General
Como preparación, en primer lugar, se usará el acomplamiento
𝐺4=𝑚2
𝑝
2,𝐺
2=𝐺3=𝐺5=𝑔5=𝐺6=0,(18)
en donde 𝑚𝑝es la masa reducida de Planck, el cual conduce a las siguientes ecuaciones de
campo vectorial y gravitacional, respectivamente,
0=𝛽𝐹𝛼𝛽,(19)
𝑚2
𝑝
2𝐺𝜇𝜈 =1
2
𝐹𝜇𝛼𝐹𝛼
𝜈1
4𝑔𝜇𝜈𝐹𝛼𝛽 𝐹𝛼𝛽
,(20)
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en donde la única componente diferente de cero para el tensor de esfuerzos, para el perfil
estático esféricamente simétrico, es la siguiente:
𝐹01 =𝜕0𝐴1𝜕1𝐴0=𝐴0=𝐹10.(21)
En la expresión anterior y en las subsiguientes, una prima significa una derivada con respecto
a𝑟.
Así, las ecuaciones de campo no triviales obtenidas son
𝑓𝑟𝐴
0+ℎ𝑓𝐴
0
4𝑓2𝐴
0
4𝑓ℎ𝐴
0
2𝑓=0,(22)
𝑚2
𝑝
2𝑟2𝑓𝑚2
𝑝𝑓ℎ
2𝑟21
4ℎ𝐴2
0𝑚2
𝑝𝑓ℎ
2𝑟=0,(23)
𝑚2
𝑝
2𝑟2𝑚2
𝑝
2ℎ𝑟2+𝐴2
0
4𝑓+𝑚2
𝑝𝑓
2𝑓𝑟 =0,(24)
𝑚2
𝑝𝑟ℎ
4ℎ𝑟2𝐴2
0
4𝑓+𝑚2
𝑝ℎ𝑓𝑟
4𝑓𝑚2
𝑝ℎ𝑓2𝑟2
8𝑓2
𝑚2
𝑝𝑓𝑟2
8𝑓+𝑚2
𝑝ℎ𝑓𝑟2
4𝑓=0.(25)
Si se multiplica la ecuación (23) por (ℎ𝑓)1y se suma a la ecuación (24) se obtiene como
resultado
𝑓=𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 ℎ, (26)
y, al considerarse un comportamiento asintóticamente plano es claro que 𝑓(𝑟)=(𝑟)=1
cuando 𝑟→∞, por lo tanto 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 . =1y
𝑓=ℎ. (27)
Posteriormente, al reemplazar (27) en la expresión (22) se llega a la ecuación diferencial
𝐴
0
𝑟+𝐴
0
2=0,(28)
la cual tiene como solución
𝐴0=𝑃+𝑄
𝑟,(29)
en donde 𝑃y𝑄son constantes de integración. Luego, sustituyendo las ecuaciones (27) y
(29) en la ecuación (23) se obtiene que la función métrica 𝑓es
𝑓=12𝑀
𝑟𝑄2
2𝑚2
𝑝𝑟2,(30)
en donde 𝑄es la carga asociada al campo vectorial y 2𝑀es la constante de integración
que, una vez se lleva al límite Newtoniano, se identifica como la masa del agujero negro. La
solución obtenida es, por lo tanto, la de Reissner-Nordström:
𝑓==12𝑀
𝑟𝑄2
2𝑚2
𝑝𝑟2,(31)
𝐴0=𝑃+𝑄
𝑟.(32)
Estas soluciones satisfacen también la ecuación (25) ya que usando la condición (27), y
posteriormente las soluciones (31) y (32), se obtiene la ecuación
𝑟𝐴2
02𝑚2
𝑝(2𝑓𝑟+𝑓)=0,(33)
la cual se satisface idénticamente.
Sumado a todo lo anterior, cabe resaltar que la componente longitudinal 𝐴1corresponde a
un modo de gauge no físico ya que este valor está indeterminado por las ecuaciones (22)-(25).
Asimismo, la constante 𝑃es una constante arbitraria sin significado físico alguno.
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Campo masivo de Proca
También cabe revisar el campo masivo de Proca en Relatividad General, el cual está dado
por las funciones
𝐺4=𝑚2
𝑝
2,𝐺
2=𝜇2𝑋, 𝐺3=𝐺5=𝑔5=𝐺6=0,(34)
en donde 𝜇es la masa del campo vectorial.
Las ecuaciones de campo gravitacional y vectorial para esta configuración están dadas
por
𝜇2𝐴𝛼=𝛽𝐹𝛼𝛽,(35)
𝑚2
𝑝
2𝐺𝜇𝜈 =1
21
4𝑔𝜇𝜈𝐹𝛼𝛽 𝐹𝛼𝛽 𝐹𝜇𝛼𝐹𝛼
𝜈+1
2𝜇2𝐴𝜇𝐴𝜈
+1
2𝜇2𝑋𝑔𝜇𝜈,(36)
las cuales llevan al siguiente sistema de ecuaciones diferenciales para los perfiles de la métrica
y el campo vectorial que se están teniendo en consideración:
𝜇2
𝑓𝐴0
𝑟𝑓 𝐴
0
2𝑓𝐴
0
4𝑓𝐴
0+ℎ𝑓
4𝑓2𝐴
0=0,(37)
𝜇2𝐴1=0,(38)
𝑚2
𝑝𝑓
2𝑟2𝑚2
𝑝𝑓ℎ
2𝑟2𝑚2
𝑝𝑓ℎ
2𝑟1
4ℎ𝐴2
01
4𝜇2𝐴2
0
1
4𝜇2𝑓 ℎ𝐴2
1=0,(39)
𝑚2
𝑝𝑓
2𝑟2+𝑚2
𝑝
𝑓ℎ +𝑚2
𝑝ℎ𝑓
2𝑟+1
4ℎ𝐴2
01
4𝜇2𝐴2
0
1
2𝜇 𝑓 ℎ𝐴2
1=0,(40)
𝑚2
𝑝ℎ𝑓𝑟
4𝑓𝑚2
𝑝ℎ𝑓2𝑟2
8𝑓2+1
4𝑚2
𝑝𝑟+𝑚2
𝑝𝑓𝑟2
8𝑓
ℎ𝑟2
4𝑓𝐴2
0+𝑚2
𝑝ℎ𝑓𝑟2
4𝑓𝜇2𝑟2
4𝑓𝐴2
0+1
4𝜇2ℎ𝑟2𝐴2
1=0,(41)
1
2𝜇2𝐴0𝐴1=0.(42)
A partir de la ecuación (38), y observando que 𝜇0, se tiene que 𝐴1=0, lo que implica que
la ecuación (42) se satisface idénticamente. Reemplazando 𝐴1=0en las ecuaciones (39) y
(40) y sumándolas se llega a la expresión
𝑚2
𝑝(𝑓𝑓ℎ
)=𝜇2𝐴2
0𝑟, (43)
que al multiplicar por 2se convierte en
𝑚2
𝑝(𝑓𝑓ℎ
)
2=𝜇2𝐴2
0𝑟
2,(44)
i.e,
𝑓
=𝜇2𝐴2
0𝑟
𝑚2
𝑝2.(45)
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Considerando el comportamiento asintótico del lado izquierdo de esta expresión se sabe
que, con el fin de que 𝑟sea el horizonte de eventos, 𝑓0y0cuando 𝑟𝑟. Es
necesario también que 𝑓(𝑟)>0y(𝑟)>0para 𝑟>𝑟
con el objetivo de que la métrica
sea Lorentziana. Debido a esto, las funciones métricas se pueden expandir alrededor del
horizonte de la forma
𝑓=
𝑖=1
𝑓𝑖(𝑟𝑟)𝑖,ℎ=
𝑖=1
𝑖(𝑟𝑟)𝑖,(46)
por lo tanto, si 𝑟𝑟, el lado izquierdo de la ecuación (45) tiende a un valor finito en
tal límite. Asimismo, al analizar el comportamiento del lado derecho, se requiere que 𝐴0
tienda a cero con el fin de que la expresión sea consistente. De otra parte, considerando
el comportamiento asintótico para 𝑟→∞, se sabe que en este límite 𝑓==1. De esta
manera , el límite de la expresión (44) conduce a
lim
𝑟→∞ 𝑓𝑓ℎ
2=lim
𝑟→∞ 𝜇2𝐴2
0(𝑟)𝑟
𝑚2
𝑝2,
i.e,
0=lim
𝑟→∞
𝜇2𝐴2
0(𝑟)𝑟
𝑚2
𝑝
,(47)
y siendo 𝜇0se concluye que 𝐴00cuando 𝑟→∞.
