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ARTÍCULO DE INVESTIGACIÓN
RESEARCH REPORT
http://dx.doi.org/10.14482/zp.30.373
Programa de talento matemático
en educación básica
Mathematical talent program in basic education
C B Z
Universidad Pedagógica Nacional, Unidad Ajusco, Ciudad de México, México.
Doctora en Ciencias con Especialidad en Matemática Educativa, Cinvestav,
México.
Correo electrónico: cristianne@upn.mx
Código ORCID: 0000-0001-8913-2832
J D
Departamento de Matemáticas, Universidad Autónoma Metropolitana-
Iztapalapa, Ciudad de México, México. Doctor en Ciencias (Matemáticas),
Universidad Autónoma Metropolitana-Iztapalapa
Correo electrónico: joaquin.delgado.f@gmail.com
Código ORCID: 0000-0002-7316-6672
http://dx.doi.org/10.14482/zp.32.372.218
RESUMEN
Se presenta un estudio sobre la identicación y el desarrollo del talento matemático en estudian-
tes de educación básica primaria y secundaria fundamentado en el Modelo de Enriquecimiento
Escolar de Renzulli. La metodología usada fue de tipo mixto con diseño incrustado concurrente
de modelo dominante. Las dos etapas del estudio consistieron en: a) detectar estudiantes con
talento matemático en educación primaria básica y secundaria en lo que se reere a los procesos
de generalización; y b) diseñar y aplicar un programa de enriquecimiento extraescolar con estu-
diantes de educación primaria básica y secundaria en lo se que reere a los procesos de generali-
zación en ambiente eXpresser y Google Maps, así como en la hoja de cálculo Excel. El programa
de enriquecimiento extraescolar mostró ser efectivo, pues los alumnos lograron transitar hacia un
pensamiento multiplicativo.
Palabras clave: educación básica primaria, procesos de generalización, talento matemático.
ABSTRACT
A study on the identication and development of mathematical talent in elementary and se-
condary school students is presented and based on the Renzulli’s School Enrichment Model. The
methodology used was mixed type with concurrent embedded design of dominant model. The
two stages of the study consisted of: (a) detecting students with mathematical talent in basic and
secondary primary education in terms of generalization processes; and (b) designing and imple-
menting an extracurricular enrichment program with students of basic and secondary primary
education In terms of generalization processes in eXpresser and Google Maps environment, as
well as in the Excel spreadsheet. The extracurricular enrichment program proved effective as the
students managed to move towards multiplicative thinking.
Key words: primary education, generalization processes, mathematical talent.
Como citar este artículo:
Gómez Urrutia, V. & Arellano Faúndez, O.(2019). Portafolio reexivo: una propuesta para la ense-
ñanza de la Metodología Cualitativa. Zona Proxima, 31, 90-33.
Recibido: 3 de junio de 2019
Aprobado: 17 de septiembre de 2019
Programa de talento matemático en educación básica
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Cristianne Butto Zarzar, Joaquín Delgado
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I
En esta sección se presenta un breve recuento histórico del tema de superdotación y talento (G&T, por
sus siglas en inglés) desde la perspectiva de dos potencias en constante competencia por el liderazgo
político y tecnológico mundial: Estados Unidos y Rusia (anteriormente la Unión Soviética), posterior-
mente presentamos algunas iniciativas propias de Latinoamérica y particularmente en México.
Los estudios de superdotación se remontan a 1860 cuando Galton publica Hereditary Genius, un
estudio biográco de cuatrocientos hombres británicos. El autor concluye que la inteligencia se
deriva por herencia y selección natural. Binet y Simon, en 1905, desarrollan una serie de pruebas
con el n de separar a niños con inteligencia inferior de los normales, a n de colocarlos en clases
especiales. Lewis Terman, considerado el padre del movimiento para la educación de los superdo-
tados, publica en 1921 la escala Stanford-Binet, realizando un estudio longitudinal amplio que
incluyó a mil quinientos niños superdotados. En 1926, Leta Hollingwort publica la obra Gifted
children: their nature and nurture, considerado el primer libro de texto en el tema de superdotación.
Hollingwort forma la primera escuela Speyer en Manhattan para niños superdotados de siete a
nueve años. A iniciativa de J. P. Guilford, en la conferencia inaugural de 1950 de la convención
anual de la Asociación Norteamericana de Psicología (APA), se promueve la investigación sobre
dotación y talento con objeto de denir con precisión el concepto. La Guerra Fría promueve la
investigación e identicación de los estudiantes más brillantes y talentosos. El Reporte Marland
(1971) fue una iniciativa legislativa que alentó a las escuelas a que denieran la superdotación de
manera amplia. El reporte de 1983, A Nation at Risk da cuenta de los puntajes de los estudiantes
más brillantes de los Estados Unidos y su incapacidad para competir con sus homólogos interna-
cionales; el reporte recomienda el aumento de los estándares académicos y la promoción del plan
de estudios adecuado para los alumnos dotados. La NAGC, en 1998, publica los “Estándares del
Programa para Estudiantes Superdotados de Pre-K a Grado 12” a n de proporcionar orientación
en siete áreas clave para los programas dirigidos a estudiantes dotados y talentosos. A nation decei-
ved: how schools hold back America’s brightest students (2004) es un reporte publicado por el Centro
Belin-Blank de la Universidad de Iowa, en el que se reportan estrategias de aceleración para estu-
diantes avanzados. En el 2006, la NAGC publica estándares nacionales de educación dirigidos a
programas de preparación de maestros y estándares de conocimiento y habilidades en educación
de superdotados para todos los maestros. Las normas se revisaron en el 2013.
En el bloque socialista los precursores de la versión moderna del sistema de G&T en Rusia se
remontan al siglo XIX (Grigorenko, 2017), con las primeras “Olimpiadas de la Mente de los Es-
tudiantes.“ Cuando reaparecieron en la década de 1930, se hicieron muy populares y fueron una
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de las características más conocidas del sistema educativo soviético. Boris Delone, conocido ma-
temático y académico, desempeñó un papel crítico en la reintroducción de estas olimpiadas en la
educación rusa-soviética en 1934. Las Olimpiadas de Matemáticas se unieron con las Olimpiadas
de Física y Química en 1938, pero fueron interrumpidas por la Segunda Guerra Mundial y solo
se retomaron a nes de los años cincuenta. A n de mantener la auencia de alumnos dotados,
además de las olimpiadas se establecieron cuatro internados especializados para niños y adoles-
centes con conocimientos en matemáticas y ciencias en Moscú, Leningrado, Kiev y Novosibirsk,
en 1963. Estas escuelas reclutaron estudiantes por medio de las olimpiadas, pero debido a la le-
janía de algunas comunidades, algunos niños se correspondían con estas escuelas para recibir y
enviar tareas. Este modelo de educación a distancia se mejoró con el establecimiento, en 1970, de
la revista Kvant, dirigida a niños en edad escolar, la cual publicó materiales educativos, interpretó
descubrimientos cientícos para niños y diseminó problemas complejos a n de que los resuelvan
y los devuelvan a la revista. La versión en inglés, Quantum, se publicó bimestralmente como una
revista de la NSF en cooperación con Springer-Verlag New York (Ushakov, 2010). Vale la pena
hacer una observación especial con respecto a la utilización de pruebas psicológicas en el sistema
educativo ruso. El uso de pruebas psicológicas en el contexto de la educación se prohibió, de mane-
ra explícita, en 1936 (Comité Central del PCUS, citado en Grigorienko, 2017). En consecuencia,
el uso de pruebas estandarizadas en Rusia, en el contexto de los programas G&T, es muy limitado.
Sin embargo, los bajos resultados de las pruebas no excluyen la presencia de dones intelectuales
ni la posibilidad de que estos dones se desarrollen en el futuro. Por tanto, se recomienda que estas
pruebas se utilicen para nes de inclusión, mas no de exclusión; esta recomendación se conoce
como el uso de ”criterios positivos” de las pruebas. En resumen, la educación de niños G&T en
Rusia está estrechamente vinculada a su identicación inicial y su demostración recurrente de
alto rendimiento, es decir, la justicación repetida de su estado G&T.
