ArticlePDF Available

Justification and Classification of Evaluation Fused in Rating Methods of Multi-criteria ChoiceОбоснование и классификация оценочных функций, применяемых в рейтинговых методах многокритериального выбора

December 2020

DOI:10.15622/ia.2020.19.6.1

License
CC BY 4.0

Authors:

S.V. Mikoni

St. Petersburg Institute for Informatics and Automation of the Russian Academy of Sciences, Saint Petersburg

Dmitry P. Burakov

Saint Petersburg Transport State University

The recommendations on the application of methods of multidimensional estimation (MDE) of objects, proposed in the paper Velasquez M., Hester P.T. «An Analysis of Multi-Criteria Decision Making Methods», are analyzed. The weak substantiation of these recommendations, resulting from the superficial systematization of MDE methods, is noted. The recommendations are focused not on the classes of MDE methods, but on various areas of activity. However, in each area of activity there is a wide range of tasks for evaluating objects of various nature. In this regard, the urgency of a more thorough systematization of MDE methods is recognized. Taking into account the diversity of MDE methods, it was decided to limit ourselves to the systematization of methods that use evaluation functions (EF), and on this basis to offer general recommendations for their application. The review of MDE methods from a unified position required clarification of the terminology used in them. On the basis of the formal model of the criterion, the relationship between the concepts of "preference", "criterion" and "indicator" is established. To highlight the methods that use evaluation functions, the concept of the target value of the indicator is introduced. Regarding its location on the indicator scale, the concepts of ideal and real goals are introduced. The criteria corresponding to these goals are divided into target and restrictive ones. Using the proposed terminology, a review of the most well-known MDE methods was carried out. Of these, a group of methods using evaluation functions is distinguished. Variants of evaluation functions created on the basis of the criterion and postulates of the theory of value and utility are considered. On the basis of the similarity of the domains of definition and the meanings of EFs, the relationship between them is established. Regarding the target value of the indicator, they are divided into the functions of achieving the goal and functions of deviation from the goal. The mutual complementarity of these functions is shown. A group of functions of deviation from the goal is highlighted, which allows us to order objects separately according to penalties and rewards in relation to achieving a real goal. The concept of norm is introduced for the correspondence relation. On the example of medical analyzes, the practical application of deviation functions from the norm is shown using both the minimax and the weighted average generalizing function to establish a rating on a set of objects. The similarities and differences of the EFs revealed in the course of the study form the basis for the classification of the MDE methods that use them. The difference in EFs in terms of the complexity of creation is reflected in the proposed methodology for their application.

Available via license: CC BY 4.0

Content may be subject to copyright.

УДК 519.81 DOI 10.15622/ia.2020.19.6.1

С.В. МИКОНИ, Д.П. БУРАКОВ

ОБОСНОВАНИЕ И КЛАССИФИКАЦИЯ ОЦЕНОЧНЫХ

ФУНКЦИЙ, ПРИМЕНЯЕМЫХ В РЕЙТИНГОВЫХ МЕТОДАХ

МНОГОКРИТЕРИАЛЬНОГО ВЫБОРА

Микони С.В., Бураков Д.П. Обоснование и классификация оценочных функций,

применяемых в рейтинговых методах многокритериального выбора.

Аннотация. Проанализированы предложенные ранее исследователями

рекомендации по применению методов многомерного оценивания объектов. Отмечена

слабая обоснованность этих рекомендаций, следующая из поверхностной

систематизации методов многомерного оценивания. Рекомендации ориентированы не на

классы задач многомерного оценивания объектов, а на различные области человеческой

деятельности. Однако в каждой сфере человеческой деятельности имеет место широкий

спектр задач оценивания объектов различной природы. В связи с этим признана

актуальность более тщательной систематизации методов многомерного оценивания.

Учитывая разноплановость методов многомерного оценивания, решено

ограничиться систематизацией методов, применяющих оценочные функции, и на этой

основе предложить общие рекомендации по их применению.

Обзор методов многомерного оценивания с единой позиции потребовал уточнения

применяемой в них терминологии. На основе формальной модели установлены

отношения между понятиями «предпочтение», «критерий» и «показатель». Для

выделения методов, применяющих оценочные функции, введено понятие целевого

значения показателя. Относительно его расположения на шкале показателя введены

понятия идеальной и реальной целей. Соответствующие этим целям критерии разделены

на целевые и ограничительные. С применением предложенной терминологии

проанализированы наиболее известные методы многомерного оценивания. Из них

выделена группа методов, применяющих оценочные функции.

Рассмотрены варианты оценочных функций, создаваемых на основе критерия и

постулатов теории ценности и полезности. На основе сходства областей определения и

значений различных оценочных функций установлена взаимосвязь между ними.

Относительно целевого значения показателя они разделены на функции достижения

цели и функции отклонения от цели. Показана взаимная дополнительность этих

функций. Выделена группа функций отклонения от цели, которая позволяет

упорядочивать объекты раздельно по штрафам и поощрениям относительно достижения

реальной цели. Для отношения соответствия введено понятие нормы. На примере

медицинских анализов показано практическое применение функций отклонения от

нормы с применением как минимаксной, так и средневзвешенной обобщающей функции

для установления рейтинга на множестве объектов.

Выявленное в процессе исследования сходство и различие оценочных функций

положено в основу классификации использующих их методов многомерного

оценивания. Различие оценочных функций по трудоемкости их создания отражено в

предложенной методике их применения.

Ключевые слова: предпочтение, показатель, критерий, целевое значение,

оценочная функция, функция ценности, функция полезности, достижение цели,

отклонение от цели, функциональный выбор, многомерное оценивание объектов,

рейтинговый метод

1. Введение. Извечная потребность человека в оценивании объ-

ектов любого вида и происхождения воплотилась в теоретические

изыскания, начатые трудами [1-5]. Именно в послевоенный период с

1131

Informatics and Automation. 2020. Vol. 19 No. 6. ISSN 2713-3192 (print)

ISSN 2713-3206 (online) www.ia.spcras.ru

MATHEMATICAL MODELING, NUMERICAL METHODS

_____________________________________________

развитием информатики как средства реализации методов принятия

решений было разработано их теоретическое обоснование. В последу-

ющие годы методы теории принятия решений (ТПР) разделились на

отдельные группы и конкретизировались применительно к особенно-

стям оцениваемых объектов. Ежегодно публикуются сотни работ, в

которых методы ТПР используются для решения конкретных практи-

ческих задач. Методы оценивания объектов по многим показате-

лям (многомерного оценивания – ММО) нашли широкое применение

на практике, охватывая все виды человеческой деятельности и объекты

любой природы [6-12].

Ввиду многочисленности прикладных публикаций их общий об-

зор не представляется возможным. Он может быть сужен конкретной

сферой приложения методов ТПР. Другой путь – сопоставление наибо-

лее популярных методов многомерного оценивания с целью выявления

их особенностей. Остановимся для примера на двух работах по этой

теме, отечественной и зарубежной, опубликованных в 2013 году. Пере-

чень рассматриваемых в них методов многокритериального выбора

включает как методы оптимизации, изучаемые в рамках исследования

операций, теории управления и искусственного интеллекта, так и под-

ходы, основанные на моделировании предпочтений лица, принимающе-

го решение (ЛПР). Методы первой группы, такие как линейное про-

граммирование и эволюционное моделирование, применяются для ре-

шения задач многокритериального выбора. В частности, целевое

программирование рассматривается как обобщение линейного програм-

мирования в случае наличия нескольких целей оптимизации.

В [13] достаточно полно охвачены классические методы опти-

мизации. В ней приводится обширный перечень как отечественных,

так и зарубежных средств решения задач многокритериального выбо-

ра. Но данное исследование носит информационный характер, по-

скольку в нем отсутствует сопоставление рассматриваемых методов и

средств их реализации. В работе [14] представлен обзор англоязычных

работ в области многокритериальной оптимизации. Как отмечают ав-

торы, они рассмотрели наиболее популярные методы многомерного

оценивания (в их терминах – Multi-Criteria Decision Making Methods,

сокращенно – MCDM), к которым относятся:

1. Многомерная теория полезности (Multi-Attribute Utility

Theory – MAUT).

2. Метод анализа иерархий (Analytic Hierarchy Process – AHP).

3. Теория нечётких множеств (Fuzzy Set Theory – FST).

4. Рассуждения по прецедентам (Case-Based Reasoning – CBR).

5. Анализ данных (Data Envelopment Analysis – DEA).

1132

Информатика и автоматизация. 2020. Том 19 № 6. ISSN 2713-3192 (печ.)

ISSN 2713-3206 (онлайн) www.ia.spcras.ru

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ И ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА

_____________________________________________

6. Простой метод многомерного упорядочения (Simple Multi-

Attribute Rating Technique – SMART).

7. Целевое программирование (Goal Programming – GP).

8. Метод «исключение и выбор, отражающие реаль-

ность» (ELECTRE).

9. Метод организации ранжирования предпочтений для оценки

обогащенного оценивания (PROMETHEE).

10. Простое аддитивное взвешивание (Simple Additive

Weithing – SAW).

11. Метод упорядоченного предпочтения через сходство с иде-

альным решением (Technique for Order of Preference by Similarity Ideal

Solution – TOPSIS).

Здесь следует отметить некорректность перечисления авторами

в одном ряду как методов MCDM, так и используемых для их разра-

ботки теорий (например, FST само по себе не является методом

MCDM, хотя элементы теории нечётких множеств активно использу-

ются, в том числе и в методах многомерного оценивания). В отличие

от [13] в данной работе на основе анализа особенностей рассматривае-

мых методов предлагаются рекомендации по областям их применения.

В основу рекомендаций положена трудоемкость построения модели и

размерность задачи оценивания.

К недостаткам обзора следует отнести поверхностность рекомен-

даций по применению рассматриваемых методов. Рекомендации ориен-

тированы не на классы задач ММО объектов, а на различные области

деятельности. Однако, несмотря на большое различие областей деятель-

ности, их оценивание не ограничивается решением частных задач. В

каждой области деятельности имеет место широкий спектр задач оцени-

вания объектов различной природы. Отмеченный недостаток обуслов-

лен, с одной стороны, чрезмерным охватом методов ММО, а с другой

стороны, отсутствием теоретического обоснования рекомендаций. Ре-

шению этой проблемы должна способствовать разработка научно-

обоснованных классификаций методов ММО. Такие классификации,

упорядочивая текущее знание, обладают также прогностическим свой-

ством, что позволяет применять системный подход не только для анали-

за существующих моделей и средств их реализации, но и для создания

новых вариантов моделей. Отсутствие таких классификаций в [14] по-

служило побудительным мотивом для исследований в этом направле-

нии, результаты которых излагаются в настоящей работе.

На понимание задач оценивания объектов

и классифицирование применяемых для их решения методов суще-

ственно влияет терминология предметной области (ПрО). Эта про-

1133

Informatics and Automation. 2020. Vol. 19 No. 6. ISSN 2713-3192 (print)

ISSN 2713-3206 (online) www.ia.spcras.ru

MATHEMATICAL MODELING, NUMERICAL METHODS

_____________________________________________

блема актуальна для отечественной терминологии, в частности, по

причине неточного перевода широко заимствуемых англоязычных

терминов. В качестве примера приведем термин «метод анализа

иерархий» (МАИ), который можно трактовать как анализ существу-

ющей иерархии показателей. В оригинале метод называется «Analytic

Hierarchy Process» (AHP). Буквально оно переводится как «Метод

аналитической иерархии». А под иерархией автор термина Т. Саати

понимает структуру «цель  критерии  альтернативы».

