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Aufgaben zu folgendem Buch: Wir entdecken die Geschichte des Universums mit eigenen Fotos und Experimenten Band 2 in: Universe: Unified from Microcosm to Macrocosm Hans-Otto Carmesin, Berlin: Verlag Dr. Köster 2020 Wir können unser Universum gerade heute eigenständig erkunden: Wir entdecken die wesentlichen Naturgesetze und messen die entsprechenden Naturkonstanten mit eigenen Versuchen, unterstützt durch Smartphones zur Datenerfassung und Auswertung. Wir erstellen Fotos von Himmelskörpern, wobei die Entfernung uns nicht mehr einschränkt, dank hervorragender digitaler Kameras. Wir erklären des Fotografierte selbst mit den Naturgesetzen, das gelingt uns besonders einfach mit eigenen Tabellenkalkulationen. Dieser Blick ins Weltall befähigt uns, große Zusammenhänge auch auf der Erde besser zu verstehen: von der Entstehung bis zur Stabilisierung der Atmosphäre. So können wir die Geschichte des Universums und die Zeitentwicklung der Distanzen nachvollziehen: vom Urknall bis heute, von der Planck-Länge bis zum Lichthorizont. Wir, das sind Klassen oder Kurse ab Klassenstufe 10, Experimentierfreunde, Naturbegeisterte … Uns unterstützen Übungsaufgaben im Internet, zum Trainieren oder zur Selbstkontrolle (hans-otto.carmesin.org oder https://www.researchgate.net/profile/Hans_Otto_Carmesin). Unsere so gewonnene Zeitentwicklung des Universums stimmt präzise mit Beobachtungen überein. Dabei wenden wir nur die Gravitation und die Quantenphysik mithilfe etablierter mathematischer und numerischer Methoden an, mit den zugehörigen universellen Konstanten: Gravitationskonstante, Lichtgeschwindigkeit, Boltzmann-Konstante sowie Plancks Konstante. Das ist eine sachliche und klare Bestätigung unserer Ergebnisse. Dabei können wir auch aktuelle Geheimnisse selbst enträtseln. So ermitteln wir den kompletten Zeitablauf selbst: von der experimentellen Entdeckung wesentlicher Naturgesetze bis zum Distanz-Zeit-Diagramm. The paper has been published in PhyDid B.
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Wir entdecken die Geschichte des Universums
mit eigenen Fotos und Experimenten:
Aufgaben
Hans-Otto Carmesin
Gymnasium Athenaeum Stade
8. M¨
arz 2020
Inhaltsverzeichnis
0 Einleitung 5
1 Von Gaswolken zu Sternen 5
2 Sterne bilden Materiewellen 6
3 Sterne ¨
andern die Raumzeit 7
4 Horizonte der Raumzeit 8
5 Makrodynamik der Raumzeit 9
6 Mikrodynamik der Raumzeit 10
7 L¨
osungen 12
8 Diskussion und Ausblick 28
9 Anhang 33
9.1 Wir messen die Lichtgeschwindigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
9.2 Wir messen die Lichtgeschwindigkeit in Luft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
9.3 Wir messen die Lichtgeschwindigkeit in Wasser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
9.4 KritischeDichten....................................... 35
1
Hans-Otto Carmesin 2
Hans-Otto Carmesin 3
Hans-Otto Carmesin 4
0 Einleitung
Mit dem Buch Wir entdecken die Geschichte des Universums mit eigenen Fotos und Experimenten
(Carmesin (2020)) k¨
onnen wir unser Universum selbst erkunden. Dazu k¨
onnen wir eigene Fotos auf-
nehmen, selbst experimentieren und eigenst¨
andig einfache Berechnungen durchf¨
uhren. Begleitend gibt
es zum Buch diese ¨
Ubungsaufgaben. So k¨
onnen wir unsere Kompetenzen selbst ¨
uberpr¨
ufen, trainieren
und weiter entwickeln. Die Aufgaben sind nach den Kapiteln des Buches sortiert und nummeriert.
1 Von Gaswolken zu Sternen
Im ersten Kapitel (Carmesin (2020)) werden das Gravitationsgesetz, das universelle Gasgesetz, zu-
geh¨
orige mathematische Methoden wie Ableiten und Integrieren entwickelt und auf die Entstehung
und Stabilisierung von Himmelsk¨
orpern angewendet.
A1.1 Freien Fall: Ein Stein mit der Masse 2 kg f¨
allt in einen Brunnen geworfen. Es dauert 5 s, bis
er unten ankommt.
a. Mit welcher Geschwindigkeit vtrifft er am Boden auf?
b. Ermitteln Sie die Gewichtskraft FG.
