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Abstract

Mucho se habla del modelo que implementó el Ministerio de Salud para contener la crisis producida por el COVID-19 en Chile, una emergencia sanitaria desencadenada por el virus SARS-CoV-2 el cual habría tenido su origen producto de un salto entre especies en Wuhan, China 2. Sin embargo, con justa razón, existen reticencias y cuestionamientos respecto a la racionalidad del verdadero impacto de las medidas tomadas por la actual administración de nuestro país. Es por ello que mediante un modelo matemático simplificado, pero realista, esperamos poder aportar un poco de comprensión del porqué algunas de estas decisiones podrían ser acertadas o no. Cabe mencionar que después del análisis y de la evolución de la curva de contagio observada estos últimos días en Chile, las disposiciones administrativas tomadas hasta el 17 de Abril, podrían ser en general consideradas como apropiadas. Esperamos poder demostrar que el modelo matemático presentado en este reporte permite proporcionar protocolos cuantitativos que sugieren el nivel de aislamiento y control de la interacción entre los ciudadanos necesarios para mantener las tasas de contagio lo suficientemente bajas, con el objetivo final de prevenir una posible explosión descontrolada de la pandemia COVID-19.
Modelo did´actico del COVID-19 en Chile: Informe 1
Santiago 20 de Abril de 2020.
Introducci´on
Mucho se habla del modelo que implement´o el Ministerio de Salud para contener la crisis pro-
ducida por el COVID-191en Chile, una emergencia sanitaria desencadenada por el virus SARS-
CoV-2 el cual habr´ıa tenido su origen producto de un salto entre especies en Wuhan, China2.
Sin embargo, con justa raz´on, existen reticencias y cuestionamientos respecto a la racionalidad
del verdadero impacto de las medidas tomadas por la actual administraci´on de nuestro pa´ıs.
Es por ello que mediante un modelo matem´atico simplificado, pero realista, esperamos poder
aportar un poco de comprensi´on del porqu´e algunas de estas decisiones podr´ıan ser acertadas
o no. Cabe mencionar que despu´es del an´alisis y de la evoluci´on de la curva de contagio ob-
servada estos ´ultimos d´ıas en Chile, las disposiciones administrativas tomadas hasta el 17 de
Abril, podr´ıan ser en general consideradas como apropiadas. Esperamos poder demostrar que
el modelo matem´atico presentado en este reporte permite proporcionar protocolos cuantitativos
que sugieren el nivel de aislamiento y control de la interacci´on entre los ciudadanos necesarios
para mantener las tasas de contagio lo suficientemente bajas, con el objetivo final de prevenir
una posible explosi´on descontrolada de la pandemia COVID-19.
Conocer los infectados con el virus parece ser la clave. Diferentes naciones han implementado
multiples sistemas de detecci´on, incluyendo el PCR como la herramienta vertebral de diagn´osti-
co. Al comparar a Chile con otros pa´ıses latinoamericanos, nos damos cuenta que nuestro pa´ıs
realiza diariamente un n´umero relativamente importante de ex´amenes de PCR3. Sin embargo,
este n´umero de ensayos resulta significativamente menor que el de pa´ıses que parecen tener ba-
jo control la pandemia, como Corea del Sur4, donde el n´umero acumulado de ensayos diarios
bordeo los 10 mil y desde el estallido de la pandemia se ha testeado 1 de cada 100 individuos5.
Explorar menos parece conducir a un seguimiento ineficiente de los individuos contagiados con
s´ıntomas leves y asintom´aticos. Por lo tanto, dada las condiciones actuales, en el corto plazo
Chile solo puede aspirar a determinar con buena precisi´on los nuevos casos en pacientes que
presentan sintomatolog´ıa con potencial compromiso de su salud. No obstante, considerando que
diariamente en promedio 400 casos de un total de 4000 tests diarios6arrojan ser positivos, se
desprende una alta efectividad en la detecci´on de pacientes graves 7. Los pacientes positivos son
confinados, ya sea en sus casas o en establecimientos hospitalarios, con la finalidad de evitar
nuevos contagios y focalizar la atenci´on en aquellos que presenta s´ıntomas de cuidado. Es de
conocimiento de la comunidad que los pacientes asintom´aticos, que se estiman en aproximada-
mente el 30 % de los contagios diarios, y un n´umero significativo de pacientes con s´ıntomas leves,
no est´an siendo determinados y representan por lo tanto el motor principal de esta pandemia8.
Determinar los contagiados asintom´aticos y aislarlos, junto con mejorar la detecci´on de pacientes
con sintomatolog´ıa leve, permitir´ıa controlar la propagaci´on, como lo ha hecho Corea del Sur
y en menor medida Alemania. Sin embargo, esto representar´ıa un esfuerzo colosal que nuestro
pa´ıs probablemente no pueda realizar en la actualidad.