I GT
La atención de estudiantes con habilidades excepcionales en matemáticas es tema de interés tam-
bién para otros sistemas educativos. En España, a partir de 1998, se desarrolló el programa “Estímu-
lo del talento matemático “ (Estalmat), diseñado para la detección, la orientación y la estimulación
de manera continua del talento matemático de estudiantes de doce a trece años a lo largo de dos
cursos, por medio del enriquecimiento curricular en cursos diseñados por especialistas en el tema,
en las sesiones que se realizan una vez por semana (Fernández y Pérez, 2011). Los resultados inicia-
les del proyecto demostraron que los niños participantes de este programa alcanzan un mayor grado
de conocimiento y creatividad en diferentes aspectos de las matemáticas, y cómo su participación en
el proyecto fortaleció y reforzó sus actitudes y aptitudes hacia las matemáticas en diferentes áreas.
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En Colombia, la Universidad Sergio Arboleda desarrolla el proyecto “Semicírculo”, el cual inicia
con sabatinos de treinta horas para niños de quinto a séptimo grado, entre los diez y los trece años,
para la identicación de talentos en cursos en los que se observa la argumentación, el trabajo en
equipo, la iniciativa y la actitud hacia el fracaso. Algunos de estos alumnos se promueven a la se-
gunda etapa con cursos de sesenta horas para niños de noveno a once grado en los que se trabajan
teorías matemáticas elementales con mayor profundidad, como, por ejemplo, geometría, funda-
mentos de matemáticas e introducción al cálculo. En una tercera etapa los alumnos seleccionados
se relacionan con pares académicos de la universidad. Los autores arman que el mejor ambiente
para desarrollar tal proyecto es el ambiente universitario, y han realizado un seguimiento biográ-
co de la vida académica de los egresados (Núñez, Gómez-Bermeo y Cortés, 2011; Núñez, Pérez,
Luque y Arévalo, 2004).
En Chile se desarrolló el programa “Búsqueda y desarrollo de talentos matemáticos” de la Pon-
ticia Universidad Católica de Chile, que inició en 1993 y se mantuvo vigente hasta el año de
2001. El objetivo fue identicar estudiantes con talento matemático (en dos ocasiones, 1993 y
1998) con una prueba de matemáticas y desarrollar el talento matemático en estudiantes que se
encontraran entre los nueve y los diez años de edad. En el programa se impartían clases de mate-
máticas diseñadas por expertos en el tema; este programa piloto sirvió de base para el “Programa
de Estudios y Desarrollo de Talentos de la Universidad Católica“ (Penta-UC) y que buscó desa-
rrollar el talento en diversas áreas. (Benavides, Ríos y Marshall, 2004). Derivado de este trabajo,
se han realizado programas de posgrado para docentes que trabajan en educación, especialmente
con estudiantes con talento, así como tambien se han desarrollado otro tipo de actividades, como
seminarios para la formación de docentes y talleres para padres; también se han desarrollado in-
vestigaciones sobre la pertinencia de atender a esta población.
En México, la Secretaría de Educación Pública (SEP, 2011) implementó, en 1986, el programa de
“Atención a Niños y Jóvenes con Capacidades y Aptitudes Sobresaliente” (CAS). Esta propuesta
se fundamentó en un programa de enriquecimiento curricular mediante actividades como, por
ejemplo, “Filosofía para niños” y “Desarrollo de la inteligencia a través del Arte”. El programa
estuvo vigente a nivel nacional hasta 1993 y, luego, con la reorganización de la SEP, se originaron
las secretarías de educación estales y la atención de los alumnos CAS se transrió a los estados
que propusieron diversas estrategias para tal nalidad. En la actualidad se han desarrollado otros
programas para el desarrollo del talento cientíco y matemático, por ejemplo, el programa “Adop-
te un talento” (Pauta), que inició actividades en el 2007 y lo nancia el Consejo Nacional de
Ciencia y Tecnología (Conacyt) de México, con el apoyo del Instituto de Ciencias Nucleares, el
Instituto de Biotecnología y la Dirección General de Divulgación de la Ciencia de la Universidad
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Nacional Autónoma de México cuenta con sedes en distintos estados del país. De acuerdo con
De la Torre, Del Valle, Carpinteyro y Mijangos (2017), el programa se basa en una propuesta
constructivista y se enfoca, principalmente, en el desarrollo del talento cientíco en niñas, niños
y adolescentes por medio de talleres de ciencia, vinculación con investigadores de diversas univer-
sidades y además realizan acompañamiento a padres de familia.
El proyecto de Círculos matemáticos, del Instituto de Matemáticas de la UNAM, México, tiene
como objetivo generar un espacio de convivencia entre la comunidad matemática y los estudian-
tes del sistema educativo nacional. Una de las nalidades es compartir el gusto y el entusiasmo
hacia las matemáticas, así como promover el razonamiento abstracto. Las actividades que se desa-
rrollan en dicho proyecto se realizan por medio de talleres lúdicos que profundizan en contenidos
que no aparecen en los planes y los programas de estudio de México. Los programas de círculos
matemáticos se originaron en la Unión Soviética y, posteriormente, se extendieron a Europa del
Este; en décadas recientes han sido desarrollados en EE. UU. Este proyecto se inició en 2016, en el
Instituto de Matemáticas de la UNAM con convocatoria abierta desde el 2017, y ha sido de gran
ayuda para los alumnos que participaron en el programa.
En la Universidad Autónoma Metropolitana Unidad Iztapalapa (UAM-I), Ciudad de México se
desarrolla el Instituto Carlos Graef Jóvenes hacia las Ciencias y las Ingenierías, es un programa
que en su origen fue orientado a captar el interés de jóvenes de nivel bachillerato por estudiar las
carreras de física y matemáticas; y luego se amplió hacia las ciencias (física, matemáticas y quími-
ca) y las ingenierías (computación, procesos e hidráulica, química y biomédica). En el programa
colaboran cientícos profesionales dedicados a la docencia, la investigación y la difusión de la
ciencia, de los departamentos de Física y de Matemáticas, además de otras ramas de la ingeniería.
En este proyecto se realizan talleres y conferencias sobre ciencias exactas y la implicación de estas
en el nuevo conocimiento.
En el Centro de Investigación en Matemáticas A. C., en Guanajuato (CIMAT), México, se desa-
rrolla un programa desde el 2011, se denomina “Matemorfosis” (término compuesto de las pa-
labras Matemáticas y metamorfosis, “cambio” o “transformación”) y tiene como objetivo acercar
las matemáticas a los niños, los jóvenes y el público en general, de un forma lúdica. A partir del
proyecto “Matemorfosis” se crea la Coordinación de Divulgación en el CIMAT, desde donde se
planean diversas actividades dirigidas a promover la cultura matemática en el estado. Entre estas
actividades se encuentran ciclos de conferencias, talleres de divulgación, festivales de ciencias, una
olimpiada de matemáticas y la formación de divulgadores de ciencias, entre otras.
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Las iniciativas mencionadas no tienen por principio atender a alumnos con altas habilidades,
excepto el programa de olimpiadas de matemáticas del CIMAT, sino hacer atractivas las matemá-
ticas y estimular su reexión.
E TAMME UPN-A
El proyecto “Talento matemático mexicano” (TAMME) es un programa de enriquecimiento ex-
traescolar para el desarrollo del talento matemático con estudiantes, profesores y padres de familia
de educación primaria y secundaria de la Ciudad de México y el estado de México. El programa de
enriquecimiento se desarrolla por medio de actividades Tipo I según el modelo de Renzulli (2008).
