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Desarrollo de la competencia didáctico-matemática en probabilidad con docentes de educación infantil a través de la adaptación y experimentación de un juego

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Presentamos los resultados obtenidos en el seno de una investigación orientada al desarrollo de la competencia didáctico-matemática en probabilidad con docentes de educación infantil. La tarea que se propone es el diseño de un juego en el que se han de tomar decisiones empleando un razonamiento probabilístico informal. Los resultados, en particular la diversidad de objetos matemáticos puestos en juego y los errores conceptuales manifestados por las participantes, señalan la riqueza de este tipo de tareas y la necesidad de potenciar el desarrollo de esta competencia tanto en futuros docentes como en los programas de formación permanente. Además, este tipo de actividades se revela como una oportunidad para el aprendizaje de conocimientos específicos.
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DESARROLLO DE LA COMPETENCIA DIDÁCTICO-
MATEMÁTICA EN PROBABILIDAD CON DOCENTES DE
EDUCACIÓN INFANTIL A TRAVÉS DE LA ADAPTACIÓN Y
EXPERIMENTACIÓN DE UN JUEGO
DEVELOPING DIDACTIC-MATHEMATICAL COMPETENCE IN
PROBABILITY WITH CHILDHOOD EDUCATION TEACHERS
THROUGH THE ADAPTATION AND EXPERIMENTATION OF A
GAME
Resumen
Presentamos los resultados obtenidos en el seno de una investigación orientada al desarrollo de la competencia
didáctico-matemática en probabilidad con docentes de educación infantil. La tarea que se propone es el diseño de
un juego en el que se han de tomar decisiones empleando un razonamiento probabilístico informal. Los resultados,
en particular la diversidad de objetos matemáticos puestos en juego y los errores conceptuales manifestados por las
participantes, señalan la riqueza de este tipo de tareas y la necesidad de potenciar el desarrollo de esta competencia
tanto en futuros docentes como en los programas de formación permanente. Además, este tipo de actividades se
revela como una oportunidad para el aprendizaje de conocimientos específicos.
Palabras clave: invención de problemas, juegos de probabilidad, formación de profesores
Abstract
We present the results obtained in a research aimed at the development of didactic-mathematical competence in
probability in teachers of early childhood education. The task proposed consists of the design of a game in which
decisions must be made by using informal probabilistic reasoning. The results, in particular the diversity of
mathematics objects used, and the conceptual errors shown by the participants, indicate the richness of this type of
tasks and the need to promote the development of this competence both in prospective teachers and in continuing
education programs. In addition, this type of activity proved to be an opportunity for learning specific knowledge.
Key words: problem posing, probability games, teacher training
Pablo Beltrán-Pellicer, Maria Ricart, Assumpta Estrada
Universidad de Zaragoza. Universidad de Lleida. Universidad de Lleida (España)
pbeltran@unizar.es, maria.ricart@matematica.udl.cat, aestrada@matematica.udl.cat
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! Introducción
Hay un consenso en la comunidad de investigadores en educación matemática en que la resolución de problemas
debería ser el eje sobre el que articular la enseñanza y el aprendizaje (English & Gainsburg, 2016). Sin embargo,
no está claro qué significa abordar la resolución de problemas ni tampoco hay un acuerdo en cómo debería ser tal
propuesta curricular. Una forma de trabajar la resolución de problemas es la invención, generación de problemas o
problem posing (Singer, Ellerton, & Cai, 2015). En ese sentido, dentro de la formación del profesorado, se ha
utilizado el diseño o adaptación de juegos como actividad introductoria a la invención de problemas (Milinković,
2015). En este trabajo se presentan los resultados de una experiencia realizada en un curso de posgrado para
maestros de infantil y primaria, orientada al desarrollo de la competencia de análisis didáctico-matemático sobre
probabilidad.
! Marco teórico
El estudio se enmarca en el Enfoque Ontosemiótico del Conocimiento y la Instrucción Matemáticos (EOS) (Godino,
Batanero, & Font, 2007), donde ha surgido el modelo de Conocimientos y Competencias Didáctico-Matemáticas
(CCDM de aquí en adelante), un modelo de categorías para describir, en detalle, tanto el conocimiento didáctico-
matemático (Pino-Fan y Godino, 2015) como las competencias profesionales del docente de matemáticas (Breda,
Pino-Fan, & Font, 2017; Font, 2018; Godino, Giacomone, Batanero, & Font, 2017). En concreto, esta investigación
se centra en estudiar un tipo de tarea específicamente diseñada para desarrollar la competencia general de diseño e
intervención didáctica y, particularmente, la subcompetencia en análisis ontosemiótico en un contexto de
probabilidad.
La competencia didáctico-matemática conocida como competencia general de diseño e intervención didáctica en el
modelo del CCDM está compuesta por cinco subcompetencias, siendo una de ellas la subcompetencia de análisis
ontosemiótico de prácticas matemáticas, que es en la que se centra este trabajo. Esta consiste en el reconocimiento,
por parte del profesor, de los objetos matemáticos (situaciones-problema, conceptos, elementos lingüísticos,
procedimientos, proposiciones y argumentos) emergentes e intervinientes en una práctica matemática, además de
sus significados (Godino et al., 2017). Dicha subcompetencia es la que capacita al docente para comprender los
aprendizajes de sus alumnos, así como evaluar su nivel de competencia matemática e, incluso, gestionar la
institucionalización del conocimiento.
