BookPDF Available

Методы разделения переменных и точные решения нелинейных уравнений математической физики [Methods of Separation of Variables and Exact Solutions to Nonlinear Equations of Mathematical Physics]

Authors:
  • Ishlinsky Institute for Problems in Mechanics of the Russian Academy of Sciences

Abstract

Книга посвящена описанию и применению методов обобщенного и функционального разделения переменных, используемых для поиска точных решений нелинейных уравнений с частными производными. Достаточно подробно рассматривается также прямой метод построения редукций (во многом родственный методам функционального разделения переменных) и его более общая версия, основанная на принципе расщепления. Кроме того, дано описание метода дифференциальных связей, который обобщает многие другие точные методы. Изложение сопровождается многочисленными примерами использования методов для поиска точных решений конкретных нелинейных уравнений математической физики. Исследуются уравнения тепло- и массопереноса, теории волн, гидродинамики, нелинейной оптики, теории горения, химической технологии, биологии и др. Особое внимание уделено нелинейным уравнениям достаточно общего вида, которые зависят от одной или нескольких произвольных функций. Такие уравнения наиболее сложны для анализа, а их точные решения представляют больший практический интерес и могут применяться для оценки точности численных методов решения соответствующих начально-краевых задач. Книга содержит много нового материала, который ранее в монографиях не публиковался. ******************* Для широкого круга научных работников, преподавателей вузов, инженеров, аспирантов и студентов, специализирующихся в области прикладной и вычислительной математики, теоретической физики, механики, теории управления и химической технологии. Отдельные разделы книги и примеры могут быть использованы в курсах лекций по уравнениям математической физики, методам математической физики и уравнениям с частными производными, для чтения спецкурсов и для проведения практических занятий. [The book is devoted to describing and applying methods of generalized and functional separation of variables used to find exact solutions of nonlinear partial differential equations. It also presents the direct method of symmetry reductions (in many respects akin to the methods of functional separation of variables) and its more general version based on the splitting principle in sufficient detail. Besides, it describes the differential constraint method, which generalizes many other exact methods. The presentation involves numerous examples of utilizing the methods to find exact solutions to specific nonlinear equations of mathematical physics. The equations of heat and mass transfer, wave theory, hydrodynamics, nonlinear optics, combustion theory, chemical technology, biology, and other disciplines are studied. Particular attention is paid to nonlinear equations of a reasonably general form that depend on one or several arbitrary functions. Such equations are the most difficult to analyze. Their exact solutions are of significant practical interest as they can be used to assess numerical methods' accuracy for solving the corresponding initial-boundary value problems. The book contains much new material previously unpublished in monographs. The book is intended for a broad audience of scientists, university teachers, engineers, postgraduate students, and graduate students that specialize in applied and computational mathematics, theoretical physics, mechanics, control theory, chemical engineering science, and other disciplines. Individual sections of the book and examples are suitable for lecture courses on partial differential equations, equations of mathematical physics, and methods of mathematical physics, for delivering special courses, and for practical training.]
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛИТЕРАТУРА
А. Д. ПОЛЯНИН, А. И. ЖУРОВ
МЕТОДЫ
РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ
И ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ
НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
Москва
ИПМех РАН
2020
УДК 517.9
ББК 517.2
П 54
Полянин А. Д., Журов А. И. Методы разделения переменных и точные
решения нелинейных уравнений математической физики. — М.: Издатель-
ство «ИПМех РАН», 2020. — 384 с. — ISBN 978-5-91741-258-0.
Книга посвящена описанию и применению методов обобщенного и функ-
ционального разделения переменных, используемых для поиска точных реше-
ний нелинейных уравнений с частными производными. Достаточно подробно
рассматривается также прямой метод построения редукций (во многом род-
ственный методам функционального разделения переменных) и его более об-
щая версия, основанная на принципе расщепления. Кроме того, дано описание
метода дифференциальных связей, который обобщает многие другие точные
методы. Изложение сопровождается многочисленными примерами использо-
вания методов для поиска точных решений конкретных нелинейных уравне-
ний математической физики. Исследуются уравнения тепло- и массопереноса,
теории волн, гидродинамики, нелинейной оптики, теории горения, химической
технологии, биологии и др. Особое внимание уделено нелинейным уравнениям
достаточно общего вида, которые зависят от одной или нескольких произволь-
ных функций. Такие уравнения наиболее сложны для анализа, а их точные
решения представляют больший практический интерес и могут применяться
для оценки точности численных методов решения соответствующих начально-
краевых задач. Книга содержит много нового материала, который ранее в мо-
нографиях не публиковался.
Для широкого круга научных работников, преподавателей вузов, инжене-
ров, аспирантов и студентов, специализирующихся в области прикладной и
вычислительной математики, теоретической физики, механики, теории управ-
ления и химической технологии. Отдельные разделы книги и примеры могут
быть использованы в курсах лекций по уравнениям математической физики,
методам математической физики и уравнениям с частными производными, для
чтения спецкурсов и для проведения практических занятий.
Табл. 24. Ил. 3. Библиогр. 378 назв.
ISBN 978-5-91741-258-0 c
А. Д. Полянин, А. И. Журов, 2020
Оглавление
Предисловие 7
Некоторые обозначения и замечания 11
1. Методы обобщенного разделения переменных 13
1.1. Решения с простым разделением переменных . . . . . . . . . . . . . 13
1.1.1. Решения с мультипликативным и аддитивным разделением
переменных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.1.2. Простейшие случаи разделения переменных в нелинейных
уравнениях с частными производными . . . . . . . . . . . . . 15
1.1.3. Примеры нетривиального разделения переменных в нели-
нейных уравнениях . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.2. Структура решений с обобщенным разделением переменных . . . . 25
1.2.1. Общий вид решений. Рассматриваемые классы нелинейных
дифференциальных уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.2.2. Функционально-дифференциальные уравнения, возникающие
при обобщенном разделении переменных . . . . . . . . . . . 27
1.3. Упрощенный метод построения решений с обобщенным разделени-
ем переменных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.3.1. Упрощенный метод, основанный на априорном задании од-
ной системы координатных функций. Описание . . . . . . . . 28
1.3.2. Примеры построения точных решений нелинейных уравне-
ний с двумя независимыми переменными . . . . . . . . . . . 28
1.3.3. Уравнения с тремя и более независимыми переменными.
Точные решения уравнений Навье Стокса . . . . . . . . . . 40
1.4. Решение функционально-дифференциальных уравнений методом диф-
ференцирования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
1.4.1. Описание метода дифференцирования . . . . . . . . . . . . . 47
1.4.2. Примеры построения решений с обобщенным разделением
переменных методом дифференцирования . . . . . . . . . . . 48
1.5. Решение функционально-дифференциальных уравнений методом рас-
щепления . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
1.5.1. Предварительные замечания. Описание метода. Принцип рас-
щепления . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
1.5.2. Решения билинейных функциональных уравнений . . . . . . 60
1.5.3. Примеры построения решений с обобщенным разделением
переменных методом расщепления . . . . . . . . . . . . . . . 63
4 ОГЛА ВЛ ЕН ИЕ
1.6. Метод инвариантных подпространств . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
1.6.1. Подпространства, инвариантные относительно нелинейного
дифференциального оператора. Описание метода . . . . . . . 70
1.6.2. Некоторые модификации и обобщения . . . . . . . . . . . . . 75
1.6.3. Нахождение линейных подпространств, инвариантных от-
носительно заданного нелинейного оператора . . . . . . . . . 80
1.7. Другие нелинейные уравнения, имеющие решения с обобщенным
разделением переменных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
1.7.1. Нелинейные уравнения в частных производных с запазды-
ванием ............................... 84
1.7.2. Нелинейные интегро-дифференциальные уравнения . . . . . 93
1.7.3. Нелинейные уравнения с дробной производной . . . . . . . . 95
1.7.4. Псевдодифференциальные уравнения . . . . . . . . . . . . . . 98
2. Методы функционального разделения переменных 103
2.1. Предварительные замечания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
2.1.1. Структура решений с функциональным разделением пере-
менных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
2.1.2. Прямое и непрямое функциональное разделение переменных 105
2.2. Упрощенный метод построения решений с функциональным разде-
лением переменных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
2.2.1. Описание упрощенного метода, основанного на преобразо-
ваниях искомой функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
2.2.2. Примеры построения точных решений нелинейных уравнений106
2.3. Решения с функциональным разделением переменных специально-
говида ...................................109
2.3.1. Решения типа обобщенной бегущей волны и другие реше-
ния специального вида . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
2.3.2. Примеры построения точных решений типа обобщенной бе-
гущей волны . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
2.3.3. Построение других точных решений с функциональным раз-
делением переменных специального типа . . . . . . . . . . . 117
2.4. Метод дифференцирования. Использование нелинейных функцио-
нальных уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
2.4.1. Краткое описание метода дифференцирования . . . . . . . . . 122
2.4.2. Примеры построения решений с функциональным разделе-
нием переменных методом дифференцирования . . . . . . . . 123
2.4.3. Использование нелинейных функциональных уравнений для
построения точных решений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
2.5. Построение решений с функциональным разделением переменных
в неявной форме . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
2.5.1. Предварительные замечания. Решения типа бегущей волны
в неявном виде . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
2.5.2. Прямой метод построения решений с функциональным раз-
делением переменных в неявном виде. Описание . . . . . . . 139
ОГЛАВЛЕНИ Е 5
2.5.3. Нелинейные реакционно-диффузионные уравнения с пере-
менными коэффициентами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
2.5.4. Нелинейные конвективно-диффузионные уравнения с пере-
менными коэффициентами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
2.5.5. Нелинейные уравнения типа Клейна Гордона с перемен-
ными коэффициентами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
2.5.6. Нелинейные уравнения с тремя и более независимыми пе-
ременными . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
2.5.7. Нелинейные уравнения третьего и более высоких порядков . 185
2.6. Функциональное разделение переменных общего вида. Явное пред-
ставление решений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
2.6.1. Общий вид решений с функциональным разделением пере-
менных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
2.6.2. Нелинейные уравнения реакционно-диффузионного типа . . 189
2.6.3. Нелинейные уравнения конвективно-диффузионного типа . . 200
2.6.4. Нелинейные уравнения типа Клейна — Гордона и нелиней-
ные телеграфные уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
2.6.5. Нелинейные уравнения диффузионного и волнового типов в
анизотропной среде . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
2.7. Функциональное разделение переменных общего вида. Неявное пред-
ставление решений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
2.7.1. Описание метода. Обобщенный принцип расщепления . . . . 222
2.7.2. Использование эквивалентных уравнений. Упрощение урав-
нений................................224
2.7.3. Нелинейные реакционно-конвективно-диффузионные урав-
нения................................226
2.7.4. Обобщенные уравнения пористой среды с нелинейным ис-
точником . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
3. Прямой метод построения редукций. Слабые симметрии 259
3.1. Прямой метод построения редукций . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
3.1.1. Упрощенная схема. Обобщенное уравнение Бюргерса — Кор-
тевега де Фриза . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
3.1.2. Специальный вид редукций. Уравнение Буссинеска . . . . . . 262
3.1.3. Общий вид редукций. Уравнение Гарри Дима . . . . . . . . . 266
3.2. Прямой метод поиска слабых симметрий . . . . . . . . . . . . . . . . 267
3.2.1. Общее описание метода. Уравнение стационарного погра-
ничного слоя . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
3.2.2. Уравнение Бюргерса Хаксли (уравнение диффузионного
типа с кубической нелинейностью) . . . . . . . . . . . . . . . 270
3.2.3. Уравнения нестационарного плоского и осесимметричного
пограничного слоя . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
3.2.4. Уравнения осесимметричного пограничного слоя на протя-
женном теле вращения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284
6 ОГЛА ВЛ ЕН ИЕ
3.2.5. Уравнения плоского и осесимметричного пограничного слоя
для неньютоновских жидкостей . . . . . . . . . . . . . . . . . 294
4. Метод дифференциальных связей 311
4.1. Метод дифференциальных связей для обыкновенных дифференци-
альных уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311
4.1.1. Описание метода. Дифференциальные связи первого порядка 311
4.1.2. Дифференциальные связи произвольного порядка. Общий
метод исследования на совместность двух уравнений . . . . . 317
4.1.3. Использование точечных преобразований в комбинации с
дифференциальными связями . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321
4.1.4. Использование нескольких дифференциальных связей . . . . 325
4.2. Описание метода дифференциальных связей для уравнений с част-
ными производными . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326
4.2.1. Предварительные замечания. Простой пример . . . . . . . . . 326
4.2.2. Общее описание метода дифференциальных связей . . . . . . 328
4.3. Дифференциальные связи первого порядка для уравнений с част-
ными производными . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330
4.3.1. Эволюционные уравнения второго порядка . . . . . . . . . . 330
4.3.2. Уравнения второго порядка гиперболического типа . . . . . . 337
4.3.3. Уравнения второго порядка общего вида . . . . . . . . . . . . 339
4.4. Дифференциальные связи второго и старших порядков. Некоторые
обобщения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340
4.4.1. Дифференциальные связи второго порядка . . . . . . . . . . 340
4.4.2. Дифференциальные связи более высокого порядка. Опреде-
ляющие уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343
4.4.3. Использование нескольких дифференциальных связей. Си-
стемы нелинейных уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345
4.5. Связь между методом дифференциальных связей и другими методами350
4.5.1. Предварительные замечания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350
4.5.2. Обобщенное разделение переменных и дифференциальные
связи ................................352
4.5.3. Функциональное разделение переменных и дифференциаль-
ные связи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353
4.5.4. Прямой метод построения редукций и дифференциальные
связи ................................359
4.5.5. Неклассический метод поиска симметрий и дифференциаль-
ные связи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360
Список литературы 362
Нашему другу и соавтору
Валентину Федоровичу Зайцеву
посвящается
Предисловие
Нелинейные дифференциальные уравнения с частными производными второго и более
высоких порядков (нелинейные уравнения математической физики) часто встречаются
в различных областях математики, физики, механики, химии, биологии и в многочис-
ленных приложениях. Общее решение нелинейных уравнений математической физики
удается получить только в исключительных случаях. Поэтому обычно приходится
ограничиваться поиском и анализом частных решений, которые принято называть
точными решениями.