A1.2 Ableitung: Ermitteln Sie die Ableitungen.
a. f(x) = x3
b. a(t) = t45·t6
c. z(x) = 1/x4
A1.3 Gravitationsgesetz: Zwei Massen von je m= 10 kg haben einen Abstand von r= 0,2 m.
a. Ermitteln Sie die Gravitationskraft FG.
b. Ermitteln Sie die Gravitationsfeldst¨
arke der einen Masse am Ort der anderen Masse G.
A1.4 Integral: Ermitteln Sie die Integrale.
a. I=R3
1x3dx
b. I=R3
1x2dx
A1.5 Potentielle Energie: Ermitteln Sie die potentielle Energie EGdes Mondes im Gravitationsfeld
der Erde. Daten: Die Massen der Erde und des Mondes betragen mErde = 5,97 ·1024 kg und mMond =
7,35 ·1022 kg.
A1.6 Universelles Gasgesetz: Ein Atemger¨
at hat das Volumen V= 4 dm3, und enth¨
alt bei einer
Temperatur von T= 300 K eine Anzahl von N= 1024 Teilchen mit einer Masse von je m=
5,3·1026 kg.
a. Ermitteln Sie den Druck p.
b. Ermitteln Sie die mittlere Bewegungsenergie Ekin eines Teilchens.
c. Ermitteln Sie eine mittlere Geschwindigkeit veines Teilchens.
Hans-Otto Carmesin 5
2 Sterne bilden Materiewellen
Im zweiten Kapitel (Carmesin (2020)) werden die Wellen mit den Lichtwellen und den Materiewellen
eingef¨
uhrt. Auch werden die Lichtteilchen und die Eigenschaften von Teilchen der Materie behandelt.
Darauf aufbauend werden die Quantenobjekte als Objekte mit Eigenschaften von Wellen und Eigen-
schaften von Teilchen eingef¨
uhrt. Damit entdecken wir die Bedeutung von Quantenobjekten f¨
ur die
Entwicklung von Sternen, wobei wir auch stellare Gravitationsinstabilit¨
aten erkl¨
aren.
A2.1 ¨
Aquivalenz von Masse und Energie: Ein Elektron und sein Antiteilchen treffen aufeinander
und wandeln sich dabei in zwei Photonen gleicher Energie Eγum. Ermitteln Sie diese Energie. Hinweis:
Ein Elektron und sein Antiteilchen haben jeweils die Masse me= 9,1·1031 kg.
A2.2 Differentialgleichung, DGL: Ermitteln Sie die Funktionen.
a. f0(x)=2·f(x) mit f(0) = 5
b. f00(t) = 4·f(t) mit f(0) = 0 und f0(0) = 8
A2.3 Wellen: Eine Lichtwelle mit der Wellenl¨
ange λ= 500 nm wird an einem Doppelspalt mit dem
Abstand der Mitten der Spalte von b= 2000 nm gebeugt.
a. Ermitteln Sie die Periodendauer Tund die Frequenz.
b. Ermitteln Sie den Winkel αder ersten Beugungsordnung.
c. Ermitteln Sie die Energie Eeines entsprechenden Photons.
d. Ermitteln Sie den Impuls peines entsprechenden Photons.
A2.4 Erwartungswert: Ermitteln Sie die Erwartungswerte.
a. Wie groß ist hx3ibeim W¨
urfeln?
b. Wie groß ist hx3i, wenn die Wahrscheinlichkeitsdichte eine f(x) Gaußfunktion ist?
c. Wie groß ist hx2i, wenn die Wahrscheinlichkeitsdichte die Gaußfunktion 1
2π·σ·exp x2
2·σ2ist?
Hinweis: Verwenden Sie folgende Integrale aus Formelsammlungen:
I0=Z
−∞
exp x2
2·σ2dx =2π·σ(1)
I2=Z
−∞
exp x2
2·σ2·x2dx =2π·σ3(2)
A2.5 Heisenbergs Unbestimmtheitsrelation: Ein Proton hat in einem Atomkern eine Ortsunbe-
stimmtheit von ∆x= 7·1015 m. Ermitteln Sie die minimale Unbestimmtheit ∆pxder entsprechenden
Komponenten des Impulses.
A2.6 Materiewellen: Elektronen werden mit der Spannung U= 5000 V beschleunigt.
a. Ermitteln Sie die Geschwindigkeit v.
b. Ermitteln Sie den Impuls p.
c. Ermitteln Sie die Wellenl¨
ange λ.
Hans-Otto Carmesin 6
A2.7 Elektronengas: In einem Elektronengas haben Elektronen die Wellenl¨
ange λ= 0,1 nm. Die
Wellenfunktion eines Elektrons erfordert im Wesentlichen das Volumen λ3und nach dem Pauli-Prinzip
kann eine Wellenfunktion von zwei Elektronen besetzt werden. Daher betr¨
agt die Teilchendichte der
Elektronen n=2
λ3.
a. Ermitteln Sie den Impuls |p|eines Elektrons.
b. Ermitteln Sie die kinetische Energie eines Elektrons.
c. Ermitteln Sie die Teilchendichte ndes Elektronengases.
d. Ermitteln Sie den Druck pdes Elektronengases.