! Metodología
Se trata de un estudio de caso que sigue una metodología cualitativa e interpretativa (Hernández, Fernández, &
Baptista, 2014). Las participantes con las que se lleva a cabo la experiencia son nueve maestras sin experiencia
docente, cuatro en Educación Infantil y cinco en Educación Primaria, que cursan un máster de formación
especializada para maestros. En el curso de posgrado donde se contextualiza esta experiencia se abordaron algunos
juegos de probabilidad y actividades para desarrollar específicamente la competencia de análisis ontosemiótico de
prácticas matemáticas. La observación participante es la técnica de recogida de datos, junto con el análisis de las
producciones de las estudiantes, las cuales consisten en el trabajo que desarrollaron en dicho curso y que se describe
a continuación.
Se propuso a las participantes realizar un proyecto basado en la adaptación o diseño de un juego para trabajar
contenidos de probabilidad. Se exigía elaborar un prototipo y una propuesta para llevar el juego al aula, así como
efectuar un análisis ontosemiótico de los objetos matemáticos involucrados y una valoración a priori de la idoneidad
didáctica. En este trabajo se presenta el análisis detallado de la adaptación del juego conocido en ocasiones como
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“la carrera de caballos”. Este juego lo realizó una de las parejas de Educación Infantil. En él, los participantes eligen
entre seis o doce fichas, dependiendo de si se lanza uno o dos dados, e intentan predecir el ganador. Por turnos, se
lanzan los dados y se avanza la ficha cuyo número coincide con la cara en cuestión o con la suma (si se juega con
dos dados). El objetivo didáctico en el juego con un dado es proporcionar una experiencia sobre sucesos simples y
equiprobables, puesto que todos tienen probabilidad 1/6. Sin embargo, con el juego de dos dados se considera la
suma, que es un suceso compuesto, ocasionando que cada resultado tenga una probabilidad diferente.
El trabajo realizado por cada equipo de estudiantes se corresponde a un proceso de ingeniería didáctica orientada al
diseño (Godino, Rivas, Arteaga, Lasa, & Wilhelmi, 2014). La primera fase de la ingeniería, el análisis preliminar,
es la elección del juego de manera consensuada por el profesor-investigador. Una vez definidos los objetivos de
aprendizaje que se pretenden conseguir con la adaptación del juego, las participantes elaboran un prototipo y
realizan un análisis ontosemiótico de objetos y significados, a priori, del juego, siendo esto la segunda fase. Después,
experimentan con el prototipo y con la actividad de aula asociada (proyecto estadístico sobre las partidas).
Finalmente, llevan a cabo un análisis ontosemiótico a posteriori, después de una sesión en la que se probaron los
juegos de todas las participantes, con el objetivo de validarlos y recoger propuestas de mejora.
! Análisis de resultados
La variación del juego más destacable que propusieron las estudiantes consistió en emplear una ruleta en
lugar de los dados para determinar la ficha que avanza, siendo un coche en su caso. Así pues, se va
haciendo girar la ruleta y se mueve el coche en cuyo color se para la ruleta. Esta está pensada para ser
reconfigurable según avanza el juego mediante un sistema adhesivo (Figura 1). La ruleta, que es un
material clásico en la enseñanza y aprendizaje de la probabilidad, proporciona una experiencia diferente
a la de los dados, puesto que se trata de sucesos simples (“rojo”, “verde”, etc.) pero no necesariamente
equiprobables. De esta manera, para escoger el coche (ficha) con mayor probabilidad de victoria hay que
elegir el color de la ruleta cuyo sector presenta mayor área. En cualquier caso, como veremos, el
instrumento generador de eventos aleatorios cambia dependiendo del número de jugadores.
Figura 1. Juego ¡Voy a ser el más rápido!
En las instrucciones del juego, las estudiantes distinguen el modo de jugar dependiendo de si se trata de dos, tres o
cuatro jugadores. Para dos jugadores, se utiliza una moneda como instrumento generador de sucesos aleatorios y,
de esta forma, se hace avanzar el coche de cada jugador dependiendo si sale una opción u otra. Observemos que
aquí el juego ofrece la misma probabilidad de éxito para ambos jugadores. Sin embargo, se introduce un elemento
que puede hacer variar las opciones para cada jugador. Cuando se llega a la quinta casilla, se toma la primera tarjeta
del mazo de preguntas, que exige la puesta en juego de lenguaje sobre probabilidad a nivel informal y, en caso de
no dar con la respuesta correcta, el jugador pierde un turno. Los textos de las tarjetas son:
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¡Has tenido suerte! Puedes volver a tirar.
¿Es posible que al lanzar la moneda salga cara?
¿Es posible que al lanzar la moneda salga cruz?
¿Es posible o imposible que salga una opción diferente a cara o cruz?
¿Es posible o imposible que salga cara dos veces consecutivas?