Ahora bien, para determinar el comportamiento predicho por la ecuación (37) para valores
de 𝑟𝑟, se reescribe esta ecuación empleando la expresión (45):
𝐴
0
2+𝐴
0
𝑟+𝜇2𝐴2
0𝐴
0
4𝑚2
𝑝𝑓+𝜇2𝐴0=0.(48)
Ya que 𝐴0se hace muy pequeño para 𝑟𝑟, se descartan los términos cuadráticos de éste
obteniéndose así la ecuación diferencial
𝐴
0
2𝐴
0
𝑟+𝜇2𝐴0=0,(49)
cuya solución es
𝐴0(𝑟)=𝑐1
𝑒2𝜇𝑟
𝑟+𝑐2
𝑒2𝜇𝑟
𝑟,(50)
siendo 𝑐1y𝑐2constantes de integración. De otra parte, teniendo en cuenta que la ecuación
(47) predice que 𝐴0(𝑟→ ∞) =0, la ecuación (49) conduce a
𝐴0𝑒𝜇𝑟
𝑟.(51)
Este comportamiento comienza a ser dominante cuando 𝑟>1
𝜇. Además, debido a que
se debe tener que 𝐴00cuando 𝑟→∞, se concluye que 𝜇=0. Por lo tanto no hay
solución de agujero negro estático y esféricamente simétrico para un campo vectorial de
Proca debido a que dicha solución existe solamente si 𝜇=0, reduciéndose así a la solución
de Reissner-Nordström.
Soluciones exactas para el acoplamiento cuártico 𝐺4
Para este caso se considera el acoplamiento
𝐺4=𝑚2
𝑝
2+𝑋
4,(52)
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el cual reduce las ecuaciones de campo a las expresiones
𝑚2
𝑝
2𝐺𝜇𝜈 =1
2𝐹𝜇𝛼𝐹𝛼
𝜈𝐹2
4𝑔𝜇𝜈1
41
2𝑔𝜇𝜈 (∇𝛼𝐴𝛼)2
2𝐴(𝜇𝜈)𝛼𝐴𝛼2𝛼𝐴(𝜇𝜈)𝐴𝛼
+1
2𝑔𝜇𝜈𝛼𝐴𝛽𝛽𝐴𝛼+∇𝛼(𝐴(𝜇𝛼𝐴𝜈)
+𝐴(𝜇𝜈)𝐴𝛼𝐴𝛼(𝜇𝐴𝜈))+𝑔𝜇𝜈𝐴𝛽𝛽𝛼𝐴𝛼
1
2𝐴𝜇𝐴𝜈𝑅𝐴2𝐺𝜇𝜈 𝑔𝜇𝜈𝐴2+∇𝜇𝜈𝐴2,(53)
𝛽𝐹𝛽𝛼 =1
2𝐺𝛽𝛼𝐴𝛽,(54)
en donde la simetrización se define como 𝑀(𝛼𝛽)1
2𝑀𝛼𝛽 +𝑀𝛽𝛼.
La forma explícita de estas ecuaciones, para la configuración del campo y métrica que se
está estudiando, es la siguiente:
0=2𝐴0𝑓(−1++𝑟ℎ)
+𝑟𝐴
0(ℎ𝑟 𝑓 𝑓(4+𝑟ℎ)) − 2𝑓 ℎ𝑟 𝐴
0,(55)
0=𝐴1(𝑓(1)+ℎ𝑟 𝑓 ),(56)
0=2ℎ𝑟2𝐴2
0+𝐴2
0(−1++𝑟ℎ)
𝑓𝐴12(𝐴1+4𝑟𝐴
1)+4𝑚2
𝑝(𝑟ℎ1)
+(4𝑚2
𝑝+𝐴2
1(1+3𝑟ℎ)),(57)
0=4𝐴0𝐴
0𝑓 ℎ𝑟 +𝐴2
0[𝑓(1)−ℎ𝑟 𝑓 ]
+𝑓𝑓(−4𝑚2
𝑝+(4𝑚2
𝑝𝐴2
1)+3𝐴2
12)
+ℎ𝑟 (2𝑟𝐴2
0+(4𝑚2
𝑝+3𝐴2
1)𝑓),(58)
0=4𝐴0𝑓2ℎ𝑓𝑟𝐴
0+𝑓(𝑟𝐴
0+2(𝐴
0+𝑟𝐴
0)))
+𝐴2
03ℎ𝑓2𝑟+2𝑓2𝑓(𝑟𝑓+2(𝑓+𝑟𝑓))
+𝑓4𝐴1𝑓ℎ
2𝐴
1(2𝑓+𝑟𝑓)+4𝑚2
𝑝(−ℎ𝑟 𝑓 2+2𝑓2
+𝑓(𝑟𝑓+2(𝑓+𝑟𝑓)))]+𝐴2
1ℎ𝑟 𝑓 2+6𝑓2
+𝑓(2𝑟𝑓+2(𝑓+𝑟𝑓))],(59)
0=𝐴0𝐴1[𝑓(1)+ℎ𝑟 𝑓 ].(60)
En primer lugar, la ecuación (60) admite una solución en donde 𝐴0=0o𝐴1=0. Por lo
tanto, considerando 𝐴0=0y𝐴10, la ecuación (56) establece la siguiente relación entre
las funciones métricas:
=𝑓
𝑓+𝑓𝑟.(61)
Entonces, al reemplazar esta relación en la ecuación (58) se obtiene:
0=𝐴2
1𝑓2,(62)
lo que inevitablemente lleva a la inconsistencia 𝐴1=0. En segundo lugar, si se considera
𝐴00y𝐴1=0, el sistema de ecuaciones diferenciales tiene solución únicamente si 𝐴0=0,
lo que resulta, de nuevo, en una inconsistencia. La conclusión es que tanto 𝐴0como 𝐴1son
iguales a cero y, por lo tanto, la solución es de tipo Schwarzschild.
