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Wie verdoppelt man ein Quadrat?
Essay zur geometrischen Episode im Menon-Dialog, einem klassischen Text der
Philosophie und der Pädagogik
Stefan L. Meyer
April 2021
Einleitung
Der Menon-Dialog von Platon beginnt mit der Frage nach der Lehrbarkeit der Tugend:
«Kannst Du mir sagen, ob Tugend gelehrt oder geübt werden kann? Oder ob sie von
Natur den Menschen innewohnt?» [Men. 70a ff.]. – An einer Stelle im Dialog liefert
Sokrates Menon mit der «geometrischen Episode» einen exemplarischen Beleg für die
Anamnesis, das ist die Wiedererinnerung an die Lösung der Frage, wie man die Fläche
eines Quadrats verdoppelt. Der Dialog mit dem Sklaven, welcher noch keine
geometrische Bildung erfahren hat, zeigt überdeutlich, dass sich der Sklave schwerlich
„erinnern“ könnte, wenn er nicht mit der Fragekunst / Hebammenkunst des Sokrates
konfrontiert würde.
Der folgende Auszug ist ein Vorabdruck der 2., überarbeiteten Auflage der Schrift
„Was sagst du zur Rechenschwäche, Sokrates?“ (vgl. Meyer, 1993). Dort wurde die
Auseinandersetzung um die Lehrbarkeit der Tugend zu einem sokratischen Dialog
über die Heilbarkeit der Rechenschwäche (Dyskalkulie) umgeschrieben, quasi als ein
Sampling. Zu Beginn der Abschnitte der Dialoge wird der Inhalt auch mit Bezügen zum
Diskurs über die Rechenschwäche zusammengefasst.
Ich danke dem Philosophen, Daniel Cabalzar, herzlich für die engagierte und
wertvolle Blattkritik. Ich hoffe, dass aus dieser Zusammenarbeit viele neue
philosophische und pädagogische Workshops entstehen werden.
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Der Dialog zwischen Sokrates, einem Sklaven und Menon [Men. 82 b ff.]
Menon forderte von Sokrates einen Beweis für dessen Hebammenkunst. Diese
Lehrkunst verzichtet auf die gewohnte Spende von Erkenntnissen über eine Sache.
Der nach Einsicht Suchende wird im Gespräch so begleitet, dass er mit Hilfe seines
Vorwissens, seiner Meinungen, seiner Vermutungen, seiner Fehlschlüsse, seiner
Lösungsversuche und seiner Fragen mit der Zeit die Einsicht in den Sachverhalt selbst
erringt.
Merkelbach (1988) vertritt die These, dass die Schilderung des Dialoges mit dem
Sklaven nicht nur pädagogische, sondern auch philosophische und
erkenntnistheoretische Motive habe. Denn Sokrates unterbricht den Dialog mit dem
Sklaven an zwei Stellen, um mit Menon die Bedeutung der vorangegangenen
Episoden zu erörtern. Zuerst heisst es: „Siehst du Menon, dass ich ihn überhaupt nicht
belehre, sondern alles frage?“ [Men. 82 e]. Nach einer weiteren Episode unterbricht
Sokrates erneut: „Merkst du Menon, welche Fortschritte er schon im Erinnern macht?“
[Men. 84 a]. Nach Merkelbach (1988) deuten diese Unterbrüche an, dass der Menon-
Dialog ein Arbeitstext war, dessen Lektüre zwecks philosophischer
Auseinandersetzungen immer wieder unterbrochen worden war. Dadurch wird
deutlich, wie vielschichtig der Inhalt eines Lehr-Gesprächs sein kann. Der
Ausgangspunkt des Menon-Dialogs ist die Frage, wie der Mensch zur Tugend oder die
Tugend zum Menschen kommt. Im Gespräch um diesen Ausgangspunkt entstehen
zunehmend Argumentationsketten, deren Gedanken fortlaufend kritisch geprüft
werden, inwiefern sie die Einsichten bewahrheiten oder nicht.
Eines ist bei Platon klar: Tugend entsteht nicht aus Belehrung. Seine
Grundannahmen gehen von den konkreten Erfahrungen der Menschen aus. Das
rechte Meinen (vgl. Merkelbach, 1988, S. 10), das Hörensagen und das Wissen
werden von interessierten und freundschaftlich gesinnten Gesprächspartnerinnen und
-Partnern fortlaufend kritisch erörtert. Sokrates tritt als Wegbegleiter zum wahren
Wissen in Erscheinung. Im Gespräch mit ihm kommt es immer wieder zu Irritationen
über vermeintliches Wissen, das als Unwissen entlarvt wird. Den Betroffenen ist
zumute, als wären sie von einem Zitterrochen betäubt worden (vgl. Men. 84b). Erst
jetzt kann die bedeutungsvolle Suche nach dem wahren Wissen weitergehen.