De forma simultánea, se ofrecen talleres vivenciales para padres de familia, impartidos por un
profesor y un profesional psicoterapeuta de la UPN-Ajusco. Las sesiones se realizan de manera
quincenal los días viernes y sábado de manera alternada, de dos horas y media aproximadamente
en las instalaciones de la UPN-Ajusco.
M
E M E E (SEM)
El Modelo de Enriquecimiento Escolar (SEM, por sus siglas en inglés, School Wide Enrichment
Model) se originó a partir del Modelo de la Triada de Enriquecimiento de Renzulli y Reiss (1985)
y Renzulli (2008), y se diseñó con la intención de fomentar y desarrollar la productividad creativa.
En el SEM el talento se representa por tres anillos que denen comportamientos talentosos más
que individuos talentosos. Estos tres componentes se interrelacionan:
El comportamiento talentoso consiste de comportamientos que reejan la interacción
entre tres cúmulos de tres rasgos humanos-habilidad promedio superior, altos niveles de
compromiso de tareas, y altos niveles de creatividad. Los individuos capaces de desarro-
llar un comportamiento talentoso son los que poseen o son capaces de desarrollar este
conjunto complejo de rasgos humanos y aplicarlos a un área potencialmente valiosa de
la actuación humana. Las personas que maniestan o son capaces de desarrollar una inte-
racción entre los tres cúmulos requieren de una variedad de oportunidades de educación y
servicios que no son provistos ordinariamente mediante programas de instrucción regular.
El modelo de triada consiste en tres tipos de actividades de enriquecimiento clasicadas en tipos
I, II y III. El enriquecimiento del Tipo I se puede dar a grupos generales o estudiantes que hayan
expresado interés en el tópico del área. El enriquecimiento del Tipo II, usualmente, se otorga a
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grupos de estudiantes en sus clases o en programas de enriquecimiento. Incluye el desarrollo de:
a) pensamiento creativo y resolución de problemas, pensamiento crítico y procesos afectivos; b)
una gran variedad de habilidades especícas de cómo aprender; c) habilidades en el uso apropiado
de materiales de referencia de nivel avanzado; y d) comunicaciones escritas, orales y visuales. El
enriquecimiento de Tipo III involucra a estudiantes que se interesan en proseguir en un área de
su elección y están dispuestos a comprometerse con el tiempo necesario para la adquisición de
contenidos avanzados y el entrenamiento de procesos en los que ellos asumen el papel de indaga-
dor de primera mano. El SEM contiene otras componentes que se ilustran en la Figura 1, en cuyo
frente se encuentre la triada y como dimensiones adicionales el currículum regular, los cúmulos
de enriquecimiento y el continuo de servicios especiales. Los recursos de implementación están
formados por los recursos institucionales y materiales sobre los que se concreta el modelo en una
escuela particular.
Figura 1. Modelo de enriquecimiento escolar de Renzulli (SEM)
Fuente: Elaboración propia
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A partir de 2017 se ha implementado otra componente del SEM basado en la web: el Renzulli
Learning©. Este consta, esencialmente, de tres módulos: el “Perlador”, en el que, a partir de
preguntas de diversas categorías, se determina un reporte sobre intereses, estilos de aprendizaje y
de expresión; una vez los estudiantes completan sus perles, tienen acceso a sus propias bases de
datos personalizadas en el módulo de “Actividades de enriquecimiento” y, nalmente, el “Porta-
folio”, el cual permite a los estudiantes mostrar su trabajo académico y mantener un historial de
todas las actividades de aprendizaje.
Esta investigación presenta resultados de un programa de enriquecimiento extracurricular para el
desarrollo del talento matemático con estudiantes de educación primaria básica y secundaria de
escuelas de la Ciudad de México y el estado de México bajo el marco teórico de Renzulli. El pro-
grama se realiza por medio de talleres de matemáticas dirigidos a estudiantes y talleres dirigidos a
padres de familia con el n de mejorar la comunicación y la relación con los hijos.
Las actividades que se describen en el programa de enriquecimiento extracurricular corresponden
al trabajo realizado con los procesos de generalización y el pensamiento computacional.
L
Los contenidos matemáticos que se trabajan en el programa de enriquecimiento para el grupo de
primaria son temas que están interconectados conceptualmente y hacen el tránsito de los pro-
blemas de estructura aditiva o multiplicativa al pensamiento algebraico. De acuerdo con Butto
y Delgado (2012), este contenido se encuentra en el currículum mexicano y es una etapa que
se caracteriza por la transición de la educación primaria a la secundaria. Según estos autores, los
procesos de generalización son un tema importante de investigación y diversos autores lo con-
sideran una ruta de acceso al pensamiento algebraico temprano, como, por ejemplo, Bednardz,
Kieran y Lee (1996), o Butto, Delgado y Bazán (2018), quienes reconocen cuatro acercamientos
a la enseñanza del álgebra: a) la generalización de patrones numéricos y geométricos y de las le-
yes que gobiernan las relaciones numéricas; b) la modelización de situaciones matemáticas y de
situaciones concretas; c) el estudio de situaciones funcionales; y d) la resolución de problemas y
ecuaciones. En este estudio se trabaja la generalización de patrones numéricos y geométricos, así
como de las leyes que gobiernan las relaciones numéricas, como una vía para acceder al pensa-
miento algebraico temprano.
La utilización de patrones en la enseñanza de las matemáticas es pertinente por lo menos por dos
razones: primero, porque el mundo en que vivimos contiene patrones y regularidades; segunda,
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porque los patrones están presentes en las matemáticas y la habilidad para reconocerlos contri-
buye a llegar, de manera intuitiva, a fórmulas y relaciones que pueden utilizarse en matemáticas,
como, por ejemplo, en álgebra.
Según Mason, Graham, Pimm y Gower (1985), el uso de patrones es importante para el pensa-
miento matemático y algebraico. La generalización en álgebra es algo primario hacia la abstrac-
ción matemática y puede desarrollarse a partir del trabajo con patrones o regularidades, de modo
que benecie su articulación en situaciones diarias y escolares que posteriormente ayudarán al
pensamiento algebraico. En consecuencia, a n de aprender el lenguaje algebraico es importante
que el alumno tenga algo que comunicar; para eso necesita percibir un patrón o una regularidad y,
después, intentar expresarlo y comunicarlo a alguien. Para Mason et al. existen cuatro etapas que
permiten trabajar la generalidad en el salón de clases: percibir un patrón, expresarlo, registrarlo y
probar la validez de las fórmulas.
De acuerdo con Castro, Rico y Castro (1995), toda situación repetida con regularidad involucra
un patrón. Estos pueden formarse a partir de un núcleo que genera situaciones y, en algunas oca-
siones, el núcleo se repite y en otros crece de manera regular. La matemática descubre patrones
en los números, en la computadora, en el espacio y en la imaginación. Las teorías matemáticas
ayudan a comprender las relaciones entre los patrones y sus estructuras, con el objetivo de explicar
y predecir fenómenos que jan un patrón.
El trabajo con patrones lo recomienda también, en los estándares curriculares y de evaluación,
la National Council Teacher of Mathematics (NCTM, 1989), cuyo documento recomienda el
uso de patrones desde muy temprana edad (lo equivalente a la enseñanza preescolar), extensible
hasta los grados superiores, pues señala que el trabajo con los procesos de generalización puede,
inicialmente, desarrollarse de forma intuitiva, al observar la regularidad y al desarrollar un trabajo
con patrones. Regianni (1994) comenta que procesos de generalización es un término utilizado en
matemáticas para indicar el paso de lo particular a lo general y observar la generalidad en casos
particulares.
O
Los objetivos son:
Detectar estudiantes con talento matemático en educación primaria básica y secundaria
en lo que se reere a los procesos de generalización y el pensamiento computacional.
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Diseñar y aplicar un programa de enriquecimiento extraescolar con estudiantes de educa-
ción primaria básica y secundaria con respecto a los procesos de generalización y el pensa-
miento computacional en entornos digitales de aprendizaje.
