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El Enfoque de los Itinerarios de Enseñanza de las Matemáticas: ¿por qué?, ¿para qué? y ¿cómo aplicarlo en el aula?

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El Enfoque de los Itinerarios de Enseñanza de las Matemáticas: ¿por qué?, ¿para qué? y ¿cómo aplicarlo en el aula?

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Resumen: Se describe el Enfoque de los Itinerarios de Enseñanza de las Matemáticas (EIEM), que plantea la enseñanza a partir de secuencias intencionadas que consideran contextos informales (situaciones de vida cotidiana, materiales manipulativos y juegos), contextos intermedios (recursos literarios y tecnológicos) y contextos formales (recursos gráficos), y se ofrecen cinco recomendaciones para aplicar el EIEM en el aula: 1) planificar y gestionar la enseñanza de los contenidos a través de los procesos matemáticos; 2) promover prácticas de enseñanza que consideren tanto al alumnado como al profesorado; 3) considerar contextos informales, intermedios y formales en todas las secuencias, con distinto protagonismo según el nivel escolar; 4) garantizar el principio de abstracción progresiva, desde lo concreto hacia lo abstracto; y 5) disponer de criterios objetivos para la selección de los contextos de enseñanza de las matemáticas. Palabras clave: Enfoque de los Itinerarios de Enseñanza de las Matemáticas. Enseñanza de las matemáticas. Aprendizaje de las matemáticas. Práctica docente. Desarrollo profesional del profesorado de matemáticas.
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El Enfoque de los Itinerarios de Enseñanza de las Matemáticas:¿por
qué?, ¿para qué? y ¿cómo aplicarlo en el aula?
The Mathematics Teaching Itineraries Approach: Why? What for? And
how to apply it in the classroom?
A Abordagem dos Itinerários do Ensino da Matemática: por quê?, Por
quê? E como aplicá-lo na sala de aula?
Ángel Alsina
Universidad de Girona, Departamento de Educación
Girona, España
e-mail: angel.alsina@udg.edu
Orcid: 0000-0001-8506-1838
Enviado:24/05/2020
Aceito:18/06/2020
DOI: 10.30612/tangram.v3i2.12018
Resumen: Se describe el Enfoque de los Itinerarios de Enseñanza de las Matemáticas (EIEM), que
plantea la enseñanza a partir de secuencias intencionadas que consideran contextos informales
(situaciones de vida cotidiana, materiales manipulativos y juegos), contextos intermedios (recursos
literarios y tecnológicos) y contextos formales (recursos gráficos), y se ofrecen cinco
recomendaciones para aplicar el EIEM en el aula: 1) planificar y gestionar la enseñanza de los
contenidos a través de los procesos matemáticos; 2) promover prácticas de enseñanza que consideren
tanto al alumnado como al profesorado; 3) considerar contextos informales, intermedios y formales
en todas las secuencias, con distinto protagonismo según el nivel escolar; 4) garantizar el principio
de abstracción progresiva, desde lo concreto hacia lo abstracto; y 5) disponer de criterios objetivos
para la selección de los contextos de enseñanza de las matemáticas.
Palabras clave: Enfoque de los Itinerarios de Enseñanza de las Matemáticas. Enseñanza de las
matemáticas. Aprendizaje de las matemáticas. Práctica docente. Desarrollo profesional del
profesorado de matemáticas.
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Abstract: The Mathematics Teaching Itineraries Approach (MTIA) is described, which proposes
teaching based on intentional sequences that consider informal contexts (situations of daily life,
manipulatives and games), intermediate contexts (literary and technological resources) and formal
contexts (graphic resources), and five recommendations are offered to apply the MTIA in the
classroom: 1) plan and manage the teaching of content through mathematical processes; 2) promote
teaching practices that consider both the student and the teacher; 3) consider real, intermediate and
formal contexts in all sequences, with a different role depending on the school level; 4) guarantee
the principle of progressive abstraction, from the concrete to the abstract; and 5) have objective
criteria for the selection of mathematics teaching contexts.
Keywords: Mathematics Teaching Itineraries Approach. Mathematics teaching. Mathematics
learning. Teaching practice. Professional development of mathematics teachers.
Resumo: Neste artigo é descrita a Abordagem de Itinerários de Ensino de Matemática (MTIA), que
propõe ensino baseado em seqüências intencionais que consideram contextos informais (situações
da vida cotidiana, manipulativos e jogos), contextos intermediários (recursos literários e
tecnológicos) e contextos formais (recursos gráficos) , e cinco recomendações são oferecidas para
aplicar o MTIA na sala de aula: 1) planejar e gerenciar o ensino de conteúdo por meio de processos
matemáticos; 2) promover práticas de ensino que considerem o aluno e o professor; 3) considerar
contextos reais, intermediários e formais em todas as seqüências, com um papel diferente,
dependendo do nível da escola; 4) garantir o princípio da abstração progressiva, do concreto ao
abstrato; e 5) possuir critérios objetivos para a seleção dos contextos de ensino de matemática.
Palavras-chave: Abordagem de Itinerários de Ensino de Matemática. Ensino de matemática.
Aprendizagem de matemática. Prática de Ensino. Desenvolvimento profissional de professores de
matemática.
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Introducción
Múltiples estudios sobre la práctica de aula, el conocimiento, la competencia y el
desarrollo profesional del profesorado de matemáticas realizados desde distintos modelos
teóricos y en el marco de diversas agendas de investigación en educación matemática, como
por ejemplo “aprender el conocimiento y destrezas útiles para enseñar matemáticas” y
“planificación y gestión de la enseñanza en diversos contextos y su influencia en el desarrollo
de la comprensión” (Alsina, 2019a, p. 188), revelan déficits de naturaleza muy diversa para
enseñar matemáticas (Badillo, Climent, Fernández y González, 2019).
El propósito de este artículo es mucho más humilde y no pretende indagar en
profundidad ni hacer un listado de las lagunas de conocimiento, pero sí que se quiere hacer
una breve reflexión sobre uno de los elementos que ha generado mayores obstáculos para
llevar a cabo una enseñanza eficaz: el uso (y abuso) del libro de texto como único recurso
para enseñar matemáticas. Desde este prisma, se asume la idea de Stylianides (2009) cuando
afirma que muchos profesores y profesoras se apoyan en los libros de texto para compensar
los déficits formativos, conformándose en un recurso didáctico muy importante a la hora de
interpretar el currículo y seleccionar tareas matemáticas para el alumnado. De esta forma, el
libro se convierte en el recurso preponderante para organizar el proceso de enseñanza y
aprendizaje (Remillard, 2000), ya que expone de manera concreta una transposición
didáctica del saber (Chevallard, 1991). En otras palabras, la enorme influencia del libro de
texto en las prácticas de enseñanza de las matemáticas no deja espacio para que el
profesorado llegue a conocer muchas maneras de actuar y ejercitarlas en la práctica, además
de disponer de criterios para saber cuándo, qué y por qué algo es conveniente y reflexionar
sobre ello sistemáticamente, en el sentido expuesto desde la perspectiva del Modelo Realista
de Formación del Profesorado (Korthagen, 2001).
La experiencia acumulada a lo largo de muchos años a partir de múltiples actividades
de formación permanente del profesorado llevadas a cabo en toda la geografía española y en
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diversos países de América Latina me ha proporcionado, tal como se indica en Alsina
(2019b), el enorme privilegio de que muchos maestros y maestras de las etapas de Educación
Infantil y Primaria principalmente me hayan abierto las puertas de sus aula y las ventanas de
sus mentes para poder ver de primera mano sus prácticas de aula y escuchar sus dudas, sus
inquietudes, sus dificultades y, sobre todo, sus deseos de mejorar la enseñanza de las
matemáticas para impulsar que sus alumnos y alumnas sepan usar los conocimientos
matemáticos de forma comprensiva y eficaz en todas las situaciones de su vida cotidiana en
las que dichos conocimientos son necesarios.
El Enfoque de los Itinerarios de Enseñanza de las Matemáticas (EIEM, a partir de
ahora) pretende ofrecer una respuesta modesta a estas necesidades del profesorado, para
avanzar hacia una enseñanza eficaz y hacia prácticas productivas en el aula de matemáticas.
Por un lado, y considerando el Principio de Enseñanza del NCTM (2003, p. 17), “una
enseñanza eficaz requiere conocer lo que el alumnado sabe y lo que necesita aprender, y
luego estimularlo y ayudarlo para que lo aprenda bien”. En este sentido, para ser eficaz, el
profesorado debe conocer y entender profundamente las matemáticas que enseña y ser capaz
de hacer uso de este conocimiento con flexibilidad. Necesita comprender a sus alumnos y
alumnas y confiar en ellos como aprendices de matemáticas y como seres humanos, y ser
cuidadosos al elegir y utilizar las estrategias pedagógicas y de evaluación (National
Comission on Teaching and America’s Future, 1996). Además, la eficacia docente requiere
reflexión y esfuerzos continuos para conseguir mejorarla (Alsina y Mulà, 2019). Por otro
lado, por práctica productiva en educación matemática se entiende “una acción o destreza
educativa útil y provechosa para promover el aprendizaje de las matemáticas con sentido en
todos los niveles escolares” (Alsina, en prensa).
Desde esta perspectiva, pues, la finalidad de este artículo consiste en describir el
EIEM y proporcionar diversas recomendaciones para su aplicación en el aula, en el marco
de una escuela que se renueva.
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Fundamentación teórico-metodológica del Enfoque de los Itinerarios de Enseñanza de
las Matemáticas.
Retomando la fundamentación inicial descrita en Alsina (2020) y, tal como se
muestra en la figura 1, desde una perspectiva teórica y metodológica el EIEM se sustenta
principalmente en tres pilares engranados entre ellos: la Perspectiva Sociocultural del
Aprendizaje Humano (Vygostsky, 1978); el Modelo Realista de Formación del Profesorado
(Melief, Tigchelaar y Korthagen, 2010; Tigchelaar, Melief, Van Rijswijk y Korthagen,
2010), adaptado a la formación del profesorado de matemáticas (Alsina, 2019c); y la
Educación Matemática Realista (EMR) de Freudenthal (1991).
Figura 1. Fundamentos teórico-metodológicos del EIEM. Fuente: elaboración propia.
La Perspectiva Sociocultural del Aprendizaje Humano.
3. Educación
Matemática
Realista
(Freudenthal,
1991)
2. Aprendizaje
Realista
(Korthagen,
2001)
1. Perspectiva
Sociocultural del
Aprendizaje
Humano
(Vygotsky, 1978)
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Esta perspectiva, que se fundamenta en las aportaciones de Vygotsky (1978) y en las
reinterpretaciones de su obra que han hecho otros autores tanto desde el ámbito de la
psicología del aprendizaje (Ivic, 1994; Wertsch, 1985, 1991) como desde el campo de la
educación matemática (Lerman, 2000, 2001; Schmittau, 2003; entre otros), interesa
principalmente destacar que la educación se concibe como un fenómeno social y cultural
que se basa en la lenguaje y en la interacción como herramientas fundamentales para
promover el desarrollo de procesos psicológicos superiores, junto con la idea de que el
pensamiento intelectual depende de la construcción autorregulada del conocimiento, que va
de un proceso interpsicológico a un proceso intrapsicológico a través de procesos de
internalización (Alsina y Domingo, 2010).