Проблема уточнения смысла термина упрощается применением

системного подхода к анализу моделей, изложенного в моногра-

фии [15]. В ней предложено рассматривать модель в трех аспектах:

функциональном (Ф-модель), операционном (О-модель) и структур-

ном (С-модель) и в их сочетаниях. Модель задачи описывается струк-

турно-функциональной моделью (СФ-моделью), а процессы ее по-

строения и решения описываются операционными, а точнее структур-

но-операционными моделями (СО-моделями). Примером СО-модели

является алгоритм. В этих терминах любой метод относится к классу

СО-моделей. Таким образом, термин AHP характеризует именно СО-,

а не СФ-модель задачи, а его смысл заключается в иерархическом про-

цессе оценивания альтернатив.

Для ясности дальнейшего изложения уточним еще ряд применя-

емых терминов. Введенный ранее термин «методы многомерного оце-

нивания» (ММО) обобщает методы оценивания объектов по многим

показателям: Multi-Attribute Rating Technique, Multi-Attribute

Optimization, Multi-Objective Optimization, Multi-Criteria Optimization.

Под словом «оптимизация» в них подразумевается цель упорядочения

объектов для выбора из них того, который в набольшей степени удо-

влетворяет заданным требованиям.

В отечественной литературе часто не делается различий между

терминами «показатель» и «критерий». Показателем фиксируется ко-

личественное или качественное значение некоторого свойства объекта,

а критерием задается требование к значениям этого показателя. Следу-

ет упомянуть также о соотношении терминов «атрибут» и «показа-

тель». Слово attribute имеет смысл неотъемлемого свойства объекта, а

показатель используется для отражения результата измерения этого

свойства в количественной или качественной шкале. В английском

языке ему соответствует слово indicator.

Поскольку классификация должна охватывать методы ММО,

изложенные в разных терминах, исследование предваряется объясне-

нием применяемых терминов. На этой основе осуществлен обзор

наиболее известных методов ММО. Из них выделена группа методов,

1134

Информатика и автоматизация. 2020. Том 19 № 6. ISSN 2713-3192 (печ.)

ISSN 2713-3206 (онлайн) www.ia.spcras.ru

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ И ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА

_____________________________________________

применяющих оценочные функции. Сходство и различие этих функ-

ций положено в основу предлагаемой классификации группы методов

ММО. Оно используется для выработки общих рекомендаций по при-

менению рассматриваемых методов ММО. Заключительный пример

демонстрирует расширенные возможности одного из методов ММО

как следствие предложенной классификации.

2. Краткий обзор методов ММО. Как было отмечено ранее, в

обзоре [14] отсутствует разделение моделей и методов оценивания и

отнесение их к определенным классам. Для их первичного различия

примем за основу деления принцип создания моделей оценивания.

Модель ММО создается либо на основе модели оптимизации, либо

на основе предпочтений ЛПР. Модели первого типа назовем опти-

мизационными, а второго типа – экспертными моделями. Их родо-

начальниками являются научные направления «Исследование опе-

раций», «Теория управления» для моделей первого типа и «Систем-

ный анализ» – для моделей второго типа. Несмотря на

присутствие оптимизационного и экспертного факторов в моделях

обоих типов, предлагаемое разделение удобно в смысле указания на

первичность каждого из этих факторов.

Модель предпочтений ЛПР реализует отношения предпочтения:

‒ на множестве значений j-го показателя RY  Yj  Yj;

‒ на множестве показателей RF  F  F;

‒ на множестве объектов RX  X  X.

Модель ПрО инвариантна по отношению к различным моделям

предпочтений. Именно они и определяют различие методов ММО,

которые и являются предметом дальнейшего рассмотрения.

По способу задания предпочтения разделим модели ММО

на связанные и несвязанные по предпочтениям с альтернативами. Свя-

занная модель предпочтений ЛПР отношения совмещает все три типа

отношений предпочтения. В несвязанной модели предпочтений ЛПР

отношение предпочтения на множестве объектов реализуется на осно-

ве первых двух типов предпочтений.

В связанной модели отношение предпочтения Rпр,j  X  X по

каждому показателю представляется матрицей парных сравне-

ний (МПС). Значения предпочтений на множестве объектов задаются

экспертом. В наиболее концентрированной форме эта модель реализу-

ется в методе AHP Т. Саати [3]. В различных формах этот тип модели

реализуется другими методами, названными в англоязычной литерату-

ре нерейтинговыми методами оценивания (outranking methods) [14].

Такое название «от противного» отражает назначение этих мо-

делей. Их основная цель – выбор наилучшей альтернативы (объекта),

хотя следствием процесса выбора является упорядочение альтернатив.

1135

Informatics and Automation. 2020. Vol. 19 No. 6. ISSN 2713-3192 (print)

ISSN 2713-3206 (online) www.ia.spcras.ru

MATHEMATICAL MODELING, NUMERICAL METHODS

_____________________________________________

К этому классу принадлежат все методы, основанные на применении

отношения предпочтения на множестве альтернатив. К ним относятся

метод ANP (Analytic Network Process) [16] как обобщение метода AHP,

метод ELECTRE (Elimination Et Choix Traduisant la Realite –

исключение и выбор, отражающее реальность) [17],

PROMETHEE (Preference Ranking Organization Method for Enrichment

Evaluation) [18] и отечественный метод вербального анализа альтерна-

тив (ВАР), разработанный коллективом академика О. И. Ларичева [19].

Трудоемкость построения связанной модели методом AHP

Т. Саати оценивается количеством операций, требуемых для сопостав-

ления N альтернатив по n показателям. Она определяется по формуле:

AHP

(1)

NN n

Q



 (1)

Согласно формуле (1) трудоемкость построения сравнительной

модели быстро увеличивается с ростом размерности альтернатив, что

ограничивает применение этих моделей для решения задач оценивания

большой размерности. На начальном этапе развития ТПР это ограни-

чение не являлось критическим. Основное внимание уделялось форма-

лизации предпочтений ЛПР и проблеме независимости критериев

по предпочтению. Ограничение на размерность задачи оказалось кри-

тическим для оценивания большого количества объектов и сложных

объектов, характеризующихся десятками показателей. Примером задач

первого типа является определение рейтинга 85 регионов РФ

по показателям социально-экономического развития [10]. Примером

задач второго типа является оценивание качества и технического

уровня сложных систем [6]. Для решения таких задач востребованы

«рейтинговые» модели и методы оценивания.

В «рейтинговых» методах оценивания не лучшие, то есть неоп-

тимальные объекты не исключаются из рассмотрения, а посему не

называются альтернативами. В этих моделях первично упорядочение

всех объектов, на основе которого выбираются наилучшие варианты.

Трудоемкость построения иерархической модели ММО на ос-

нове несвязанной модели с общими предпочтениями для всех объектов

оценивается формулой:

1(1).

Qn nn





 (2)

Второе слагаемое в формуле (2) отражает использование срав-

нительных моделей для вычисления весовых коэффициентов, приме-

1136

Информатика и автоматизация. 2020. Том 19 № 6. ISSN 2713-3192 (печ.)

ISSN 2713-3206 (онлайн) www.ia.spcras.ru

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ И ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА

_____________________________________________

няемых для получения средневзвешенных оценок объектов. В отличие

от формулы (1), сравнению подвергаются не оцениваемые объекты,

а характеризующие их показатели. В иерархической модели ММО по-

казатели разбиваются по их назначению на группы. В i-ю группу,

1, ,ik включается ni показателей. Таким образом, большие (много-

мерные) и сложные (неоднородные) задачи решаются гибридными

методами. В данном случае рейтинговый метод (ranking method) оце-

нивания дополняется нерейтинговым методом (outranking method).

Так, например, в [20] рассматривается методика многокритериального

двухуровневого анализа пунктов размещения гидроэлектростанций,

сочетающая в себе этапы применения методов MAUT и AHP для вы-

бора наилучшего решения.

Формула (2) отражает независимость модели предпочтений

ЛПР от модели ПрО или, иными словами, несвязность этих моделей.

Она проявляется в том, что объем предпочтений Q не зависит от

числа оцениваемых объектов N. Это и является основанием для име-

нования методов упорядочения объектов на основе несвязанной мо-

дели рейтинговыми методами, поскольку отсутствует ограниче-

ние на число оцениваемых объектов.

Для сравнения несопоставимых по ресурсам объектов приме-

няются два способа: вычисление отношения значений показателя

к имеющимся ресурсам для обеспечения сопоставимости объектов

относительно общего целевого значения cj и индивидуальное планиро-

вание целевого значения j-го показателя cji для каждого i-го объекта,

1, .iN Трудоемкость построения иерархической модели ММО

на основе нормативной модели с индивидуальными требованиями для

N объектов оценивается формулой:

1(1).

QNn nn



  

 (3)

Для вычисления обобщенных оценок объектов по всем показа-

телям применяются различные обобщающие функции (ОФ). Наиболь-

шее распространение на практике получили аддитивная (АОФ) и

мультипликативная (МОФ) функции, дающие средневзвешенные

оценки объектов [21].

В работе [22] был предложен подход, основанный на замене

функций полезности целями (targets). Однако в действительности за-

дание целевых значений не противоречит заданию полезности на шка-

ле показателя, что будет показано ниже.

1137

Informatics and Automation. 2020. Vol. 19 No. 6. ISSN 2713-3192 (print)

ISSN 2713-3206 (online) www.ia.spcras.ru

MATHEMATICAL MODELING, NUMERICAL METHODS

_____________________________________________

В работе [4] была поставлена под сомнение парадигма много-

критериального оценивания, основанная на получении компромисса в

достижении частных целей с применением средневзвешенных оценок

объектов. Достижению максимальной полезности (ценности) была

противопоставлена парадигма достижения поставленной це-

ли (Reference Objective), трактуемой точкой в n-мерном пространстве.

Утверждалось, что «любая точка в целевом пространстве, независимо

от того, достижима она или нет, идеальна или нет, может использо-

ваться вместо весовых коэффициентов для получения функций, кото-

рые имеют минимумы только в точках Парето». В качестве таковой

функции был предложен минимаксный критерий частных отклонений

от поставленной цели (точки в пространстве).

В [23] в качестве источников частных целей предложено ис-

пользовать ограничительные критерии с реальными целями. Метод

условной оптимизации [24] предполагает исключение из упорядочения

объектов, не удовлетворяющих ограничениям. В работе [23], как и

в [4], все объекты подлежали упорядочению по общим оценкам неза-

висимо от достижения ими частных целей. На этом основании он был

назван методом мягких притязаний или приближением к образцу. Од-

нако в отличие от работы [4] не отвергались ОФ, дающие средневзве-

шенные оценки объектов. Таким образом, независимо от выбранной

ОФ методы упорядочения объектов разделим на методы достижения

и отклонения от цели.