E
Participaron del estudio ciento veintiséis alumnos de cuarto, quinto y sexto grado de primaria
básica y primero y segundo grado de secundaria de escuelas públicas de la Ciudad de México y
del Estado de México, con edades entre los nueve y los doce años, en el proceso de evaluación. Se
seleccionó una muestra de cuarenta y seis estudiantes para el programa. Los estudiantes asisten a
talleres de matemáticas que se llevan a cabo fuera de la escuela.
El programa se realiza en las instalaciones de la Universidad Pedagógica Nacional, Unidad Ajusco,
de la Ciudad de México. Los talleres se imparten los días viernes y sábados, cada quince días, con
una duración de dos horas, aproximadamente. Los estudiantes provienen de un nivel socioeconó-
mico bajo.
Para la realización de los talleres dirigidos a los estudiantes, a los padres de familia y a los docentes
se cuenta con los siguientes espacios:
Un aula por cada grupo de alumnos de primaria básica.
Aula de informática para los estudiantes de secundaria.
Sala para los talleres de padres de familia.
Patios.
C
El proyecto tiene por objetivo despertar la curiosidad cientíca y el desarrollo del talento mate-
mático. Se trabajan actividades del Tipo I, de acuerdo con el modelo de Renzulli y Reiss (2008),
por medio de talleres de matemáticas dirigidos a los estudiantes de educación primaria básica y
secundaria. Además, se imparten talleres para los padres de familia de manera simultánea a los
talleres para docentes.
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La intervención orientada al desarrollo del talento matemático se centra en la realización de ac-
tividades Tipo I que tratan actividades y contenidos con diversos materiales materiales didácticos.
En este sentido, se destaca el trabajo para restaurar la motivación y el nivel de rendimiento, así
como el entrenamiento de habilidades comunicativas y de interacción social entre los estudiantes
como una manera de aprender matemáticas.
M
El corte del estudio de esta investigación fue mixto. Como referencia, Tashakkori y Teddlie (2009,
citados en Hernández et al., 2014) mencionan que el método mixto es un tipo de diseño de
investigación que emplea las metodologías cuantitativa y cualitativa en el tipo de preguntas de
investigación, recolección de datos, procedimientos de análisis e hipótesis. Se utilizó un diseño
anidado o incrustado concurrente de modelo dominante (DIAC) (Hernández et al., 2014). En el
DIAC se recolectan de forma simultánea datos cuantitativos y cualitativos, y diere de otros dise-
ños mixtos, pues aquí un método predomina sobre el otro. Un método dirige el proyecto (en esta
investigación predomina el cualitativo). El método con menor prioridad es anidado o incrustado
dentro del método principal. El método secundario (en este caso el método cuantitativo) respon-
derá a diferentes preguntas de investigación respecto al método principal. Este diseño ofrece una
visión amplia del fenómeno estudiado, con la diferencia de que se usará un solo método; algunos
datos cualitativos se pueden incorporar a n de describir el objeto de estudio y obtener mayor in-
formación, lo cual no ocurre si solo se cuanticara, o en una situación contraria. En este diseño
se recolectan, de manera simultánea, datos cuantitativos y cualitativos.
Los datos cuantitativos y cualitativos se comparan en la fase de análisis. En este caso, la primera
parte del estudio la componen la información obtenida mediante el cuestionario de procesos de
generalización, la escala de estilos de aprendizaje y la escala de apoyo familiar; en la fase de aná-
lisis se categorizaron las respuestas dadas por los alumnos con el propósito de observar las estra-
tegias de resolución de problemas que utilizaron. Con los datos de las escalas se buscó observar la
relación entre apoyo familiar y estilo de aprendizaje.
D
Etapa 1
En esta etapa se busca detectar estudiantes con talento matemático en educación primaria básica
y secundaria, en lo que se reere a los procesos de generalización.
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A n de detectar a los estudiantes con talento matemático en educación primaria básica y secun-
daria se utilizaron los siguientes instrumentos.
Cuestionario sobre procesos de generalización de Butto et al. (2018). El instrumento contiene
cuatro tipos de preguntas: sucesión aritmética creciente y decreciente, sucesión geométrica,
relación cuadrática y variación de número general, los cuales aparecen en la Tabla 1.
Tabla 1. Descripción del cuestionario sobre procesos de generalización
Pregunta Contenido algebraico
1 Sucesión aritmética creciente y decreciente.
2 Puntos en sucesión aritmética xn = xn-1+1 y en sucesión geométrica yn = 2 yn-1.
3 Variación conjunta de dos variables.
4 Variación funcional lineal y = 2x+1, resolución de la ecuación 2x+1= b.
5 Barras en sucesión aritmética xn = xn-1+1 y en sucesión geométrica yn = 2 yn-1.
6 Plantear y resolver las ecuación x + x/3 = 1200.
7 Plantear y resolver las ecuación x + x/2 = 1200.
8 Sucesión de rectángulos con base en sucesión geométrica y altura en sucesión aritmética.
La entrevista clínica individual. Tiene como objetivo indagar sobre los procedimientos y las
estrategias que utilizaron los niños para responder el cuestionario de procesos de genera-
lización.
Cuestionario de estilos de aprendizaje (Alonso, Gallego y Honey, 2007). Se implemento con el
n de identicar el estilo de aprendizaje de los alumnos. Estuvo conformado por ochenta
ítems agrupados en grupos de veinte cada uno, de acuerdo con los estilos de aprendizaje,
clasicados en activo, reexivo, teórico y pragmático. El alumno responde si está de acuer-
do o en desacuerdo con la armación que se le presenta.
Escala de apoyo familiar de Bazán, Sánchez y Castañeda (2007). Tiene como nalidad ob-
tener información relacionada con el apoyo que los padres brindan a sus hijos en las
materias de español y matemáticas. Existen dos versiones del cuestionario: una dirigida a
los padres y otra para el alumno, los cuales utilizan los mismos indicadores y las mismas
preguntas (varía solo la forma de plantearlas). El cuestionario consta de diecinueve reac-
tivos, distribuidos en cuatro dimensiones: 1) asistencia o apoyo en tareas escolares; 2)
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tiempo y espacio proporcionado para el estudio; 3) comunicación regular con los docentes
y los directivos; y 4) repaso y evaluación; se contestan de forma separada para las mate-
rias “Español” y “Matemáticas”, en una escala Likert con cinco opciones que miden la
frecuencia de las conductas analizadas: a) nunca, b) casi nunca, c) algunas veces, d) casi
siempre, y e) siempre, con excepción de uno de los ítems (tiempo dedicado por los padres
al apoyo en las tareas escolares). Los resultados se ofrecen en un rango de valores entre 0 y
4 que se pueden interpretar, según los autores, como un indicador de la percepción sobre
la frecuencia con la que los padres desarrollan cierto tipo de comportamientos de apoyo a
sus hijos (los valores mayores indican una frecuencia mayor). De igual forma, se calcula
un promedio general para cada una de las cuatro dimensiones del apoyo.
Nominación de compañeros y profesor. Técnica mediante la cual el profesor del grupo y los
compañeros nombran a un compañero que ellos consideran se destaca en el área de ma-
temáticas.
Calicaciones de matemáticas. Se consideraron las calicaciones de los estudiantes en esta
disciplina como un indicador para el talento matemático.
Etapa 2
El programa de enriquecimiento extraescolar con estudiantes de educación primaria básica y
secundaria, en lo que se reere a los procesos de generalización con actividades en lápiz y papel,
micromundo eXpresser, Google Maps y la hoja de cálculo Excel.
El programa de enriquecimiento extracurricular tiene como objetivo desarrollar el talento mate-
mático de los estudiantes. En esta etapa se diseñaron actividades de enriquecimiento Tipo I, según
la propuesta de Renzulli. Los estudiantes trabajaron en los talleres de matemáticas para primaria
básica y secundaria.