Entonces ¿cu´al ha sido la estrategia de Chile? Ya algo dijimos:
Primero, medidas tipo 1: reducir los contagios diarios, disminuyendo la “tasa”de contagios, lo que
1
se logra evitando aglomeraciones–fomentar la distancia social–, cerrando colegios, universidades,
estadios, centros comerciales, prohibiendo reuniones masivas, usando mascarillas, y fundamental,
el lavado frecuente de manos con jab´on.
Segundo, medidas tipo 2: detectar todo contagiado lo m´as temprano posible para su inmediato
aislamiento. Esto involucra un diagn´ostico efectivo y cuarentena real de los infectados.
Tercero, medidas tipo 3: decretar cuarentena (confinamiento) total en varias comunas con el fin
de reducir al m´aximo la acci´on propagativa de los contagiados sin s´ıntomas y aquellos leves que
no han podido ser detectados.
Del resumen de estas tres medidas, pareciera que la ´unica manera que tiene nuestro pa´ıs de
eliminar totalmente la propagaci´on de virus es cerrando totalmente el pa´ıs. Y esto parecen decirlo
muchos actores pol´ıticos. ¿Ser´a verdad?, creemos que no, pero derrotar al COVID-19 ser´a de
todas formas una tarea tremendamente exigente. Todos aprendimos en estos d´ıas que debemos
mantener el n´umero de contagios graves lo suficientemente bajo como para no colapsar nuestro
sistema de salud. Pero no nulo, porque, a falta de vacuna y tratamiento efectivo, necesitamos
lograr lo m´as r´apido posible un n´umero significativo de ciudadanos inmunes9. Esto bajo la
premisa de que los enfermos recuperados generan cierta memoria inmunol´ogica10.
Por lo tanto, ¿cu´al es entonces el grado de confinamiento que nos permite controlar la propaga-
ci´on del COVID19? Parar completamente parece irrealizable, pero confinar demasiado poco luce
como un error. Veamos entonces de manera rudimentaria cual es la magnitud del confinamiento
necesario y cual ser´ıa una estrategia para implementar a lo largo de nuestro pa´ıs.
Modelo simplificado. Comenzaremos por el modelo ideal, s´olo hay enfermos leves y asin-
tom´aticos y nadie fallece. Como no hay s´ıntomas graves, nadie se cuida y nadie es confinado en
casa. Adem´as, todos se recuperan despu´es de un tiempo τ, digamos, τ14 d´ıas. Naturalmen-
te tal enfermedad no preocupa a ninguna autoridad sanitaria, pero si nos sirve para aprender
algo relevante: como controlar un virus m´as peligroso. Para usar este virus ideal como ejemplo
pedag´ogico, podr´ıamos imaginar que las autoridades han decidido que aquellas comunas que
logren mantener un n´umero bajo de contagiados, respecto a un factor de su poblaci´on, recibir´an
un nuevo hospital como premio a su capacidad de organizaci´on. Este ejercicio ser´ıa un ejemplo
fenomenal de auto-cuidado para todos nuestros ciudadanos y en especial para nuestros j´ovenes11.
Para comprender las mejores estrategias posibles de los municipios y orientar a nuestros estu-
diantes, escribamos algunas ecuaciones. La primera regla que relaciona los contagiados totales,
CT, con los activos A, es decir, aquellos que portan la enfermedad–por lo tanto son contagiosos–,
y los recuperados totales, R, es
CT=A+R(1)
Entonces, en el r´egimen de pocos contagiados, la ecuaci´on din´amica m´as simple para los nuevos
contagiados es,
2
dCT(t)
dt =β(t)A(t) (2)
dA(t)
dt =β(t)A(t)β(tτ)A(tτ) (3)
Donde βes el par´ametro m´as importante de la propagaci´on del virus, siendo la tasa unitaria de
producci´on de nuevos contagiados por unidad de tiempo (usemos como unidad temporal d´ıas).
Es decir si β=0.33 (1/d´ıa) significa que cada activo, en promedio, genera un nuevo contagiado
cada 3 d´ıas. Este era nuestro r´egimen al principio de la crisis y se logr´o disminuir con medidas
paulatinas. Noten que hemos asumido que el par´ametro βpuede variar como respuesta a la
implementaci´on de medidas tipo 1, por eso puede ser considerado como una funci´on lenta del
tiempo. El primer t´ermino de la derecha de la ecuaci´on 3 corresponde al motor de la propagaci´on,
mientras que el segundo t´ermino simplemente refleja el hecho que despu´es en el tiempo t, se
recuperan aquellos que fueron contagiados en un tiempo pasado tτ.12 El set de ecuaciones (1
a 3) se puede resolver, por ejemplo de manera recursiva, permitiendo obtener la evoluci´on de la
propagaci´on solo conociendo el n´umero de contagiados totales y pacientes activos que ten´ıamos
en un comienzo.