3. Постановка задачи. Требования к объектам задаются на ос-

нове бинарного отношения предпочтения Rпр [21], обладающего свой-

ствами нестрого порядка, и потому образованного объединением от-

ношений превосходства R и соответствия ,R



представляющих

отношения строгого порядка и эквивалентности, то есть пр .RRR







В функциональной форме отношение предпочтения Rпр  X  X,

связывающее пару объектов xi, xk  X, то есть xi Prпр xk, описывается

двухместным предикатом Prпр(xi, xk). Превосходство xixk объекта xi

над объектом xk представляется предикатом (xi, xk), а соответствие

объектов xi и xk – предикатом  (xi, xk). Отношения превосходства и

соответствия объектов xi и xk по j-му показателю представляются пре-

дикатами (fj(xi), fj(xk)) и  (fj(xi), fj(xk)), задающими составное отноше-

ние предпочтения XXRRR jj,j 



,,пр . Здесь и далее использу-

ются следующие обозначения:

1) X = {x1, …, xi, …, xN} – множество оцениваемых объек-

тов (альтернатив), X = N.

1138

Информатика и автоматизация. 2020. Том 19 № 6. ISSN 2713-3192 (печ.)

ISSN 2713-3206 (онлайн) www.ia.spcras.ru

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ И ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА

_____________________________________________

2) F = {f1, …, fj, …, fn} – множество показателей, отражающих

различные свойства объектов, F = n.

3) Yj, – область значений (домен) j-го показателя, также называ-

емая шкалой этого показателя. Она определяется как некоторый отре-

зок [yj,min, yj,max], nj ,1.

4) yj = fj(x) – значение j-го показателя для объекта x.

При количественных оценках j-го показателя в качестве преди-

катов превосходства применяются отношения «>» («быть больше») и

«<» («быть меньше»), а в качестве предикатов соответствия – отноше-

ния «=» («быть равным») и « [ ]» («принадлежать отрезку»).

Предпочтение Rпр,j преобразуется в критерий заданием целевого

значения cj в роли базы сравнения с любой величиной yj = fj(x) на шкале

j-го показателя, задаваемой отрезком [yj,min, yj,max]. Целевое значение cj

задается либо на границе шкалы показателя (cj = yj,max, или cj = yj,min) или

на точных гранях множества Yj, либо в промежуточной точке шка-

лы (yj,min < cj < yj,max). Граничным целям соответствуют критерии

yj  max и yj  min. В [21] они названы целевыми критериями, а пре-

следуемые ими цели – идеальными целями. Отметим, что здесь и далее

символическая запись «y  extr» означает требование поиска экстре-

мального (наибольшего либо наименьшего) значения величины y на

некотором множестве.

Целевой критерий характеризуется однородностью предпочте-

ния на всей шкале j-го показателя. Оно реализуется заданием в каче-

стве базы сравнения в предикате Pr(yj, cj) целевого значения cj на од-

ной из границ шкалы j-го показателя. Базе сравнения cj = yj,min соответ-

ствует максимизация значений j-го показателя, то есть

yj  max  Pr>(yj, yj,min), а базе сравнения cj = yj,max – минимизация его

значений, то есть yj  min  Pr<(yj, yj,max), поскольку оценка выполне-

ния требования, например максимизации, реализуется путем сравне-

ния значения yj с наименьшим возможным значением yj,min.

Цель, назначенная в промежутке между граничными значениями

шкалы показателя, названа реальной, а содержащий ее критерий – огра-

ничительным критерием по аналогии с оптимизационной моделью ма-

тематического программирования. При реализации предпочтения пре-

восходства с включением отношения равенства yj = cj формируются

ограничительные критерии «больше или равно» (ограничение «снизу»)

Pr(yj, cj) и «меньше или равно» (ограничение «сверху») Pr(yj, cj).

В инфиксной форме они записываются как yj  cj и yj  cj соответственно.

При реализации отношения соответствия с базой сравнения

cj, yj,min < cj < yj,max формируется точечный ограничительный крите-

1139

Informatics and Automation. 2020. Vol. 19 No. 6. ISSN 2713-3192 (print)

ISSN 2713-3206 (online) www.ia.spcras.ru

MATHEMATICAL MODELING, NUMERICAL METHODS

_____________________________________________

рий Pr=(yj, cj), а с базой сравнения [cj,н, cj,в] – интервальный ограни-

чительный критерий Pr[ ](yj, [cj,н, cj,в]). В этом критерии cj,н – ниж-

няя (yj,min < cj,н), а cj,в – верхняя (cj,в < yj,max) граница интервала требу-

емых значений j-го показателя, определяемого соответствую-

щим отрезком.

Конечно, называя любой показатель критерием, автор держит

требования к нему «в уме». Однако формально значение j-го показате-

ля yj = fj(x) и оценка его соответствия требуемому значению cj двух-

местным предикатом Pr(yj, cj)  {1, 0} – не одно и то же.

Модель задачи ММО состоит из двух частей [21]: модели ПрО

и модели предпочтений ЛПР. Модель ПрО содержит информацию о

сопоставляемых объектах и их свойствах. Ее формальной моделью

является n-мерное отношение мощности N RSD  Y1  …  Yn, n = |F |,

N = |X |. В силу конечности множеств X и F эта модель представляет-

ся прямоугольной таблицей «Объекты/Показатели (Признаки)». В

строках таблицы, помеченных именами объектов из X, перечисляют-

ся значения всех показателей для этих объектов, а столбцы озаглав-

лены именами показателей из множества F. Произведение N  n ха-

рактеризует размерность задачи оценивания. На размерность задачи

влияет также неоднородность показателей, проявляющаяся

в различии их доменов. Различие заключается не только в принад-

лежности доменов показателей множествам действительных R или

целых Z (при балльных оценках) чисел, но и в выделенных из них

подмножеств для каждого показателя. Иными словами, каждый по-

казатель fj(x), 1, ,

n измеряется в собственной шка-

ле Yj = [yj,min, yj,max].

Модель предпочтений ЛПР выражается бинарными отноше-

ниями предпочтения Rпр,j, а они, в свою очередь, задают соответ-

ствующие им критерии. Как было отмечено выше, в функциональ-

ной записи любой критерий, как соответствия, так и превосходства,

представляет собой некоторый предикат, принимающий значение

«истина» (1), если заданная цель выполняется, и «ложь» (0) — в

противном случае, играя роль оценочной функции fo(yj) j-го показа-

теля (ОцФ), то есть функции, оценивающей, удовлетворяет ли зна-

чение j-го показателя yj заданному требованию. При расширении

области значений ОцФ fo(yj) с множества {0, 1} на множе-

ство [0, 1] переходом от двузначной (булевой) логики к бесконечно-

значной логике, ее значение характеризует степень удовлетворения

заданного требования.

Заметим, что в смысле меры ОцФ является показателем, но

измеряющим не свойство объекта, а меру соответствия этого свой-

1140

Информатика и автоматизация. 2020. Том 19 № 6. ISSN 2713-3192 (печ.)

ISSN 2713-3206 (онлайн) www.ia.spcras.ru

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ И ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА

_____________________________________________

ства заданному требованию. Обобщенный показатель, вычисляемый

обобщением значений частных ОцФ по некоторому правилу, сам по

себе тоже не является критерием. Он становится таковым при зада-

нии на его шкале некоторого отношения предпочтения. Для вычис-

ления значений обобщенного показателя для объектов, характеризу-

емых разнородными показателями, должна использоваться единая

шкала. В качестве таковой наиболее востребована абсолютная

шкала [0, 1], универсальная по отношению к аксиомам теории изме-

рений. Эта шкала является областью значений ОцФ fo(yj). В слу-

чае использования ОцФ с единой шкалой значений [0, 1] предпочте-

ния на шкале обобщенного показателя естественным образом зада-

ются отношениями {“≥”, “>”, “→ max”} или {“≤”, “<”, “→ min”}.

Разумеется, каждая ОцФ по-своему отображает отноше-

ние предпочтения на шкале [yj,min, yj,max] j-го показателя. Одна-

ко общность областей определения и значений позволяет свести со-

зданные разными способами ОцФ в единую систему. В осно-

ву этих способов положены аксиомы критерия и теории

ценности/полезности [25].

Согласно [21] к ОцФ fо(yj), областью определения которой явля-

ется шкала j-го показателя Yj = [yj,min, yj,max], 1, ,

n относятся следу-

ющие функции:

‒ ценности v: Yj → [0, 1];

‒ полезности u: Yj → [–1, 1];

‒ плановая s: Yj → [0, 200%];

‒ принадлежности объекта l-му классу по j-му показателю

l: Yj → [0, 1], kl ,1;

‒ отклонения от цели d: Yj → [–1, 1].

В [21] методы, реализующие сопоставление объектов на шка-

лах ОцФ, были названы методами функционального выбора (ФВ)

в отличие от методов критериального выбора (КВ), реализующих

с поставление объектов на исходных шкалах показателей. Англо-

язычные имена этих методов (ranking/outranking methods), отража-

ющие их назначение, более ситуативны, чем именование по «прин-

ципу действия», так как в процессе применения назначение обозна-

чаемого может расширяться.

Учитывая разноплановость рассмотренных методов ММО, на

наш взгляд, затруднительно конкретизировать их применение по

примеру работы [14]. Обоснованием рекомендаций по примене-

нию методов ММО должна служить систематизация, отражающая

сходство и различие методов. В основу такой систематизации поло-

жим виды ОцФ, используемые рейтинговыми методами.

1141

Informatics and Automation. 2020. Vol. 19 No. 6. ISSN 2713-3192 (print)

ISSN 2713-3206 (online) www.ia.spcras.ru

MATHEMATICAL MODELING, NUMERICAL METHODS

_____________________________________________

Их сходство и различие применим для выработки общих рекоменда-

ций по применению этих методов.

Поэтому далее подробно рассмотрим ОцФ, их свойства и спосо-

бы применения в рейтинговых задачах, на основании чего построим

классификацию методов ФВ и определим возможные варианты их ис-

пользования.

4. Оценочные функции, реализующие отношение превосход-

ства. Согласно самому названию этого отношения и соответствующим

ему предикатам реализующие его ОцФ являются монотонными в обла-

сти определения Yj = [yj,min, yj,max], nj ,1.

ОцФ, создаваемая на основе критерия превосходства, отобража-

ет значения из шкалы j-го показателя [yj,min, yj,max] в шкалу [0, 1]:

fн: Yj → [0, 1]. Для предпочтения yj  cj функция fн,max(yj) на отрез-

ке [yj,min, cj] вычисляется по формуле:

,min

н,max

,min

() .







 (4)

В формуле (4) величина b – нижняя граница значений функ-

ции fн,max. Для области значений [0, 1] b = 0. Линейное отображе-

ние fн: Yj → [0, 1] называют нормирующей функцией. Таким обра-

зом, мера достижения объектом x цели, заданной на грани-

це шкалы, оценивается линейной нормирующей функцией fн(yj) j-

го показателя.

В [21] нормирующая функция показателя трактуется как линей-

ный вариант функции ценности v(yj) или полезности u(yj). Нормирую-

щая функция fн,max единственна в случае идеальной цели, совпадающей

с верхней границей шкалы: cj = yj,max (выбор по максимуму) [5]. В [21]

она называется функцией достижения идеальной цели (ДИЦ). При-

ближение к цели сопровождается увеличением значения функции fн(yj)

j-го показателя и при достижении идеальной цели fн(cj) = 1. Пример

функции ДИЦ показан на рисунке 1а линией 1.

В отличие от идеальной цели реальная цель cj, задаваемая

ограничительными критериями (yj, cj) и (yj, cj), отвечает условию

yj,min < cj < yj,max на шкале [yj,min, yj,max]. В [21] такая точка cj рассмат-

ривается как реальная цель (target). Реальной цели ставится в соот-

ветствие приемлемое значение полезности (ценности) fн(cj) = ujп в

диапазоне 0 < ujп  1.