¿Es imposible que salga tres veces seguidas cruz?
¿Es posible o imposible que salga cruz dos veces consecutivas?
¿Es imposible que salga tres veces seguidas cara?
En el caso de tres jugadores, el instrumento que genera los sucesos aleatorios pasa a ser un dado, y cada jugador ha
de elegir dos números (de un dado cúbico de seis caras). Al igual que para la modalidad de dos jugadores, la
probabilidad de ganar es la misma, inicialmente, para cada jugador. Las preguntas que aparecen en las tarjetas de la
quinta casilla son:
¡Has tenido suerte! Puedes volver a tirar.
¿Es posible que salga el número 4?
¿Es imposible que salga el número 1?
¿Es posible o imposible que salga el número 0?
¿Es posible que al lanzar el dado dos veces salga el número 3?
¿Es posible o imposible que salga el número 9?
¿Es imposible que al lanzar el dado dos veces salga el número 2?
¿Es posible o imposible que al lanzar el dado salga el número 1 tres veces consecutivas?
La ruleta es el instrumento que va a introducir el azar en las partidas a cuatro jugadores, cobrando importancia la
elección inicial del color del coche. Para ello, los jugadores han de analizar la ruleta y razonar sobre el color más
probable. Aunque no se aprecia en la Figura 1, la ruleta está formada por sectores circulares que se pueden poner y
quitar gracias a un sistema de velcros. Las preguntas que aparecen en las tarjetas de la quinta casilla son:
¡Has tenido suerte! Puedes cambiar la ruleta
¿Es posible o imposible que salga el color azul en la ruleta?
¿Qué color tiene mayor probabilidad de salir?
¿Es posible que gane el coche de color naranja?
¿Es posible o imposible que salga en la ruleta el color rosa?
¿Es seguro que va a ganar el coche que va primero?
¿Es posible que gane el coche de color verde?
¿Es coche tiene menos posibilidad de salir?
En la descripción del juego se observan imprecisiones o confusiones, que ponen de manifiesto algunas carencias en
el conocimiento matemático especializado. Esto se traduce en una baja competencia de análisis. Por ejemplo, al
señalar que el juego no es equiprobable hacen referencia al “tanto por ciento” en lugar de emplear expresiones como
“probabilidad de cada resultado” o “probabilidad de cada suceso simple”:
En esta versión, el juego no es equiprobable ya que varía el tanto por ciento que tiene cada suceso.
Así mismo, en el trabajo, las estudiantes realizan un análisis sobre cómo influye la probabilidad en el juego,
distinguiendo los diferentes casos en función del número de jugadores. De esta manera, en la Figura 2 se representan
los diagramas de sectores que muestran las probabilidades de cada suceso en los casos de dos y tres jugadores
(moneda y dado).
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Figura 2. Diagrama de sectores con los resultados posibles para uno y dos jugadores (moneda y dado).
Las estudiantes complementan estos diagramas con el cálculo de la probabilidad para cada uno de los sucesos a
partir de la regla de Laplace. Si bien utilizan fracciones en la explicación, se encuentran más cómodas utilizando
porcentajes para la probabilidad (Tabla 1).
Tabla 1. Análisis de probabilidad para el caso de dos jugadores.
Probabilidad (%)
Explicación
Cara
50%
Hay 50%, 0.50 o ½ de probabilidad de ganar
Hay la misma probabilidad de ganar en los dos casos
Cruz
50%
Más interesante resulta el análisis para el caso de cuatro jugadores, donde el análisis con diagramas de sectores es
un reflejo de las diferentes configuraciones de la ruleta (Figura 3).
Figura 3. Juego ¡Voy a ser el más rápido!
Para cada una de las configuraciones, las estudiantes proporcionan una tabla similar a la Tabla 1, donde calculan la
probabilidad de cada suceso. Resulta interesante observar que las explicaciones son pertinentes cuando se trata de
sucesos equiprobables, como en el dado, pero no cuando no son equiprobables. Esto puede deberse a una errata o a
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una dificultad a la hora de manejar la representación fraccionaria de la probabilidad, pero no disponemos de más
datos para profundizar en ello. Así, para las piezas 1 del juego, se expresan así:
En todos los casos hay un 8.33%, 0.833 o 3/12 de que salga uno de los cuatro colores.
Los 4 colores tienen la misma posibilidad de salir ganador
En cambio, para las piezas 4 del juego, escriben lo siguiente (Tabla 2), donde las explicaciones no aportan el
argumento que conduce al cálculo de la probabilidad, además de haber una errata en la representación fraccionaria
del naranja y del lila:
Tabla 2. Análisis de probabilidad para el conjunto de piezas 4 (cuatro jugadores).