Точные решения уравнений математической физики всегда играли и продолжают
играть огромную роль в формировании правильного понимания качественных особен-
ностей многих явлений и процессов в различных областях естествознания. Точные
решения нелинейных уравнений наглядно демонстрируют и позволяют лучше понять
механизмы таких сложных нелинейных эффектов, как пространственная локализация
процессов переноса, множественность или отсутствие стационарных состояний при
определенных условиях, существование режимов с обострением, возможная неглад-
кость или разрывность искомых величин и др. Простые решения линейных и нели-
нейных дифференциальных уравнений широко используются для иллюстрации тео-
ретического материала и некоторых приложений в учебных курсах университетов и
технических вузов (по прикладной и вычислительной математике, асимптотическим
методам, теоретической физике, теории тепло- и массопереноса, гидродинамике, газо-
вой динамике, теории волн, нелинейной оптике и др.).
Точные решения типа бегущей волны и автомодельные решения часто представ-
ляют собой асимптотики существенно более широких классов решений, соответству-
ющих различным начальным и граничным условиям. Указанное свойство позволяет
делать выводы общего характера и прогнозировать динамику различных нелинейных
явлений и процессов.
Даже те частные точные решения дифференциальных уравнений, которые не име-
ют ясного физического смысла, могут быть использованы в качестве основы для
формулировки тестовых задач, предназначенных для проверки корректности и оценки
точности различных численных, асимптотических и приближенных аналитических
методов. Кроме того, допускающие точные решения модельные уравнения и задачи
служат основой для разработки новых численных, асимптотических и приближенных
методов, которые, в свою очередь, позволяют исследовать уже более сложные задачи,
не имеющие точного аналитического решения. Точные методы и решения необходимы
также для разработки и совершенствования соответствующих разделов компьютерных
программ, предназначенных для аналитических вычислений (системы компьютерной
алгебры Mathematica, Maple, Maxima и др.)
Важно отметить, что многие уравнения прикладной и теоретической физики, хи-
мии и биологии содержат эмпирические параметры или эмпирические функции. Точ-
ные решения позволяют планировать эксперименты для определения этих параметров
8 ПРЕД ИС ЛО ВИЕ
или функций путем искусственного создания подходящих (граничных и начальных)
условий.
В данной книге под точными решениями нелинейных уравнений в частных про-
изводных понимаются следующие решения:
(a) Решения, которые выражаются через элементарные функции.
(b) Решения, которые выражаются в виде квадратур.
(c) Решения, которые выражаются через решения обыкновенных дифференциаль-
ных уравнений или систем таких уравнений.
Допускаются также комбинации случаев (a) и (b), а также (b) и (c).
Простейший случай (a) специально выделен из более общего случая (b), поскольку
некоторые авторы ограничиваются поиском только таких точных решений. В случаях
(a) и (b) точное решение может быть представлено в явной, неявной или параметри-
ческой форме.
Под точными методами решения нелинейных уравнений с частными производны-
ми понимаются методы, позволяющие получать точные решения.
Наиболее распространенные и весьма эффективные точные методы решения нели-
нейных уравнений с частными производными перечислены ниже в сводной таблице.
Эти методы имеют широкую область применимости, позволяя строить точные реше-
ния нелинейных УрЧП разных типов и разных порядков (в настоящее время имеется
много публикаций, в которых с помощью этих методов получено большое число
точных решений).
Замечание 1.
Наиболее популярными методами являются методы группового ана-
лиза и обратной задачи рассеяния (данные основаны на поиске ключевых слов в интер-
нете). Описанию этих методов посвящена обширная литература, см., например, книги
[32, 91, 92, 197, 259] (методы группового анализа) и [70, 71, 107, 140, 151, 256, 268]
(методы обратной задачи).
Замечание 2.
В теории тепло- и массопереноса и гидродинамике
∗∗
эффективно
работают только первые шесть методов, указанных в таблице.
В книге основное внимание уделено описанию и применению методов обобщен-
ного (нелинейного) и функционального разделения переменных. Эти методы являют-
ся наиболее эффективными для построения точных решений нелинейных уравнений
с частными производными достаточно общего вида, которые зависят от одной или
нескольких произвольных функций. Важно отметить, что именно такие нелинейные
УрЧП наиболее сложны для анализа и построения точных решений. Достаточно по-
дробно рассматривается также прямой метод поиска редукций (во многом родствен-
ный методам функционального разделения переменных) и его более общая версия,
Интегрирование дифференциальных уравнений в замкнутой форме — это представление
решений дифференциальных уравнений аналитическими формулами, при записи которых ис-
пользуются указанный априори набор допустимых функций и перечисленный заранее набор
математических операций. Решение выражается в виде квадратур, если в качестве допустимых
функций используются элементарные функции и функции, входящие в уравнение (это необхо-
димо, когда рассматриваемое уравнение зависит от произвольных или специальных функций),
а под допустимыми операциями понимается конечное множество арифметических операций,
операций суперпозиции (образования сложной функции), операций дифференцирования и взя-
тия неопределенного интеграла.
∗∗Здесь имеется в виду поиск точных решений уравнений Навье — Стокса и уравнений
гидродинамического пограничного слоя.
ПРЕДИ СЛОВ ИЕ 9
ТАБЛИЦА
Основные методы поиска точных решений
нелинейных уравнений с частными производными
Название метода Характерные особенности
1 Классический метод
поиска симметрий
(метод группового
анализа)
Основан на поиске однопараметрических групп Ли
непрерывных преобразований, которые сохраняют
вид УрЧП. Позволяет получать автомодельные и
другие инвариантные решения
2 Неклассический метод
поиска симметрий
(допускает различные
модификации)
Обобщает классический метод поиска симметрий
(основан на условии инвариантной поверхности).
Позволяет описать более широкий класс точных
решений, но более сложен для использования
3 Прямой метод
построения редукций
(метод Кларксона —
Крускала)
Задается общий вид решения с несколькими
свободными функциями. Для определения этих
функций используются специальные приемы, одна
из искомых функций должна удовлетворять ОДУ
4 Метод
дифференциальных
связей
Основан на анализе совместности
рассматриваемого УрЧП и вспомогательных (более
простых) дифференциальных уравнений,
называемых дифференциальными связями
5 Методы обобщенного
разделения переменных
Решение ищется в виде суммы попарных
произведений функций разных аргументов. Для
определения искомых функций используют
несколько разных методов
6 Методы
функционального
разделения переменных
Задается вид решения (в явной или неявной
форме) с несколькими свободными функциями.
Эти функции определяются методами
дифференцирования или расщепления
7 Метод обратной задачи
рассеяния (теория
солитонов)
Основан на специальном представлении уравнения
(с помощью пары Лакса линейных операторов) или
на условии совместности двух систем линейных
дифференциальных уравнений
8 Метод усеченных
разложений Пенлеве
Основан на поиске решений в виде усеченных
разложений, имеющих особенность типа
подвижного полюса. Положение полюса задается
произвольной функцией
основанная на использовании принципа расщепления. Кроме того, излагается метод
дифференциальных связей, который обобщает многие другие точные методы. Прове-
дено сопоставление эффективности упомянутых методов.
Изложение сопровождается многочисленными конкретными примерами, в кото-
рых авторы старались давать неформальные пояснения и высказывать соображения,
10 ПРЕД ИСЛО ВИЕ
которые использовались при построении тех или иных решений. Для иллюстрации
широкой области применимости описанных методов рассматриваются как нелинейные
уравнения второго порядка, так и различные уравнения старших порядков.
При отборе практического материала авторы отдавали наибольшее предпочтение
следующим двум важным типам УрЧП:
нелинейным уравнениям, которые встречаются в различных приложениях (в
теории тепло- и массопереноса, теории волн, гидродинамике, газовой динамике,
теории горения, нелинейной оптике, химической технологии, биологии и др.);
нелинейным уравнениям достаточно общего вида, которые зависят от произ-
вольных функций (точные решения таких уравнений представляют наибольший
интерес для тестирования численных и приближенных аналитических методов).
Важно отметить, что подавляющее большинство известных общих решений нели-
нейных обыкновенных дифференциальных уравнений представляется в неявной или
параметрической форме (подобный вывод следует из статистической обработки мате-
риалов наиболее полных справочников по точным решениям ОДУ [285, 288]). Данное
обстоятельство позволяет высказать правдоподобную гипотезу о том, что нелинейные
уравнения с частными производными также допускают точные решения (в виде квад-
ратур) в неявной или параметрической форме чаще, чем в явной форме. Поэтому в
данную книгу включены разработанные в последние несколько лет прямые методы
построения точных решений с функциональным разделением переменных в неявной
форме (характерная качественная особенность этих методов заключается в том, что
они обычно позволяют получать решения в замкнутом виде).
В целом, данная книга содержит много нового материала, который ранее в моно-
графиях не публиковался.
Для максимального расширения круга потенциальных читателей с разной мате-
матической подготовкой авторы по возможности старались избегать использования
специальной терминологии. Поэтому некоторые результаты описаны схематически и
упрощенно, чего вполне достаточно для их применения в большинстве приложений.
Многие разделы можно читать независимо друг от друга, что облегчает работу с
материалом.
Авторы надеются, что книга будет полезной для широкого круга научных работни-
ков, преподавателей вузов, инженеров, аспирантов и студентов, специализирующихся
в области прикладной и вычислительной математики, теоретической физики, механи-
ки, теории управления, химической технологии и биологии. Отдельные разделы книги
и примеры могут быть использованы в курсах лекций по уравнениям математической
физики, методам математической физики и уравнениям с частными производными,
для чтения спецкурсов и для проведения практических занятий.
Авторы
В частности, известные в настоящее время нелинейные УрЧП, зависящие от одной или
нескольких произвольных функций искомой величины, не имеют невырожденных решений,
которые допускают представление в явной форме.
Список литературы
[1] Аксенов В.А., Козырев А.А. Редукции уравнения стационарного пограничного
слоя с градиентом давления. Доклады АН, 2013, т. 449, № 5, с. 516–520.
[2] Аксенов А.В., Козырев А.А. Одномерные и двумерные редукции уравнения
нестационарного осесимметричного пограничного слоя. Вестник НИЯУ «МИ-
ФИ», 2013, т. 2, № 4, с. 415–421.
[3] Андреев В.К., Капцов О.В., Пухначев В.В., Родионов А.А. Применение
теоретико-групповых методов в гидрдинамике. Новосибирск: Наука, 1994.
[4] Аристов С.Н., Князев Д.В., Полянин А.Д. Точные решения уравнений Навье —
Стокса с линейной зависимостью компонент скорости от двух пространствен-
ных переменных. Теор. основы хим. технологии, 2009, т. 43, № 5, с. 547–566.
[5] Аристов С.Н., Полянин А.Д. Точные решения трехмерных нестационарных
уравнений Навье — Стокса. Доклады АН, 2009, т. 54, № 7, с. 35–40.
[6] Аристов С.Н., Просвиряков Е.Ю. Новый класс точных решений трехмерных
уравнений термодиффузии. Теор. основы хим. технологии, 2016, т. 50, № 3, с.
294–301.
[7] Аристов С.Н., Просвиряков Е.Ю. Нестационарные слоистые течения завихрен-
ной жидкости. Изв. РАН. Мех. жидкости и газа, 2016, № 2, с. 25-31.
[8] Баренблатт Г.И., Зельдович Я.Б. О решении типа диполя в задачах нестационар-
ной фильтрации газа при политропическом режиме. Прикл. мат. мех. (ПММ),
1957, т. 21, вып. 5, с. 718–720.
[9] Бурде Г.И. Об одном классе решений уравнения пограничного слоя. Изв. РАН.
Мех. жидкости и газа, 1990. № 2. С. 45–51.
[10] Верещагина Л. И. Групповое расслоение уравнений пространственного неста-
ционарного пограничного слоя. Вестник ЛГУ, 1973, т. 13, № 3, с. 82–86.
[11] Дородницын В.А. Об инвариантных решениях уравнения нелинейной тепло-
проводности с источником. Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1982, т. 22, № 6,
c. 1393–1400.
[12] Галактионов В.А., Посашков С.А. О новых точных решениях параболических
уравнений с квадратичными нелинейностями. Журн. вычисл. мат. и мат.
