ArticlePDF Available

Structural failure criterion for spatially-reinforced carbon-carbon composite materials

Authors:

Abstract and Figures

This paper defines the structural strength criterion for 4DL-reinforced carbon-carbon materials. For this scheme, fiber reinforcement consists of four groups of reinforcing elements, three of them are located in parallel planes with the angles of 120° between them and the fourth one is normal to them. The paper addresses the first failure of the material corresponding to its yield stress, in this point, one of the material components deviates from linear elastic behavior. A composite material is considered to be non-uniform structurally and consists of a matrix and reinforcing elements, rods. Those rods, in their turn, represent a unidirectional composite. To analyze the stress-strain state of individual components of the material, a three-level elastic model is built that uses the analytic approach at the micro level, while at higher levels it uses the finite element method. For numerical calculations, a structural cell of the material is taken. The boundary conditions provide small to negligible influence of the edge effects, thus simulating the behavior of the infinite volume of the material. For the material components, local strength criteria are introduced, where the fields of the criterion quantities are averaged over the volume of the structural cell. The strength surface of the material that corresponds to its first failure is obtained, and the conclusion is made that the suggested criterion provides a reasonable agreement with the available data on the typical carbon-carbon composite characteristics. Based on the calculated dependencies of the material’s yield stress on the load direction, a procedure is suggested to identify the model parameters based on the material failure behavior analysis using standard tensile and compressive tests. Estimated discrepancies between the results calculated using the suggested criterion and those obtained using the limiting stress criterion for biaxial stress states are given. It is shown that the discrepancy may reach tens of percent and in some cases the material strength increases in comparison with that in the uniaxial stress state. The results are subject to verification tests in order to verify the model for advanced spatially reinforced carbon-carbon composite materials.
Content may be subject to copyright.
Магнитский И.В. Структурный критерий прочности пространственно армированных углерод-углеродных композиционных
материалов // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. 2020. 3.
С. 48-59. DOI: 10.15593/perm.mech/2020.3.06
Magnitsky I.V. Structural failure criterion for spatially-reinforced carbon-carbon composite materials. PNRPU Mechanics Bulletin,
2020, no. 3, pp. 48-59. DOI: 10.15593/perm.mech/2020.3.06
ВЕСТНИК ПНИПУ. МЕХАНИКА
3, 2020
PNRPU MECHANICS BULLETIN
https://ered.pstu.ru/index.php/mechanics/index
Эта статья доступна в соответствии с условиями лицензии Creative Commons Attribution-NonCommercial 4.0 International
License (CC BY-NC 4.0)
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial 4.0 International License (CC BY-NC 4.0)
DOI: 10.15593/perm.mech/2020.3.06
УДК 539.4.015.1
СТРУКТУРНЫЙ КРИТЕРИЙ ПРОЧНОСТИ ПРОСТРАНСТВЕННО АРМИРОВАННЫХ
УГЛЕРОД-УГЛЕРОДНЫХ КОМПОЗИЦИОННЫХ МАТЕРИАЛОВ
И.В. Магнитский
АО «Композит», Королев, Московская область, Россия
О СТАТЬЕ
А
ННОТАЦИЯ
Получена: 30 июля 2020 г.
Принята: 29 сентября 2020 г.
Опубликована: 09 ноября 2020 г.
В работе сформулирован структурный критерий прочности углерод-углеродных мате-
риалов со схемой армирования 4ДЛ. В этой схеме волокнистый наполнитель состоит из
четырех семейств элементов, три из которых располагаются в параллельных плоскостях
под углами 120° друг к другу, а четвертоеперпендикулярно им. Рассматривалось первое
разрушение материала, соответствующее его пределу пропорциональности, т.е. моменту,
когда один из компонентов композита начинает отклоняться от линейно-упругого поведе-
ния. Композиционный материал считался структурно-неоднородным, состоящим из матри-
цы и армирующих элементовстержней. Стержни, в свою очередь, представляли собой
однонаправленный композит. Для исследования напряженно-деформированного состоя-
ния отдельных компонентов материала была построена его трехуровневая упругая мо-
дель, использующая на микроуровне аналитический подход, а на высоких уровняхметод
конечных элементов. Для проведения численных расчетов была выделена структурная
ячейка материала. Граничные условия обеспечивали пренебрежимо малое влияние крае-
вых эффектов, что имитировало поведение массива материала. Для компонентов мате-
риала были введены локальные критерии прочности, причем поля критериальных величин
осреднялись по объему структурной ячейки. Получена поверхность прочности материала,
соответствующая его первому разрушению, сделан вывод об удовлетворительном соот-
ветствии разработанного критерия имеющимся данным о характеристиках типичного угле-
род-углеродного композита. На основе расчетных зависимостей пределов пропорциональ-
ности материала от направления нагружения предложена схема идентификации парамет-
ров построенной модели, основанная на анализе характера разрушения материала при
стандартных испытаниях на растяжение и сжатие. Приведены оценки отклонения резуль-
татов расчета по предложенному критерию от таковых при использовании критерия мак-
симальных напряжений для двухосных напряженных состояний. Показано, что разница
может достигать десятков процентов, причем в ряде случаев прочность материала возрас-
тает по сравнению с одноосным напряженным состоянием. Результаты работы подлежат
экспериментальной апробации с целью верификации модели на современных пространст-
венно армированных углерод-углеродных композиционных материалах.
© ПНИПУ
Ключевые слова:
углерод-углеродный
композиционный материал,
критерий прочности, предел
пропорциональности, разрушение,
структурная модель, предельная
поверхность, осреднение.
Магнитский Илья Владимировичк.т.н., e-mail: soleylju@gmail.com, : 0000-0001-6956-4347
Ilya V. Magnitsky – CSc in Technical Sciences, e-mail: soleylju@gmail.com, : 0000-0001-6956-4347
Магнитский И.В. / Вестник ПНИПУ. Механика 3 (2020) 48–59
49
STRUCTURAL FAILURE CRITERION FOR SPATIALLY-REINFORCED
CARBON-CARBON COMPOSITE MATERIALS
I.V. Magnitsky
Joint-Stock Company “Kompozit”, Korolyov, Moscow Region, Russian Federation
A
RTICLE INFO
A
BSTRACT
Received: 30 July 2020
A
ccepted: 29 September 2020
Published: 09 November 2020
This paper defines the structural strength criterion for 4DL-reinforced carbon-carbon materi-
als. For this scheme, fiber reinforcement consists of four groups of reinforcing elements, three o
f
them are located in parallel planes with the angles of 120° between them and the fourth one is
normal to them. The paper addresses the first failure of the material corresponding to its yield
stress, in this point, one of the material components deviates from linear elastic behavior. A com-
posite material is considered to be non-uniform structurally and consists of a matrix and reinforc-
ing elements, rods. Those rods, in their turn, represent a unidirectional composite. To analyze the
stress-strain state of individual components of the material, a three-level elastic model is built that
uses the analytic approach at the micro level, while at higher levels it uses the finite element
method. For numerical calculations, a structural cell of the material is taken. The boundary condi-
tions provide small to negligible influence of the edge effects, thus simulating the behavior of the
infinite volume of the material. For the material components, local strength criteria are introduced,
where the fields of the criterion quantities are averaged over the volume of the structural cell. The
strength surface of the material that corresponds to its first failure is obtained, and the conclusion
is made that the suggested criterion provides a reasonable agreement with the available data on
the typical carbon-carbon composite characteristics. Based on the calculated dependencies o
f
the material’s yield stress on the load direction, a procedure is suggested to identify the model
parameters based on the material failure behavior analysis using standard tensile and compres-
sive tests. Estimated discrepancies between the results calculated using the suggested criterion
and those obtained using the limiting stress criterion for biaxial stress states are given. It is shown
that the discrepancy may reach tens of percent and in some cases the material strength increas-
es in comparison with that in the uniaxial stress state. The results are subject to verification tests
in order to verify the model for advanced spatially reinforced carbon-carbon composite materials.
© PNRPU
Keywords:
carbon-carbon composite material,
failure criterion, yield stress, fracture,
structural model, strength surface,
homogenization.
Введение
В настоящее время имеет место тенденция все бо-
лее широкого применения при производстве летатель-
ных аппаратов углерод-углеродных композиционных
материалов (УУКМ). Важной особенностью данного
класса композитов является значительная доля мате-
риалов с пространственными схемами армирования,
в том числе 4ДЛ [1]. В последнем случае волокнистый
наполнитель состоит из четырех семейств элементов,
три из которых располагаются в параллельных плоско-
стях под углами 120° друг к другу, а четвертоепер-
пендикулярно им.
При проведении расчетов конструкций из компози-
ционных материалов важную роль играет выбор крите-
рия их прочности. К настоящему моменту для объектов
из композитов применяются феноменологические и
структурные критерии прочности.
Феноменологические критерии основаны на экспе-
риментальных данных и в общем случае записываются
в виде равенства [2, 3]
σ,ε,λ0,
ij ij i