Ahora bien, si se considera la rama en la cual 𝐴0y𝐴1son diferentes de cero, de la
ecuación (60) se obtiene la relación (61). Reemplazando esta relación y su derivada en la
ecuación (58) se obtiene
𝐴1=±𝑟2(𝐴0𝐴
0𝑓𝑓𝑟𝐴2
0+𝐴2
0𝑓)
𝑓.(63)
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Al reemplazar esta expresión en las ecuaciones (55) y (57) y resolver el sistema, se obtiene
la solución dada por
𝐴0=𝑃+𝑄
𝑟,(64)
𝑓=𝐶2𝑀
𝑟,(65)
en donde 𝑃,2𝑀y𝑄son constantes de integración. De otra parte, dado que en el límite
𝑟→∞se debe tener espaciotiempo plano, se deduce que 𝐶=1. Insertando estas expresiones
en (61) y (63) se obtiene la solución
=𝑓=12𝑀
𝑟,(66)
𝐴0=𝑃+𝑄
𝑟,(67)
𝐴1=2𝑃(𝑀𝑃 +𝑄)𝑟+𝑄2
𝑟2𝑀.(68)
Por consiguiente, las soluciones para el presente acoplamiento cumplen las siguientes condi-
ciones:
𝑓=ℎ, (69)
𝑋=𝐴𝜇𝐴𝜇
2=𝑋𝑐,(70)
con 𝑋𝑐constante, las cuales serán usadas de aquí en adelante con el fin de encontrar soluciones
exactas. Esta última condición se traduce en que
𝐴1=±𝐴2
02𝑓𝑋
𝑐
𝑓.(71)
En contraste, para un acoplamiento general 𝐺4=𝐺4(𝑋), las ecuaciones de campo
vectorial están dadas por
𝐴0𝐺4,𝑋𝑋 𝐴2
12𝑓𝑟+𝑓𝐺4,𝑋 +(−𝐺4,𝑋
+𝐺4,𝑋𝑋 𝐴1(𝐴1+2𝑟𝐴
1)) +(−𝐺4,𝑋 +𝐺4,𝑋𝑋 𝐴2
1)𝑟ℎ
+𝑟
8𝐴2
0(ℎ𝑓𝑟𝑓(4+𝑟ℎ)) −2𝑓 ℎ𝑟 𝐴
0=0,(72)
𝐴1𝑓(𝐺4,𝑋 𝐺4,𝑋 +𝐺4,𝑋𝑋 𝐴2
12)+2𝐺4,𝑋𝑋 𝐴0
𝑓𝐴
0𝑟
𝑓𝐺4,𝑋𝑋 𝐴2
0+𝑓(𝐺4,𝑋 𝐺4,𝑋𝑋 𝐴2
1)𝑟𝑓=0.(73)
Para que la última expresión se satisfaga existen dos posibilidades, 𝐴1=0y𝐴10, que
serán estudiadas a continuación.
𝐴10
Al proponer que la segunda derivada del acoplamiento 𝐺4evaluada en 𝑋𝑐cumpla la
condición
𝐺4,𝑋𝑋 (𝑋𝑐)=0,(74)
se observa que la ecuación (73) establece la siguiente relación entre las funciones métricas
y𝑓:
=𝑓
𝑓+𝑓𝑟,(75)
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de la cual, haciendo uso de la condición (69), se obtiene que la función métrica 𝑓viene dada
por
𝑓=12𝑀
𝑟.(76)
Dicha solución lleva a que la ecuación (72) se reduzca a la expresión
2𝐴
0+𝑟𝐴
0=0,(77)
cuya solución ya fue obtenida previamente. Esta solución es
𝐴0=𝑃+𝑄
𝑟,(78)
la cual, a causa de la condición (70), lleva a que la componente longitudinal del campo tenga
la forma
𝐴1=±2𝑋𝑐12𝑀
𝑟+𝑃+𝑄
𝑟2
𝑟
𝑟2𝑀.(79)
Así, insertando las expresiones de 𝑓,,𝐴0y𝐴1en la ecuación de campo gravitacional de
componente (𝜇, 𝜈)=(0,0),
0=ℎ𝑟2𝐴2
04𝐺4,𝑋 (−1++𝑟ℎ)
+4𝑓𝐺4,𝑋 𝐴12(𝐴1+2𝑟𝐴
1)+𝐺4(𝑟ℎ1)
+(𝐺4+2𝐺4,𝑋 𝐴2
1𝑟ℎ),(80)
se obtiene
𝐺4,𝑋 (𝑋𝑐)=1
4.(81)
De manera análoga, realizando el mismo procedimiento anterior en la ecuación de compo-
nente (𝜇, 𝜈)=(1,1),
0=4𝑓2𝐺4+(𝐺4𝐺4,𝑋 𝐴2
1)+2𝐺4,𝑋 𝐴2
12
4𝐺4,𝑋 𝐴2
0ℎ𝑓𝑟+𝑓 ℎ𝑟 8𝐺4,𝑋 𝐴0𝐴
0
+𝑟𝐴2
0+4(𝐺4+2𝐺4,𝑋 𝐴2
1)𝑓,(82)
y reemplazando (81) en la misma, se logra determinar el valor de 𝑋𝑐en términos de las
constantes de integración. Este valor es
𝑋𝑐=𝑃2
2.(83)
Esto último indica que la función que describe a la componente longitudinal del campo está
dada por
𝐴1=𝑄2+2𝑃(𝑀𝑃 +𝑄)𝑟
𝑟2𝑀.(84)
De lo anterior se infiere que la función 𝐺4(𝑋), que obedece a las condiciones (74) y (81),
está dada por
𝐺4(𝑋)=𝐺4(𝑋𝑐)+1
4(𝑋𝑋𝑐)+
𝑛=3
𝑏𝑛(𝑋𝑋𝑐),(85)
en donde 𝑋𝑐=𝑃2/2y todas las 𝑏𝑛son constantes. El modelo 𝐺4(𝑋)=𝑚2
𝑝/2+𝑋/4es
el caso especial de la última expresión (85), es decir, 𝐺4(𝑋𝑐)=𝑚2
𝑝/2+𝑋𝑐/4y todos los
𝑏𝑛=0para 𝑛3. La solución de arriba es una solución de Schwarzschild con componente
vectorial longitudinal diferente de cero.
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Aunque la carga 𝑃en un espaciotiempo de Reisner-Nordström no tiene significado físico,
en este caso es una carga que controla el perfil longitudinal 𝐴1(𝑟), mas no su geometría.
Nótese que se puede apagar la carga 𝑄y dejar la carga 𝑃encendida en presencia de un
agujero negro masivo, caracterizando así un perfil longitudinal no trivial. En este sentido, 𝑃
representa una carga adicional para la configuración, además de la masa y la carga eléctrica.
Sin embargo, esta carga no es observable aplicando la ley de Gauss -ya que el campo no
contribuye a 𝐹𝜇𝜈- y por lo tanto, estrictamente hablando, esta configuración no viola la
conjetura de no pelo (Carter, B., 1971; Robinson, D. C., 1975).
𝐴1=0
Si se impone 𝐴1=0y la condición (70), se tiene que 𝐴2
0=2𝑓𝑋
𝑐a partir de (71). Bajo
la condición (69), la ecuación (73) se anula y la ecuación (72) se reduce a
8𝐺4,𝑋 (𝑋𝑐)(𝑓𝑓2𝑓𝑟 𝑓)
+1
2𝑟2𝑓2𝑓𝑟2𝑓 2𝑓𝑓
𝑟=0.(86)
Si se toma 1𝑓𝑟𝑓=0, su solución
𝑓=12𝑀
𝑟,(87)
no satisfaría la ecuación (86). Entonces, se debe considerar
1
2𝑟2𝑓2𝑓 𝑓𝑟22𝑟𝑓 𝑓=0,(88)
con 𝐺4,𝑋 (𝑋𝑐)=0. Escribiendo a la función métrica 𝑓como
𝑓(𝑟)=𝑒𝜆(𝑟),(89)
la ecuación (88) se transforma en una nueva ecuación diferencial para la función 𝜆(𝑟), la cual
es
4𝜆+𝑟𝜆2+2𝑟𝜆 =0.(90)
Esta expresión se puede reescribir como
𝑟2𝜆2+2(𝜆𝑟2)=0,(91)
cuya solución, 𝑀<𝑟, es
𝜆=ln 𝐶2𝐶𝑟
𝑟2
,(92)
en donde 𝐶2y𝐶son constantes. En consecuencia, la función 𝑓queda representada por la
siguiente expresión:
𝑓=𝐶𝑀
𝑟2
,(93)
en donde 𝑀=𝐶2. Además, se deduce que 𝐶=1ya que la función métrica debe tender a 1
cuando 𝑟→∞. Así,
𝑓=1𝑀
𝑟2
.(94)
Con todo lo anterior, al usar la ecuación de campo gravitacional de componente (𝜇, 𝜈)=
(0,0), se tiene que
𝐺4(𝑋𝑐)=𝑋𝑐
2.(95)
Este resultado implica, adicionalmente, que las ecuaciones de campo resultantes se satisfagan
idénticamente. Así, se tiene que un acoplamiento 𝐺4(𝑋)que cumpla todo lo anterior debe
ser de la forma
𝐺4(𝑋)=𝑋𝑐
2+
𝑛=2
𝑏𝑛(𝑋𝑋𝑐)𝑛.(96)
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La solución exacta resultante es, por lo tanto,
𝑓==1𝑀
𝑟2
,
𝐴0=𝑃𝑀𝑃
𝑟,
𝐴1=0,(97)
en donde 𝑃=±2𝑋𝑐. Esto corresponde a una solución de agujero de Reissner-Nordström
con una carga eléctrica igual a la masa del agujero negro.