физики, 1989, т. 29, № 4, с. 497–506.
[13] Галактионов В.А., Посашков С.А. Точные решения и инвариантные простран-
ства для нелинейных уравнений градиентной диффузии. Журн. вычисл. мат. и
мат. физики, 1994, т. 34, 3, с. 374–383.
[14] Гузачев М.А., Константинова Н.Ю., Попель П.С., Мозговой А.Г. Температурные
зависимости кинематической вязкости жидких висмута, свинца и их взаимных
растворов. Теплофизика и аэромеханика, 2011, т. 18, № 3, с. 485–491.
[15] Гупало Ю.П., Полянин А.Д., Рязанцев Ю.С. Массотеплообмен реагирующих
частиц с потоком. М.: Наука, 1985.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 363
[16] Жужин Г.В. Ламинарный пограничный слой неньютоновской жидкости (каче-
ственное исследование). Прикл. мех. и техн. физика, 1987, № 3, с. 71–81.
[17] Зайцев В.Ф., Полянин А.Д. О точных решениях уравнений пограничного слоя
степенных жидкостей. Изв. АН СССР. Мех. жидкости и газа, 1989, № 5, с. 39–
42.
[18] Зайцев В.Ф., Полянин А.Д. Справочник по дифференциальным уравнениям
с частными производными: Точные решения. М.: Международная программа
образования, 1996.
[19] Зайцев В.Ф., Полянин А.Д. Справочник по обыкновенным дифференциальным
уравнениям. М.: Физматлит, 2001.
[20] Зайцев В.Ф., Полянин А.Д. Точные решения и преобразования нелинейных
уравнений теплопроводности и теории волн. Доклады АН, 2001, т. 381, № 1, с.
31–36.
[21] Игнатович Н.В. Нередуцируемые к инвариантным, частично-инвариантные ре-
шения уравнений стационарного погранслоя. Мат. заметки, 1993, т. 53, № 1,
с. 140–143.
[22] Косов А.А., Семенов Э.И. О точных многомерных решениях одной нелинейной
системы реакции-диффузии, Диф. уравнения, 2018, т. 54, № 1, с. 108–122.
[23] Косов А.А., Семенов Э.И. О точных решениях уравнения нелинейной диффу-
зии. Сиб. матем. журн., 2019, т. 60, № 1, с. 123–140.
[24] Кудряшов Н.А. Методы нелинейной математической физики. Долгопрудный:
Изд. дом «Интеллект», 2010.
[25] Лагно В. И., Спичак C. В., Стогний В. И. Симметрийный анализ уравнений
эволюционного типа. Москва — Ижевск: Институт компьютерных исследований,
2004.
[26] Лойцянский Л.Г. Ламинарный пограничный слой. М.: Физматлит, 1962.
[27] Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. М.: Наука, 1973.
[28] Маркеев А.П. Теоретическая механика. М.: Наука, 1990.
[29] Михеев М.А., Михеева И.М. Основы теплопередачи. М.: Энергия, 1977.
[30] Овсянников Л.В. Групповые свойства уравнений нелинейной теплопроводно-
сти. Доклады АН СССР, 1959, т. 125, № 3, с. 492–495.
[31] Овсянников Л.В. Групповые свойства дифференциальных уравнений. Новоси-
бирск: Изд-во СО АН СССР, 1962.
[32] Овсянников Л. В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. М.: Наука,
1978.
[33] Павловский Ю.Н. Исследование некоторых инвариантных решений уравнений
пограничного слоя. Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1961, т. 1, № 2, с. 280–
294.
[34] Похожаев С.И. Об одной задаче Л. В. Овсянникова. Прикл. механика и техн.
физика, 1989, № 2, с. 5–10.
[35] Полянин А.Д. Точные решения и преобразования уравнений стационарного
ламинарного пограничного слоя. Теор. основы хим. технологии, 2001, т. 35, №
4, с. 339–348.
364 СПИСОК Л ИТЕРАТУ РЫ
[36] Полянин А.Д. Преобразования и точные решения уравнений пограничного
слоя, содержащие произвольные функции. Доклады АН, 2001, т. 379, № 3, с.
334–339.
[37] Полянин А. Д. Точные решения уравнений Навье Стокса с обобщенным
разделением переменных. Доклады АН, 2001, т. 380, № 4, с. 491–496.
[38] Полянин А.Д. О нелинейной неустойчивости решений систем гидродинамиче-
ского типа. Письма в ЖЭТФ, т. 90, № 3, с. 238–242.
[39] Полянин А.Д. Не линейная неустойчивость решений уравнений Навье — Стокса.
Теор. основы хим. технологии, 2009, т. 43, № 6, с. 881–888.
[40] Полянин А.Д. Точные решения уравнений нестационарного пограничного слоя
степенных неньютоновских жидкостей. Доклады АН, 2015, т. 463, № 5, с. 547–
551.
[41] Полянин А.Д. Редукции и новые точные решения нелинейных уравнений кон-
вективной диффузии с переменными коэффициентами. Вестник НИЯУ "МИ-
ФИ", 2018, т. 7, № 6, с. 497–507.
[42] Полянин А.Д. Методы функционального разделения переменных и их примене-
ние в математической физике. Мат. моделирование и численные методы, 2019,
№ 1, с. 65–97.
[43] Полянин А.Д., Аристов С.Н. Системы уравнений гидродинамического типа:
Точные решения, преобразования, нелинейная устойчивость. Доклады АН,
2009, т. 428, № 2, с. 180–185.
[44] Полянин А.Д., Журов А.И. Решения с функциональным разделением перемен-
ных двух классов нелинейных уравнений математической физики. Доклады АН,
2019, т. 486, № 3, с. 287–291.
[45] Полянин А.Д., Журов А.И. Об одном методе построения точных решений
нелинейных уравнений математической физики. Доклады АН, 2019, т. 489, №
3, с. 235–239.
[46] Полянин А.Д., Зайцев В.Ф. Уравнения нестационарного пограничного слоя:
Общие преобразования and точные решения. Теор. основы хим. технологии,
2001, т. 34, № 6, с. 563–573.
[47] Полянин А.Д., Зайцев В.Ф. Справочник по нелинейным уравнениям математи-
ческой физики. М.: Физматлит, 2002.
[48] Полянин А.Д., Зайцев В.Ф., Журов А.И. Методы решения нелинейных уравне-
ний математической физики и механики. М.: Физматлит, 2005.
[49] Полянин А.Д., Линчук Л.В. Построение точных решений нелинейных диффе-
ренциальных уравнений методом расщепления. Вестник НИЯУ "МИФИ", 2020,
т. 9, № 1, с. 32–44.
[50] Полянин А.Д., Сорокин В.Г., Вязьмин А.В. Точные решения и качественные
особенности гиперболических реакционно-диффузионных уравнения с запаз-
дыванием. Теор. основы хим. технологии, 2015, т. 49, № 5, с. 527–541.
[51] Полянин А.Д., Сорокин В.Г., Вязьмин А.В. Реакционно-диффузионные модели
с запаздыванием: Некоторые свойства, уравнения, задачи и решения. Теор.
основы хим. технологии, 2018, т. 52, № 3, с. 278–293.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 365
[52] Просвиряков Е.Ю. Новый класс точных решений уравнений Навье Стокса со
степенной зависимостью скоростей от двух пространственных координат. Теор.
основы хим. технологии, 2016, т. 53, № 1, с. 107–114.
[53] Пухначев В.В. Симме трии в ур авнениях Навье — Стокса. Успехи механики, 2006,
№ 6, с. 3–76.
[54] Рудых Г.А., Семенов Э.И. Неавтомодельные решения многомерного уравнения
нелинейной диффузии. Мат. заметки, 2000, т. 67, № 2, с. 250–256.
[55] Сидоров А.Ф., Шапеев В.П., Яненко Н.Н. Метод дифференциальных связей и
его приложения в газовой динамике. Новосибирск: Наука, 1984.
[56] Соболев С. Л. Процессы переноса и бегущие волны в локально-неравновесных
системах. Успехи физ. наук, 1991, т. 161, № 3, с. 5–29.
[57] Титов С.С. О решениях нелинейных уравнений в частных производных в виде
многочленов по одной из переменных. Численные методы механики сплошной
среды, Новосибирск, 1977, т. 8, № 1, с. 144–149.
[58] Титов С.С. Метод конечномерных колец для решения нелинейных уравнений
математической физики. Аэродинамика (ред Т.П. Иванова), Саратовский ун-т,
1988, с. 104–110.
[59] Титов С.С., Устинов В.А. Исследование многочленных решений уравнений
фильтрации газа с целым показателем адиабаты. Приближенные методы реше-
ния краевых задач механики сплошной следы (сб. науч. трудов). Урал. отд-ние
АН СССР, Инст. математики и механики, 1985, с. 64–70.
[60] Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: Наука,
1972.
[61] Флетчер К. Численные методы на основе метода Галёркина. М.: Мир, 1988.
[62] Хабиров С.В. Применение контактных преобразований неоднородного уравне-
ния Монжа Ампера в одномерной газовой динамике. Доклады АН, 1990, т. 310,
№. 2, с. 333–336
[63] Хабиров С.В. Неизэнтропические одномерные движения газа, построенные с
помощью контактной группы неоднородного ур авнения Монжа — Ампера. Мат.
сборник, 1990, т. 181, № 12, с. 1607–1622.
[64] Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. М.: Наука, 1974.
[65] Шульман З.П., Берковский Б.М. Пограничный слой неньютоновских жидко-
стей. Минск: Наука и техника, 1966.
[66] Шульман З.П. Конвективный тепломассоперенос реологически сложных жид-
костей. М.: Энергия, 1975.
[67] Эстевес П.Г., Чу Ч., Разделение переменных в нелинейных волновых уравнени-
ях с переменной волновой скоростью. Теор. мат. физика, 2002, т. 133, № 2, с.
202–210.
[68] Яненко Н.Н. Теория совместности и методы интегрирования систем нелиней-
ных уравнений в частных производных. Труды IV Всесоюзного мат. съезда, т.
2, с. 613–621. Л.: Наука, 1964.
[69] Abazari R., Jamshidzadeh S. Exact solitary wave solutions of the complex Klein–
Gordon equation. Optik, 2015, Vol. 126, pp. 1970–1975.
366 СПИСОК Л ИТЕРАТУ РЫ
[70] Ablowitz M.J., Clarkson P.A. Solitons, Nonlinear Evolution Equations and Inverse
Scattering. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1991.
[71] Ablowitz M.J., Segur H. Solitons and the Inverse Scattering Transform. Philadelphia:
Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM), 1981.
[72] Acrivos A., Shah M.J., Petersen E.E. Momentum and heat transfer in laminar
boundary-layer flows of non-Newtonian fluids past external surfaces. AIChE J.,
1960, Vol. 6, No. 2, pp. 312–317.
[73] Ahmed E., Abdusalam H.A., Fahmy E.S. On telegraph reaction diffusion and coupled
maplattice in some biological systems. Int. J. Modern Phys. C, 2001, Vol. 12,
pp. 717–726.
[74] Alquran M.T. Solitons and periodic solutions to nonlinear partial differential
equations by the sine–cosine method. Appl. Math. Inf. Sci., 2012, Vol. 6, No. 1,
pp. 85–88.
[75] Ames W.F., Lohner J.R., Adams E. Group properties of utt = [f(u)ux]x.Int. J. Non-
Linear Mech., 1981, Vol. 16, Nos 5–6, pp. 439–447.
[76] Anco S.C., Liu S. Exact solutions of semilinear radial wave equations in n
dimensions. J. Math. Anal. Appl., 2004, Vol. 297, pp. 317–342.
[77] Annaby M.H., Mansour Z.S. q-Fractional Calculus and Equations. Berlin: Springer,
2012.
[78] Aristov S.N., Gitman I.M. Viscous flow between two moving parallel disks: exact
solutions and stability analysis. J. Fluid Mech., 2002, Vol. 464, pp. 209–215.
[79] Aristov S.N., Polyanin A.D. New classes of exact solutions and some transformations
of the Navier–Stokes equations. Russian J. Math. Physics, 2010, Vol. 17, No. 1,
pp. 1–18.
[80] Arrigo D., Broadbridge P., Hill J.M. Nonclassical symmetry solutions and the
methods of Bluman–Cole and Clarkson–Kruskal, J. Math. Phys., 1993, Vol. 34,
pp. 4692–4703.
[81] Aslan I., Ozis T. Analytic study on two nonlinear evolution equations by using the
(G
/G)-expansion method. Appl. Math. Comput., 2009, Vol. 209, No. 2, pp. 425–429.
[82] Barannyk A.F., Barannyk T.A., Yuryk I.I. Generalized separation of variables for
nonlinear equation utt =F(u)uxx +aF (u)u2
x.Rep. Math. Phys., 2013, Vol. 71,
pp. 1–13.
[83] Basarab-Horwath P., Lahno V., Zhdanov R. The structure of Lie algebras and the
classification problem for partial differential equations. Acta Appl. Math., 2001,
Vol. 69, pp. 43–94.
[84] Bekir A. New solitons and periodic wave solutions for some nonlinear physical
models by using the sine–cosine method. Physica Scripta, 2008, Vol. 77, No. 4,
045008.