(1)
где Фнекоторая функция от компонентов тензоров
напряжений σij , деформаций εij и набора парамет-
ров λi, которые могут включать в себя температуру,
скорости изменения деформаций и другие величины.
Построение таких критериев для конкретных марок
композитов, например рассмотренных в [4–10], остается
актуальным, особенно для слоистых армированных
пластиков. Существование простого аналитического
выражения критерия позволяет его использовать, на-
пример, в задачах оптимизации структуры [11] и других
практических расчетах конструкций из композитов.
В силу своей природы феноменологические критерии
хорошо описывают предельное состояние материала,
однако имеют ряд недостатков, ограничивающих об-
ласть их применимости. Так, для достоверного опреде-
ления функции Ф необходимо иметь большой объем
экспериментальных данных, в том числе описывающих
прочность материала при сложных напряженных со-
стояниях, что может быть проблематично в случае про-
странственно армированных композитов. Так, необхо-
димо заметить, что практически все работы, связанные
с такого рода критериями, рассматривают именно дву-
мерно армированные материалы. Особенно отчетливо
это прослеживается в проведенных международных
исследованиях WWFE I-III [12], где многочисленным
группам ученых предлагалось разработать критерии
прочности для слоистых армированных пластмасс. Ре-
зультаты, полученные в ходе этих исследований, свиде-
тельствуют об удовлетворительной применимости фе-
номенологических критериев для описания поведения
Magnitsky I.V. / PNRPU Mechanics Bulletin 3 (2020) 48-59
50
таких материалов. Вместе с тем из приведенных данных
можно сделать вывод о необходимости специального
подбора вида критерия по каждому отдельному компо-
зиту. Кроме того, к качеству используемых эксперимен-
тальных данных, как правило, предъявляются весьма
жесткие требования. В частности, важным фактором
является учет краевых эффектов на испытуемых образ-
цах материала [13], наличие которых может существен-
но исказить форму критерия (1) и, как следствие, сни-
зить точность проводимых расчетов. Также следует от-
метить, что функция в этом случае описывает
критическое состояние конкретного материала, и даже
при незначительных изменениях его структуры может
потребоваться повторение всех работ по формированию
критерия прочности.
С развитием численных методов и ростом доступ-
ных вычислительных мощностей все большее распро-
странение приобретают структурные критерии прочно-
сти, которые опираются на представление о поведении
материала с учетом его внутренней неоднородности
[14–20]. Структурный подход позволяет проводить в
том числе и проектные расчеты композитов, а также
оценивать влияние краевых эффектов и других источ-
ников погрешности экспериментальных данных исходя
из физических соображений, тем самым имеет преиму-
щества при описании критического состояния компози-
тов по сравнению с феноменологическим. В формули-
ровке такого рода критериев рассматриваются несколько
различных видов разрушения и связанных с ними крите-
риальных зависимостей (1). Выбор видов разрушения
основывается на экспериментальных данных и представ-
лениях о распределении внешней нагрузки по компонен-
там материала. Большая часть таких моделей касается
прежде всего простейших схем армирования, например,
однонаправленного композита [19, 21], однако встреча-
ются и более сложные, в том числе пространственные
[15, 17], схемы. Для описания локальных напряжений в
компонентах их упругие характеристики могут входить в
аналитические формулы отдельных частей критерия не-
посредственно [22], в ряде же случаев используются чис-
ленные, например конечно-элементные, модели ячеек
периодичности композитов [15]. В зависимости от вида
материала может рассматриваться как мезоуровень [23],
так и микроуровень [24–26] структурной модели либо
предлагаться унифицированный метод [27].
На структурном подходе, как правило, базируются
и модели закритического поведения композитов [21,
28–30]. Он позволяет, с одной стороны, оценить влия-
ние тех или иных механизмов разрушения на работо-
способность материала в заданных условиях, а с дру-
гойопределить степень влияния полного или частич-
ного разрушения отдельных компонентов на жесткость
композита, а следовательно, построить диаграмму его
деформирования. Феноменологические модели поведе-
ния композиционных материалов после первого разру-
шения сравнительно редки [10].
Регулярные пространственные схемы армирования
в литературных источниках рассматриваются редко,
причем в этих случаях исследуются простейшие из них
[17] и часто на сильно упрощенной геометрии ячейки
периодичности [15]. При этом ясно, что для получения
физически обоснованной формулировки критерия
прочности необходимо рассмотреть многоуровневую
модель материала со сложной системой армирования
[31], например, учитывать, что материал в целом состо-
ит из матрицы и армирующих элементов мезоуровня,
а последние, в свою очередь, состоят из матрицы мезо-
уровня и филаментов волокон [17].
Следует заметить, что практически отсутствуют ра-
боты, связанные с получением критериев прочности
углерод-углеродных композиционных материалов
(УУКМ). В большинстве случаев авторы опираются на
экспериментальные результаты, полученные на образ-
цах армированных пластмасс. Наиболее полно вопрос
формирования критерия разрушения УУКМ рассмотрен
в работе [31], где построены прочностные модели слои-
стых материалов и ортогонально армированного 3Д
УУКМ и отмечена неполнота исходных данных о свой-
ствах материалов. Вопрос достоверного определения
эффективных прочностных характеристик компонен-
тов, необходимых для проведенного численного моде-
лирования, подробно не исследовался.
Таким образом, можно заключить, что задача разра-
ботки критериев прочности пространственно армиро-
ванных композиционных материалов вообще и УУКМ в
особенности не решена. Наиболее перспективным на-
правлением представляются структурные критерии,
позволяющие проводить прогнозирование характери-
стик композита. Ввиду того обстоятельства, что в ходе
технологического процесса производства материала
характеристики его компонентов существенно меняют-
ся, особое внимание целесообразно уделить процедуре
определения их эффективных свойств в материале. Ис-
ходя из сказанного целью настоящей работы является
построение структурного критерия прочности УУКМ со
схемой армирования 4ДЛ. При этом рассматриваться
будет не конкретный материал, а общие закономерно-
сти, характерные для этого класса композитов. Данные
о характеристиках компонентов, использованные в ста-
тье, следует рассматривать как модельные, характерные
для подобных композитов, но не связанные с конкрет-
ной маркой материала.
1. Постановка задачи
Для описания механического поведения материала
при нагружении построим его трехуровневую модель.
Макроскопический объем материала представим в виде
массива ячеек, одна из которых изображена на рис. 1.
Там же показана применяемая система координат. Ме-
зоуровень образует единичная ячейка, которая состоит
из четырех семейств стержней: направленных вдоль
оси X (далеестержни х), под углом ±60° к ней (стерж-
Магнитский И.В. / Вестник ПНИПУ. Механика 3 (2020) 48–59
51
ни y1 и y2) и вдоль оси Z (стержни z), и матрицы. В свою
очередь на микроуровне стержни также будем рассмат-
ривать неоднородными, состоящими из отдельных уг-
леродных филаментовединичных нитей, образующих
жгут, и матрицы, характеристики которой совпадают
с таковыми матрицы мезоуровня. Таким образом,
стержни фактически представляют собой однонаправ-
ленный композиционный материал. Некруглое попе-
речное сечение стержней соответствует их форме
в реальных материалах.
Рис. 1. Структурная ячейка материала
со схемой армирования 4ДЛ
Fig. 1. 4DL-reinforced material structural cell
Все компоненты материала будем считать линейно-
упругими, причем матрицуизотропной, а филаменты
трансверсально изотропными с осью симметрии
свойств, совпадающей с их продольным направлением.
Для удобства обозначим продольное направление
стержня как ξ, а любые два перпендикулярные ему
и составляющие вместе с ним правую декартову систе-
му координаткак η и ζ. Упругие характеристики фи-
ламентов и матрицы указаны в табл. 1 и соответствуют
данным, приведенным в [32].
Таблица 1
Упругие характеристики филаментов и матрицы
Table 1
Filament and matrix elastic properties
Компо-
нент Характеристика Значение
Филамент
Продольный модуль упругости, ГПа 269,8
Поперечный модуль упругости, ГПа 4,45
Модуль сдвига в продольной
плоскости, ГПа 5,64
Коэффициент Пуассона в продольной
плоскости 0,05
Коэффициент Пуассона в поперечной
плоскости 0,25
Матрица Модуль упругости, ГПа 2,59
Коэффициент Пуассона 0,25
Контакт между компонентами примем идеальным.
Описанные выше допущения ограничивают на-
стоящее исследование рассмотрением первого разру-
шения материала, соответствующего его пределу про-
порциональности. Моделирование закритического по-
ведения композита в настоящей работе не рассматри-
вается.
Упругую модель микроуровня для стержня будем
строить на основе гипотез совместности в реализации,
описанной в [33]. Кратко изложим ее основные положе-
ния. Пусть упругие свойства компонентов стержня
филаментов и матрицыописываются матрицами по-
датливости i
S. Здесь и далее
,iFM, где индекс F
относит величину к филаменту, а Mк матрице. Тогда
векторы деформаций i
ε и напряжений i
σ связаны зако-
ном Гука в виде
.
iii
εSσ (2)
Аналогично для стержня в целом действует соот-
ношение
,εSσ (3)
где ε, σ и Sсредние векторы деформаций и напря-
жений и матрица податливости стержня соответствен-
но. Разделив векторы деформаций i
ε и напряжений i
σ
на две составляющие i
ε, i

