Estatística de extremos—um instrumento para predição de tremores terra?

Abstract

A Estatística de Extremos ajuda‑nos a controlar acontecimentos potencialmente desastrosos, de enorme relevo para a sociedade e de grande impacto social. Os seus domínios de aplicação são muito variados. Mencionamos as áreas de Bioestatística, Engenharia Estrutural, Finanças, Hidrologia, Meteorologia, Seguros e também Sismologia. Avançamos com a ideia que a Estatística de Extremos consegue fornecer previsões sobre futuros sismos, entrando em linha de conta com aquilo a que chamamos
período de retorno de um acontecimento extremo, que não é mais do que o intervalo de tempo médio entre ocorrências de um determinado acontecimento extremo, como o terramoto de Lisboa.

Full text

MEMÓRIAS
DA
ACADEMIA DAS CIÊNCIAS
DE
LISBOA
CLASSE DE CIÊNCIAS
TOMO XLVI
LISBOA • 2019
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Estatística de extremos – Um instrumento
para predição de tremores de terra?
M. I G
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, D P

A Estatística de Extremos ajuda -nos a controlar acontecimentos potencialmente desastrosos, de
enorme relevo para a sociedade e de grande impacto social. Os seus domínios de aplicação são muito
variados. Mencionamos as áreas de Bioestatística, Engenharia Estrutural, Finanças, Hidrologia, Meteoro‑
logia, Seguros e também Sismologia (veja -se, entre outros livros, Reiss
and Thomas, 2001, 2007; Beirlant et al., 2004; Castillo et al., 2005;
Markovich, 2007; Gomes et al., 2013). Embora seja possível encontrar
alguns artigos de interesse histórico relacionados com acontecimen-
tos extremos, o campo remonta a Gumbel, em artigos publicados a
partir de 1935, e sumariados em Gumbel (1958; 2004). Gostaríamos
ainda de realçar o nome de um Português pioneiro na área de extre-
mos, José Tiago da Fonseca Oliveira, membro efectivo da Academia
das Ciências de Lisboa desde 1985 até à sua morte prematura em
1992 (veja -se Gomes, 1993a; Tiago de Oliveira, J.C., ed., 1993, entre
outros).
Gumbel desenvolveu procedimentos estatísticos essencialmente
baseados no teorema de Gnedenko (Gnedenko, 1943), o chamado
teorema de tipos extremais (ETT, do Inglês “extremal types theorem”), um
dos resultados limite fundamentais em Teoria de Valores Extremos
(EVT, do Inglês “extreme value theory”).
Em linhas muito gerais, o ETT permite identificar as distribuições
de máximos com as chamadas leis de valores extremos (GEV, do
Inglês “general extreme value”). Tratam -se das também chamadas leis
max -estáveis (MS, do Inglês “max ‑stable”), definidas como leis para
as quais é válida a equação funcional MS
n
(α
n
x+β
n
) = MS(x), n≥1, para
α
n
>0, β
n
Î , onde  denota o conjunto de números reais. Os modelos
MS têm a forma funcional,
MS
ξ
(x; λ, δ) º GEV
ξ
(x; λ, δ) = exp( -(1+ξ(x -λ)/δ)
-1/ξ
)), 1+ξ(x -λ)/δ>0,
onde λ, δ, ξ, possivelmente dependentes de co -variáveis adequadas,
são parâmetros desconhecidos de localização, escala e forma, sendo
ξ o chamado índice de valores extremos (EVI, do Inglês, “extreme value
1
CEAUL and DEIO, FCUL, Universidade de Lisboa, Portugal. E -mail: ivette.gomes@fc.ul.pt
2
CEAUL and DEIO, FCUL, Universidade de Lisboa, Portugal. E -mail: dinis.pestana@fc.ul.pt
F 
Emil Julius Gumbel (1891 -1966) (baixo),
e José Tiago da Fonseca Oliveira
(1928 -1992) (cima).