A2.8 Druck in der Sonne: Die Sonne hat einen Radius von R= 0,7·109m und eine Masse von
M= 2 ·1030 kg.
a. Ermitteln Sie die mittlere Dichte.
b. Ermitteln Sie unter der Annahme einer konstanten Dichte den Druck im Zentrum der Sonne.
c. Zeichnen Sie unter der Annahme einer konstanten Dichte den Verlauf des Drucks in der Sonne
abh¨
angig vom Radius.
3 Sterne ¨
andern die Raumzeit
Wenn sich ein Stern oder ein anderes Objekt sehr schnell relativ zur Erde bewegt, dann k¨
onnen
Messungen der Raumzeit, der Energie, der Masse oder des Impulses auf der Erde und auf dem Stern
zu verschiedenen Ergebnisse f¨
uhren. Um solche Erscheinungen nachvollziehen zu k¨
onnen, entwickeln
wir wesentliche Ergebnisse der speziellen Relativit¨
atstheorie, SRT.
Zudem kr¨
ummt ein Stern oder ein anderes massives Objekt die Raumzeit. Um solche Ph¨
anomene
nachvollziehen zu k¨
onnen, entwickeln wir wesentliche Ergebnisse der allgemeinen Relativit¨
atstheorie,
ART. So stellen wir im dritten Kapitel (Carmesin (2020)) die SRT und ART bereit.
A3.1 Fluchtgeschwindigkeit und Schwarzschildradius der Sonne: Die Sonne hat einen Radius
von R= 0,7·109m und eine Masse von M= 2 ·1030 kg.
a. Ermitteln Sie die Fluchtgeschwindigkeit vF.
b. Ermitteln Sie den Schwarzschildradius.
A3.2 Schnelle Myonen: Das Myon ist ein Elementarteilchen, ¨
ahnlich wie das Elektron. Es hat eine
Halbwertszeit von τ= 1,52 ·106s und eine eigene Masse von meigen = 1,88 ·1028 kg. In einem
Beschleuniger werden Myonen auf eine Geschwindigkeit von 99 % der Lichtgeschwindigkeit gebracht,
v= 0,99 ·c.
a. Ermitteln Sie die von einem Beobachter am Beschleuniger messbare Halbwertszeit τrel , nach der
die H¨
alfte der Myonen zerfallen sind.
b. Ermitteln Sie die von einem Beobachter am Beschleuniger messbare Masse mrel des Myons.
c. Ermitteln Sie die von einem Beobachter am Beschleuniger messbare Energie Edes Myons.
d. Ermitteln Sie die von einem Beobachter am Beschleuniger messbare Bewegungsenergie Ekin des
Myons.
e. Ermitteln Sie die von einem Beobachter am Beschleuniger messbaren Impuls prel des Myons.
Hans-Otto Carmesin 7
Abbildung 1: Berechnung des Integrals in Gleichung (78) mit einem Computeral-
gebrasystem.
A3.3 Expedition zu einem schwarzen Loch: Ein schwarzes Loch hat 10 Sonnenmassen, M=
2·1030 kg.
a. Ermitteln Sie den Schwarzschildradius RS.
b. Ein Raumschiff umkreist das schwarze Loch und legt bei einer Runde eine Strecke von 400 km
zur¨
uck. Ermitteln Sie die radiale Koordinate rdes Raumschiffs.
c. Ermitteln Sie die messbare Entfernung Lbis zum Schwarzschildradius. Verwenden Sie dazu der
Einfachheit halber ein Computerprogramm zum L¨
osen des Integrals (s. Abb. 1).
d. Ermitteln Sie, um welche Eigenzeit ∆teigen(r) eine Uhr auf dem Raumschiff weitergeht, w¨
ahrend
bei rgegen unendlich eine Uhr um ∆t= 100hweiter geht.
e. Das Raumschiff hatte bei rgegen unendlich bei gleicher Geschwindigkeit eine Energie von E=
1021 J. Ermitteln Sie die aktuelle Energie des Raumschiffs.
f. Ermitteln Sie die Hawking - Temperatur des schwarzen Lochs.
4 Horizonte der Raumzeit
Wenn wir am Strand stehen und auf das Meer blicken, dann k¨
onnen wir bis zum Horizont blicken.
Nat¨
urlich geht die Welt dahinter weiter, aber wir sehen es nicht von unserem Standort aus. Im vierten
Kapitel (Carmesin (2020)) untersuchen wir allgemeiner grunds¨
atzliche Grenzen des Beobachtbaren.