ε и соответствующие им i
σ,
i
σ таким образом, чтобы для частей с одним штрихом
была верна гипотеза Рейсса, а с двумягипотеза Фойг-
та, будем иметь
;
;
;
.
ii
i
i
i
ii
i

 

εε
σσ
εε
σσ
(4)
Здесь i
объемные доли компонентов стержня.
С учетом разделения векторов деформаций и напряже-
ний представим закон Гука (1) в блочном виде:
112
12 2
.
iiii
T
iiii





εSS σ
εSSσ (5)
Тогда для матрицы податливости стержня можно
получить формулу [33]
11
11
.
TT

NBGBBG
SGB G (6)
Здесь
1
1 12212
1
212
1
2
;
;
.
T
iiiii
i
T
iii
i
ii
i


NSSSS
BSS
GS
(7)
Соотношение (6) связывает упругие свойства
стержня с характеристиками его компонентов, что не-
Magnitsky I.V. / PNRPU Mechanics Bulletin 3 (2020) 48-59
52
обходимо для перехода к модели мезоуровня, описы-
вающей ячейку материала. Для перехода от средних по
стержню напряжений к соответствующим значениям
для филаментов и матрицы можно воспользоваться
формулами
11
2212
;
.
i
T
ii ii


 

σσ
σSεSS σ (8)
Соотношения (6) и (8), составляющие модель мик-
роуровня для стержней, требуют введения гипотез
Рейсса и Фойгта для каждого из компонентов векторов
деформаций и напряжений исходя из априорных сооб-
ражений. Воспользуемся рекомендациями работы [33]
и примем, что
η
ζ
ηζ
σ
σ.
τ
i





σ (9)
На мезоуровне применим численное моделирование
с использованием метода конечных элементов. При
этом будем считать, что минимальным рассматривае-
мым объемом материала является его ячейка, изобра-
женная на рис. 1, и все силовые факторы, действующие
в материале при нагружении, будем осреднять по ее
объему либо по объему отдельных компонентов, вхо-
дящих в нее. Таким образом, малоразмерные перегру-
женные области будут исключены из рассмотрения.
Поскольку рассмотрение конкретных эксперимен-
тальных данных выходит за рамки настоящей работы,
будем считать объем материала бесконечным. Исходя
из этого допущения, при построении мезомодели будем
накладывать на ячейку граничные условия, реализую-
щие в ней однородное деформированное состояние,
описанные в [34]. Для уменьшения объема численных
расчетов представим произвольное деформированное
состояние ячейки как суперпозицию шести простей-
ших: трех растяжений (сжатий) вдоль осей X, Y и Z и
трех сдвигов в плоскостях XY, YZ и XZ. Геометрические
граничные условия, накладываемые на ячейку для реа-
лизации в ней растяжения вдоль оси X, можно записать
в виде
 
;
0, 0, 0, 0,
X
XY Z
YZ
ueX
XlYlZl uu


(10)
где t
l и t
uдлина ячейки и перемещение в направле-
нии t, а eдеформация в ячейке. Можно показать, что
масштабные эффекты жесткости при такой постановке
граничных условий отсутствуют. Для прочих простей-
ших деформированных состояний граничные условия
формулируются аналогично.
Напряжениями в компонентах, соответствующими
отсутствию деформаций, пренебрежем.
Численные расчеты проводились в программном ком-
плексе Ansys Workbench. В использованной конечно-
элементной сетке преобладали элементы SOLID186.
Основным результатом численного расчета явля-
лись осредненные по элементам поля компонентов век-
тора напряжений для простейших деформированных
состояний. Для каждого из рассматриваемых ниже
сложных напряженных (деформированных) состояний
вычислялись соответствующие поля компонентов век-
тора напряжений как линейные комбинации шести по-
лученных в ходе расчетов. Напряжения в стержнях ос-
реднялись по их объемам и пересчитывались в напря-
жения в филаментах и матрице согласно формулам (8).
В матрице мезоуровня сначала вычислялись поля кри-
териальной функции напряжений, сформулированной
ниже, а затем проводилось осреднение по объему.
В зависимости от вида напряженного состояния ма-
териал может иметь различные характеры разрушения.
Первое разрушение может возникать в каждом из ком-
понентов четырех семейств стержней и матрице мезо-
уровня. Таким образом, для матрицы выделяются пять
напряженных состоянийпо одному для каждого
стержня и еще одно для матрицы мезоуровня, а для фи-
ламентовчетыре. Следует заметить, что разрушение
может происходить по границе раздела компонентов,
однако из-за допущения об идеальном контакте в упру-
гих моделях этот вариант принципиально не отличается
от разрушения матрицы, поэтому в дальнейшем он осо-
бо не рассматривается.
Сформулируем критерии разрушения компонентов
материала. Их набор основывается на наблюдаемых
в экспериментах видах разрушения материалов данного
класса.
Филаменты волокон могут разрушиться от разрыва
при продольном растяжении либо в результате потери
устойчивости по местному характеру при продольном
сжатии, а также от продольного сдвига с фрагментацией
по поперечному сечению. Однако последний механизм
вряд ли реализуется в материале, поскольку при значи-
тельных касательных напряжениях более вероятно раз-
рушение границы раздела компонентов, что в соответ-
ствии с замечанием выше описывается поведением мат-
рицы. Таким образом, для филамента локальное
условие прочности можно записать в виде
ξ
σ,,
FFF