Soluciones exactas de agujeros negros para acoplamientos generales
Se procede ahora con la deducción de soluciones exactas de agujeros negros en la presencia
de los acoplamientos 𝐺3(𝑋),𝐺5(𝑋),𝐺6(𝑋),𝑔5(𝑋)y𝐺2(𝑋, 𝐹)=2𝑔4(𝑋)𝐹. Este último
corresponde al modo vectorial intrínseco que fue originalmente introducido en L4en la
forma 𝑔4(𝑋)(∇𝜌𝐴𝜎𝜌𝐴𝜎−∇
𝜌𝐴𝜎𝜎𝐴𝜌), en donde 𝑔4(𝑋)=𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 𝐺4,𝑋 . Para este
análisis se toma en cuenta el término de Einstein-Hilbert, es decir, 𝐺4(𝑋)=𝑚2
𝑝/2. De
manera similar a lo realizado en las secciones anteriores, se imponen las condiciones (69) y
(70) en el desarrollo siguiente.
Acoplamiento cúbico 𝐺3(𝑋)
Para este caso, la ecuación de campo vectorial de componente 𝛼=1es
𝐺3,𝑋 𝐴0𝑟(2𝑓𝐴
0𝐴0𝑓)+𝐴2
1𝑓2(4𝑓+𝑟𝑓)=0,(98)
la cual da paso a dos posibilidades: 𝐺3,𝑋 (𝑋𝑐)=0y𝐺3,𝑋 (𝑋𝑐)0.
(i) 𝐺3,𝑋 (𝑋𝑐)=0
Para este caso, las ecuaciones para el campo vectorial 𝐴0y las de campo gravitacional de
componentes (𝜇, 𝜈)=(0,0)y(𝜇, 𝜈)=(2,2)son, respectivamente,
0=𝐴
0
𝑟+𝐴
0
2,(99)
0=2𝑚2
𝑝+𝑟2𝐴2
0+2𝑚2
𝑝(𝑓+𝑟𝑓),(100)
0=𝑟2𝐴2
0+𝑚2
𝑝(2𝑟𝑓+𝑟2𝑓),(101)
ya que la ecuación de componente (𝜇, 𝜈)=(1,1)es igual a la de componente (𝜇, 𝜈)=(0,0),
siendo las demás triviales.
A partir de la solución a la ecuación (99), la cual fue obtenida en secciones anteriores, se
concluye que la componente en dirección temporal del campo está dada por
𝐴0=𝑃+𝑄
𝑟,(102)
en donde 𝑃y𝑄son constantes de integración. Adicionalmente, si inserta este resultado en
la ecuación (100), se obtiene la expresión
0=2𝑚2
𝑝+𝑄2
𝑟2+2𝑚2
𝑝(𝑓+𝑟𝑓),(103)
cuya solución para 𝑓viene dada por
𝑓=12𝑀
𝑟+𝑄2
2𝑚2
𝑝𝑟2.(104)
Por lo tanto, para este caso se tiene una solución de Reissner-Nordström con la componente
longitudinal del campo diferente de cero gracias a la condición (70):
𝐴1=±
2𝑚2
𝑝𝑟
2𝑚2
𝑝(𝑟22𝑀𝑟)+𝑄2𝑚2
𝑝(𝑃22𝑋𝑐)𝑟2
+2𝑚2
𝑝(𝑃𝑄 +2𝑀𝑋
𝑐)𝑟+𝑄2(𝑚2
𝑝𝑋𝑐)
1/2.(105)
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Por consiguiente, una función que lleve a esta solución debe estar dada por
𝐺3(𝑋)=𝐺3(𝑋𝑐)+
𝑛=2
𝑏𝑛(𝑋𝑋𝑐)𝑛,(106)
en donde los 𝑏𝑛son constantes.
(ii) 𝐺3,𝑋 (𝑋𝑐)0
Combinando las expresiones (69), (70) y (98) se obtiene
𝑓=𝑟𝐴
0𝐴
0+2𝐴2
04𝑓𝑋
𝑐
𝑋𝑐𝑟.(107)
Sustituyendo esta expresión en la ecuación de campo vectorial para 𝛼=0se obtiene 𝑟𝐴
0+
2𝐴
0=0, lo cual lleva a la solución 𝐴0=𝑃+𝑄/𝑟con dos constantes 𝑃y𝑄. Entonces,
insertando esta solución en la ecuación (107) se obtiene
𝑓=4𝑓
𝑟+𝑄2
𝑋𝑐𝑟3+2𝑃𝑄
𝑋𝑐𝑟2+2𝑃2
𝑋𝑐𝑟,
4𝑓𝑟3+𝑟4𝑓=𝑄2𝑟
𝑋𝑐+2𝑃𝑄𝑟2
𝑋𝑐+2𝑃2𝑟3
𝑋𝑐
,
(𝑟4𝑓)=𝑄2𝑟
𝑋𝑐+2𝑃𝑄𝑟2
𝑋𝑐+2𝑃2𝑟3
𝑋𝑐
,
𝑟4𝑓=𝑄2𝑟2
2𝑋𝑐+2𝑃𝑄𝑟2
3𝑋𝑐+𝑃2𝑟4
2𝑋𝑐+𝐶,
𝑓=1
𝑋𝑐𝑃+𝑄
𝑟2
+𝐶
𝑟4,(108)
en donde 𝐶es una constante. Para satisfacer que la métrica sea asintóticamente plana, 𝑓
debe tender a 1 cuando 𝑟→∞, lo que conduce a que 𝑃2=2𝑋𝑐. Así las ecuaciones de
campo gravitacional se satisfacen únicamente si 𝐶=0y𝑃=2𝑚𝑝. Ademas, de la ecuación
de componente (𝜇, 𝜈)=(0,1)se tiene que 𝐴1=0. Entonces, para 𝑀=±𝑄/(2𝑚𝑝)se
obtiene la solución (94) con el modo 𝐴1igual a cero.
Acoplamiento de quinto orden 𝐺5(𝑋)
Para este acoplamiento, las ecuaciones de campo vectorial de componentes 𝛼=0y𝛼=1
vienen dadas por
0=𝐴0𝑟+1
2𝐴
0𝑟2+𝐺5,𝑋𝑋 𝐴0𝐴2
1(𝑓𝐴
1+𝐴1𝑓)
+1
𝑓𝐺5,𝑋 𝐴0−(−1+𝑓)𝑓𝐴
1+𝐴1(12𝑓)𝑓,(109)
0=𝐺5,𝑋 𝐴2
0(𝑓1)𝑓
𝑓22𝐴0(𝑓1)𝐴
0
𝑓+𝐴2
1(13𝑓)𝑓
+𝐺5,𝑋𝑋 𝐴2
12𝐴0𝐴
0𝑓+(𝐴2
1𝑓2𝐴2
0)𝑓.(110)
Aplicando la condición (70) en ambas ecuaciones, multiplicando la ecuación (109) por
2𝐴1𝑓y restándola de la ecuación (110) multiplicada por 𝐴0, se obtiene la ecuación diferencial
0=2𝐴
0+𝑟𝐴
0.(111)
Adicionalmente, la ecuación (110), bajo la condición (70), adopta la forma
0=𝐺5,𝑋 (𝑋𝑐)𝐴0𝐴
0(𝑓1)−𝑓(𝑋𝑐+𝐴2
03𝑋𝑐𝑓)
+𝐺5,𝑋𝑋 (𝑋𝑐)(𝐴2
02𝑋𝑐𝑓)(𝐴0𝐴
0𝑋𝑐𝑓).(112)
De la ecuación (111) se obtiene, por supuesto, que 𝐴0=𝑃+𝑄/𝑟, con 𝑃y𝑄constantes. Si
𝐺5,𝑋 (𝑋𝑐)=0,(113)
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la ecuación (112) se satisface para (𝑖)𝐴0𝐴
0=𝑋𝑐𝑓o(𝑖𝑖)𝐴2
0=2𝑓𝑋
𝑐.
