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Polynomiale Iterationsverfahren zur Lösung indefiniter linearer Gleichungssysteme mit optimalen Iterierten und kurzer Rekursion /
Abstract
Zugl.: Hamburg, Univ., Diss., 1995.
In dieser Dissertation wird die iterative Verfahrensklasse der Multiparametrischen Gradientenverfahren zur Lösung (nicht)linearer Probleme vorgestellt. Obwohl es bereits vor 150 Jahren von Augustin Louis Cauchy der einparametrische Fall behandelt wurde, sind theoretische Resultate zum multiparametrischen Fall dünn gesät. Das vorliegende Werk ist als Basis für einen weiteren Ausbau der Theorie zu verstehen. Grobes Konzept der Verfahren: Ausgehend von einem vorgegebenen Startpunkt wird die nachfolgende Iterierte mittels einer Linearkombination optimal gewichteter Suchrichtungen bestimmt. Den Fragen nach effizient berechenbar "guten" Suchrichtungen, der Bestimmung optimaler Schrittweitenparameter und der zugehörigen Fehleranalyse wird intensiv nachgegangen. Dabei erschwert der benutzte additive Ansatz, dessen besonderer Reiz in der Möglichkeit einer Parallelverarbeitung liegt, massiv jede Analyse. Zudem versagen Vorgehensweisen, die sich bei multiplikativen Methoden bewährt haben. Auswege werden aufgezeigt und numerische Ergebnisse untermauern die bewiesenen Aussagen. Die zugrundeliegenden Algorithmen werden für Reproduktionszwecke durch den angegebenen Maple-Quellcode ergänzt.
Quaternions are a tool used to describe motions of rigid bodies in ℝ3, (Kuipers, [15]). An interesting application is the topic of moving surfaces (Traversoni, [21]), where quaternion interpolation is used which requires solving equations with quaternion coefficients. In this paper we investigate the well known conjugate gradient algorithm (cg-algorithm) introduced by Hestenes and Stiefel [10] applied to quaternion valued, hermitean, positive definite matrices. We shall show, that the features known from the real case are still valid in the quaternion case. These features are: error propagation, early stopping, cg-algorithm as iterative process with error estimates, applicability to indefinite matrices. We have to present some basic facts about quaternions and about matrices with quaternion entries, in particular, about eigenvalues of such matrices. We also present some numerical examples of quaternion systems solved by the cg-algorithm.
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