Probabilidad (%)
Explicación
Rosa
50%
Hay 50%, 0.50 o 4/8 de posibilidades de que salga ganador
Naranja
12.5%
Hay 12’5%, 0.125 o 4/8 de posibilidades de que salga ganador
Lila
12.5%
Hay 12’5%, 0.125 o 4/8 de posibilidades de que salga ganador
Verde
25%
Hay 25%, 0.25 o 2/8 de posibilidades de que salga ganador
Una vez descrito el juego y realizados los cálculos de las probabilidades, las estudiantes proceden a realizar un
análisis ontosemiótico para identificar los objetos matemáticos emergentes de los sistemas de prácticas que se ponen
en marcha. Comienzan distinguiendo tres situaciones-problema. En primer lugar, la que se articula en torno a la
pregunta “¿cuál será el coche ganador?”, que no es sino la cuestión que motiva el juego en sí. Resulta interesante
que las participantes identifiquen una segunda situación al momento en que a uno de los jugadores le aparece la
tarjeta que le permite cambiar las piezas de la ruleta (“Has tenido suerte, ¡puedes cambiar las piezas de la ruleta!”).
Aunque cabría la posibilidad de abordar esta pregunta dentro de la situación global que supone el juego, la acción
de reconfigurar la ruleta es distinta de la de elegir un coche. Los objetos matemáticos que emergen de los sistemas
de prácticas son distintos en cada caso. Así, reconfigurar la ruleta implica evaluar diferentes opciones, mientras que
la elección del coche solamente conlleva analizar un escenario. La tercera de las situaciones está relacionada con el
proyecto estadístico que se lleva a cabo como tarea de clase y que consiste en la elaboración de pictogramas que
recogen la frecuencia de cada color en cada partida. Entonces, surge la pregunta: “¿cómo interpreto el pictograma
si no he visto la partida de juego?”.
Después de identificar las situaciones-problema, el análisis de las estudiantes prosigue con el resto de los objetos
primarios. Como registros lingüísticos, distinguen el uso del verbal, simbólico y gráfico, confundiendo el gráfico
con el simbólico, puesto que asimilan el gráfico con la “grafía” de los números, en lugar de con el pictograma. Así,
señalan:
Lenguaje gráfico: En el momento de interpretar los datos del pictograma, los discentes realizarán el
conteo de coches y escribirán la grafía del número total de veces que ha salido (frecuencia absoluta).
Los conceptos-definición, son un tipo de enunciado en forma de regla que se distingue de las proposiciones porque
estas últimas son falsables. Suelen coincidir con los “conceptos” que marca el currículo y que luego aparecen en
los libros de texto como definiciones. En el desarrollo del juego, no aparece de forma explícita ningún concepto-
definición, pero implícitamente se hace referencia a varios, entre los que las estudiantes encuentran los siguientes:
experimento aleatorio, suceso elemental, espacio muestral, suceso seguro, suceso imposible, sucesos equiprobables,
probabilidad, predecir, moda, estadística descriptiva, muestra, valor, datos, frecuencia absoluta y pictograma.
Dado que en el juego no aparecen estos conceptos-definición de manera explícita, pero sí pueden enunciarse
parcialmente algunos de ellos durante la institucionalización, las participantes señalan elementos lingüísticos
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relacionados con ellos. Esta clasificación denota cierta confusión, al igual que en el trabajo sobre el juego del Tabú
o de las palabras prohibidas (Beltrán-Pellicer, Ricart y Estrada, 2019), para identificar los objetos primarios del
EOS. Ocurre que la consideración como conceptos-definición de expresiones como “datos” o “predecir”, no
responde a una necesidad operativa.
Entre las proposiciones y propiedades identificadas por las participantes (Tabla 3) se pone de manifiesto, otra vez,
esta dificultad con los conceptos, ya que la frecuencia absoluta aparece como proposición, pero se trata de un
concepto-definición. La confusión puede deberse a que las tres primeras proposiciones que enuncian son fruto de
hacer una acción física durante el juego (tirar dados, monedas o girar una ruleta). De esta manera, las estudiantes
asocian el concepto de frecuencia a la acción de avanzar el coche, otra acción física que se da en el juego. Por lo
tanto, parece que enuncian como proposición todo aquello que es resultado de hacer una acción física con las piezas
del juego. Además, el significado en la situación que describen para la frecuencia absoluta es realmente el
procedimiento necesario para calcularla. En cuanto al resto de proposiciones, se aprecia que están bien redactadas
como enunciados falsables, y solamente señalamos la necesidad de haber precisado un poco más su significado. De
esta manera, para la probabilidad de los colores de cada ruleta se podría haber expresado lo mismo en términos de
área y de sectores circulares.
Tabla 3. Proposiciones y propiedades identificadas por las participantes.
Significado en la situación
al lanzar la moneda salga cara o
Cuando un niño/a lance la moneda (cara o cruz) solo tendrá la
posibilidad de obtener uno de los dos resultados. Tanto una opción
como la otra tiene la misma probabilidad de salir (50%, 0.5 o ½).
al lanzar un dado al aire salga un
número del 1 al 6.
Al lanzar un dado es seguro que saldrá un número del 1 al 6 (ambos
incluido). Por el contrario, es imposible que salga cualquier número
inferior o superior a los mencionados.
Cabe decir que, si el dado no está sesgado, hay la misma
probabilidad de salir un número que otro (16,6%), por la cual cosa,
es un juego equiprobable.
probabilidad de salir el color que
ocupa más espacio del todo.