1142

Информатика и автоматизация. 2020. Том 19 № 6. ISSN 2713-3192 (печ.)

ISSN 2713-3206 (онлайн) www.ia.spcras.ru

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ И ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА

_____________________________________________

j,min

j,max

н j

f (y )

j,min

j,max

–1

1''1'

1''

2''

н j

f (y )

а)б)

Рис. 1. Линейные и кусочно-линейные варианты оценочных функций:

а) – функции ценности; б) – функции полезности

В общем случае, когда cj  (yj,max + yj,min)/2, целевое значение cj

становится точкой излома ОцФ j-го показателя, а сама функция стано-

вится составной. Первая ее часть f 'н,max(yj), отражающая достижение

цели для предпочтения yj  cj на отрезке шкалы показателя [yj,min, cj],

вычисляется по формуле (1). Вторая часть ОцФ j-го показателя

(yj, cj) – функция f ''н,max(yj), отражающая превышение цели cj, вычис-

ляется по формуле:

н,max

,max

() .









 (5)

В целом ОцФ j-го показателя, моделирующая предпочтение

критерия (yj, cj), представляет собой кусочно-линейную функцию

fн,max. В [21] она названа функцией достижения реальной цели (ДРЦ).

На рисунке 1а первая ее часть f 'н,max(yj) представлена линией 1',

а вторая часть f ''н,max(yj) – линией 1''. Аналогичным образом создаются

функции ДРЦ fн,min(yj), f 'н,min(yj) и f ''н,min(yj) для критерия (yj, cj), пред-

ставленные на рисунке 1а линиями 2, 2' и 2''.

Разновидностью функций достижения цели является плановая

функция s(yj). Область ее значений ограничена сверху двукратным вы-

полнением плана. Относительно невыполнения и перевыполнения

1143

Informatics and Automation. 2020. Vol. 19 No. 6. ISSN 2713-3192 (print)

ISSN 2713-3206 (online) www.ia.spcras.ru

MATHEMATICAL MODELING, NUMERICAL METHODS

_____________________________________________

плана область значений плановой функции также может быть сведена

к биполярной абсолютной шкале [–1, 1].

Значение планового показателя s(yj)  [0, 100) означает невы-

полнение плана, именуемое на языке полезности потерями, а значение

планового показателя s(yj)  (100, 200] означает перевыполнение плана.

Выполнению плана соответствует значение s(yj) = 100%. Особенность

плановой шкалы дает возможность индивидуального планирования

показателей для каждого оцениваемого объекта x  X. Это позволяет

сравнивать несравнимые по ресурсам объекты разной природы по пла-

новой функции s(yj) в одном n-мерном пространстве показателей.

Плановое значение s(yj) j-го показателя задается на

шкале [yj,min, yj,max] (см. рис. 1б). Подобно ОцФ fн,max, соответствующей

критерию (yj, cj), плановая функция s(yj) представляет собой также

кусочно-линейную функцию. Ее составляющие s'(yj) и s''(yj) вычисля-

ются по формулам (4) и (5). На рисунке 1б они представлены линиями

1' и 1''. При трактовке невыполнения плана потерями, которые изме-

ряются на отрицательной полуоси, в формуле (4) нижняя граница

b функции s(yj) b = –1. В частном случае при cj = (yj,max + yj,min)/2 плано-

вая функция проходит через среднюю точку шкалы [yj,min, yj,max] (см.

линию 1 на рис. 1б).

Случай cj  (yj,max + yj,min)/2 означает изменение предпочтения

превосходства в точке cj на втором участке шкалы показателя. При

увеличении числа участков с разными предпочтениями растет и число

кусков кусочно-линейной ОцФ [2]. При устремлении числа участков с

разными предпочтениями к бесконечности получаем гладкую нели-

нейную ОцФ.

Исследуя лотерею как модель предпочтений ЛПР,

фон Нейман и Моргенштерн [1] выявили зависимость типа нелиней-

ности ОцФ от склонности/несклонности ЛПР к риску. Стремление

ЛПР к максимальному выигрышу при достижении цели моделирует-

ся ОцФ, выпуклой вниз (см. линию 1' на рис. 2а). Чем ближе значе-

ние показателя к целевому, тем быстрее возрастает значение ОцФ.

Стратегия несклонности к риску, то есть «довольствования малым»

моделируется ОцФ, выпуклой вверх (см. линию 1'' на рис. 2а). Она

быстро возрастает в начале шкалы, но по мере приближения к цели

скорость возрастания замедляется. В простейшем случае нелиней-

ность таких функций моделируется возведением в соответствующую

степень k линейной нормирующей функции (при k > 1 функция вы-

пукла вниз, а при 0 < k < 1 – выпукла вверх).

Отказ от лотереи трактуется авторами [1] как безразличие

к риску, то есть отсутствие интереса ЛПР к прибыли и к потерям. Это-

1144

Информатика и автоматизация. 2020. Том 19 № 6. ISSN 2713-3192 (печ.)

ISSN 2713-3206 (онлайн) www.ia.spcras.ru

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ И ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА

_____________________________________________

му условию соответствует полезность u(cj) = 0 в точке cj на рисунке 2б.

Область значений функции полезности с учетом потерь является би-

полярной, то есть u: Yj → [–1, 1].

Для уменьшения потерь ЛПР склонен к риску на участке шка-

лы [yj,min, cj), устремляясь к точке безразличия cj (см. кривую 1' на

рис. 2б). Достигнув ее, он может предпочесть несклонность к риску на

участке (cj, yj,max] (см. кривую 1'' на рис. 2б).

Учет склонности/несклонности ЛПР к риску можно использо-

вать для перехода от кусочно-линейной функции полезности в кусоч-

ную нелинейную функцию (см. рис. 2б), возведением ее в степень

k > 0. Дополнительно для представления нелинейной функции полез-

ности с перегибом в целевой точке cj и областью значений [–1, 1] мож-

но использовать логистическую функцию следующего вида:











онл () 1exp .

jjj

ym tyc b





    (6)

j,min

j,max

н j

f (y )

j,min

j,max

–1

1''

22'

2''

н j

f (y )

а)б)

1''

2''

Рис. 2. Нелинейные оценочные функции:

а) – функции ценности; б) – функции полезности

Здесь cj соответствует целевой точке, параметр t определяет

степень нелинейности функции (6) и ее направление: при t > 0 функция

возрастает (соответствует кривой 1'–1'' на рис. 2б), а при t < 0 – убыва-

ет (соответствует кривой 2'–2'' на рис. 2б). Масштабирующие парамет-

ры m и b определяют разброс области значений функции: при m = 1 и

1145

Informatics and Automation. 2020. Vol. 19 No. 6. ISSN 2713-3192 (print)

ISSN 2713-3206 (online) www.ia.spcras.ru

MATHEMATICAL MODELING, NUMERICAL METHODS

_____________________________________________

b = 0 функция имеет своей областью значений отрезок [0, 1], стандарт-

ный для логистических функций, а при m = 2, b = –1 отрезок [–1, 1],

характерный для функций полезности.

Заметим, что переход от задания предпочтений от двух к беско-

нечному числу интервалов увеличивает информативность ФП при

условии соответствия параметров ее нелинейности предпочтениям

ЛПР. Один из способов решения проблемы параметризации типовых

ФП в многомерной модели предпочтений предложен в [26].

5. Оценочные функции, реализующие отношение соответ-

ствия. В отношении соответствия за достижение цели следует принять

истинность предикатов Pr=(yj, cj) = 1 при точечном соответствии

и Pr[ ](yj, [cj,н, cj,в]) = 1 – при интервальном соответствии. Применитель-

но к отношению соответствия больше подходит понятие нормы. Ис-

тинность указанных предикатов означает соответствия значения yj

норме cj (yj = cj) или [cj,н, cj,в] (yj  [cj,н, cj,в]).

Задание нормы через точку cj и отрезок [cj,н, cj,в] на шкале j-го

показателя можно рассматривать как класс его допустимых значений,

а выявление принадлежности классу – как задачу классификации

по принципу «годен/не годен». В этом смысле ОцФ соответствия зна-

чения yj норме cj или отрезку [cj,н, cj,в] примем за функцию принадлеж-

ности н(yj).

Стопроцентная принадлежность объекта x норме по j-му показа-

телю имеет место в точке cj для Pr=(yj, cj) = 1 и на отрезке [cj,н, cj,в]

для Pr[ ](yj, [cj,н, cj,в]) = 1. На рисунке 3а точечная принадлежность пред-

ставлена точкой н(cj) = 1. На рисунке 3б интервальная принадлеж-

ность представлена горизонтальной линией 10.

Вертикальные штриховые линии выделяют подобласти прооб-

разов отображения н, принадлежащие области его

определения [yj,min, yj,max]. Для практических задач представляет инте-

рес не только принадлежность значения показателя норме, но и сте-

пень приближения к ней. В простейшем случае примем линейный за-

кон приближения к норме от границ шкалы [yj,min, yj,max].

Степень приближения к норме от левой границы шкалы

до н(cj) = 1 вычисляется так же, как и для левой нормирующей функ-

ции ограничительного критерия f 'н,max(yj) по формуле (1) с b = 0. Сте-

пень приближения к норме от правой границы шкалы до н(cj) = 1 вы-

числяется по формуле (7):

,max

н,max

,max

() .



  (7)

1146

Информатика и автоматизация. 2020. Том 19 № 6. ISSN 2713-3192 (печ.)

ISSN 2713-3206 (онлайн) www.ia.spcras.ru

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ И ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА

_____________________________________________

j,min

j,max

н j

 (y )

j,min

j,max

j,н

j,в

а)б)

1' 1'

1'' 1''

н j

 (y )

н j

 (c )

Рис. 3. Немонотонные оценочные функции:

а) – треугольная; б) – трапецеидальная

На рисунке 3а левый фронт функции принадлежности н(yj) то-

чечного соответствия норме представлен линией 1', а правый ее

фронт – линией 1''. Для вычисления фронтов функции принадлежности

н(yj) интервального соответствия в формуле (4) cj заменяется на cj,н, а

в формуле (6) – на cj,в. Полученные функции соответствуют треуголь-

ной и трапецеидальной функциям принадлежности, применяемым

в нечёткой классификации.

В работах [27, 28] утверждается, что «на практике гораздо луч-

шие результаты получаются, когда используются простейшие функции

принадлежности: треугольные и трапециевидные». Тем не менее

по аналогии с линейными функциями, реализующими отношение пре-

восходства, для линейных функций соответствия норме также могут

быть введены нелинейные аналоги, как показано на рисунке 4.

j,min

j,max

j,min

j,max

j,н

j,в

а)б)

1' 1'

1'' 1''

н j

 (y )

н j



(y)

н j

 (c )

Рис. 4. Немонотонные нелинейные оценочные функции: а) – точечная норма;

б) – интервальная норма

Нелинейная ОцФ соответствия точечной норме cj задается сле-

дующим образом:

1147

Informatics and Automation. 2020. Vol. 19 No. 6. ISSN 2713-3192 (print)

ISSN 2713-3206 (online) www.ia.spcras.ru

MATHEMATICAL MODELING, NUMERICAL METHODS

_____________________________________________







μ( ; ,) exp .

jj j j

yct tc y (8)

Здесь параметр cj, собственно, значение нормы, а параметр tj > 0

регулирует степень крутизны функции, то есть скорость ее убывания

по мере удаления значения показателя yj от нормы cj. Это выражение

определяет колоколообразную кривую, подобную функции плотности

нормального распределения, при этом норма cj аналогична математи-

ческому ожиданию, а t – дисперсии случайной величины.