Dabei entwickeln wir auch die DGL f¨
ur die makroskopische Ausdehnung des Raums.
A4.1 Planck - L¨
ange und Lichthorizont: Der Urknall fand vor t0= 13,8 Mrd. Jahren statt.
a. Berechnen Sie die Planck - L¨
ange LPin Metern.
b. Ermitteln Sie den Lichtweg rlh,Lichtweg bis zum Lichthorizont in Lichtjahren, in Metern und in
Planck L¨
angen.
A4.2 Raumausdehnung und Rotverschiebung: Wasserstoff sendet im Labor sichtbares Licht
aus, das in drei Spektralfarben zerlegt werden kann: Eine dieser Spektralfarben ist Rot, wird mit Hα
Hans-Otto Carmesin 8
gekennzeichnet und hat eine Wellenl¨
ange von λHα= 656,3 nm. Eine weitere dieser Spektralfarben
ist Blau-Gr¨
un, wird mit Hβgekennzeichnet und hat eine Wellenl¨
ange von λHβ= 486,1 nm. Die
dritte dieser Spektralfarben ist Violett, wird mit Hγgekennzeichnet und hat eine Wellenl¨
ange von
λHγ= 434,0 nm.
a. In der von dem sehr entfernten Quasar APM08279+5255 ausgesendeten Strahlung werden folgende
Wellenl¨
angen festgestellt: λ1= 3215,9 nm, λ2= 2381,9 nm und λ3= 2126,6 nm. Deuten Sie die
beobachteten Wellenl¨
angen als Wellenl¨
angen des Wasserstoffs und ermitteln Sie die Rotverschiebung
z:
b. Ermitteln Sie den Quotienten E0
E, um den sich die Energie der Strahlung durch die Rotverschiebung
zverringert hat.
5 Makrodynamik der Raumzeit
Im f¨
unften Kapitel (Carmesin (2020)) entwickeln wir L¨
osungen zur DGL f¨
ur die makroskopische
Ausdehnung des Raums. So erhalten wir den Zeitverlauf der Ausdehnung des Raums. Damit entdecken
wir auch, dass es noch einen weiteren Mechanismus der Distanzvergr¨
oßerung im Universum geben
muss.
A5.1 Zeitverlauf der Raumausdehnung: Die DGL der Raumausdehnung ist ((Carmesin, 2020,
Gl. 5.31)):
˙a2
a2=8π·G
3·(ρr+ρm+ρv) (3)
a. Um f¨
ur den Skalenradius aeine Gr¨
oße xmit der Einheit 1 zu erhalten, teilt man durch einen
Referenzwert: einen w¨
ahlbaren Skalenradius a0zur heutigen Zeit t0. Stellen Sie die DGL abh¨
angig
von x=a/a0dar: Hinweis: Schreiben Sie die Ableitung im Leibniz - Kalk¨
ul. Dann ist ˙a=da
dt (Bos
(1974)).
b. Wenden Sie folgende Relation f¨
ur die Dichte an ((Carmesin, 2020, Gl. 5.34)):
ρ=ρcr,t0·x4·(ΩΛ·x4+ Ωm·x+ Ωr) = ρr+ρm+ρv(4)
c. Dr¨
ucken Sie die kritische Dichte ρcr,t0durch die Hubble - Konstante H0aus mit ((Carmesin, 2019,
Gl. 2.6)):
ρcr,t0=3·H2
0
8π·G(5)
d. Dr¨
ucken Sie dx abh¨
angig von dt aus. Skalieren Sie die Zeit mit der Einheit 1/H0, also dt ·H0= .
e. Ermitteln Sie mit Eulers Verfahren den Zeitverlauf x(τ). W¨
ahlen Sie als Startwert x= 1 bei
τ= 0. Verwenden Sie dazu die Dichteparameter aus Tabelle (5.1). Verwenden Sie die Schrittweite
=0,001.
f. Ermitteln Sie die verwendete Zeiteinheit 1/H0in s und in Mrd. Jahren. Verwenden Sie Tabelle
(5.1).
g. Der Graph aus dem Euler Verfahren ergibt die Zeit τ=0,951, bei der x= 0 ist (Abb. 6).
Ermitteln Sie daraus das Weltalter.
Hans-Otto Carmesin 9
6 Mikrodynamik der Raumzeit
Im sechsten Kapitel (Carmesin (2020)) entwickeln wir wesentliche Ergebnisse der Quantenphysik.
Damit analysieren wir die mikroskopische Dynamik der Raumzeit.
A6.1 Summen und Reihen:
a. Berechnen Sie: Σj=4
j=10,1j.
b. Berechnen Sie: Σ
j=10,1j.
c. Berechnen Sie: Σj=3
j=10,5j.
d. Berechnen Sie: Σj=n
j=1 0,5j.
e. Berechnen Sie: Σ
j=10,5j.
