Solución de la ecuación de convección-difusión mediante las funciones de base radial multicuádricas Solution of Convection-Diffusion Equation by Multiquadric Radial Basis Function OPEN ACCESS

Abstract

En este paper se propone un algoritmo computacional que resuelve la ecuación de convección difusión unidimensional estacionaria, utilizando un método numérico basado en las funciones de base radial (RBF). Para la aplicación de este algoritmo es necesaria la generación de diferentes valores del número de Peclet para obtener soluciones gráficas, en donde se comparó con la solución analítica reportada por Patankar.

Full text

INGENIERÍAS
USBMed
π
https://revistas.usb.edu.co/index.php/ingUSBmed ARTÍCULO DE INVESTIGACIÓN
Solución de la ecuación de convección-difusión mediante las
funciones de base radial multicuádricas
Solution of Convection-Diffusion Equation by Multiquadric Radial Basis Function
Leidy Johana Gaviria Posada1
Andrés Felipe Hernández Marulanda2
1Ingeniería Biomédica, Facultad de Ciencias Exactas y Aplicadas, Instituto
Tecnológico Metropolitano Medellín, Colombia.
Email: leidygaviria186418@correo.itm.edu.co
2Facultad de Ingeniería Grupo de Investigación en modelamiento y simulación
computacional, Universidad de San Buenaventura, Medellín, Colombia.
Email: andres.hernandez@usbmed.edu.co
OPEN ACCESS
Copyright:
©2020. La revista Ingenierías USBmed
proporciona acceso abierto a todos sus
contenidos bajo los términos de la li-
cencia creative commons Atribución no
comercial SinDerivar 4.0Internacional
(CC BY-NC-ND 4.0)
Tipo de artículo: Investigación.
Recibido: 18–05–2020.
Revisado: 18–20–2020.
Aprobado: 19–06–2020.
Doi: 10.21500/20275846.4727
Referenciar así:
L. J., Posada-Gaviria and A. F.
Hernández-Marulanda, “Solución de la
ecuación de convección difusión medi-
ante las funciones de base radial multi
cuádricas,” Ingenierías USBMed, vol.
11, no. 2, pp. 48-53, 2020.
Disponibilidad de datos:
todos los datos relevantes están dentro
del artículo, así como los archivos de
soporte de información.
Conflicto de intereses:
los autores han declarado que no hay
conflicto de intereses.
Editor: Andrés Felipe Hernández.
Universidad de San Buenaventura,
Medellín, Colombia.
Resumen. En este paper se propone un algoritmo computacional que
resuelve la ecuación de convección-difusión unidimensional estacionaria
utilizando un método numérico basado en las funciones de base radial
(RBF). Para la aplicación de este algoritmo fue necesaria la generación
de diferentes valores del número de Peclet para obtener soluciones grá-
ficas, que se compararon con la solución analítica reportada por Patankar.
Palabras Clave. Número de Peclet, funciones de base radial, función
multicuádrica, convección-difusión.
Abstract. In this paper we propose a computational algorithm that
solves the stationary one-dimensional diffusion-convection equation, using
a numerical method based on radial base functions (RBF). For the
application of this algorithm, it was necessary to generate different values
of the Peclet number to obtain graphical solutions, which were compared
to the analytical solution reported by Patankar.
Keywords. Peclet Number, Radial Basis Functions, Multiquadric
Function, Convection-Diffusion
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L. J., Posada-Gaviria & A. F. Hernández-Marulanda
I. Introducción
En orden de disminuir el alto costo de la generación de
malla, numerosas alternativas se han propuesto en las
pasadas dos décadas. Los esquemas libres de malla son
aquellos en que la solución se aproxima a un conjunto
de nodos sin conectividad específica [1].
La ecuación de convección-difusión es importante
para entender procesos de termodinámica, movimiento
de fluidos o liberación de fármacos en la investigación
biomédica [2]. Ha sido aplicada exitosamente en dife-
rentes áreas de la ciencia y la ingeniería. Para re-
solverla se han implementado diversos métodos numéri-
cos que varían en eficiencia y precisión [3]. El más uti-
lizado es el de Galerkin [4]. La mayor limitación de la
colocación por RBF es que al incrementar la cantidad
de nodos o el parámetro de forma, el número de condi-
ciones en la matriz correspondiente aumenta, lo cual
puede generar problemas en la convergencia [5], [6].
Uno de los avances en el área es el método de Kansa
[7], que fue de los primeros esquemas de colocación de
fácil uso. Este contiene una falla en la simetría de la
matriz de interpolación al colocar los límites [8]. Para
remediar este problema algunos autores utilizan méto-
dos de descomposición de dominios [9] u otros como la
descomposición por matrices hermíticas propuesta por
Fasshauer [10], [11].
Este trabajo plantea solucionar la ecuación de con-
vección-difusión unidimensional estacionaria utilizando
las funciones de base radial y el esquema de discretizaci-
ón numérica para resolver ecuaciones diferenciales par-
ciales hiperbólicas, conocido como esquema upwind [12],
[13], asociado tradicionalmente con el desarrollo de
esta ecuación por el método de Crank-Nicholson [14].
Se creó un algoritmo computacional en Matlab que
se entrega para libre uso. Además, se compararon
los resultados con los encontrados en la literatura, es-
pecialmente con la solución analítica encontrada por
Patankar [15], [16].
II. Modelos matemáticos
A. Ecuación de convección-difusión
Se parte de la ecuación en derivadas parciales:
∂2T
∂x2+U∂T
∂x = 0 (1)
Donde U=ρµ
rse conoce como el número de Peclet.
Se desea resolver el problema con condiciones tipo
Dirichlet, con valores iniciales u= 1 en x= 0 yu= 0
en x= 1.
B. Funciones de base radial
Suponiendo que f=f(x),x∈Rdes una función real
definida en dimensiones que sebuscan aproximar, donde
ladistribución depuntos es aleatoria. Una aproximación
afvía funciones de base radial es una función Sde la
forma [17]:
S(x) =
N