ОцФ соответствия интервальной норме [cj,н, cj,в], как и соответ-

ствующая функция на рисунке 3, является составной: поскольку ин-

тервальная норма представляет собой комбинацию двух ограничений

yj  cj,н, и yj  cj,в соответственно. Соответствие цели, определяемой

ограничением «снизу» или «сверху» может быть описано функцией,

которой соответствует логистическая кривая (6) с параметрами при

m = 1 и b = 0. Таким образом, ОцФ соответствия интервальной нор-

ме [cj,н, cj,в], изображенная кривой на рисунке 4б, представляется сле-

дующим выражением:

инв

нн1в2онлн1онлв2

μ(;,,,) (;,) (;,).

j,j ,j j,j j,j

yc tc t f yc t f yc t (9)

Здесь функции f нонл и f вонл соответствуют левому и правому

фронтам, а параметры t1 и t2 регулируют раздельно их нелинейность,

причем t1 > 0, а t2 < 0.

По сравнению с линейными и кусочно-линейными ОцФ нели-

нейные функции обладают такими преимуществами, как большая ин-

формативность за счет нелинейности и простота аналитического опи-

сания, позволяющая учесть склонность ЛПР к риску на разных участ-

ках шкалы относительно заданной цели.

6. Функция отклонения от цели. В [4] функция отклонения

от цели трактовалась как мера недостижимости цели. В настоящей рабо-

те понятие отклонения от цели расширено в направлении превышения

цели и применено к функциям ценности/полезности. Согласно принци-

пу «от противного» функции отклонения дополняют функции достиже-

ния и соответствия цели до 1. На графиках ОцФ этот принцип выража-

ется через симметрию соответствующих функций. На рисунках 1-4 ОцФ

отклонения от цели представлены пунктирными линиями. Отсюда сле-

дует, что принцип дополнительности позволяет применять функции

отклонения от цели для решения задач упорядочения и классификации

объектов наряду с функциями достижения и соответствия цели.

Мера несоответствия цели (норме) отображается функцией от-

клонения d(yj). Чем дальше в любую сторону от цели cj или от границ

1148

Информатика и автоматизация. 2020. Том 19 № 6. ISSN 2713-3192 (печ.)

ISSN 2713-3206 (онлайн) www.ia.spcras.ru

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ И ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА

_____________________________________________

нормы [cj,н, cj,в] отстоит значение yj j-го показателя, тем больше значе-

ние функции d(yj). Функция d(yj) = 0 в том случае, когда имеет место

либо точное соответствие цели (yj = cj), либо принадлежность yj отрез-

ку [cj,min, cj,max]. Таким образом, объекты, оцениваемые по степени не-

достижения цели или несоответствия норме, упорядочиваются относи-

тельно критерия d(yj)  min.

Особый интерес представляет раздельное рассмотрение вариантов

недостижимости и превышения цели, свойственного отношению превос-

ходства с реальными целями. В [23] предложено степень недостижимости

цели оценивать штрафами, измеряемыми на положительной полуоси гра-

фика функции отклонения от цели. Степень превышения цели измеряется

областью поощрений на отрицательной полуоси графика. На рисунке 5а

изображена кусочно-линейная функция отклонения от целевого значения

cj для ограничения «» («не менее» или «снизу»), а на рисунке 5б – для

ограничения «» («не более» или «сверху»).

d(y )



j,max







j,min

а)б)

d(y )

j,1

j,min



j,1

j,2

j,max

Рис. 5. Функции отклонения: а) – снизу (не менее); б) – сверху (не более)

На рисунке 5а значению yj1 < cj сопоставляется штраф dшj1, а на ри-

сунке 5б – поощрение –dпj1. Аналогичным образом значению yj2 > cj на

рисунке 5а сопоставляется поощрение –dпj2, а на рисунке 5б – штраф dшj2.

Относительные отклонения от цели для ограничения «снизу»

вычисляется по формуле:

,max

,min

( ) , если ,

()

() , если .

jjj

dy y c

dy cy

dy y c

















(10)

1149

Informatics and Automation. 2020. Vol. 19 No. 6. ISSN 2713-3192 (print)

ISSN 2713-3206 (online) www.ia.spcras.ru

MATHEMATICAL MODELING, NUMERICAL METHODS

_____________________________________________

Верхняя формула в выражении (10), отражающая превышение

цели, представляет функцию поощрений dп на отрицательной полуоси

графика, а нижняя формула – функцию штрафов dш на положительной

полуоси графика (см. рис. 5а).

Функции поощрений и штрафов для ограничения «свер-

ху» (см. рис. 5б) представлены соответственно в выражении:

,min

,max

( ) , если ,

()

( ) , если .

jjj

dy y c

dy yc

dy y c

















(11)

Как следует из изложенного, функция отклонения d(yj) обобща-

ет две функции – штрафов dш(yj) и поощрений dп(yj), определенных

на противоположных полуосях функции d(yj): d(yj) = dш(yj) + dп(yj),

при этом на тех участках шкалы, где dш(yj) ≠ 0, dп(yj) = 0 и наоборот. Эта

особенность предоставляет дополнительные возможности в оценива-

нии объектов.

В отличие от функций отклонения d(yj), образуемых на основе

предикатов превосходства, функции, образуемые на основе предикатов

соответствия, симметричны относительно цели (нормы), следователь-

но, отклонения от нормы в любую сторону оцениваются только функ-

цией штрафов dш(yj). При линейной трактовке отклонений от нормы на

рисунке 6а,б изображены треугольная и трапецеидальная функции

отклонения от нормы, подобные функциям принадлежности нор-

ме (см. рис. 3а,б).

d(y )

j,max



d

j,min

d

jн

jв

б)

d(y )

yyy

j,min

а)

j,max

d

Рис. 6. Функции отклонения: а) – для ограничения «равно»; б) – для

ограничения «интервал»

1150

Информатика и автоматизация. 2020. Том 19 № 6. ISSN 2713-3192 (печ.)

ISSN 2713-3206 (онлайн) www.ia.spcras.ru

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ И ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА

_____________________________________________

Пунктиром на оси абсцисс показаны участки шкалы, не удо-

влетворяющие соответствующему ограничению. Значению показа-

теля на этом участке начисляется штраф, пропорциональный вели-

чине отклонения.

Для точечного (равно) и интервального ограничений относи-

тельное отклонение значения yj = fj(x) объекта x  X по j-му показателю

от цели cj или отрезка [cн,j, cв,j] всегда положительно (см. рис. 6а,б).

Относительное отклонение значения j-го показателя для точеч-

ного ограничения определяется выражением (12), состоящим из двух

функций штрафов – нижней dш,н и верхней dш,в:























. если ,)(

, если ,)(

)(

max,

рвш,

min,

рнш,

yd (12)

При использовании интервального ограничения yj  [cн,j, cв,j] от-

носительное отклонение внутри отрезка равно 0 (dи(yj) = 0), если все

точки внутри него равноценны. При выходе значения yj за любую гра-

ницу отрезка [cн,j, cв,j] относительное отклонение определяется по фор-

муле (12), где в верхнюю формулу вместо cj подставляется нижняя cн,j,

а нижнюю формулу – верхняя граница cв,j отрезка [cн,j, cв,j].

Следует отметить, что функции отклонения от нормы также мо-

гут быть преобразованы в нелинейные варианты подобно функциям

достижения цели, изображенным на рисунках 2 и 4, дополнением до

единицы соответствующих нелинейных функций соответствия.

В [4] требованию максимизации полезности показателя проти-

вопоставлялась минимизация расстояния до заданной точки в много-

мерном пространстве, а аддитивной обобщающей функции — мини-

максный критерий для выбора объекта с наименьшим из максималь-

ных отклонений от цели. Отсюда делался вывод о ненужности весовых

коэффициентов, используемых в АОФ. Однако АОФ может использо-

ваться и для нахождения обобщенного отклонения от вектора целей в

тех случаях, когда необходимо учитывать важность показателей. Ре-

зультирующее отклонение d*(x) объекта x  X от цели по всем видам

ограничений вычисляется по формуле:

*н в р и

1111

() () () () ().

luse

jjjj

jj jj jj jj

jjjj

dx d y d y d y d y

wwww



   



(13)

1151

Informatics and Automation. 2020. Vol. 19 No. 6. ISSN 2713-3192 (print)

ISSN 2713-3206 (online) www.ia.spcras.ru

MATHEMATICAL MODELING, NUMERICAL METHODS

_____________________________________________

Здесь ()

 — функция отклонения, заданная для j-го показа-

теля в соответствии с критерием, сформулированным для этого пока-

зателя,   {н, в, р, и}, а yj = fj(x) – значение объекта x  X по j-му пока-

зателю. Верхние индексы сумм соответствуют количеству показателей

с заданным типом ограничения, причем l + u + s + e = n, а n – общее

количество показателей. Веса показателей удовлетворяют условию

нормировки:





Для оценивания суммарного штрафа d*ш(x) для объекта x  X

в сомножителях первых двух сумм обобщающей функции отклоне-

ния (10) используются только соответствующие функции штрафов из

формул (10-12), а для оценивания суммарной премии d*п(x) – соответ-

ствующие функции штрафов из формул (7, 8). При этом используются

только 2 первых члена выражения (13), так как только отклонения

для ограничений «снизу» и «сверху» могут иметь ненулевые значения

функции поощрения dп(yj):

*н

п, п,

() () ().

dx x x

wd wd



 



(14)

Требованию минимизации отклонения от цели соответствует

целевая функция: d*(x)  min.

Рассмотрим типовые задачи упорядочения по функциям от-

клонения.

1. Соответствие норме. Объект x удовлетворяет всем ограни-

чениям, если d*ш(x) = 0, что соответствует решению задачи отбора или

положительному результату контроля.

2. Отклонение от цели.

a. Средневзвешенное отклонение. Вычисляется по форму-

ле (13) с сомножителями в первых двух суммах, вычисляемых по фор-

мулам (10) и (11) – и по штрафам, и по премиям (алгебраические сум-

мы первых двух членов формулы).

b. Лучший из худших. Отклонение вычисляется по формуле:

ммх 1, 1,

() minmax( ( )).

ijj

dx dy





 (15)

3. Упорядочение

a. По штрафам. Общий штраф вычисляется по формуле (13)

с сомножителями в первых двух суммах, в которых используются

только штрафы из формул (10-12) – отклонение только по штра-

1152

Информатика и автоматизация. 2020. Том 19 № 6. ISSN 2713-3192 (печ.)

ISSN 2713-3206 (онлайн) www.ia.spcras.ru

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ И ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА

_____________________________________________

фам, d*ш(x)  min.

b. По премиям. Общая премия вычисляется по формуле (14) с

сомножителями в первых двух суммах, вычисляемых по премиям из

формул (10, 11) – отклонение только по премиям, d*п(x)  min.

Упорядочение по штрафам и премиям можно использовать для

реализации метода ДИЦ, если цель cj ставить на границах

шкал (cj = yj,min для yj  cj) и (cj = yj,max для yj  cj) для штрафов и на проти-

воположных границах – для премий.

