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Ömer Gen c1, Felix Johlke1, Marcel Schaub1, Nora Feldt-Caesar1,
Renate Fournier1, Ulrike Roder1 & Regina Bruder1
Mathematikdidaktische Forschungsansätze und
Entwicklungsarbeiten zu digitalen Diagnose- und
Förderangeboten an der TU-Darmstadt
Zusammenfassung
Wesentliche mathematische Grundkenntnisse lassen sich aufgrund aktueller mathema-
tikdidaktischer Forschungsergebnisse und der gewachsenen digitalen Umsetzungsmög-
lichkeiten mit geeigneten Aufgaben (u. a. über STACK) digital diagnostizieren, mit in-
dividualisiertem Feedback versehen und mit passenden, erprobten Fördermaterialien
verknüpfen. Berichtet werden Grundlagen und Stand entsprechender Portalentwicklun-
gen für Schule und Hochschule.
Schlagworte: Aufgaben, Diagnose, Feedback, Förderung
1. Mathematikaufgaben als zentrales Gestaltungselement
Aufgaben gelten im Mathematikunterricht als das Gestaltungselement fachdidaktischer
Konzeptionen und „veranschaulichen für Lehrkrä e und Lernende Ziele und Erwar-
tungen von Standards und Curricula, wenn sie mit entsprechenden Erläuterungen ver-
sehen werden und bspw. durch klar de nierte Operatoren aufzeigen, welche Fähigkei-
ten und Kenntnisse angesprochen werden“ (Parchmann & Bernholt, 2016, S. 48). Mit
ihren Potentialen zum Lernhandeln stellen Aufgaben ein zentrales Element im Fachun-
terricht dar (Bruder & Brückner, 1989) und können sowohl zur Diagnose als auch zum
(Nach-)Lernen eingesetzt werden.
In diesem Beitrag werden bisherige und aktuelle Forschungsarbeiten aus der AG
Mathematikdidaktik der TU Darmstadt zum Einsatz von Aufgaben zur digitalen Diag-
nose und Förderung von mathematischem Grundwissen und Grundkönnen vorgestellt.
2. Diagnose von mathematischem Grundwissen & -können sowie
typischen Fehlern
In der fachdidaktischen Diskussion stellt die Konzeptualisierung und Diagnose mathe-
matischen Grundwissens und Grundkönnens (GWGK) ein zentrales ema dar. Ge-
meint sind hier „jene mathematischen Kenntnisse, Fähigkeiten und Fertigkeiten, die
bei allen Schülerinnen und Schülern am Ende der beiden Sekundarstufen in Form von
mathematischen Begri en, Zusammenhängen und Verfahren langfristig und situati-
onsunabhängig, das heißt insbesondere ohne den Einsatz von Hilfsmitteln, verfügbar
sein sollen.“ (Feldt-Caesar, 2017, S. 182). In Tests kann mithilfe geeigneter Aufgaben
GWGK diagnostiziert werden. Um der Testzeit-Inhalt-Problematik entgegenzuwirken,
1 Fachbereich Mathematik, Technische Universität Darmstadt, Deutschland
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entwickelte Feld-Caesar das adaptive Diagnoseverfahren des „Elementarisierenden Tes-
tens“ (Feldt-Caesar, 2017). Dieses Testprinzip basiert auf adaptiven Aufgabenpfaden,
durch die individuelle De zite im mathematischen GWGK identi ziert werden kön-
nen.
Handelt es sich bei einer Hauptlinienaufgabe um eine mehrschrittige Aufgabe und
wird diese nicht korrekt gelöst, so wird man durch eine Schleife mit Elementaraufga-
ben geleitet (siehe Abbildung 1). Die Elementaraufgaben bilden die in der Hauptlinien-
aufgabe benötigten Sto elemente und Handlungen separat ab als „Elementarbausteine“.