[85] Bekir A. Application of the G
/G-expansion method for nonlinear evolution
equations. Physics Letters A, 2008, Vol. 372, pp. 3400–3406.
[86] Bekir A., Boz A. Exact solutions for nonlinear evolution equations using Exp-
function method. Physics Letters A, 2008, Vol. 372, No. 10, pp. 1619–1625.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 367
[87] Berker R. Int ´
egration des ´
equations du mouvement d’un fluide visqueux
incompressible, In: Encyclopedia of Physics, Vol. VIII/2 (ed. S. Fl¨ugge), pp. 1–384.
Berlin: Springer, 1963.
[88] Birkhoff G. Hydrodynamics. Princeton: Princeton University Press, 1960.
[89] Bluman G.W., Cheviakov A.F. Nonlocally related systems, linearization and nonlocal
symmetries for the nonlinear wave equation. J. Math. Anal. Appl., 2007, Vol. 333,
pp. 93–111.
[90] Bluman G.W., Cole J.D. The general similarity solution of the heat equation. J. Math.
Mech., 1969, Vol. 18, pp. 1025–1042.
[91] Bluman G.W., Cole J.D. Similarity Methods for Differential Equations. New York:
Springer, 1974.
[92] Bluman G.W., Kumei S. Symmetries and Differential Equations. New York: Springer,
1989.
[93] Bluman G.W., Temuerchaolu, Sahadevan R. Local and nonlocal symmetries for
nonlinear telegraph equation. J. Math. Phys., 2005, Vol. 46, 023505.
[94] Blyth M.G., Hall P. Oscillatory flow near a stagnation point. SIAM J. Appl. Math.,
2003, Vol. 63, pp. 1604–1614.
[95] B¨ohme G. Non-Newtonian Fluid Mechanics. Amsterdam: Elsevier, 1987.
[96] Boussinesq J. Th´
eorie des ondes et des remous qui se propagent le long d’une canal
rectangulaire horizontal, et communiquant au liquide contenu dans ce canal des
vitesses sensiblement pareilles de la surface au fond. J. Math. Pures Appl., 1872,
Ser. 2, Vol. 17, pp. 55–108.
[97] Boussinesq J. Recherches th´
eorique sur l’ ´
ecoulement des nappes d’eau infiltr´
ees dans
le sol et sur le d´
ebit des sources. J. Math. Pures Appl., 1904, Vol. 10, No. 1, pp. 5–78.
[98] Boyce W.E., DiPrima R.C. Elementary Differential Equations and Boundary Value
Problems, 4th ed. New York: John Wiley & Sons., 1986.
[99] Bradshaw-Hajek B.H. Nonclassical symmetry solutions for non-autonomous
reaction-diffusion equations. Symmetry, 2019, Vol. 11, 208.
[100] Bradshaw-Hajek B.H., Edwards M.P., Broadbridge P., Williams G.H. Nonclassical
symmetry solutions for reaction-diffusion equations with explicit spatial dependence.
Nonlinear Anal.: Theory, Methods & Appl., 2007, Vol. 67, No. 9, pp. 2541–2552.
[101] Bradshaw-Hajek B.H., Moitsheki R.J. Symmetry solutions for reaction-diffusion
equations with spatially dependent diffusivity. Appl. Math. Comput., 2015, Vol. 254,
pp. 30–38.
[102] Broadbridge P., Daly E., Goard J. Exact solutions of the Richards equation with
nonlinear plant-root extraction. Water Resources Research, 2017, Vol. 53, No. 11,
pp. 9679–9691.
[103] Bulbul B., Sezer M., Greiner W. Relativistic Quantum Mechanics–Wave Equations,
3rd ed.. Berlin: Springer, 2000.
[104] Burde G.I. The construction of special explicit solutions of the boundary-layer
equations. Steady flows. Quart. J. Mech. Appl. Math., 1994, Vol. 47, No. 2, pp. 247–
260.
368 СПИСОК Л ИТЕРАТУ РЫ
[105] Burde G.I. The construction of special explicit solutions of the boundary-layer
equations. Unsteady flows, Quart. J. Mech. Appl. Math., 1995, Vol. 48, No. 4,
pp. 611–633.
[106] Burde G.I. New similarity reductions of the steady-state boundary-layer equations.
J. Phys. A: Math. Gen., 1996, Vol. 29, No. 8, pp. 1665–1683.
[107] Calogero F., Degasperis A. Spectral Transform and Solitons: Tolls to Solve and
Investigate Nonlinear Evolution Equations. Amsterdam: North-Holland Publ., 1982.
[108] Cantwell B.J. Similarity transformations for the two-dimensional, unsteady, stream
function equation. J. Fluid Mech., 1978, Vol. 85, No. 2, pp. 257–271.
[109] Caputo M. Linear model of dissipation whose Qis almost frequency independent.
II. Geophysical J. Int., 1967, Vol. 13, No. 5, pp. 529–539.
[110] Carslaw H.S., Jaeger J.C. Conduction of Heat in Solids. Oxford: Clarendon Press,
1984.
[111] Cattaneo C. Sulla conduzione de calore. Atti Semin. Mat. Fis. Univ. Modena, 1948,
Vol. 3, pp. 3–21.
[112] Caudrey P.J., Eilbeck J.C., Gibbon J.D. The sine-Gordon equation as a model
classical field theory. Il Nuovo Cimento B Series, 1975, Vol. 25, No. 2, pp. 497–512.
[113] Chen S., Wei J. Stability and bifurcation in a diffusive logistic population model with
multiple delays. Int. J. Bifurcation & Chaos, 2015, Vol. 25, No. 8, 1550107.
[114] Cherniha R. New non-Lie ans¨atze and exact solutions of nonlinear reaction-diffusion-
convection equations. J. Phys. A: Math. Gen., 1998, Vol. 31, pp. 8179–8198.
[115] Cherniha R., Davydovych V. Nonlinear Reaction-Diffusion Systems: Conditional
Symmetry, Exact Solutions and Their Applications in Biology. Cham: Springer, 2017.
[116] Cherniha R., King J.R., Kovalenko S. Lie symmetry properties of nonlinear reaction-
diffusion equations with gradient-dependent diffusivity, Commun. Nonlinear Sci.
Numer. Simul., 2016, Vol. 36, pp. 98–108.
[117] Cherniha R.M., Pliukhin O. New conditional symmetries and exact solutions of
nonlinear reaction-diffusion-convection equations. J. Physics A: Math. Theor., 2007,
Vol. 40, No. 33, pp. 10049–10070.
[118] Cherniha R.M., Pliukhin O. New conditional symmetries and exact solutions of
reaction-diffusion-convection equations with exponential nonlinearities. J. Math.
Anal. Appl., 2013, Vol. 403, pp. 23–37.
[119] Cherniha R., Serov M., Rassokha I. Lie symmetries and form-preserving
transformations of reaction–diffusion–convection equations. J. Math. Anal. Appl.,
2008, Vol. 342, pp. 1363–1379.
[120] Cherniha R., Serov M., Pliukhin O. Lie and Q-conditional symmetries of reaction-
diffusion-convection equations with exponential nonlinearities and their application
for finding exact solutions. Symmetry, 2018, Vol. 10, No. 4, 123.
[121] Cherniha R., Serov M., Pliukhin O. Nonlinear Reaction-Diffusion-Convection
Equations: Lie and Conditional Symmetry, Exact Solutions and Their Applications.
Boca Raton: Chapman & Hall/CRC Press, 2018.
[122] Choudhary S., Daftardar-Gejji V. Invariant subspace method: A tool for solving
fractional partial differential equations. Fractional Calculus & Appl. Analysis, 2017,
Vol. 20, No. 2, pp. 477–493.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 369
[123] Choudhary S., Daftardar-Gejji V. Solving systems of multi-term fractional PDEs:
Invariant subspace approach. Int. J. Modeling, Simulation, & Scientific Comput.,
2019, Vol. 10, No. 1, 1941010.
[124] Chun C. Soliton and periodic solutions for the fifth-order KdV equation with the
Exp-function method. Physics Letters A, 2008, Vol. 372, No. 16, pp. 2760–2766.
[125] Chun C., Neta B. Some modification of Newton’s method by the method of
undetermined coefficients. Comp. Math. Appl., 2008, Vol. 56, No. 10, pp. 2528–2538.
[126] Clarkson P.A. Nonclassical symmetry reductions of the Boussinesq equation. Chaos,
Solitons & Fractals, 1995, Vol. 5, pp. 2261–2301.
[127] Clarkson P.A., Hood S. Nonclassical symmetry reductions and exact solutions of the
Zabolotskaya–Khokhlov equation. European J. Appl. Math., 1992, Vol. 3, No. 4, pp.
381–414.
[128] Clarkson P.A., Kruskal M.D. New similarity reductions of the Boussinesq equation.
J. Math. Phys., 1989, Vol. 30, No. 10, pp. 2201–2213.
[129] Clarkson P.A., Ludlow D.K., Priestley T.J. The classical, direct and nonclassical
methods for symmetry reductions of nonlinear partial differential equations. Methods
Appl. Anal., 1997, Vol. 4, No. 2, pp. 173–195.
[130] Clarkson P.A., Mansfield E.L. Algorithms for the nonclassical method of symmetry
reductions. SIAM J. Appl. Math., 1994, Vol. 54, No. 6, pp. 1693–1719.
[131] Clarkson P.A., Mansfield E.L. Symmetry reductions and exact solutions of a class of
nonlinear heat equations. Physica D, 1994, Vol. 70, No. 3, pp. 250–288.
[132] Clarkson P.A., McLeod J.B., Olver P.J., Ramani R. Integrability of Klein–Gordon
equations. SIAM J. Math. Anal., 1986, Vol. 17, pp. 798–802.
[133] Crabtree F.L., K¨uchemann D., Sowerby L. , In: Laminar Boundary Layers (ed.
L. Rosenhead). Oxford: Oxford University Press, 1963.
[134] Craik A. The stability of unbounded two- and three-dimensional flows subject to
body forces: some exact solutions. J. Fluid Mech., 1989, Vol. 198, pp. 275–292.
[135] Crane L.J. Flow past a stretching plate. ZAMP, 1970, Vol. 21, No. 4, pp. 645–647.
[136] Cuevas-Maraver J., Kevrekidis P., Williams F. (eds.). The sine-Gordon Model and its
Applications. Heidelberg: Springer, 2014.
[137] Curro C., Fusco D., Manganaro N. Differential constraints and exact solution to
Riemann problems for a traffic flow model. Acta App. Math., 2012, Vol. 122,
pp. 167–178.
[138] de Oliveira O.R.B. A formula substituting the undetermined coefficients and the
annihilator methods. Int. J. Math. Educ. Sci. Technol., 2013, Vol. 44, No. 3, pp. 462–
468.
[139] Dierkes D., Oberlack M., Cheviakov A. New similarity reductions and exact
solutions for helically symmetric viscous flows. Phys. Fluids, 2020, Vol. 32, 053604,
doi: 10.1063/5.0005423.
[140] Dodd R.K., Eilbeck J.C., Gibbon J.D., Morris H.C. Solitons and Nonlinear Wave
Equations. London: Academic Press, 1982.
[141] Doyle P.W., Vassiliou P.J. Separation of variables for the 1-dimensional non-linear
diffusion equation. Int. J. Non-Linear Mech., 1998, Vol. 33, No. 2, pp. 315–326.
370 СПИСОК Л ИТЕРАТУ РЫ
[142] Drazin P.G., Riley N. The Navier–Stokes Equations: A Classification of Flows and
Exact Solutions. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 2006.
[143] Dubinskii Y.A. Analytic Pseudo-Differential Operators and Their Applications.
Dordrecht: Kluwer, 1991.
[144] Dunbar S.R., Othmer H.G. On a nonlinear hyperbolic equation describing
transmission lines, cell movement, and branchingrandom walks. In: Nonlinear
Oscillations in Biology and Chemistry, in: Lecture Notes in Biomath. (ed. Othmer
H.G.), Vol. 66, pp. 274–289, Springer, Berlin, 1986.
[145] Dzhamay A.V., Vorob’ev E.M. Infinitesimal weak symmetries of nonlinear
differential equations in two independent variables. J. Phys. A: Math. Gen., 1994,
Vol. 27, pp. 5541–5549.
[146] Elwakila S.A., El-Labany S.K., Zahran M.A., Sabry R. Modified extended tanh-
function method for solving nonlinear partial differential equations. Physics Letters
A, 2002, Vol. 299, Nos 2–3, pp. 179–188.
[147] Erbas B., Yusufoglu E. Exp-function method for constructing exact solutions of
Sharma–Tasso–Olver equation. Chaos, Solitons & Fractals, 2009, Vol. 41, No. 5,
pp. 2326–2330.
[148] Est´
evez P.G. Non-classical symmetry and the singular manifold: the Burgers and the
Burgers–Huxley equation. J. Phys. A: Math. Gen., 1994, Vol. 27, pp. 2113–2127.
[149] Est´
evez P.G., Gordoa P.R. Painleve analysis of the generalized Burgers–Huxley
equation. J. Phys. A: Math. Gen., 1990, Vol. 23, No. 1, pp. 4831–4837.