7. Методы функционального выбора. Применим рассмотренные

выше свойства ОцФ для систематизации использующих их методов. По

отношению к форме задания предпочтения ЛПР разделим ОцФ на две

группы: по заданию критерия или функции полезности. Первая группа

характеризуется заданием целевого значения показателя – на границах

или внутри его шкалы. По отношению к цели разделим первую группу на

две подгруппы: по функции достижения цели (ДЦ) и функции отклонения

от цели (ОЦ). В первую подгруппу входят методы (см. рис. 7):

1. Метод достижения идеальной цели (ДИЦ).

2. Метод достижения реальной цели (ДРЦ).

3. Плановый метод.

ДИЦ

ДРЦ

к-л ФП

Отношение

к цели

Точечна я

МФВ

Дост ижение И де альная

Реальная

Плановый

Матричный

ФП

Вид целиФорма

предпочтения

Отклонение ОЦ

Метод

Сравнительная

Крите рий

Оценка

Учёт

склонности

к риску тп Ф П

Да

нл ФП

Нет

Метод

создания

Выбор ФП

По точка м

План

Рис. 7. Классификация методов ФВ

1153

Informatics and Automation. 2020. Vol. 19 No. 6. ISSN 2713-3192 (print)

ISSN 2713-3206 (online) www.ia.spcras.ru

MATHEMATICAL MODELING, NUMERICAL METHODS

_____________________________________________

Модели предпочтений первых двух методов формируются пу-

тем задания целевых и ограничительных критериев соответственно.

Плановый метод отличается от метода ДРЦ отображением значений

показателей на шкалу [0%, 200%] с sj(cji) = 100% и заданием индивиду-

ального планового значения cji по j-му показателю для каждого i-го

оцениваемого объекта, Ni ,1.

ОцФ, применяемые в методах достижения цели, подлежат мак-

симизации. Значения обратных по форме функций отклонения от цели,

наоборот, подлежат минимизации. По форме и знаку они дополни-

тельны по отношению к функциям ДЦ и образуют семейство мето-

дов, использующих различные варианты функции отклонения от цели.

Целевые значения показателей задаются в методах ДИЦ, ДРЦ и пла-

новом методе. В методе ДИЦ целевое значение совпадает с одной из

границ шкалы показателя. По отношению к цели методы достижения

цели и отклонения от цели решают противоположные задачи и, следо-

вательно, дополнительны друг к другу.

Вторую группу методов образуют методы теории многомер-

ной полезности:

1. Метод с кусочно-линейной функцией полезности (к-л НП).

2. Метод с типовыми функциями полезности (тп ФП).

3. Метод с нелинейной функцией полезности (нл ФП).

Они различаются способами создания функций полезности.

Функции полезности в методах 2 и 3 строятся с учетом склонно-

сти/несклонности ЛПР к риску. Модель предпочтений метода 2 проще

модели метода 3 по построению, поскольку создание ФП показателя

заменяется выбором типовой функции полезности. Однако усреднен-

ные значения нелинейности типовых функций требуют уточнений,

выполняемых в процессе отладки [9].

Характеристики моделей предпочтений, используемых пере-

численными методами, представлены в таблице 1.

Принцип дополнительности отклонения от полезности имеет

место и для методов многомерной теории полезности по отношению

ко всем точкам функций полезности. В расширенной трактовке по-

лезности к методам, использующим функцию полезности, относится

матричный метод [3]. Он использует для вычисления дискрет-

ной функции приоритетов матрицу парных сравнений. К значени-

ям, вычисляемым на основе МПС, по умолчанию предъявляет-

ся требование максимизации. Эти значения используются и как ве-

совые коэффициенты обобщающей функции, и как

полезность сопоставляемых объектов.

1154

Информатика и автоматизация. 2020. Том 19 № 6. ISSN 2713-3192 (печ.)

ISSN 2713-3206 (онлайн) www.ia.spcras.ru

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ И ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА

_____________________________________________

Таблица 1. Характеристики моделей предпочтений рейтинговых методов

№ п/п Число

интервалов Цель Склонность

к риску

Функция

полезности

Метод

оценивания

1 1 ИЦ – линейная ДИЦ

2 2 РЦ – к-л с целью ДРЦ

3 2 план – плановая Плановый

4 >2 max – к-л ФП к-л ФП

5 1 max + типовая тп ФП

6 >2 max + нелинейная нл ФП

Все методы, представленные на рисунке 7, были реализованы в

системе выбора и ранжирования СВИРЬ, разработанной в Петербург-

ском государственном университете путей сообщения [29]. Эта систе-

ма допускает применение совместного задания предпочтений как в

форме критериев, так и в форме функций полезности, получаемых раз-

личными способами. Пример комплексного применения методов при

решении задачи выбора жилья был продемонстрирован в [30].

8. Методика обоснования вариантов использования мето-

дов ФВ. На выбор метода оценивания объектов влияет размерность

решаемой задачи, пропорциональная числу объектов N и числу ха-

рактеризующих их показателей n. Для определения границы ее

сложности примем N = n = 7. Это число характеризует усредненную

способность человека к умозрительному решению задач. Согласно

формуле (1) трудоемкость решения такой задачи составит Q = 147

( 150). Таким образом, при превышении этой величины целесооб-

разно для оценивания объектов применять рейтинговые методы. Из

рейтинговых методов в настоящей работе выделены методы функ-

ционального выбора, ориентированные на упорядочение объектов,

характеризуемых неоднородными показателями.

Помимо размерности задачи на выбор метода ФВ влияет ком-

петенция ЛПР в оцениваемой предметной области. Она проявляется

в его способности задать целевое значение показателя и определить

полезность на шкалах показателей на основе склонно-

сти/несклонности к риску [1]. Из этих соображений может быть

предложен следующий подход к выбору метода ФВ для решения

задачи упорядочения объектов высокой размерности.

1. Если ЛПР не обладает информацией о целевых значениях

показателей или они не имеют значения в решаемой задаче, выбирает-

ся метод ДИЦ. Этот метод отражает «жадный» подход, заключающий-

ся в желании достичь граничных значений всех показателей.

2. Если ЛПР может задать целевые значения показателей и их

приемлемую полезность (от > 0,5 до 1,0), выбирается метод ДРЦ. Этот

1155

Informatics and Automation. 2020. Vol. 19 No. 6. ISSN 2713-3192 (print)

ISSN 2713-3206 (online) www.ia.spcras.ru

MATHEMATICAL MODELING, NUMERICAL METHODS

_____________________________________________

метод отражает рациональный подход к оцениванию объектов, заклю-

чающийся в формулировании разумных требований к показателям.

3. В случае несравнимости оцениваемых объектов по ресурс-

ным показателям применяется плановый метод, как отображение ме-

тода ДРЦ на процентную шкалу [0%, 100%] с sj(cji) = 100%. Поскольку

необходимо задать целевое значение cji для i-го оцениваемого объекта

1, ,iN трудоёмкость построения иерархической модели этого метода

оценивается по формуле (3).

4. Если ЛПР способен задать приемлемую полезность для не-

скольких промежуточных точек на шкале показателя, выбирается ме-

тод с кусочно-линейной функцией полезности (к-л ФП).

5. Если ЛПР способен определить свою склон-

ность/несклонность к риску на двух интервалах шкалы j-го показателя

по обе стороны от целевого значения cj, он выбирает одну из типовых

функций метода тп ФП.

6. Если ЛПР способен определить свою склон-

ность/несклонность к риску на нескольких интервалах шкалы показа-

теля, выбирается метод с нелинейными ФП (нл ФП).

Из семейства методов отклонения от цели практический интерес

представляют методы с явно выраженной целью, дополнительные

по отношению к методам ДИЦ, ДРЦ и плановому методу.

При наличии интервальных целей [cj,н, cj,в], 1, ,

n принадлеж-

ность фактических значений показателей заданным интервалам позволяет

выполнить параметрический контроль оцениваемых объектов

по принципу «годен/не годен». Практический интерес представляет также

упорядочение объектов по невыполнению и перевыполнению заданного

плана (цели). Для этой цели используются полуоси функции отклонений

по штрафам и отклонениям. Эта задача имеет многочисленные примене-

ния, такие, как оценка результатов клинических анализов (например –

крови) в медицине, параметрический контроль в технике, непрерывное

наблюдение (мониторинг) за объектами любой природы и пр.

Подытоживая рекомендации, следует подчеркнуть, что в основу

рекомендаций по применению рейтинговых методов положены компе-

тенции ЛПР в оцениваемой предметной области. Более того, компетен-

ции ЛПР могут быть различными в отношении разных свойств оценива-

емого объекта. А это означает, что в рамках одной модели ММО ЛПР

может применять различные оценочные функции для разных показате-

лей в зависимости от степени исследования оцениваемого свойства объ-

екта. В целом, чем более глубоким является знание предметной области

и чем больше времени имеется для создания модели оценивания, тем

большее доверие должны вызывать результаты оценивания. Другим

1156

Информатика и автоматизация. 2020. Том 19 № 6. ISSN 2713-3192 (печ.)

ISSN 2713-3206 (онлайн) www.ia.spcras.ru

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ И ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА

_____________________________________________

способом повышения доверия к результатам является комплексное при-

менение рейтинговых методов для решения поставленной задачи, что

позволяет сравнивать результаты, полученные разными методами.

9. Пример. Рассмотрим следующий пример использования

функций отклонения для задач параметрического контроля, решаемых

в медицине. Одной из задач такого типа является задача проверки со-

стояния здоровья пациента на основе результатов различных лабора-

торных исследований, например, клинического или биохимического

анализа крови. Соответствие состояния пациента клинической норме

задается набором референсных значений измеряемых показателей.

Под референсным значением показателя понимается медицин-

ский термин, употребляемый при проведении и оценке лабораторных

исследований, который определяется на основе среднего значения

определенного лабораторного показателя, полученного в результате

массовых обследований здорового населения.

Клинический анализ крови позволяет оценить содержание гемо-

глобина в системе красной крови, количество эритроцитов, цветовой по-

казатель, количество лейкоцитов и тромбоцитов, рассмотреть лейкограм-

му и измерить скорость оседания эритроцитов (СОЭ). С помощью данно-

го анализа можно выявить анемии, воспалительные процессы и так далее.

В упрощенном примере оценим отклонение состояния здоровья

от клинической нормы для пяти условных пациентов по таким основ-

ным показателям, как количественное содержание кровяных телец в

венозной крови, а также содержанию гемоглобина и СОЭ. Исходные

данные приведены в таблице 2.

Таблица 2. Результаты клинического анализа крови пяти пациентов

Пациенты

Лейкоциты,

10^9 кл/л

Эритроциты,

10^12 кл/л

Гемоглобин,

г/л

Гематокрит,

Тромбоциты,

10^9 кл/л

Лимфоциты,

СОЭ, мм/ч

Пациент 1 3,9 4,4 100 40 160 35 9,0

Пациент 2 4,2 5,0 36 42 152 26 7,0

Пациент 3 7,7 2,7 18 50 390 41 6,5

Пациент 4 9,4 5,3 120 27 100 30 8,0

Пациент 5 6,6 7,2 143 41 400 25 8,3

Референсные значения показателей крови

[4, 9] [4,3, 5,5] [20, 140] [39, 49] [150, 400] [25, 40] [0, 8]

Шкалы показателей

[0, 10] [0, 10] [0, 200] [0, 100] [0, 500] [0, 100] [0, 50]

1157

Informatics and Automation. 2020. Vol. 19 No. 6. ISSN 2713-3192 (print)

ISSN 2713-3206 (online) www.ia.spcras.ru

MATHEMATICAL MODELING, NUMERICAL METHODS

_____________________________________________

В нижней части таблицы приведены референсные значения, со-

ответствующие нормальному (здоровому) состоянию пациента,

и шкалы показателей, указывающие на теоретически возможный раз-

брос значений каждого из показателей.

