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Introduciendo BlocksCAD como recurso didáctico en matemáticas
Pablo Beltrán-Pellicer1, 2, Carlos Rodríguez-Jaso3 y José M. Muñoz-Escolano1
1Universidad de Zaragoza, 2CPI Val de la Atalaya, María de Huerva, 3IES Pedro
Cerrada, Utebo.
Versión post-print para uso personal. Cítese como:
Beltrán-Pellicer, P., Rodríguez-Jaso, C., & Muñoz-Escolano, J. M. (2020).
Introduciendo BlocksCAD como recurso didáctico en matemáticas. Suma, 93, 39-48.
Resumen
BlocksCAD es un entorno web de programación visual por bloques, de aspecto similar a
Scratch, para el software libre de modelado en 3D OpenSCAD. Con esta herramienta, los
cuerpos en el espacio se describen mediante algoritmos que incluyen la utilización de
unas pocas primitivas, como prismas y esferas; transformaciones geométricas y
operaciones lógicas y conjuntistas. En este artículo se introduce el recurso y se proponen
ejemplos de tareas que se han puesto en práctica con alumnado de segundo ciclo de ESO.
Palabras clave: recurso didáctico, pensamiento computacional, geometría.
Introducing BlocksCAD as an educational resource in mathematics.
Abstract
BlocksCAD is a scratch-like programming environment to create 3D objects, which
offers a web-based interface for the open-source OpenSCAD 3D modeling software. With
this tool, bodies in space are described by algorithms that include the use of a few
primitives, such as prisms and spheres; geometric transformations and logical and set
operations. This article introduces the resource and proposes examples of tasks that have
been implemented with students in the second cycle of secondary education in Spain.
Keywords: educational resource, computational thinking, geometry.
El interés en utilizar herramientas tecnológicas para la enseñanza y aprendizaje de
las matemáticas y, específicamente, de la geometría, se puede rastrear desde la aparición
del lenguaje LOGO y su célebre tortuga hasta el día de hoy, donde nadie cuestiona las
sugerentes aplicaciones didácticas de los entornos de geometría dinámica, cuyo principal
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en matemáticas. Suma, 93, 39-48.
exponente es Geogebra. Si bien la mayoría de las publicaciones existentes hasta ahora se
refieren a programas de geometría dinámica plana, Gutiérrez y Jaime (2015) se hacen eco
de la reciente aparición de programas de geometría dinámica tridimensional y cómo estos
pueden suplir la carencia en los centros educativos de materiales manipulativos
apropiados para el aprendizaje de contenidos de geometría espacial.
Por otro lado, hay ciertas herramientas tecnológicas sin una orientación a priori
tan específica hacia las matemáticas, pero con un gran potencial educativo, que están
encontrando rápidamente un hueco en los centros educativos y que merecen nuestra
atención. Entre ellas, se encuentran muchas de las que forman parte del flujo de trabajo
de la fabricación e impresión en 3D. Estas máquinas han visto disminuir su coste de tal
manera (Jones y otros, 2011) que ya son muchos los colegios e institutos que disponen de
alguna para realizar actividades en asignaturas como Tecnología (González-Gómez y
otros, 2012) y Matemáticas (Beltrán-Pellicer, 2017; Beltrán-Pellicer y Rodríguez-Jaso,
2017, 2018).
Una impresora 3D fabrica los objetos de forma aditiva. Esto quiere decir que, tras
un proceso software de descomposición laminar, los imprime capa a capa, de abajo arriba.
Dichos objetos pueden haber sido descargados de alguno de los repositorios que existen
por Internet, como GitHub o Thingiverse en el formato habitual STL (que describe la
superficie o mallado del objeto) o haber sido creados directamente por el usuario con un
software de diseño asistido por ordenador (CAD).
Dentro de los CAD existen múltiples opciones. Por un lado, hay entornos
interactivos con mayor o menor grado de complejidad, tales como el 3D Builder de
Microsoft, Rhinoceros 3D, Inventor, TinkerCAD (aplicación web gratuita) o la opción
libre FreeCAD. En ellos se trabaja a partir de alguna perspectiva tridimensional, pudiendo
establecer acotaciones y, en algunos casos, imponer restricciones o parametrizar piezas.