A6.2 Komplexe Zahlen:
a. Berechnen Sie: z= (3 + 2i) + (4 i).
b. Berechnen Sie: z= (3 + 2i)2.
c. Berechnen Sie: z=3,75 + 2i. Es gibt zwei L¨
osungen.
d. Berechnen Sie: z=3
8·ei·π/4. Es gibt drei L¨
osungen.
A6.3 Eigenwert: Ein Quantenobjekt wird durch folgende Wellenfunktion dargestellt:
ψ= exp x2
2σ2i·ω·t+i·k·x
a. Berechnen Sie den Eigenwert der Energie zu ψ.
b. Untersuchen Sie, ob ψEigenfunktion zum Impuls ist.
A6.4 Erwartungswert: Ein Quantenobjekt wird durch folgende Wellenfunktion dargestellt: ψ=
exp x2/2
a. Berechnen Sie den Erwartungswert zum Quadrat des Impulses
hpi=R
−∞ ψˆp2ψdx
R
−∞ ψ2dx =~2·R
−∞ ψ∂2
xψdx
R
−∞ ψ2dx (6)
A6.5 Minimierung der Energie ED:Die reduzierte normierte Energie EDist ((Carmesin, 2020,
Gl. 6.95 bis 6.97) mit q= 1):
ED,cl,G =1
2·(2˜ρD)D2D
2(D+1) ,(7)
außerdem
ED,Q = (2˜ρD)3D2D2
4(D+1) ·rD·(D2)
2(8)
und:
ED=ED,Q +ED,cl,G (9)
a. Ermitteln Sie mit einem Computerexperiment den dimensionalen ¨
Ubergang zwischen drei und
sieben Dimensionen. Hinweis: Stellen Sie mit einer Tabellenkalkulation beide Energien ED=3 und
ED=7 abh¨
angig von der Dichte ˜ρDdar, f¨
ur 0,1˜ρD0,12.
Hans-Otto Carmesin 10
b. Ermitteln Sie die kritische Dichte ˜ρD=3,c.
c. Ermitteln Sie die kritische Dichte ˜ρD=7,c.
A6.6 Distanzvergr¨
oßerung: V¨
ollig klar sind die beiden Vergr¨
oßerungsfaktoren: Der Faktor der
Vergr¨
oßerung qDmaxt0von der Planck - L¨
ange bis zum Lichthorizont betr¨
agt qDmaxt0= 2,56 ·1061
((Carmesin, 2019, Gl. 6.105)). Der Streckfaktor kDmaxt0vom Zustand mit der Planck - Dichte
bis zum Lichthorizont betr¨
agt kDmaxt0= 2,96 ·1031 (nach der Friedmann - Lemaˆıtre Gleichung,
(Carmesin, 2019, Gl. 6.106)). Offensichtlich kann der Streckfaktor der Raumausdehnung den gesamten
Vergr¨
oßerungsfaktor nur teilweise erkl¨
aren. Wir analysieren hier den fehlenden“ Faktor:
a. Berechnen Sie den fehlenden“ Vergr¨
oßerungsfaktor der Distanz ZDmaxD=3 .
b. Berechnen Sie den Dimensionshorizont Dmax ((Carmesin, 2019, Glossar)).
c. Ermitteln Sie die Anzahl ungegliederter Regionen nD=301 an einer Kante in D= 301 Dimensionen,
sowie die Anzahl Ndieser Objekte.
d. Ermitteln Sie die Anzahl ungegliederter Regionen nD=3 an einer Kante in D= 301 Dimensionen.
Nehmen Sie n¨
aherungsweise an, dass dabei eine Kugel ungef¨
ahr den Radius LPhat. Ermitteln Sie
die Entsprechende Kantenl¨
ange in Metern.
A6.7 Zeitablauf: Die Dichte entwickelt sich mit folgender DGL ((Carmesin, 2020, Gl. 6.114)):
˙
˜ρD=(D+ 1) ·˜ρD·q2·ED·(2˜ρD)2
D+1 (10)
a. Ermitteln Sie mit dem Euler Verfahren den Zeitverlauf der Dichte ˜ρD(˜
t). Hinweise: Verwenden
Sie die Schrittweite d˜
t= 0,01. Aktualisieren Sie die Dimension, n¨
aherungsweise k¨
onnen sie dabei
schrittweise mit den Dimensionen 301, 280, 260, 240, 220, 200, 180, 160, 140, 120, 100, 80, 60, 40, 30,
25, 20, 19, 18, 17, 16, 15, 14, 13, 12, 11, 10, 9, 8, 7 und 3 rechnen. Nutzen Sie die Tabelle der kritischen
Dichten (1, 2, 3). Gehen Sie vereinfachend davon aus, dass das System sofort die Dimension wechselt,
sowie die kritische Dichte erreicht ist, tats¨
achlich ist die Dynamik etwas langsamer (Carmesin (2019)).