Vygotsky explica los procesos de internalización a partir de la “Ley genética general
del desarrollo cultural”, que plantea que toda función psicológica aparece primero en un
plano social/interpsicológico, para luego hacerlo en el plano individual/intrapsicológico. En
otras palabras, se refiere a la creación de procesos psicológicos superiores en el plano
interno, a partir de la internalización de procesos sociales mediados semióticamente. Esta
estrecha vinculación entre los planos interno y externo puede facilitar una interpretación
errónea del proceso de internalización en términos de transferencia (Wertsch, 2013),
considerando que se trata de un mero traspaso de propiedades de procesos externos a un
medio interno, preexistente y autónomo en su desarrollo. Por el contrario, y como indica
Leóntiev (1981), el proceso de internalización no consiste en la transferencia de una
actividad externa a un plano interno preexistente, un plano de la conciencia, sino que es el
proceso mediante el que este plano es formado. El proceso de internalización, pues, no es
una simple copia de lo externo, sino que va más allá, al hacerlo propio. Cada persona lo
aprehende de una manera, lo interpreta, le da un sentido en función de sus experiencias
previas, de sus necesidades y de lo que le resulta significativo y, con base a ello, construye
su propia imagen, su propia re-presentación -entendida como nueva presentación en la
mente- personal, creativa y re-creada nuevamente por la persona. En definitiva, se trata de
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una re-elaboración con una transformación de los conocimientos, de los conceptos y de las
herramientas de una sociedad determinada (Leóntiev, 1981).
Como consecuencia de lo descrito, las teorías socioculturales en educación
matemática surgen de la concepción del conocimiento matemático como un proceso social
y cultural (Lerman, 2000), al que hay que añadir además el planteamiento descrito sobre el
proceso de internalización. Desde esta visión, el objetivo último de la educación matemática
es preparar a los ciudadanos y ciudadanas para que desarrollen capacidades individuales que
les permitan aprovechar al máximo las oportunidades de aprendizaje matemático
provenientes de las interacciones sociales. Lerman (2001) defiende que sin las aportaciones
de los demás y sin la capacidad individual de captarlas, una persona no se podría desarrollar
plenamente como ser humano. Estos inputs pueden enviarse y ser captados de diferentes
maneras y con el uso de diferentes lenguajes y, por lo tanto, uno de los papeles de la cultura
consiste en educar y sugerir maneras diversas de percibir e interpretar la realidad (Radford,
2006, p. 108).
Schmittau (2003) hace referencia al papel del currículum de matemáticas para lograr
estos propósitos. Según este autor, el currículum debería tener un alto grado de coherencia
interna -entre sus elementos estructurales- pero también externa, para poder establecer
vínculos con lo que la sociedad reclame y ofrezca.
El Modelo Realista de Formación del Profesorado
De este modelo, que ha sido desarrollado en la Universidad de Utrecht (Países Bajos)
por Korthagen (2001) y Melief, Tigchelaar y Korthagen (2010), entre otros, por un lado
interesa destacar que pretende, a través de la reflexión sistemática, impulsar la integración
de la persona con sus experiencias personales y como aprendices, con sus conocimientos
teóricos y con sus representaciones sobre lo que es enseñar y aprender, razón por la cual se
usa el término “realista-reflexivo” (Esteve y Alsina, 2010). Desde este prisma, como ya se
ha indicado en la introducción, se asume que el profesorado debería conocer muchas
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maneras de actuar y ejercitarlas en la práctica, es decir, debería disponer de criterios para
saber cuándo, qué y por qué algo es conveniente y reflexionar sobre ello sistemáticamente
(Korthagen, 2001). La perspectiva derivada del Modelo Realista se concreta en cinco
principios sintetizados por Melief et al. (2010):
1. El punto de partida son los interrogantes que emergen de la misma práctica y que el
profesorado en formación experimenta en un contexto real de aula.
2. La formación realista pretende fomentar una reflexión sistemática. El modelo ALACT
que se presenta en la figura 2, que debe su nombre a las siglas en inglés Action, Looking
back to the action, Awareness of essential aspects, Creating alternative methods of
action y Trial, describe el proceso ideal de reflexión que se basa en una alternancia entre
“acción” y “reflexión” en la que se distinguen cinco fases.
Figura 2. Modelo ALACT (Korthagen, 2001). Fuente: Alsina (2019b)
3. El aprendizaje es un proceso social e interactivo.
4. Se distinguen tres niveles en el aprendizaje: las experiencias, inquietudes y necesidades
(Gestalts); los esquemas mentales (Esquemas); y las relaciones conceptuales que se
establecen (Teoría).
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5. Se fomenta la autonomía y la construcción autorregulada del desarrollo profesional para
descubrir los aspectos que se quieren o deben cambiar, además de buscar soluciones y
evaluarlas.
En relación a la aplicación de este modelo en la formación de maestros de
matemáticas, Alsina (2019c) presenta desde una perspectiva analítica, interpretativa y crítica
los resultados de diversos estudios que muestran los avances en investigación sobre la
formación de maestros de matemáticas desde el modelo realista-reflexivo. En concreto, se
presentan cuatro estudios sobre diseño, aplicación y análisis de episodios desde este modelo
de formación que incluyen un ciclo formativo; diversos recursos y estrategias didácticas para
promover la deconstrucción de los conocimientos cotidianos (CC) del profesorado de
matemáticas que pueden ser un obstáculo para su desarrollo profesional; la identificación de
las marcas de autorregulación que permiten deconstruir CC y coconstruir y reconstruir
conocimientos profesionales (CP); y, como síntesis de los estudios preliminares, la
descripción del Modelo Transformacional de la Competencia Profesional del Profesorado
de Matemáticas (Alsina y Mulà, 2019).
La Educación Matemática Realista
De esta teoría, que nace en el Instituto para el Desarrollo de la Educación Matemática
de la Universidad de Utrecht, hoy conocido como Freudenthal Institute for Science and
Mathematics Education, interesan sobre todo sus seis principios (Freudenthal, 1991), que se
sintetizan y/o actualizan a continuación:
1. Principio de actividad: las matemáticas se consideran una actividad humana a la que
todas las personas pueden acceder. Hacer matemáticas (matematizar) es más importante
que aprenderla como producto terminado y, lo relevante, es aprender a abordar
matemáticamente y críticamente los problemas que se presentan en la vida cotidiana.
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2. Principio de realidad: las matemáticas surgen como matematización (organización) de la
realidad. Se aprenden haciendo matemáticas en contextos reales o realistas y, que un
contexto sea o no realista, depende de la experiencia previa del alumnado y/o de su
capacidad para imaginarlo o visualizarlo.
3. Principio de Reinvención Guiada: la educación matemática debe ofrecer al alumnado la
oportunidad guiada de reinventar las matemáticas por parte del docente. Se reinventan
modelos, conceptos, operaciones y estrategias matemáticas a través de procesos de
deconstrucción, coconstrucción y reconstrucción y, para guiar este proceso, es necesaria
la reflexión del profesorado acerca de los aprendizajes de su alumnado.
4. Principio de Niveles: el alumnado lleva a cabo una matematización progresiva (Treffers,
1987) a través de distintos niveles de comprensión, que incluyen el nivel situacional, en
el contexto de la situación misma; el nivel referencial, que implica la esquematización a
través de modelos, descripciones, conceptos y procedimientos; el nivel general, que se
asocia a la exploración, reflexión y generalización; y el nivel formal, cuando se alcanzan
procedimientos estándares y se usan notaciones convencionales. La matematización es
horizontal cuando un problema contextual se convierte en un problema matemático, y
vertical cuando, dentro de la matemática misma, se usan estrategias de reflexión, prueba,
generalización, rigorización, esquematización y simbolización para avanzar en la
formalización.
5. Principio de interacción: el aprendizaje de las matemáticas se considera una actividad
social. Desde este prisma, la interacción entre los alumnos y las alumnas y entre el
alumnado y el profesorado provoca que cada uno reflexione a partir de lo que aportan
los demás, pudiendo alcanzar así niveles más altos de comprensión.
6. Principio de interconexión: la resolución de problemas reales o realistas a menudo exige
establecer conexiones. Estas conexiones pueden ser intradisciplinares, lo que implica que
los distintos bloques de contenido matemático (numeración y cálculo, álgebra,
geometría, medida y estadística y probabilidad) no pueden ser tratados como entidades
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separadas; o bien interdisciplinares, entre las matemáticas y otras áreas de conocimiento
como las ciencias, la tecnología, la ingeniería, las artes, etc.
En síntesis, en la EMR se utilizan situaciones de la vida cotidiana o problemas
contextualizados como punto de partida para aprender matemáticas. Progresivamente, estas
situaciones son matematizadas a través de modelos, mediadores entre lo abstracto y lo
concreto, para formar relaciones más formales y estructuras abstractas (Heuvel-Panhuizen,
2002). Además, se apoya en la interacción en el aula (Fauzan, Plomp y Slettenhaar, 2002),
junto con la idea de que al alumnado se le debería dar la oportunidad de reinventar las
matemáticas bajo la guía de un docente en lugar de intentar transmitir una matemática
preconstruida (De Corte, Greer y Verschaffel, 1996).
A partir de estos fundamentos teórico-metodológicos se ha diseñado el EIEM, que se
describe en la próxima sección.
El Enfoque de los Itinerarios de Enseñanza de las Matemáticas.
Hace ya varios años, y con el propósito de buscar maneras ajustadas a las necesidades
reales del alumnado tanto para aprender matemáticas como para aprender a usarlas de forma
comprensiva y eficaz en todas las situaciones -escolares y no escolares- en las que dichos
conocimientos son necesarios, Alsina (2010) planteó un diagrama piramidal en el que se
comunicaba de forma sencilla y muy visual el tipo de contextos necesarios para desarrollar
el pensamiento matemático y su “frecuencia de uso” más recomendable, en función de la
posición que ocupa cada contexto: de más o menos frecuencia desde la base hacia la cúspide
(figura 3). En este diagrama piramidal, más conocido como “Pirámide de la Educación
Matemática” al hacer un símil con la pirámide de la alimentación, no se descartaba ningún
recurso, sino que solo se pretendía informar sobre la conveniencia de restringir algunos de
ellos a un uso ocasional y, por eso, se consideró que podía ser una herramienta útil para el
profesorado preocupado por hacer de su metodología una garantía de educación matemática.
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Figura 3. Pirámide de la Educación Matemática. Fuente: Alsina (2010, p. 14)
En la base se situaban los contextos que necesita todo el alumnado para aprender
matemáticas y que, por lo tanto, se podrían y deberían “consumir” diariamente: las
situaciones problemáticas y los retos que surgen en la vida cotidiana de cada día, la
observación y el análisis de los elementos matemáticos del entorno, la manipulación con
materiales diversos y los juegos, entendidos como la resolución de situaciones
problemáticas. Después seguían los que deben “tomarse” alternativamente, como los
recursos literarios y los recursos tecnológicos. Y, por último, en la cúspide, se ubicaban los
recursos que deberían usarse de forma ocasional, concretamente los libros de texto, por las
razones que ya se han expuesto en la introducción.