(11)
где ξ
σ
F
продольные напряжения в филаментах, а F
и F
соответствующие разрушающие значения на-
пряжений при сжатии и растяжении. При выходе вели-
чины ξ
σ
F
за пределы указанного отрезка происходит
разрушение филаментов.
Матрица как изотропный материал может быть раз-
рушена от сочетания факторов, набор которых зависит
от ее физической природы. Поскольку на данном этапе
исследования достоверно определить основные меха-
низмы ее разрушения вряд ли возможно, предпочти-
тельно использовать один из феноменологических кри-
териев, учитывающих разницу в пределах прочности
Магнитский И.В. / Вестник ПНИПУ. Механика 3 (2020) 48–59
53
при растяжении и сжатии, чего можно ожидать от угле-
родного материала. В настоящей работе был выбран
критерий ПисаренкоЛебедева [35]. Дополнительные
исследования показывают, что при использовании дру-
гих критериев, например критерия КулонаМора [36],
основные получаемые результаты существенно не ме-
няются. Тогда локальное условие прочности матрицы
примет вид
1
σσ1σ,
P
LPL
eq i
aaF (12)
где 0, 25aотношение пределов прочности матрицы
при растяжении и сжатии; σi и 1
σ интенсивность на-
пряжений и первое главное напряжение в матрице;
P
L
F
разрушающее значение эквивалентных напряжений σ
P
L
eq .
Совокупное выполнение неравенств (11) и (12) оп-
ределяет условие прочности для композита в целом.
Величины F, F и
P
L
F, описывающие прочность
компонентов материала при выбранных критериях их
прочности, должны определяться экспериментально.
Ввиду сложности задачи их измерения в прямом экспе-
рименте целесообразно использовать косвенные мето-
ды, например метод идентификации. Однако, поскольку
без разработки собственно критерия постановка досто-
верного эксперимента затруднительна, оценим их зна-
чения с приемлемой для исследования общих законо-
мерностей точностью на основе имеющихся в литера-
турных источниках данных.
Величины F, F можно определить исходя из ти-
пичной деформации при разрушении углеродных воло-
кон и известного продольного модуля упругости фила-
ментов, считая последние линейно-упругими до разру-
шения. Расчеты, основанные на данных, приведенных
в [37], дают значения 1000 МПаF и 700 МПаF.
Значение
P
L
F может быть оценено как величина предела
прочности при растяжении высокоплотных графитов.
Анализ сведений из [38] позволяет принять 10 МПа
PL
F.
Таким образом, описанные упругие модели микро-
и мезоуровня в сочетании с условиями прочности ком-
понентов композита позволяют определить, сохраняет
ли последний прочность при том или ином напряженно-
деформированном состоянии, т.е. формируют критерий
прочности.
2. Результаты
Результатом моделирования является множество
точек, лежащих на предельной поверхности материала
в шестимерном пространстве напряжений. Поскольку
их непосредственная визуализация и анализ затрудни-
тельны, рассмотрим ряд важных частных случаев.
Расчетные значения пределов пропорциональности
материала при одноосных растяжениях и сжатиях вдоль
его естественных осей, при которых диаграммы нагру-
жения имеют выраженный линейный участок, приведе-
ны в табл. 2. Как видно из табл. 2, прогнозируемые зна-
чения в целом не противоречат имеющимся экспери-
ментальным данным, полученным на модельном
УУКМ. Данное обстоятельство дает основания пола-
гать, что при выборе значений величин F
, F
и
P
L
F
грубых ошибок допущено не было. Вместе с тем ис-
ключение составляет сжатие по оси Y, где прогнозируе-
мое значение предела пропорциональности существен-
но превышает наблюдаемое в эксперименте. Здесь не-
обходимо заметить, что эти данные получены исходя из
предположения об однородном напряженном состоянии
представительного объема материала и не учитывают
возможные краевые эффекты, которые могут сущест-
венно повлиять на наблюдаемые экспериментально ха-
рактеристики материала [13]. Так, неоднородность на-
пряженного состояния объема УУКМ со схемой арми-
рования 4ДЛ при нагружении вдоль оси Y была
показана в [39], а наличие значительного масштабного
эффекта прочности при сжатии этого класса материалов
подтверждается данными, приведенными в [40]. Таким
образом, указанное несоответствие не является показа-
тельным и должно быть изучено отдельно.
Таблица 2
Пределы пропорциональности материала
при одноосных нагружениях
Table 2
Material yield stresses under uniaxial loadings
Вид нагружения Предел пропорциональности, МПа
расчетный экспериментальный
Растяжение вдоль оси X 78,5 75–85
Растяжение вдоль оси Z 97,1 96–106
Сжатие вдоль оси X 112,2 93–116
Сжатие вдоль оси Z 138,7 124–144
Сдвиг в плоскости XZ 13,7 10–19
Пусть теперь материал будет нагружен одноосными
растяжением и сжатием в направлении а, составляющем
угол
X
с осью X и лежащем в плоскости XY. Рассмот-
рим зависимости значений напряжений, при которых
происходит разрушение каждого из компонентов ком-
позита, от угла
X
, показанные на рис. 2, 3 для растя-
жения и сжатия соответственно. Ясно, что минимальное
по модулю значение напряжения в каждом направлении
нагружения является пределом пропорциональности
материала, а компонент, в котором оно реализуется,
разрушится первым.
Из приведенных данных видно, что выраженная за-
висимость предела пропорциональности при растяже-
нии от угла
X
отсутствует. При этом наиболее вероят-
ными характерами разрушения являются фрагментация
матрицы в стержнях z во всех рассмотренных направле-
ниях а, а также разрыв филаментов в случаях, когда а
совпадает с одним из направлений армирования. Для
сжатия ситуация иная: здесь при всех значениях
угла
X
наиболее вероятно разрушение филаментов,
вдоль которых направлена нагрузка.
Magnitsky I.V. / PNRPU Mechanics Bulletin 3 (2020) 48-59
54
Рис. 2. Зависимости разрушающих значений напряжений при растяжении от угла
X
Fig. 2. Angle
X
dependencies of tensile strengths
Рис. 3. Зависимости разрушающих значений напряжений при сжатии от угла
X
Fig. 3. Angle
X
dependencies of compressive strengths
Следует заметить, что полученные зависимости де-
монстрируют симметричность относительно поворота
на 60°, что ожидаемо для рассматриваемой схемы ар-
мирования.
Проанализируем аналогичные зависимости для се-
мейства направлений b, составляющих угол Y
с осью Y
и лежащих в плоскости YZ, графики которых показаны
на рис. 4, 5. Из приведенных графиков видно, что в слу-
чаях, когда углы между направлением b и осями Y и Z
превышают 15–20°, пределы пропорциональности при
растяжении и сжатии значительно снижаются, что оп-
ределяется разрушением матрицы, которое может реа-
лизоваться в различных компонентах, но наиболее ве-
роятнов стержнях x. При нагружении в направлениях
осей Y и Z возможны и разрушения по филаментам,
причем для оси Zвероятнее. Аналогично поведение
материала при растяжении и сжатии в различных на-
правлениях в плоскости XZ.