Vorläufige Gewissheiten werden stets weiter geprüft und abstrahiert. Doch, und das
ist die sokratische Ironie, führt alles Bemühen um das Unwissen und die Meinungen,
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sowie alle durch Bildung erzeugten Ausgänge aus dem Unwissen und dem Meinen
nicht zu einem Schatz an Wissen, sondern zur Einsicht in das Nichtwissen: „Ich weiss,
dass ich nichts weiss“ (vgl. Platon, Apologie 21d ff).
Aus diesem Grund lässt Platon seinen Lehrer, Sokrates, in der geometrischen
Episode zeigen, wie das Einsichtig-Werden vor sich geht. Der Leser wird Zeuge einer
Lehrperson, die auf Belehrung verzichtet. Er erfährt, was ihre Methode ist und wie sie
arbeitet, damit sie zur Geburtshelferin von wahrem Wissen in Abgrenzung zu den
Einbildungen und dem rechten Meinen werden kann (vgl. Merkelbach, 1988, S. 10).
Lernen erfolgt nach Sokrates in einer ersten Bewegung durch Anamnesis: sich
erinnern, sich besinnen und sich ins Gedächtnis zurückrufen. Sokrates versteht Lernen
als eine Wiedererinnerung an etwas, das man im Grunde schon immer gewusst hat,
welches aber in Vergessenheit geraten ist. In Tätigkeiten wird dieses Wiedererinnern
in Gang gesetzt und lässt «von Natur aus» das rechte Meinen in Erscheinung treten
(vgl. Merkelbach, 1988, S. 10). Lernen erfolgt nicht durch passive Erfahrungen des
Behaltens von Wissen, Wissen verschwindet nicht durch Vergesslichkeit und Erlerntes
entsteht nicht aus Nichtwissen (Klein, 1995). Lernen ist die Reaktivierung von latentem
Wissen durch tätiges Nachdenken über die Gründe (Wieland 1978, Reclam Nr. 9911,
S. 107; Merkelbach, 1988, S. 9). Dadurch wird das falsche Meinen bzw. die Einbildung
vom rechten Meinen unterscheidbar. Im Menon-Dialog wird bewusst, dass das
Wiedererinnern oder Lernen eigentlich eine dialektische Kategorie ist. Interaktion und
Emergenz sind natürliche Komponenten der Szenen. Die Besinnung erfolgt sowohl im
Hören des Sokrates als auch im Nachdenken und Reden des Sklaven.
Eine zweite Bewegung lässt die philosophische oder erkenntnistheoretische Ebene
erreichen. Das Meinen ist in wahres Wissen transformiert worden. Das Einsichtig-
Werden, das ist das Entstehen lassen von wahrem Wissen, erfolgt über das Lernen,
welches das Wissen mit Hilfe des Nachdenkens über die Gründe und die Bedeutungen
erzeugt. In der genetischen Erkenntnistheorie wird diese Bewegung bzw. dieses
Lernen am Denken über das Denken „l’abstraction réfléchissante“ genannt, das ist
fortlaufende reflektive Abstraktion in freien Konversationen und im Verzicht auf
Suggestion (vgl. Piaget, 1977 a, b, 1999). Die Bewegung erstreckt sich grob
umschrieben vom Nachdenken über Erfahrungen, das ist die empirische Abstraktion,
zum Nachdenken über das Denken (über Erfahrungen), das ist die gedankliche
Abstraktion.
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Statisten oder Gesprächspartner?
Unbedachtes Lesen des Originals könnte den Eindruck festigen, dass sich der Sklave
in einer Art „Statistenrolle“ befinde (vgl. Kohler, 2009, S. 262; Leuders, 2003). Es sei
doch meistens Sokrates, der die Vermutungen formuliere und begründe. Diese
Interpretationslinie steht in einer langen Tradition, welche annimmt, die sokratische
Methode sei eine Art didaktische Maschine in der Form eines Lehrgespräches.
Im eindrücklichen Beispiel von Bahrdt „Entwicklung der Urteilskraft des Schülers durch
die sokratische Lehrart“ (zit. nach Rutschky, 1982, S. 567) wird in einer Einleitung an
die Grundsätze von Platons Lehre erinnert. Im Anschluss schildert Bahrdt ein Beispiel,
wie der Zögling, Fritz, mit seinem Lehrer lernt, was Sünde heisst, ohne dass der
Schüler durch den Lehrer belehrt wurde. – Das Beispiel von Bahrdt steht für einen
formalistischen Fehlschluss. Die kopierte Form kommt bloss mit einem pädagogischen
Kommentar daher und nicht mit der von Platon inszenierten Triangulierung: Sokrates
– Sklave – Menon und den differenzierten Szenen.