En la figura 1 vemos que con los par´ametros de Chile para el COVID-19 (β= 0,33 y τ= 14 d´ıas),
sin intervenci´on alguna, la proliferaci´on de contagios es gigantesca. Debemos entonces intervenir
reduciendo βcon medidas de auto-cuidado, entre las que se encuentra el distanciamiento social
entre vecinos. Pero cabe preguntar, ¿cu´al ser´a el valor de βque reduce los activos lo suficiente
para evitar la explosi´on contagiados y de activos? En la gr´afica (panel inferior fig. 1) indicamos el
momento en que la poblaci´on de la comuna en observaci´on decide actuar con medidas tipo 1. El
par´ametro βdecrece gradualmente desde el valor inicial a un menor valor. La evoluci´on en estas
condiciones tambi´en produce contagios totales (CT) que crecen exponencialmente en el tiempo.
Sin embargo, el crecimiento de activos (A) disminuye si se decrece la tasa β. Vemos que la curva
de contagios totales se comporta como una progresi´on lineal y los activos alcanzan un n´umero
constante cuando nuestro par´ametro de control alcanza un valor cr´ıtico, tal que β=β= 1 .
Finalmente, cuando βse reduce por debajo del valor cr´ıtico, el n´umero de contagiados totales
tiende a una constante y el de activos disminuye a cero. En consecuencia, para βτ < 1 la
progresi´on del virus se detiene. Hemos encontrado la regla fundamental de control, del virus que
nos dice que debemos disminuir β, o simplemente hacer que los contagiados no identificados se
recuperen m´as pronto. Esta regla es un resultado exacto que se puede demostrar con algunas
matem´aticas sencillas13.
Dejemos el ejemplo de los comunas por el momento porque este problema r´apidamente se trans-
forma en un problema matem´aticamente complejo donde tendr´ıamos que modelar en t´erminos
f´ısicos los flujos de contagiados de una comuna a otra tomando en cuenta que los contagios m´as
probables ocurren en los medios de transporte colectivo y el comercio. Habr´ıa que implementar
controles, como probablemente har´a la autoridad prontamente, entre otras cosas. Comunas co-
mo Providencia y Santiago son ejemplos interesantes a estudiar porque reciben una poblaci´on
flotante superior al mill´on de personas cada una.
Modelo mejorado. En lo sucesivo trataremos el problema de propagaci´on en un contexto m´as
global, a nivel de ciudad o pa´ıs, ya que aquello nos permite una mejor estad´ıstica. Para tener en
3
0
1
2
3
4
5
Personas Contagiadas (ⅹ 10000)
Días
0 20 40 60 80
activos
contagiados
0.4
0
0.2
Figura 1 – Las l´ıneas rojas y negras representan los contagios totales y los activos, respectivamente, para
distintos valores de β. El panel inferior indica el valor de βpara distintas intervenciones. La evoluci´on
libre (antes de la intervenci´on) produce contagios que crecen exponencialmente. Sin embargo, si se dis-
minuye la tasa β(como se indica en el panel inferior), el crecimiento de contagios disminuye, pero sigue
siendo exponencial. La curva de contagiados totales se comporta como una progresi´on lineal cuando este
par´ametro alcanza un valor cr´ıtico, β1. Asimismo, en estas condiciones, el n´umero de activos
alcanza un valor constante. Finalmente, cuando βse reduce por debajo de β, el n´umero de contagios
tiende a una constante y el de activos disminuya a cero.
4
cuenta la situaci´on de COVID-19 debemos considerar que este virus produce enfermos graves
y por lo tanto debemos tratarlo mas acuciosamente. Separamos los activos totales en tres sub-
grupos: activos asintom´aticos Aa, pacientes con s´ıntomas leves Aly finalmente pacientes con
sintomatolog´ıa grave Ag. No consideraremos los fallecidos por ahora porque son una fracci´on de
los graves, Ag14. Entonces,
CT=A+R(4)
A=Aa+Al+Ag(5)
Y la evoluci´on de los contagiados totales se escribe,
dCT
dt =J(t) (6)
J(t) = β(t)[δ(t)Aa(t) + κ(t)Al(t)] (7)
donde J(t) es el flujo total de nuevos activos (n´umero de activos por unidad de tiempo). Notemos
que s´olo consideramos como fuente de contagios una fracci´on δde los activos asintom´aticos y una
fracci´on κde los activos leves con tres hip´otesis razonables: i) los activos graves est´an internados
y por lo tanto casi no contagian a la poblaci´on, ii) podemos controlar el nivel de confinamiento
de activos leves, ya que suponemos que sabemos quienes son15 y iii) por medio de cuarentenas
de comunas en su totalidad podemos confinar a sus respectivos activos asintom´aticos.