[150] Est´
evez P.G., Qu C.Z., Zhang S.L. Separation of variables of a generalized porous
medium equation with nonlinear source. J. Math. Anal. Appl., 2002, Vol. 275, pp. 44
59.
[151] Faddeev L.D., Takhtajan L.A. Hamiltonian Methods in the Theory of Solitons. Berlin:
Springer, 1987.
[152] Fan E. Extended tanh-function method and its applications to nonlinear equations.
Physics Letters A, 2000, Vol. 277, Nos 4–5, pp. 212–218.
[153] Finlayson B.A. The Method of Weighted Residuals and Variational Principles. New
York: Academic Press, 1972.
[154] Fort J., M´
endez V. Wavefronts in time-delayed reaction–diffusion systems. Theory
and comparison to experiment. Rep. Prog. Phys., 2002, Vol. 65, pp. 895–954.
[155] Franklin J., Daoud A. Proof in Mathematics: An Introduction. Sydney: Kew Books,
2011.
[156] Fushchich W.I., Serov N.I., Ahmerov T.K. On the conditional symmetry of the
generalized Korteweg-de Vries equation. Proc. Ukr. Acad. Sci., 1991, Vol. A 12,
pp. 28–30.
[157] Galaktionov V.A. On new exact blow-up solutions for nonlinear heat conduction
equations with source and applications. Differ. & Integral Equations, 1990, Vol. 3,
No. 5, pp. 863–874.
[158] Galaktionov V.A. Quasilinear heat equations with first-order sign-invariants and new
explicit solutions. Nonlinear Anal. Theor. Meth. Appl., 1994, Vol. 23, pp. 1595–621.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 371
[159] Galaktionov V.A. Invariant subspaces and new explicit solutions to evolution
equations with quadratic nonlinearities. Proc. Roy. Soc. Edinburgh, Sect. A, 1995,
Vol. 125, No. 2, pp. 225–246.
[160] Galaktionov V.A., Dorodnitsyn V.A., Yelenin G.G., Kurdyumov S.P., Samarskii A.A.
A quasilinear equation of heat conduction with a source: peaking, localization,
symmetry, exact solutions, asymptotic behavior, structures. J. Soviet Math., 1988,
Vol. 41, No. 5, pp. 1222–1292.
[161] Galaktionov V.A., Posashkov S.A., Svirshchevskii S.R. On invariant sets and explicit
solutions of nonlinear evolution equations with quadratic nonlinearities. Dif. &
Integral Equations, 1995, Vol. 8, No. 8, pp. 1997–2024.
[162] Galaktionov V.A., Posashkov S.A., Svirshchevskii S.R. Generalized separation of
variables for differential equations with polynomial nonlinearities. Diff. Equations,
1995, Vol. 31, No. 2, pp. 233–240.
[163] Galaktionov V.A., Svirshchevskii S.R. Exact Solutions and Invariant Subspaces of
Nonlinear Partial Differential Equations in Mechanics and Physics. Boca Raton:
Chapman & Hall/CRC Press, 2007.
[164] Gandarias M.L., Romero J.L., D´
iaz J.M. Nonclassical symmetry reductions of a
porous medium equation with convection. J. Phys. A: Math. Gen., 1999, Vol. 32,
pp. 1461–1473.
[165] Gandarias M.L. Classical point symmetries of a porous medium equation. J. Phys.
A, 1996, Vol. 29, pp. 607–633.
[166] Gandarias M.L.,Torrisi M., Valenti A. Symmetry classification and optimal systems
of a non-linear wave equation. Int. J. Non-Linear Mech., 2004, Vol. 39, pp. 389–398.
[167] Gazizov R., Kasatkin A. Construction of exact solutions for fractional order
differential equations by the invariant subspace method. Computers & Math.
Applications, 2013, Vol. 66, No. 5, pp. 576–584.
[168] Gilding B.H., Kersner R. Travelling waves in nonlinear diffusion-convection
reaction. Basel: Birkh¨user, 2004.
[169] Giona M., Roman H.E. Fractional diffusion equation for transport phenomena in
random media. Physica A: Stat. Mech. & Appl., 1992, Vol. 185, No. 1–4, pp. 87–97.
[170] Gorenflo R., Iskenderov A., Luchko Y. Mapping between solutions of fractional
diffusion-wave equations. Fractional Calculus and Applied Analysis, 2000, Vol. 3,
No. 1, pp. 75–86.
[171] Gourley S.A., Bartuccelli M.V. Parameter domains for instability of uniform states
in systems with many delays. J. Math. Biology, 1997, Vol. 35, pp. 843–867.
[172] Grauel A., Steeb W.-H. Similarity solutions of the Euler equations and the Navier–
Stokes equations in two space dimensions. Int. J. Theor. Phys., 1985, Vol. 24,
pp. 255–265.
[173] Greenspan H.P. On the motion of a small viscous droplet that wets a surface. J. Fluid
Mech., 1978, Vol. 84, pp. 125–143.
[174] Griffiths G.W., Schiesser W.E. Traveling Wave Analysis of Partial Differential
Equations. Academic Press, Amsterdam, 2012.
[175] Grosch C.E., Salwen H. Oscillating stagnation point flow. Proc. Roy. Soc. London,
Ser. A, 1982, Vol. 384, pp. 175–190.
372 СПИСОК Л ИТЕРАТУ РЫ
[176] Grundland A.M., Infeld E. A family of non-linear Klein-Gordon equations and their
solutions. J. Math. Phys., 1992, Vol. 33, pp. 2498–2503.
[177] Guderley K.G. The Theory of Transonic Flow. Oxford: Pergamon, 1962.
[178] Hand L.N., Finch J.D. Analytical Mechanics. Cambridge: Cambridge University
Press, 2008.
[179] Harko T., Mak M.K. Exact travelling wave solutions of non-linear reaction-
convection-diffusion equations. An Abel equation based approach. J. Math. Phys.,
2015, Vol. 56, 111501.
[180] Harris J. Rheology and Non-Newtonian Flow. London: Longman, 1977.
[181] Hayek M. Analytical solution to transient Richards’ equation with realistic water
profiles for vertical infiltration and parameter estimation. Water Resources Research,
2016, Vol. 52, No. 6, pp. 4438–4457.
[182] Hayek M. A family of analytical solutions of a nonlinear diffusion–convection
equation. Physica A: Stat. Mech. Appl., 2018, Vol. 490, pp. 1434–1445.
[183] He J.H., Wu X.H. Exp-function method for nonlinear wave equations. Chaos,
Solitons & Fractals, 2006, Vol. 30, No. 3, pp. 700–708.
[184] He J.H., Abdou M.A. New periodic solutions for nonlinear evolution equation using
Exp-method. Chaos, Solitons & Fractals, 2007, Vol. 34, pp. 1421–1429.
[185] Hiemenz K. Die Grenzschicht an einem in den gleichf ¨ormigen Fl¨ussigkeitsstrom
eingetauchten geraden Kreiszylinder. Dinglers Polytech. J., 1911, Vol. 326, pp. 321–
324, 344–348, 357–362, 372–374, 407–410.
[186] Hilfer R. Applications of Fractional Calculus in Physics. Singapore: World
Scientific, 2000.
[187] Hood S. New exact solutions of Burgers’s equation—an extension to the direct
method of Clarkson and Kruskal. J. Math. Physics, 1995, Vol. 36, No. 4, 1971.
[188] Hood S. On direct, implicit reductions of a nonlinear diffusion equation with an
arbitrary function - generalizations of Clarkson’s and Kruskal’s method. IMA J. Appl.
Math., 2000, Vol. 64, No. 3, pp. 223–244.
[189] Hu J., Qu C. Functionally separable solutions to nonlinear wave equations by group
foliation method. J. Math. Anal. Appl., 2007, Vol. 330, pp. 298–311.
[190] Huang D.J., Ivanova N.M. Group analysis and exact solutions of a class of variable
coefficient nonlinear telegraph equations. J. Math. Phys., 2007, Vol. 48, No. 7,
073507.
[191] Huang D.J., Zhou S. Group properties of generalized quasi-linear wave equations. J.
Math. Anal. Appl., 2010, Vol. 366, pp. 460–472.
[192] Huang D.J., Zhou S. Group-theoretical analysis of variable coefficient nonlinear
telegraph equations. Acta Appl. Math., 2012, Vol. 117, No. 1, pp. 135–183.
[193] Huang D.J., Zhu Y., Yang Q. Reduction operators and exact solutions of variable
coefficient nonlinear wave equations with power nonlinearities. Symmetry, 2017,
Vol. 9, No. 1, 3, doi:10.3390/sym9010003.
[194] Huang J., Zou X. Traveling wavefronts in diffusive and cooperative Lotka–Volterra
system with delays. J. Math. Anal. Appl., 2002, Vol. 271, pp. 455–466.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 373
[195] Hui W.H. Exact solutions of the unsteady two-dimensional Navier–Stokes equations.
Z. Angew. Math. Phys., 1987, Vol. 38, pp. 689–702.
[196] Hwang G. The elliptic sinh-Gordon equation in the quarter plane. J. Nonlinear Math.
Phys., 2016, Vol. 23, No. 1, pp. 127–140.
[197] Ibragimov N.H. (ed.). CRC Handbook of Lie Group Analysis of Differential
Equations, Vol. 1, Symmetries, Exact Solutions and Conservation Laws. Boca Raton:
CRC Press, 1994.
[198] Ibragimov N.H., Khabirov S.V. Contact transformation group classification of
nonlinear wave equations. Nonlin. Dyn., 2000, Vol. 22, pp. 61–71.
[199] Ibragimov N.H., Torrisi M., Valenti A. Preliminary group classification of equations
vtt =f(x, vx)vxx +g(x, vx).J. Math. Phys., 1991, Vol. 32, pp. 2988–2995.
[200] Ivanova N.M., Sophocleous C. On the group classification of variable-coefficient
nonlinear diffusion-convection equations. J. Comput. Appl. Math., 2006, Vol. 197,
No. 2, pp. 322–344.
[201] Ivanova N.M. Exact solutions of diffusion-convection equations. Dynamics of PDE,
2008, Vol. 5, No. 2, pp. 139–171.
[202] Ji L. Conditional Lie–B¨acklund symmetries and functionally generalized separable
solutions to the generalized porous medium equations with source. J. Math. Anal. &
Appl., 2012, Vol. 389, pp. 979–988.
[203] Ji L.N., Qu C.Z. Conditional Lie–B¨acklund symmetries and invariant subspaces to
nonlinear diffusion equations with convection and source. Stud. Appl. Math., 2013,
Vol. 131, pp. 266–301.
[204] Ji L., Qu C. Conditional Lie–B¨acklund symmetries and solutions to (n+ 1)-
dimensional nonlinear diffusion equations. J. Math. Phys., 2007, Vol. 48, 103509.
[205] Jia H., Xu W., Zhao X., Li Z. Separation of variables and exact solutions to nonlinear
diffusion equations with x-dependent convection and absorption. J. Math. Anal.
Appl., 2008, Vol. 339, pp. 982–995.
[206] Jordan P.M., Dai W., Mickens R.E. A note on the delayed heat equation: Instability
with respect to initial data. Mech. Research Comm., 2008, Vol. 35 pp. 414–420.
[207] Kamke E. Differentialgleichungen: L¨osungsmethoden und L ¨osungen, II, Partielle
Differentialgleichungen Erster Ordnung f ¨ur eine gesuchte Funktion. Leipzig: Akad.
Verlagsgesellschaft Geest & Portig, 1965.
[208] Kamke E. Differentialgleichungen: L ¨osungsmethoden und L¨osungen, I, Gew ¨ohnliche
Differentialgleichungen. Leipzig: B. G. Teubner, 1977.
[209] Kaptsov O.V. Determining equations and differential constraints. Nonlinear Math.
Phys., 1995, Vol. 2, pp. 283–291.
[210] Kaptsov O.V. Linear determining equations for differential constraints. Sbornik:
Mathematics, 1998, Vol. 189, pp. 1839–1854.
[211] Kaptsov O.V., Verevkin I.V. Differential constraints and exact solutions of nonlinear
diffusion equations. J. Phys. A: Math. Gen., 2003, Vol. 36, No. 5, pp. 1401–1414.
[212] Kar A., Chan C.L., Mazumder J. Comparative studies on nonlinear hyperbolic and
parabolic heat conduction for various boundary conditions: Analytic and numerical
solutions. Int. J. Heat Transfer, 1992, Vol. 114, pp. 14–20.
374 СПИСОК Л ИТЕРАТУ РЫ
[213] Khalid M., Sultana M., Zaidi F., Arshad U. Solving linear and nonlinear Klein–
Gordon equations by new perturbation iteration transform method. TWMS J.
App. Eng. Math., 2016, Vol. 6, No. 1, pp. 115–125.
[214] Kilbas A.A., Srivastava H.M., Trujillo J.J. Theory and Applications of Fractional
Differential Equations. Amsterdam: Elsevier, 2006.
[215] Korn G.A., Korn T.M. Mathematical Handbook for Scientists and Engineers, 2nd
ed. New York: Dover Publ., 2000.
[216] Kruglikov B. Symmetry approaches for reductions of PDEs, differential constraints
and Lagrange–Charpit method. Acta Appl. Math., 2008, Vol. 101, pp. 145–161.