Por otro lado, hay alternativas como OpenSCAD, que podría describirse como una
herramienta que lee un fichero de texto con la descripción de los objetos 3D para generar
el modelo y renderizarlo, de forma que en la pantalla se pueda ver su imagen. En otras
palabras, con OpenSCAD se programa el modelo tridimensional a partir de unas
primitivas que definen cuerpos básicos y una serie de transformaciones. Si en los entornos
interactivos la parametrización aparece como una funcionalidad que proporciona un valor
añadido, en OpenSCAD forma parte de su núcleo. Esto permite al diseñador efectuar
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cambios en cualquier paso del proceso de modelado, haciendo que los diseños sean
fácilmente configurables. Pensemos, por ejemplo, en una rueda dentada. En OpenSCAD
escribiríamos un programa que modelaría una rueda de un diámetro d, con n dientes.
Coincidimos con autores (Schelly y otros, 2015) en que OpenSCAD resulta
sencillo de utilizar, y que realmente bastan 30 minutos de instrucción para aprender el
manejo básico. También es verdad que hay algunos aspectos que requieren de una mayor
profundización, y que no es trivial, por ejemplo, diseñar objetos complejos de forma
recursiva.
El hecho de que OpenSCAD sea software libre ha posibilitado que surjan entornos
de modelado basados en él. Es el caso de BlocksCAD, que simplemente añade una
interfaz de programación visual por bloques similar a la del archiconocido Scratch.
Recientes investigaciones señalan el potencial de la programación por bloques de Scratch
como recurso didáctico en el aula de matemáticas en secundaria, tanto para la adquisición
de contenidos matemáticos como de procesos propios de Pensamiento Matemático
Avanzado (abstracción, generalización y formulación y validación de hipótesis) (Baeza-
Alba, Claros-Mellado y Sánchez-Campaña, 2016; Ferrer, 2011) o para la mejora de la
afectividad de los estudiantes hacia las matemáticas (Jorge-Pozo, Jiménez-Gestal y
Murillo, 2017).
1. DESCRIPCIÓN DEL RECURSO
A continuación, vamos a tratar de describir brevemente el entorno desde una
perspectiva didáctica, relacionando lo que se puede hacer con posibles condicionantes.
Como hemos dicho, BlocksCAD permite modelar cuerpos en 3D mediante la utilización
de bloques que tienen su correspondencia directa con instrucciones textuales en
OpenSCAD. La ventaja de emplear estos bloques visuales es que no se pueden cometer
errores de sintaxis. Es decir, no hay que estar pendiente de si falta un paréntesis, o los
parámetros se introducen separados por comas en lugar de por punto y coma. Así, es
posible que el programa final no haga lo que se pretendía, pero por lo menos funciona
siempre. Por este motivo, a pesar de que los programadores experimentados perciban
estos entornos como menos potentes y capaces, su transparencia y facilidad de uso
permite que el alumnado los emplee directamente (Weintrop y Wilensky, 2015).
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Los diferentes bloques se agrupan en las siguientes categorías: primitivas (3D y
2D), operaciones con conjuntos, transformaciones geométricas, operaciones
matemáticas, lógicas, algorítmicas y herramientas de texto. Nos referiremos a ellos con
sus nombres originales en inglés, aunque desde la versión 1.8.3 ya hay una versión
traducida al español. Esto nos permitirá distinguir claramente en el presente artículo entre
las primitivas, modelos y procedimientos de BlocksCAD y los correspondientes cuerpos
en el espacio.
Primitivas (3D shapes, 2D shapes)
En primer lugar, hay una serie de bloques 3D básicos, que denominaremos
primitivas, con los que se pueden modelar cuerpos simples. Son cube, cylinder, sphere y
torus. El término cubo designa en geometría un caso concreto de prisma; es decir, un
prisma cuadrado y de altura igual al lado de la base. Sin embargo, en BlocksCAD con la
primitiva cube se modela un prisma rectangular de dimensiones arbitrarias (Figura 1).
