ArticlePDF Available

Abstract

Pisagor'un en önemli buluşlarından bir tanesi de Adalet Kupası'dır. Bu kupa, görünüşte tıpkı diğer kupalara benzemektedir. Onu diğer kupalardan ayıran özellik ise kupanın ortasında yer alan bir kolon ve bu kolonda bulunan bir kanaldır. Su, bu kolonun seviyesinin altına kadar doldurulduğunda diğer normal kupalarda olduğu gibi durmaktadır (Şekil 1). Fakat su bu kolonun seviyesini geçerse ortadaki kolon ve içindeki kanal da su ile dolar ve ardından sifon (siphon) etkisi devreye girer. Böylece kupanın içinde bulunan suyun tamamı dökülmüş olur (Şekil 2). Pisagor'un Adalet Kupası bu özelliği ile sanki teknik araştırmalar sonunda üretilen gizemli bir eşya gibi görünmektedir. Sahip olduğu giz ise Pisagorcu okulun inanç felsefesini destekler niteliktedir.
Fizik Dünyası, 2017
“Pisagor’un Adalet Kupası”, O. Yılmaz ve Ç. Misli C1.S3.M6 1
Pisagor’un Adalet Kupası
O. Yilmaz ve Ç. Misli, Çanakkale Onsekiz Mart Üniversitesi, Fizik Bölümü
Pisagor’un en önemli buluşlarından bir tanesi de Adalet Kupası’dır. Bu kupa, görünüşte tıpkı diğer kupalara
benzemektedir. Onu diğer kupalardan ayıran özellik ise kupanın ortasında yer alan bir kolon ve bu kolonda bulunan bir kanaldır.
Su, bu kolonun seviyesinin altına kadar doldurulduğunda diğer normal kupalarda olduğu gibi durmaktadır (Şekil 1). Fakat su
bu kolonun seviyesini geçerse ortadaki kolon ve içindeki kanal da su ile dolar ve ardından sifon (siphon) etkisi devreye girer.
Böylece kupanın içinde bulunan suyun tamamı dökülmüş olur (Şekil 2). Pisagor’un Adalet Kupası bu özelliği ile sanki teknik
araştırmalar sonunda üretilen gizemli bir eşya gibi görünmektedir. Sahip olduğu giz ise Pisagorcu okulun inanç felsefesini
destekler niteliktedir.
1. Giriş
Eski Yunan filozoflarından Pisagor (M.Ö. 570-495), Güney İtalya’nın Croton şehrinde
dini ve mistik özelliklere sahip bilimsel bir topluluk kurmuştur. Bu topluluk tarafından üretilen
bilgilerin gizli tutulması esastı ve söz konusu bilgiler dışarıdan kimseyle paylaşılmıyordu. “Bir
üçgenin iç açılarının toplamı iki dik açıya eşittir” ve “Bir dik üçgende en uzun kenarın karesi,
diğer dik kenarların uzunluklarının karelerinin toplamına eşittir” teoremleri ile tanınan büyük
düşünür Pisagor, aynı zamanda bir telin titreşim kipleri üzerinde çalışarak müziğin fiziğinde
kendi adı ile bilinen Pisagor Skalası’nı (Pythagorean Scale) keşfetmiştir [1]. Ayrıca Yer’in
yuvarlak olduğunu ilk defa iddia edenlerden biridir. Matematik, müzik, geometri ve
astronominin gelişmesinde çok önemli katkıları olan Pisagor ve öğrencileri, evrende geometrik
ve harmonik bir uyum olduğuna, doğal sayıların evreni yönettiğine ve sayıların geometrik bir
anlamı olduğuna inanıyorlardı. gibi irrasyonel sayılar, sayısal inanç sistemine uymayınca
bunu aralarında sır olarak sakladılar.