El color que ocupa más espacio es el que tiene mayor probabilidad
de salir porque ocupa “x” del todo, mientras que los otros colores
ocupan una porción inferior.
de veces que cada coche ha
avanzado una casilla
En el pictograma, los discentes deberán hacer el recuento de coches
que han salido, y anotar, posteriormente, su correspondiente grafía.
De este modo, en el pictograma podremos encontrar la frecuencia
absoluta de cada uno de los datos
Los procedimientos que identifican las participantes se recogen en la Tabla 4. En esta ocasión, al contrario que en
el trabajo anterior (Beltrán-Pellicer et al., 2019), están bastante bien clasificados como tales, puesto que todos ellos
son, efectivamente, procedimientos de cálculo o recuento. Sin embargo, hay imprecisiones a la hora de describirlos.
El procedimiento denotado como “suma” se relaciona con unas acciones de conteo en la situación. Por ello, habría
resultado más correcto denotar este procedimiento como “situación de recuento”. No obstante, no está claro, puesto
que sí recogen el procedimiento de recuento en la Tabla 4.
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Tabla 4. Procedimientos identificados por las participantes.
Procedimientos
Significado en la situación
Suma
Cuando los niños/as creen el pictograma, cada vez que su coche avanza
una casilla, este/a añadirá un nuevo coche en el pictograma. Después,
contarán todos los coches y añadirán el número total de coches. Por lo
tanto, se utiliza la suma en el sentido de añadir.
Técnica de recuento recitando
la secuencia numérica y
señalando la grafía de cada
símbolo (correspondencia uno
a uno)
Para interpretar el pictograma, los discentes contarán el número de veces
que ha salido un determinado color de coche, señalando a su vez cada
coche del pictograma. Es decir, si el coche de color verde ha avanzado 10
casillas, en el pictograma habrá 10 coches de color verde, y por lo tanto,
los discentes harán el recuento recitando la secuencia numérica y a su vez,
señalando cada uno de los coches.
En cuanto a los argumentos (Tabla 5) se observa un fenómeno similar al encontrado en el trabajo sobre el juego
Tabú (Beltrán-Pellicer, et al., 2019), apreciándose una dificultad a la hora de explicitarlos o encontrarlos. Así, el
argumento 1 sobre la moda está redactado como un enunciado justificativo, pero es erróneo, puesto que la moda no
tiene por qué ser el color del coche ganador. Por otro lado, escriben el argumento 2 con estructura de proposición,
cuando podrían haber escrito “el coche verde es imposible que avance porque su color no está en la ruleta”. El
argumento 3 es correcto, mientras que el argumento 4 es circular y, además, en la explicación en la situación se
aprecia una confusión en torno a la idea de equiprobabilidad, identificándola con el caso de dos sucesos elementales.
Esto es algo que aparece, como hemos visto, bien reflejado en la proposición relativa al caso del dado.
Tabla 5. Argumentos identificados por las participantes.
Argumentos
Significado en la situación
1. La moda siempre será el color del
coche ganador porque es el suceso que
más se repite.
Cuando los discentes interpreten los datos del pictograma realizado
por ellos/as mismos, podrán observar la frecuencia absoluta de cada
color. Así mismo, se darán cuenta que el coche ganador es el que
tiene el número más alto, y por lo tanto, el que más se repite.
2. Un color que no aparece en el
espacio muestral es imposible que
salga al lanzar la ruleta.
El espacio muestral es el conjunto de cada uno de los sucesos
elementales, por la cual cosa, un niño/a deberá predecir que los
colores que no aparecen en la ruleta será imposible que avancen
casillas, y a consecuencia, que ganen la carrera.
3. Al lanzar el dado es seguro que
salga un número de 1 al 6 porque el
dado tiene 6 caras con dichos
números.
Los sucesos elementales son cada uno de los resultados de un
experimento. Por la cual cosa, al lanzar un dado es seguro que va a
salir un número del 1 al 6, siendo imposible, salir un número inferior
o superior estos.
4. Hay la misma probabilidad de sacar
cara que cruz porque el juego es
binario y equiprobable
Los juegos equiprobables son aquellos que tienen la misma
probabilidad de salir un suceso que otro (50%, 0,5 o ½). Además,
los juegos binarios son aquellos que únicamente tienen dos sucesos
elementales.
Centrándonos en estas características, lanzar la moneda al aire, es
un juego equiprobable, porque tienen la misma probabilidad de salir
cara que cruz.
Cabe decir, que los jugadores no podrán predecir quién va a ser el
ganador, porque es un juego justo.
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Conclusiones
La propuesta, como experiencia formativa, se ha revelado adecuada, dado que ha permitido desarrollar la
competencia de análisis y de diseño didáctico de las participantes al poner de manifiesto una gran diversidad de
objetos matemáticos, de significados y errores conceptuales que de otra manera son difíciles de detectar en los
estudiantes. El análisis efectuado revela que este tipo de tareas requiere establecer muchas conexiones entre objetos.
Por otro lado, el diseño y el análisis del juego en cuestión se enmarcarían en un primer ciclo de una ingeniería
didáctica más amplia. Este proceso podría continuar con la implementación en un aula de Educación Infantil, lo que
exigiría una modificación del análisis a priori y proporcionaría nuevos resultados para el análisis a posteriori.