Observaremos que, además de especificar las dimensiones en milímetros, se puede elegir
entre modelarlo centrado (con centro en el origen de coordenadas) o no centrado (con un
vértice en el origen, de manera que el modelo se extiende en la dirección positiva de cada
eje).
Figura 1. cube(10,10,10) para modelar un cubo de 10 mm de arista.
Podríamos sentirnos tentados de emplear primitivas con nombres acordes a los
cuerpos geométricos que representan. Aunque siempre es posible cambiar el nombre de
cada primitiva por otros más acordes con la definición de referencia (como prisma), esto
es algo que repercutiría sobre la reusabilidad de modelos y funciones realizados por otros
usuarios, lo cual es uno de los alicientes del entorno. Además, el hecho de que el
significado de cube sea diferente al de la palabra cubo que se emplea en geometría, es una
ocasión para profundizar en el aula en las propiedades que definen a cubos y prismas. Por
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otro lado, BlocksCAD no es el único contexto en el cual la palabra cubo presenta otro
significado, ya que en un huerto ese término se utiliza para designar a un recipiente, cuya
forma además no suele ser cúbica. Las experiencias que hemos realizado con alumnos
muestran que esta posible preocupación por la terminología apenas sale a la luz más allá
de la primera vez que se utilizan estas primitivas, resultando en una mera convención
pragmática.
En la primitiva cylinder observamos que tiene más parámetros de los necesarios
para especificar un cilindro. Además del radio y la altura, aparece un segundo radio, un
candado y la posibilidad de centrar o no el modelo. Si el candado está cerrado, ambos
radios serán iguales, mientras que si el candado está abierto podremos especificar el radio
de la base inferior (radius1) y el radio de la base superior (radius2) por separado. Con
esto se consigue modelar un tronco de cono y, si uno de los radios es nulo, un cono. Tanto
en la opción centrado como no centrado, el centro de los círculos que forman las bases
pertenece al eje Z. Si lo centramos, la altura se reparte a partes iguales entre el semieje Z
positivo y el semieje Z negativo, mientras que en el caso no centrado la altura se extiende
solo a lo largo del semieje positivo.
Las otras primitivas 3D son sphere y torus, que permiten modelar una esfera y un
toro, respectivamente.
Figura 2. sphere(10) para modelar una esfera de radio 10 mm y . torus(4,1,8,16) para
modelar un toro de 8 lados y 16 caras.
Finalmente, en BlocksCAD nos encontramos con circle y square. La mayoría de las
transformaciones y operaciones que describiremos a continuación pueden usarse también
sobre ellas. Estas primitivas en 2D resultan de utilidad, por ejemplo, para modelar cuerpos
3D a partir de la extrusión de la forma 2D a lo largo de un eje o camino determinado.
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Extrusión es un término del ámbito de la tecnología que hace referencia a la acción y al
proceso de extruir; esto es, crear objetos que tengan una sección transversal definida y
constante. Un ejemplo cotidiano es la máquina de hacer churros, donde se introduce la
masa y, posteriormente, se le obliga a pasar por un orificio con una forma establecida,
creando un cuerpo con esa sección constante. En los programas de modelado 3D, cuando
se extruye una forma 2D a lo largo de un eje, se obtiene un cuerpo (el modelo de un
cuerpo) con esa misma sección.
Operaciones con conjuntos (set ops)
Dentro de la categoría de operaciones con conjuntos nos encontramos la unión
(union), intersección (intersection), diferencia (difference) y el operador hull que
comentaremos al final. Todas ellas actúan como operadores sobre objetos creados ya con
anterioridad, considerando que las primitivas crean cuerpos macizos. En el caso de las
tres primeras se obtiene un nuevo conjunto de puntos en el espacio, que conforma un
nuevo objeto resultante de aplicar el operador sobre una serie de objetos preexistentes,
respectivamente:
• Union: todos los puntos que están en alguno de los objetos.
• Intersection: los puntos que están en todos los objetos.
• Difference: crea un nuevo objeto compuesto por todos los puntos que están
en el primer objeto y no están en los demás.