b. Ermitteln Sie den Zeitverlauf des Distanzvergr¨
oßerungsfaktors mit dem Euler Verfahren ((Carme-
sin, 2020, Gl. 6.103)):
ZDmaxD(˜
t) = n(DmaxD)/D
Dmax (11)
Hinweis: Verfahren Sie wie bei Teil a und erstellen Sie das ZDmax D(˜
t) - Diagramm.
c. Ermitteln Sie den Zeitverlauf des Distanzvergr¨
oßerungsfaktors ZDmaxD(˜
t) mit dem Euler Verfah-
ren so, dass Sie davon ausgehen, dass die Dimension bei der Dichte ˜ρD,ins wechselt. Hinweis: Verfahren
Sie wie bei den Teilen a und b.
A6.8 Gesamter Zeitablauf: Stellen Sie den Zeitverlauf w¨
ahrend der Phasen¨
uberg¨
ange zusammen
mit dem der Raumausdehnung in einem gemeinsamen Diagramm dar.
a. Ermitteln Sie die Dynamik der Raumausdehnung mithilfe von Integralen. Gehen Sie dazu von Gl.
(99) aus:
dx =·x1·pΛ·x4+ Ωm·x+ Ωr(12)
Um das Integral Rdx bilden zu k¨
onnen, bringen wir alle Terme mit xauf die linke Seite des Gleich-
heitszeichens: x
pΛ·x4+ Ωm·x+ Ωr
dx =(13)
Hans-Otto Carmesin 11
Abbildung 2: Berechnung des Integrals in Gleichung (14) mit einem Computeral-
gebrasystem.
Hier wenden wir das Integral an:
Zx
0
x
pΛ·x4+ Ωm·x+ Ωr
dx =Zτ
0
=τ(14)
Erstellen Sie eine Wertetabelle f¨
ur Paare (x;τ) dar. Stellen Sie den Radius in Meter abh¨
angig von
˜
t+ 79 tPim Diagramm mit logarithmisch skalierten Achsen dar, verwenden Sie f¨
ur den Radius dann
die Variable r. Dabei werden +79 tPaddiert, damit der Zeitablauf der Raumausdehnung nahtlos
an den Zeitablauf der dimensionalen ¨
Uberg¨
ange anschließt. Hinweis: Ermitteln Sie die Integrale mit
einem Computeralgebrasystem (s. Abb. 2).
b. Stellen Sie den Zeitablauf des Radius w¨
ahrend der dimensionalen ¨
Uberg¨
ange dar. Multiplizieren
Sie dazu den Streckfaktor ktDmaxtmit dem Faktor der Distanzvergr¨
oßerung ZtDmax tund mit der
anf¨
anglichen Kantenl¨
ange 2LP.
c. F¨
ugen Sie den Zeitablauf der Raumausdehnung (Abb. 17) mit dem Zeitablauf der dimensionalen
¨
Uberg¨
ange (Abb. 18) zusammen.
7 L¨
osungen
A1.1 Freien Fall:
a. Wir wenden die Gl. v=g·tdes freien Falls an:
v=g·t=9,81 m
s2·5s = 49,05 m
s(15)
Hans-Otto Carmesin 12
b. Wir wenden die Gl. FG=m· |g|f¨
ur die Gewichtskraft in der N¨
ahe des Erdbodens an:
FG=m· |g|= 2 kg ·9,81 m
s2= 19,62 kg ·m
s2= 19,62 N (16)
A1.2 Ableitung:
a. bis c. Wir wenden die Gl. y0(t) = n·tn1bei y(t) = tnf¨
ur Ableitungen von Potenzfunktionen
an:
f0(x)=3·x2(17)
a0(t) = 4 ·t330 ·t5(18)
z0(x) = (x4)0=4·x5=4/x5(19)
A1.3 Gravitationsgesetz:
a. Wir wenden Newtons Gravitationsgesetz an:
FG=m2·G
r2= 1,67 ·107N (20)
b. Wir wenden das Newtons Gravitationsgesetz an. Auch nutzen wir die Definition G=FG/m der
Gravitationsfeldst¨
arke, wobei mdie Probemasse ist.:
G=m·G
r2= 1,67 ·108N
kg (21)
A1.4 Integral:
a. und b. Wir wenden die Gl. Rb
axkdx =1
k+1 ·bk+1 ak+1f¨
ur Integrale von Potenzfunktionen mit
k6=1 an:
I=Z3
1
x3dx =1
4·(3414) = 80/4 = 20 (22)
I=Z3
1
x2dx =1·(3111)=11/3=2/3 (23)
A1.5 Potentielle Energie:
Wir wenden den Energieterm EGzu Newtons Gravitationsgesetz an. (Wer mag, kann diesen durch