Из приведенных данных можно сделать вывод, что
при сжатии вдоль осей X, Y и Z первым разрушением
в материале является местная потеря устойчивости фи-
ламентами стержней, в то время как в случае сжатий
в других направлениях и растяжений разрушение начи-
нается в матрице либо на границах раздела компонентов.
Таким образом, определение пределов прочности матрицы
P
L
F и филаментов при сжатии F возможно на основе
данных о пределе пропорциональности материала при
растяжении в направлении b при 4
Y
 и сжатии в на-
правлении a при любом значении
X
соответственно.
Магнитский И.В. / Вестник ПНИПУ. Механика 3 (2020) 48–59
55
Рис. 4. Зависимости разрушающих значений напряжений при растяжении от угла Y
Fig. 4. Angle Y
dependencies of tensile strengths
Рис. 5. Зависимости разрушающих значений напряжений при сжатии от угла Y
Fig. 5. Angle Y
dependencies of compressive strengths
Иная ситуация с определением величины F
: в рас-
смотренных напряженных состояниях отсутствуют та-
кие, для которых разрыв филаментов как характер пер-
вого разрушения единственно возможен.
Анализ полной поверхности прочности показывает,
что существуют несколько областей соотношений меж-
ду компонентами тензора напряжений, где наиболее
вероятно разрушение филаментов от продольного рас-
тяжения. Однако разница между уровнями нагрузки,
при которой разрушаются различные компоненты мате-
риала в них, нигде не превышает 20 %, что не дает воз-
можности однозначно прогнозировать реализуемый в
эксперименте характер разрушения ввиду значительных
естественных разбросов свойств УУКМ. С другой сто-
роны, такое же соображение можно применить и к
практической реализации критерия, считая, что на
практике данный вид разрушения не наблюдается, как
первый. Здесь необходимо заметить, что при закритиче-
ском поведении материала либо при упругих свойствах
компонентов, отличных от рассматриваемых, приве-
денные данные могут качественно меняться, и разрыв
филаментов может оказаться важным при описании
поведения материала.
Следует также учитывать, что при эксперименталь-
ном определении характеристик материала применяют-
ся образцы конечных размеров, поэтому при использо-
вании таких результатов для определения пределов
прочности компонентов необходимо учитывать возни-
Magnitsky I.V. / PNRPU Mechanics Bulletin 3 (2020) 48-59
56
кающие в них краевые эффекты. Это возможно путем
раздельного применения критерия к напряженным сос-
тояниям ячеек материала, находящихся в разном поло-
жении относительно границы образца. Также при высо-
ких температурах необходимо учитывать разницу тем-
пературных коэффициентов линейного расширения
компонентов, которая может привести к отличной от
нуля величине напряжений в них, соответствующих
отсутствию макродеформаций.
Наконец, рассмотрим сечения предельной поверх-
ности материала в шестимерном пространстве напря-
жений координатными плоскостями. При этом необхо-
димо заметить, что на практике для пространственно
армированных УУКМ сейчас, как правило, использует-
ся критерий максимальных напряжений, т.е. взаимное
влияние напряжений игнорируется, и соответствующие
сечения аппроксимируются прямоугольниками со сто-
ронами, параллельными координатным осям. Следова-
тельно, главной задачей нашего анализа должна быть
оценка отклонений между наиболее распространенным
сейчас подходом и предлагаемой моделью, основанной
на механике отдельных компонентов композита.
Для количественного определения такого отклоне-
ния рассмотрим коллинеарные радиус-векторы
M
S
s и N
s,
проведенные в точки на предельных поверхностях ма-
териала, построенных согласно критерию максималь-
ных напряжений и предлагаемому критерию соответст-
венно. Тогда введем величину, характеризующую раз-
ницу между двумя критериями, в виде
.
N
M
S
 s
s (13)
Ясно, что величина δ будет принимать различные
значения в разных направлениях в пространстве напря-
жений. При рассмотрении сечений предельной поверх-
ности материала координатными плоскостями мини-
мальное и максимальное в сечении значения величины
δ показывают степень взаимовлияния соответствующих
компонентов тензора напряжений. Эти данные приве-
дены в табл. 3.
Таблица 3
Пределы изменения величины δ для координатных
плоскостей
Table 3
δ value variation limits for coordinate planes
Вторая
координат-
ная ось
Первая координатная ось
σ
X
σY σ
Z
τ
X
Y τYZ τ
X
Z
σ
X
– 0,62–1,45 0,87–1,02 0,66–1,15 0,90–1,03 0,72–1,35
σY 0,62–1,45 – 0,85–1,20 0,65–1,14 0,67–1,37 0,90–1,08
σ
Z
0,87–1,02 0,85–1,20 0,83–1,11 0,65–1,46 0,66–1,37
τ
X
Y 0,66–1,15 0,65–1,14 0,83–1,11 0,86–1,00 0,81–1,00
τYZ 0,90–1,03 0,67–1,37 0,65–1,46 0,86–1,00 0,71–1,00
τ
X
Z 0,72–1,35 0,90–1,08 0,66–1,37 0,81–1,00 0,71–1,00
Их анализ показывает, что наибольшие отклонения
от критерия максимальных напряжений наблюдаются
в случае совместного действия напряжений, лежащих
в плоскости XY. Несколько меньшие диапазоны величи-
ны δ характерны для сочетаний касательных напряже-
ний в плоскостях YZ и XZ с нормальными напряжения-
ми в этих плоскостях. С точностью до 10 % описывает-
ся критерием максимальных напряжений только
совместное действие на материал пар компонентов тен-
зора напряжений
σ,σ
XYZ
и
σ,σ
YXZ
.
Рассмотрим для примера сечения предельной по-
верхности плоскостями
σ,σ
XY
,
σ,τ
YXY
и
σ,τ
XXY
,
показанные на рис. 6, подробнее. Для удобства вос-
приятия сечения разнесены из координатных плоско-
стей. Из рисунка ясно, что совместное действие двух
различных силовых факторов может как увеличивать,
так и уменьшать прочность материала по сравнению
с пределами прочности при одноосных напряженных
состояниях. При этом для плоскости
σ,σ
XY
совмест-
ное действие растягивающих напряжений вдоль осей X
и Y несколько упрочняет материал по сравнению с од-
ноосными растяжениями вдоль этих осей. Сжатие
вдоль оси Y повышает прочность материала при сжа-
тии вдоль оси X, в то время как обратное влияние от-
сутствует. Одновременное действие напряжений раз-
ных знаков приводит к падению прочности. Добавле-
ние к нормальным напряжениям по осям X и Y
касательного в плоскости XY в основном снижает
прочность композита.
Рис. 6. Сечения предельной поверхности координатными
плоскостями
Fig. 6. Coordinate planes sections of strength surface
Ясно, что при разных сочетаниях значений нор-
мальных напряжений по осям X и Y характер разруше-
ния может быть различным. На рис. 7 приведены пре-
дельные кривые в плоскости
σ,σ
XY
, соответствую-
щие разрушению отдельных компонент композита. Из
рис. 7 видно, что в областях, соответствующих растя-
жению, предельные кривые располагаются близко
друг от друга, в то время как при сжатии этого не на-
блюдается.
Магнитский И.В. / Вестник ПНИПУ. Механика 3 (2020) 48–59
57
Рис. 7. Предельные кривые в плоскости