Libro
Recursos tecnológicos:
ordenador, calculadora
Recursos literarios: narraciones, adivinanzas,
canciones
Recursos lúdicos: juegos
Recursos manipulativos: materiales
inespecíficos, comercializados o diseñados
Situaciones reales, matematización del entorno,
vivencias con el propio cuerpo
Diferentes
organizaciones
del alumnado
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Con los años, este planteamiento ha evolucionado hacia el EIEM (Alsina, 2018,
2019b), asumiendo que la palabra “itinerario” se refiere a una secuencia de enseñanza
intencionada que contempla tres niveles (figura 4):
Figura 4. Niveles del EIEM. Fuente: elaboración propia.
A continuación, se describen estos niveles:
1. Enseñanza en contextos informales: la enseñanza del contenido matemático se inicia en
situaciones reales o realistas, como por ejemplo el entorno inmediato, o bien materiales
manipulativos y juegos, en los que el conocimiento de la situación y las estrategias se
utilizan en el contexto de la situación misma, apoyándose en los conocimientos
informales, el sentido común y la experiencia.
2. Enseñanza en contextos intermedios: la enseñanza del contenido prosigue en contextos
que hacen de puente entre los contextos reales o realistas de la fase previa y los contextos
formales de la fase posterior, como por ejemplo algunos recursos literarios (cuentos y
canciones) y tecnológicos (applets, robots educativos programables, etc.), que a través
de la exploración y la reflexión conducen a la esquematización y generalización
progresiva del conocimiento matemático.
Nivel 1
Enseñanza en contextos
informales
Nivel 2
Enseñanza en contextos
intermedios
Nivel 3
Enseñanza en contextos
formales
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3. Enseñanza en contextos formales: la enseñanza del contenido finaliza en contextos
gráficos y simbólicos, como por ejemplo las fichas y los libros de texto, en los que se
trabaja la representación y formalización del conocimiento matemático con
procedimientos y notaciones convencionales para completar de esta forma el aprendizaje
desde lo concreto hasta lo simbólico.
Como se indica en Alsina (1029b), el EIEM se aleja de una visión de la enseñanza
de las matemáticas basada en la repetición y la práctica de ejercicios que presentan los libros
de texto como principales estrategias didácticas para “aprender” matemáticas, y en su lugar,
plantea que es necesario fomentar la comprensión más que la mera memorización, la
actividad heurística más que la pura ejercitación, o el pensamiento matemático crítico más
que la simple repetición.
La comprensión, la actividad heurística y el pensamiento matemático crítico son, de
hecho, algunos de los principales pilares sobre los que se sustenta la educación matemática
del siglo XXI (Alsina y Planas, 2008). Necesitamos, más que nunca, formar a personas que
comprendan en profundidad el conocimiento matemático para que puedan aplicarlo en todas
las situaciones a lo largo de la vida en las que, de una forma u otra, están implicadas las
matemáticas. Necesitamos también formar a personas que descubran por sí mismos las ideas
matemáticas a través de una planificación y gestión adecuadas de las prácticas matemáticas
basadas en la resolución de problemas, el razonamiento y la prueba, la comunicación, la
argumentación, las conexiones, la modelización y la representación, más que transmitirles
un conocimiento matemático ya construido previamente. Y, por supuesto, necesitamos
formar a personas que procesen e interpreten críticamente la gran cantidad de datos que
recibimos constantemente a través de diferentes medios (prensa escrita, televisión, internet,
etc.). En definitiva, necesitamos formar a ciudadanos y ciudadanas que sean capaces de
plantear problemas y preguntas vitales con claridad y precisión; que evalúen información
relevante; que lleguen a conclusiones y soluciones, probándolas con criterios relevantes, y
que se comuniquen con eficacia a la hora de idear soluciones.
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Esta visión contemporánea de la educación matemática requiere, primero, de un
amplio dominio profesional de los conocimientos matemáticos a enseñar, puesto que no se
puede enseñar bien lo que no se sabe y, segundo, un amplio dominio profesional acerca de
las formas de enseñar dichos conocimientos, puesto que el alumnado de hoy no tiene las
mismas necesidades para aprender matemáticas que el alumnado de años atrás, por lo que
no tiene ningún sentido enseñar lo mismo que hace décadas y menos aún enseñarlo de la
misma forma.
La aplicación del EIEM en el aula: primeras recomendaciones para una enseñanza
eficaz y el diseño de prácticas productivas.
En esta última sección se proporcionan cinco recomendaciones iniciales para el
profesorado interesado en aplicar el EIEM en su práctica docente. Intencionadamente, se
indica que se trata de unas primeras recomendaciones puesto que, a medida que se analice
la aplicación del EIEM en el aula, se irán incorporando y/o reformulando.
Recomendación 1. Planificar y gestionar la enseñanza de los contenidos a través de los
procesos matemáticos.
Esta primera recomendación se fundamenta en las aportaciones del NCTM (2003)
acerca del conocimiento matemático, que considera diez estándares: cinco estándares de
contenidos (números y operaciones, álgebra, geometría, medida, y análisis de datos y
probabilidad) y cinco estándares de procesos (resolución de problemas, razonamiento y
prueba, comunicación, conexiones y representación). Este planteamiento curricular, de
acuerdo con Alsina (2012), implica partir de un enfoque mucho más globalizado que no se
limite a trabajar los contenidos aisladamente, sino de forma integrada. Además, exige
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trabajar para favorecer la autonomía mental del alumnado, potenciando las estrategias
creativas de resolución de problemas, la elaboración de hipótesis, la argumentación, el
contraste, la negociación de significados, la construcción conjunta de soluciones y la
búsqueda de formas para comunicar y representar planteamientos y resultados. En definitiva,
pues, se trata de ayudar a gestionar el conocimiento, las habilidades y las emociones para
conseguir un objetivo a menudo más cercano a situaciones funcionales y en contextos de
vida cotidiana que a su uso académico.
Considerando esta visión del conocimiento matemático, Alsina (2016) señala que, al
diseñar una práctica de enseñanza, es necesario identificar los contenidos matemáticos que
pueden trabajarse en el contexto de aprendizaje, y establecer a través de qué procesos van a
trabajarse. En la figura 5 se muestra la relación cartesiana entre los contenidos y los procesos
matemáticos, a la vez que se ofrecen algunas orientaciones en forma de preguntas para
promover una enseñanza de las matemáticas a través de los procesos.
Resolución
de problemas
Razonamien
to y prueba
Comunicaci
ón
Conexiones
Representac
ión
Números y
operacione
s
¿Qué
problema/ret
o voy a
plantear al
alumnado?
¿Cuál es la
incógnita/cuá
les son los
datos?
¿Conoces
algún otro
problema
¿Qué
buenas
preguntas
voy a
formular
para que el
alumnado
argumente
sus ideas
matemáticas
y sus
acciones?
¿Cómo voy
a fomentar
la
interacción?
(en parejas,
en pequeño
grupo, etc.)
¿Qué
vocabulario
específico
deben
aprender?
¿Qué
contenidos
matemático
s se pueden
relacionar?
¿Desde qué
asignatura
voy a
plantear el
reto?
¿Qué tipo de
representaci
ón debe
hacer el
alumnado?
Verbal,
gráfica,
simbólica ...
Álgebra
Geometría
Medida
Estadística
y
probabilid
ad
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vinculado con
éste?
¿Qué pasos
vas a seguir?
…/…
Figura 5. Relación cartesiana entre contenidos y procesos matemáticos. Fuente: elaboración
propia.
Es altamente recomendable que todas las actividades de los tres niveles del EIEM
(contextos informales, intermedios y formales) estén impregnadas de esta visión. A efectos
prácticos esto significa que, sea cual sea el contenido matemático que se planifique y el
contexto de enseñanza en el que se lleve a cabo una determinada actividad, cuestiones como
la actividad heurística, la argumentación, la comunicación o la representación (lenguaje
matemático), tienen un lugar destacado en la gestión de la práctica de enseñanza, tal como
se muestra en la figura 6, en la que se describen los elementos a considerar en el diseño de
actividades matemáticas competenciales: en los anillos exteriores se exponen los procesos
matemáticos fundamentales para planificar y gestionar la enseñanza de los contenidos
matemáticos y en el centro de la figura se sitúa un diagrama piramidal con los posibles
contextos para llevar a cabo dicha enseñanza, al tratarse de un elemento articulador para
llevar a cabo prácticas de enseñanza eficaces que logren, finalmente, el desarrollo de la
competencia matemática.
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Figura 6. Elementos clave para una enseñanza competencial de las matemáticas. Fuente:
Alsina (2019b)
Este planteamiento no implica, sin embargo, que en la planificación y gestión de una
actividad deban considerarse todos los procesos matemáticos explícitamente y de manera
conjunta. Si bien la resolución de problemas es el eje articulador de todas las actividades
(Ministry of Education Singapore, 2012), una determinada actividad se puede focalizar en
la argumentación a través del planteamiento de buenas preguntas, en otra puede interesar
promover la representación, etc. De todas formas, desde un punto de vista competencial,
cuantos más procesos matemáticos pueden integrarse en una actividad, más rica es desde un
punto de vista competencial.
Recomendación 2. Promover prácticas de enseñanza-aprendizaje que consideren tanto
al alumnado como al profesorado.
Uno de los fundamentos del EIEM es la Teoría Sociocultural del Aprendizaje
Humano de Vygostky (1978) que, como se ha indicado, considera que la personas
construyen su conocimiento en un contexto social, a partir de la interacción, la negociación
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y el diálogo. Esta teoría, pues, puede ubicarse dentro del grupo de teorías denominadas
Inquiry-Based Education, que basan su enfoque en el aprendizaje por indagación del
alumnado, con un apoyo subsidiario del profesorado (Artigue y Blomhøj, 2013), que hace
de mediador en el proceso de enseñanza-aprendizaje.
Esta visión de la enseñanza es la que predomina en la actualidad en los currículos de
matemáticas, puesto que se apoyan en marcos teóricos de tipo constructivista o socio-
constructivista (Godino, Batanero, Cañadas y Contreras, 2015). Así, por ejemplo, el NCTM
(2003, p. 22), indica que:
Los estudiantes aprenden más y mejor cuando ellos mismos toman el
control de sus aprendizajes definiendo sus objetivos y controlando su
progreso. Cuando son desafiados con tareas elegidas de manera apropiada,
los estudiantes adquieren confianza en su habilidad para abordar problemas
difíciles, desean resolver las cosas por sí mismos, muestran flexibilidad al
explorar ideas matemáticas e intentar vías de solución alternativas, y
disposición para perseverar.
Esta visión puede malinterpretarse en las prácticas de enseñanza al entender que el
alumnado “aprende solo”, sin tener en cuenta el importante papel que tiene el profesorado.
En este sentido, por ejemplo, en un estudio realizado por López y Alsina (2015) se puso de
manifiesto un bajo rendimiento de un grupo de alumnos de Educación Infantil que habían
aprendido matemáticas a partir de un enfoque basado principalmente en la manipulación de
materiales. Al analizar las razones de este resultado, en principio contradictorio, se detectó
que el papel de la maestra en la práctica de enseñanza era prácticamente nulo: proporcionaba
el material, dejaba que los niños manipularan sin ninguna mediación por su parte y, una vez
finalizaba la sesión, lo retiraba.