Para la primera rama se tiene la expresión
𝑓=𝐴0𝐴
0
𝑋𝑐
=(𝑃𝑟 +𝑄)𝑄
𝑋𝑐𝑟3,(114)
cuya integración da como resultado
𝑓==𝐶2𝑀
𝑟+𝑄2
2𝑋𝑐𝑟2,(115)
con 𝑀=𝑃𝑄/(2𝑋𝑐). En el límite asíntotico cuando 𝑟→∞, se debe tener que 𝑓==1,
lo cual indica que 𝐶=1. De otra parte, se tiene que las ecuaciones de campo gravitacional
de componentes (𝜇, 𝜈)=(0,0),(𝜇, 𝜈)=(1,1)y(𝜇, 𝜈)=(2,2)son, respectivamente,
0=1
2𝑓𝑟2𝑚2
𝑝(−1+𝑟𝑓+𝑓)−𝑟2𝐴2
0
+1
4𝑟2𝐺5,𝑋𝑋 𝑎2
12𝑓𝐴0𝐴1𝐴
0+(𝐴2
0𝐴2
1𝑓2)𝐴
1
+𝐴1(𝐴2
0𝐴2
1𝑓2)𝑓},(116)
0=𝑓
2𝑟𝑚2
𝑝(−1+𝑟𝑓+𝑓)+𝑟2𝐴2
0
+1
4𝑟2𝐺5,𝑋𝑋 𝐴3
1𝑓22𝐴0𝐴
0𝑓+ (−𝐴2
0+𝐴2
1𝑓2)𝑓,(117)
0=2𝑟𝐴2
0+𝑚2
𝑝(2𝑓+𝑟𝑓).(118)
Insertando la solución para 𝐴0y para 𝑓en la ecuación de componente (𝜇, 𝜈)=(2,2)se
obtiene que
𝑋𝑐=𝑚2
𝑝.(119)
Lo anterior lleva a que se satisfagan idénticamente las ecuaciones de componentes (𝜇, 𝜈)=
(0,0)y(𝜇, 𝜈)=(1,1). Por lo tanto las soluciones para este tipo de acoplamiento están dadas
por
𝑓==12𝑀
𝑟+𝑄2
2𝑚2
𝑝𝑟2,(120)
𝐴0=
2𝑀𝑚2
𝑝
𝑄+𝑄
𝑟,(121)
lo cual, usando la condición (70), conlleva a
𝐴1=±
2𝑚2
𝑝2(2𝑀2𝑚2
𝑝𝑄)𝑟2
𝑄2𝑚2
𝑝𝑟(2𝑀𝑟)−𝑄2.(122)
La existencia de esta solución requiere que 2𝑀2𝑚2
𝑝>𝑄
2.
A partir de la ecuación (70), la segunda rama corresponde a 𝐴1=0. El reemplazar esta
condición en la ecuación (109) conduce a
𝑟2𝑓2+2𝑓(2𝑟𝑓+𝑟2𝑓)=0,(123)
la cual es la misma ecuación diferencial (88) cuya solución es
𝑓==1𝑀
𝑟2
.(124)
Por otra parte, de la ecuación (118) se tiene que
𝑋𝑐=𝑚2
𝑝,(125)
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lo que indica que la expresión para la componente temporal del campo vectorial, 𝐴0, está
dada por
𝐴0=2𝑚𝑝+𝑀𝑚𝑝
𝑟,(126)
con la relación particular 𝑄2=2𝑀2𝑚2
𝑝. De hecho esto puede ser visto como el caso de las
soluciones de la rama anterior con la componente radial del campo siendo nula.
Es de anotar que un modo concreto de obtener las soluciones ya presentadas es mediante
un acoplamiento 𝐺5(𝑋)que esté descrito por la siguiente expresión:
𝐺5(𝑋)=𝐺5(𝑋𝑐)+
𝑛=2
𝑏𝑛(𝑋𝑋𝑐)2,(127)
en donde 𝑋𝑐=𝑚2
𝑝.
Acoplamiento de sexto orden 𝐺6(𝑋)
En presencia del acoplamiento general 𝐺6, la ecuación de campo vectorial de componente
𝛼=1se reduce a
𝐴1𝐴2
0𝐺6,𝑋 (3𝑓1)𝐺6,𝑋𝑋 𝐴2
1𝑓2=0,(128)
para la cual se requiere que 𝐴1=0o𝐴
0=0.
(i) 𝐴
0=0
En este caso se tiene que
𝐴0=𝑃=𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 ., (129)
lo que implica que la componente 𝛼=0de la ecuación de campo vectorial y la componente
(𝜇, 𝜈)=(0,1)de la ecuación de campo gravitacional se safisfagan idénticamente. De esta
manera, las ecuaciones de campo gravitacional de componentes (𝜇, 𝜈)=(0,0)y(𝜇, 𝜈)=
(1,1)llevan a la ecuación diferencial
1+𝑓+𝑟𝑓=0,(130)
cuya solución, obtenida previamente, es
𝑓==12𝑀
𝑟,(131)
la cual también hace que la ecuación de campo gravitacional de componente (𝜇, 𝜈)=(2,2)
se satisfaga idénticamente. Por lo tanto, usando la condición (70), se obtiene que el modo
longitudinal del campo vectorial viene dado por
𝐴1=±𝑟(𝑃2𝑟+4𝑀𝑋
𝑐2𝑟𝑋
𝑐)
𝑟2𝑀.(132)
Ya que 𝐴1→±
𝑃22𝑋𝑐cuando 𝑟→∞, se requiere que 𝑃2>2𝑋𝑐para garantizar la
existencia de la solución.
0.0.1 (ii) 𝐴1=0
Para este caso, en primer lugar, la ecuación de campo gravitacional de componente (𝜇, 𝜈)=
(0,1)se satisface idénticamente. Además, debido a la condición (70), 𝐴2
0=2𝑓𝑋
𝑐. Esto lleva
a que las ecuaciones de campo gravitacional de componentes (𝜇, 𝜈)=(0,0)y(𝜇, 𝜈)=(1,1)
se reduzcan, respectivamente, a
𝑚2
𝑝
2𝑓(𝑟𝑓 +2𝑓)−𝑋𝑐
4𝑟𝑓2𝑋𝑐𝑓𝑓
𝑓𝐺6=0,(133)
(𝑟𝑓 +2𝑓)−𝑟𝑓2
2𝑟𝑓 1
𝑟2𝑓𝑓
 +(𝑓22𝑓)+ 𝑓2
𝑓𝐺6
+
2𝑋𝑐
(
𝑓
1
)
𝑓2𝐺6,𝑋 =0.(134)
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Para obtener soluciones exactas se tomarán las condiciones
𝐺6(𝑋𝑐)=0, 𝑦𝐺
6,𝑋 (𝑋𝑐)=0.(135)
De la ecuación (134) se obtiene la solución de Reissner-Nordström cuya carga es igual a la
masa del agujero negro, es decir,
𝑓==1𝑀
𝑟2
,(136)
que al reemplazar en la ecuación (133) da como resultado que 𝑋𝑐=𝑚2
𝑝. Además, la
componente temporal del campo vectorial es 𝐴0=𝑃+𝑄/𝑟, en donde 𝑃=±2𝑚𝑝y
𝑄=2𝑀𝑚𝑝. Esto es equivalente a la solución obtenida para el acoplamiento de quinto
orden 𝐺5(𝑋)de la rama 𝐴2
0=2𝑓𝑋
𝑐.