Por otro lado, la regla de probabilidad observada16 se˜nala que los flujos de contagiados se
distribuyen de acuerdo a: Ja= 0,3J,Jl= 0,55JyJg= 0,15J. Con lo anterior resta s´olo
establecer las ecuaciones para las familias de activos,
dAa
dt = 0,3×[J(t)J(tτ)] (8)
dAl
dt = 0,55 ×[J(t)J(tτ)] (9)
dAg
dt = 0,15 ×[J(t)J(tτg)].(10)
Noten que hay una peque˜na sutileza en la ´ultima ecuaci´on. En ella, hemos introducido el tiempo
promedio que tarda un contagiado grave en recuperarse, τg. Seg´un datos de prensa de Gobierno
el tiempo ser´ıa superior a 20 d´ıas17 . El set de ecuaciones se puede resolver igual que en el ejemplo
anterior, de manera recursiva, lo que nos permite obtener la evoluci´on de la propagaci´on s´olo
que ahora tenemos m´as poblaciones de contagiados.
Para tener una idea de lo que se ha implementado en Chile, estudiaremos el sistema anterior
aplicando dos intervenciones despu´es de un periodo de tiempo de evoluci´on libre del virus donde
olo se contiene a los contagiados graves, κ= 1 y δ= 1.
La primera intervenci´on aplicada (en este modelo) despu´es de 20 d´ıas, consiste en confinar
a pr´acticamente el total de activos leves; κ= 018, dejando a los asintom´aticos totalmente
5
libres; δ= 1.
La segunda intervenci´on se aplica 10 d´ıas despu´es y consiste en controlar a una fracci´on
de activos asintom´aticos lo que se logra confinando totalmente un sector, comunas o parte
de ellas, donde se sospecha que estos contagiados son numerosos.
Como ya sab´ıamos, la evoluci´on sin restricciones produce contagios que crecen exponencialmente
(Figura 2). Despu´es de la primera intervenci´on, el confinamiento de todos los contagiados leves,
κ= 0, conduce a un dr´astico cambio de r´egimen pero no es suficiente para contener el crecimiento
exponencial.
La segunda intervenci´on, tampoco es suficiente si el valor de δpermanece alto. Al disminuir este
par´ametro observamos que factor de confinamiento del 32 % de activos asintom´aticos, δ= 0,68,
conduce a una estabilizaci´on de los activos. Valores m´as peque˜nos de δconducen a una extinci´on
del contagio con velocidades crecientes.
Esta observaci´on nos indica que existe una combinaci´on de par´ametros que permite el control de
la propagaci´on. Es decir, es posible encontrar un estado estacionario donde el n´umero de activos
tiende a un valor constante y los nuevos contagios ocurran en una progresi´on lineal. Para par´ame-
tros m´as exigentes de confinamiento los activos disminuyen exponencialmente –Wuhan– y para
confinamientos m´as permisivos–Ciudad de Nueva York– los activos crecen exponencialmente,
aunque estos crecimientos pueden ser relativamente lentos como es el caso de Suecia.
Propuesta de regla de control para el COVID-19
¿Qu´e aprendimos del modelo reci´en enunciado? La exploraci´on sistem´atica de las soluciones
crecientes y decrecientes del contingente activo nos indica que la transici´on entre ambos tipos
de soluciones ocurre cuando los valores finales de los par´ametros de control, despu´es de la
intervenciones, satisfacen:
β×(0,3×δ+ 0,7×κ)1(11)
La ecuaci´on anterior (Eq. 11) es la regla de control de la propagaci´on y simplemente refleja
el hecho que para que la propagaci´on se estabilice, es decir, que no exista crecimiento de los
activos con capacidad infectiva, la tasa de contagiados diarios debe ser igual o menor al n´umero
de pacientes recuperados por d´ıa.
En conclusi´on, hay muchas maneras de ajustar los par´ametros para satisfacer la desigualdad
propuesta en la Eq. 11, por ejemplo, si se pudiera detectar a un n´umero significativo de activos
asintom´aticos, un poco mayor al 50 %, ser´ıa suficiente para mantener un valor de βcercano al
valor actual19 y por lo tanto no ser´ıa necesario confinar. El modelo que hemos implementado
esta claramente sobre-simplificado, sin embargo, se espera que cualquier otro modelo conduzca
a una regla de control similar ya que al existir en el sistema s´olo dos tiempos caracter´ısticos es
natural que el cambio de r´egimen ocurra cuando estos dos tiempos se igualen20.
Es importante destacar que este modelo no pretende capturar los detalles de la propagaci´on
de manera cuantitativa, sin embargo, el resultado principal, la regla de control, es tan simple y
olida desde el punto de vista matem´atico, que cabe preguntarse si otros modelos matem´aticos
6
0
12
Personas Contagiadas (ⅹ 10000)
Días
0 20 40 60 80
A
a
Al
Ag
C
1
0
0.5
8
4
T
Figura 2 – En el panel superior las poblaciones se indican con curvas de distinto color. Rojo: contagiados
totales. Negro: activos leves. Azul: activos asintom´aticos. Amarillo: activos graves. El panel inferior gr´afi-
ca la amplitud y el momento de la intervenci´on de los par´ametros δyκ. La evoluci´on sin restricciones
produce contagios que crecen exponencialmente. Confinar los contagiados leves y graves, κ= 0, conduce a
un dr´astico cambio de r´egimen que se observa insuficiente para contener el crecimiento exponencial. Una
nueva intervenci´on consiste en confinar una fracci´on de los activos asintom´aticos, cerrando por ejemplo
un sector completo de una comuna. Afortunadamente un factor de confinamiento del 32 %, i.e, δ= 0,68
conduce a una estabilizaci´on de los activos con capacidad de contagio.