Para evitar este tipo de prácticas, en la primera recomendación ya se ha insistido en
el importante rol que tiene el profesorado. Si bien es cierto que, por un lado, la enseñanza de
las matemáticas a partir de los procesos matemáticos pone el foco en que el alumnado
resuelva problemas, razone, argumente, comunique, conecte o represente las ideas
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matemáticas, estas acciones no se manifiestan si el profesorado no las promueve a través,
por ejemplo, de enseñar un determinado contenido matemático utilizando diversas
herramientas, explicar distintas estrategias para resolver un problema, plantear preguntas
efectivas previamente pensadas que inviten a argumentar, confrontar diferentes maneras de
representar la solución de un problema, etc.
De ello se desprende que, como indican Godino et al. (2015), en la gestión de las
prácticas de enseñanza es necesario considerar el debate entre los modelos centrados en la
transmisión de conocimientos y los modelos centrados en la construcción de conocimientos:
los primeros sostienen que la eficacia del proceso de estudio está ligada más a la acción
docente que al descubrimiento del alumnado y, en consecuencia, focalizan su trabajo en el
modelo instruccional directo y transmisivo (Mayer, 2004; Boghossian, 2006), y los segundos
basan su enfoque en el aprendizaje por indagación del alumnado, con un apoyo subsidiario
del profesorado (Artigue y Blomhøj, 2013).
El EIEM recomienda la combinación de ambos modelos en la práctica docente, en la
línea de Godino et al. (2015) y Godino y Burgos (2020). Este planteamiento, recogiendo la
primera recomendación descrita, implica una gestión de las prácticas de enseñanza que
considere la enseñanza de los contenidos matemáticos a través de los procesos a partir de
actividades competenciales ricas, en las que tanto el alumnado como el profesorado tengan
un papel relevante: el alumnado construyendo su conocimiento y el profesorado
proporcionándolo.
En un ejercicio de ingeniería didáctica, esto significa que, como ya se ha indicado
reiteradamente, el profesorado debe conocer diversas maneras de actuar y tener criterios para
saber cuándo, qué y por qué algo es conveniente y reflexionar sobre ello sistemáticamente,
de acuerdo con el segundo fundamento del EIEM (Korthagen, 2001). Desde este prisma, y
en el marco de las ideas expuestas en las figuras 5 y 6, el profesorado es el responsable de
tomar decisiones acertadas durante la práctica docente acerca de cuándo es necesario
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explicar un conocimiento matemático y cuándo es imprescindible que el alumnado indague
y construya su conocimiento. En el EIEM se considera que, si no hay una gestión a veces
indagativa y otras veces directa, el aprendizaje eficaz no es posible.
Recomendación 3. Considerar contextos reales, intermedios y formales en todas las
secuencias, con distinto protagonismo en función del nivel escolar.
Esta tercera recomendación ya se empezó a proponer en el diagrama piramidal de la
figura 3, en la que se muestran diversos contextos para desarrollar el pensamiento
matemático y se comunica su frecuencia de uso, de más a menos, en función de la posición
que ocupa cada contexto desde la base hacia la cúspide, como se ha indicado. En el marco
tanto de la formación inicial como permanente, futuros docentes y profesorado en activo que
han tenido acceso a la Pirámide de la Educación Matemática (Alsina, 2010) han formulado
diversos interrogantes como por ejemplo ¿siempre debe darse mayor protagonismo a los
contextos de la base del diagrama piramidal, independientemente del nivel escolar del
alumnado?; ¿es necesario utilizar siempre todos los contextos de manera lineal, de más o
menos frecuencia, para garantizar la comprensión?; o, incluso se ha polemizado alrededor
de la ubicación de algún contexto, en especial los recursos tecnológicos, al considerar que
están poco considerados en la secuencia de enseñanza propuesta, por su proximidad a la
cúspide. En esta recomendación y la siguiente se procuran aclarar estas dudas a inquietudes,
en el marco de la transposición de la Pirámide de la Educación Matemática al EIEM.
Sobre el protagonismo de cada contexto en un itinerario de enseñanza, existe cierta
tendencia entre el profesorado a considerar que los contextos informales (situaciones
cotidianas, materiales manipulativos y juegos) son exclusivos de las primeras edades. En el
EIEM se quiere romper rotundamente con esta visión y, en su lugar, se asume la relevancia
de estos contextos para el aprendizaje de las matemáticas con comprensión en todas las
edades.
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Sobre las situaciones cotidianas, por ejemplo, Reeuwijk (1997) señala que ayudan al
alumnado a comprender por qué las matemáticas son útiles y necesarias; contribuyen a que
el alumnado entienda cómo se emplean las matemáticas en la vida cotidiana; favorecen que
los propios alumnos y alumnas aprendan a usar las matemáticas en la sociedad; incrementan
el interés por las matemáticas; despiertan la creatividad del alumnado, al impulsarlos a
utilizar estrategias informales y de sentido común cuando afrontan, por ejemplo, la
resolución de un problema o de un juego; y, finalmente, pueden actuar como mediadores
entre la situación concreta y las matemáticas abstractas.
En relación a los materiales manipulativos, Alsina y Planas (2008, p. 50) indican que:
La manipulación es mucho más que una manera divertida de desarrollar
aprendizajes. La manipulación de materiales es en ella misma una manera
de aprender que debe hacer más eficaz el proceso de aprendizaje, sin
hacerlo necesariamente más rápido. Por otra parte, el uso de materiales es
una manera de promover la autonomía del aprendiz ya que se limita la
participación de los otros, principalmente del adulto, en momentos
cruciales del proceso de aprendizaje.
Y respecto a los juegos, algunas de las principales ventajas de su uso para aprender
matemáticas son las siguientes (Alsina, 2004): son la parte de la vida más real del alumnado,
por lo que usándolos como recurso metodológico, se traslada la realidad del alumnado a la
escuela y permiten descubrir la necesidad y la utilidad de aprender matemáticas; son
enormemente motivadores; tratan distintos tipos de conocimientos, habilidades y actitudes
hacia las matemáticas; permiten afrontar contenidos matemáticos nuevos sin miedo al
fracaso inicial; e impulsan el aprendizaje a partir del propio error y del error de los demás.
Desde este prisma, es obvio que los contextos informales son imprescindibles para
garantizar la comprensión de las ideas matemáticas en todos los niveles escolares. El
posicionamiento del EIEM es, pues, claro en este sentido; sin embargo, sí que se considera
que el protagonismo de estos contextos es flexible, en función de la edad del alumnado. Esta
idea, llevada a la práctica docente, significa que, mientras que en las primeras edades debe
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haber una fuerte presencia de los contextos informales (situaciones reales, materiales
manipulativos y juegos) para permitir visualizar las ideas matemáticas de manera concreta,
en los últimos cursos debe ir reduciéndose esta presencia para dar mayor protagonismo a los
contextos intermedios y formales (recursos tecnológicos y gráficos, principalmente) para
lograr la formalización y la institucionalización de los aprendizajes, pero sin olvidar que los
contextos informales son imprescindibles para enseñar nuevas ideas matemáticas en
cualquier edad. Esto es importante si se quiere dar respuesta a las necesidades reales del
alumnado para aprender matemáticas, puesto que existe otra tendencia entre una parte del
profesorado, que es falsa, y que consiste en pensar que el alumnado de más edad debe pasar
directamente a lo formal o abstracto, sin espacio para lo situacional o concreto, provocando
en consecuencia aprendizajes mecánicos y ausentes de comprensión.
Recomendación 4. Garantizar el principio de abstracción progresiva, desde lo concreto
hacia lo abstracto.
Todavía en el marco de la planificación de un itinerario de enseñanza, y con el
propósito de dar respuesta a otros interrogantes alrededor de los distintos contextos y su uso,
es necesario precisar que no es imprescindible utilizar siempre todos los contextos incluidos
en los tres niveles del EIEM de manera lineal, de más o menos frecuencia, para garantizar la
comprensión.
En la planificación de una secuencia de enseñanza de un determinado contenido se
puede, por ejemplo, plantear un problema real, promover el uso de un recurso tecnológico
como apoyo y un contexto más formal para avanzar hacia la formalización; o bien se puede
plantear un reto a partir de un material manipulativo, seguir con un recurso literario y
finalizar con un recurso gráfico, por citar algunas combinacions posibles. En definitiva, se
trata de tener presente que, a través de los diversos contextos que componen un itinerario de
enseñanza de las matemáticas y las actividades que se plantean en cada contexto, debe
garantizarse primero la visualización de las ideas matemáticas de manera concreta (lo que
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en el argot del profesorado se denomina a menudo vivenciación) mediante situaciones de
vida cotidiana, materiales manipulativos o juegos; a continuación ofrecer apoyos para
avanzar hacia la esquematización y generalización progresiva, usando recursos literarios o
bien tecnológicos, principalmente; y terminar la secuencia con recursos que promuevan la
representación con notaciones convencionales, es decir, la simbolización y la abstracción,
para asegurar así la formalización del conocimiento matemático, de acuerdo con las
posibilidades del alumnado.
Finalmente, debe hacerse un especial hincapié en la ubicación de los recursos
tecnólogicos en un itinerario de enseñanza, por el enorme protagonismo que han adquirido
estos recursos en los últimos años debido a la avalancha de Applets, en muchos casos de
acceso gratuito, o la consideración de la robótica en el aula desde las primeras edades. Desde
el punto de vista del EIEM, se asume que aunque estos recursos ofrecen muchas
posibilidades y suelen garantizar la implicación del alumnado, no hay que olvidar que antes
del entorno simulado, deben visualizarse las ideas matemáticas de manera concreta, de
acuerdo con Alsina y Planas (2008), razón por la cual se considera que estos recursos
promueven la esquematización y la generalización progresiva siempre que, previamente, se
hayan podido visualizar las ideas matemáticas en contextos informales. Por este motivo, los
recursos tecnológicos se ubican en el conjunto de contextos intermedios, que hacen de
puente entre el nivel situacional y formal.
Recomendación 5. Disponer de criterios objetivos para la selección de los contextos de
enseñanza de las matemáticas.
Actualmente, el profesorado en activo y los futuros docentes tienen a su alcance una
cantidad impresionante de recursos para enseñar matemáticas de procedencia muy distinta,
desde expertos en el campo de la educación matemática hasta empresas que buscan un
espacio para hacer negocio, sin olvidar la gran cantidad de propuestas de distintos tipos que
pueden encontrarse en Internet, algunas veces sin ningún filtro que garantice su calidad.
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Resulta evidente que este alud de recursos requiere que los profesionales de la educación, a
través de la formación inicial y permanente, dispongan de conocimientos matemáticos y
didácticos adecuados para tener criterios objetivos, es decir, respaldados por la
investigación, para seleccionar recursos que garanticen un buen aprendizaje de las
matemáticas.
Ya se ha hecho referencia repetidamente al papel del aprendizaje realista para que el
profesorado pueda disponer de criterios para saber cuándo, qué y por qué algo es conveniente
y reflexionar sobre ello sistemáticamente (Korthagen, 2001). Es evidente, pues, la reflexión
sistemática es imprescindible para indagar sobre interrogantes que genera la planificación
de actividades, como por ejemplo ¿cómo puedo saber si un material manipulativo es
adecuado para enseñar un determinado contenido matemático?, ¿del conjunto de Applets que
conozco, cual es el mejor?, ¿qué libro de texto, de los que me ofrecen las editoriales, propone
actividades de mejor calidad pedagógica? o ¿qué otros contextos, aparte del libro, puedo
utilizar para garantizar el aprendizaje con comprensión?