Dass die Statisten-Hypothese eher durch ungefähres Lesen und durch Kolportagen
gehalten wird, kann durch die differenzierte Analyse von Klein (1995) indirekt
aufgezeigt werden. Der Sklave ist nicht Statist oder Objekt der Hebammenkunst. Der
Sklave folgt Sokrates aufmerksam und prüft dessen vorgeschlagene Gedanken. Klein
(1995, S. 105) kam zum Schluss: «His „yes“ and his „no“ indicated what he held to be
true or untrue: they represent his opinions no less than the arithmetical answers
represented the results of his counting and reckoning.»
Die Statisten-Hypothese basiert auf Fehlannahmen und auf Fehlschlüssen, welche
davon ausgehen, dass die geometrische Episode im Menon-Dialog ein didaktisches
Lehrprogramm sei, mit dem beliebige Themen indirekt beigebracht werden könnten.
Dabei wird der Originaltext auf ein didaktisches Musterprogramm reduziert. Kanakis
(1997) beschreibt das Verhältnis zwischen der sokratischen Lehrstrategie und der
Relevanz für die heutige Didaktik differenzierter. Er zeigt anhand der frühen Dialoge
von Platon folgendes:
In den Dialogen lädt Sokrates seine Gesprächspartner ein, ihre Meinung frei zu äussern,
wobei er sich selbst als unwissend zum Diskussionsthema stellt, im weiteren Verlauf
jedoch die geäusserten Ansichten an konkreten Beispielen hinterfragt und so die
Gesprächspartner auffordert, ihr egozentrisches Konzept auf ein generelles
auszuweiten. (ebd., S. 225)
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Die Geometrische Episode und der Mathematikunterricht heute
Struve & Voigt (1988) lösen die geometrische Episode im Menon-Dialog für eine
Analyse der Mathematikdidaktik heraus: «Die Unterrichtsszene zwischen Sokrates
und einem Sklaven in Platons Menon-Dialog ist eines der ältesten und wohl
bedeutendsten Beispiele für Mathematikunterricht» (ebd., S. 259). Sie kontrastieren
die platonischen Grundannahmen mit interessanten Interaktionsanalysen des
Mathematikunterrichts und kommen zum Schluss, dass Belehrung heute indirekt und
verdeckt ausgeübt werde. In ihren Analysen des Menon-Dialogs gehen sie implizit von
einer hermeneutischen Texttheorie aus, nach der die Bedeutung eines Textes mehr
oder weniger eindeutig im Text liege (vgl. Wagenschein, 1962; Prange, 1973; Kammer
& Lüdeke, 2005).
Merkelbach (1988) und Klein (1995) rekonstruieren am Beispiel des Menon-Dialogs
auch die Lernkultur der Platonischen Akademie, in der Arbeitstexte wie der Menon-
Dialog gelesen und erörtert worden sind. Der Menon-Text ist also mehr als ein auf
Didaktik reduziertes Libretto, er ist mehr als ein kopierbares Muster. Der Menon-Text
ist mit einem «Rhizom» vergleichbar (vgl. Deleuze & Guatari, 1977). Das Wesentliche
des Textes existiert im Unsichtbaren, unterirdisch, zwischen den Zeilen, im
Unbewussten des Individuums, in der Latenz von Gruppen und im Nichtwissen. Das
Rhizom symbolisiert Kultur als Sprossachsensystem. Der Ingwer, der Bambus, das
Maiglöckchen, das Buschwindröschen, der Efeu u.v.a. sind Rhizome. Das Rhizom ist
Symbol der modernen und offenen Theorien des Textes, die Hebammenkunst
umschreibt die Freude am Text und am Dialog über den Text. Nach Barthes (2005) ist
der Text mit einem Netz vergleichbar. Der Text durchquert das Werk, ja sogar mehrere
Werke: «Der Text ist ein methodologisches Feld» (ebd., S. 42). Der Leser ist zur
Mitarbeit eingeladen.
Zazkis & Koichu (2015, 2018) zeigen, wie die klassischen Dialoge Galileis zur
Unendlichkeit, Platons Menon und Lakatos' Proofs and Refutations (vgl. Lakatos,
2015) in die Lehrerausbildung integriert werden können.
Die texttheoretischen und didaktischen Hinweise führen zum Schluss, dass es
notwendig und bedeutsam ist, wenn ein Text wie der Menon-Dialog und die in ihm
enthaltene geometrische Episode verwendet werden, um «mit Sokrates», - nicht «wie
Sokrates» - zu arbeiten, zu lesen und zu schreiben.