7
conducen a una regla similar; el an´alisis dimensional as´ı lo sugiere, por lo menos en el r´egimen
de par´ametros actual.21
Con el objeto de obtener una comprensi´on m´as profunda de los procesos y por lo tanto mayor
certidumbre, ser´ıa interesante recoger los modelos que suscitan la mayor confianza en la actua-
lidad y proceder con el an´alisis de su “respuesta a perturbaciones”(lo que acabamos de hacer
arriba) y verificar si existe en ellos un equivalente a la regla de control. Nos enteramos hace
un par de d´ıas por la prensa22 que la tasa de crecimiento de contagiados debe mantenerse por
debajo del 6.9 %, seg´un el modelo SIR23, noten que la regla de control que proponemos impone
una tasa inferior a 17,1 %.
Si lo anterior es verdadero, implementar un control del COVID-19 desde el punto de vista
“te´orico”ser´ıa entonces bastante directo, bastar´ıa con definir que porcentaje de camas UCI se
desea tener en ocupaci´on permanente. Es clave entonces se˜nalar que no pueden ser todas las
camas UCI porque podr´ıa haber un aumento repentino del n´umero de contagios (por ejemplo
si no se respetan las reglas de confinamiento o por el inminente aumento de enfermedades
respiratorias de invierno), por lo que habr´ıa que escoger un n´umero cercano al 80 % del total.
Con ese n´umero se podr´ıa buscar el r´egimen estacionario, es decir, donde el n´umero de contagios
por d´ıa genera n´umero estacionario de enfermos graves por d´ıa.
La pregunta que surge naturalmente es si un esquema como este es capaz de funcionar con
robustez. Para obtener la respuesta, debemos hacer un an´alisis de las ecuaciones y determinar si
frente a un cambio brusco de activos asintom´aticos, por ejemplo, la magnitud del aumento de los
contagiados graves tiende nuevamente al n´umero deseado y nunca supera nuestro m´aximo permi-
tido por la disponibilidad hospitalaria. Naturalmente, si la perturbaci´on –o aumento abrupto en
los infectados–es demasiado grande, entonces en alg´un momento superaremos nuestra capacidad
de respuesta. Y de aquello se trata; de determinar la magnitud de la perturbaci´on peligrosa y
dise˜nar una estrategia para evitarla. Abrir centros comerciales, restaurantes y otro tipo de cen-
tros que re´unan personas parece un error que puede poner en riesgo al sistema hospitalario. Hay
que recordar que los procesos biol´ogicos detr´as de la pandemia dictan que los s´ıntomas para los
infectados hospitalizados ocurren d´ıas despu´es del contacto y el crecimiento de nuevos infectados
responde a una exponencial cuando se sale del estado estacionario. Reanudar de forma normal
el comercio desencadenar´a un aumento en el n´umero de infectados entre 5 a 10 d´ıas despu´es de
la liberaci´on del confinamiento saturando el sistema hospitalario24.
Respuesta del estado estacionario a fluctuaciones localizadas de tasa de contagio y
confinamiento.
El modelo mejorado presentado anteriormente permite explorar de manera rudimentaria la res-
puesta a perturbaciones espor´adicas de grado de confinamiento y de interacci´on de la poblaci´on
(como las que tuvieron origen en las reuniones de contagiados en templos religiosos en Corea del
Sur). El an´alisis de la estabilidad del estado estacionario muestra que despu´es de una perturba-
ci´on de una duraci´on dada, se alcanza un nuevo estado estacionario con una poblaci´on mayor
de activos y enfermos graves. Esto es importante, porque el margen de seguridad que nos demos
definir´a la fluctuaci´on m´axima permitida. El n´umero adicional de activos contagiosos y graves
se relaciona con el producto de la amplitud del flujo de contagios en exceso multiplicado por la
duraci´on de la perturbaci´on25. Si los estrategas del MinSal tienen en mente aumentar la veloci-
dad de contagio de nuestra poblaci´on para lograr m´as r´apido una poblaci´on inmune, es posible
8
relajar por un periodo muy limitado de tiempo las reglas de confinamiento y distanciamiento
social que tenemos en la actualidad, pero se debe r´apidamente volver a un r´egimen donde se
respeta la regla de control del virus enunciada anteriormente, evitando el descontrol.
Desde el punto de vista pr´actico, creemos que cualquier modelo de control del COVID-19 que
se proponga debe elaborar con claridad sobre la existencia de un estado estacionario26 y la es-
tabilidad de ´este, y nos parece, sin ser especialistas, que no estamos en esa situaci´on todav´ıa.