[217] Kudryashov N.A. On exact solutions of families of Fisher equations. Theor. Math.
Phys., 1993, Vol. 94, No. 2, pp. 211–218.
[218] Kudryashov N.A. Nonlinear differential equations with exact solutions expressed via
the Weierstrass function. Zeitschrift fur Naturforschung, 2004, Vol. 59, pp. 443–454.
[219] Kudryashov N.A. Simplest equation method to look for exact solutions of nonlinear
differential equations. Chaos, Solitons & Fractals, 2005, Vol. 24, No. 5, pp. 1217–
1231.
[220] Kudryashov N.A. A note on the G
/G-expansion method. Appl. Math. Comput.,
2010, Vol. 21, No. 4, pp. 1755–1758.
[221] Kudryashov N.A., Loguinova N.B. Extended simplest equation method for nonlinear
differential equations. Appl. Math. Comput., 2008, Vol. 205, No. 1, pp. 396–402.
[222] Kudryashov N.A., Loguinova N.B. Be careful with the Exp-function method.
Commun. Nonlinear Sci. Numer. Simul., 2009, Vol. 14, No. 5, pp. 1881–189.
[223] Kudryashov N.A., Rybka R.B., Sboev A.G. Analytical properties of the perturbed
FitzHugh–Nagumo model. Appl. Math. Lett., 2018, Vol. 76, pp. 142–147.
[224] Kuranishi M. Lectures on Involutive Systems on Partial Differential Equations. Sao
Paulo: Publ. Soc. Math., 1967.
[225] Lahno V., Zhdanov R., Magda O. Group classification and exact solutions of
nonlinear wave equations. Acta Appl. Math., 2006, Vol. 91, pp. 253–313.
[226] Levi D., Winternitz P. Nonclassical symmetry reduction: Example of the Boussinesq
equation. J. Phys. A, 1989, Vol. 22, pp. 2915–2924.
[227] Lloyd S.P. The infinitesimal group of the Navier–Stokes equations. Acta Mech., 1981,
Vol. 38, pp. 85–98.
[228] Lobo J.Z., Valaulikar Y.S. Group analysis of the one dimensional wave equation with
delay. Appl. Math. Comput., 2020, Vol. 378, 125193.
[229] Long F.-S., Meleshko S.V. On the complete group classification of the one-
dimensional nonlinear Klein — Gordon equation with a delay. Math. Methods Appl.
Sciences, 2016, Vol. 39, No. 12, pp. 3255–3270.
[230] Ludlow D.K., Clarkson P.A., Bassom A.P. Nonclassical symmetry reductions of
the three-dimensional incompressible Navier–Stokes equations. J. Phys. A: Math. &
General., 1998, Vol. 31, pp. 7965–7980.
[231] Ludlow D.K., Clarkson P.A., Bassom A.P. Nonclassical symmetry reductions of
the two-dimensional incompressible Navier–Stokes equations. Studies in Applied
Mathematics, 1999, Vol. 103, pp. 183–240.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 375
[232] Ludlow D.K., Clarkson P.A., Bassom A.P. New similarity solutions of the unsteady
incompressible boundary-layer equations. Quart. J. Mech. and Appl. Math., 2000,
Vol. 53, pp. 175–206.
[233] Ma P.K.H., Hui W.H. Similarity solutions of the two-dimensional unsteady boundary-
layer equations. J. Fluid Mech., 1990, Vol. 216, pp. 537–559.
[234] Mainardi F. On the initial value problem for the fractional diffusion-wave equation.
In: Waves and Stability in Continuous Media (ed. by Rionero S., Ruggeri T), pp. 246–
251. Singapore: World Scientific, 1994.
[235] Mainardi F. The fundamental solutions for the fractional diffusion-wave equation.
Appl. Math. Letters, 1996, Vol. 9, No. 6, pp. 23–28.
[236] Mainardia F., Pagnini G. The Wright functions as solutions of the time-fractional
diffusion equation. Appl. Math. & Comput., 2003, Vol. 141, pp. 51–62.
[237] Malfliet W., Hereman W. The tanh method: exact solutions of nonlinear evolution
and wave equations. Physica Scripta, 1996, Vol. 54, pp. 563–568.
[238] Martin M.N. The propagation of a plane shock into a quiet atmosphere. Canad.
J. Math., 1953, Vol. 3, pp. 165–187.
[239] Meleshko S.V. Differential constraints and one-parameter Lie–B¨acklund groups.
Sov. Math. Dokl., 1983, Vol. 28, pp. 37–41.
[240] Meleshko S.V. A particular class of partially invariant solutions of the Navier–Stokes
equations. Nonlinear Dynamics, 2004, Vol. 36, No. 1, pp. 47–68.
[241] Meleshko S.V. Methods for Constructing Exact Solutions of Partial Differential
Equations, New York: Springer, 2005.
[242] Meleshko S.V., Moyo S. On the complete group classification of the reaction–
diffusion equation with a delay. J. Math. Anal. Appl., 2008, Vol. 338, pp. 448–466.
[243] Meleshko S.V., Pukhnachev V.V. On one class of the partially invariant solutions of
the Navier–Stokes equations. Prikl. Mekh. Tekh. Fiz., 1999, No. 2, pp. 24–33.
[244] Merchant G.I., Davis S.H. Modulated stagnation-point flow and steady streaming.
J. Fluid Mech., 1989, Vol. 198, pp. 543–555.
[245] Metzler R., Gl¨ockle W.G., Nonnenmacher T.F. Fractional model equation for
anomalous diffusion. Physica A: Stat. Mechanics & Appl., 1994, Vol. 211, No. 1,
pp. 13–24.
[246] Metzler R., Klafter J. The random walk’s guide to anomalous diffusion: afractional
dynamics approach. Physics Reports, Vol. 339, No. 1, pp. 1–77.
[247] Miller K.S., Ross B. An Introduction to the Fractional Calculus and Fractional
Differential Equations. New York: Wiley, 1993.
[248] Miller W. (Jr.). Mechanism for variable separation in partial differential equations
and their relationship to group theory. In: Symmetries and Nonlinear Phenomena
(eds. D. Levi, P. Winternitz). London: World Scientific, 1989.
[249] Miller W. (Jr.), Rubel L.A. Functional separation of variables for Laplace equations
in two dimensions. J. Phys. A., 1993, Vol. 26, pp. 1901–1913.
[250] Molati M., Murakawa H. Exact solutions of nonlinear diffusion-convection-reaction
equation: A Lie symmetry analysis approach. Commun. Nonlinear Sci. Numer.
Simul., 2019, Vol. 67, pp. 253–263.
376 СПИСОК Л ИТЕРАТУ РЫ
[251] Molz F.J. Models of water transport in the soil-plant system: A review. Water
Resources Research, 1981, Vol. 17, No. 5, pp. 1245–1260.
[252] Moore R.L. Exact non-linear forced periodic solutions of the Navier–Stokes
equations. Physica D, 1991, Vol. 52, pp. 179–190.
[253] Murphy G.M. Ordinary Differential Equations and Their Solutions. New York: D.
Van Nostrand, 1960.
[254] Naeem I., Khan M.D. Symmetry classification of time-fractional diffusion equation.
Commun. Nonlinear Sci. Numer. Simul., 2017, Vol. 42, pp. 560–570.
[255] Nigmatullin R.R. The realization of the generalized transfer equation in a medium
with fractal geometry. Physica Status Solidi, 1986, Vol. 133, pp. 425 425–430.
[256] Novikov S.P., Manakov S.V., Pitaevskii L.B., Zakharov V.E. Theory of Solitons. The
Inverse Scattering Method. New York: Plenum Press, 1984.
[257] Nucci M.C., Clarkson P.A. The nonclassical method is more general than the direct
method for symmetry reductions. An example of the Fitzhugh–Nagumo equation.
Phys. Lett. A, 1992, Vol. 164, pp. 49–56.
[258] Olver P.J. Direct reduction and differential constraints. Proc. R. Soc. Lond. Ser. A,
1994, Vol. 444, pp. 509–523.
[259] Olver P.J. Application of Lie Groups to Differential Equations, 2nd ed. New York:
Springer, 2000.
[260] Olver P.J., Rosenau P. The construction of special solutions to partial differential
equations. Phys. Lett. A, 1986, Vol. 114, No. 3, pp. 107–112.
[261] Olver P.J., Vorob’ev E.M. Nonclassical and conditional symmetries. In CRC
Handbook of Lie Group Analysis of Differential Equations, Vol. 3 (ed. Ibragimov
N.H.), pp. 291–328. Boca Raton: CRC Press, 1996.
[262] Oron A., Rosenau P. Some symmetries of the nonlinear heat and wave equations.
Phys. Lett. A, 1986, Vol. 118, pp. 172–176.
[263] Parkes E.J., Duffy B.R. An automated tanh-function method for finding solitary wave
solutions to non-linear evolution equations. Computer Physics Communications,
1996, Vol. 98, pp. 288–300.
[264] Parkes E.J. Observations on the tanh-coth expansion method for finding solutions to
nonlinear evolution equations. Appl. Math. Comp., 2010, Vol. 217, No. 4, pp. 1749–
1754.
[265] Pavlov K.B. Boundary-layer theory in non-Newtonian nonlinearly viscous media.
Fluid Dynamics, 1978, Vol. 13, No. 3, pp. 360–366.
[266] Pereira E., Suazo E., Trespalacios J. Riccati–Ermakov systems and explicit solutions
for variable coefficient reaction-diffusion equations, Appl. Math. Comput., 2018,
Vol. 329, pp. 278–296.
[267] Philip J.R. Theory of infiltration. Adv. Hydrosci., 1967, Vol. 5, pp. 215–305.
[268] Pike R., Sabatier P. (eds.). Scattering: Scattering and Inverse Scattering in Pure and
Applied Science, vols. 1 and 2. San Diego: Academic Press, 2002.
[269] Plyukhin O.H. Conditional symmetries and exact solutions of one reaction-diffusion-
convection equation Nonlinear Oscillations, 2007, Vol. 10, pp. 381–394.
[270] Podlubny I. Fractional Differential Equations. San Diego: Academic Press, 1999.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 377
[271] Polyanin A.D. Method for solution of some non-linear boundary value problems
of a non-stationary diffusion-controlled (thermal) boundary layer. Int. J. Heat Mass
Transfer, 1982, Vol. 25, No. 4, pp. 471–485.
[272] Polyanin A.D. Generalized traveling-wave solutions of nonlinear reaction–diffusion
equations with delay and variable coefficients. Appl. Math. Lett., 2019, vol. 90,
pp. 49–53.
[273] Polyanin A.D. Construction of exact solutions in implicit form for PDEs: New
functional separable solutions of non-linear reaction-diffusion equations with variable
coefficients. Int. J. Non-Linear Mech., 2019, Vol. 111, pp. 95–105.
[274] Polyanin A.D. Construction of functional separable solutions in implicit form for
non-linear Klein–Gordon type equations with variable coefficients. Int. J. Non-Linear
Mech., 2019, Vol. 114, pp. 29–40.
[275] Polyanin A.D. Functional separable solutions of nonlinear reaction-diffusion
equations with variable coefficients. Appl. Math. Comput., 2019, Vol. 347, pp. 282–
292.
[276] Polyanin A.D. Functional separable solutions of nonlinear convection–diffusion
equations with variable coefficients. Commun. Nonlinear Sci. Numer. Simulat., 2019,
Vol. 73, pp. 379–390.
[277] Polyanin A.D. Comparison of the effectiveness of different methods for constructing
exact solutions to nonlinear PDEs. Generalizations and new solutions. Mathematics,
2019, Vol. 7, No. 5, 386.
[278] Polyanin A.D. Functional separation of variables in nonlinear PDEs: General
approach, new solutions of diffusion-type equations. Mathematics, 2020, Vol. 8,
No. 1, 90.
[279] Polyanin A.D., Kutepov A.M., Vyazmin A.V., Kazenin D.A. Hydrodynamics, Mass
and Heat Transfer in Chemical Engineering. Taylor & Francis, London, 2002.
[280] Polyanin A.D., Manzhirov A.V. Handbook of Mathematics for Engineers and
Scientists. Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2007.
[281] Polyanin A.D., Nazaikinskii V.E. Handbook of Linear Partial Differential Equations
for Engineers and Scientists, 2nd ed.. Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton,
2016.
[282] Polyanin A.D., Shingareva I.K. Overdetermined systems of ODEs with parameters
and their applications: The method of differential constraints. and the generalized
separation of variables in PDEs Math. Advances Pure & Appl. Sci., 2018, Vol. 1,
No. 1, pp. 1–22.
[283] Polyanin A.D., Sorokin V.G. Nonlinear delay reaction–diffusion equations:
Traveling-wave solutions in elementary functions. Appl. Math. Lett., 2015, Vol. 46,
pp. 38–43.
[284] Polyanin A.D., Sorokin V.G. New exact solutions of nonlinear wave type PDEs with
delay. Appl. Math. Lett., 2020, Vol. 108, 106512.
[285] Polyanin A.D., Zaitsev V.F. Handbook of Exact Solutions for Ordinary Differential
Equations. CRC Press, Boca Raton–New York, 2003.