Um die Verfügbarkeit und Exaktheit als relevante Qualitätsmerkmale von Kenntnissen
(Feldt-Caesar, 2017) für eine spezi sche Kenntnis als Bedingung für das Lösen einer
Hauptlinienaufgabe prüfen zu können, erfordern die Elementaraufgaben das Identi -
zieren oder Realisieren eines einzelnen Sto elements (Feldt-Caesar, 2017). Dabei meint
das Identi zieren „[…] Feststellung von Übereinstimmung oder Nichtübereinstimmung
auf der Grundlage eines den jeweiligen Abbildungsmerkmalen entsprechenden Idea-
lisierens der gegebenen Objektsituation“ (Bruder & Brückner, 1989, S. 79). Das Reali-
sieren wird verstanden als das „Transferieren, Konkretisieren oder Spezialisieren eines
vorgegebenen (bzw. identi zierten) Handlungsgegenstandes […]“ (Bruder & Brückner,
1989, S. 79).
Auf diese Weise ist es möglich, de zitäre Kenntnisse über einzelne Sto elemen-
te zu lokalisieren (Feldt-Caesar, 2017). Durch Verwendung von Itemdistraktoren,
die typische Fehler beinhalten, kann die diagnostische Genauigkeit eines Testinstru-
ments erhöht werden (Winter, 2011). Um solche typischen Fehler identi zieren und
implementieren zu können, sind empirische Studien notwendig, wie sie beispielswei-
se in der Arbeit von Fournier, geb. Nitsch, zu nden sind: Sie entwickelte im Projekt
CODI (COnceptual DI culties in the eld of functional relationships) einen Online-
Test zur Diagnose von systematischen Fehlern im Bereich der linearen und quadrati-
schen Funktionen (Nitsch, 2015). Die Distraktoren der Multiple-Choice (MC) Aufga-
ben in diesem Online-Test wurden so konstruiert, dass möglichst viele typische Fehler
Abbildung 1: Schema eines Elementarisierenden Tests.
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der Lernenden repräsentiert werden. Winter (2011) spricht in diesem Zusammenhang
auch von Distraktoren mit diagnostischem Potential. Um Rückschlüsse auf mögliche
Fehlvorstellungen ziehen zu können, wurden jeweils mehrere strukturell gleiche Auf-
gaben entwickelt. Nach Nitsch (2015) kann nicht aufgrund einer einzelnen Aufgaben-
bearbeitung auf eine Fehlvorstellung geschlossen werden, sondern erst dann, wenn sich
ein Fehler über mindestens zwei Aufgaben hinweg in einem konsistenten Fehlermus-
ter zeigt. Bei Nitsch (2015) konnten so bei N=569 Schülerinnen und Schülern aus den
Klassen 9 bis 11 neun Fehlermuster identi ziert werden, die bei mehr als 10% der Ler-
nenden aufgetreten sind. Um die Stabilität der Fehlermuster über einen längeren Zeit-
raum zu untersuchen, wurde mit N=168 Schülerinnen und Schülern nach ca. einem
halben Jahr ein Nachtest durchgeführt. Dabei ließen sich vier Fehlermuster identi zie-
ren, die besonders stabil zu sein scheinen (Nitsch & Johlke, 2016). Das Online-Diagno-
setool CODI lässt sich unter www.codi-test.de abrufen und beschränkt sich auf Zusam-
menhänge linearer und quadratischer Funktionen für die Klassenstufen 9 und 10.
Im Rahmen onlinebasierter Diagnoseinstrumente werden Identi zierungshandlun-
gen über MC-Items gefordert. Realisierungshandlungen über MC-Items umzusetzen
ist zwar möglich (Winter, 2011), jedoch können parallel statt ndende Identi zierungs-
handlungen nicht ausgeschlossen werden (Nitsch et al., 2016). Nitsch (2015) konnte
zudem zeigen, dass geschlossene Aufgabenformate Fehler provozieren, die sich im of-
fenen Antwortformat gegebenenfalls nicht gezeigt hätten. Für Realisierungshandlungen
sind o ene Aufgabenformate notwendig, die allerdings eine automatische Auswertung
über numerische Eingaben hinaus durch das System erschweren und deshalb meist mit
hohem personellen Korrekturaufwand verbunden sind.