Si bien es cierto que al aprendizaje realista empodera al profesorado para disponer
de criterios para saber cuándo, qué y por qué algo es conveniente, desde el EIEM se
considera que es necesario complementar estos criterios fundamentados en la reflexión
sistemática con otras herramientas de análisis que permitan seleccionar cualitativamente los
recursos que se tienen al alcance.
En este sentido, y en coherencia con la primera recomendación acerca de la
aplicación del EIEM en el aula, que se centra en la planificación y gestión de la enseñanza
de los contenidos a través de los procesos matemáticos, se considera que, mediante una
gestión adecuada, un buen recurso debería facilitar la resolución de problemas, el
razonamiento y la prueba, la comunicación, las conexiones y/o la representación. En este
sentido, se propone como herramienta de análisis, el instrumento validado ETMAP (por las
siglas en inglés, Evaluating the Teaching of Mathematics through Processes), que permite
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orientar al profesorado sobre qué aspectos se deben considerar para llevar a cabo una
enseñanza de las matemáticas a través de los procesos matemáticos y, a la vez, permite
analizar la presencia de estos procesos en sus prácticas de enseñanza. Este instrumento
aporta siete indicadores para cada proceso, y puede consultarse íntegramente en Alsina,
Maurandi, Ferre y Coronata (2020).
La educación matemática, en el marco de distintos modelos teóricos, ofrece otras
herramientas que permiten realizar análisis objetivos. En este sentido, destacamos por
ejemplo los criterios de idoneidad didáctica propuestos por el Enfoque Ontosemiótico (EOS)
del conocimiento y la instrucción matemáticos: idoneidad epistémica, cognitiva,
interaccional, mediacional, emocional, y ecológica, que pueden consultarse íntegramente en
Godino, Batanero, y Font (2007). Cabe señalar que la idoneidad mediacional, en concreto,
permite valorar la adecuación de los recursos materiales y temporales utilizados en el
proceso de instrucción.
Consideraciones finales
En este artículo se ha fundamentado y descrito el Enfoque de los Itinerarios de
Enseñanza de las Matemáticas (EIEM) y se han proporcionado cinco recomendaciones
iniciales para su aplicación en el aula. Como se ha indicado en la introducción, el EIEM
pretende ser una aportación modesta, pero útil y aplicable al aula, para todo el profesorado
de matemáticas que manifiesta el deseo de mejorar sus prácticas de enseñanza, pero que a
menudo no sabe cómo hacerlo. El EIEM no pretende, por supuesto, ser la solución de todos
los problemas ni dar respuesta a todas las lagunas detectadas por la investigación en
educación matemática en relación a la práctica del profesor, pero proporcionar algunas
orientaciones que ayuden a su desarrollo profesional con el propósito de mejorar dicha
práctica y promover un impacto positivo en el aprendizaje matemático del alumnado.
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Muy sintéticamente, como se ha indicado, el EIEM se sustenta principalmente en tres
pilares engranados entre ellos: la Perspectiva Sociocultural del Aprendizaje Humano
(Vygostsky, 1978); el Modelo Realista de Formación del Profesorado (Melief, Tigchelaar y
Korthagen, 2010; Tigchelaar, Melief, Van Rijswijk y Korthagen, 2010), adaptado a la
formación del profesorado de matemáticas (Alsina, 2019c); y la Educación Matemática
Realista (EMR) de Freudenthal (1991), junto con la consideración de otras aportaciones de
organismos y autores como el NCTM (2003) o Godino et al. (2015), entre otros. En este
sentido, algunas de las ideas principales que impregnan las prácticas de enseñanza de las
matemáticas basadas en el EIEM son las siguientes: el aprendizaje se produce en un contexto
social y cultural, a partir de la interacción, la negociación y el diálogo (Vygotsky, 1978); el
profesorado debe conocer muchas maneras de actuar y ejercitarlas en la práctica, junto con
disponer de criterios para saber cuándo, qué y por qué algo es conveniente y reflexionar
sobre ello sistemáticamente (Korthagen, 2001); y, finalmente, la idea de que la matemática
es una actividad humana que surge como matematización (organización) de la realidad, y su
comprensión de desarrolla a partir de distintos niveles, desde el situacional (en el contexto
de la situación) al formal (procedimientos estándares y notaciones convencionales),
considerando además otros principios como la reinvención guiada, la interacción e la
interconexión (Freudenthal, 1991).
Con el propósito de ofrecer algunos andamios al profesorado, se han ofrecido cinco
recomendaciones iniciales para aplicar el EIEM en el aula: 1) planificar y gestionar la
enseñanza de los contenidos a través de los procesos matemáticos, es decir, promover una
enseñanza que implique pensar y hacer, más que memorizar definiciones y procedimientos
(Alsina et al., 2020); 2) promover prácticas de enseñanza-aprendizaje que consideren tanto
al alumnado como al profesorado, en las que haya espacio tanto para que el alumnado
indague y construya su conocimiento como para que el profesorado explique de forma
directa un conocimiento matemático (Godino et al., 2015; Godino y Burgos, 2020); 3)
considerar contextos reales, intermedios y formales, con distinto protagonismo en función
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del nivel escolar, es decir, que se considere que si bien es cierto que en los primeros niveles
los contextos informales tienen un especial protagonismo y que se debe ir disminuyendo su
presencia a medida que se avanza la escolaridad, no hay que olvidar que son imprescindibles
en todas las edades para asegurar la comprensión; 4) garantizar el principio de abstracción
progresiva, desde lo concreto hacia lo abstracto, de manera que a lo largo de un itinerario se
considere la visualización, la manipulación, la simbolización y la abstracción; y 5) disponer
de criterios objetivos para la selección de los contextos de enseñanza de las matemáticas, a
partir de distintas herramientas (Alsina et al., 2020; Godino et al., 2007).
Desde la perspectiva de la innovación educativa, en futuros trabajos será necesario
diseñar secuencias de enseñanza fundamentadas en el EIEM para promover, desde la
perspectiva del desarrollo profesional del profesorado de matemáticas, mejoras en la
enseñanza de los distintos contenidos: numeración y cálculo, álgebra temprana, geometría,
medida, y estadística y probabilidad. Y desde la perspectiva de la investigación en educación
matemática, será necesario diseñar estudios que analicen el efecto del EIEM desde una doble
perspectiva: a) desde la perspectiva del alumnado, para analizar las actitudes hacia los
distintos contextos de enseñanza (interés, motivación, etc.), junto con analizar el rendimiento
en función del tipo de contexto; y b) desde la perspectiva del profesorado, para analizar las
actitudes/creencias sobre la enseñanza de los contenidos matemáticos en los diferentes
contextos, entre otros aspectos. Finalmente, será necesario también implementar actividades
formativas sobre el EIEM, tanto en la formación inicial como permanente, que estén
diseñadas a partir de modelos formativos transformacionales, como por ejemplo el Modelo
Transformacional de la Competencia Profesional del Profesorado de Matemáticas (Alsina y
Mulà, 2019), y analizar su efecto para transformar la práctica del profesorado de
matemáticas, en el marco de una escuela que se renueva.
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Contribuições dos Autores
autor: conceitualização; curadoria de dados; análise formal; investigação; metodologia;
visualização; redação rascunho original; redação revisão e edição.
... En consecuencia, resulta necesaria una planificación e implementación efectiva que permita promover el desarrollo de la competencia matemática desde las primeras edades, diversificando el uso de escenarios educativos que conduzcan a buenas prácticas en el aula de matemáticas (Alsina, 2019(Alsina, , 2022; National Council of Teachers of Mathematics [NCTM], 2000[NCTM], , 2014. Desde este prisma, este artículo asume el Enfoque de los Itinerarios de Enseñanza de las Matemáticas de Alsina (2019Alsina ( , 2020Alsina ( , 2022, en adelante EIEM, que plantea que la enseñanza de las matemáticas en las primeras edades debería proponerse como un recorrido de lo concreto a lo abstracto a través de secuencias de enseñanza que contemplen distintos contextos de enseñanza, con el fin de promover una adquisición consolidada de competencias matemáticas. Este enfoque establece una secuencia intencionada que incluye tres niveles de enseñanza que avanzan de lo particular a lo general, ofreciendo una orientación de uso jerarquizado de los contextos que lo conforman. ...
... Acosta y Alsina (2021) señalan que el aprendizaje de los patrones se inicia en situaciones concretas hasta consolidarse en experiencias abstractas. Por consiguiente, se toma como referente el EIEM (Alsina, 2019(Alsina, , 2020 que se fundamenta en tres pilares interrelacionados: a) la Perspectiva Sociocultural del Aprendizaje Humano (Vygotsky, 1978), que entiende la educación como un fenómeno social y cultural que contempla el lenguaje y la interacción como herramientas esenciales para fomentar el aprendizaje; b) el Modelo Realista de Formación del Profesorado (Korthagen, 2001), que considera que los docentes deben de estar familiarizado con diversas maneras de intervenir y ejercitarlas en la práctica, es decir, deben tener criterio para saber cuándo, qué y por qué alguna situación es susceptible para reflexionar de forma sistemática; y c) la Educación Matemática Realista (Freudenthal, 1991), que promueve la utilización de problemas contextualizados en situaciones reales como inicio del proceso de enseñanza-aprendizaje de las matemáticas. ...
... Con base en estos pilares, el EIEM (Alsina, 2019(Alsina, , 2020(Alsina, , 2022) considera la enseñanza de las matemáticas a través de secuencias didácticas que incluyen los siguientes tres niveles: ...
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Con base en el Enfoque de los Itinerarios de Enseñanza de las Matemáticas (EIEM), que propone secuencias de enseñanza intencionadas desde lo concreto hasta lo simbólico, se analiza cómo influye el contexto de enseñanza en las tareas con patrones de repetición en un grupo de 24 escolares españoles durante dos cursos académicos consecutivos (4-6 años). Para ello, se han implementado tareas de patrones de repetición de los dos contextos extremos de un itinerario previamente diseñado y validado: situaciones reales y contextos gráficos, respectivamente. Los datos se han analizado a partir de esquemas metodológicos etnográficos de observación participante (diario de campo); la documentación pedagógica (registro audiovisual); y las producciones escritas de los patrones (representaciones). Los principales resultados obtenidos muestran que: a) en el alumnado de 4-5 años se ha identificado una diferencia positiva del 32,9 % de las situaciones reales frente a los recursos gráficos; b) en el alumnado de 5-6 años, si bien desciende ligeramente dicha diferencia entre ambos contextos, continúa estando por encima del 30 %. Se concluye que el contexto de enseñanza influye en la comprensión de los patrones de repetición, por lo que es necesaria una enseñanza de los patrones desde el nivel situacional hasta el formal.
... Desde este prisma, el artículo se estructura en dos partes: en la primera parte, se fundamente teóricamente el conocimiento pedagógico para la enseñanza de las matemáticas a partir de diversos modelos de conocimiento del profesorado (Ball, Thames y Phelps, 2008;Carrillo et al., 2018;Godino, Giacomone, Batanero y Font, 2017;Shulman, 1986) y, seguidamente, se presentan diversas recomendaciones para la implementación de actividades matemáticas en contexto, principalmente a partir del Enfoque de los Itinerarios de Enseñanza de las Matemáticas (EIEM), planteado por Alsina (2018Alsina ( , 2019Alsina ( , 2020a. En la segunda parte, se describen dos actividades matemáticas competenciales en contexto implementadas en Educación Primaria: la primera actividad, "Matemáticas en la calle", se ha llevado a cabo en los primeros niveles de Educación Primaria (6-8 años) con el propósito de presentar al alumnado actividades de numeración que vayan más allá de los típicos ejercicios de conteo de material de clase, piezas de construcción o similares; mientras que la segunda actividad, "Musicomátics", implementada en el último nivel de infantil y toda la primaria (5-12 años), tiene por objeto tratar de mejorar las competencias Número 64-Abril 2022 -Página 3 matemáticas y musicales del alumnado a través del trabajo conjunto de ambas materias. ...