j=1
αjΨ(|x−xj|) + P(2)
Donde Ndenota el número de puntos, αel vector de
incógnitas, Ψ : Rd→Rllamado núcleo radial y |·| la
norma euclidiana.
La aproximación de fmediante el método de inter-
polación por funciones de base radial se expresa:
S(x) =
N

j=1
αjΨ(rij ) + P(3)
con rij =(xi−xj)2, donde el sistema de ecua-
ciones puede ser reescrito como:
S(x) =
N=3

j=1
αjΨj(rij ) + α4+α5x+α6x6(4)
Y en forma matricial:
ΨP
PT0λ
c=u
0(5)
donde la matriz Ψes de n×n,λde n×1yfde
n×1, y Pes un polinomio de cualquier orden que acom-
paña la solución. En este trabajo se utilizó un poli-
nomio de orden 2. La solución puede ser determinada
si la matriz Ψes no singular. Dentro de las funciones
de base radial (FBR) se tienen las de soporte global y
compacto, en el siguiente cuadro se muestran las más
comunes [18]:
Tabla 1. Prncipales funciones de base radial empleadas
normalmente.
Núcleo radial Nombre
φ(r) = r2dln(r)Placa delgada
φ(r) = √r2+c2Multicuádrica
φ(r) = 1
√r2+c2Inv. Multicuádrica
φ(r) = e−r2
c2Exponencial
φ(r) = (1 −|r|)4Wendland
C. Discretización
Partiendo de la definición de esténcil como un arreglo or-
denado de nodos y de la ecuación (1) se tiene que la pro-
piedad física a determinar está conformada por la com-
binación lineal de coeficientes y valores de la función
en cada nodo que compone el esténcil.
T=α1ϕ1+α2ϕ2+α3ϕ3(6)
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En donde de forma matricial se puede saber que:


T1
T2
T3

=ϕ

α1
α2
α3

(7)
Por definición de interpolación los valores de αestán
dados por el de la propiedad nodal y la matriz inversa:
[ϕ][α]=[T](8)
Como se conoce el valor de esos elementos, se debe
expresar αen la forma:
α=ϕ−1[T](9)
En donde el valor para cada coeficiente es:
[α]1= [ϕ]−1

T1
T2
T3

(10)
[α]2= [ϕ]−1

T2
T3
T4

(11)
Entonces, la ecuación de difusión está dada por:
α1
d2ϕ1
dx2+α2
d2ϕ2
dx2+α3
d2ϕ3
dx2= 0 (12)
Se crean nuevas variables que contienen la derivada
de la función, lo cual permite resolver el sistema:
C1T1+C2T2+C3T3= 0 (13)
C∗
1T2+C∗
2T3+C∗
3T4= 0 (14)
En donde se tiene la matriz:
C1C2C30
0C∗
1C∗
2C∗
3