Integrieren des Kraftterms herleiten):
EG=mErde ·mM ond ·G
r=5,97 ·1024 kg ·7,35 ·1022 kg ·6,67 ·1011 m3
kg·s2
3,8·108m(24)
EG=7,7·1028 J (25)
A1.6 Universelles Gasgesetz:
a. Wir wenden das universelle Gasgesetz p·V=N·kB·Tan und dividieren auf beiden Seiten der
Gl. durch V:
p=N·kB·T/V = 1024 ·1,38 ·1023 J
K·300 K
4·103m3(26)
Hans-Otto Carmesin 13
p= 1 035 000 J
m3= 1 035 000 Pa = 10,35 bar (27)
A2.1 ¨
Aquivalenz von Masse und Energie:
Wir wenden die Relation E=m·c2an:
E=me·c2= 9,1·1031 kg ·3·108m
s2(28)
E= 8,19 ·1014 J (29)
A2.2 Differentialgleichung, DGL:
a. Wir vermuten eine Exponentialfunktion f=a·eb·x. Auf diese Vermutung k¨
onnten wir beispielsweise
mithilfe des Euler Verfahrens kommen. Wir testen die Vermutung und versuchen dabei die beiden
Parameter aund bzu ermitteln. Dazu leiten wir mithilfe der Kettenregel [f(g(x))]0=f0(g(x)) ·g0(x)
ab:
f0(x) = a·b·eb·x(30)
Wir setzen die Ableitung in die DGL ein:
a·b·eb·x= 2 ·a·eb·x(31)
Wir dividieren auf beiden Seiten durch a·eb·xund erhalten:
b= 2 (32)
Wir setzen in f=a·eb·xden Startwert x= 0 ein und erhalten:
5 = f(0) = a·eb·0=a(33)
Wir erkennen insgesamt die L¨
osung:
f(x)=5·e2·x(34)
b. Wir vermuten eine Sinusfunktion f=a·sin(ω·t). Auf diese Vermutung k¨
onnten wir beispielsweise
mithilfe des Euler Verfahrens kommen. Generell k¨
onnte eine Linearkombination von Sinus und Kosinus
vorliegen, der Kosinus entf¨
allt hier, weil der Startwert gleich null ist.
Wir testen die Vermutung und versuchen dabei die beiden Parameter aund ωzu ermitteln. Dazu
leiten wir mithilfe der Kettenregel [f(g(x))]0=f0(g(x)) ·g0(x) ab:
f0(t) = a·ω·cos(ω·t) (35)
f00(t) = a·ω2·sin(ω·t) (36)
Wir setzen die Ableitung in die DGL ein:
a·ω2·sin(ω·t) = 4·a·sin(ω·t) (37)
Wir dividieren auf beiden Seiten durch f(t) und erhalten:
ω2= 4 (38)
Hans-Otto Carmesin 14
Wir bestimmen die L¨
osungen:
ω= 2 oder ω=2 (39)
Bei der L¨
osung ω=2 w¨
are f0(0) <0, daher kommt diese nicht in Frage. Somit bleibt ω= 2. Wir
setzen in f0(t) den Startwert t= 0 ein und erhalten:
8 = f0(0) = a·2·cos(ω·0) = a·2 oder a= 4 (40)
Wir erkennen insgesamt die L¨
osung:
f(t)=4·sin(2 ·t) (41)
A2.3 Wellen:
a. Wir wenden die Relation c=λ/T an und l¨
osen nach Tauf:
T=λ/c =500 ·109m
3·108m
s
= 1,7·1015 s (42)
Die Frequenz ist der Kehrwert der Periodendauer:
f= 1/T =1
1,7·1015 s= 5,9·1014 1/s=5,9·1014 Hz (43)
b. Wir wenden die Beugungsformel sin α=n·λ
ban. Dabei setzen wir f¨
ur ndie Beugungsordnung 1
ein:
sin α=500 nm
2000 nm =1
4(44)
Wir wenden auf beiden Seiten die Umkehrfunktion des Sinus, den Arcussinus, an:
α= arcsin 1
4= 14,5o(45)
c. Wir wenden den Energieterm E=h·fan:
E=h·f= 6,6·1034 Js ·5,9·1014 Hz = 3,9·1019 J (46)
d. Wir wenden den Impulsterm p=h/λ an:
p=h/λ = 6,6·1034 Js/500 ·109m=1,3·1027 kg ·m
s(47)
A2.4 Erwartungswert: Ermitteln Sie die Erwartungswerte.
a. Wir ermitteln f¨
ur jedes m¨
ogliche W¨
urfel-Ergebnis xden Wert x3, multiplizieren mit der Wahr-
scheinlichkeit 1/6 und addieren.