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Übungen in der Hebammenkunst auf der Grundlage der geometrischen Episode
bewähren sich, wenn operative Rollenspiele mit Fallarbeit mit der Methode der
kritischen Exploration (vgl. Piaget, zit. nach Inhelder et al., 1974) sowie mit
metakognitiven Reflexionen (vgl. Adey, 2008) und erkenntnistheoretischen
Erörterungen kombiniert werden. Mit diesen Elementen wird in Anlehnung an Barthes
(2005) die Hebammenkunst als mündlicher Text eines methodologischen Feldes
gepflegt und gebildet.
Fraedrich (1994) erörtert die Geschichte und die grosse Variation der geometrischen
Lösungswege um die Satzgruppe des Pythagoras. Die im Menon-Dialog vertieften
Möglichkeiten werden zu den Zerlegungsbeweisen gezählt:
Alle Zerlegungsbeweise beruhen auf dem Prinzip der Zerlegungsgleichheit, das schon
von altersher zum Nachweis der Inhaltsgleichheit von Figuren herangezogen wird. Es
besagt, daß zwei ebene Figuren genau dann flächeninhaltsgleich sind, wenn sie
zerlegungsgleich sind, d.h. wenn sie sich in paarweise kongruente Teilfiguren zerlegen
lassen. (ebd., S. 24)
Sokrates sagt [Men 83 c]: «Versuch, es uns genau zu sagen, und wenn du es nicht in
Zahlen sagen willst, dann zeige sie wenigstens.» Das verweist einmal auf die
Zerlegungsbeweise und die damit verknüpften Techniken. Gleichzeitig wird die
Messbarkeit mit zählbaren Masseinheiten erwähnt (vgl. Klein, 1995, S. 100-101). Es
geht um die Diagonalen, welche bei Quadraten die Hypotenuse der beiden
Einheitsdreiecke zeichnen. Das Verhältnis der Seiten der Schenkel der
Einheitsdreiecke zur Hypotenuse ist nicht messbar (inkommensurabel): «We see once
more, and this time as clearly as he can under the circumstances, Socrates points to
the incommensurability of the line given and the line sought” (Klein, 1995, S. 101).
Eine neue Form für den Dialog zwischen Sokrates und dem Sklaven
Wie bereits erörtert muss nach Klein (1995, S. 105) davon ausgegangen werden, dass
das «Ja» und das «Nein» des Sklaven anzeigt, was er für wahr und für unwahr hält.
In der Schilderung des Verhaltens des Sklaven sind deshalb nicht nur geometrische
und arithmetische Reflexionen über die Verdoppelung der Quadratfläche dargestellt,
sondern auch die Art und Weise, wie sein Meinen und Entscheiden funktionieren. So
habe ich die geometrische Episode (vgl. Merkelbach, 1988, S. 10) im Menon-Dialog
umgeschrieben. Mein Schreiben folgte dem Ziel, Gedanken und Gefühle hinter dem
«Ja» und dem «Nein» des Sklaven sichtbarer zu machen. Das Zusammenspiel im
Dialog soll alltäglicher erscheinen. Deshalb formuliert der Sklave eigene Hypothesen,
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Lösungen und Einsichten zur Frage, wie man eine Quadratfläche verdoppeln kann.
Sokrates erscheint für seinen Teil offener und herausfordernder. Die platonische
Triangulierung wurde beibehalten.
Beim Verfassen der ersten Auflage war die Übersetzung von Kranz (1994) noch nicht
erschienen. Diese diente später als „Steigbügelhalterin“ für die freiere Gestaltung der
Dialoge.
Das Original wurde fiktiv um Handlungen erweitert. Sokrates, der Sklave und Menon
zeichnen1 mit den Fingern öfters in den Sand als es im Original [siehe Men. 83b]
erwähnt wird.
Das zweite Ziel beim Überarbeiten dieser Abschnitte war, den Dialog als Essay einer
freien Konversation bzw. eines flexiblen Interviews (vgl. la méthode critique, Piaget,
1967; 1999) entstehen zu lassen. Es ist möglich, den Dialog zwischen Sokrates, dem
Sklaven und Menon in der Vorstellung und in der Praxis der Philosophie, der
Pädagogik und der Psychologie fortzuführen, im Wissen um Meinungen,
Missverständnisse und Parodien aber auch im Wissen um die Potenz der platonischen
Akademie als Praxis des Lehrens und Lernens. Poetisches Schreiben sowie
Phantasie- und Rollenspiele im Sinn von Moreno (2007), Wygotski (1986) und Meyer
(2020) geben sich die Hand.
1 Die Abbildungen wurden mit GeoGebra konstruiert (vgl. Hohenwarter, 2009) und analog der Ausgabe
von Klein (1989) bzw. Merkelbach (1988) eingefügt.