Pisagor’un en önemli buluşlarından bir tanesi de Adalet Kupası’dır. Bu kupa, görünüşte
tıpkı diğer kupalara benzemektedir. Onu diğer kupalardan ayıran özellik ise kupanın ortasında
yer alan bir kolon ve bu kolonda bulunan bir kanaldır. Su, bu kolonun yükseklik seviyesinin
altına kadar doldurulduğunda, diğer normal kupalarda olduğu gibi durmaktadır (Şekil 1). Fakat
su bu kolonun yükseklik seviyesini geçerse ortadaki kolon ve içindeki kanal da su ile dolar ve
ardından sifon (siphon) etkisi devreye girer. Böylece kupanın içinde bulunan suyun tamamı
dökülmüş olur (Şekil 2). Pisagor’un Adalet Kupası bu özelliği ile sanki teknik araştırmalar
sonunda üretilen gizemli bir eşya gibi görünmektedir. Sahip olduğu giz ise, Pisagorcu okulun
inanç felsefesini destekler niteliktedir.
Yunanca bir kelime olan siphon hem fiil hem isim olarak kullanılır ve genel olarak
“çekmek” ve “sıvı akış borusu” anlamına gelir. İngilizcede de sip kelimesinden türeyen siphon
“çekmek, yudumlamak” anlamında kullanılmaktadır. Ayrıca bir varilden şarap çekmek için
Fizik Dünyası, 2017
“Pisagor’un Adalet Kupası”, O. Yılmaz ve Ç. Misli C1.S3.M6 2
kullanılan, tüp ya da boru anlamı da bulunmaktadır. İnsanların sifonu ilk ne zaman kullandıkları
hakkında kesin bilgiler bulunmamakla birlikte, M.Ö. 1450 yılına ait bir Mısır mezarında sifonu
gösteren şekiller vardır . Hava ve atmosfer çok eskiden beri insanların ilgisini çekmiş,
hava, boşluk, su ve denge ilkesine dayanılarak olağanüstü mekanik araçlar yapılmıştır.
Özellikle büyük düşünür Arşimet ve İskenderiye Mekanik Okulundan Ctesibios, Philon ve
Heron’un bu konuya önemli katkıları olmuştur , . Daha sonra Leonardo da Vinci, Galileo
ve öğrencisi Toricelli, Blaise Pascal, Newton, Daniel Bernoulli ve Euler gibi isimlerin de
hidrodinamik konusunda önemli çalışmaları vardır .
Şekil 1. Kupanın içinde bulunan durgun su
Şekil 2. Kupanın ortasındaki kanala suyun dolması ve altındaki delikten çıkışı

Fizik Dünyası, 2017
“Pisagor’un Adalet Kupası”, O. Yılmaz ve Ç. Misli C1.S3.M6 3
2. Çalışma İlkesi ve Bernoulli Denklemi
Pisagor’un Adalet Kupası’nın çalışma ilkesi sifon mekanizmasına dayanır ve akışkanlar
teorisi ile bu çalışma ilkesi kolaylıkla açıklanabilir. Kütlenin korunumu yasası
(1)
ile verilir. Burada akışkanın kütlesi,  akım yoğunluk vektörü, akışkanın hızı ve
akışkanın yoğunluğudur. Sistemde akışkanın toplam kütlesi zamanla değişmediği için (1)’deki
ilk terim sıfırdır ve buradan süreklilik denklemi
(2)
elde edilir. Burada akışkanın geçtiği yüzey yarıçapları ve ve bu yüzeydeki hızları da ve
’dir. Akışkanlar için birim hacimdeki enerjinin korunumu yasası da
(3)
Bernoulli denklemi ile verilir , . yarıçaplı kupanın içindeki su yüzeyinde ve kupanın
altında bulunan yarıçaplı delik için, Bernoulli denklemi uygulandığında ve bu seviyelerde
açık hava basıncının (  Pa) olduğuna dikkat edilerek suyun kupanın altındaki
delikten çıkış hızı
(4)
bulunur (Şekil 2). Burada kupanın altındaki delik seviyesi sıfır referans noktası seçilmiştir ve
 kupanın içindeki su seviyesinin yüksekliğini göstermektedir. (4) ile verilen ifade
yerçekimi etkisi ile belli bir yükseklikten yere düşen parçacığın hızı ile aynıdır çünkü her ikisi
de enerjinin korunumundan türetilmiştir. Böylece (2) ve (4)’den suyun delikten çıkış hızı
(5)
ve kupadaki su seviyesinin azalma hızı
Fizik Dünyası, 2017
“Pisagor’un Adalet Kupası”, O. Yılmaz ve Ç. Misli C1.S3.M6 4
(6)
hesaplanabilir. (6)’daki yarıçaplar arasındaki oran yeni bir sabit olmak üzere


(7)
ve dolayısı ile
(8)
tanımlanırsa (6) ile verilen ifade kısaca
(9)
gibi ve (5) ile verilen ifade de
(10)
gibi yazılabilir. (9)’daki eksi işareti önemlidir ve su seviyesinin zamanla azaldığını
göstermektedir. Ayrıca (9) diferansiyel denkleminden, yani
(11)
denkleminin, ’da  sınır koşulunda, her iki tarafın integrali alındığında
(12)
bulunur veya bu ifade
(13)
Fizik Dünyası, 2017
“Pisagor’un Adalet Kupası”, O. Yılmaz ve Ç. Misli C1.S3.M6 5
gibi de yazılabilir. Böylece (12) veya (13)’den seviyesine karşı gelen suyun boşalma
süresi
(14)
elde edilmiş olur.