En las actividades de generalización, en el grupo de primaria básica, que se describen a continua-
ción, se hace uso del micromundo eXpresser, diseñado con el propósito de apoyar la construcción
de patrones grácos y su generalización mediante fórmulas aritméticas que contienen cantidades
que pueden cambiarse al asumir el papel de las variables.
Talleres para estudiantes de educación primaria básica
Los estudiantes trabajaron en parejas, primero en actividades con lápiz y papel, y luego en activi-
dades en eXpresser, acompañados de hojas de trabajo en cinco sesiones con duración de cincuenta
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minutos cada una. Se ofreció una breve exposición que explica cómo funciona eXpresser, y se leyó
una de las hojas de trabajo a n de indicar cómo sería el trabajo. Los contenidos matemáticos de
las sesiones se resumen en la Tabla 2.
Tabla 2. Descripción de las actividades en eXpresser
Actividad Nombre Descripción Contenido
1Mi primer patrón con
eXpresser
El estudiante se familiariza con
el micromundo eXpresser y se le
solicita construir patrones.
2
Trabajando en el
“Mundo general”
y trabajando con
diferentes colores
Construir un patrón con diferentes
colores para llegar a una regla que
le permita colorear el patrón en el
“Mundo general”.
Generalización
3 La vía del tren
Construir un patrón que se
asemeje a una vía del tren, usando
diferentes colores, para mostrar
cómo realizó el patrón.
Imitar un patrón a
partir de un bloque
de distintos colores.
4 El sendero
Construir un patrón que sirva de
base para la construcción de otro
utilizando mosaicos de color rojo.
Construir un
patrón a partir
de un bloque del
mismo color
5 El jardín con rosas
Construir un patrón que represente
una jardinera llena de rosas rojas,
rodeada de césped. Usa mosaicos de
color rojo para las rosas y de color
verde para el césped.
Construir un
patrón a partir
de un bloque de
distintos colores
Utilizamos el eXpresser como un software con el n de trabajar problemas que se reeren a los
procesos de generalización, como, por ejemplo, los que se exponen a continuación.
El micromundo eXpresser
El término micromundo lo introdujo Seymour Papert como “un subconjunto de realidad o una
realidad construida cuya estructura coincide con la de un mecanismo cognitivo dado para pro-
porcionar un entorno donde este último pueda operar de manera efectiva”. Uno de los primeros
ejemplos fue Logo y sus variantes como, por ejemplo, el módulo “Turtle” en el lenguaje de pro-
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gramación Python. Otros ejemplos incluyen programación y robótica como Lego Mind Storms©
o Drone Lego©. El micromundo eXpresser fue un proyecto del Grupo Migen, una plataforma de
uso especíco diseñada en Java que proporciona a los estudiantes un modelo para la generaliza-
ción, de acuerdo con Geraniou, Mavrikis, Noss y Hoyles (2009). En eXpresser, los niños pueden
construir patrones utilizando mosaicos y colores, así como encapsularlos en forma de bloques que
pueden reproducirse de manera repetida y proporcionarle las reglas de colocación en las direccio-
nes horizontal y vertical, así como cuántas veces repiten el bloque. Dada su sencillez y el enfoque
hacia los procesos de generalización, se seleccionó como el ambiente de trabajo que se detalla más
adelante. El micromundo contiene dos ventanas: “Modelo computacional” a la izquierda y “Mi
modelo” a la derecha. En el ejemplo de la Figura 4, “Mi modelo” consiste en un patrón formado
por un bloque que se repite tres veces, en el que el bloque (una or) se compone de seis celdas
rojas, dos verdes y dos amarillas. En la ventana de “Propiedades”, la celda en rosa está desbloquea-
da y representa una variable, en este caso el número de veces que se repite el bloque; solo hasta
que esta variable se usa de manera correcta para calcular el número total de celdas de cada color
—como lo muestran las fórmulas bajo la pregunta “¿cuántas tejas?”— el patrón en el “Modelo
computacional” se ilumina. El estudiante puede entonces dejar correr la simulación para vericar
sus fórmulas. Nótese que cuando el modelo ha sido generalizado, en el sentido de que el total de
tejas de cada color se calculan en términos de la variable libre (número de veces en el ejemplo),
el “Modelo general” se ilumina, “Mi modelo” se encuadra con un borde magenta y ambos corren
de manera asíncrona e independiente. De esta manera, eXpresser indica que el modelo ha sido
generalizado.
Actividades para el grupo de secundaria
Para el grupo de primaria se ofrecieron actividades con materiales tales como numeración maya,
fracciones y eXpreser (véase la Figura 2). Para el grupo de secundaria, las actividades incluyeron
el problema del agente viajero mediante la app de Google Maps y la hoja de cálculo Excel (véanse
las guras 3 y 4).
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Figura 2. La apariencia en eXpresser de “Modelo
general” (izquierda) y “Mi modelo” (derecha)
Fuente: Elaboración propia
Figura 3. Actividades de enriquecimiento grupo de secundaria
Fuente: Elaboración propia
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Figura 4. Ejemplo de la actividad del agente viajero grupo de secundaria
Ejemplo de la actividad problema del agente viajero.
Grupo de Secundaria CS: Traveling; computational thinking for Educators.
Fuente: Elaboración propia
Actividades para el grupo de secundaria
En el grupo de alumnos de secundaria se trabajó con una versión simplicada del “problema del
agente viajero”, con la idea de que los alumnos reconocieran: (a) la complejidad del número de
trayectorias posibles, (b) el cálculo de las distancias de recorrido para cada trayectoria para deter-
minar la trayectoria de recorrido mínimo y (c) la desigualdad del paralelogramo para determinar
que una ruta es más corta que otra. Primeramente, los alumnos usaron la app de Computational
Thinking for Educators CS: Traveling1. En esta aplicación los alumnos seleccionan una región del
mundo, por ejemplo Europa, y ordenan las ciudades por longitud, por latitud o al azar. Los alum-
nos pueden arrastrar con el ratón el orden en el que las ciudades serán recorridas por el agente
viajero. Una vez ordenadas la aplicación tiene un botón que ejecuta un programa que hace uso
de Google Maps para contar el número de kilómetros recorridos en la trayectoria seleccionada. De
esta manera los alumnos puedes evaluar el costo en kilómetros para determinar cuál es la mejor
estrategia.
1 https://computationalthinkingcourse.withgoogle.com/unit?unit=2&lesson=3
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En una segunda sesión, los alumnos trabajan de manera más “manual”. Se les pide que seleccio-
nen con Google Maps, una región central del país (México) que contenga cuatro ciudades prin-
cipales (Ciudad de México, Cuernavaca, Puebla y Toluca, en concreto). Con ayuda del ratón, los
alumnos pueden medir las distancias entre ciudades en línea recta y con ello construyen con la
hoja de cálculo Excel una matriz de 4 x 4 que contiene las distancias de una ciudad a otra. Se mo-
tiva a los alumnos para que interpreten la simetría de la matriz como la propiedad de simetría de
la distancia entre ciudades. Para nes de cálculo se asignan números grandes a la diagonales esta
será la matriz de distancias recorridas (primera matriz de la Figura 3). En seguida, por cada ruta
se copia la matriz de costos y se rellena de ceros los elementos fuera de la diagonal y se pone un 1
para indicar el origen y destino consecutivos para construir la ruta (por ejemplo, para la Ruta 1 de
la Figura 3, leemos la ruta CDMX -Toluca- Cuernavaca - Puebla- CDMX). Finalmente se multi-
plican la matriz de distancias y la matriz de Ruta elemento a elemento y se suman (no confundir
con la multiplicación matricial), para ello se hace uso de la función SUMAPRODUCTO de Excel.
De esta manera se pueden calcular las distancias para las distintas rutas que los alumnos puedan
construir. Como Ejercicio nal, el instructor motiva dos preguntas. (a) ¿Cuál es el número de
rutas posibles?, se puede dar una regla para el número de rutas posibles para 5 ciudades, para 6
ciudades,...? (b) Para las cuatro ciudades cuál ruta es más larga: en la que se visitan las ciudades
en diagonal o por los lados?