... Proponer orientaciones didácticas implica, necesariamente, referirse al conocimiento pedagógico para la enseñanza de las matemáticas. Por esta razón, como se ha indicado, en esta primera parte se fundamenta este conocimiento del profesorado a partir de diversos modelos (Ball et al., 2008;Carrillo et al., 2018;Godino et al., 2017;Shulman, 1986) y, seguidamente, se presentan algunas recomendaciones para el diseño y la gestión de actividades matemáticas en contexto, principalmente a partir del EIEM (Alsina, 2018(Alsina, , 2019(Alsina, , 2020a. ...
... Para ello, Alsina (2020a) indica que esta visión contemporánea de la educación matemática requiere, primero, de un amplio dominio profesional de los conocimientos matemáticos a enseñar, puesto que no se puede enseñar bien lo que no se sabe y, segundo, un amplio dominio profesional acerca de las formas de enseñar dichos conocimientos, puesto que el alumnado de hoy no tiene las mismas necesidades para aprender matemáticas que el alumnado de años atrás, por lo que no tiene ningún sentido enseñar lo mismo que hace décadas y menos aún enseñarlo de la misma forma. Desde este prisma, describe diversas recomendaciones que se sintetizan a continuación (Alsina, 2020a): 1) planificar y gestionar la enseñanza de los contenidos a través de los procesos matemáticos de resolución de problemas, razonamiento y prueba, comunicación, representación y conexiones, es decir, promover una enseñanza que implique pensar y hacer, más que memorizar definiciones y procedimientos; 2) promover prácticas de enseñanza-aprendizaje que consideren tanto al alumnado como al profesorado, en las que haya espacio tanto para que el alumnado indague y construya su conocimiento, como para que el profesorado explique de forma directa un conocimiento matemático; 3) considerar contextos reales, intermedios y formales, con distinto protagonismo en función del nivel escolar; 4) garantizar el principio de abstracción progresiva, desde lo concreto hacia lo abstracto, de manera que, a lo largo de un itinerario, se considere la visualización, la manipulación, la simbolización y la abstracción; 5) disponer de criterios objetivos para la selección de los contextos de enseñanza de las matemáticas, a partir de distintas herramientas; y 6) promover la educación matemática inclusiva a través de itinerarios de enseñanza que consideren la diversidad del alumnado, en todas sus dimensiones (cognitiva, cultural, de género, motriz, sensorial, etc.). ...
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Se describe un enfoque competencial de la enseñanza de las matemáticas en Educación Primaria a partir de actividades contextualizadas. Para ello, en la primera parte se fundamenta teóricamente el conocimiento pedagógico para la enseñanza de las matemáticas a partir de diversos modelos de conocimiento del profesorado y se presentan diversas recomendaciones para la implementación de actividades matemáticas competenciales, a partir del Enfoque de los Itinerarios de Enseñanza de las Matemáticas (EIEM). En la segunda parte, se presentan dos actividades en contexto: "Matemáticas en la calle" y "Musicomátics", en las que se trabajan las matemáticas en conexión con el entorno y la música, respectivamente.
... En relación a las prácticas de enseñanza, se consideran los planteamientos del Enfoque de los Itinerarios de Enseñanza de las Matemáticas (EIEM), propuesto por Alsina (2018bAlsina ( , 2019bAlsina ( , 2020c. Este enfoque se fundamenta en tres pilares interrelacionados: (a) la Perspectiva Sociocultural del Aprendizaje Humano (Vygostsky, 1978), que concibe la educación como un fenómeno social y cultural que se basa en el lenguaje y en la interacción como herramientas fundamentales para promover el aprendizaje; (b) el Modelo Realista de Formación del Profesorado (Korthagen, 2001), que considera que el profesorado debería conocer muchas maneras de actuar y ejercitarlas en la práctica, es decir, debería disponer de criterios para saber cuándo, qué y por qué algo es conveniente y reflexionar sobre ello sistemáticamente; y (c) la Educación Matemática Realista (Freudenthal, 1991), que impulsa el uso de situaciones de la vida cotidiana o problemas contextualizados como punto de partida para aprender matemáticas. ...
... Considerando estas distintas estrategias y recursos didácticos, Alsina (2017) plantea el diseño de itinerarios de enseñanza de la estadística y la probabilidad en Educación Infantil. Este enfoque, como se ha indicado anteriormente, pretende impulsar que los niños y las niñas aprendan estadística y probabilidad a partir de contextos reales, materiales manipulativos y juegos y que, progresivamente, vayan esquematizando e institucionalizando el conocimiento a través de otros contextos más formales como los recursos tecnológicos y gráficos (Alsina, 2018b(Alsina, , 2019b(Alsina, , 2020c. Para lograrlo, Alsina (2020cAlsina ( , 2020d plantea seis recomendaciones iniciales para la enseñanza de la estadística y la probabilidad en el marco del EIEM: (1) planificar y gestionar la enseñanza de la estadística y la probabilidad a través de los procesos matemáticos, es decir, promover una enseñanza que implique pensar y hacer, más que memorizar definiciones y procedimientos; (2) promover prácticas de enseñanza que consideren tanto al alumnado como al profesorado, es decir, que combinen el aprendizaje por indagación con la instrucción directa, en el sentido planteado por Godino y Burgos (2020); (3) considerar contextos informales, intermedios y formales en todos los itinerarios, con un claro predominio de los contextos informales (situaciones reales, materiales manipulativos y juegos), pero sin olvidar que deben proporcionarse otros contextos para avanzar hacia la formalización; (4) garantizar el principio de abstracción progresiva, desde lo concreto hacia lo abstracto, de manera que, a lo largo de un itinerario, se considere la visualización, la manipulación, la simbolización y la abstracción, de acuerdo con las posibilidades del alumnado (Treffers, 1987); (5) disponer de criterios objetivos para la selección de los contextos de enseñanza, a partir de distintas herramientas; (6) promover una alfabetización estadística y probabilística accesible para todos, a través de itinerarios que consideren la diversidad del alumnado, en todas sus dimensiones (cognitiva, cultural, de género, motriz, sensorial, etc.), lo que requiere formar ciudadanos y ciudadanas que descubran por sí mismos las ideas matemáticas a través de buenas prácticas, más que transmitirles un conocimiento ya construido (Alsina y Planas, 2008). ...
... Este enfoque, como se ha indicado anteriormente, pretende impulsar que los niños y las niñas aprendan estadística y probabilidad a partir de contextos reales, materiales manipulativos y juegos y que, progresivamente, vayan esquematizando e institucionalizando el conocimiento a través de otros contextos más formales como los recursos tecnológicos y gráficos (Alsina, 2018b(Alsina, , 2019b(Alsina, , 2020c. Para lograrlo, Alsina (2020cAlsina ( , 2020d plantea seis recomendaciones iniciales para la enseñanza de la estadística y la probabilidad en el marco del EIEM: (1) planificar y gestionar la enseñanza de la estadística y la probabilidad a través de los procesos matemáticos, es decir, promover una enseñanza que implique pensar y hacer, más que memorizar definiciones y procedimientos; (2) promover prácticas de enseñanza que consideren tanto al alumnado como al profesorado, es decir, que combinen el aprendizaje por indagación con la instrucción directa, en el sentido planteado por Godino y Burgos (2020); (3) considerar contextos informales, intermedios y formales en todos los itinerarios, con un claro predominio de los contextos informales (situaciones reales, materiales manipulativos y juegos), pero sin olvidar que deben proporcionarse otros contextos para avanzar hacia la formalización; (4) garantizar el principio de abstracción progresiva, desde lo concreto hacia lo abstracto, de manera que, a lo largo de un itinerario, se considere la visualización, la manipulación, la simbolización y la abstracción, de acuerdo con las posibilidades del alumnado (Treffers, 1987); (5) disponer de criterios objetivos para la selección de los contextos de enseñanza, a partir de distintas herramientas; (6) promover una alfabetización estadística y probabilística accesible para todos, a través de itinerarios que consideren la diversidad del alumnado, en todas sus dimensiones (cognitiva, cultural, de género, motriz, sensorial, etc.), lo que requiere formar ciudadanos y ciudadanas que descubran por sí mismos las ideas matemáticas a través de buenas prácticas, más que transmitirles un conocimiento ya construido (Alsina y Planas, 2008). ...
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En esta presentación del Número Monográfico sobre estadística y probabilidad en Educación Infantil se revisa, en primer lugar, el panorama contemporáneo de la investigación en educación matemática infantil. Con base en esta revisión, se argumenta y caracteriza la enseñanza de la estadística y la probabilidad a partir de los tres años: las finalidades (¿para qué se enseña? y ¿por qué se enseña?), las prácticas (¿cómo se enseña?) y la organización de la enseñanza (¿cuándo se enseña? y ¿qué se enseña?). Se concluye que la consideración conjunta de estas dimensiones contribuye a la ampliación y consolidación de la didáctica de la estadística y la probabilidad en Educación Infantil.
... asumimos el Enfoque de los Itinerarios de Enseñanza de las Matemáticas (EIEM, a partir de ahora), que plantea la planificación de prácticas de enseñanza de las matemáticas en Educación Infantil en una diversidad de contextos (Alsina, 2019(Alsina, , 2020a. ...
... Para tratar de dar respuesta a estos interrogantes, se asume el EIEM deAlsina (2019Alsina ( , 2020a, que se aleja de una visión de la enseñanza de las matemáticas basada en la repetición y la memorización y, en su lugar, plantea la enseñanza de las matemáticas como un recorrido de lo concreto hacia lo abstracto, a través de secuencias de enseñanza intencionadas. Dichas secuencias o itinerarios consideran distintos niveles de enseñanza (informal, intermedio y formal) formados por recursos que avanzan de lo particular a lo general (Figura 1). ...
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Se estudia el aprendizaje de los patrones con 24 alumnos de 3º de Educación Infantil en función del tipo de contexto. Se analiza, de manera cualitativa y cuantitativa, las producciones de los participantes en los tres niveles propuestos por el Enfoque de los Itinerarios de Enseñanza de las Matemáticas (EIEM): informal (vida cotidiana, materiales manipulativos y juegos); intermedio (recursos literarios y tecnológicos); y formal (recursos gráficos). Los resultados indican que la comprensión del patrón es mayor en el nivel informal, siendo del 91,7% frente a un 75% y 66,7% de los niveles intermedio y formal respectivamente. Se concluye que es necesario: a) priorizar prácticas de enseñanza que consideren los contextos informales para iniciar de manera concreta y próxima el aprendizaje de los patrones; y b) acompañar el proceso de abstracción de la unidad de repetición favoreciendo su comprensión y transferencia.