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MEMÓRIAS DA ACADEMIA DAS CIÊNCIAS DE LISBOA
index”). E na realidade, este modelo, contrariamente ao modelo normal, muito frequente em estatística
clássica, adapta -se de forma bastante fidedigna, por exemplo, às magnitudes de tremores de terras, nas
mais diversas regiões (veja -se Pisarenko & Sornette, 2003, Beirlant et al., 2004, 2016, e Gomes et al., 2013,
entre outros).
O EVI, ξ, é o parâmetro fundamental em Estatística de
Extremos. Se ξ<0, a cauda direita é curta, com limite supe-
rior de suporte finito (x
F
<∞); se ξ=0, a cauda é de tipo expo-
nencial, e x
F
<∞ ou x
F
=∞; se ξ>0, temos uma cauda pesada,
de tipo Pareto, i.e. polinomial negativa, e x
F
=∞. Na Figura
2 ilustramos o comportamento da cauda direita da densi-
dade de valores extremos, g
ξ
(x)=dGEV
ξ
(x)/dx, comparati-
vamente com a densidade Normal, φ(x) = exp( -x
2
/2)/√2π,
x Î , com cauda direita muito leve, mesmo quando com-
parada com a do modelo Gumbel (ξ=0, em GEV
ξ
).
Inicialmente, no artigo de Gnedenko, surgiram 3 dis-
tribuições possíveis:
Tipo I: Λ(x) = exp( -exp( -x)), x Î  [Gumbel],
Tipo II: Φ
α
(x) = exp( -x
-α
), x>0, α>0 [Fréchet],
Tipo III: Ψ
α
(x) = exp( -( -x)
α
), x<0, α>0 [Max -Weibull],
também frequentemente chamadas distribuições de valores extremos (ou EV, do Inglês, “extreme
values”), associadas respectivamente com ξ=0, ξ=1/α>0 e ξ= -1/α<0, que podem obviamente ser unifi-
cadas na GEV
ξ
= MS
ξ
.
Mais geral do que a classe de modelos max -estáveis, podemos considerar a classe dos modelos
max -semi -estáveis (MSS, do Inglês “max ‑semi ‑stable”), introduzida em Grienvich (1992a, 1992b), Pan-
cheva (1992), e amplamente estudada em Canto e Castro et al. (2001) e em Temido & Canto e Castro
(2003). A forma funcional das leis MSS é:
MSS
ξ,ν
(x) = exp [ -ν{ln(1+ξ x)/ξ}(1+ξx)
-1/ζ
], 1+ξ x>0, ξ Î ,
onde ν(.) é uma função positiva, limitada e periódica, sendo MS
ξ
=MSS
ξ,1
.
Para excessos acima de um nível elevado, é sensato trabalhar com a distribuição generalizada de
Pareto -MSS:
GP
ξ,ν
(x) = 1+ln MSS
ξ,ν
(x), 1+ξ x>0, x≥ 0.
Os modelos MSS parecem ser interessantes para modelar algumas das variáveis relativas a tremores
de terra, tal como sugerido em Sornette (1998). Temos no entanto dificuldades adicionais com a esti-
mação dos parâmetros desconhecidos (veja -se Canto e Castro et al., 2000, 2011, Canto e Castro & Dias,
2011), um ponto a favor dos modelos GEV=MS.
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Caudas direitas de gξ(x) = d GEVξ(x)/dx (ξ= -0.5, 0, 2) e
da densidade Normal, φ(x).
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É perfeitamente natural perguntar qual o por-
quê da EVT. Reportando -nos unicamente à área de
Extremos e Ambiente, damos em seguida alguns
exemplos de grande relevância para a sociedade,
e que envolvem ou podem envolver esta teoria.
Dois destes exemplos, o segundo e o terceiro,
foram retirados de Beirlant et al. (2004) e Gomes et
al. (2013).
1. O Terramoto de Lisboa, 1 de Novembro de 1755.
Um sismo de magnitude superior a 8.5, com epi-
centro a cerca de 240 quilómetros da capital portu-
guesa, criou um tsunami que, em cerca de 40
minutos, devastou a cidade, tendo provocado cer-
tamente mais de 10 mil mortos.