De esta forma, las operaciones con conjuntos y las primitivas 3D permiten
modelar diferentes cuerpos: prismas rectangulares, cilindros, conos, esferas, esferas con
agujeros con forma de prisma rectangular, etc. Sin embargo, llegados a este punto el lector
posiblemente se pregunte cómo modelar otros cuerpos tan elementales como prismas
rectos que no sean rectangulares, o cómo hacer pirámides. Una primera respuesta la
encontramos en la operación hull, y otras, en el bloque de transformaciones.
El operador hull (que en la versión traducida se denomina envoltura convexa)
genera el cuerpo convexo mínimo que incluye a los objetos que lo componen. En la Figura
3 se muestra un ejemplo en el que se modela un cubo a partir de sus 8 vértices, los cuales
se modelan como pequeñas esferas. Y aquí es conveniente detenerse para remarcar que
estamos ante un software de modelado. Como ya se ha mencionado, por un lado, resulta
evidente que las esferas que modelan puntos no aparecen como esferas ideales a nuestros
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ojos, sino que es posible apreciar el mallado poligonal. Por otro lado, el propósito
principal de este software es el de generar modelos para, posteriormente, ser impresos en
3D. Es decir, que una vez se tiene el mallado que representa el modelo, el proceso de
fabricación del objeto tiene que pasar por otro software, que en la jerga se conoce como
de fileteado (slicing), el cual convierte el modelo en instrucciones que pueden ser
entendidas por una máquina de impresión 3D (movimientos de motores, posiciones,
extrusiones de plástico, temperaturas, etc.). Algunos ejemplos de este software son Slicer
o Cura, y como parámetros de fabricación incluyen otros aspectos, como el porcentaje de
relleno (para ahorrar plástico, el interior de estos objetos no es completamente sólido,
sino que es una retícula parametrizada según los requerimientos mecánicos de la pieza).
La fabricación finaliza con la impresión 3D del modelo, que pasa a convertirse en un
cuerpo físico.
Por todo esto, realmente, para los propósitos de trabajo con impresoras 3D, no
importa si modelamos los puntos como esferas o como cubos. Basta con que estos objetos
sean lo suficientemente pequeños como para que la curvatura al realizar el hull sea
indistinguible del borde físico que se imprimiría. Estrictamente, conviene observar que
en ninguno de los dos casos estaríamos ante un cubo. No obstante, esto se podría
conseguir si se modelan los puntos con cubos, calculando las coordenadas de cada uno de
ellos para que la envoltura resultante fuera cúbica.
Figura 3. Envoltura convexa o hull de los vértices de un cubo, modelados como spheres
de radio 0,5 mm (izquierda y centro) y radio 0,01 mm (derecha).
De todas maneras, para un cuerpo tan elemental como el cubo ya hay una primitiva
que lo modela perfectamente. Sin embargo, la actividad que consistiría en modelar un
cubo de esta forma (u otros cuerpos en el espacio) exige calcular de forma previa las
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coordenadas de los vértices, lo que conlleva otra forma de abordar el modelado de la
pieza, distinta al uso de otras primitivas y operadores. De esta forma, el conocimiento
matemático puesto en juego es diferente.
Módulos
En el modelado del cubo que se mostraba en la Figura 3 se ha hecho uso de un
módulo (que hemos denominado point at) que generaba una esfera de un radio
parametrizable en unas coordenadas determinadas. Los módulos evitan tener que repetir
una serie de bloques que se va a utilizar una y otra vez, encapsulándolos en un bloque
específico que puede tener parámetros de entrada y devolver resultados en forma de
variables o generar un modelo.
Desde la perspectiva del profesor que quiere trabajar un contenido concreto, los
módulos permiten proporcionar bloques de código ya hechos para ser utilizados por el
alumnado. Por ejemplo, se puede preparar un módulo para hacer una pirámide regular,
cuyos parámetros de entrada sean el número de lados de la base, la longitud del lado y la
altura.
Transformaciones
Aquí encontraremos bloques para hacer traslaciones, rotaciones, simetrías,
escalados, escalados a lo largo de un eje y cambios de color. A estas transformaciones
hemos de añadir extrusiones lineales o rotacionales y la elección del número de lados.