T1
T2
T3
T4




=0
0(15)
Conformando un nuevo sistema de ecuaciones matri-
ciales lineales que, por solución matricial, daría los val-
ores de la propiedad en cada nodo que compone la matriz:
x=A\b(16)
III. Metodología
Se desarrolló un algoritmo computacional en Matlab
que consta de una rutina principal que llama a otras
subrutinas para la ejecución del código.
Se crea un esténcil con 3 elementos para los nodos
interiores y 2 elementos para las fronteras. Con base
en esto se forma la matriz de solución final, que entrega
los valores de la propiedad buscada en cada uno de los
nodos a partir de los datos encontrados por medio de
la ecuación matricial.
Esta rutina principal se generó empleando estruc-
turas para la creación de los nodos y las coordenadas
de la geometría.
Los archivos que se encuentran son:
Principal.m: es el programa que llama las demás
subrutinas.
Fn_base: es la función que crea las funciones de
base radial multicuádricas con para los esténciles de 3
elementos o interiores.
Fn_basel: es la función que crea las funciones de
base radial multicuádricas con c=0.8 para los esténciles
de 2 elementos o de fronteras.
Fn_norma: es la función que crea la distancia
euclideana para la creación de las matrices de solución.
Primerap: calcula las derivadas de las funciones
de base radial creadas, para la solución de la ecuación
de convección-difusión.
Positive: utiliza el esquema upwind para crear el
esténcil cuando el número de Peclet es positivo.
Negative: utiliza el esquema upwind para crear el
esténcil cuando el número de Peclet es negativo.
Setup.exe: ejecuta el programa sin necesidad de
entrar a principal.
IV. Resultados
Partiendo de la solución analítica reportada por Patan-
kar [16] (Figura 1).
Figura 1. Solución analítica ecuación de
convección-difusión variando Peclet
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De acuerdo con la solución analítica conseguida por
Pantankar [16], se replicaron los 5 casos registrados
para ver cómo operaba el algoritmo computacional. Se
obtuvieron los siguientes resultados:
Las simulaciones se corrieron con una interpolación
local que, mediante la construcción del esténcil, toma
tres nodos interiores y dos nodos en la frontera. Los
diferentes ensayos se realizaron con 100, 500 y 1000 no-
dos. Las gráficas obtenidas se plantearon con 500 nodos.
El primer caso es −U < 1. Esto representa el traspor-
te dominado por la difusión. El fluido fluye en direc-
ción de negativo. aumenta exponencialmente hasta un
valor igual a 1 sin recorrer completamente la geometría
de la simulación (Figura 2).
Figura 2. Solución numérica ecuación de
convección-difusión variando Peclet <1
El segundo es U > 1. Esto representa el transporte
dominado por la convección. El fluido fluye en direc-
ción de positivo. aumenta exponencialmente hasta un
valor igual a 1 a medida que se desplaza por valor má-
ximo de la posición, aunque el valor predominante es
cero (Figura 3).
Figura 3. Solución numérica ecuación de
convección-difusión variando Peclet >1
El tercero es un comportamiento lineal cuando se
tiene un valor en el número de Peclet igual a cero
(Figura 4).
Figura 4. Solución numérica ecuación de convección-
difusión variando Peclet =0
Como se observa en los casos propuestos, el algo-
ritmo efectúa la ecuación con el esquema upwind de-
pendiendo de la variación en el número de Peclet. El
resultado es igual al consignado por la literatura.
V. Discusión
Un algoritmo computacional que solucione la ecuación
de convección-difusión utilizando el método numérico de
funciones de base radial es una herramienta que permite
entender el comportamiento asociado al transporte de un
fluido o al de la ecuación de calor. Además, sirve como
punto de partida para el estudio numérico de la forma-
ción de cardiomiopatías o para el proceso de liberación
de fármacos utilizado en stent cardiovasculares.
Adicionalmente, combinado con técnicas de machine
learning, puede ayudar a producir un modelo predic-
tivo de fallas arteriales asociadas al flujo sanguíneo con
desprendimiento de placa o transporte de trombos.
VI. Conclusiones
El uso del esquema de interpolación de funciones de
base radial desarrollado por Kansa ha posibilitado la
solución de ecuaciones en derivadas parciales con gran
precisión y utilizando un menor tiempo de cómputo.
En el presente artículo presenta una alternativa
para trabajar con la ecuación de convección-difusión
utilizando el esquema de upwind y la función mul-
ticuádrica. Aunque varios autores han mejorado es-
tos procedimientos, el algoritmo plantea una respuesta
híbrida que se ha aplicado para llevar a cabo ecuaciones
diferenciales no lineales [19].
El principal aporte de este trabajo es que dicho algo-
ritmo computacional resuelve la ecuación para cualqui-
er número de nodos, considerando que a mayor número
de nodos, mayor precisión y menor tiempo de cómputo.
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Se varió el número de Peclet según lo reportado en
la literatura para hacer una validación cualitativa de
los resultados entregados.
Aunque el método es relativamente joven permite
ejecutar diferentes problemas de forma eficaz [20].
VII. Trabajos futuros
En el modelado computacional de ecuaciones diferen-
ciales parciales existen dos vertientes: los métodos tradi-
cionales que se apoyan en el mallado, como los volúme-
nes y los elementos finitos, y los métodos libres de
malla, como es el caso de las funciones de base radial.
Estos últimos han facilitado la creación de una nueva
línea de trabajo que optimiza la operatividad de los
códigos. De este modo reduce considerablemente el
tiempo de cómputo y hace posible usar computadores
personales para realizar cálculos complejos.
Se propone la implementación de modelos híbri-
dos como funciones de base radial con procedimientos
numéricos vanguardistas –como el método de elemen-
tos de frontera– para solventar problemas de ingeniería
en dos y tres dimensiones.
VIII. Agradecimientos
Los autores agradecen al Instituto Tecnológico Metropo-
litano por la formación de uno de los autores y a la
Universidad de San Buenaventura por el tiempo para
la elaboración de esta investigación.
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