Un modelo concreto que lleve a la solución obtenida para este caso debe ser de la forma
𝐺6(𝑋)=
𝑛=2
𝑏𝑛(𝑋𝑋𝑐),(137)
en donde 𝑋𝑐=𝑚2
𝑝.
Acoplamiento cuártico 𝑔4(𝑋)
Considérese el acoplamiento dado por
𝐺2(𝑋, 𝐹)=2𝑔4(𝑋)𝐹, (138)
en donde 𝑔4(𝑋)es una función de 𝑋. De esta manera, la ecuación de campo vectorial de
componente 𝛼=1, usando las condiciones (69) y (70), es
𝑔4,𝑋 𝐴1𝐴2
0=0.(139)
Considérese ahora, por lo tanto, el caso en el cual se satisface la relación
𝑔4,𝑋 (𝑋𝑐)=0.(140)
En estas circunstancias, la ecuación de campo vectorial de componente 𝛼=0y la ecuación
de campo gravitacional de componente (𝜇, 𝜈)=(0,0)son, respectivamente,
𝑟𝐴
0+2𝐴
0=0,(141)
2𝑚2
𝑝(1𝑓𝑟𝑓)+(12𝑔4)𝑟2𝐴2
0=0.(142)
A partir de la primera ecuación, la componente temporal del campo vectorial es
𝐴0=𝑃+𝑄
𝑟,(143)
la cual, al reemplazar en la segunda ecuación, lleva a
𝑓==12𝑀
𝑟+𝑄2
2𝑚2
𝑝𝑟2[12𝑔4(𝑋𝑐)],(144)
con el modo longitudinal del campo dado por la expresión (71). Esto equivale a un solución
de Reissner-Nordström con carga efectiva 𝑄𝑒𝑓 𝑓 =𝑄12𝑔4(𝑋𝑐)que es diferente de 𝑄a
menos que 𝑔4(𝑋𝑐)=0.
Así, un acoplamiento que lleve a estas soluciones viene dado por
𝑔4(𝑋)=𝑔4(𝑋𝑐)+
𝑛=2
𝑏𝑛(𝑋𝑋𝑐).(145)
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doi: https://doi.org/10.18257/raccefyn.1276
Rev. Acad. Colomb. Cienc. Ex. Fis. Nat. 2021
Para el caso particular 𝑔4(𝑋𝑐)=1/2se obtiene la solución de Schwarzschild 𝑓==
12𝑀/𝑟con 𝐴0indeterminado.
Por otra parte, la ecuación (139) también se satisface si (𝑖)𝐴1=0o(𝑖𝑖)𝐴
0=0. Para
la rama (𝑖), la ecuación de campo vectorial de componente 𝛼=0y la ecuación de campo
gravitacional de componente (𝜇, 𝜈)=(0,0)vienen dadas, respectivamente, por
2𝐴0(𝑓+𝑔4,𝑋 𝐴0𝐴
0𝑟)+𝑓𝐴

0𝑟=0,(146)
2𝑔4,𝑋 𝐴2
0𝐴2
0𝑟2
𝑓2𝑚2
𝑝(𝑟𝑓+𝑓1)+(12𝑔4)𝐴2
0𝑟2=0.(147)
Existe una solución exacta bajo las condiciones 𝑔4,𝑋 (𝑋𝑐)=0y𝑔4(𝑋𝑐)=1/2la cual está
dada por
𝑓==12𝑀
𝑟,𝐴
0=±212𝑀
𝑟𝑋𝑐,
𝐴1=0.(148)
Esta solución existe para la función (145) con 𝑔4(𝑋𝑐)=1/2.
Para la rama (𝑖𝑖), se obtiene la solución de Schwarzschild 𝑓==12𝑀/𝑟con
𝐴0=𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡. y𝐴1dado por la ecuación (71) para acoplamientos generales 𝑔4(𝑋).
Acoplamiento vectorial de quinto orden 𝑔5(𝑋)
Finalmente, se busca la solución exacta para el acoplamiento de quinto orden 𝑔5(𝑋). Para
este acomplamiento, la ecuación de campo vectorial de componente 𝛼=0viene dada por
𝐴2
0(𝑔5𝑔5,𝑋 (𝐴2
02𝑓𝑋
𝑐)) =0.(149)
Para la rama 𝐴
0=0, se obtiene la solución de Schwarzschild 𝑓==12𝑀/𝑟
seguida del modo longitudinal del campo dado por la ecuación (71), con 𝐴0=𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡, para
acoplamientos 𝑔5(𝑋)generales.
Para la otra rama, 𝑓𝑔
5=(𝐴2
02𝑓𝑋
𝑐)𝑔5,𝑋, existe solución exacta bajo la condición
𝑔5,𝑋 =0.(150)
Esto lleva a que la ecuación de campo vectorial de componente 𝛼=0y la ecuación de campo
gravitacional de componente (𝜇, 𝜈)=(0,0)sean las de la solución de Reissner-Nördstrom
en Relatividad General. De esta manera se obtiene la solución de Reissner-Nordström con
𝐴1dado por la ecuación (71).
Ya que 𝑔5(𝑋𝑐)=0, un acoplamiento de quinto orden de la forma
𝑔5(𝑋)=
𝑛=2
𝑏𝑛(𝑋𝑋𝑐)𝑛,(151)
da como resultado, en este caso, la solución de Reissner-Nordström con el modo longitudinal
diferente de cero.
Conclusiones
En este trabajo se hizo uso de la acción (9) y a partir del método variacional se obtuvieron
las ecuaciones de campo gravitacionales y vectoriales de la teoría generalizada de Proca.
Posteriormente, se determinaron los perfiles del campo y del tensor métrico propios de un
espaciotiempo estático y con simetría esférica. Con ello se establecieron condiciones para
las funciones métricas y las funciones componentes del campo vectorial con el fin de obtener
soluciones exactas. También se calculó la forma que deben tener los acoplamientos para
llegar a dichas soluciones.
En primer lugar, al usar el acoplamiento 𝐺4=𝑚2
𝑝/2, se recuperó la Relatividad General
para un espaciotiempo de electrovacío. En éste se obtuvo la solución de Reissner-Nördstrom.
Por otra parte, se corroboró la no existencia de soluciones en el caso de Proca masivo. La no
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existencia se da como consecuencia de que la solución para el campo vectorial es incompatible
con el comportamiento asintótico que deben tener las funciones métricas, tanto en el horizonte
de eventos ( 𝑓(𝑟)=(𝑟)=0) como en el infinito ( 𝑓(𝑟→ ∞) =(𝑟→ ∞) =1). La
incompatibilidad desaparece cuando la masa del campo 𝜇es nula, lo cual corresponde a un
espaciotiempo de Reissner-Nordström.
Seguidamente se encontró la solución para el acoplamiento 𝐺4=𝑚2
𝑝/2+𝑋/4. Para esta
solución se satisfacen las condiciones 𝑓=y𝑋=𝑋𝑐=𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 ., las cuales se usaron para en-
contrar soluciones exactas correspondientes a cada tipo de acoplamiento usado. En general,
las soluciones obtenidas para todos los acoplamientos considerados en este documento no
difieren de soluciones de Schwarzschild y Reissner-Nordström salvo en las funciones compo-
nentes del campo vectorial. Esto, en efecto, es consecuencia de las restricciones usadas con el
objetivo de encontrar soluciones exactas. Entonces, el aliviar las condiciones puede conducir
a soluciones más generales mediante métodos iterativos. Adicionalmente, en varias de las
soluciones encontradas en este trabajo, el modo longitudinal del campo vectorial resultó ser
diferente de cero con lo cual aparece una nueva carga 𝑃que no rompe la conjetura de no pelo
dado que en las funciones métricas no se evidencia la presencia de esta carga. Sumado a esto,
la carga 𝑃aparece como un modo de gauge no físico en la componente temporal del campo.