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9. Menon verlangt von Sokrates ein Beispiel.
Sokrates soll zeigen, dass wir nicht durch Belehrung lernen, sondern durch
Wiedererinnerung. Sokrates fragt einen Sklaven von Menon, wie ein Quadrat
verdoppelt werde. Der Sklave schliesst folgendermassen: ein Quadrat von zwei Fuss
Seitenlänge hat die Fläche von vier Fuss. Die doppelte Fläche enthält acht Fuss.
Folglich entsteht, so nimmt er an, die Verdoppelung der Fläche durch die
Verdoppelung der ursprünglichen Quadratseite. Sokrates unterbricht das Gespräch
mit dem Sklaven ein erstes Mal, um mit Menon die Qualität der Hebammenkunst zu
erörtern. [Men. 82b] Es wird sichtbar, wie die Hebammenkunst und die
Wiedererinnerung wirken.
SOKRATES
(Sokrates zeichnet ein Quadrat in den Sand.)
Wie nennt man eine solche Figur, Sklave?
SKLAVE
Es ist ein Quadrat.
SOKRATES
Was weißt du über diese hier? (Sokrates zeigt auf die Seiten des
Quadrates.)
SKLAVE
Es sind die vier gleich langen Seiten des Quadrates. [c]
SOKRATES
Und wie ist es mit den Linien, die durch die Mitte hindurch gehen?
SKLAVE
Sie sind auch gleich lang, wie die Linien an den Seiten.
SOKRATES
Kann man ein solches Quadrat verändern?
SKLAVE
Ja, ich könnte es vergrössern oder verkleinern.
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(Der Sklave zeichnet ein kleines Quadrat hinein und ein grosses
drum herum.)
SOKRATES
Gut, lass uns weiter untersuchen.
[d] Wenn nun diese Seite zwei Fuss hätte und diese auch, wie
viel Fuss enthielte das Ganze? – Zeig uns, wie du das anstellst.
SKLAVE
(Der Sklave zeichnet zwei Striche in das Quadrat, welche durch
die Mitte der Seiten gehen.)
Es sind vier Quadratfuss.
SOKRATES
(Sokrates umfährt die linke Hälfte des Quadrates.)
Und was denkst du jetzt: Wenn die Seite hier zwei Fuss hätte, da
unten
aber nur einen, enthielte dann nicht der ganze Raum
einmal zwei Fuss?
SKLAVE
Ja, dann wären es zwei Quadratfuss.
SOKRATES
(Sokrates zeigt auf die untere Quadratseite.)
Jetzt hat es hier auch zwei Fuss wie bei der linken Quadratseite.
Wie berechnet man die Fläche dann?
SKLAVE
Die Fläche wäre zwei Fuss mal zwei Fuss gross. (...)
SOKRATES
Was ergibt deine Berechnung für einen Inhalt?
SKLAVE
Er ist vier Quadratfuss, Sokrates.
SOKRATES
Kann es nun nicht einen anderen Raum geben, der das Doppelte
von diesem wäre, sonst aber ein ebensolcher, in dem alle Seiten
gleich sind, wie in diesem?
SKLAVE
Ja.
SOKRATES
Wie viel Fuss muss er enthalten?
SKLAVE
Acht Quadratfuss.
SOKRATES
Nun denn, versuche zu sagen, wie lang jede Seite des Quadrates
sein wird
. [e] Die Seite dieses Quadrates ist zwei Fuss lang. Wie
lang ist die des doppelt so grossen?
SKLAVE
Offensichtlich doppelt so lang.
SOKRATES
Siehst du wohl, Menon, wie ich diesen nichts lehre, sondern alles
nur frage? Und jetzt meint er zu wissen, wie lang die Seite ist, aus
der das achtfüssige Quadrat
entstehen wird. Oder denkst du
nicht, dass er es glaubt?
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MENON
Allerdings.
SOKRATES
Weiss er es dann?
MENON
Wohl nicht.
SOKRATES
Er glaubt aber doch, es entstehe aus der doppelten Seitenlänge.
MENON
Ja.
10. Der Sklave glaubt weiterhin, die Verdoppelung der Quadratfläche
geschehe durch die Verdoppelung der Seitenlänge.
Er zieht denselben Schluss für die Vervierfachung und die Verdreifachung der Fläche.
Er erkennt schliesslich, dass er mit dieser Annahme das Problem nicht lösen kann. Am
Ende ist der Sklave ebenso verwirrt wie Menon zuvor bei der Definition der Gestalt und
der Rechenschwäche. [Men. 82 e ff.]
SOKRATES
Schau nun zu, wie er sich schrittweise erinnern wird, wie man
sich erinnern muss. –
(Sokrates streicht den Sand glatt und zeichnet ein Quadrat mit
zweifüssigen Seiten.)