[286] Polyanin A.D., Zaitsev V.F. Handbook of Nonlinear Partial Differential Equations.
CRC Press, Boca Raton, 2004.
378 СПИСОК Л ИТЕРАТУ РЫ
[287] Polyanin A.D., Zaitsev V.F. Handbook of Nonlinear Partial Differential Equations,
2nd ed. CRC Press, Boca Raton, 2012.
[288] Polyanin A.D., Zaitsev V.F. Handbook of Ordinary Differential Equations: Exact
Solutions, Methods, and Problems. CRC Press, Boca Raton — London, 2018.
[289] Polyanin A.D., Zaitsev V.F., Moussiaux A. Handbook of First Order Partial
Differential Equations. Taylor & Francis, London, 2002.
[290] Polyanin A.D., Zhurov A.I. Exact solutions to nonlinear equations of mechanics and
mathematical physics. Doklady Physics, 1998, Vol. 43, No. 6, pp. 381–385.
[291] Polyanin A.D., Zhurov A.I. On RF-pairs, B ¨acklund transformations and linearization
of nonlinear equations. Commun. Nonlinear Sci. Numer. Simulat., 2012, Vol. 17,
pp. 536–544.
[292] Polyanin A.D., Zhurov A.I. On order reduction of non-linear equations of mechanics
and mathematical physics, new integrable equations and exact solutions. Int. J. Non-
Linear Mech., 2012, Vol. 47, No. 5, pp. 413–417.
[293] Polyanin A.D., Zhurov A.I. Exact solutions of linear and nonlinear differential-
difference heat and diffusion equations with finite relaxation time. Int. J. Non-Linear
Mech., 2013, Vol 54, pp. 115–126.
[294] Polyanin A.D., Zhurov A.I. Integration of linear and some model non-linear
equations of motion of incompressible fluids. Int. J. Non-Linear Mech., 2013,
Vol. 49, pp. 77–83.
[295] Polyanin A.D., Zhurov A.I. Exact solutions of non-linear differential-difference
equations of a viscous fluid with finite relaxation time. Int. J. Non-Linear Mech.,
2013, Vol. 57, pp. 116–122.
[296] Polyanin A.D., Zhurov A.I. Exact separable solutions of delay reaction–diffusion
equations and other nonlinear partial functional-differential equations. Commun.
Nonlinear Sci. Numer. Simul., 2014, Vol. 19, pp. 409–416.
[297] Polyanin A.D., Zhurov A.I. Functional constraints method for constructing exact
solutions to delay reaction-diffusion equations and more complex nonlinear
equations. Commun. Nonlinear Sci. Numer. Simul., 2014, Vol. 19, No. 3, pp. 417–430.
[298] Polyanin A.D., Zhurov A.I. Generalized and functional separable solutions to non-
linear delay Klein Gordon equations. Commun. Nonlinear Sci. Numer. Simul.,
2014, Vol. 19, No. 8, pp. 2676–2689.
[299] Polyanin A.D., Zhurov A.I. New generalized and functional separable solutions to
nonlinear delay reaction-diffusion equations. Int. J. Non-Linear Mech., 2014, Vol. 59,
pp. 16–22.
[300] Polyanin A.D., Zhurov A.I. Non-linear instability and exact solutions to some delay
reaction-diffusion systems. Int. J. Non-Linear Mech., 2014, Vol. 62, pp. 33–40.
[301] Polyanin A.D., Zhurov A.I. Nonlinear delay reaction-diffusion equations with
varying transfer coefficients: Exact methods and new solutions. Appl. Math. Lett.,
2014, Vol. 37, pp. 43–48.
[302] Polyanin A.D., Zhurov A.I. The functional constraints method: Application to non-
linear delay reaction–diffusion equations with varying transfer coefficients. Int. J.
Non-Linear Mech., 2014, Vol. 67, pp. 267–277.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 379
[303] Polyanin A.D., Zhurov A.I. The generating equations method: Constructing exact
solutions to delay reaction–diffusion systems and other non-linear coupled delay
PDEs. Int. J. Non-Linear Mech., 2015, Vol. 71, pp. 104–115.
[304] Polyanin A.D., Zhurov A.I. Unsteady axisymmetric boundary-layer equations:
Transformations, properties, exact solutions, order reduction and solution method.
Int. J. Non-Linear Mech., 2015, Vol. 74, pp. 40–50.
[305] Polyanin A.D., Zhurov A.I. Functional and generalized separable solutions to
unsteady Navier–Stokes equations. Int. J. Non-Linear Mech., 2016, Vol. 79, pp. 88–
98.
[306] Polyanin A.D., Zhurov A.I. Direct functional separation of variables and new exact
solutions to axisymmetric unsteady boundary-layer equations. Commun. Nonlinear
Sci. Numer. Simulat., 2016, Vol. 31, pp. 11–20.
[307] Polyanin A.D., Zhurov A.I. Non-isothermal flows of liquid metals and melts:
qualitative features, asymptotic models, problems, exact and approximate solutions.
Int. J. Non-Linear Mech., 2016, Vol. 82, pp. 104–113.
[308] Polyanin A.D., Zhurov A.I. One-dimensional reductions and functional separable
solutions to unsteady plane and axisymmetric boundary-layer equations for non-
Newtonian fluids. Int. J. Non-Linear Mech., 2016, Vol. 85, pp. 70–80.
[309] Polyanin A.D., Zhurov A.I. Separation of variables in PDEs using nonlinear
transformations: Applications to reaction–diffusion type equations. Appl. Math. Lett.,
2020, Vol. 100, 106055, doi: 10.1016/j.aml.2019.106055.
[310] Polyanin A.D., Zhurov A.I., Vyazmin A.V. Generalized separation of variables in
nonlinear heat and mass transfer equations. J. Non-Equilib. Thermodyn., 2000, Vol.
25, Nos. 3–4, pp. 251–267.
[311] Polyanin A.D., Zhurov A.I., Vyazmina E.A. Exact solutions to nonlinear equations
and systems of equations of general form in mathematical physics. AIP Conf. Proc.,
2008, Vol. 1067, 64, doi: 10.1063/1.3030831
[312] Pommaret J.F. Systems in Partial Differential Equations and Lie Pseudogroups. New
York: Gordon & Breach Sci. Publ., 1978.
[313] Popovych R.O., Ivanova N.M. New results on group classification of nonlinear
diffusion-convection equations. J. Physics A: Math. Gen., 2004, Vol. 37, No. 30,
pp. 7547–7565.
[314] Popovych R.O., Sophocleous C., Vaneeva O.O. Exact solutions of a remarkable fin
equation. Appl. Math. Letters, 2008, Vol. 21, No. 3, pp. 209–214.
[315] Pucci E. Group analysis of the equation utt +λuxx =g(u, ux).Riv. Mat. Univ.
Parma, 1987, Vol. 12, No. 4, pp. 71–87.
[316] Pucci E. Similarity reductions of partial differential equations. J. Phys. A: Math.
Gen., 1992, Vol. 25, pp. 2631–2640.
[317] Pucci E., Saccomandi G. On the weak symmetry groups of partial differential
equations. J. Math. Anal. Appl., 1992, Vol. 163, pp. 588–598.
[318] Pucci E., Saccomandi, G. Evolution equations, invariant surface conditions and
functional separation of variables. Physica D, 2000, Vol. 139, pp. 28–47.
[319] Pucci E., Salvatori M.C. Group properties of a class of semilinear hyperbolic
equations. Int. J. Non-Linear Mech., 1986, Vol. 21, pp. 147–155.
380 СПИСОК Л ИТЕРАТУ РЫ
[320] Pukhnachov V.V. Group properties of the Navier–Stokes equations in the plane case.
J. Appl. Math. Tech. Phys., 1960, No. 1, pp. 83–90.
[321] Qu C.Z. Group classification and generalized conditional symmetry reduction of the
nonlinear diffusion-convection equation with a nonlinear source. Stud. Appl. Math.,
1997, Vol. 99, 107–136.
[322] Qu C.Z., Zhang S.L., Liu R.C. Separation of variables and exact solutions to
quasilinear diffusion equations with the nonlinear source. Physica D, 2000, Vol. 144,
pp. 97–123.
[323] Quarteroni A., Valli A. Numerical Approximation of Partial Differential Equations.
Berlin: Springer, 2008.
[324] Racke R., Saal J. Hyperbolic Navier–Stokes equations I: Localwell-posedness, Evol.
Equations & Control Theory, 2012, Vol. 1, No. 1, pp. 195–215.
[325] Riley N., Vasantha R. An unsteady stagnation-point flow. Quart. J. Mech. Appl.
Math., 1988, Vol. 42, pp. 511–521.
[326] Rott N. Unsteady viscous flow in the vicinity of a stagnation point. Quart. Appl.
Math., 1956, Vol. 13, No. 4, pp. 444–451.
[327] Rozhdestvenskii B.L., Yanenko N.N. Systems of Quasilinear Equations and Their
Applications to Gas Dynamics. Providence: American Math. Society, 1983.
[328] Rui W. Idea of invariant subspace combined with elementary integral method for
investigating exact solutions of time-fractional NPDEs. Applied Math. & Comput.,
2018, Vol. 339, pp. 158–171.
[329] Saccomandi G. A remarkable class of non-classical symmetries of the steady two-
dimensional boundary-layer equations. J. Phys. A: Math. & General, 2004, Vol. 37,
pp. 7005–7017.
[330] Sahadevan R., Prakash P. Exact solution of certain time fractional nonlinear partial
differential equations. Nonlinear Dynamics, 2016, Vol. 85, pp. 659–673.
[331] Sahadevan R., Bakkyaraj T. Invariant subspace method and exact solutions of certain
nonlinear time fractional partial differential equations. Fractional Calculus & Appl.
Analysis, 2015, Vol. 18, No. 1, pp. 146–162.
[332] Sahadevan R., Prakash P. On Lie symmetry analysis and invariant subspace methods
of coupled time fractional partial differential equations. Chaos, Solitons & Fractals,
2017, Vol. 104, No. 2017, pp. 107–120.
[333] Salas A.H. Exact solutions for the general fifth KdV equation by the exp function
method. Appl. Math. & Comput., 2008, Vol. 205, No. 1, pp. 291–297.
[334] Samko S.G., Kilbas A.A., Marichev O.I. Fractional Integrals and Derivatives.
Theory and Applications. New York: Gordon & Breach Sci. Publ., 1993.
[335] Scott A.C. The application of acklund transforms to physical problems. In:
B¨acklund Transformations (ed. R.M. Miura), pp. 80–105. Berlin: Springer, 1975.
[336] Smyth N.F., Hill J.M. High-order nonlinear diffusion. IMA J. Appl. Math., 1988,
Vol. 40, pp. 73–86.
[337] Sophocleous C., Kingston J.G. Cyclic symmetries of one-dimensional non-linear
wave equations. Int. J. Non-Linear Mech., 1999, Vol. 34, pp. 531–543.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 381
[338] Steuerwald R. ¨
Uber enneper’sche Fl¨achen und B¨acklund’sche Transformation. Abh.
Bayer. Akad. Wiss. (Muench.), 1936, Vol. 40, pp. 1–105.
[339] Su N. Modified Richards equation and its exact solutions for soil water dynamics on
eroding hillslopes. Water Resources Research, 2002, Vol. 38, No. 6, 1072.
[340] Svirshchevskii S.R. Lie–B¨acklund symmetries of linear ODEs and generalized
separation of variables in nonlinear equations. Phys. Lett. A, 1995, Vol. 199, pp. 344–
348.
[341] Svirshchevskii S.R. Invariant linear subspaces and exact solutions of nonlinear
evolutions equations. Nonlinear Math. Phys., 1996, Vol. 3, No. 1–2, pp. 164–169.
[342] ´
Swierczy´nski Z. On the oscillons in the signum-Gordon model. J. Nonlinear Math.
Phys., 2017, Vol. 24, No. 1, pp. 20–28.
[343] Tang X.Y., Liang Z.F., Wang J.Y. Nonlocal symmetries and conservation laws of the
sinh-Gordon equation. J. Nonlinear Math. Phys., 2017, Vol. 24, No. 1, pp. 93–106.
[344] Toda M. Studies of a nonlinear lattice. Phys. Rep., 1975, Vol. 8, pp. 1–125.
[345] Tzou D.Y. Macro- to Microscale Heat Transfer: The Lagging Behavior. Washington:
Taylor & Francis, 1997.
[346] Vaneeva O.O., Johnpillai A.G., Popovych R.O., Sophocleous C. Extended
group analysis of variable coefficient reaction-diffusion equations with power
nonlinearities. J. Math. Anal. Appl., 2007, Vol. 330, No. 2, pp. 1363–1386.
[347] Vaneeva O.O., Popovych R.O., Sophocleous C. Enhanced group analysis and exact
solutions of variable coefficient semilinear diffusion equations with a power source.
Acta Appl. Math., 2009, Vol. 106, No. 1, pp. 1–46.
[348] Vaneeva O.O., Popovych R.O., Sophocleous C. Group analysis of variable coefficient
diffusion-convection equations, I. Enhanced group classification. Lobachevskii J.
Math., 2010, Vol. 31, No. 2, pp. 100–122.