Invitamos entonces a nuestros colegas a hacer observaciones, compartir ideas y resultados para
que podamos comprender, en alg´un grado, la robustez de las proyecciones que se nos comunican.
No hay duda que todo lo que creemos saber sobre COVID-19 es din´amico, por ejemplo, el mi-
nistro Ma˜nalich comento hace unos d´ıas que el porcentaje de asintom´aticos es mayor de lo que
ten´ıamos considerado27, lo que es delicado desde el punto de vista del control. Con mayor raz´on,
debemos ajustar de manera permanente nuestras predicciones para el control de este virus. El
anuncio de las nuevas medidas para reabrir paulatinamente los comercios, colegios y universi-
dades, nos da la impresi´on de que no se conocen a cabalidad los par´ametros de funcionamiento
del sistema de control dise˜nado para el COVID-19 en Chile y naturalmente quisi´eramos que
el Ministerio de Salud de a conocer sus fundamentos. Por ahora, la nueva informaci´on sobre
asintom´aticos y las medidas de apertura del comercio parecen ser contradictorias.
Finalmente, la observaci´on que nos puede aportar algo de tranquilidad es que la curva de conta-
gios en Chile durante los ´ultimos 15 d´ıas contin´ua siendo una recta28,29 (ver panel superior figura
3). A nuestro juicio, es el mejor indicador de que estamos muy cerca del r´egimen estacionario, es
decir, el n´umero de nuevos contagios se aproxima al n´umero de recuperados. Asimismo, el hecho
que el n´umero de contagios graves internados en los ´ultimos 7 d´ıas parece haber alcanzado un
plateau refuerza esta posibilidad, ver panel inferior figure 3. Las curvas presentadas en la secci´on
anterior muestran que el m´aximo de los graves esta al menos 20 d´ıas o m´as retardado respecto
del m´aximo de activos30;necesitamos imperativamente saber el tiempo promedio que tarda un
enfermo grave en recuperarse, lo que obviamente es crucial para el an´alisis de estabilidad del
sistema hospitalario. Tenemos que insistir en que el equilibrio que se observa en los datos de
Chile31 podr´ıa variar dram´aticamente si nos equivocamos en identificar los factores que m´as
influyen y en implementar los controles de los sectores que contribuyen sustancialmente a la
propagaci´on del virus. Definitivamente, reanudar actividades en grados que se acerquen a las
normales sin tomar consideraciones como el control de los infectados locales por comunas, regi´on
o territorio, parece ser un error que podr´ıa borrar todo lo avanzado desde la implementaci´on de
medidas de confinamiento.
Conclusiones
Del modelo rudimentario presentado en este reporte, que no pretende nada m´as que aportar y
abrir el di´alogo en las diferentes de comunidades y actores de Chile, se desprenden cuatro ideas:
i) La implementaci´on de medidas de confinamiento inteligente o din´amico, puede tener como
consecuencia que el n´umero de nuevos infectados diarios se iguale al n´umero de pacientes
que se recuperan diariamente. A esto lo llamamos estado estacionario, el que se puede
alcanzar despu´es de una intervenci´on, cuando se cumple la regla de confinamiento, equi-
valente a la ecuaci´on 11 .
ii) Este estado estacionario responde al total de infectados acumulados en el pa´ıs, es decir,
podemos tener estados estacionarios con diferente universo de contagiados totales y activos,
9
0
2500
5000
7500
10000
12500
15000
Personas Contagiadas
Contagiados acumulados (MINSAL)
Contagiados acumulados (LSHTM)
400
200
0
Días
010 45
515 20 25 30 35 40
3 Marzo 17 Abril
Pacientes graves (internados)
Figura 3 – Curva de contagios acumulados en Chile junto con la misma curva corregida seun las esti-
maciones del London School of Hygiene & Tropical Medicine y datos de contagiados graves (internados)
seg´un Minsal al 17 de Abril. La progresi´on lineal de la curva de contagios y el plateau en la curva de hos-
pitalizados son indicaciones de la existencia de un r´egimen estacionario. La pendiente de la recta permite
estimar el n´umero de activos que efectivamente contagian, dando una indicaci´on de la efectividad de las
medidas, siempre que βsea conocido con precisi´on. Sobre la figura se indica el n´umero de activos con
capacidad infectiva para β0,3. Si comparamos contagiosos con los activos totales estimados por Minsal
y corregidos por el LSHTM, que son alrededor de 11.000, tenemos un factor de reducci´on de activos de
4.25 veces. Es notable que β/4,25 0,07 1/14, lo que es muy cercano a la condici´on de existencia de
un estado estacionario que arroja nuestro modelo.
10
lo que depende directamente de cuan pronto fue implementada la medida de confinamiento.