Erkläre, wie wir ein doppelt so grosses Quadrat wie dieses
bekommen. [83a] Seine Seiten sollen gleich lang sein, wie bei
diesem zweifüssigen. Ich meine nicht, dass eine Seite lang und
die andere kurz sein soll. Das Neue soll doppelt so gross sein
wie dieses, nämlich acht Quadratfuss gross. Nun sieh, ob du
immer noch meinst, dies werde aus der doppelten Seite
entstehen.
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SKLAVE
Schau, Sokrates, wenn ich die Seite von diesem verdopple, so
bekommen wir ein doppelt so grosses Quadrat.
SOKRATES
Das acht Quadratfuss grosse Quadrat entsteht deiner Meinung
nach aus der verdoppelten Seite? [b]
SKLAVE
So meine ich.
SOKRATES
Lass uns zeichnen, Sklave. Nimm eine zweifüssige Seite dieses
Quadrates und verdopple sie.
SKLAVE
(Der Sklave verdoppelt eine Seite.)
Wenn wir hier noch eine ebenso grosse hinzusetzen, entsteht
die zweifache Seite.
(Dann verdoppelt er die zweite Seite des Quadrates und ergänzt
die Figur zum vermeintlichen achtfüssigen Quadrat.)
Das achtfüssige Quadrat besteht aus vier solcher Seiten.
SOKRATES
Und aus diesen, glaubst du, werde das achtfüssige Viereck
entstehen, wenn wir vier solche nehmen?
SKLAVE
Ja.
SOKRATES
So lass uns von ihr vier gleiche betrachten. Nicht wahr also, dies
wäre, was du für das achtfüssige hältst.
SKLAVE
Allerdings.
SOKRATES
Sind in diesem nicht vier von den Quadraten, von denen jedes
genau so gross ist wie das vier Quadratfuss grosse?
(Sokrates zeigt auf ein vier Quadratfuss grosses Quadrat.)
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Betrachte diesen vier Quadratfuss grossen Teil. Wie viele dieser
Teile hat es im Quadrat, das du verdoppelt hast?
SKLAVE
Es sind vier Teile. Mein verdoppeltes Quadrat ist viermal so
gross geworden.
SOKRATES
Ist dieses vierfache Quadrat so gross wie das doppelte, das du
zeichnen wolltest?
SKLAVE
Nein, um Gottes Willen!
SOKRATES
Sondern das Wievielfache?
SKLAVE
Das vierfache Quadrat. Es geht nicht auf. Aus der zweifachen
Seite entsteht nicht die zweifache Quadratfläche, sondern ein
viermal so grosses Quadrat. [c]
SOKRATES
Du hast recht.
SKLAVE
Das Vierfache von vier ist nämlich sechzehn.
SOKRATES
Genau. Aber, mit welcher Seite entsteht das Achtfüssige? Nicht
wahr, von dieser Seite bekommen wir das Vierfache?
SKLAVE
Das sage ich auch. Das vier Quadratfuss grosse Quadrat
entsteht aus dieser halben Seite.
(Der Sklave zeigt auf die Mitte der Seite des grossen Quadrates.)
SOKRATES
Wohl.
(Sokrates zeigt mit dem Finger auf das Rechteck, welches aus
zwei vierfüssigen Quadraten zusammengesetzt ist.)
Woraus besteht das achtfüssige Quadrat, Sklave?
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SKLAVE
Es setzt sich zusammen aus zwei vierfüssigen Quadraten, also
dem Doppelten eines Vierfüssigen. Man könnte auch sagen,
dass es die Hälfte dieses grossen hier ist.
SOKRATES
Wie meinst du, müsste die Seite beschaffen sein, dass ein
Quadrat von acht Quadratfüssen entsteht?
SKLAVE
(Der Sklave zeigt auf das vierfüssige und das sechzehnfüssige
Quadrat.)
Die Seite müsste grösser als zwei Fuss sein und kleiner als diese
hier, glaube ich. [d]
SOKRATES
Schön! Auch was du glaubst, sollst du zur Antwort geben.
(Sokrates zeigt auf die zweifüssige Seite und danach auf die
vierfüssige.)
Wie war das eben mit den Seiten der Quadrate?
SKLAVE
Die Seiten des kleinen Quadrates waren zweifüssig, diejenigen
des grossen bestanden aus vier Füssen.
SOKRATES
Wie müsste denn die Seite des achtfüssigen Quadrates
beschaffen sein.
SKLAVE
Wie ich sagte, grösser als dieses zweifüssige und kleiner als das
Vierfüssige.