σ,σ
XY
, соответствующие
разрушению отдельных компонент композита
Fig. 7. Strength curves in

σ,σ
XY
plane corresponding to individual
composite components failures
Следствием этого обстоятельства является тот факт,
что при растяжении материалов рассматриваемого
класса предел пропорциональности, как правило, сов-
падает с пределом прочности, а при сжатии диаграмма
деформирования имеет значительный нелинейный уча-
сток, связанный с частичным разрушением композита.
Выводы
Разработанный в настоящей статье критерий проч-
ности УУКМ со схемой армирования 4ДЛ описывает
возникновение в нем первого разрушения в одном из
компонентов рассматриваемого материала. Полученные
оценки пределов пропорциональности материала при
простейших видах нагружения не противоречат имею-
щимся данным о его характеристиках. Исходя из ре-
зультатов исследования зависимостей напряжений в
филаментах и матрице материала от направления одно-
осных растяжения и сжатия можно предложить способ
экспериментального определения эффективных преде-
лов прочности матрицы и филаментов при сжатии.
Прочность филаментов при растяжении не оказывает
существенного влияния на характеристики УУКМ в
целом при рассматриваемых параметрах модели. Опи-
санный метод анализа прочности материала позволяет
прогнозировать характер разрушения композита.
Полученный критерий подлежит эксперименталь-
ному опробованию на реальном материале с учетом
накладываемых применяемой структурной моделью
ограничений.
Библиографический список
1. Тарнопольский Ю.М., Жигун И.Г., Поляков В.А. Про-
странственно-армированные композиционные материалы: спра-
вочник. – М.: Машиностроение, 1987. – 224 с.
2. Пластинки и оболочки из углепластиков: учеб. пособие
для вузов / В.Л. Бажанов [и др.] / под ред. И.И. Гольденблат. –
М.: Высшая школа, 1970. – 408 с.
3. Победря Б.Е. О критериях разрушения структурно-
неоднородных материалов // Пластичность и разрушение
твердых тел: сб. науч. тр. – М.: Наука, 1988. – С. 170–175.
4. Wolfe W.E., Butalia T.S. A Strain-Energy Based Failure
Criterion for Non-Linear Analysis of Composite Laminates Sub-
jected to Biaxial Loading // Composites Science and Technology. –
1998. – Vol. 58. – P. 1107–1124. DOI: 10.1016/S0266-3538(96)00145-5
5. Davy C., Marquis D. A multiaxial failure criterion for a
brittle orthotropic composite // Materials & Design. – 2003. – Vol.
24. – P. 15–24. DOI: 10.1016/S0261-3069(02)00087-0
6. Li Sh., Sitnikova E. A critical review on the rationality of popular
failure criteria for composites // Composites Communications. – 2018. –
Vol. 8. – P. 7–13. DOI: 10.1016/j.coco.2018.02.002
7. The Tsai-Wu failure criterion rationalised in the context of
UD composites / Sh. Li [et al.] // Composites Part A: Applied Sci-
ence and Manufacturing. – 2017. – Vol. 102. – P. 207-217. DOI:
10.1016/j.compositesa.2017.08.007
8. Three-dimensional invariant-based failure criteria for fibre-
reinforced composites / P.P. Camanho [et al.] // International Jour-
nal of Solids and Structures. – 2015. – Vol. 55. – P. 92-107. DOI:
10.1016/j.ijsolstr.2014.03.038
9. Tsai S.W., Melo J.D.D. A unit circle failure criterion for
carbon fiber reinforced polymer composites // Composites Science
and Technology. – 2016. – Vol. 123. – P. 71–78.
DOI: 10.1016/j.compscitech.2015.12.011
10. Yang Ch., Jiao G., Guo H. Failure criteria for C/SiC compo-
sites under plane stress state // Theoretical and Applied Mechanics
Letters. – 2014. – Vol. 4. – P. 021007. DOI: 10.1063/2.1402107
11. Optimization of the Layers of Composite Materials from
Neural Networks with Tsai–Wu Failure Criterion / C.A. Diniz [et
al.] // Journal of Failure Analysis and Prevention. – 2019. – Vol.
19. – P. 709–715. DOI: 10.1007/s11668-019-00650-w
12. Kaddour A.-S., Hinton M.J. Failure Criteria for Compo-
sites // Comprehensive Composite Materials II / Ed. by P.W.R.
Beaumont, C.H. Zweben. – Oxford: Elsevier, 2018. – P. 573-600.
DOI: 10.1016/B978-0-12-803581-8.10354-6
13. Ван Фо Фы Г.А. Теория армированных материалов с
покрытиями. – Киев: Наукова думка, 1971. – 232 с.
14. Hashin Z. Analysis of Composite Materials – A Survey //
Journal of Applied Mechanics. –1983. – Vol. 50. – P. 481–505.
DOI: 10.1115/1.3167081
15. Kwon Y.W., Darcy J. Further discussion on newly devel-
oped failure criteria for fibrous composites // Multiscale and Mul-
tidisciplinary Modeling, Experiments and Design. – 2018.
Vol. 1. – P. 307–316. DOI: 10.1007/s41939-018-0022-z
16. Gu J., Chen P. Some modifications of Hashin’s failure criteria
for unidirectional composite materials // Composite Structures. – 2017. –
Vol. 182. – P. 143–152. DOI: 10.1016/j.compstruct.2017.09.011
17. Comparison of stress-based failure criteria for prediction
of curing induced damage in 3D woven composites / B. Drach
[et al.] // Composite Structures. – 2018. – Vol. 189. – P. 366-377.
DOI: 10.1016/j.compstruct.2018.01.057
Magnitsky I.V. / PNRPU Mechanics Bulletin 3 (2020) 48-59
58
18. Orthotropic criteria for transverse failure of non-crimp
fabric-reinforced composites / H. Molker [et al.] // Journal of
Composite Materials. – 2016. – Vol. 50. – P. 2445–2458.
DOI: 10.1177/0021998315605877
19. A new stress-based multi-scale failure criterion of compo-
sites and its validation in open hole tension tests / X. Li [et al.] //
Chinese Journal of Aeronautics. – 2014. – Vol. 27. –
P. 1430-1441. DOI: 10.1016/j.cja.2014.10.009
20. Christensen R.M., Lonkar K. Failure Theory / Failure Cri-
teria for Fiber Composite Laminates // Journal of Applied Mechan-
ics. – 2016. – Vol. 84. – 021009. DOI: 10.1115/1.4035119
21. Failure criteria of unidirectional carbon fiber reinforced po
lymer composites informed by a computational micromechanics model /
Q. Sun [et al.] // Composites Science and Technology. – 2019. –
Vol. 172. – P. 81–95. DOI: 10.1016/j.compscitech.2019.01.012
22. Shi Y.Zh., Pu X. New Two-Dimensional Polynomial Fail-
ure Criteria for Composite Materials // Advances in Materials Sci-
ence and Engineering. – 2014. – Vol. 2014. – P. 503483. DOI:
10.1155/2014/503483
23. The strength of multilayered composites under a plane-
stress state / P.A. Zinoviev [et al.] // Composites Science and
Technology. – 1998. – Vol. 58. – P. 1209–1223.
DOI: 10.1016/S0266-3538(97)00191-7
24. Yudhanto A., Tay T.E., Tan V.B.C. Micromechanical
Characterization Parameters for a New Failure Criterion for Com-
posite Structures // Fracture and Strength of Solids VI. – Vol. 306
of Key Engineering Materials. – 2006. – P. 781–786.
DOI: 10.4028/www.scientific.net/KEM.306-308.781
25. Predicting matrix failure in composite structures using a
hybrid failure criterion / N.T. Chowdhury [et al.] // Composite
Structures. – 2016. – Vol. 137. – P. 148–158.
DOI: 10.1016/j.compstruct.2015.11.019
26. Rotem A. The Rotem failure criterion for fibrous laminat-
ed composite materials: Three-dimensional loading case // Journal
of Composite Materials. – 2012. – Vol. 46. – P. 2379-2388. DOI:
10.1177/0021998312449677
27. Exploiting the structural reserve of textile composite struc-
tures by progressive failure analysis using a new orthotropic failure
criterion / R. Rolfes [et al.] // Computers & Structures. – 2011. –
Vol. 89. – P. 1214–1223. DOI: 10.1016/j.compstruc.2010.09.003
28. A consistent anisotropic damage model for laminated fiber-
reinforced composites using the 3D-version of the Puck failure criteri-
on / J. Reinoso [et al.] // International Journal of Solids and Structures. –
2017. – Vol. 126–127. – P. 37–53. DOI: 10.1016/j.ijsolstr.2017.07.023
29. Evaluations of failure initiation criteria for predicting
damages of composite structures under crushing loading / H. Jiang
[et al.] // Journal of Reinforced Plastics and Composites. – 2018. –
Vol. 37. – P. 1279–1303. DOI: 10.1177/0731684418783847
30. Gadade A., Lal A., Singh B. Stochastic progressive failure
analysis of laminated composite plates using Puck’s failure criteria //
Mechanics of Advanced Materials and Structures. – 2015.
Vol. 23. – P. 739–757. DOI: 10.1080/15376494.2015.1029163
31. Технология и проектирование углерод-углеродных
композитов и конструкций / Ю.В. Соколкин [и др.]. – М.:
Наука, 1996. – 236 с.
32. Проблемы и задачи неразрушающего контроля дета-
лей, узлов и сборочных единиц из углерод-углеродных и ке-
рамоматричных композиционных материалов нового поколе-
ния / В.П. Вагин [и др.] // Неразрушающий контроль компози-
ционных материалов: сб. тр. 1-й дистанц. науч.-техн. конф.
НККМ-2014 «Приборы и методы неразрушающего контроля
качества изделий и конструкций из композиционных и неод-
нородных материалов». – СПб.: Свен, 2015. – С. 45–56.
33. Сарбаев Б.С. Деформирование упругих многослойных
композиционных материалов при трехосном напряженном
состоянии // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Серия «Маши-
ностроение». – 2005. – С. 63–81.
34. Победря Б.Е. Механика композиционных материалов. –
М.: Изд-во Моск. ун-та, 1984. – 335 с.
35. Писаренко Г.С., Лебедев А.А. Деформирование и проч-
ность материалов при сложном напряженном состоянии. –
Киев: Наукова думка, 1976. – 416 с.
36. Работнов Ю.Н. Сопротивление материалов. – М.:
Физматгиз, 1962. – 456 с.
37. Morgan P. Carbon Fibers and their Composites. – Boca
Raton: CRC Press, 2005. – 1131 p. DOI: 10.1201/9781420028744
38. Свойства конструкционных материалов на основе угле-
рода / под ред. В.П. Соседова. – М.: Металлургия, 1975. –
336 с.
39. Магнитский И.В. О численном моделировании упру-
гих свойств объемно армированных композиционных мате-
риалов. // Новые технологии: материалы X Всерос. конф. – М.:
РАН, 2013. – Т. 2. – С. 21–32.
40. Ponomarev K.A., Magnitskiy I.V. Investigation of the
scale factor and deformation features during compression of a
spatially reinforced carbon composite material // IOP Conference
Series: Materials Science and Engineering. – 2019. – Vol. 683. –