[349] Vaneeva O.O., Popovych R.O., Sophocleous C. Extended group analysis of variable
coefficient reaction-diffusion equations with exponential nonlinearities, J. Math.
Anal. Appl., 2012, Vol. 396, pp. 225–242.
[350] Vaneeva O., Zhalij A. Group classification of variable coefficient quasilinear
reaction-diffusion equations. Publ. L’Institute Math´ematique (Nouvelle s´
erie), 2013,
Vol. 94(108), pp. 81–90.
[351] Vernotte P. Les paradoxes de la th ´
eorie continue de l’ ´
equation de la chaleur. Comptes
Rendus, 1958, Vol. 246, pp. 3154–3155.
[352] Vorob’ev E.M. Weak and partial symmetries of nonlinear PDE in two independent
variables. J. Nonlinear Math. Phys., 1996, Vol. 3, pp. 330–335.
[353] Wang C.Y. Exact solutions of the unsteady Navier–Stokes equations. Appl. Mech.
Rev., 1989, Vol. 42, No. 11, pp. 269–282.
[354] Wang C.Y. Exact solutions of the steady-state Navier–Stokes equations. Annu. Rev.
Fluid Mech., 1991, Vol. 23, pp. 159–177.
[355] Wang L., Gao Y. Global exponential robust stability of reaction–diffusion interval
neural networks with time-varying delays. Physics Letters A, 2006, Vol. 350, pp. 342–
348.
382 СПИСОК Л ИТЕРАТУ РЫ
[356] Wang M., Ji X., Zhang J. The (G
/G)-expansion method and travelling wave
solutions of nonlinear evolution equations in mathematical physics. Physics Letters
A, 2008, Vol. 372, pp. 417–423.
[357] Wang R., Ji L. Conditional Lie–B¨acklund symmetries and functionally generalized
separation of variables to quasi-linear diffusion equations with source. Symmetry,
2020, Vol. 12, No. 5, 844; doi:10.3390/sym12050844
[358] Wang X.Y. Nerve propagation and wall in liquid crystals. Physics Letters A, 1985,
Vol. 112, pp. 402–406.
[359] Wazwaz A.-M. Several new exact solutions for a fast diffusion equation by the
differential constraints of the linear determining equations. Appl. Math. & Comput.,
2003, Vol. 145, Nos 2–3, pp. 525–540.
[360] Wazwaz A.-M. The sine-cosine method for obtaining solutions with compact and
noncompact structures. Applied Mathematics & Computation, 2004, Vol. 159, No. 2,
pp. 559–576.
[361] Wazwaz A.-M. A sine-cosine method for handling nonlinear wave equations.
Mathematical & Computer Modelling, 2004, Vol. 40, Nos 5–6, pp. 499–508.
[362] Wazwaz A.-M. The tanh method and the sine-cosine method for solving the KP-
MEW equation. Int. J. Computer Mathematics, 2005, Vol. 82, No. 2, pp. 235–246.
[363] Whitham G.B. Linear and Nonlinear Waves. New York: Wiley, 1974.
[364] Weiss J., Tabor M., Carnevalle G. The Painlev´
e property for partial differential
equations. J. Math. Phys., 1983, Vol. 24, No. 3, pp. 522–526.
[365] Witelski T.P. Intermediate asymptotics for Richards’ equation in a finite layer. J. Eng.
Math., 2003, Vol. 45, pp. 3790–399.
[366] Wu J. Theory and Applications of Partial Functional Differential Equations. New
York: Springer, 1996.
[367] Xu X. New algebraic approaches to classical boundary layer problems. Acta Math.
Sinica (English Series), 2011, Vol. 27, pp. 1023–1070.
[368] Xu X. Algebraic Approaches to Partial Differential Equations. Berlin — New York:
Springer, 2013.
[369] Zayeda E.M.E., Gepreel K.A. The (G
/G)-expansion method for finding traveling
wave solutions of nonlinear partial differential equations in mathematical physics. J.
Math. Physics, 2009, Vol. 50, 013502.
[370] Zhang D., Feng S., Lu Z., Liu Y. Application of differential constraint method to
exact solution of second-grade fluid. Appl. Math. Mech. (Engl. Ed.), 2009, Vol. 30,
No. 4, pp. 403–412.
[371] Zhang S., Tonga J.-L., Wanga W. Exp-function method for a nonlinear ordinary
differential equation and new exact solutions of the dispersive long wave equations.
Computers & Math. Applications, 2009, Vol. 58, Nos 11–12, pp. 2294–2299.
[372] Zhang S.L., Lou S.Y., Qu C.Z. New variable separation approach: Application to
nonlinear diffusion equations. J. Phys. A: Math. Gen., 2003, Vol. 36, pp. 12223–
12242.
[373] Zhang S.L., Lou S.Y. Variable separation and derivative-dependent functional
separable solutions to generalized nonlinear wave equations. Commun. Theor. Phys.,
2004, Vol. 41, pp. 161–174.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 383
[374] Zhang S.L., Lou S.Y., Qu C.Z., Yue R.H. Classification and functional separable
solutions to extended nonlinear wave equations. Commun. Theor. Phys., 2005,
Vol. 44, pp. 589–596.
[375] Zhang W. The extended tanh method and the exp-function method to solve a kind of
nonlinear heat equation. Math. Probl. Eng., 2010 (2010), Article ID 935873.
[376] Zhdanov R.Z. Separation of variables in the non-linear wave equation. J. Phys. A,
1994, Vol. 27, pp. L291–L297.
[377] Zhurov A.I., Polyanin A.D. Symmetry reductions and new functional separable
solutions of nonlinear Klein–Gordon and telegraph type equations. J. Nonlinear
Math. Phys., 2020, Vol. 27, pp. 1–16.
[378] Zwillinger D. Handbook of Differential Equations. Academic Press, San Diego,
1998.
PDF-файл всей книги находится в свободном доступе в ин-
тернете на стр.
http://eqworld.ipmnet.ru/Arts_Polyanin/Book_Polyanin_Zhurov_2020.pdf
ResearchGate has not been able to resolve any citations for this publication.
Article
Full-text available
We consider nonlinear wave type PDEs with delay of the form $$ u_{tt}+H_1(u)u_t=[G(u)u_x]_x+H_2(u)u_x+F(u,w), $$ where $u=u(x,t)$ is the unknown function, $w=u(x,t-\tau)$, and $\tau$ is the delay time. The source function $F(u,w)$ depends on one or several arbitrary functions of one argument. Using the modified method of functional constraints, we obtain a number of new exact solutions with generalized and functional separation of variables, as well as traveling-wave solutions. Most solutions are expressed in terms of elementary functions and contain free parameters. These solutions can be used to formulate test problems intended to evaluate the accuracy of numerical methods for solving nonlinear delay PDEs.
Article
Full-text available
The conditional Lie–Bäcklund symmetry method is applied to investigate the functionally generalized separation of variables for quasi-linear diffusion equations with a source. The equations and the admitted conditional Lie–Bäcklund symmetries related to invariant subspaces are identified. The exact solutions possessing the form of the functionally generalized separation of variables are constructed for the resulting equations due to the corresponding symmetry reductions.
Article
Full-text available
In the present paper, we derive exact solutions for the helically invariant Navier-Stokes equations. The approach is based on an invariant solution ansatz emerging from the Galilean group in helical coordinates, which leads to linear functions in the helical coordinate ξ = az + bφ for the two helical velocity components u ξ and u η. The variables z and φ are the usual cylinder coordinates. Starting from this approach, we derive a new equation for the radial velocity component u r in the helical frame, for which we found two special solutions. Moreover, we present an exact linearization of the Navier-Stokes equations by seeking exact solutions in the form of Beltrami flows. Using separation of variables, we found exponentially decaying time-dependent solutions, which consist of trigonometric functions in the helical coordinate ξ and of confluent Heun-type functions in the radial direction. Published under license by AIP Publishing. https://doi.org/10.1063/5.0005423
Article
Full-text available
The paper is concerned with different classes of nonlinear Klein–Gordon and telegraph type equations with variable coefficients c(x)utt + d(x)ut = [a(x)ux]x + b(x)ux + p(x) f (u), where f (u) is an arbitrary function. We seek exact solutions to these equations by the direct method of symmetry reductions using the composition of functions u = U (z) with z = φ (x, t). We show that f (u) and any four of the five functional coefficients a(x), b(x), c(x), d(x), and p(x) in such equations can be set arbitrarily, while the remaining coefficient can be expressed in terms of the others. The study investigates the properties and finds some solutions of the overdetermined system of PDEs for φ (x, t). Examples of specific equations with new exact functional separable solutions are given. In addition, the study presents some generalized traveling wave solutions to more complex, nonlinear Klein–Gordon and telegraph type equations with delay.
Article
Full-text available
[Mathematics 2020, 8(1), 90; doi:10.3390/math8010090]. ************************** Abstract. The study gives a brief overview of existing modifications of the method of functional separation of variables for nonlinear PDEs. It proposes a more general approach to the construction of exact solutions to nonlinear equations of applied mathematics and mathematical physics, based on a special transformation with an integral term and the generalized splitting principle. The effectiveness of this approach is illustrated by nonlinear diffusion-type equations that contain reaction and convective terms with variable coefficients. The focus is on equations of a fairly general form that depend on one, two or three arbitrary functions (such nonlinear PDEs are most difficult to analyze and find exact solutions). A lot of new functional separable solutions and generalized traveling wave solutions are described (more than 30 exact solutions have been presented in total). It is shown that the method of functional separation of variables can, in certain cases, be more effective than (i) the nonclassical method of symmetry reductions based on an invariant surface condition, and (ii) the method of differential constraints based on a single differential constraint. The exact solutions obtained can be used to test various numerical and approximate analytical methods of mathematical physics and mechanics.
Article
Full-text available
The paper describes a new approach for constructing exact solutions to nonlinear partial differential equations that employs separation of variables using special (nonlinear integral) transformations and the splitting principle. To illustrate its effectiveness, the method is applied to nonlinear reaction-diffusion type equations that involve variable coefficients and arbitrary functions. New exact functional separable solutions as well as generalized traveling wave solutions are obtained.
Article
Full-text available
The paper shows that, in looking for exact solutions to nonlinear PDEs, the direct method of functional separation of variables can, in certain cases, be more effective than the method of differential constraints based on the compatibility analysis of PDEs with a single constraint (or the nonclassical method of symmetry reductions based on an invariant surface condition). This fact is illustrated by examples of nonlinear reaction-diffusion and convection-diffusion equations with variable coefficients, and nonlinear Klein-Gordon type equations. Hydrodynamic boundary layer equations, nonlinear Schrödinger type equations, and a few third-order PDEs are also investigated. Several new exact functional separable solutions are given. A possibility of increasing the efficiency of the Clarkson-Kruskal direct method is discussed. A generalization of the direct method of the functional separation of variables is also described. Note that all nonlinear PDEs considered in the paper include one or several arbitrary functions.
Article
Full-text available
The paper deals with non-linear Klein--Gordon type equations $$ c(x)u_{tt}=[a(x)f(u)u_x]_x+b(x)g(u). $$ The direct method for constructing functional separable solutions in implicit form to non-linear PDEs is used. This effective method is based on the representation of solutions in the form $$ \int h(u)\,du=\xi(x)\omega(t)+\eta(x), $$ where the functions $h(u)$, $\xi(x)$, $\eta(x)$, and $\omega(t)$ are determined further by analyzing the resulting functional-differential equations. Examples of specific Klein--Gordon type equations and their exact solutions are given. The main attention is paid to non-linear equations of a fairly general form, which contain several arbitrary functions dependent on the unknown $u$ and/or the spatial variable $x$ (it is important to note that exact solutions of non-linear PDEs, that contain arbitrary functions and therefore have significant generality, are of great practical interest for testing various numerical and approximate analytical methods for solving corresponding initial-boundary value problems). Many new generalized traveling-wave solutions and functional separable solutions (in closed form) are described. Solutions of several Klein--Gordon equations with delay are also given.
Article
Full-text available
The paper presents a number of new functional separable solutions to nonlinear convection--diffusion equations of the form $$c(x)u_t=[a(x)u_x]_x+[b(x)+p(x)f(u)]u_x,$$ where $f(u)$ is an arbitrary function. It shows that any three of the four variable coefficients $a(x)$, $b(x)$, $c(x)$, $p(x)$ of such equations can be chosen arbitrarily, and the remaining coefficient can be expressed through the others. Examples of specific equations and their exact solutions are given. The results obtained are generalized to more-complex nonlinear PDEs with variable coefficients. Also some functional separable solutions to nonlinear convection--diffusion equations with delay $$u_t=u_{xx}+a(x)f(u,w)u_x,\quad w=u(x,t-\tau),$$ where $\tau>0$ is the delay time and $f(u,w)$ is an arbitrary function of two arguments, are obtained.
Article
In this paper, we establish a Lie type invariance condition for second order delay partial differential equations. The determining equations are obtained using Taylor’s theorem for a function of several variables. The symmetries of the wave equation with delay, its kernel and extensions of the kernel have been found. We make a complete group classification of the wave equation containing an arbitrary differentiable functional with delay, for which there is no existing literature. Further, the complete set of invariant solutions led by this classification have been found.