Por otra parte, aunque se obtienen diversas expresiones para la componente longitudinal del
campo vectorial, en los demás acoplamientos estudiados en este documento, las funciones
métricas siguen siendo soluciones de Schwarzschild o Reissner-Nordström.
Es claro que al usar una teoría y obtener resultados que ya son predichos por una teoría
más simple, se tiene mayor preferencia por esta última. En este caso, al usar la teoría
generalizada de Proca, que es de mayor complejidad que la Relatividad General, se obtiene
soluciones exactas que ya son predichas por esta última. Por consiguiente, en el marco de
las soluciones exactas de agujeros negros estáticos y esféricamente simétricos, la teoría de
Einstein luce más atractiva que la teoría generalizada de Proca.
Agradecimientos
Este trabajo fue financiado por los siguientes proyectos de investigación: Patrimonio Autónomo
- Fondo Nacional de Financiamiento para la Ciencia, la Tecnología y la Innovación Francisco
José de Caldas (MINCIENCIAS - COLOMBIA) programa No. 110685269447 RC-80740-
465-2020, proyecto 69553, Vicerrectoría de Ciencia, Tecnología, e Innovación - Universidad
Antonio Nariño proyecto No. 2017239, Dirección de Investigación y Extensión de la Fac-
ultad de Ciencias - Universidad Industrial de Santander proyecto No. 2460, y Centro de
Investigaciones - Universidad Santo Tomás de Aquino proyecto No. 1952392.
Contribución de los autores
SMC llevó a cabo todos los desarrollos presentados en este artículo bajo la continua super-
visión y revisión de YR.
Conflicto de intereses
Los autores declaran no tener conflicto de intereses con respecto al contenido de este artículo.
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Apéndice: Ecuaciones de campo en la teoría generalizada de
Proca
Como resultado de variar la acción (9) con respecto a la métrica, se obtuvieron las ecuaciones
de campo gravitacional en la teoría generalizada de Proca, las cuales vienen dadas por:
0=1
2𝑔𝜇𝜈𝐹+𝐹𝜇𝛼𝐹𝛼
𝜈1
2𝑔𝜇𝜈𝐺21
2𝐺2,𝑋 𝐴𝜇𝐴𝜈1
2𝐺2,𝐹 𝐹𝜇𝛼𝐹𝛼
𝜈
+𝐺2,𝑌 (2𝐴𝜎𝐴(𝜇𝐹𝛼
𝜈)𝐹𝜎𝛼 𝐴𝛼𝐴𝛽𝐹𝛽𝜈𝐹𝜇𝛼)+𝐺3,𝑋 1
2𝐴𝜇𝐴𝜈𝛼𝐴𝛼
+𝐴𝛼𝐴(𝜇𝜈)𝐴𝛼1
2𝑔𝜇𝜈 𝐴𝛽𝛼𝐴𝛽+𝐺4𝐺𝜇𝜈 +𝐺4,𝑋 1
2𝑔𝜇𝜈 (∇𝛼𝐴𝛼)2
1
2𝑔𝜇𝜈𝛼𝐴𝛽𝛽𝐴𝛼2𝐴(𝜇𝜈)𝛼𝐴𝛼+𝑔𝜇𝜈 𝐴𝛽𝛽𝛼𝐴𝛼+∇𝛼𝐴(𝜇𝛼𝐴𝜈)
+𝐴(𝜇𝜈)𝐴𝛼𝐴𝛼(𝜇𝐴𝜈)2𝛼𝐴(𝜇𝜈)𝐴𝛼1
2𝑅𝐴𝜇𝐴𝜈+∇𝜇𝜈𝐴2
𝑔𝜇𝜈𝐴2+𝐺4,𝑋𝑋 1
4𝜇𝐴2𝜈𝐴21
4𝑔𝜇𝜈𝛼𝐴2𝛼𝐴2+𝐴(𝜇𝜈)𝐴2𝛼𝐴𝛼
1
2𝑔𝜇𝜈 𝐴𝛽𝛽𝐴2𝛼𝐴𝛼1
2𝛼𝐴2𝐴(𝜇𝛼𝐴𝜈)+𝐴(𝜇𝜈)𝐴𝛼𝐴𝛼(𝜇𝐴𝜈)
+(𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑠𝑝𝑜𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑎 L5𝑦L6).(152)
Debido a la gran extensión en la variación de los términos que conforman L5yL6, se optó
por usar el paquete xAct del software 𝑀𝑎𝑡 ℎ𝑒𝑚𝑎𝑡𝑖𝑐𝑎 (Martin-Garcia, J., 2019), con el fin
de obtener los términos restantes de la expresión de arriba. Las ecuaciones propias para cada
acoplamiento contenido en L5yL6fueron presentadas en la sección de soluciones exactas
de agujeros negros estáticos y esféricamente simétricos.
De otra parte, las ecuaciones de campo vectorial, las cuales provienen de variar la acción
de la teoría generalizada de Proca con respecto al campo vectorial, vienen dadas por
0=𝛽𝐹𝛼𝛽 𝐺2,𝑋 𝐴𝛼+∇𝛽𝐺2,𝐹 𝐹𝛽𝛼 +𝐺2,𝐹𝛽𝐹𝛽𝛼 4𝛽𝐺2,𝑌 𝐴𝜈𝐴[𝛽𝐹𝛼]
𝜈
2𝐺2,𝑌 𝐴𝜇𝐹𝜇𝜆𝐹𝛼𝜆 +2(∇𝛽𝐴𝜈)𝐴[𝛽𝐹𝛼]
𝜈2𝐴𝜈𝛽𝐴[𝛽𝐹𝛼]
𝜈2𝐴𝜈𝐴[𝛽𝛽𝐹𝛼]
𝜈
+𝐺3,𝑋 1
2𝛼𝐴2𝐴𝛼𝜇𝐴𝜇+2𝐺4,𝑋𝐺𝛽𝛼 𝐴𝛽𝐺4,𝑋𝑋 𝐴𝛼(∇𝜇𝐴𝜇)2
𝐴𝛼𝜇𝐴𝜈𝜈𝐴𝜇−∇𝛽𝐴2(𝑔𝛼𝛽𝜇𝐴𝜇−∇𝛼𝐴𝛽)+𝐺5,𝑋 1
2𝛽𝐴2𝐺𝛽𝛼
𝐴𝛼𝐺𝜇𝜈𝜇𝐴𝜈+1
2𝜇𝐴𝜇𝛼𝛽𝐴𝛽−∇𝛽(∇𝜇𝐴𝜇𝛼𝐴𝛽)−1
2𝛼(∇𝜌𝐴𝜎𝜎𝐴𝜌)
+𝐺5,𝑋𝑋 1
6𝐴𝛼(∇𝜇𝐴𝜇)33𝜇𝐴𝜇𝜌𝐴𝜎𝜎𝐴𝜌+2𝜌𝐴𝜎𝜈𝐴𝜌𝜎𝐴𝜈
1
4𝛼𝐴2(∇𝜇𝐴𝜇)2+∇𝛼𝐴2𝜌𝐴𝜎𝜎𝐴𝜌+2𝛽𝐴2𝜇𝐴𝜇𝛼𝐴𝛽
2𝛽𝐴2𝜈𝐴𝛽𝛼𝐴𝜈+4𝐴2𝛽(∇𝜈𝐴𝛽𝛼𝐴𝜈)+𝑔5𝛽˜
𝐹𝛽𝜇 ˜
𝐹𝛼
𝜇+˜
𝐹𝛽𝜇𝛽˜
𝐹𝛼
𝜇
2𝛽˜
𝐹𝜎
𝜇𝜀𝜆𝜇𝛼𝛽 (𝜆𝐴𝜎)2˜
𝐹𝜎
𝜇𝜀𝜆𝜇𝛼𝛽 𝛽(𝜆𝐴𝜎)
+𝑔5,𝑋 𝐴𝛼˜
𝐹𝛾𝜇 ˜
𝐹𝛽
𝜇𝛾𝐴𝛽+𝐴𝛽˜
𝐹𝜎
𝜇𝜀𝜆𝜇𝛼𝛽 (𝜆𝐴𝜎)1
2𝛽𝐴2˜
𝐹𝛽𝜇 ˜
𝐹𝛼
𝜇
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2𝐺6𝛽𝐿𝛽𝛼𝛾 𝜎 𝛾𝐴𝜎+𝐿𝛽𝛼𝛾 𝜎 𝛽𝛾𝐴𝜎+𝐺6,𝑋 𝛽𝐴2𝐿𝛽𝛼𝛾𝜎 𝛾𝐴𝜎
𝜀𝛾𝜎𝛽𝛼𝛽˜
𝐹𝜇𝜈𝛾𝐴𝜇𝜎𝐴𝜈𝜀𝛾𝜎𝛽𝛼 ˜
𝐹𝜇𝜈 (∇𝛽𝛾𝐴𝜇)∇𝜎𝐴𝜈
𝜀𝛾𝜎𝛽𝛼 ˜
𝐹𝜇𝜈𝛾𝐴𝜇𝛽𝜎𝐴𝜈𝐴𝛼𝐿𝜇𝜈𝛾𝛽 𝜇𝐴𝜈𝛾𝐴𝛽−∇𝛽˜
𝐹𝜇𝜈𝜀𝛾𝜎𝛽𝛼𝜇𝐴𝛾𝜈𝐴𝜎
˜
𝐹𝜇𝜈𝜀𝛾𝜎𝛽𝛼(∇𝛽𝜇𝐴𝛾)∇𝜈𝐴𝜎˜
𝐹𝜇𝜈𝜀𝛾𝜎𝛽𝛼𝜇𝐴𝛾𝛽𝜈𝐴𝜎−∇𝛽˜
𝐹𝛾𝛽 ˜
𝐹𝜇𝛼𝛾𝐴𝜇
˜
𝐹𝛾𝛽𝛽𝐹𝜇𝛼𝛾𝐴𝜇˜
𝐹𝛾𝛽 ˜
𝐹𝜇𝛼𝛽𝛾𝐴𝜇+𝐺6,𝑋𝑋
2𝛽𝐴2𝜀𝛾𝜎𝛽𝛼 ˜
𝐹𝜇𝜈𝛾𝐴𝜇𝜎𝐴𝜈
𝐴𝛼˜
𝐹𝛾𝛽 ˜
𝐹𝜇𝜈𝛾𝐴𝜇𝛽𝐴𝜈+∇𝛽𝐴2˜
𝐹𝜇𝜈𝜀𝛾𝜎𝛽𝛼𝜇𝐴𝛾𝜈𝐴𝜎+∇𝛽𝐴2˜
𝐹𝛾𝛽 ˜
𝐹𝜇𝛼𝛾𝐴𝜇.
(153)
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Article
Full-text available
The increase in the demand for Hass avocado has brought a rise in the generation of inedible waste such as peel and seed, by-products that are rich in bioactive substances. In the present study, aqueous, ethanolic, and supercritical fluid extracts were obtained from fresh seed and dry seed, which were analyzed to determine the antioxidant capacity measured through 2,2-diphenyl-2-picrylhydrazyl free radical (DPPH); 2,2′-azino-bis(3-ethylbenzothiazoline-6-sulphonic acid (ABTS), ferric reducing antioxidant power (FRAP) and oxygen radical absorbance capacity (ORAC) methods as well as the content of phenolic compounds. In addition, the antimicrobial activity of strains of food interest, such as Listeria monocytogenes, Salmonella enterica Typhimurium and Escherichia coli was evaluated. The ethanolic extract of fresh seed presented the highest antioxidant and antimicrobial activity. The aqueous extract of fresh seed registered a significant antioxidant capacity but an absence of antimicrobial activity. In contrast, the ethanolic extract of dry seed showed a representative antimicrobial activity on both S. enterica Typhimurium and L. monocytogenes, but low antioxidant activity. E. coli exhibited resistance against all the assessed extracts. The results from this work highlight the opportunity to consider the Hass avocado seed extracts as a novel alternative to replace or reduce the use of synthetic antioxidant and antimicrobial additives in food. Keywords: Waste by-product; Aqueous extract; Ethanolic extract; Supercritical extraction; Polyphenols; Free radical.