SOKRATES
Dann versuch mir zu sagen, wie lang sie ist! Erkläre es mit Hilfe
deiner Zeichnung. [e]
SKLAVE
Dreifüssig. Um die dreifüssige Seite herzustellen, nehme ich von
der zweiten Hälfte der grossen Seite die Hälfte. Denn hier habe
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ich zwei Fuss und diesen einen dazu. Auf dieser Seite verfahre
ich ebenso, dies sind die zwei, dies einer.
SOKRATES
Und dies wird nun das Viereck, welches du meinst.
Was meinst du, welches Quadrat jetzt entsteht?
SKLAVE
Die drei Fuss hier und hier ergeben ein Quadrat von dreimal drei
Fuss. Das sind neun Quadratfuss.
SOKRATES
Wieviel Fuss aber sollte das doppelte Quadrat enthalten?
SKLAVE
Acht. - Das achtfüssige Quadrat kann nicht aus dreifüssigen
Seiten gelingen, Sokrates.
SOKRATES
Freilich nicht.
Aber von welchen bekommen wir es dann? Versuch, es uns
genau zu sagen, und wenn du es nicht in Zahlen sagen willst,
dann zeige sie wenigstens. [84 a]
SKLAVE
Aber um Gottes Willen, Sokrates, ich weiss es einfach nicht.
11. Sokrates bespricht mit Menon den Nutzen der Verwirrung, in welcher
sich der Sklave befindet.
Sokrates unterbricht ein zweites Mal. Er erörtert mit Menon die Bedeutung des
Nichtwissens und der Verlegenheit (Aporie) des Sklaven. Meinungen oder
Pseudowissen regen die Suche nach echtem Wissen nicht an. Verwirrung und
Verlegenheit gehören zur Erkenntnis des Nichtwissens. Erst dann entfaltet sich der
Wille zum Suchen. [Men. 84a]
SOKRATES
Merkst du, Menon, welche Fortschritte er schon im Erinnern
macht? Zuerst wusste er nicht, welches die Seite eines acht
Quadratfuss grossen Quadrats ist, genau
so wenig, wie er es
jetzt weiss. Aber vorher glaubte er, es zu wissen, und antwortete
forsch, so
als ob er es wüsste. Er glaubte nicht, in Verlegenheit
zu kommen. Nun aber glaubt er, schon in Verlegenheit zu sein.
[b] Das heisst, jetzt weiss er es nicht und glaubt auch nicht, es
zu wissen.
MENON
Du hast recht.
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SOKRATES
Hat er nun nicht einen besseren Zugang zu der Sache, die er
nicht wusste?
MENON
Ja, das stimmt wohl.
SOKRATES
Indem wir ihn also in Verlegenheit brachten und betäubten wie
der Zitterrochen, haben wir ihm dadurch geschadet?
MENON
Nein, das glaube ich nicht.
SOKRATES
Es scheint, als hätten wir etwas getan, das ihm nützlich wird,
wenn er herausfinden will, wie sich die Sache wirklich verhält.
Denn jetzt möchte er wirklich gerne
die Antwort suchen, die er
nicht weiss. Damals glaubte er, gut und mit Leichtigkeit vor vielen
Leuten und bei vielen Gelegenheiten darüber reden zu können,
dass das doppelt so grosse Quadrat auch eine doppelt so lange
Seite haben müsse.
MENON
So sieht es aus.
SOKRATES
Die Verwirrung bewirkte beim Sklaven, dass er sich jetzt für
unwissend hält und dass er sich nach Wissen sehnt. - Glaubst
du, dass er sich vorher bemüht hätte, das zu lernen, was er zu
wissen glaubte, obwohl er es gar nicht wusste?
MENON
Nein, das glaube ich nicht.
SOKRATES
Das Betäubtsein hat ihm also genutzt.
MENON
Ja, das finde ich.
SOKRATES
Sieh nun, was er von dieser Verlegenheit aus mit mir suchend
finden wird, obwohl ich ihn immer nur frage und niemals belehre.
[d]
Pass auf, ob du mich dabei erwischst, dass ich ihn belehre
und ihm vortrage, anstatt seine Meinungen zu untersuchen.
12. Der Sklave findet die Lösung des Problems
Er bezieht die Diagonale in seine Überlegungen und Konstruktionen ein. [Men. 84d]
SOKRATES
(weiter) Sag mir doch, was haben wir hier vor uns?
SKLAVE
Es ist das Quadrat von vier Fuss Inhalt.
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SOKRATES
Füg noch ein anderes, genauso grosses hinzu.
SKLAVE
(Der Sklave zeichnet es rechts des Quadrates in den Sand.)
Nun haben wir das Doppelte von vorhin.
SOKRATES
Zeichne auch dieses Dritte unten hin und das Vierte in die
leere Ecke.