El juego elegido por las participantes es un clásico en la enseñanza de la probabilidad y la estadística, al permitir
una primera aproximación intuitiva a la idea de probabilidad como frecuencia relativa. El elaborar pictogramas,
además, permite no solo conectar probabilidad con registros estadísticos, sino relacionar lenguaje gráfico, verbal y
simbólico. Respecto a la situación de los pictogramas, las afirmaciones de las participantes denotan que no
comprenden bien la idea de inferencia estadística, manejando de forma poco adecuada los conceptos de muestra o
de suceso posible. Además, esa interpretación aislada del pictograma podría relacionarse con que no alcanzan el
nivel de síntesis global de lectura de gráficos (nivel 3) (Arteaga, Batanero, Díaz & Contreras, 2009).
Los resultados obtenidos nos invitan a continuar la línea de trabajo. Como experiencia formativa, el diseño o
adaptación de estos juegos ha movilizado el conocimiento matemático especializado de las estudiantes (Pino-Fan
& Godino, 2015), así como de la competencia de análisis ontosemiótico (Godino et al., 2017). En el análisis
realizado por las estudiantes, se han detectado dificultades similares a las encontradas en la propuesta sobre el Tabú
(Beltrán-Pellicer, et al., 2019); es decir, han tenido dificultades a la hora de aplicar la herramienta de análisis de
objetos primarios del EOS, tanto en el sentido del reconocimiento como en explicar el significado del objeto. Esto
es algo que puede ser debido a que necesiten más actividades en su formación para desarrollar la competencia
asociada.
Resaltamos que, en este caso, los procedimientos han sido mejor categorizados y descritos por las estudiantes que
en la adaptación del Tabú, donde se confundían con los procesos, posiblemente debido a que el carácter del Tabú
es completamente discursivo. Los procedimientos, en este caso, han sido bien detectados dada su naturaleza:
técnicas de cálculo que las estudiantes tienen bien interiorizadas. Esto puede deberse a que, tradicionalmente, en
los procesos de enseñanza y aprendizaje se ha dado mucho peso a los algoritmos y a trabajar de forma mecánica.
Por otro lado, no identifican los conceptos, lo que indica que falta reflexión e interiorización de estos. Los utilizan
de forma implícita y se aproximan a ellos a partir de otros objetos, pero no son capaces de llegar a formular una
definición adecuada de estos.
Agradecimientos: Esta investigación se ha desarrollado dentro del proyecto EDU2016-74848-P (FEDER, AEI) y
dentro del grupo S36_17D - Investigación en Educación Matemática (Gobierno de Aragón y Fondo Social
Europeo). Igualmente, queremos agradecer la participación a las estudiantes del máster de Formación Avanzada del
Profesorado de Educación Infantil y Primaria (UdL) del curso 2017/18.
Referencias bibliográficas
Arteaga, P., Batanero, C., Díaz, C., & Contreras, J. M. (2009). El lenguaje de los gráficos estadísticos. Revista
Iberoamericana de Educación Matemática, 18, 93-104.
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Beltrán-Pellicer, P., Ricart, M., & Estrada, A. (2019). Una experiencia sobre el diseño de juegos como recurso para
desarrollar la competencia didáctico-matemática en probabilidad con docentes de infantil y primaria. En J.
M. Contreras, M. M. Gea, M. M. López-Martín, & E. Molina-Portillo (Eds.) Actas del Tercer Congreso
Internacional Virtual de Educación Estadística (pp. 1-10). Granada: Universidad de Granada.
Breda, A., Pino-Fan, L., & Font, V. (2017). Meta didactic-mathematical knowledge of teachers: criteria for the
reflection and assessment on teaching practice. Eurasia Journal of Mathematics, Science & Technology
Education, 13(6), 1893-1918.
English, L. D., & Gainsburg, J. (2016). Problem solving in a 21st-century mathematics curriculum. En L. D. English,
& D. Kirshner (Eds.), Handbook of international research in mathematics education (pp. 313-335). New
York, NY: Routledge.
Font, V. (2018). Competencias y conocimientos del profesor de matemáticas. Un modelo basado en el enfoque
ontosemiótico. ALME, 31, 749-756.
Giacomone, B., Godino, J. D., Wilhelmi, M. R., & Blanco, T. F. (2016). Reconocimiento de prácticas, objetos y
procesos en la resolución de tareas matemáticas: una competencia del profesor de matemáticas. En J. A.
Macías, A. Jiménez, J. L. González, M. T. Sánchez, P. Hernández, C. Fernández, F. J. Ruiz, T. Fernández,
& A. Berciano (Eds.), Investigación en Educación Matemática XX (pp. 275-284). Málaga: SEIEM.
Godino, J. D. Batanero, C. y Font, V. (2007). The onto-semiotic approach to research in mathematics education.
ZDM, 39(1-2), 127-135.
Godino, J. D., Giacomone, B., Batanero, C., & Font, V. (2017). Enfoque ontosemiótico de los conocimientos y
competencias del profesor de matemáticas. Bolema, 31(57), 90-113.