Mit dem Plugin STACK (S angwin, 2013) für Moodle und ILIAS lassen sich ma-
thematische Ausdrücke, wie zum Beispiel Terme, Matrizen oder Mengen eingeben und
vom angebundenen Computeralgebra-System Maxima auswerten. Auf diese Weise ist
es möglich, die Eingabe auf mathematische Eigenscha en zu prüfen und zu entschei-
den, ob und in welchem Umfang die jeweilige Aufgabe korrekt gelöst wurde. Dadurch
lassen sich neue Aufgabenformate implementieren, die über eine reine Kalkülorientie-
rung hinausgehen und die auch verschiedene Lösungen ermöglichen (K allweit, 2016).
Des Weiteren können Aufgaben zum Realisieren, deren Antworteingabe über eine nu-
merische hinausgeht, nun auch über o ene Antwortformate valider abgebildet wer-
den, da insbesondere keine gegebenen Antwortmöglichkeiten wie beim MC-Format ein
Identi zieren ermöglichen (S chaub, 2019). Mithilfe von STACK ist es möglich, einen
Abgleich der Antworteingabe mit typischen Fehlern zu erreichen, sodass darauf auf-
bauend ein Feedback generiert werden kann. Hierdurch erhalten Lernende ein an den
im Test gezeigten individuellen Wissens- und Könnensstand angepasstes fehleradapti-
ves Feedback anhand der getätigten Eingaben, die im Hintergrund analysiert werden.
Ein solches Feedback setzt allerdings voraus, dass die bekannten typischen Fehler im
Test als Feedback antizipiert und dort im STACK-Rückmeldebaum hinterlegt worden
sind.
Die bisher genannten innovativen Aspekte einer digitalen Diagnoseumgebung (Ele-
mentarisierendes Testen, typische Fehler als Disktraktoren und STACK-basierte Imple-
mentation) werden im Rahmen des DDTA-Projekts (Digital diagnostische Testaufga-
be) (K allweit et al., 2017) gebündelt und von Schaub (2019) erprobt. Wichtige Resultate
dieser Arbeit sind, dass durch STACK die Validität der Aufgaben erhöht werden kann
und dass durch die Kombination aus STACK und dem Elementarisierenden Testen hö-
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here diagnostische Informationen über das Bewältigen der gestellten Aufgaben gewon-
nen werden können, als nur durch eines der beiden Elemente für sich (Schaub, 2019).
Es ist allerdings festzuhalten, dass die Diagnose von GWGK mit digitalen Testaufgaben
grundsätzlich de zitorientiert angelegt ist.
3. Feedback & Förderung – Aufgaben als Lerngelegenheit
Da es beim Einsatz von digitalen Lernumgebungen gerade auch um Lerngelegenhei-
ten gehen soll, gilt es die Diagnoseergebnisse den Lernenden auf angemessene Art und
Weise zu kommunizieren und transparent zu machen. Entsprechendes Feedback kann
als zentrale Schnittstelle zwischen Diagnose und weiterführenden Fördermaterialien
angesehen werden. Damit soll die Diskrepanz zwischen der aktuellen Testleistung und
den angestrebten Lernzielen reduziert werden (H attie & Timperley, 2007). Gerade im
Zusammenhang mit typischen Fehlern und damit verbundenen Fehlvorstellungen er-
ö nen digitale Gestaltungsvarianten von Feedback das Potential, auf Basis verschiede-
ner lern- und medienpsychologischer Grundlagen, Schülerinnen und Schüler geeignet
anzusprechen, sodass ein Umdenken initiiert werden kann (J ohlke, 2019). Bei der kon-
kreten Ausgestaltung des Feedbacks sollten auch individuelle Lernpräferenzen berück-
sichtigt werden. Im Projekt EoM (E-Feedback to Overcome Misconceptions) geht es
darum, Feedback zu optimieren. Neben dem Einarbeiten der bereits genannten feh-
leradaptiven Rückmeldungen sowie einer Berücksichtigung individueller Lernpräfe-
renzen soll im Rahmen des Projekts geklärt werden, welche mediendidaktischen und
mathematikdidaktischen Designparameter und -eigenscha en ein aktivierendes und
korrigierendes, computerbasiertes E-Feedback besitzen sollte, um Lernende bestmög-
lich beim selbstständigen Überwinden ihrer eigenen Fehlvorstellungen unterstützen zu
können (J ohlke, 2020).