A mayor prontitud en la medida, m´as peque˜no ser´a el universo de activos e infectados
hospitalizados en r´egimen permanente.
iii) Una perturbaci´on o intervenci´on del r´egimen estacionario, que lleve a violar la desigualdad
de la ecuaci´on 11, aunque sea por poco, aumentar´a definitivamente el n´umero de conta-
giados y por lo tanto de los pacientes que requieren hospitalizaci´on. Nuevas medidas de
confinamiento pueden ser impuestas para llegar a otro r´egimen de estado estacionario, pero
el universo de activos y pacientes graves ser´a mucho mayor, pudiendo superar la capacidad
hospitalaria de nuestro pa´ıs. El modelo permitir´ıa estimar estos n´umeros.
iv) El n´umero de hospitalizados graves parece no variar, lo que sugiere la entrada en estado
estacionario. La ´ultima estad´ıstica muestra que en los ´ultimos 8 d´ıas el n´umero de per-
sonas cr´ıticas no var´ıa, aunque podr´ıan haber otras razones para este comportamiento.
Esto permite tener una reserva de cerca de 500 ventiladores, pero la disponibilidad sigue
siendo restringida; liberar del confinamiento ciertos sectores o permitir mayor contacto
social a asintom´aticos y leves, sin confinar un n´umero equivalente de activos (Eq. 11),
desencadenar´a un mayor n´umero de pacientes cr´ıticos, con m´argenes que son estrechos.
Agradecimientos
Agradecemos sinceramente a la Profesora Barbara Ossand´on, la Doctora Hayd´ee Domic y Dr.
Sebasti´an Reyes por la lectura cr´ıtica de este trabajo, a la Dra. Claudia Saavedra por su dis-
posici´on, el intercambio de ideas y la informaci´on proporcionada sobre el COVID-19 y al Dr.
Jean-Christophe G´eminard por proponer una descripci´on en t´erminos de distribuciones de pro-
babilidad de tiempos de contagio.
Soft Matter Research and Technology Center, SMAT-C
Francisco Melo,?, Juan Francisco Fuentealba, Jaime Andr´es Rivas Pardo+
Departamento de F´ısica, Universidad de Santiago de Chile,
+Centro de Gen´omica y Bioinform´atica, Universidad Mayor
?francisco.melo@usach.cl
Notes
1Chen et al, 2020, The Lancet 395, 507-513.
2Andersen et al, 2020, Nature Medicine 26, 450-452.;Zhang et al, 2020, Current Biology 30, 1-6
3Revisar estad´ısticas de FIND https://www.finddx.org/covid-19/
4Ver https://coronawiki.org/country/south-korea
5Ver Comunicaciones de Prensa del Korean CDC http://ncov.mohw.go.kr/en/
6Datos entregados en comunicaciones diarias de situaci´on Epidemiol´ogica del pa´ıs por el Ministerio de Salud
https://www.minsal.cl
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7Ser´ıa de alto valor conocer el porcentaje de pacientes con sintomatolog´ıas leves que est´an siendo detectados
en nuestro pa´ıs.
8Report WHO-China Joint Mission on Coronavirus Disease 2019 (COVID19); Verity et al, 2020, MedRxiv.;
Ver nota Boston Globe
9Se estima que el n´umero de susceptibles es del orden del mill´on y medio (Comunicaci´on de Gabriel Cavada
Ch., 10 de Abril 2020), con lo que se puede deducir que estaremos un poco m´as a salvo cuando tengamos un
umero de contagios del orden de los 200.000 o m´as.
10Este es un punto a´un en debate, ya que actualmente no hay claridad sobre la inmunidad de pacientes recu-
perados frente a un segundo desaf´ıo a COVID19.
11Nos permitimos mencionar aqu´ı que los educadores de nuestro pa´ıs ya est´an preparando estrategias seg´un
el enfoque CTSA (Ciencia, Tecnolog´ıa, Sociedad y Medio Ambiente) de la OEI (Organizaci´on de los Estados
iberoamericanos para la Educaci´on y la Cultura), enriquecido con la educaci´on STEM integrada, entre otras,
para desarrollar la resiliencia y el auto-cuidado en nuestros estudiantes, ya que estos temas y enfoques est´an
acertadamente incluidos en los nuevos programas de Ciencias para Ciudadania de 3ero y 4to medio (MINEDUC,
2019).
12Las ecuaciones 1 a 3 son rudimentarias y constituyen el modelo mas b´asico que somos capaces de elaborar,
pero para los prop´ositos de este reporte muestran funcionar. En una pr´oxima comunicaci´on vamos a presentar
una versi´on de este modelo que considere distribuciones de activos en funci´on de sus tiempos de contagios.
13Se puede demostrar que la ecuaci´on 3, en el r´egimen de t>τ, se expresa como, d2A
dt2=
2β(1βτ )
(βτ )2
dA
dt , desde
donde se desprende que cuando cuando βτ < 1, se observa un decaimiento exponencial de los activos.
14Hasta ahora se observa una mortalidad indeseada que se mantiene peque˜na, correspondiente a un porcentaje
de los activos graves.