2. As cheias no Mar do Norte, 1 de Fevereiro de
1953. O nível das águas excedeu os 5.6 metros
acima do nível do mar, destruiu as defesas maríti-
mas, tendo inundado áreas na Holanda, Inglaterra,
Bélgica, Dinamarca, França, e cerca de 2500 pes-
soas morreram.
3. O furacão Katrina, 29 de Agosto de 2005. A inun-
dação provocada pelo Katrina deveu -se, sobre-
tudo, a uma brecha de 60 metros num dique junto
ao lago Pontchartrain, e provocou cerca de 2000
mortos.
4. Terramoto no centro de Itália, 30 de Outubro de
2016. Um poderoso tremor de terra abalou recen-
temente o centro da Itália, região que, apenas 4
dias antes, já havia sido castigada por uma série de
tremores de terra. Contudo, o novo sismo causou
danos, mas NÃO deixou mortos, inclusive em
cidades que, em Agosto de 2016, foram destruídas
por um tremor de terra que matou várias pessoas.
Reportamos, em seguida, de forma livre, parte
de uma notícia do New York Times, Setembro 2005,
intitulada ‘New Orleans After Hurricane Katrina: An
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Imagem histórica da revista Life: Ilustração do terramoto de
Lisboa de 1755.
F 
Cheias no Mar do Norte.
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Nova Orleães após o furacão Katrina.
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MEMÓRIAS DA ACADEMIA DAS CIÊNCIAS DE LISBOA
Unnatural Disaster?’ Dizia o redator que teriam de
construir um sistema de diques adequado, para o
que necessitariam de engenheiros holandeses,
capazes de desenhar essas estruturas... Tratar -se -ia
de um plano que custaria biliões, mas seria sensato
que se aprendesse a lição, de modo a NÃO se ter
uma repetição do número de mortos numa catás-
trofe dentro dos próximos 20 anos.
Estes desastres deveriam realmente funcionar
como um guia. E na realidade, como resultado das
cheias do Mar do Norte às primeiras horas da
manhã de 1 de Fevereiro de 1953, o governo holandês constituiu uma comissão (‘Delta Committee’). E
decretou que os diques deveriam ser construídos com uma altura tal que ‘a probabilidade de uma inundação
num determinado ano fosse de 1 em 10.000’. No entanto, o período de observação dos dados é muitíssimo
mais curto... É então necessário proceder a uma extrapolação para além dos dados observados!!... E a EVT
consegue dar respostas fidedignas sobre a altura da referida barragem. Esse mesmo tipo de extrapolação
é necessária relativamente a sismos que ocorrem em locais específicos, tal como o que ocorreu recente-
mente no centro de Itália. Mas na nossa opinião muito há ainda a fazer sobre este assunto...
Quanto à distribuição de tremores
de terra no espaço, tempo e magnitude,
acrescentamos ainda que durante todo
o século passado, os sismologistas têm
observado e localizado milhões de tre-
mores de terra em todo o mundo. Com
base nestas observações, que podemos
dizer sobre a distribuição dos tremores
de terra em espaço, tempo e magni-
tude? Existirão modelos estatísticos
que descrevam de forma fiável algu-
mas das medições relacionadas com
sismos? E, por fim, podem esses mode-
los ser usados no futuro para fazer previsões (probabilísticas) ou mesmo predições de futuros sismos?
Serão estas algumas das questões a que é preciso responder. Apresentamos, na Figura 7, um mapa
global de sismos no período 1975 -1979, colorido de acordo com a profundidade sísmica, cuja fonte é o
“US Geological Service, NEIC (National Earthquake Information Center)”.
Qualquer mapa sísmico, como o da Figura 7 mostra -nos que os sismos ocorrem em grupos. Contudo,
existem ocasionalmente sismos que ocorrem em lugares onde tal nunca aconteceu. Isso deve -se ao facto
de só existirem registos desde há aproximadamente 100 anos, o que não é suficiente para obter a dis-
tribuição espacial das zonas sísmicas com baixa intensidade de sismos. Mas o maior desafio é não a
identificação de regiões possivelmente sísmicas, mas sim prever qual a frequência e magnitude de
sismos de relevo em determinada zona. Um estudo de dados deste tipo foi efectuado em Pisarenko &
F 
Destruição em L’Aquila, cidade que tinha sido em 2009
castigada por um terramoto que matou mais de 300 pessoas.