Nos centraremos en estas dos últimas, ya que las primeras son autodescriptivas. Una
extrusión, en este contexto, permite modelar objetos con sección transversal definida y
fija a lo largo de una línea (extrusión lineal) o en torno a un eje (extrusión rotacional). Se
usará, por ejemplo, si se pretende modelar una pieza a partir de su planta. De esta manera,
se dibuja en 2D la planta y luego se extruye.
Por otro lado, el bloque sides es esencial para poder aumentar el rango de cuerpos
que se pueden modelar con las primitivas. Si aplicamos el bloque sides a un cilindro, este
cilindro ideal pasará a ser modelado por un prisma poligonal inscrito con el número de
lados que especifique sides. La Figura 4 muestra, a modo de ejemplo, cómo obtener un
prisma hexagonal.
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Figura 4. Modelado de un prisma recto hexagonal aplicando la transformación sides(6)
sobre un cylinder.
Matemáticas, lógica, variables y bucles
Cuando resulta necesario realizar cálculos para establecer medidas, parámetros de
traslaciones, etc., recurriremos a los bloques que proporciona la categoría math, donde se
incluyen operaciones aritméticas, funciones trigonométricas y generadores de números
aleatorios. Los resultados de estas operaciones pueden introducirse directamente en los
parámetros de las primitivas 3D o de las transformaciones o, por otro lado, asignarse a
variables que luego pueden ser utilizadas para diferentes propósitos. La categoría loops
permite introducir bucles en los algoritmos, que pueden ser recursivos, mientras que la
categoría logic completa la paleta de instrucciones que se pueden añadir a los algoritmos.
2. OBJETIVOS DE APRENDIZAJE Y RELACIÓN CON EL CURRÍCULO
Esta forma de modelar cuerpos en el espacio conecta el pensamiento
computacional (Wing, 2006) con la visualización y el conocimiento de propiedades de
cuerpos y transformaciones en el espacio, así como con las operaciones conjuntistas.
Dependiendo de lo que se quiera modelar y cómo, BlocksCAD también enlaza con la
geometría analítica, ya que también permite definir trayectorias a partir de ecuaciones
paramétricas. Estamos entonces ante un recurso con grandes posibilidades para la
enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas, con un enfoque muy competencial.
Las tareas que se pueden proponer con BlocksCAD persiguen objetivos de
aprendizaje que se pueden rastrear en los contenidos especificados en el currículo
(MECD, 2015). Sin ir más lejos, en el bloque de procesos, métodos y actitudes en
matemáticas, en todos los cursos de la ESO se alude a la utilización de medios
tecnológicos para facilitar la comprensión de propiedades geométricas o funcionales y la
realización de cálculos de tipo numérico, algebraico o estadístico.
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No se trata aquí de emplear un medio tecnológico porque sí, sino que su uso viene
motivado porque el usuario ha de poner en juego su conocimiento sobre geometría,
especialmente lo relativo a transformaciones en el espacio. Como valor añadido, cada
diseño puede verse como una simulación, puesto que una vez descrito el modelo del
cuerpo mediante los bloques de primitivas y transformaciones, el usuario debe pulsar el
botón de renderizado para visualizar el objeto resultante. El término pensamiento
computacional no aparece explícitamente en el currículo, pero nos alineamos con Baeza-
Alba y otros (2016), cuando lo relacionan con la resolución de problemas y el
planteamiento de investigaciones matemáticas, especialmente aquellas que involucran
procesos de matematización y modelización.
Aunque se pueden proponer ejemplos de tareas que sirven para abordar contenidos
de otros bloques, es en la geometría donde la relación resulta más evidente. Finalmente,
es un recurso que posibilita el desarrollo de elementos transversales y la
interdisciplinariedad. No debemos olvidar que el propósito principal de este software es
la elaboración de modelos para ser impresos en 3D. La puerta a planificar proyectos
conjuntos con los departamentos de Tecnología queda más que abierta. De hecho, es algo
que puede facilitar el primer paso: la familiarización con el artefacto.
3. UNA PROPUESTA SOBRE EL MODELADO DE CUERPOS
Dado el siguiente cuerpo (Figura 6), elabora un modelo para el mismo.