Учитывая разные шкалы и единицы измерения показателей кро-

ви, вычислим относительные отклонения от нормы. С учетом того, что

все требования заданы только интервальными нормами, для вычисле-

ния отклонений будем использовать функцию, представленную на ри-

сунке 6б, и формулу (12) для нижней и верхней границ нормы. Откло-

нение от нормы d(yj) = 0 отсутствует при соответствии норме [cj,н, cj,в],

заданной соответствующими референсными значениями.

Эксперимент 1. Оценим состояние здоровья пациентов по всем

показателям, применив к частным отклонениям от нормы обобщаю-

щую функцию (15). Максимальное отклонение от нормы у каждого

пациента помечено жирным шрифтом в таблице 3. Они дублированы в

столбце d*mm(x).

Таблица 3. Ранжирование пациентов по минимаксному отклонению от нормы

d(y1)d(y2)d(y3)d(y4)d(y5) d(y6)d(y7)d*mm(x) Ранг

Пациент 1 0,03 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,02 0,03 2

Пациент 2 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1

Пациент 3 0,00 0,37 0,10 0,02 0,00 0,02 0,00 0,37 3

Пациент 4 0,40 0,00 0,00 0,31 0,33 0,00 0,00 0,40 5

Пациент 5 0,00 0,38 0,05 0,00 0,00 0,00 0,01 0,38 4

В последнем столбце таблицы 3 пациенты упорядочены в

направлении увеличения максимальных отклонений от нормы. Соот-

ветствие норме по всем показателям обнаружено только у пациента 2.

Достоинством применения обобщающей функции (15) является акцен-

тирование внимания ЛПР на наихудшем показателе у каждого объекта.

Эксперимент 2. Оценим состояние здоровья пациентов по

всем показателям, применив к частным отклонениям от нормы

обобщающую функцию (13). С учетом того, что все требования за-

даны только интервальными нормами, в этой формуле используется

только последняя сумма частных отклонений от нормы. В отсут-

ствие экспертной информации о важности показателей для оценива-

ния состояния здоровья пациентов, весовые коэффициенты всех по-

казателей в формуле (13) приняты равными: wj = 1/7, j = 1, …, 7. Ре-

зультаты оценивания приведены в таблице 4. Результаты

упорядочения пациентов по минимаксной и усредняющей обобща-

ющей функциям различаются в местах пациентов 3 и 5.

1158

Информатика и автоматизация. 2020. Том 19 № 6. ISSN 2713-3192 (печ.)

ISSN 2713-3206 (онлайн) www.ia.spcras.ru

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ И ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА

_____________________________________________

Таблица 4. Ранжирование пациентов по усредненному отклонению от нормы

d(y1)d(y2)d(y3)d(y4)d(y5)d(y6)d(y7)d*(x) Ранг

Пациент 1 0,03 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,02 0,007 2

Пациент 2 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,000 1

Пациент 3 0,00 0,37 0,10 0,02 0,00 0,02 0,00 0,073 4

Пациент 4 0,40 0,00 0,00 0,31 0,33 0,00 0,00 0,149 5

Пациент 5 0,00 0,38 0,05 0,00 0,00 0,00 0,01 0,062 3

Небольшое различие в полученных рейтингах пациентов поз-

воляет в принципе согласиться с утверждением автора [4] о прием-

лемости замены обобщающих функций с весовыми коэффициентами

минимаксной обобщающей функцией. Однако исключение из рас-

смотрения показателей, у которых отклонения от нормы

не максимальны, влияет на обобщенную оценку их здоровья. Это

тем более следует учитывать при диагностике болезни, зависящей от

разной важности показателей.

Эксперимент 3. Упорядочим пациентов по степени сопротивля-

емости организма инфекциям. Из принятых для экспериментов показа-

телей для определения иммунитета организма к инфекциям врач об-

ращает внимание прежде всего на соответствие нормам лейкоцитов

и лимфоцитов. Назначим весовые коэффициенты для них соответ-

ственно w1 = 0,5 и w6 = 0,4, оставив весовые коэффициенты прочих

факторов равными, wj = 0,02.

Результаты упорядочения пациентов по состоянию их иммуни-

тета с применением средневзвешенных оценок, вычисленных по фор-

муле (13), приведено в таблице 5.

При указанных условиях пациент 5 переместился с третьего

на второе место, а пациент 1 – со второго на третье в силу того, что

у пациента 1 большее отклонение от нормы по наиболее важному фак-

тору «уровень лейкоцитов», а у пациента 5, несмотря на наличие от-

клонений от нормы по менее важным факторам, наблюдается нулевое

отклонение от нормы по обоим наиболее важным факторам.

Таблица 5. Ранжирование пациентов по средневзвешенному отклонению

от нормы

d(y1)d(y2)d(y3)d(y4)d(y5) d(y6)d(y7)d*(x) Ранг

Пациент 1 0,03 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,02 0,013 3

Пациент 2 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,000 1

Пациент 3 0,00 0,37 0,10 0,02 0,00 0,02 0,00 0,017 4

Пациент 4 0,40 0,00 0,00 0,31 0,33 0,00 0,00 0,213 5

Пациент 5 0,00 0,38 0,05 0,00 0,00 0,00 0,01 0,009 2

1159

Informatics and Automation. 2020. Vol. 19 No. 6. ISSN 2713-3192 (print)

ISSN 2713-3206 (online) www.ia.spcras.ru

MATHEMATICAL MODELING, NUMERICAL METHODS

_____________________________________________

Рассмотрение этого примера показывает широкие возможности

практического применения методов отклонения от цели в отличие от

утверждений автора работы [4]. Во-первых, методы отклонения от це-

ли не ограничиваются применением отношения превосходства. Во-

вторых, минимаксная обобщенная оценка не исключает, а дополняет

усредняющую и средневзвешенную обобщающие функции.

Таким образом, применение методов отклонения от цели рас-

ширяет диапазон задач, решаемых с применением методов многомер-

ного оценивания объектов любой природы и назначения. При трактов-

ке объектов временными интервалами с применением методов откло-

нения решается, в частности, задача идентификации аритмии.

10. Заключение. В основу систематизации методов многомер-

ного оценивания положено понятие цели, присущее как формальной

модели критерия, так и оценивающим функциям показателей. Из мно-

гообразия методов ММО для систематизации выделены рейтинговые

методы, использующие для упорядочения объектов частные и обоб-

щенные ОцФ показателей.

Показано соотношение методов достижения цели и отклоне-

ния от цели для отношений превосходства и соответствия. Отмече-

на особенность функций отклонения от реальной цели с обла-

стью значений [–1, 1], которая позволяет выполнять как совместное,

так и раздельное упорядочение объектов по штрафам и поощрениям.

Сходство ОцФ по областям определения и значений дало осно-

вание для систематизации рейтинговых методов ММО относительно

разновидностей и способов задания целевых значений показателей.

Линейная нормирующая функция критерия признана за частный слу-

чай нелинейной функции ценности, а функция ценности — за частный

случай функции полезности. Показано влияние степени склонности/не

склонности ЛПР к риску на нелинейность ОцФ. Предложены общие

рекомендации по выбору рейтинговых методов относительно трудо-

емкости создания модели ММО. На конкретном примере показана

правомерность применения наряду с минимаксным способом обобще-

ния частных функций отклонения от цели усредняющей и средневзве-

шенной обобщающих функций. Показано, что варьирование весовыми

коэффициентами средневзвешенной обобщающей функции расширяет

спектр задач, решаемых с применением функций отклонения от цели.

Авторы выражают благодарность д.т.н., профессору Б. В. Соко-

лову за поддержку исследований и полезные советы, данные при под-

готовке работы к публикации.

Литература

1. Neumann J.V., Morgenstern O. Theory of Games and Economic Behavior // Princeton

University Press. 1953. 586 p.

2. Keeney R.L., Raiffa H. Decisions with Multiple Objectives: Preferences and Value

Tradeoffs // Wiley. 1976. 452 p.

3. Saaty T.L. The Analytic Hierarchy Process: Planning, Priority Setting, Resources

Allocation // Mcgraw-Hill. 1980. 586 p.

1160

Информатика и автоматизация. 2020. Том 19 № 6. ISSN 2713-3192 (печ.)

ISSN 2713-3206 (онлайн) www.ia.spcras.ru

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ И ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА

_____________________________________________

4. Wierzbicki A.P. The Use of Reference Objectives in Multiobjective Optimization //

Multiple Criteria Decision Making Theory and Application. Lecture Notes in Eco-

nomics and Mathematical Systems. 1980. vol. 177. pp. 468–486.

5. Hwang S.L, Yoon K. Multiple Attributes Decision Making Methods and Applica-

tions // Berlin Heidelberg. 1981. 269 p.

6. Семенов С.С. Оценка качества и технического уровня сложных систем: практика

применения метода экспертных оценок // М.: Ленанд. 2015. 350 с.

7. Abastante F. et al. Choice architecture for architecture choices: evaluating social

housing initiatives putting together a parsimonious AHP methodology and the Cho-

quet integral // Land Use Policy. 2018. vol. 78. pp. 748–762.

8. De Boni A., Roma R., Ottomano Palmisano G. Fishery Policy in the European Union:

A Multiple Criteria approach for assessing sustainable management of Coastal Devel-

opment Plans in Southern Italy // Ocean and Coastal Management. 2018. vol. 163.

pp. 11–21.

9. Greco S., Ishizaka A., Matarazzo B., Torrisi G. Stochastic multiattribute acceptability

analysis: an application to the ranking of Italian regions // Regional Studies. 2018.

vol. 52.n. 4. pp. 585–600.

10. Бураков Н.А., Бухвальд Е.М., Кольчугина А.В. Ранжирование субъектов россий-

ской федерации на основе регионального индекса экономического развития //

Федерализм. 2019. № 3. С. 149–171.

11. Ogryszak W. et al. Large-scale periodic routing problems for supporting planning of

mobile personnel tasks // Advances in Intelligent Systems and Computing. 2018.

vol. 559. pp. 205–216.

12. Vergara-Solana F., Araneda M., Ponce-Díaz G. Opportunities for strengthening aqua-

culture industry through multicriteria decision-making // Reviews in Aquaculture.

2019. vol. 11. no. 1. pp. 105–118.

13. Хабарова Д.С. Обзор программных комплексов многокритериальной оптимиза-

ции // Прикладная информатика. 2013. № 2(44). С. 102–112.

14. Velasquez M., Hester P.T. An Analysis of Multi-Criteria Decision Making Methods //

International Journal of Operations Research. 2013. vol. 10. no. 2. pp. 56–66.

15. Микони С.В., Соколов Б.В., Юсупов Р.М. Квалиметрия моделей и полимодель-

ных комплексов // М.: РАН. 2018. 314 с.

16. Saaty T.L. The analytic hierarchy and analytic network measurement processes: Ap-

plications to decisions under Risk // European Journal of Pure and Applied Mathemat-

ics. 2008. vol. 1. no. 1. pp. 122–196.

17. Roy B. Classement et choix en présence de points de vue multiples (la méthode

ELECTRE) // La Revue d'Informatique et de Recherche Opérationelle (RIRO). 1968.

vol. 8. pp. 57–75.