Análisis y procesamiento de la información de la primera etapa del estudio
Para el análisis de los datos se utilizó el paquete estadístico SPSS, versión 20. Se usaron estadísticas
descriptivas a n de describir el comportamiento de las variables analizadas en la muestra y en los
subgrupos. Además, se analizaron las diferencias por sexo en las áreas de percepción de apoyo fa-
miliar. Estas se realizaron por medio de pruebas de comparación de medias para muestras indepen-
dientes. Se aplicó un análisis de varianza simple con el propósito de vericar las diferencias entre los
alumnos en las ocho categorías. Posteriormente, se aplicaron pruebas de comparaciones múltiples
de Bonferroni para identicar dónde se ubicaban las diferencias. Finalmente, se calcularon las corre-
laciones, con el objetivo de vericar las asociaciones entre las diferentes variables tanto en la mues-
tra general como en los distintos contextos educativos. Se realizaron los siguientes tipos de análisis:
Análisis de cuestionario de estilos de aprendizaje (EA). Se analizó la consistencia interna del
instrumento con la nalidad de corroborar la validez de los datos presentados; la escala
obtuvo un alfa de Cronbach de 0,870, e indica una validez interna.
Análisis de nominación por parte de profesores y compañeros. Se comparó la nominación de
profesores y de compañeros.
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Calicaciones en matemáticas. Se analizaron las calicaciones de los estudiantes como un
factor que permite determinar el talento matemático. Se obtuvo el promedio de las cali-
caciones por escuela y el grado escolar. En la escuela de la Ciudad de México, los estu-
diantes de cuarto, quinto y sexto grado obtuvieron un promedio de nueve. En la escuela
del Estado de México, los estudiantes de primer y segundo grado de secundaria obtuvieron
un promedio de nueve.
Análisis de escala de percepción de apoyo familiar (PAF). Para la escala de apoyo familiar se
realizó un análisis de consistencia interna del instrumento a n de corroborar la validez de
los datos. La escala de apoyo familiar (PAF) obtuvo un alfa de Cronbach de 0,860, lo cual
indica una considerable validez interna. También se analizó la correlación general entre
los cuatro constructos en contraste con los cuatro constructos del instrumento de PA, que
son: activo, reexivo, teórico y práctico.
Análisis y procesamiento de la información de la segunda etapa del estudio
El análisis de la segunda etapa del estudio se realizó por medio de las hojas de trabajo. Los estu-
diantes trabajaron en parejas y resolvían las actividades propuestas en los talleres de matemáticas.
El análisis de los datos consistió en analizar las respuestas de los estudiantes, así como la interac-
ción social entre ellos.
R P :
R
El cuestionario de apoyo familiar (PAF) alcanzó un alfa de Cronbach de 0,860, lo que indica una
considerable validez interna, mientras que la escala de estilos de aprendizaje obtuvo un alfa de
Cronbach de 0,870; esto reere que ambos instrumentos tienen una adecuada validez interna.
Con respecto a los estilos de aprendizaje que clasicaron en “reexivo” y “teórico”, según Alonso
et al. (2007) el estudiante con estilo de aprendizaje reexivo pone mucha atención y cuidado en
las tareas que realiza, es analítico, observador, detallista y propenso a investigar; mientras que el
estudiante con un estilo de aprendizaje teórico es metódico, lógico, objetivo, crítico, estructurado,
sistemático, cuestiona los procedimientos que aprende y propone nuevos.
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Para el total de la muestra se encontró que hubo una correlación de Pearson alta entre el estilo
de aprendizaje reexivo con los constructos de apoyo familiar “proporcionar tiempo” y “espacio
para el estudio”, con 0,323. También hubo una correlación signicativa entre el estilo reexivo
y el constructo de apoyo familiar “evaluación y repaso”, en el que se obtuvo una correlación de
Pearson de 0,224. Por su parte, el estilo de aprendizaje teórico tuvo una alta correlación con tres
de los cuatro constructos evaluados por la escala de apoyo familiar; estas correlaciones son con
“asistencia o apoyo en tareas escolares”, “tiempo y espacio para el estudio” y “evaluación y repa-
so”. En el caso especíco de los alumnos de quinto grado, la mayor correlación fue entre el estilo
de aprendizaje reexivo con el constructo de “tiempo y espacio para el estudio”, al presentar una
correlación de Pearson de 0,260 con una signicancia bilateral de 0,023.
R
A partir de las respuestas de los estudiantes, obtenidas en la entrevista clínica individual, se cate-
gorizaron las respuestas y se obtuvieron dos tipos de estrategias:
Estrategia aditiva. En este tipo de respuesta los estudiantes resuelven los problemas plan-
teados mediante sumas y restas explícitas o mentales, o con conteo. Se maniesta un
pensamiento aditivo o aritmético.
Estrategia prealgebraica. En esta categoría los estudiantes resuelven los problemas con una
multiplicación y establecen relaciones proporcionales, comprenden la idea de variable
como número general y como una relación funcional, pero se les diculta encontrar una
regla general y expresarla de forma verbal o escrita.
R
Se realizó un análisis de consistencia interna del instrumento de procesos de generalización. Este
mostró un muy buen indicador de consistencia interna para dos dominios (relación cuadrática y
variable o número general, ambos con un coeciente alfa de Cronbach de 0,80 y 0,73, respecti-
vamente), y con indicadores aceptables para dos dominios (sucesión aritmética creciente y decre-
ciente de 0,64, y para guras de sucesión de 0,58). Posee un coeciente alfa de Cronbach de 0,83
en todo el instrumento, lo cual signica que hay buena consistencia interna del instrumento para
medir indicadores de procesos de generalización en estas tareas y en las cuatro diferentes dimen-
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siones: “sucesión aritmética creciente y decreciente”, “sucesión aritmética”, “relación cuadrática”
y “variación de número general”.
R
:
A continuación, se presentan los resultados obtenidos en el cuestionario de procesos de generali-
zación.
Figura 5. Respuestas de los alumnos al
cuestionario sobre procesos de generalización
Estrategias de resolución de problemas
67%
2%
31%
Aditiva Pre algebraica No respondió
Fuente: Elaboración propia
Los resultados obtenidos se muestran en la Figura 5. La mayoría de los estudiantes, el 67% de la
muestra, proporciona una respuesta de tipo aditivo; un 31% no responde a las preguntas o no ter-
mina de resolver el problema en razón a su complejidad; y solo un 2% de los alumnos proporciona
una respuesta de tipo pre-algebraico. Este es el porcentaje que tamizamos como alumnos con ta-
lento matemático, porque están en la transición del pensamiento multiplicativo al pre-algebraico,
de acuerdo con su edad (Butto y Delgado, 2012).
Ejemplo de identificación de una secuencia. Pregunta 1
Contenido matemático: se pide completar sucesiones aritméticas crecientes y decrecientes. En la
Figura 6 se muestran las respuestas de Liza y Luis.
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Figura 6. Problema 1. Identificación de sucesiones de Liza (izquierda) y Luis (derecha)
Fuente: Elaboración propia
Comentario: Luis identica la sucesión decreciente que incluye términos negativos (c), a dife-
rencia de Liza. En la sucesión decreciente de términos positivos (d), Luis yerra en el cálculo del
último término.
Ejemplo de pensamiento aditivo y multiplicativo. Pregunta 2
Contenido matemático: comparación del crecimiento una sucesión aritmética y una sucesión
geométrica.
Se pide al estudiante observar cuatro guras de sucesiones aritméticas y geométricas de puntos y
se le solicita continuarlas. En la Figura 7 se muestra una respuesta de Liza y Luis.