Bir anında kupanın içindeki suyun kütle miktarı
(15)
ile ve zamanla değişimi de
(16)
ile verilir. Burada (9)’daki hızın değeri (16)’da yerine yazılırsa
(17)
bulunur. Daha sonra (12)’deki ifade (17)’de yerine yazılarak, kupadan boşalan suyun
kütlesindeki zamanla değişim

 
(18)
ve buradan her iki tarafın zaman üzerinden integrali alındığında
(19)
boşalan suyun kütlesi zamanın bir fonksiyonu olarak bulunur (Şekil 3). (14)’teki ’nin değeri
(19)’da yerine yazıldığında
(20)
bulunur ve beklendiği gibi kupanın içinde bulunan suyun tamamı boşalmış olur.
Fizik Dünyası, 2017
“Pisagor’un Adalet Kupası”, O. Yılmaz ve Ç. Misli C1.S3.M6 6
Şekil 3. Kupadan boşalan suyun zamanla değişimi
Bu problemde iyi bir yaklaşımla  ve dolayısı ile alınabilir. Bu nedenle
(9)’daki hız da ’dir. Kupanın iç tabanındaki delik seviyesi, sıfır referans noktası seçilir
ve noktası ile su yüzeyine yine (3) numaralı Bernoulli denklemi uygulanırsa
(21)
elde edilir. Burada
(22)
statik basınç olarak tanımlanır. Böylece (21)’den bu basınç farkı ile su moleküllerinin nasıl
kinetik enerjiye sahip olduğunu ve noktasındaki delikten içeri itilip yukarıya çıktığını görmüş
oluruz. Ayrıca (21) ve (22)’den su zamanla azaldıkça basınç farkının ve kinetik enerjinin de
azaldığını açıkça görmekteyiz. Su tamamen boşaldığında basınç farkı sıfır olur.
3. Sonuç
Pisagor’un Adalet Kupası’nın çalışma ilkesi sifon mekanizmasına dayanır. Bu şekilde
sifon mekanizmasını yerine getiren ne kadar büyüklükte bir Pisagor Kupası yapılabilir?
Kupanın ortasındaki kolonun en tepesi ile en alt ucundaki ’deki deliğe (3)’deki Bernoulli
denklemi uygulandığında





Fizik Dünyası, 2017
“Pisagor’un Adalet Kupası”, O. Yılmaz ve Ç. Misli C1.S3.M6 7
(23)
elde edilir (Şekil 2). Burada, ortadaki kolonun yüksekliği ve de kolonun tepesindeki delik
üzerindeki basınçtır. Bu basıncın en küçük değeri seçilerek
(24)
bulunur. Bu formülde   Pa,   ve  değerleri yerine
yazıldığında   m bulunur. Bu nedenle yapılacak olan kupanın ortasındaki kolonun
yüksekliği en fazla 10 metre olabilir.
Ayrıca,  zaman aralığında dışarıda biriken suyun kütle miktarı  dir.
Buradan benzer işlemler tekrarlandığında
(25)
hesaplanabilir ve kütle korunacağı için  her zaman sağlanır (Şekil 3).