Figura 5. Cuerpo de referencia para la actividad.
El cuerpo en cuestión se puede proporcionar físicamente, impreso, o como un
archivo STL, el cual se puede manipular virtualmente (girar, ampliar, etc.) con cualquier
software de diseño 3D. Observemos que el cuerpo elegido se puede modelar de distintas
formas, en función de la capacidad de análisis y de pensamiento computacional del
diseñador. Por ejemplo, si pensamos en el cuerpo anterior como un cubo con pirámides
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de base cuadrada en el centro de cada una de las caras, que podría ser una descomposición
fácil de visualizar, nos veremos en la tesitura de utilizar traslaciones y rotaciones, o
simetrías, para colocar cada una en el lugar que le corresponde. Si, por el contrario, nos
percatamos de que puede modelarse como la unión de un cubo y un octaedro, ambos
centrados en el origen, el algoritmo se reduce considerablemente. El código de la Figura
8 muestra la unión de un cubo de arista a, fijada inicialmente a 15 mm, y un octaedro. El
octaedro, a su vez, se modela como la unión de dos cylinders de radio superior 0, a los
que se le aplica la operación sides con parámetro 4 lados, y uno de ellos se rota en torno
al eje Y.
Figura 6. Código que modela el cuerpo de la Figura 5 mediante la unión de un cubo y
un octaedro.
Nótese también que otra persona que haya visualizado de la misma forma este
cuerpo, también podría modelarlo con un algoritmo algo distinto. Así, en lugar de utilizar
una rotación para una de las pirámides que forman el octaedro, podría haber fijado a 0 el
radio de la base inferior.
El Taller de Talento Matemático de la Universidad de Zaragoza (de la Cueva,
2016) ofrece un contexto interesante para plantear este tipo de tareas. En la reciente sesión
de noviembre de 2018, los autores hemos propuesto como tarea el modelado de este
cuerpo (https://mat3d.github.io/), y la diversidad de soluciones ha sido mayor de la
esperada. Fueron 54 los estudiantes que participaron en la sesión, repartidos en 40
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ordenadores. De forma voluntaria, 18 de ellos entregaron sus producciones, que revelan
las estrategias de modelado que se muestran en la Tabla 1.
Tabla 1. Estrategias de modelado observados para el cuerpo de referencia de la actividad.
Estrategia de modelado
Número de
producciones
Unión de dos cilindros de cuadro lados, rotando uno de ellos
para formar un octaedro, y un cubo
11
Unión de esfera de 4 lados y cubo
4
Unión de un cubo y 6 conos (modelados como cilindros sin
centrar de lado 4), a partir de rotaciones de estos últimos.
2
Unión de esfera de 3 lados y cubo de 7 lados.
1
En concreto, resulta interesante observar que 4 de las 18 producciones se basaron en la
estrategia de la Figura 7, modelando un octaedro como una sphere sobre la que se aplica
la transformación sides; es decir, como una "esfera de cuatro lados".
Figura 7. Modelado del cuerpo de referencia de la actividad (Figura 5) como la
unión de un cube y una sphere de 4 lados.
5. DISCUSIÓN Y CONCLUSIONES
El interés de BlocksCAD como recurso didáctico radica en que, al modelar un
cuerpo, no solo se ha de pensar en una descomposición de este en otros más simples, sino
en modelarlo mediante las primitivas y operaciones de BlocksCAD. Esto se relaciona con
el pensamiento computacional, pues exige pensar en el algoritmo necesario para llevar a
cabo esa composición. De esta forma, ante la posible complicación del algoritmo para
modelar un cuerpo a partir de una visualización determinada, el propio entorno fomenta
buscar otra visualización que facilite la programación.
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Otro aspecto a destacar es que los modelos diseñados con BlocksCAD se pueden
imprimir, con lo que obtenemos el objeto físico, sobre el que se pueden elaborar otras
propuestas didácticas interdisciplinares en el marco de proyectos STEM. Actualmente,
Geogebra 3D incorpora también esta funcionalidad, sin duda, atraído por las posibilidades
que ofrece el disponer del objeto impreso. Una actividad directa consistiría simplemente
en medir y comprobar que el modelo se corresponde con la idea original.