15En la realidad en Chile s´olo conocemos cerca de la mitad de ellos y por lo tanto este ejercicio debe ser
ligeramente modificado para aplicarlo a la evoluci´on del virus en Chile.
16Este resultado corresponde a observaciones de la progresi´on diaria y observaciones de otros pa´ıses, tales como
Corea del Sur, ver Verity et al, 2020, MedRxiv; Liu et al, 2020, The Lancet Infectious Diseases 20, 411-412;
Ferguson et al, 2020, Imperial College COVID-19 Response Team, March 16.
17Esta escala de tiempo es muy importante para controlar bien a los enfermos graves, pero no determina
la din´amica de la enfermedad porque los enfermos graves est´an siempre confinados. Naturalmente es importante
estudiar que la din´amica de contagio puede aparecer con el personal de salud que est´a m´as expuesto. Sin embargo,
para efecto de las cuentas globales no es determinante. Ver W¨olfel et al, 2020, Nature)
18Notar que no es posible bajar κa cero actualmente porque, a falta de datos, nos da la impresi´on, que se detecta
alrededor de la mitad de los activos leves. As´ı lo sugiere el London School of Hygiene & Tropical Medicine.
19Creemos que controlar βen su valor actual demanda mantener estrictas medidas del tipo 1.
20Modelos mas refinados pueden incluir otros tiempos caracter´ısticos, tales como, el tiempo que un contagiado
es capaz de contagiar a otros antes de su detecci´on. Nuestro modelo asume que la aparici´on de los s´ıntomas
coincide con la detecci´on y con el momento en el que el contagiado empieza a tener capacidad de contagiar. En
consecuencia ning´un otro tiempo caracter´ıstico estar´ıa jugando un rol determinante. Esta hip´otesis es claramente
cuestionable, pero han aparecido algunos trabajos que proponen que tan solo dos d´ıas luego de la aparici´on de los
s´ıntomas el virus alcanza su m´aximo en el enfermo (ver W¨olfel et al, 2020, Nature). Este aspecto lo abordaremos
en una futura comunicaci´on m´as elaborada que la presente. Finalmente, incluir el momento de inicio del contagio
y el de aparici´on de s´ıntomas en el modelo actual no parece tarea imposible.
21Acabamos de chequear que el modelo SIR The SIR Model for Spread of Disease posee, en efecto, un estado
estacionario y este es bastante directo. Falta chequear que otros modelos, tales como el SEIR, tambi´en aceptan
soluciones tipo estacionarias, por lo menos en el r´egimen diluido de contagio. Lo demostraremos en el informe 2.
22((Matem´aticos advierten: Si la curva de contagios de Chile se mantiene, los hospitales colapsar´an en junio)).
Radio Cooperativa.
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23Ver The SIR Model for Spread of Disease - The Differential Equation Model. Mathematical Association of
America.
24((Gobierno publica protocolo para reapertura de malls y comercio)). Portal 24horas.cl
25Presentaremos este c´alculo en una pr´oxima comunicaci´on.
26Otra opci´on es generar crecimientos y decaimientos controlados de activos (de 5 a 6 ciclos) durante un periodo
suficiente para alcanzar un n´umero de recuperados significativos, como sugiere la investigaci´on reciente de Kissler
et al, 2020, Science (en prensa). Volveremos a este punto en otra ocasi´on.
27((Ministro Ma˜nalich asegura que el 70% de los enfermos con COVID-19 son asintom´aticos)). Portal 24horas.cl
28Ver https://coronawiki.org/country/chile
29Es posible que el modelo SEIR Epidemic Calculator, que creemos usa el gobierno, no pueda predecir un estado
de propagaci´on del virus estacionario. Trataremos de hacer su an´alisis en la medida de nuestras posibilidades.
Sin embargo, nuestro modelo simplificado no es tan distinto al SEIR. El ´unico t´ermino o factor que no hemos
considerado, al encontrarse Chile en el r´egimen de pocos contagios, es aquel que hace intervenir el decaimiento
del n´umero de susceptibles y que afecta directamente al motor de la propagaci´on, disminuy´endola. Insistimos en
que este factor estabiliza la propagaci´on, disminuyendo gradualmente nuestro par´ametro β.
30Esto responde a que de los confirmados COVID19 positivos tardan un tiempo en agravarse, por lo tanto, la
curva de contagiados y pacientes graves est´an separadas. Esto es muy importante de considerar ya que al tomar
medidas de confinamiento tardan varios d´ıas tener un impacto en el n´umero de nuevos contagiados, y mucho m´as
en el n´umero de pacientes graves y fallecidos
31Es crucial entender el efecto del muestreo de los datos para el seguimiento de la propagaci´on, es muy interesante
revisar los argumentos del Drs. Gonz´alez y Kiwi que nos indican que hemos perdido de vista nuestra curva de
contagios debido a un muestreo insuficiente. Creemos que todav´ıa la podemos adivinar, aunque estamos muy
cerca de perderla de vista como nuestros colegas predicen. Entrevista en CIPER 16 de Abril
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