Godino, J. D., Rivas, H., Arteaga, P., Lasa, A., & Wilhelmi, M. R. (2014). Ingeniería didáctica basada en el enfoque
ontológico-semiótico del conocimiento y de la instrucción matemáticos. Recherches en Didactique des
Mathematiques, 34(2/3), 167-200.
Godino, J. D. (2013). Indicadores de idoneidad didáctica de procesos de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas.
Cuadernos de Investigación y Formación en Educación Matemática, 8(11), 111-132.
Godino, J. D., Batanero, C., & Font, V. (2007). The onto-semiotic approach to research in mathematics education.
ZDM: The International Journal on Mathematics Education, 39(1-2), 127-135.
Godino, J. D., Giacomone, B., Batanero, C., & Font, V. (2017). Enfoque ontosemiótico de los conocimientos y
competencias del profesor de matemáticas. Bolema, 31(57), 90-113.
Godino, J. D., Rivas, H., Arteaga, P., Lasa, A., & Wilhelmi, M. R. (2014). Ingeniería didáctica basada en el enfoque
ontológico-semiótico del conocimiento y de la instrucción matemáticos. Recherches en Didactique des
Mathematiques, 34(2/3), 167200.
Hernández, R., Fernández, C., & Baptista, P. (2014). Metodología de la investigación. (6ª ed.). México:
McGrawHill.
Milinković J. (2015). Conceptualizing problem posing via transformation. En F. Singer, N. Ellerton, & J. Cai (Eds.):
Mathematical Problem posing. Research in mathematics education. New York, NY: Springer.
Pino-Fan, L. R., & Godino, J. D. (2015). Perspectiva ampliada del conocimiento didáctico-matemático del profesor.
Paradigma, 1, 87-109.
Singer, F. M., Ellerton, N. F., & Cai, J. (2015). Mathematical problem posing. New York, NY: Springer.
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Conference Paper
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Presentamos un estudio exploratorio a partir de una experiencia centrada en el diseño o adaptación de un juego sobre probabilidad en docentes de infantil y primaria. Esta tarea se enmarca en la invención o generación de problemas (problem posing), actividad que contribuye a elevar la idoneidad didáctica de una secuencia de enseñanza. El trabajo describe la experiencia formativa realizada, en el contexto de un máster en formación avanzada para maestros, donde se solicita a las participantes diseñar o adaptar un juego para el aprendizaje de la probabilidad. En la discusión se analiza una de las producciones, poniendo de manifiesto la complejidad de esta actividad, en términos de objetos primarios y sus relaciones, así como la dificultad que conlleva, y concluimos que es un instrumento potente para mejorar la competencia didáctico-matemática.
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En este trabajo se presenta un modelo que pretende articular diversas categorías de conocimientos y competencias de los profesores de matemáticas que son necesarias para una enseñanza idónea de las matemáticas, a partir de las nociones teóricas del Enfoque Ontosemiótico del conocimiento y la instrucción matemática (EOS) y de sus numerosas contribuciones a la investigación sobre la formación de profesores. Palabras clave: enfoque ontosemiótico, competencias y conocimientos del profesor Abstract This paper shows a model that is intended to articulate diverse categories of mathematics teachers' knowledge and competences which are necessary for the appropriate teaching of mathematics, based on the theoretical notions of the Onto-Semiotic Approach to mathematical knowledge and instruction (OSA) and its many contributions to the fields of teacher training. Key words: ontosemiotic approach, competences and knowledge of the teacher n Introducción El estudio sobre los conocimientos y competencias didácticas y matemáticas que debe tener un profesor de matemáticas es un tema que ha sido ampliamente investigado (Shulman, 987; Rowland, Huckstep and Thwaites, 2005, Hill, Ball & Schilling, 2008; Schoenfeld & Kilpatrick, 2008) y que ha generado diferentes modelos del conocimiento del profesor. Basándonos en las nociones teóricas del Enfoque Ontosemiótico de la Cognición e Instrucción Matemática (EOS) (Godino, Batanero y Font, 2007) y sus diversos aportes al campo de la formación de profesores, se presenta en este trabajo un modelo llamado modelo de competencias y conocimientos didáctico-matemáticos del profesor de matemáticas (CCDM) que trata de articular diversas categorías de conocimientos y competencias del profesor de matemáticas requeridos para una enseñanza idónea de las matemáticas.
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The objective of this study is to demonstrate that the criteria of didactical suitability, proposed by the theoretical framework known as the Onto-Semiotic Approach (OSA) of mathematical knowledge and instruction, are powerful tools for organizing the reflection and assessment of instruction processes carried out by mathematics teachers. To this aim, the results of a multiple case study are presented which prove that when teachers are faced with the task of evaluating processes of instruction, they employ-either implicitly or explicitly-the OSA criteria of didactical suitability (epistemic, cognitive, affective, mediational, interactional and ecological). Therefore, the explicit application of said criteria in teachers' education cycles contributes to the development of the didactic analysis competence that is necessary for teachers to be able to reflect on their own practices.