Un aspecto llamativo de BlocksCAD es la nomenclatura de las primitivas. Por
ejemplo, con la primitiva cube resulta que se pueden hacer prismas rectangulares y con
la primitiva cylinder prismas, conos y pirámides. ¿Estamos entonces ante un posible
conflicto de interpretación? Creemos que sí, pero en el sentido de que el conflicto
posibilita una oportunidad de aprendizaje hacia la profundización de propiedades que
tienen en común los cuerpos que pueden modelarse con cada primitiva. En el fondo, se
trata de la clásica distinción entre clasificaciones inclusivas y exclusivas de figuras y
cuerpos geométricos: ¿un cuadrado es un rectángulo? Esta cuestión permite abordar la
importancia de las definiciones en geometría, a la vez que incide en diferenciar entre el
objeto matemático y sus representaciones. Godino y otros (2012, p. 128) remarcan esta
necesidad:
Es necesario tener en cuenta la naturaleza no ostensiva, inmaterial, de los objetos
matemáticos y las relaciones dialécticas complejas que se establecen entre estos objetos
y sus representaciones materiales. Al mismo tiempo se tiene que saber que no hay objeto
matemático sin sus diversas representaciones, porque tal objeto no es otra cosa que las
reglas de uso de dichas representaciones.
Por otro lado, la composición de modelos mediante operaciones conjuntistas
permite introducir un significado para la unión, la intersección y el complementario,
contenidos que aparecen, casi de improviso, en el currículo español de matemáticas para
la descripción de sucesos aleatorios y el estudio de la probabilidad. La sintaxis propia de
estas operaciones ocasiona no pocas dificultades a los estudiantes de secundaria, por lo
que creemos que un trabajo previo como el que proporciona BlocksCAD podría allanar
el camino en ese sentido.
La distinción entre artefacto e instrumento (Rabardel, 2001) ayuda a comprender
el papel de este tipo de recursos en la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas.
BlocksCAD, como tal, es un mero artefacto, que solamente se convierte en instrumento
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en conjunción con ciertas habilidades cognitivas. Esto conforma un marco teórico del que
se valen diversas investigaciones que analizan el uso de software en matemáticas, como
Geogebra (Iranzo y Fortuny, 2009) y que permite plantear futuras líneas de trabajo. Lo
realmente interesante es analiza cómo afecta el uso del artefacto al razonamiento de los
estudiantes y en qué se diferencian estas tareas de otras que no hagan uso del mismo.
Agradecimientos
Esta investigación se ha desarrollado dentro del proyecto EDU2016-74848-P (FEDER,
AEI) y dentro del grupo S36_17D - Investigación en Educación Matemática (Gobierno
de Aragón y Fondo Social Europeo).
Referencias
BAEZA-ALBA, M. A., F. J. CLAROS-MELLADO y M. T. SÁNCHEZ-CAMPAÑA
(2016), «Una propuesta didáctica en 3º ESO para trabajar el pensamiento matemático
avanzado haciendo uso de Scratch», Épsilon, n.º 33(2), 31–46.
BELTRÁN-PELLICER, P. (2017), «Modelado e impresión 3D como recurso didáctico
en el aprendizaje de la probabilidad», Épsilon, n.º 34(95), 99-106.
BELTRÁN-PELLICER, P. y C. RODRÍGUEZ-JASO (2017), «Modelado e impresión en
3D en la enseñanza de las matemáticas: un estudio exploratorio», ReiDoCrea, n.º 6, 16-
28.
BELTRÁN-PELLICER, P. y C. RODRÍGUEZ-JASO (2018), «Construcciones en
BlocksCAD para analizar el conocimiento en geometría». 1er Workshop sobre Entornos
Tecnológicos en Educación Matemática, Valencia, España.
DE LA CUEVA, F. (2016). «El Taller de Talento Matemático», Entorno Abierto, nº 12,
5-7.
FERRER, T. (2011), «Usando Scratch en secundaria. Competencia matemática y
aprender a aprender», Aula de Innovación Educativa, n.º 206, 20–23.
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