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Figura 7. Comparación de sucesión aritmética y geométrica
de Liza (izquierda) y Luis (derecha)
Fuente: Elaboración propia
Liza realiza el cálculo mental del quinto término de la serie geométrica (16 = 2 x 8) y hace explí-
cito el cálculo recursivo de los siguientes términos (32 = 2 x 16; 64 = 2 x 32), por tanto, muestra
un pensamiento multiplicativo. Luis no explicita los cálculos y dibuja sesenta y tres puntos en vez
de sesenta y cuatro, lo que evidencia su pensamiento aditivo.
Ejemplo de estrategia prealgebraica. Pregunta 3
Contenido matemático: sucesiones aritmética y geométrica en variación conjunta.
Se le pide al estudiante observar tres albercas de distintos tamaños y, a partir de estas, dibujar las
albercas 4 y 5; posteriormente, se le pide gracar la variación de cuadros negros con blancos, que
llene una tabla de valores y responda una serie de preguntas. En la Figura 8 se muestran los resul-
tados de Liza, quién alcanzó esta categorización.
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Figura 8. Respuestas de Liza al problema de las albercas
Fuente: Elaboración propia
Liza completa la sucesión de albercas y consigue representar la variación de cuadros blancos y
negros (azul en el dibujo) con la alberca, lo cual muestra su dominio en dos niveles de represen-
tación de la variación: pictórico y gráco. Además, puede separar claramente la variación del nú-
mero de cuadros blancos y azules de la variación conjunta, representada en la sucesión pictórica.
En la Figura 9 se muestra la tabla de respuestas de Liza. Sus respuestas hacen uso de tres variables
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en la relación C = N + B, donde N es el número de cuadros negros, B el número de cuadros blan-
cos y C el número total de cuadros negros y blancos (las columnas en ese orden). Liza hace uso
de las relaciones N = C - N, B = C - N en sus respuestas a los incisos (a) y (b). En los incisos (c)
y (d) no alcanza a dar totalmente la regla, pero usa el hecho de poder calcular el total de cuadros
usando la fórmula lado x lado.
Figura 9. Tabla de respuestas de Liza
al problema de las albercas
Fuente: Elaboración propia
Segmento de la entrevista de Liza (diez años)
E: ¿Qué hiciste para poder dibujar las albercas 4 y 5?
N: Vi las primeras tres y me jé como iba creciendo.
E: ¿Cómo iban creciendo?
N: [Señala la alberca] Los bordes iban aumentando más cuatro en todas, y el centro de la dos
se multiplica, el centro de la uno por cuatro y luego la tres, la cuatro y la cinco al doble más
uno.
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E: Si yo te pidiera dibujar la alberca seis, ¿cómo lo harías?
N: Igual.
E: ¿Cómo es igual? ¿Qué tendrías que hacer para saber cuál es el número de cuadrados blancos
y verdes de la alberca seis?
N: Para los blancos de la seis sumar el número de cuadrados de la cinco más cuatro, y para el
centro el doble de la cinco más uno.
E: ¿Cómo hiciste las grácas? ¿Qué datos tomaste o que hiciste para hacer la primera gráca
y la segunda?
N: Para la primera me jé en las albercas y conté los cuadrados negros, y para la segunda hice
lo mismo, pero aquí me jé en los cuadros blancos.
E: ¿Varían de la misma manera los cuadros negros y los cuadros blancos?
N: Sí, porque en cada uno es cuatro.
E: ¿Cuáles crecen más rápido? ¿Los cuadros negros o los cuadros blancos?
N: Negros, porque nada más se saca el área de la alberca.
E: ¿Cómo llenaste la tabla? ¿Qué datos utilizaste para llenarla?
N: Me je en las albercas, primero ponía cuantos cuadros blancos y negros, y luego solo los
negros y luego solo los blancos.
E: ¿Como vas obteniendo el número de cuadros negros?
N: Restando el número de mosaicos negros y blancos menos el número de mosaicos blancos.
E: ¿Cómo encuentras el número de mosaicos blancos si conoces el lado de la alberca?
N: Buscando el área, por ejemplo, si es tres multiplico 3 x 3 = 9 - 1 = 8, y serían ocho mosaicos
blancos.
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R : X
La primera sesión, que no se reporta aquí, incluyó actividades de familiarización con el ambiente
eXpresser. A continuación, se muestran algunas hojas de trabajo y se describen las respuestas de
los estudiantes a las actividades propuestas en los talleres de matemáticas.
Figura 10. Hoja de trabajo de actividad en eXpresser. a)
repetir un bloque cuadrado; b) hoja de respuestas
Fuente: Elaboración propia
En la actividad mostrada en la Figura 10 se pide al alumno construir un bloque en forma de un
cuadrado de 3 x 3 que contiene celdas rojas y azules, y después repetirlo para formar un patrón
(véase la Figura 10a). El alumno debe decidir cuántas celdas a la derecha y a la izquierda mover el
bloque para que no se traslapen, así como predecir el número de celdas rojas y azules dependiendo
del número de veces que se repite el patrón (x). Se trata de una sucesión aritmética simple, dada
por las fórmulas a = 2x, r = 3x, donde x es el número de veces que se repite el bloque, a es el núme-
ro de bloques azules y r es el número de bloques rojos. En las hojas de respuestas de la Figura 10b,
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pregunta 3, se le pide al estudiante rellenar la tabla conteniendo las las x, a, r de las sucesiones.
Cuando x es pequeño el alumno puede experimentar con eXpresser para vericar su respuesta,
pero para valores grandes como x = 30, que se muestran en la tabla de la Figura 10b, el alumno
se ve forzado a proponer una regla. Especícamente, para x = 273, en la pregunta 4, Figura 9b, se
muestra el cálculo hecho por el alumno para obtener los valores de a y r.
En la Figura 11 se muestra una actividad similar, pero al alumno se le da libertad de construir el
bloque inicial. En la Figura 10a el alumno construye un bloque cuadrado de 3 x 3, pero usa siete
colores amarillos y dos verdes.
Figura 11. Hojas de trabajo de actividad en eXpresser. a) repetir
un bloque diseñado por el estudiante; b) hoja de respuestas
Fuente: Elaboración propia
Las reglas de las sucesiones aritméticas son a = 7x, v = 2x, donde x es el número de veces que se
repite el bloque, a es el número de celdas amarillas, v el número de celdas verdes. En la hoja de
respuestas (Figura 10b, pregunta 5), el alumno llena la tabla conteniendo las las de estas su-
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cesiones. Los cálculos del alumno para la sucesión a = 7x, para los valores de x = 67, 14, 51, se
muestra en la parte inferior de la hoja de trabajo en la Figura 10b, lo cual muestra que el alumno
es capaz de usar la regla.
R :
G M E
En una primera sesión, los alumnos usaron la suite de Google Computational Thinking for Educa-
tors y seleccionaron “Europa”. El programa contiene una lista de ciudades y los alumnos escogen
un ordenamiento de la lista por longitud, latitud y de forma aleatoria. Luego ellos ordenan, arras-
trando el ratón, los ítems de la lista para denir el orden de recorrido. Al nalizar la ordenación,
el programa calcula las distancias de la ruta y arroja el resultado en kilómetros. Así, los alumnos
pueden experimentar con la dicultad del problema. Casi siempre la elección inicial aleatoria
arroja el peor resultado. Los alumnos comprenden la necesidad de una estrategia. Aunque ellos no
llegan a explicitarla, la mayoría usa una estrategia de minimización local.
En otra variante del problema y en una segunda sesión, los alumnos seleccionaron un mapa de
México de Google Maps y unas pocas ciudades (Ciudad de México, Toluca, Cuernavaca, Puebla),
a n de trazar las posibles rutas con origen y destino a la Ciudad de México (CDMX).