P. 012053. DOI: 10.1088/1757-899X/683/1/012053
References
1. Tarnopolsky Yu.M., Zhigun I.G., Polyakov V.A.
Prostranstvenno-armirovannye Kompozitsionnye Materialy:
Spravochnik [Spatially Reinforced Composite Materials: Hand-
book]. Moscow, Mashinostroyeniye, 1987, 224 pp.
2. Bazhanov V.L., Goldenblat I.I., Kopnov V.A., Pospelov A.D.,
Siniukov A.M. Plastinki i Obolochki iz Ugleplastikov. Ucheb.
Posobie dlia Vuzov [Carbon Fiber Reinforced Polymer Composite
Plates and Shells: Universities Handbook]. Moscow, Vysshaia
shkola, 1970, 408 pp.
3. Pobedrya B.E. O Kriteriiakh Razrusheniia Strukturno-
neodnorodnykh Materialov [On Structurally Heterogeneous Mate-
rials Failure Criteria]. Moscow, Nauka, Plastichnost' i Razrushenie
Tverdykh Tel: Sbornik Nauchnykh Trudov, 1988, pp. 170–175.
4. Wolfe W.E., Butalia T.S. A Strain-Energy Based Failure
Criterion for Non-Linear Analysis of Composite Laminates Sub-
jected to Biaxial Loading. Composites Science and Technology,
1998, Vol. 58, pp. 1107–1124. DOI: 10.1016/S0266-
3538(96)00145-5
5. Davy C., Marquis D. A Multiaxial Failure Criterion for a
Brittle Orthotropic Composite. Materials & Design, 2003, vol. 24,
pp. 15-24. DOI: 10.1016/S0261-3069(02)00087-0
6. Li Sh., Sitnikova E. A Critical Review on the Rationality of
Popular Failure Criteria for Composites. Composites Communica-
tions, 2018, vol. 8, pp. 7–13. DOI: 10.1016/j.coco.2018.02.002
7. Li Sh., Sitnikova E., Liang Y., Kaddour A.-S. The Tsai-Wu
Failure Criterion Rationalised in the Context of UD Composites.
Composites Part A: Applied Science and Manufacturing, 2017,
vol. 102, pp. 207–217. DOI: 10.1016/j.compositesa.2017.08.007
8. Camanho P.P., Arteiro A., Melro A.R., Catalanotti G., Vogler
M. Three-dimensional Invariant-based Failure Criteria for Fibre-
reinforced Composites. International Journal of Solids and Structures,
2015, vol. 55, pp. 92-107. DOI: 10.1016/j.ijsolstr.2014.03.038
9. Tsai S.W., Melo J.D.D. A Unit Circle Failure Criterion for
Carbon Fiber Reinforced Polymer Composites. Composites Sci-
ence and Technology, 2016, Vol. 123, pp. 71–78.
doi: 10.1016/j.compscitech.2015.12.011
Магнитский И.В. / Вестник ПНИПУ. Механика 3 (2020) 48–59
59
10. Yang Ch., Jiao G., Guo H. Failure Criteria for C/SiC Compo-
sites under Plane Stress State. Theoretical and Applied Mechanics
Letters, 2014, vol. 4, pp. 021007. DOI: 10.1063/2.1402107
11. Diniz C.A., Cunha S.S., Gomes G.F., Ancelotti A.C. Optimi-
zation of the Layers of Composite Materials from Neural Networks
with Tsai–Wu Failure Criterion. Journal of Failure Analysis and Pre-
vention, 2019, vol. 19, pp. 709-715. DOI: 10.1007/s11668-019-00650-w
12. Kaddour A.-S., Hinton M.J. Failure Criteria for Compo-
sites. Comprehensive Composite Materials II. Ed. by Beaumont
P.W.R., Zweben C.H. Oxford, Elsevier, 2018, pp. 573-600.
DOI: 10.1016/B978-0-12-803581-8.10354-6
13. Van Fo Fy G.A. Teoriia Armirovannykh Materialov s
Pokrytiiami [Theory of Reinforced Materials with Coatings]. kiev,
naukova dumka, 1971, 232 pp.
14. Hashin Z. Analysis of Composite Materials – A Survey.
Journal of Applied Mechanics, 1983, vol. 50, pp. 481–505. DOI:
10.1115/1.3167081
15. Kwon Y. W., Darcy J. Further Discussion on Newly De-
veloped Failure Criteria for Fibrous Composites. Multiscale and
Multidisciplinary Modeling, Experiments and Design, 2018, vol. 1,
pp. 307-316. DOI: 10.1007/s41939-018-0022-z
16. Gu J., Chen P. Some Modifications of Hashin’s Failure Crite-
ria for Unidirectional Composite Materials. Composite Structures,
2017, vol. 182, pp. 143–152. DOI: 10.1016/j.compstruct.2017.09.011
17. Drach B., Tsukrov I., Trofimov A., Gross T., Drach A. Com-
parison of Stress-based Failure Criteria for Prediction of Curing In-
duced Damage in 3D Woven Composites. Composite Structures,
2018, vol. 189, pp. 366-377. DOI: 10.1016/j.compstruct.2018.01.057
18. Molker H., Wilhelmsson D., Gutkin R., Asp L.E. Ortho-
tropic Criteria for Transverse Failure of Non-crimp Fabric-
reinforced Composites. Journal of Composite Materials, 2016,
vol. 50, pp. 2445–2458. DOI: 10.1177/0021998315605877
19. Li X., Guan Z., Li Z., Liu L. A New Stress-based Multi-
scale Failure Criterion of Composites and its Validation in Open
Hole Tension Tests. Chinese Journal of Aeronautics, 2014, vol.
27, pp. 1430–1441. DOI: 10.1016/j.cja.2014.10.009
20. Christensen R.M., Lonkar K. Failure Theory / Failure Cri-
teria for Fiber Composite Laminates. Journal of Applied Mechan-
ics, 2016, vol. 84, 021009. DOI: 10.1115/1.4035119
21. Sun Q., Zhou G., Meng Z., Guo H., Chen Zh., Liu H.,
Kang H., Keten S., Su X. Failure Criteria of Unidirectional Carbon
Fiber Reinforced Polymer Composites Informed by a Computational
Micromechanics Model. Composites Science and Technology, 2019,
vol. 172, Pp. 81-95. DOI: 10.1016/j.compscitech.2019.01.012
22. Shi Y.Zh., Pu X. New Two-Dimensional Polynomial Fail-
ure Criteria for Composite Materials. Advances in Materials Sci-
ence and Engineering, 2014, vol. 2014, pp. 503483.
DOI: 10.1155/2014/503483
23. Zinoviev P.A., Grigoriev S.V., Lebedeva O.V., Tairova
L.P. The Strength of Multilayered Composites under a Plane-stress
State. Composites Science and Technology, 1998, vol. 58,
pp. 1209-1223. DOI: 10.1016/S0266-3538(97)00191-7
24. Yudhanto A., Tay T.E., Tan V.B.C. Micromechanical
Characterization Parameters for a New Failure Criterion for Com-
posite Structures. Fracture and Strength of Solids VI, Vol. 306
of Key Engineering Materials, 2006, pp. 781-786.
DOI: 10.4028/www.scientific.net/KEM.306-308.781
25. Chowdhury N.T., Wang J., Chiu W.K., Yan W. Predicting
Matrix Failure in Composite Structures using a Hybrid Failure
Criterion. Composite Structures, 2016, vol. 137, pp. 148-158.
DOI: 10.1016/j.compstruct.2015.11.019
26. Rotem A. The Rotem Failure Criterion for Fibrous Lami-
nated Composite Materials: Three-dimensional Loading Case.
Journal of Composite Materials, 2012, vol. 46, pp. 2379-2388.
doi: 10.1177/0021998312449677
27. Rolfes R., Vogler M., Czichon S., Ernst G. Exploiting the
Structural Reserve of Textile Composite Structures by Progressive
Failure Analysis using a New Orthotropic Failure Criterion. Com-
puters & Structures, 2011, vol. 89, Pp. 1214-1223. DOI:
10.1016/j.compstruc.2010.09.003
28. Reinoso J., Catalanotti G., Blazquez A., Areias P., Camanho
P.P., Paris F. A Consistent Anisotropic Damage Model for Laminated
Fiber-reinforced Composites using the 3D-version of the Puck Failure
Criterion. international journal of solids and structures, 2017,
vol. 126-127, pp. 37–53. DOI: 10.1016/j.ijsolstr.2017.07.023
29. Jiang H., Ren Y., Liu Zh., Zhang S., Wang X. Evaluations of
Failure Initiation Criteria for Predicting Damages of Composite Struc-
tures under Crushing Loading. Journal of Reinforced Plastics and Com-
posites, 2018, vol. 37, pp. 1279–1303. DOI: 10.1177/0731684418783847
30. Gadade A., Lal A., Singh B. Stochastic Progressive Fail-
ure Analysis of Laminated Composite Plates using Puck’s Failure
Criteria. Mechanics of Advanced Materials and Structures, 2015,
vol. 23, pp. 739-757. DOI: 10.1080/15376494.2015.1029163
31. Sokolkin Iu.V., Tashkinov A.A., Votinov A.M., Postnykh A.M.,
Chekalkin A.A. Tekhnologiia i Proektirovanie Uglerod-Uglerodnykh
Kompozitov i Konstruktsii [Technology and Design of Carbon-carbon
Composite Materials and Structures]. Moscow, Nauka, 1996, 236 p.
32. Vagin V.P., Dvoretskii A.E., Magnitskii I.V., Ponoma-
rev K.A., Tashchilov S.V. Problemy i Zadachi Nerazru-
shaiushchego Kontrolia Detalei, Uzlov i Sborochnykh Edinits iz
Uglerod-uglerodnykh i Keramomatrichnykh Kompozitsionnykh
Materialov Novogo Pokoleniia [Challenges and Problems of New
Generation Carbon-carbon and Carbon-Ceramic Parts, Units and
Assemblies Non-destructive Testing]. Nerazrushaiushchii Kontrol'
Kompozitsionnykh Materialov. Sbornik Trudov 1-i Distantsionnoi
Nauchno-tekhnicheskoi Konferentsii NKKM-2014 «Pribory i
Metody Nerazrushaiushchego Kontrolia Kachestva Izdelii i
Konstruktsii iz Kompozitsionnykh i Neodnorodnykh Materialov»
(Composite Materials Non-destructive Testing: Collection of Pa-
pers of 1 Remote Scientific and Technical Conference NNKM-
2014 “Instruments and Methods for Products and Structures Made
of Composite and Heterogeneous Materials Non-destructive Qual-
ity Control”), Saint-Petersburg, Sven, 2015, pp. 45–56.
33. Sarbaev B.S. Deformirovanie Uprugikh Mnogosloinykh
Kompozitsionnykh Materialov pri Trekhosnom Napriazhennom
Sostoianii [Deformation of Elastic Multilayer Composite Materials
under 3D Stress State]. Vestnik MGTU im. N.E. Baumana: Seriia
«Mashinostroenie» (Herald of the Bauman Moscow State Technical
University. Series Mechanical Engineering), 2005, pp. 63-81.
34. Pobedrya B.E. Mekhanika Kompozitsionnykh Materialov
[Composite Materials Mechanics]. Moscow, Izdatel'stvo
Moskovskogo universiteta, 1984, 335 pp.
35. Pisarenko G.S., Lebedev A.A. Deformirovanie i
Prochnost' Materialov pri Slozhnom Napriazhennom Sostoianii
[Materials Deformation and Stress under Complex Stress State].
Kiev, Naukova Dumka, 1976, 416 pp.
36. Rabotnov Iu.N. Soprotivlenie Materialov [Strength of Ma-
terials]. Мoscow, Fizmatgiz, 1962, 456 pp.
37. Morgan P. Carbon Fibers and their Composites. Boca Ra-
ton, CRC Press, 2005, 1131 pp. DOI: 10.1201/9781420028744
38. Nagornyj V.G., Kotosonov A.S., Ostrovskij V.S., Dymov
B.K. Svoistva Konstruktsionnykh Materialov na Osnove Ugleroda
[Properties of Carbon-based Structural Materials]. Moscow,
Metallurgiia, 1975, 336 pp.
39. Magnitskiy I.V. O Chislennom Modelirovanii Uprugikh
Svoistv Ob"emno Armirovannykh Kompozitsionnykh Materia-
lov [On Numerical Simulating of Spatially Reinforced Compo-
site Materials Elastic Properties]. Novye tekhnologii: Materialy
X Vserossiiskoi konferentsii (New Technologies: Proceedings
of X All-Russian Conference). Moscow, RAS, 2013, vol. 2,
pp. 21-32.