18. Brans J.P., Vincke P. A preference ranking organisation method: The PROMETHEE

method for MCDM // Management Science. 1985. vol. 31. no. 6. pp. 647–656.

19. Ларичев О.И. Вербальный анализ решений // М.: Наука. 2006. 181 c.

20. Шакиров В.А., Панкратьев П.С. Методика многокритериального двухуровнево-

го анализа пунктов размещения электростанций // Искусственный интеллект и

принятие решений. 2017. № 1. С. 69–83.

21. Микони С.В. Теория принятия управленческих решений // CПб.: Лань. 2015.

448 с.

22. Bordley R., LiCalzi M. Decision Analysis with Targets instead of Utilities // Decisions

in Economics and Finance. 2000. vol. 23. no. 1. pp. 53–74.

23. Mikoni S.V. Method of choice by approximation to a pattern // Proceedings of the 4th

International Conference NITE’2000. 2000. vol. 1. pp. 156–159.

24. Перегудов Ф.И., Тарасенко Ф.П. Основы системного анализа: Учеб. 2-е изд.,

доп. // НТЛ. 1997. 396 с.

1161

Informatics and Automation. 2020. Vol. 19 No. 6. ISSN 2713-3192 (print)

ISSN 2713-3206 (online) www.ia.spcras.ru

MATHEMATICAL MODELING, NUMERICAL METHODS

_____________________________________________

25. Микони С. В. Аксиоматика методов многокритериальной оптимизации на ко-

нечном множестве альтернатив. // Труды СПИИРАН. 2016. Вып. 44. C. 198–214.

26. Микони С.В., Бураков Д.П. Отладка типовых одномерных функций полезности в

модели многомерной полезности // Известия Петербургского университета пу-

тей сообщения. 2019. Т. 16(2). С. 131–144.

27. Kosheleva O., Kreinovich V., Shahbazova S. Type-2 Fuzzy Analysis Explains Ubiqui-

ty of Triangular and Trapezoid Membership Functions // Recent Developments and

the New Direction in Soft-Computing Foundations and Applications. Studies in Fuzz-

iness and Soft Computing. 2018. vol. 393. pp. 63–75.

28. Gholamy A., Kosheleva O., Kreinovich V. How to explain the efficiency of triangular

and trapezoid membership functions in applications to design // Онтология проекти-

рования. 2019. Т. 9. № 2(32). С. 253–260.

29. Сайт научной школы «Многокритериальный выбор на конечном множестве

альтернатив». URL: http://mcd-svir.ru/ (дата обращения: 26.08.2020).

30. Mikoni S.V. Application of the Universal Decision Support System SVIR to Solving

Urban Problems // Digital Transformation and Global Society. DTGS 2016. Commu-

nications in Computer and Information Science. 2016. vol. 674. 016. pp. 1–14.

Микони Станислав Витальевич – д-р техн. наук, профессор, ведущий научный со-

трудник, лаборатория информационных технологий в системном анализе и моделирова-

нии, Федеральное государственное бюджетное учреждение науки «Санкт-

Петербургский Федеральный исследовательский центр Российской академии

наук» (СПб ФИЦ РАН). Область научных интересов: системный анализ, принятие реше-

ний, интеллектуальные технологии. Число научных публикаций – 320. smikoni@mail.ru;

14-я линия В.О., 39, 199178, Санкт-Петербург, Россия; р.т.: +7 (812) 328-01-03.

Бураков Дмитрий Петрович – канд. техн. наук, старший научный сотрудник, лабора-

тория информационных технологий в системном анализе и моделировании, Федераль-

ное государственное бюджетное учреждение науки «Санкт-Петербургский Федеральный

исследовательский центр Российской академии наук» (СПб ФИЦ РАН). Область науч-

ных интересов: системный анализ, теория принятия решений. Число научных публика-

ций – 35. burakovdmitry8@gmail.com; 14-я линия В.О., 39, 199178, Санкт-Петербург,

Россия; р.т.: +7 (812) 328-0103.

Поддержка исследований. Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (про-

екты № 19-08-00989-а, № 20-08-01046) в рамках бюджетной темы № 0073–2019–0004.

1162

Информатика и автоматизация. 2020. Том 19 № 6. ISSN 2713-3192 (печ.)

ISSN 2713-3206 (онлайн) www.ia.spcras.ru

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ И ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА

_____________________________________________

DOI 10.15622/ia.2020.19.6.1

S. MIKONI, D. BURAKOV

JUSTIFICATION AND CLASSIFICATION OF EVALUATION

FUNCTIONS USED IN RATING METHODS OF MULTI-CRITERIA

CHOICE

Mikoni S., Burakov D. Justification and Classification of Evaluation Functions used in

Rating Methods of Multi-criteria Choice.

Abstract. The recommendations on the application of methods of multidimensional

estimation (MDE) of objects, proposed in the paper Velasquez M., Hester P.T. «An Analysis of

Multi-Criteria Decision Making Methods», are analyzed. The weak substantiation of these

recommendations, resulting from the superficial systematization of MDE methods, is noted.

The recommendations are focused not on the classes of MDE methods, but on various areas of

activity. However, in each area of activity there is a wide range of tasks for evaluating objects

of various nature. In this regard, the urgency of a more thorough systematization of MDE

methods is recognized.

Taking into account the diversity of MDE methods, it was decided to limit ourselves to the

systematization of methods that use evaluation functions (EF), and on this basis to offer

general recommendations for their application.

The review of MDE methods from a unified position required clarification of the

terminology used in them. On the basis of the formal model of the criterion, the relationship

between the concepts of "preference", "criterion" and "indicator" is established. To highlight

the methods that use evaluation functions, the concept of the target value of the indicator is

introduced. Regarding its location on the indicator scale, the concepts of ideal and real goals

are introduced. The criteria corresponding to these goals are divided into target and restrictive

ones. Using the proposed terminology, a review of the most well-known MDE methods was

carried out. Of these, a group of methods using evaluation functions is distinguished.

Variants of evaluation functions created on the basis of the criterion and postulates of the

theory of value and utility are considered. On the basis of the similarity of the domains of

definition and the meanings of EFs, the relationship between them is established. Regarding

the target value of the indicator, they are divided into the functions of achieving the goal and

functions of deviation from the goal. The mutual complementarity of these functions is shown.

A group of functions of deviation from the goal is highlighted, which allows us to order objects

separately according to penalties and rewards in relation to achieving a real goal. The concept

of norm is introduced for the correspondence relation. On the example of medical analyzes, the

practical application of deviation functions from the norm is shown using both the minimax

and the weighted average generalizing function to establish a rating on a set of objects.

The similarities and differences of the EFs revealed in the course of the study form the

basis for the classification of the MDE methods that use them. The difference in EFs in terms

of the complexity of creation is reflected in the proposed methodology for their application.

Keywords: Preference, Indicator, Criterion, Target Value, Evaluation Function, Value

Function, Utility Function, Goal Achievement, Deviation from the Goal, Functional Choice,

Multidimensional Evaluation of Objects, Rating Method

Mikoni Stanislav – Ph.D., Dr.Sci., Professor, Leading Researcher, Laboratory of Information

Technologies in the System Analysis and Modeling, St.-Petersburg Federal Research Center of

the Russian Academy of Sciences (SPb FRC RAS). Research interests: system analyses, deci-

sion making, intellect technologies. The number of publications – 320. smikoni@mail.ru; 39,

14-th Line V.O., 199178, St. Petersburg, Russia; office phone: +7 (812) 328-01-03.

1163

Informatics and Automation. 2020. Vol. 19 No. 6. ISSN 2713-3192 (print)

ISSN 2713-3206 (online) www.ia.spcras.ru

MATHEMATICAL MODELING, NUMERICAL METHODS

_____________________________________________

Burakov Dmitry – Ph.D., Senior Researcher, Laboratory of Information Technologies in

System Analysis and Modeling, St.-Petersburg Federal Research Center of the Russian Acad-

emy of Sciences (SPb FRC RAS). Research interests: system analysis, decision-making theory.

The number of publications – 35. burakovdmitry8@gmail.com; 39, 14-th Line V.O., 199178,

St. Petersburg, Russia; office phone: +7 (812) 328-0103.

Acknowledgements. This research is supported by RFBR (grants No 19–08–00989–а, No 20–

08–01046) within the budgetary theme No 0073–2019–0004.

References

1. Neumann J.V., Morgenstern O. Theory of Games and Economic Behavior. Princeton

University Press. 1953. 586 p.

2. Keeney R.L., Raiffa H. Decisions with Multiple Objectives: Preferences and Value

Tradeoffs. Wiley. 1976. 452 p.

3. Saaty T.L. The Analytic Hierarchy Process: Planning, Priority Setting, Re-sources

Allocation. Mcgraw-Hill. 1980. 586 p.

4. Wierzbicki A.P. The Use of Reference Objectives in Multiobjective Optimization.

Multiple Criteria Decision Making Theory and Application. Lecture Notes in Eco-

nomics and Mathematical Systems. 1980. vol. 177. pp. 468–486.

5. Hwang S.L, Yoon K. Multiple Attributes Decision Making Methods and Applications.

Berlin Heidelberg. 1981. 269 p.

6. Semenov S.S. Ocenka kachestva i tekhnicheskogo urovnya slozhnyh sistem: praktika

primeneniya metoda ekspertnyh ocenok [Assessment of the quality and technical level

of complex systems: the practice of applying the method of expert assessments].

M.: Lenand. 2015. 350 p. (In Russ.).

7. Abastante F. et al. Choice architecture for architecture choices: evaluating social hous-

ing initiatives putting together a parsimonious AHP methodology and the Choquet in-

tegral. Land Use Policy. 2018. vol. 78. pp. 748–762.

8. De Boni A., Roma R., Ottomano Palmisano G. Fishery Policy in the European Union:

A Multiple Criteria approach for assessing sustainable management of Coastal Devel-

opment Plans in Southern Italy. Ocean and Coastal Management. 2018. vol. 163.

pp. 11–21.

9. Greco S., Ishizaka A., Matarazzo B., Torrisi G. Stochastic multiattribute accept-ability

analysis: an application to the ranking of Italian regions. Regional Studies. 2018.

vol. 52. no. 4. pp. 585–600.

10. Burakov N.A., Buhval'd E.M., Kol'chugina A.V. [Ranking of the subjects of the Rus-

sian Federation based on the regional index of economic development]. Federalizm –

Federalism. 2019. vol. 3. pp. 149–171. (In Russ.).

11. Ogryszak W. et al. Large-scale periodic routing problems for supporting planning of

mobile personnel tasks. Advances in Intelligent Systems and Computing. 2018.

vol. 559. pp. 205–216.

12. Vergara-Solana F., Araneda M., Ponce-Díaz G. Opportunities for strengthening aqua-

culture industry through multicriteria decision-making. Reviews in Aquaculture. 2019.

vol. 11. no. 1. pp. 105–118.

13. Habarova D.S. [Review of software packages for multicriteria optimization]. Priklad-

naya informatika – Applied Informatics. 2013. vol. 2(44). pp. 102–112. (In Russ.).

14. Velasquez M., Hester P.T. An Analysis of Multi-Criteria Decision Making Methods.

International Journal of Operations Research. 2013. vol. 10. no. 2. pp. 56–66.

15. Mikoni S.V., Sokolov B.V., Yusupov R.M. Kvalimetriya modelej i polimode