Eğer kupaya kritik seviyenin altında kalacak şekilde sudan daha yoğun başka bir sıvı
koysaydık (örneğin, gliserin veya civa gibi) ve daha sonra yoğun olan bu sıvının üzerine su
ekleyip kritik seviyenin üzerine çıkmış olsaydık ne olurdu? Suyun ağırlığı kendisinden daha
yoğun olan sıvıyı ortadaki kolonun içine itecek kuvvete sahip olmadığı için, sifon mekanizması
çalışmamış olurdu ve bu nedenle su ortadaki delikten dökülmezdi (ancak sudan daha yoğun
sıvıların sağlığımıza zarar verme ihtimaline karşın bu önerilmez).
Seramik sanatçıları, çalışma stillerine göre Pisagor’un Adalet Kupası’nın formunu,
çömlekçi çarkında (torna) elle şekillendirip, iki ya da üç ayrı formu birleştirerek ve kupanın
içindeki kanal ve deliklere ciddi bir özen göstererek oluştururlar. Hatta bu kıymetli çalışmanın
bir simitle (torus) aynı topolojik yapıda olduğunu da bizzat hissedebilirler. Pisagor’un Adalet
Kupası, seramik sanatı ile fiziğin birleştiği ortak bir sanat eseridir. Bu kupalar Pisagor’un
memleketi Samos Adası’nda turizmde hediyelik eşya ya da kullanım amaçlı olarak vitrinlerde
ve raflarda sergilenmektedir.
Fizik Dünyası, 2017
“Pisagor’un Adalet Kupası”, O. Yılmaz ve Ç. Misli C1.S3.M6 8
Teşekkür
Makalenin daha iyi hale gelebilmesi için değerli tartışma ve önerilerde bulunan UNSW
Australia, Faculty of Science, Department of Theoretical Physics araştırmacılarından Sayın
Celal HARABATİ’ ye en içten teşekkürlerimizi sunarız.
Klein şişesi ve Pisagor’un Adalet Kupası’nı yaparak çalışmamıza destek olan ve bizleri
sevindiren, Lapseki/Çanakkale’nin nadide seramik sanatçılarından Sayın Hülya Öztürk
Hanım’a özellikle teşekkürlerimizi sunuyoruz.
Kaynaklar
[1] Parker B., Good Vibrations: The Physics of Music, The Johns Hopkins University Press,
2009 (Türkçe Çeviri: Cenk Güray ve Mahmut Sözer, Güçlü Titreşimler: Müziğin Fiziği,
TÜBİTAK, Popüler Bilim Kitapları, Ankara, 2015).
 Topdemir, H. G, ve Unat, Y., Bilim Tarihi, 2. Baskı, Pegem Akademi (2009).
Ewbank, T., A Descriptive and Historical Account of Hydraulic and Other Machines for
Raising Water, Ancient and Modern, D. Appleton & company, New York (1842).
Tokaty, G. A., A History and Philosophy of Fluid Mechanics, Dover Publications, Inc.
(1971).
Fishbane, P.,Gasiorowicz, S., Thornton, S.T., Physics for Scientist and Engineers,
Extended Version, Vol. I., 2nd Edition, Prentice Hall, Inc. (1996).
ResearchGate has not been able to resolve any citations for this publication.
The Physics of Music
  • B Parker
  • Good Vibrations
Parker B., Good Vibrations: The Physics of Music, The Johns Hopkins University Press, 2009 (Türkçe Çeviri: Cenk Güray ve Mahmut Sözer, Güçlü Titreşimler: Müziğin Fiziği, TÜBİTAK, Popüler Bilim Kitapları, Ankara, 2015).
A Descriptive and Historical Account of Hydraulic and Other Machines for Raising Water, Ancient and Modern
  • T Ewbank
Ewbank, T., A Descriptive and Historical Account of Hydraulic and Other Machines for Raising Water, Ancient and Modern, D. Appleton & company, New York (1842).
  • P Fishbane
  • S Gasiorowicz
  • S T Thornton
Fishbane, P.,Gasiorowicz, S., Thornton, S.T., Physics for Scientist and Engineers, Extended Version, Vol. I., 2nd Edition, Prentice Hall, Inc. (1996).