40. Ponomarev K.A., Magnitskiy I.V. Investigation of the
Scale Factor and Deformation Features during Compression of a
Spatially Reinforced Carbon Composite Material. IOP Conference
Series: Materials Science and Engineering, 2019, vol. 683,
pp. 012053. DOI: 10.1088/1757-899X/683/1/012053
Article
The paper presents results of studying the impact of the strength and stiffness scaling effects in modern spatially reinforced carbon-carbon composite materials on bearing capacity of the products made from them. These materials are widely used in equipment operating under extreme conditions of simultaneous loading with force and temperature factors. When designing such products, it becomes necessary to understand the influence degree of the frame damaged during machining on observed properties of the material used, including dimensions, at which it is required to consider reduction in strength and stiffness, as well as the value, which could reduce the considered properties.
Article
Full-text available
An experimental analysis of the scale effects of the strength and rigidity of CCCM with a 4-DL reinforcement scheme under compression has been carried out. The influence of the size and shape of the sample on the observed tensile strength and modulus of elasticity of the material is described. The features of nonlinear deformation of the material, the effect of multiple loading are considered. The X-ray computed tomography method analyzed the processes occurring in the structural components of the material.
Article
Full-text available
This paper presents a consistent anisotropic damage model for laminated fiber-reinforced composites relying on the 3D-version of the Puck failure criterion. The current model is based on ply failure mechanisms (fiber and inter-fiber failures) incorporating energetic considerations into the progressive damage evolution. The proposed formulation is implemented into the implicit FE commercial package ABAQUS using the user-defined capability UMAT. Additionally, the current damage model is combined with a locking-free solid shell formulation via the user-defined subroutine UEL in order to account for geometrical nonlinear effects in thin-walled applications. The reliability of the current formulation is first examined by means of several benchmark applications, and subsequently, the obtained numerical predictions are compared with experimental data corresponding to an open hole tension test. These applications show the practicability and accuracy of the proposed methodology for triggering damage in composite laminates, providing a robust modeling framework suitable for general specimens and loading conditions.
Article
Full-text available
A novel invariant-based approach to describe elastic properties and failure of composite plies and laminates has been recently proposed in the literature. An omni strain failure envelope has been defined as the minimum inner failure envelope in strain space, which describes the failure of a given composite material for all ply orientations. In this work, a unit circle is proposed as a strain normalized failure envelope for any carbon fiber reinforced polymer laminate. Based on this unit circle, a failure envelope can be generated from the longitudinal tensile and compressive strains-to-failure of a unidirectional ply. The calculated failure envelope was found in good agreement with experimental data published in the well-known World Wide Failure Exercise.
Article
Full-text available
The applicability and limitation of several quadratic strength theories were investigated with respect to 2D-C/SiC and 2.5D-C/SiC composites. A kind of damage-based failure criterion, referred to as D-criterion, is proposed for nonlinear ceramic composites. Meanwhile, the newly developed criterion is preliminarily validated under tension-shear combined loadings. The prediction shows that the failure envelope given by D-criterion is lower than that from Tsai-Hill and Hoffman criteria. This reveals that the damage-based criterion is reasonable for evaluation of damage-dominated failure strength.
Article
Popular failure criteria for fibre reinforced composites are subjected to critical scrutiny on their rationality. The rationality of a theory is about the mathematical and physical logic underlying the theory, rather than the closeness of their results in comparison with experimental data. Seeking for close comparisons with a set of experimental data before obtaining a basic level of rationality is not a scientific attitude, although the practice is becoming the norm in the community of science and engineering. A theory lacking of rationality can never be a sound one no matter how closely it compares with experimental data in one respect or another, since a good comparison in one respect comes at a price of poor agreement in some other respects usually, either unknown for the time being or hidden deliberately. The objective of this paper to raise the awareness of rationality, or the lack of it, in existing theories so that the users will be warned to exercise their judgement on the applicability of these theories before employing them in future. It should also help the researchers avoid incorporating illogical considerations into the formulations of the new theories they are developing.
Article
A new three-dimensional failure criteria for fibre-reinforced composite materials based on structural tensors is presented. The transverse and the longitudinal failure mechanisms are formulated considering different criteria: for the transverse failure mechanisms, the proposed three-dimensional invariant-based criterion is formulated directly from invariant theory. Regarding the criteria for longitudinal failure, tensile fracture in the fibre direction is predicted using a noninteracting maximum allowable strain criterion. Longitudinal compressive failure is predicted using a three-dimensional kinking model based on the invariant failure criteria formulated for transverse fracture. The proposed kinking model is able to account for the nonlinear shear response typically observed in fibre-reinforced polymers. For validation, the failure envelopes for several fibre-reinforced polymers under different stress states are generated and compared with the test data available in the literature. For more complex three-dimensional stress states, where the test data available shows large scatter or is not available at all, a computational micro-mechanics framework is used to validate the failure criteria. It is observed that, in the case of the IM7/8552 carbon fibre-reinforced polymer, the effect of the nonlinear shear behaviour in the failure loci is negligible. In general, the failure predictions were in good agreement with previous three-dimensional failure criteria and experimental data. The computational micro-mechanics framework is shown to be a very useful tool to validate failure criteria under complex three-dimensional stress states.
Article
In this paper, a novel orthotropic layer based failure criterion for modelling progressive failure of non-crimp fabrics is presented. The strength parameters and stiffnesses needed for this failure criterion are obtained from virtual material tests. Therefore, a finite element multiscale algorithm is used to model the effect of lower scale inhomogeneities on macroscale material behavior. With this multiscale approach it is possible to make predictions for one single layer within a textile preform solely from the knowledge of the mechanical behavior of the constituents fiber and matrix and from the textile fiber architecture. The obtained stiffnesses and strengthes for one textile layer are used as input data for the novel orthotropic failure criterion presented in this paper. In order to show the workability of this failure criterion, finite element simulations of coupon tests and of a three-point bending test of a textile composite are shown and compared to experimental data.
Article
The non-linear responses of a lamina under uniaxial longitudinal tension and compression, transverse tension and compression and shear loadings are used to predict the stress/strain response, failure onset and progression in composite laminates subjected to in-plane biaxial loading. A piecewise cubic spline interpolation scheme has been used to represent the basic material properties along the lamina material axes. A laminated plate theory that includes an iterative incremental constitutive law to account for the non-linear behavior of the laminae is combined with a strain-energy based failure criterion for orthotropic materials. Unloading of the failed laminae and subsequent failure progression of the laminate are included in the model. Results for failure onset and progression are presented for a wide variety of unidirectional and symmetric laminates under biaxial loading.
Article
A multiaxial failure criterion is validated for a brittle orthotropic composite, namely a tridirectional carbon–carbon composite (3D CC). It is aimed at designers of 3D CC structures. The composite is subjected to a triaxial strain state along its reinforcement axes, which is representative of its in-service loading conditions. A multiaxial test rig is designed in order to reproduce this required strain state. Its mock-up dimensions are optimised by combining Taguchi experimental strategy with tridimensional finite element modelling. Comparison of experimental results with numerical modelling shows that failure occurs due to the required strain state; failure is brittle and corresponds to simultaneous breakage of carbon yarns along the three reinforcement axes. Subsequently, the experiment validates a failure criterion, which assumes linear coupling between the three principal strains.