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Mapa da profundidade de sismos entre 1975 e 1979.
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CLASSE DE CIÊNCIAS
Sornette (2003), onde são comparadas as caudas direitas das distribuições dos momentos sísmicos, em
áreas de subducção e oceânicas. Ambas as caudas revelam um peso altamente positivo, i.e. ξ>0, em
GEV
ξ
(veja -se também Beirlant et al., 2004, 2016, e Gomes et al., 2013).
Na realidade, a EVT consegue dar respostas fidedignas sobre a altura da referida barragem, e poderá
também avançar com previsões sobre futuros sismos, entrando em linha de conta com aquilo a que cha-
mamos período de retorno de um acontecimento extremo, que não é mais do que o intervalo de tempo
médio entre ocorrências de um determinado acontecimento extremo, como o terramoto de Lisboa ou o
furacão Katrina ou a cheia no Mar do Norte ou o recente terramoto no centro de Itália. Face às réplicas
frequentes associadas a um tremor de terra, teremos ainda de dar atenção especial à estimação de um
outro parâmetro de acontecimentos raros, o índice extremal, que traduz uma medida da dependência em
grupos de valores elevados, e que pode frequentemente ser interpretado como o recíproco da dimensão
média desses grupos de observações (veja -se Leadbetter et al., 1983; Gomes, 1993b,c, 1995,a,b, 2015; Gomes
et al., 2008, 2015; Neves et al., 2015, entre outros). Mas o controlo de tremores de terra é no nosso entender
de extrema dificuldade, e requer um esforço multidisciplinar, que pensamos não ter sido totalmente
conseguido até à data, particularmente quando tentamos abordar o carácter espacial e temporal do pro-
cesso de tremores de terra. Gostaria no entanto de referir um trabalho de mestrado recente (Rosário, 2013),
relacionado com dados também analisados em Beirlant et al. (2004, 2016).
As principais questões a ter em consideração são essencialmente as seguintes: Usualmente existem
poucas observações na cauda da distribuição, e são requeridas estimativas muito para além do máximo
observado. Necessitamos pois de recorrer a modelos para a cauda, usualmente baseados em resultados
assintóticos. Será sensato usar esses modelos em todas as situações reais envolvendo acontecimentos
raros? É preciso não esquecer, parafraseando George Box (1919 -2013), genro de Sir Ronald Fisher, ‘...
all models are wrong but some models are useful’ (Box & Draper, 1987, p. 424).
Não podemos deixar de referir três das frases célebres de Emil Gumbel, ‘Il est impossible que l’impro‑
bable n’arrive jamais’, ‘Il y aura toujours une valeur qui dépassera toutes les autres’ e ‘It seems that the rivers
know the theory. It only remains to convince the engineers of the validity of this analysis’.
E a esta última frase, atrevemo -nos a acrescentar: ‘Não só os rios, mas também os movimentos da crosta
terrestre conhecem a teoria de valores extremos...’ Detalhes sobre a Estatística de Extremos podem ser vistos
nas recentes recensões críticas em Beirlant et al. (2012), Scarrott & MacDonald (2012) e Gomes & Guillou
(2015). Em Beirlant et al. (2004) e Gomes et al. (2013), entre outros livros, são tratados diversos estudos
de casos, num leque variado de áreas de aplicação de modelação de acontecimentos raros. Esperamos
ter aguçado o vosso apetite por um tema relativamente recente em termos históricos, e com tantas áreas
de aplicação quantas as que possamos conceber.
AGRADECIMENTOS
Investigação parcialmente financiada através de fundos nacionais, FCT – Fundação para a Ciência
e a Tecnologia, projecto UID/MAT/00006/2013 (CEA/UL).
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TerramoTo 1755: o dia seguinTe
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