Am schulischen Übergang von der Sekundarstufe I in die Sekundarstufe II zeichnet
sich der Bedarf an Fördermaterialien mit dem Ziel innerfachlicher Anschlussfähigkeit
ab (Roder, 2019). Im Förderkonzept „BASICS-Mathematik“ von R oder (2019) wird das
notwendige GWGK, ausgehend von bereits existierenden Mindeststandardkonzepten
(D rüke-Noe, 2011), am Übergang in die Oberstufe fokussiert und es sollen insbeson-
dere kompensatorische Maßnahmen zur Wiederholung bereits vorhandener Kenntnis-
se aus der Sekundarstufe I dargeboten werden. Das Online-Fördermaterial (www.ba-
sics-mathematik.de) verfügt über einen Online-Diagnosetest, der auf den Arbeiten von
Feldt-Caesar (2017) und Winter (2011) beruht. Das Förderkonzept wurde von Roder
(2019) erprobt und modi ziert. Des Weiteren wurden die aus der Erprobung gewonne-
nen Erkenntnisse zu typischen Schülerfehlern analysiert und als elaboriertes Feedback
zu den einzelnen Aufgaben des Fördermaterials ergänzt bzw. ausdi erenziert.
Im Projekt „TU-WAS“ werden digitale Aufgaben in den Übungsbetrieb eingebet-
tet sowie mögliche Einsatzszenarien und E ekte von STACK-basierten Mathematikauf-
gaben als Lerngelegenheiten in Mathematikveranstaltungen der Ingenieurswissenschaf-
ten des ersten Studienjahres untersucht. Dabei soll die Entwicklung geeigneter digitaler
Aufgaben vor dem Hintergrund etablierter Aufgabentheorien erfolgen, sodass mit Hilfe
der Realisierung unterschiedlicher Aufgabentypen der Einsatz dieser Aufgaben sowohl
in Lern- als auch in Leistungssituationen ermöglicht wird (G enc, 2020). Ziel dieses di-
gitalen Aufgabenarrangements ist es, den Studierenden die Möglichkeit zu bieten, selb-
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ständig Inhalte der Lehrveranstaltung zu wiederholen und zu vertiefen und dabei un-
mittelbare Rückmeldung hinsichtlich ihrer Leistungen zu erhalten.
Die in den Projekten vorgestellten Konzepte zur digitalen Testentwicklung bedie-
nen unterschiedliche Adressaten und erzeugen eine konzeptionelle Vernetzung hin-
sichtlich der Erstellung eines förderwirksamen Feedbacks und der im DDTA-Projekt
gebündelten Elemente zu digitalen Diagnoseumgebungen.
Damit zeigt das Gesamtkonzept von digitaler Diagnose, unmittelbar verknüp em
fehleradaptiven Feedback und dazu passend konzipierten Lernmaterialien für die be-
schriebenen Projekte ein großes Potential zur e ektiven Verbesserung von Lernleistun-
gen im Rahmen aktueller Digitalisierungsbestrebungen.
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