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We report the observation of gravitational waves from a binary-black-hole coalescence during the first two weeks of LIGO’s and Virgo’s third observing run. The signal was recorded on April 12, 2019 at 05∶30∶44 UTC with a network signal-to-noise ratio of 19. The binary is different from observations during the first two observing runs most notably due to its asymmetric masses: a ∼ 30 M ⊙ black hole merged with a ∼ 8 M ⊙ black hole companion. The more massive black hole rotated with a dimensionless spin magnitude between 0.22 and 0.60 (90% probability). Asymmetric systems are predicted to emit gravitational waves with stronger contributions from higher multipoles, and indeed we find strong evidence for gravitational radiation beyond the leading quadrupolar order in the observed signal. A suite of tests performed on GW190412 indicates consistency with Einstein’s general theory of relativity. While the mass ratio of this system differs from all previous detections, we show that it is consistent with the population model of stellar binary black holes inferred from the first two observing runs. Published by the American Physical Society 2020
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We present a systematic construction of the most general first order Lagrangian describing an arbitrary number of interacting Maxwell and Proca fields on Minkowski spacetime. To this aim, we first formalize the notion of a Proca field, in analogy to the well-known Maxwell field. Our definition allows for a nonlinear realization of the Proca mass, in the form of derivative self-interactions. Consequently, we consider so-called generalized Proca/vector Galileons. We explicitly demonstrate the ghost-freedom of this complete Maxwell-Proca theory by obtaining its constraint algebra. We find that, when multiple Proca fields are present, their interactions must fulfill nontrivial differential relations in order to ensure the propagation of the correct number of degrees of freedom. These relations had so far been overlooked, which means previous multi-Proca proposals generically contain ghosts. This is a companion paper to the paper by Diez et al. [arXiv:1905.06967]. It puts on a solid footing the theory there introduced.
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Full-text available
We present the most general ghostfree classical Lagrangian containing first-order derivatives and describing interacting real Abelian spin-one fields on Minkowski spacetime. We study both massive Proca and massless Maxwell fields and allow for a nonlinear realization of mass, in the form of derivative self-interactions. Within this context, our construction notoriously extends the existing literature, which is limited to the case of a single Proca field and to multiple interacting Proca fields in the presence of a global rotational symmetry. In the limit of a single Proca field, we reproduce the known healthy interaction terms. We provide the necessary and sufficient conditions to ensure ghost-freedom in any multifield setup. We observe that, in general, the said conditions are not satisfied by the rotationally symmetric multi-Proca interactions suggested so far, which implies that they propagate ghosts. Our theory admits a plethora of applications in a wide range of subjects. For illustrative purposes, we provide concrete proposals in holographic condensed matter and black hole physics.
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To date, different alternative theories of gravity, although related, involving Proca fields have been proposed. Unfortunately, the procedure to obtain the relevant terms in some formulations has not been systematic enough or exhaustive, thus resulting in some missing terms or ambiguity in the process carried out. In this paper, we propose a systematic procedure to build the beyond generalized theory for a Proca field in four dimensions containing only the field itself and its first-order derivatives. We examine the validity of our procedure at the fourth level of the generalized Proca theory. In our approach, we employ all the possible Lorentz-invariant Lagrangian pieces made of the Proca field and its first-order derivatives, including those that violate parity, and find the relevant combination that propagates only three degrees of freedom and has healthy dynamics for the longitudinal mode. The key step in our procedure is to retain the flat space-time divergences of the currents in the theory during the covariantization process. In the curved space-time theory, some of the retained terms are no longer current divergences so that they induce the new terms that identify the beyond generalized Proca field theory. The procedure constitutes a systematic method to build general theories for multiple vector fields with or without internal symmetries.