... El segundo posicionamiento tiene que ver con la forma de desarrollar el conocimiento matemático de los niños. En este sentido, se asumen los planteamientos del Enfoque de los Itinerarios de Enseñanza de las Matemáticas (EIEM), planteado por Alsina (2018Alsina ( , 2019bAlsina ( , 2020c. Este enfoque se fundamenta en tres pilares: a) la Perspectiva Sociocultural del Aprendizaje Humano (Vygostsky, 1978), que concibe la educación como un fenómeno social y cultural que se basa en el lenguaje y en la interacción como herramientas fundamentales para promover el aprendizaje; b) el Modelo Realista de Formación del Profesorado (Korthagen, 2001), que considera que el profesorado debería conocer muchas maneras de actuar y ejercitarlas en la práctica, es decir, debería disponer de criterios para saber cuándo, qué y por qué algo es conveniente y reflexionar sobre ello sistemáticamente; y c) y la Educación Matemática Realista (Freudenthal, 1991), que impulsa el uso de situaciones de la vida cotidiana o problemas contextualizados como punto de partida para aprender matemáticas. ...
... Si bien un elemento común en los distintos modelos de conocimiento es incluir un componente asociado a la enseñanza, este debería concretarse de acuerdo con las características y necesidades específicas de los niños de Educación Infantil, que son diferentes a las de otros niveles superiores. En este sentido, el EIEM aglutina las distintas formas de enseñar teniendo en cuenta las necesidades reales de los niños de Educación Infantil para aprender matemáticas, otorgando protagonismo a lo concreto y avanzando progresivamente hacia lo abstracto, en contraste con lo que ocurre en otras etapas educativas (Alsina, 2018;2019b;2020c). Además, para completar el conjunto de conocimientos del profesorado, es imprescindible considerar también al conocimiento del currículum, en sintonía con los modelos de conocimiento que se han enfocado más en otras etapas educativas. ...
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Resumen Se concretan los conocimientos para enseñar matemáticas en Educación Infantil a partir de la revisión de: a) las finalidades, las prácticas y la organización de la enseñanza; b) la literatura previa sobre el conocimiento del profesorado de infantil para enseñar matemáticas. Considerando estos antecedentes, se describen y ejemplifican dos tipos de conocimiento: Conocimiento Matemático en Educación Infantil y Conocimiento Didáctico de las Matemáticas en Educación Infantil, junto con sus respectivos subtipos. Se concluye que la concreción de estos conocimientos puede contribuir al desarrollo profesional del profesorado de infantil y, adicionalmente, pueden usarse como herramienta de análisis. Palabras clave: conocimiento del profesorado; conocimiento para enseñar matemáticas; conocimiento didáctico de las matemáticas; práctica docente; Educación Infantil. What knowledge do early childhood teachers need to teach mathematics? Abstract The knowledge for teaching mathematics in Early Childhood Education is specified on the basis of a review of: a) the aims, practices and organisation of teaching; b) previous literature on early childhood teachers' knowledge for teaching mathematics. Considering this background, two types of knowledge are described and exemplified: Mathematical Knowledge in Early Childhood Education and Didactic Knowledge of Mathematics in Early Childhood Education, together with their respective subtypes. It is concluded that the concreteness of this knowledge can contribute to the professional development of early childhood teachers and, additionally, can be used as a tool for analysis.
... En análisis de datos, el contexto proporciona significado"(Moore y Cobb, 1997, p. 801).Considerando estos planteamientos, en este artículo se asume que es necesario abordar la enseñanza de la estadística a partir de contextos ajustados a las necesidades reales de aprendizaje, adecuados a la edad y a la etapa escolar, que tengan significado para los estudiantes y que les permita avanzar hacia el aprendizaje comprensivo de conceptos estadísticos y el empleo eficaz de técnicas de cálculo, además de mejorar sus capacidades de argumentación, formulación de conjeturas y reflexión en torno a dicho contexto(Vásquez, 2020;Alsina y Annexa, 2021;.En relación a esta cuestión, es necesario considerar que "el contexto no está presente automáticamente en el aula, tenemos que introducirlo"(Gal, 2019, p. 3). Tal como plantea el Enfoque de los Itinerarios de Enseñanza de las Matemáticas, existe una amplia diversidad de contextos y de recursos(Alsina, 2019(Alsina, , 2020(Alsina, , 2022, por lo que su planificación es responsabilidad del profesorado. En este sentido, en este artículo se opta por seleccionar como contexto el desarrollo sostenible, puesto que desde hace ya algunos años el mundo está inmerso en una crisis globalizada que impacta en diversos ámbitos (sociales, medioambientales y económicos).A finales de la década de los ochenta del siglo XX el CMMAD (1987) ya señaló que era de vital importancia reflexionar en torno a esta temática y, en los últimos años, la UNESCO (2017) ha remarcado que urge actuar y desarrollar competencias que permitan contar con ciudadanos alfabetizados en sostenibilidad. ...
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La educación para el desarrollo sostenible es uno de los desafíos más importantes del siglo XXI, por lo que la formación del profesorado no puede estar al margen de este reto. Desde este punto de vista, en este artículo de reflexión se asume que es necesario repensar la enseñanza de la matemática con el propósito de iniciar desde edades tempranas el desarrollo de las competencias de sostenibilidad planteadas por la UNESCO: pensamiento sistémico, anticipación, normativa, estratégica, colaboración, pensamiento crítico, autoconciencia y resolución de problemas. Para lograr este propósito, el futuro profesorado debe recibir una formación que permitan establecer conexiones entre la competencia matemática y las competencias de sostenibilidad. En este contexto, se describe y analiza una experiencia vinculada a la educación estadística con foco en sostenibilidad desarrollada con 28 futuros profesores chilenos de educación primaria. Se concluye que a partir del ciclo de investigación estadística PPDAC (Problema, Plan, Datos, Análisis y Conclusión), se desarrollan algunas de las principales competencias de sostenibilidad.
... Alsina,Á., Vásquez, C. Derechos Reservados © 2022 Revista digital Matemática, Educación e Internet (https://revistas.tec.ac.cr/index.php/matematica) una nula utilización de recursos tecnológicos, un bajo uso de material físico y un predominio de la resolución de ejercicios descontextualizados.Con el propósito de ayudar al profesorado de Educación Primaria a diseñar e implementar tareas probabilísticas que permitan mejorar estos resultados, se han descrito diversas orientaciones didácticas para cada uno de los componentes analizados:Uso de recursos: a partir de diversos organismos y autores que han impulsado la enseñanza de la probabilidad a través de diversos recursos como materiales manipulativos y juegos, recursos tecnológicos, etc.(Alsina, 2019(Alsina, , 2021aAlsina et al., 2020;Batanero, 1998Batanero, , 2006Batanero, , 2013Batanero y Díaz, 2004;Godino et al., 1987;Vásquez, 2016; entre otros), se han considerado los planteamientos del Enfoque de los Itinerarios de Enseñanza de las Matemáticas(Alsina, 2018(Alsina, , 2019(Alsina, , 2020, que sugiere el diseño de itinerarios de enseñanza de la probabilidad desde lo concreto hacia lo abstracto, a partir de recursos organizados en tres niveles (Alsina, 2019, p. ...
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A partir de los resultados de una investigación previa en la que se han analizado las tareas probabilísticas que propone el profesorado de Educación Primaria para promover la alfabetización probabilística, en este artículo se ofrecen diversas orientaciones didácticas con el propósito de enlazar los resultados de esta investigación con la práctica escolar. En concreto, se abordan los cinco componentes de la dimensión “tareas probabilísticas” del “Instrumento de Observación de Clases de Probabilidad” (IOC-PROB): uso de recursos; contextos probabilísticos; reto cognitivo; procedimientos y estrategias; y significados de la probabilidad. Para cada componente, primero se presenta una breve descripción y una síntesis de los principales resultados obtenidos en el estudio preliminar; y, seguidamente, se ofrecen diversas orientaciones didácticas fundamentadas teórico-metodológicamente, a partir de una actividad en particular, para que el profesorado de Educación Primaria pueda llevar a cabo una planificación y gestión de las tareas probabilísticas más eficaz y ajustada a los resultados de la investigación. Se concluye que la implementación de tareas probabilísticas en el aula alineadas con la investigación sobre este tópico puede contribuir a mejorar el desarrollo de la alfabetización probabilística del alumnado de Educación Primaria.
... Asimismo, han surgido múltiples planteamientos sobre la forma de enseñar matemática, inspirados y fundamentados en autores clásicos como Montessori, Piaget, Dienes, Freudenthal, etc. Alsina (2018Alsina ( , 2019Alsina ( , 2020b, en el marco del Enfoque de los Itinerarios de Enseñanza de la Matemática (EIEM), intenta integrar los principales aportes realizados hasta el momento en las agendas de investigación de la educación matemática, que analizan las estrategias y recursos para enseñarla durante las primeras edades. ...
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En los últimos años se han ido fortaleciendo los vínculos entre la educación matemática y el pensamiento computacional, ya que ambas áreas requieren de diversas habilidades en torno a la resolución de problemas; sin embargo, el profesorado de la niñez de las primeras edades ha tenido una escasa formación para implementar actividades que promuevan este pensamiento en el aula de matemática. En este sentido, el objetivo de este artículo es indagar acerca de las conexiones existentes entre la educación matemática infantil y el pensamiento computacional, para que el profesorado de la población de las primeras edades pueda diseñar e implementar actividades que permitan desarrollar habilidades de estos dos tipos de pensamiento de manera integrada. Para lograr este propósito, se describe y analiza una experiencia para aprender patrones de repetición a través del robot educativo programable Cubetto®. La actividad se implementa con 24 niños de 5 años de edad, de un colegio público de Girona (España) y los resultados muestran que una parte importante de los niños de esta edad representan de manera correcta el patrón (62.5%), siendo la representación gráfica la más habitual entre los participantes que resuelven correctamente las tareas (86.7%). Se concluye que, en el contexto actual, es necesario seguir diseñando actividades que promuevan el desarrollo de conocimientos matemáticos de manera lúdica, a través de una gestión de la enseñanza basada en habilidades como la resolución de problemas, el razonamiento, la comunicación, las conexiones y la representación, a la vez que se van desarrollando también destrezas digitales y el pensamiento lógico y computacional.
... En concreto, este autor indica que: La investigación acerca de las formas de facilitar el acceso al conocimiento matemático en las primeras edades ha sido muy productiva, tanto a nivel internacional como nacional. Han surgido múltiples enfoques, que van desde "el modelo europeo al aire libre" hasta la enseñanza clásica con fichas, pasando por otros enfoques que se inspiran y fundamentan en autores clásicos como Bruner, Dienes, Montessori, Piaget, Skemp, Vygotsky, etc. (ALSINA, 2020a, p. 8) Con el propósito de ofrecer una visión global de estos planteamientos, desde el Enfoque de los Itinerarios de Enseñanza de las Matemáticas (EIEM), Alsina (2019Alsina ( , 2020b plantea secuencias de enseñanza que incluyen diversos recursos, desde el nivel informal (contextos reales, materiales manipulativos y juegos) hasta el formal (cuadernos y libros de texto), sin olvidar los recursos intermedios, en los que incluye los cuentos infantiles. ...