SKLAVE
(Der Sklave zeichnet die Quadrate)
Jetzt liegen vier gleiche Quadrate vor uns. (...) [e]
SOKRATES
Was kannst du mir sagen über das Ganze hier und diesen
Teil, das Quadrat von vier Fuss?
SKLAVE
Das Ganze ist vier Mal grösser als das vierfüssige Quadrat.
Es ist das Vierfache.
SOKRATES
Erinnerst du dich noch, dass wir das Doppelte bekommen
wollten? [85a]
SKLAVE
Allerdings.
SOKRATES
(Sokrates zeigt zur unteren linken und zur oberen rechten
Ecke des vierfüssigen Quadrats.)
Zeichne eine Linie von Winkel zu Winkel und sag mir, was
diese Linie bewirkt. [a]
SKLAVE
Mit dieser Linie, wir nannten sie Diagonale, wird das
vierfüssige Quadrat halbiert.
17
SOKRATES
Und wenn du die Diagonale bei den anderen Quadraten
einzeichnest?
SKLAVE
Dann sind alle Quadrate halbiert.
(Der Sklave zeichnet die Diagonalen
bei den anderen
Quadraten ein.)
SOKRATES
Schön! Was kommt dir in den Sinn, wenn du diese vier
Diagonalen betrachtest?
(Sokrates zeigt auf das neu entstandene Quadrat.)
SKLAVE
Die Diagonalen sind gleich gross und (nach kurzem Zögern)
sie bilden ein neues Quadrat!
SOKRATES
So betrachte nun, wie gross das neue Quadrat ist?
SKLAVE
Das verstehe ich nicht.
SOKRATES
Aus diesem Grund unterhalten wir uns, Sklave, dass aus
Unverständnis Einsicht wird.
Eben noch hast du alle vier Quadrate mit der Diagonale
halbiert.
SKLAVE
Ja.
SOKRATES
Was fällt dir auf, wenn du die Hälften betrachtest?
SKLAVE
Ich sehe Dreiecke.
SOKRATES
Was fällt dir auf, wenn du die Dreiecke beim vierfüssigen
Quadrat mit den Dreiecken im neuen Quadrat vergleichst.
SKLAVE
Im kleinen Quadrat sind zwei und im neuen Quadrat sind
vier Dreiecke.
18
SOKRATES
Genau! Und was bedeutet das angesichts der
Ausgangsfrage?
SKLAVE
(Das Gesicht des Sklaven erhellt sich.)
Jetzt haben wir die Fläche verdoppelt! Sieh, das vierfüssige
Quadrat beinhaltet zwei Dreiecke, das neue Quadrat enthält
vier Dreiecke. Also ist es doppelt so gross.
SOKRATES
Schön! Gehen wir zur Sicherheit nochmals zur
Ausgangsfrage zurück. Du solltest ein vier Quadratfuss
grosses Quadrat verdoppeln. Erinnerst du dich?
SKLAVE
Ja, ich versuchte, die doppelte Fläche durch die
Verdoppelung der Seitenlänge zu erreichen.
SOKRATES
Und dadurch hast du eine schiere Ausweglosigkeit kennen
gelernt.
SKLAVE
Mit der Diagonale und den Dreiecken habe ich die doppelte
Quadratfläche herstellen können.
SOKRATES
Beweise nun, dass das neue Quadrat acht Quadratfuss
gross ist, und dass es das Doppelte des Vierfüssigen ist.
SKLAVE
(Der Sklave zeigt auf die Diagonale im vierfüssigen
Quadrat.) Die Diagonale halbiert das vierfüssige Quadrat.
Wenn ich die beiden kleinen Dreiecke zusammennehme
und zum kleinen Quadrat hinzuzähle
, so erhalte ich zwei
Quadratfüsse. Wiederhole ich das in den Hälften der
anderen vierfüssigen Quadrate auch, dann können wir vier
Mal zwei Quadratfüsse rechnen. Wir erhalten acht, das
Doppelte von vier.
SOKRATES
Schön! Mit Hilfe der Diagonale ist es dir gelungen, das
Quadrat zu verdoppeln. Du hast gezeichnet und gedacht
wie ein Geometer. Ein andermal woll
en wir versuchen, das
Ganze auch in Zahlenverhältnissen zur Sprache zu bringen.
SKLAVE
Allerdings, Sokrates.
Hier endet die geometrische Episode. Sokrates und Menon prüfen, ob die Einsichten
beim Sklaven ohne Belehrung zustande gekommen sind.
***
19
Abspann
Regie: Linda Gunst
Mit den Stimmen von:
Ben Gageik
Michael Glatthard
Stefan Schönholzer
Linda Gunst
Aufnahme, Schnitt und Postproduktion: Simon Schär
20
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