C
En lo que se reere a la primera etapa del estudio, los resultados revelan que los estudiantes con
talento matemático tienen habilidades matemáticas por encima de su nivel de conocimiento,
especícamente en lo que se relaciona con los procesos de generalización. Los estudiantes con
talento poseen un nivel conceptual alto de las ideas exploradas en el instrumento, así como de las
estrategias de resolución de los problemas, en los cuales las estrategias pre-algebraicas en ese nivel
escolar explorado (quinto grado de primaria) revelaron que los estudiantes comprenden ciertas
ideas algebraicas. Además, utilizaron estrategias de resolución de problemas creativas e intenta-
ron resolver los problemas planteados de manera autónoma, mientras que los demás alumnos
recurren a estrategias, principalmente aditivas, y recurren a procedimientos de acierto y error sin
ninguna o poca reexión conceptual de sus procedimientos.
En lo referente a los estilos de aprendizaje, los estudiantes con talento matemático poseen un
estilo de aprendizaje reexivo y teórico; es decir, tienen un interés y dominio por un tema en
especíco, procesos de resolución ingeniosos e interés por aprender. Es importante destacar que
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estos estudiantes cuentan con apoyo familiar de sus padres en las tareas escolares, y esto favorece
el desarrollo de sus habilidades.
En lo que reere a la segunda etapa del estudio, a partir de los resultados reportados podemos
hacer algunas recomendaciones para el salón de clases de matemáticas con la nalidad de que los
alumnos puedan desarrollar el pensamiento computacional, y que este desarrollo pueda potenciar
no solo el desarrollo del pensamiento matemático, sino de muchos otros contenidos que están en
los planes y los programas de estudios vigentes de la Secretaría de Educación Pública de México.
Una de estas consideraciones es que los estudiantes puedan acercarse a la resolución de proble-
mas matemáticos en entornos tecnológicos de aprendizaje como, por ejemplo, el de la plataforma
Google, y resolver actividades como el problema del agente viajero.
Otra consideración es permitir el trabajo colaborativo entre alumnos en las clases de matemáticas
como una manera de presentar las diversas resoluciones a un mismo problema, a n de llegar a
una formalización matemática. Además, se sugiere poner énfasis tanto en los procedimientos de
resolución como considerar el papel que juega el error, en cuanto es una fuente de aprendizaje y,
así, a partir del error, permitirle a los alumnos reexionar sobre sus propios procesos de resolución.
R
Alonso, C., Gallego, D. & Honey, P. (2007). Los estilos de aprendizaje. Procedimientos de diagnóstico y
mejora (7ª ed.). Bilbao: Ediciones Mensajero. Recuperado de: https://www.researchgate.net/pu-
blication/311452891
Bazán, A., Sánchez, B. & Castañeda, S. (2007). Relación estructural entre apoyo familiar, nivel educa-
tivo de los padres, características del maestro y desempeño en lengua escrita. Revista Mexicana de
Investigación Educativa, 33(12), 701-729.
Bednarz, N., Kieran, C. & Lee, L. (1996). Approaches to algebra. Perspectives for Seeing. Harmondsworth,
Middlesex: BBC y Penguin Books.
Benavides, M., Ríos, C. & Marshall, M. (2004). La educación de niños con talento en Chile. En M.
Benavides, A. Maz, E. Castro, y R. Blanco (eds.), La educación de los niños con talento en Iberoamé-
rica (pp. 105-114). Santiago, Chile: Editorial Trineo S.A.
Butto, C. & Delgado, J. (2012). Rutas hacia el álgebra. Actividades en Excel y Logo. México: UPN-Conacyt.
Butto, C., Delgado, J. & Bazán, A. (2018). Procesos de generalización: una vía de acceso al pensamiento
algebraico temprano en educación básica. Horizontes Pedagógicos, 20(1), 25-36.
Programa de talento matemático en educación básica
32
Cristianne Butto Zarzar, Joaquín Delgado
Nº 32 2020 PÁGS. 133
ISSN 21459444 electrónica
Castro, E., Rico, L. & Castro, E. (1995). Estructuras aritméticas elementales y su modelización. Bogotá:
Editorial Iberoamericana.
Delval, J. (2001). La realización de la entrevista. Descubrir el pensamiento de los niños (pp. 113-139).
España.: Ed. Paidós.
De la Torre, G., Del Valle, L., Carpinteyro, S. & Mijangos, A. (2017). Programa adopte un talento: un
vínculo entre la comunidad cientíca y los niños. Revista Digital Universitaria, 18(7). Recupera-
do de: http://revista.unam.mx/vol.18/num7/art56/index.html
Fernández, M. & Pérez, A. (2011). Las altas capacidades y el desarrollo del talento matemático. El
Proyecto Estalmat-Andalucía. Revista Iberoamericana de Educación matemática. 27.
Geraniou, E., Mavrikis, M., Noss, R. & Hoyles, C. (2009). A learning environment to support mathe-
matical generalization in the classroom. En Proceedings of CERME 6. Lyon, France. Recuperado
de: http://ife.ens-lyon.fr/publications/edition-electronique/cerme6/wg7-09-geranioumavri-
kis-hoylesnoss.pdf
Grigorenko, E. L. (2017). Gifted education in Russia: developing, threshold, or developed. Cogent Edu-
cation, 4(1), 1364898.
Hernández, R., Fernández, C. & Batista, P. (2014). Metodología de la investigación. México: McGraw
Hill.
MacGregor, M. & K. Stacey. (1993). Seeing to pattern and writing to rule. Proceeding of Psychology of
Mathematics Education. Ibaraki, Japón.
Mason, J., Graham, A., Pimm, D. & Gower, N. (1985). Routes to roots of algebra. U.K: The Open Uni-
versity Press.
Marland, S. P. Jr. (1971). Education of the gifted and talented-Vol 1 (Report to the Congress of the United
States by the U.S. Commissioner of Education).
National Association for Gifted Children (NAGC). A brief history of gifted and talented education.
Recuperado de: http://www.nagc.org/resources-publications/resources/gifted-education-us/
brief-history-gifted-and-talented-education
National Council of Teachers of Mathematics. (1989). National standards for mathematics. National
Council of Teachers of Mathematics.
Noss, R., Poulovassilis, A., Geraniou, E., Gutierrez-Santos, S., Hoyles, C., Kahn, K. y Mavrikis, M.
(2011). The design of a system to support exploratory learning of algebraic generalization. Com-
puters & Education, 59(1), 63-81.
Núñez, R., Pérez, J., Luque, C., & Arévalo, J. (2004). El Semicírculo de la Universidad Sergio Arbo-
leda. Revista Electrónica de Difusión Cientíca. Recuperado de: https://repository.usergioar-
Programa de talento matemático en educación básica
33
Cristianne Butto Zarzar, Joaquín Delgado
Nº 32 2020 PÁGS. 133
ISSN 21459444 electrónica
boleda.edu.co/bitstream/handle/11232/300/CienciasSociales%20y%20Humanas244.
pdf?sequence=1&isAllowed=y
Núñez, R., Gómez-Bermeo, L. V. & Cortés, C. M. (2011). El ambiente académico universitario clave
del talento matemático. En Memorias XIII CIAEM. Recife, PE, Brasil. Recuperado de: https://
ciaem-redumate.org/ocs/index.php/xiii_ciaem/xiii_ciaem/paper/viewFile/2499/605
Regianni, M. (1994). Generalization as a basic for algebraic thinking: observations with 11-12 years
old pupils. En Conference Proceeding of the XVIII PME (pp. 97-104). Lisboa, Portugal.
Renzulli, J. (2008). La educación del sobredotado y el desarrollo del talento para todos. Revista de Psi-
cología, 26(1), 23-44.
Renzulli, J. S. & Reis, S. M. (1985). The schoolwide enrichment model: A comprehensive plan for educational
excellence. Manseld Center, CT: Creative Learning Press.
Secretaría de Educación Pública (2011). Estrategia de atención para alumnos y alumnas con capacidades
y aptitudes sobresalientes en la educación básica del D. F. México, D. F.: Secretaría de Educación
Pública.
Ushakov, D. V. (2010). Olympics of the mind as a method to identify giftedness: Soviet and Russian
experience. Learning and Individual Differences, 20, 337-344