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RESUMEN En este estudio se analizan tres proyectos estocásticos a través del uso de cuentos para promover el desarrollo de la alfabetización estadística y probabilística en Educación Infantil. A partir de un estudio de casos de tipo descriptivo realizado durante las prácticas de un estudiante para maestro, se identifican los conocimientos que empiezan a interiorizar un grupo de 22 niños de 5-6 años durante la recogida de datos, el uso de tablas estadísticas y el empleo de lenguaje probabilístico. Los resultados evidencian que, con relación al desarrollo de la alfabetización estadística, identifican categorías, realizan tablas estadísticas de recuento concretas y pictóricas, y transitan hacia las tablas de frecuencias; y, respecto a la alfabetización probabilística, empiezan a desarrollar el significado intuitivo usando lenguaje probabilístico en una escala cualitativa entre imposible y seguro. Se concluye que los cuentos pueden ser un recurso adecuado para promover la alfabetización estadística y probabilística en Educación Infantil. Palabras clave: alfabetización estadística y probabilística; tablas estadísticas; significado intuitivo de la probabilidad; cuentos infantiles; Educación Infantil.
... From this point of view, on the one hand, it is assumed that teachers should know many methods and how to implement them in the classroom, that is, they should be provided with criteria for knowing when, what, and why something is appropriate and reflect on it systematically [6]. On the other hand, and based on the Approach to Mathematics Lesson Plans (AMLP) [7], in the specific case of probability, teachers must be able to consider deliberate teaching sequences that regard various contexts and resources. ...
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This study analyses probability tasks proposed by primary education teachers to promote probabilistic literacy. To this end, eight class sessions at various levels of the Chilean educational system were recorded on video and analysed through the "probability tasks" dimension from the "Observation Instrument for Probability Classes" (IOC-PROB), which includes five components: use of resources, probabilistic contexts, cognitive challenge, procedures and strategies, and probability meanings. The results show that probability tasks focus mainly on technical knowledge, causing the probability class to become an arithmetic class in which only formulas are applied, mechanically and with no meaning. As a result, we see no use of technological resources, a low use of physical materials, and an absolute predominance of solving decontextualised exercises. We conclude that it is necessary to enhance the probability teaching practices based on lesson plans that consider a wide variety of resources and contexts to gradually advance towards a representation of proba-bilistic knowledge that relies on conventional procedures and notations.
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Se describen cinco prácticas productivas para promover la enseñanza de las matemáticas a través de los procesos, es decir, una enseñanza basada en pensar y hacer. Asumiendo que una ‘práctica productiva’ en educación matemática es una acción o destreza educativa útil y provechosa para promover el aprendizaje de las matemáticas con sentido en todos los niveles, se consideran cinco prácticas asociadas a las herramientas que nos proporcionan las matemáticas para lograr este propósito: pensar, argumentar, comunicar, conectar y representar. Se concluye que estas prácticas productivas son una oportunidad y un desafío para transformar las prácticas centradas en los contenidos, basadas en memorizar definiciones y procedimientos. Five productive practices are described to promote process-based mathematics teaching; i.e. teaching based on thinking and doing. Assuming that “productive practices” in mathematics education are educational actions or skills that are useful for promoting meaningful mathematics learning at all levels, we consider five practices associated with the real tools that mathematics offers us to achieve this goal: thinking, arguing, communicating, connecting and representing. We conclude that these productive practices present challenges and opportunities for transforming content- based practice focused on memorising definitions and procedures.
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En este artículo se presenta el Enfoque de los Itinerarios de Enseñanza de las Matemáticas, un enfoque que trata de ser respetuoso con las necesidades reales de los estudiantes para aprender matemáticas. En la primera parte se presenta la fundamentación del enfoque, que se sustenta en tres pilares interrelacionados: la perspectiva sociocultural del aprendizaje humano, el modelo de formación realista-reflexivo y la educación matemática realista; en la segunda parte se describe el enfoque, que se refiere a una secuencia de enseñanza intencionada que contempla tres niveles: 1) enseñanza en contextos informales (el entorno inmediato, los materiales manipulativos y los juegos); 2) enseñanza en contextos intermedios (recursos literarios y tecnológicos), y 3) enseñanza en contextos formales (recursos gráficos); finalmente, en la tercera parte se ejemplifica dicho enfoque con un itinerario de enseñanza del álgebra temprana para estudiantes de 3 a 12 años. Se concluye que la implementación de este enfoque requiere un amplio dominio de conocimientos didáctico-disciplinares, lo que implica un esfuerzo importante por parte de todos los agentes implicados en la formación del profesorado para que así, todo aquel profesional preocupado por mejorar su práctica docente y adaptarla a las exigencias del siglo XXI, pueda tener acceso a estos conocimientos. Financiamiento: FEDER/Ministerio de Ciencia, Innovación y Universidades de España. Agencia Estatal de Investigación Proyecto EDU2017-84979-R
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En este artículo se presentan desde una perspectiva analítica, interpretativa y crítica los resultados de diversos estudios que muestran los avances en investigación sobre la formación de futuros maestros de matemáticas desde el modelo realista-reflexivo. En concreto, se presentan cuatro estudios sobre diseño, aplicación y análisis de episodios desde este modelo de formación que incluyen un ciclo formativo; diversos recursos y estrategias didácticas para promover la deconstrucción de los conocimientos cotidianos (en adelante, CC) de los futuros maestros de matemáticas que pueden ser un obstáculo para su desarrollo profesional; la identificación de las marcas de autorregulación que permiten deconstruir CC y co-construir y reconstruir conocimientos profesionales (en adelante, CP); y, como síntesis de los estudios preliminares, la descripción de un modelo transformador de la competencia profesional de los futuros maestros de matemáticas.
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The aim of this study was to begin to characterize the elements of teacher educators' professional practice that promote the transformation of prior knowledge, experiences, and system beliefs into professional competence, based on reflective learning and education for sustainability. To obtain data, 30 class sessions of a mathematics education teacher were analyzed. Five elements of the lecturer's practice were identified: (1) presents real action; (2) uncovers students' values and preconceptions and considers them; (3) systematizes them and contrasts them with the 'ideal'; (4) helps to understand the perspective offered by mathematical and sustainability concepts; (5) helps students develop the new perspective acquired through grounded and reasoned action plans. A key conclusion of the study is that it is prior knowledge, experiences, and beliefs which are transformed if the two agents involved in the learning process (pre-service teachers and university lecturers) are synchronized.
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La educación matemática infantil del S. XXI goza de buena salud. En la mayoría de países ha evolucionado mucho en las últimas décadas a causa de múltiples factores, entre los que caben destacar dos: por un lado, el incremento de la investigación en educación matemática infantil ha permitido definir con mayor precisión cuestiones esenciales como qué matemáticas enseñar, cómo enseñarlas, cuando enseñarlas y para qué enseñarlas; y, por otro lado, la mayor sensibilidad hacia la educación de los más pequeños ha permitido que los centros que acogen niños desde los primeros meses de vida hasta los 6 años hayan dejado de ser exclusivamente asistenciales y sus profesionales hayan ido adquiriendo una mejor formación para impulsar diversas habilidades imprescindibles para el desarrollo integral de los niños, entre las que se incluyen las habilidades matemáticas. Dicho esto, en lugar de realizar un elogio de todo lo logrado hasta ahora, en este artículo de celebración de un acontecimiento tan importante como es la publicación del volumen 100 de la Revista Números, se van a proponer un conjunto de actuaciones que se deberían llevar a cabo en los próximos años para que la educación matemática infantil se vaya consolidando como disciplina científica y, sobre todo, para que los profesionales anónimos que día a día trabajan al lado de los niños y para los niños puedan llevar a cabo una labor de alta calidad que proporcione una formación matemática sólida desde las primeras edades. En concreto, se van a sugerir actuaciones en cinco ámbitos interrelacionados, cuyos agentes tienen un papel esencial para lograr en reto. En concreto, se van a sugerir actuaciones que se deberían llevar a cabo desde la investigación en educación matemática infantil; desde la administración educativa; desde la formación inicial del profesorado; y, finalmente, desde la escuela y la familia.
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Alsina, Á. (2019). Itinerarios didácticos para la enseñanza de las matemáticas (6-12 años). Barcelona: Editorial Graó https://www.grao.com/es/producto/itinerarios-didacticos-para-la-ensenanza-de-las-matematicas-ge328
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En este artículo se presentan los lineamientos generales de una teoría cultural de la objetivación –una teoría de la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas que se inspira de escuelas antropológicas e histórico-culturales del conocimiento. Dicha teoría se apoya en una epistemología y una ontología no racionalistas que dan lugar, por un lado, a una concepción antropológica del pensamiento y, por el otro, a una concepción esencialmente social del aprendizaje. De acuerdo con la teoría, lo que caracteriza al pensamiento no es solamente su naturaleza semióticamente mediatizada sino sobre todo su modo de ser en tanto que praxis reflexiva. El aprendizaje de las matemáticas es tematizado como la adquisición comunitaria de una forma de reflexión del mundo guiada por modos epistémico-culturales históricamente formados. ABSTRACT In this article, we present the general bases for a cultural theory of objectification. The theory in question deals with the teaching and learning of mathematics and takes its inspiration from some anthropological and historico-cultural schools of knowledge. This theory relies on a non-rationalist epistemology and ontology which give rise, on the one hand, to an anthropological conception of thought, and on the other, to an essentially social conception of learning. According to the theory of objectification, thought is not only characterized by its semiotically mediated nature but more importantly by way of its existence as a reflexive praxis. The learning of mathematics is thematized as the acquisition, by the community, of a form of reflection on the world guided by epistemic-cultural modes which have been historically formed.
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Despite the huge research efforts that have been made, the problem of how to teach mathematics and sciences remains open. Deciding between teacher-focused teaching models (transmissive teaching) or student-focused (inquiring learning) poses a dilemma for educational practice. In this paper we address this problem and propose a solution applying the Onto-semiotic Approach assumptions and theoretical tools. We argue that the learning optimization and achievement of an appropriate didactic intervention require interweaving in a dialectical and complex way, the teacher’s moments of knowledge transmission with the student’s inquiry moments. The implementation of efficient didactic trajectories implies the articulation of diverse types of didactic configurations managed through didactical suitability criteria on the teacher's part. These should take into account the epistemic, cognitive, affective, interactional, mediational and ecological dimensions involved in instructional processes.
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The aim of this study is to validate an instrument to evaluate the teaching of mathematics through mathematical processes using a structural equation model. To that end, we have administered the instrument to 95 in-service Spanish teachers and we have also analysed the presence of mathematical processes (problem solving, reasoning and proof, communication, connections and representation) in teaching practice. The descriptive statistics obtained through a quantitative study show that all the items perform similarly in each of the processes, obtaining medium to high scores. A change in this trend is only detected in some of the items of the mathematical process “connections”, which measure if mathematical knowledge is related to other disciplines. The results obtained from the exploratory factor analysis show a high coefficient for all the processes (higher than 0.72), as well as a significant p value, and the results obtained from the confirmatory factor analysis show an internal consistency of the items of each construct, with values greater than 0.8.
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Las matemáticas se han presentado tradicionalmente como un conocimiento abstracto que se aprende mediante la ejercitación: ¡cuántos más ejercicios, mejor aprendizaje! Nada más lejos de la realidad: la mecánica ayuda a memorizar, pero no a comprender ni usar eficazmente el conocimiento matemático. El artículo plantea una visión respetuosa con las necesidades reales de los niños para aprender matemáticas: se propone un itinerario que incluye situaciones cotidianas, materiales manipulativos, juegos, recursos literarios, tecnológicos y gráficos y se ofrecen orientaciones para padres y maestros.