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Resumen El análisis de las tareas matemáticas y de los distintos modos de abordarlas es necesario para poder comprender las dificultades potenciales y efectivas asociadas al aprendizaje. En este trabajo se presenta el diseño e implementación de una acción formativa en un curso de máster para futuros profesores de secundaria. El objetivo es desarrollar la competencia de análisis ontosemiótico, esto es, identificar y discriminar los tipos de prácticas, objetos y procesos puestos en juego en la resolución de tareas matemáticas que involucran visualizaciones. El diseño se apoya en el uso de algunas herramientas teóricas y metodológicas del enfoque ontosemiótico. El análisis de los datos está orientado a la identificación de hechos didácticos significativos relativos al diseño e implementación de la acción formativa. Los resultados revelan la complejidad que implica el logro de este tipo de competencia y su importancia para el desarrollo profesional docente. Palabras clave: análisis ontosemiótico, prácticas matemáticas, diseño didáctico, formación de profesores, visualización Abstract The analysis of mathematical tasks and its different ways of solving them are necessary to understand the potential and actual students' learning difficulties. The design and implementation of a training intervention in a master course for prospective Secondary school teachers are presented in this paper. The goal is to develop competences of onto-semiotic analysis, that is identifying and discriminating the types of practices, objects, and processes put into play in the mathematical problems solving, which involve using visualizations. The design is based on the use of some theoretical and methodological tools of the onto-semiotic approach. The data analysis is focused on identifying significant didactical facts regarding the design and implementation of the training intervention. The results reveal the complexity of achieving this type of competence and its importance for teachers' professional development.
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In this paper we present a revised and expanded version of the system of categories of teachers’ didactic-mathematical knowledge based on the application of analysis tools of the Onto-Semiotic Approach (OSA) to cognition and mathematical instruction. The mathematical, didactical and meta didactic-mathematical dimensions are distinguished, and taken into account the knowledge involved in the phases of instructional design (preliminary analysis, design, implementation and assessment). This expanded model of the didactic-mathematical knowledge is compared with other models proposed in mathematics education to identify concordances and complementarities.
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Resumen La Didáctica de las Matemáticas debe aportar conocimientos descriptivos y explicativos de los procesos de enseñanza y aprendizaje de contenidos específicos que ayuden a comprender dichos procesos. Pero también debe orientar, de manera fundamentada, la acción efectiva sobre la práctica y promover su mejora progresiva, para lo cual se necesitan teorías de índole instruccional. En este trabajo mostraremos que la noción de idoneidad didáctica introducida en el marco del enfoque ontosemiótico del conocimiento y la instrucción matemática, y el sistema de indicadores empíricos que la desarrollan, puede ser el punto de partida de una teoría de la instrucción matemática orientada hacia la mejora progresiva de la enseñanza. Palabras claves: enseñanza y aprendizaje, diseño educativo, idoneidad didáctica, educación matemática. Abstract Indicators of didactical suitability for mathematics teaching and learning processes Mathematics education should provide descriptive and explanatory knowledge for teaching and learning of specific contents that help understanding these processes. But it also should guide, in a reasoned way, the effective action on practice to promote its progressive improvement. To reach this goal we need to develop instructional theories. In this work, we will show that the notion of didactical suitability and the system of empirical indicators that develop this idea, introduced in the onto-semiotic approach to mathematical knowledge and instruction, can be the starting point for a theory of mathematics instruction oriented towards the progressive improvement of teaching.
Article
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In this paper we synthesize the theoretical model about mathematical cognition and instruction that we have been developing in the past years, which provides conceptual and methodological tools to pose and deal with research problems in mathematics education. Following Steiner’s Theory of Mathematics Education Programme, this theoretical framework is based on elements taken from diverse disciplines such as anthropology, semiotics and ecology. We also assume complementary elements from different theoretical models used in mathematics education to develop a unified approach to didactic phenomena that takes into account their epistemological, cognitive, socio cultural and instructional dimensions.
Chapter
The goal of this chapter is to outline an approach for developing teachers’ proficiency in posing problems. Reasons why it is important for a mathematics teacher to be good problem poser are investigated. Links between knowing mathematics and knowing how to pose problems are also discussed. Training students in problem-solving techniques does not necessarily end in their learning mathematics. In his chapter, problem-posing activities based on the idea of transformation are described -two kinds of transformations are proposed and analyzed successively. The first is transforming problems from routine to advanced ones by changing elements in the problem space. The second is posing problems by transformation of representation. Developing problem-posing skills, from posing routine tasks to posing more complex mathematics problems, encourages student-teachers to think about problem posing as a creative professional activity. Lastly, the possibility to developing pupils’ capacity to pose problems via transformation is presented.
Problem solving in a 21st-century mathematics curriculum
  • L D English
  • J Gainsburg
English, L. D., & Gainsburg, J. (2016). Problem solving in a 21st-century mathematics curriculum. En L. D. English, & D. Kirshner (Eds.), Handbook of international research in mathematics education (pp. 313-335). New York, NY: Routledge.
Metodología de la investigación
  • R Hernández
  • C Fernández
  • P Baptista
Hernández, R., Fernández, C., & Baptista, P. (2014). Metodología de la investigación. (6ª ed.). México: McGrawHill.