hx3i= (13+ 23+ 33+ 43+ 53+ 63)/6 = 73,5 (48)
b. Wir verwenden die Definition:
hx3i=R
−∞ f(x)·x3dx
R
−∞ f(x)dx (49)
Hans-Otto Carmesin 15
Wir zerlegen das Integral im Z¨
ahler in eine Integral von −∞ bis 0 und eines von 0 bis :
hx3i=R0
−∞ f(x)·x3dx
R
−∞ f(x)dx +R
0f(x)·x3dx
R
−∞ f(x)dx (50)
Die beiden Summanden haben gleichen Betrag und umgekehrtes Vorzeichen. Denn f¨
ur jede Zahl xist
f(x) = f(x). Daher ist f(x)·x3=f(x)·(x)3. Somit ist:
hx3i=R0
−∞ f(x)·x3dx
R
−∞ f(x)x3dx R0
−∞ f(x)·x3dx
R
−∞ f(x)dx = 0 (51)
c. Wir verwenden die Definition:
hx2i=R
−∞ f(x)·x2dx
R
−∞ f(x)dx (52)
Wir identifizieren das Integral im Z¨
ahler mit I2und das Integral im Nenner mit I0:
hx2i=I2
I0
=2π·σ3
2π·σ=σ2(53)
A2.5 Heisenbergs Unbestimmtheitsrelation:
Wir wenden die Unbestimmtheitsrelation ∆p·x~
2an und dividieren auf beiden Seiten der
Ungleichung durch ∆x:
p~
2·x=1,05 ·1034 Js
2·7·1015 m= 7,5·1021 kg ·m
s(54)
A2.6 Materiewellen:
a. Beim Beschleunigen wird die elektrische Energie Eel =U·ein Bewegungsenergie Ekin =m
2·v2
umgewandelt. Wir setzen beide Terme gleich:
U·e=m
2·v2(55)
Wir l¨
osen nach vauf, indem wir auf beiden Seiten der Gleichung mit 2
mmultiplizieren und danach
die Wurzel anwenden:
v=r2·U·e
m(56)
Wir setzen die Gr¨
oßen ein:
v=s2·5000 V ·1,6·1019 C
9,1·1031 kg = 42 ·106m
s(57)
b. Der Impuls ist das Produkt aus Masse und Geschwindigkeit:
p=m·v= 9,1·1031 kg ·42 ·106m
s= 3,8·1023 kg ·m
s(58)
Hans-Otto Carmesin 16
c. Wir wenden die Relation p=h
λan. Dazu l¨
osen wir nach λauf, indem wir auf beiden Seiten der
Relation mit λ
pmultiplizieren. So erhalten wir:
λ=h
p=6,6·1034 J·s
3,8·1023 kg·m
s
= 1,7·1011 m = 17 pm (59)
A2.7 Elektronengas:
a. Wir wenden die Relation |p|=h
λan:
|p|=h
λ=6,6·1034 J·s
1·1010 m= 6,6·1024 kg ·m
s(60)
b. Wir wenden den Term Ekin =m
2·v2an. Dabei setzen wir v=p/m ein:
Ekin =m
2·v2=|p|2
2·m(61)
Wir setzen die Gr¨
oßen ein:
Ekin =6,6·1024 kg·m
s2
2·9,1·1031 kg = 2,4·1017 J (62)
c. Wir nutzen die Relation n=2
λ3:
n=2
(1010 m)3= 2 ·1030 m3(63)
d. F¨
ur den Druck pnutzen wir die Relation p=2
3·n·E1((Carmesin, 2020, Gl. 1.40)). Dabei ist die
Energie eines Teilchens gleich der obigen kinetischen Energie. Somit gilt:
p=2
3·n·Ekin (64)
Wir setzen die Gr¨
oßen ein:
p=2
3·2·1030 m3·2,4·1017 J = 3,2·1013 Pa (65)
A2.8 Druck in der Sonne:
a. Wir wenden die Relation ρ=M
4π·R3/3an:
ρ=2·1030 kg
4π·(0,7·109m)3/3= 1392 kg
m3(66)
b. Wir wenden den Term p(0) = G·ρ·M
2Ran ((Carmesin, 2020, Gl. 2.90)):
p(0) = 6,67 ·1011 m3
kg·s2·1392 kg
m3·2·1030 kg
2·0,7·109m= 1,3·1014 Pa (67)
Hans-Otto Carmesin 17
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
r/R
p/p(0)
Abbildung 3: Druckverlauf in der Sonne.
c. Wir wenden den Term p(r) = p(0) G·ρ·M
2R3
·r2an. Zur Vereinfachung klammern wir p(0) aus:
p(r) = p(0) G·ρ·M
2R3
·r2=p(0) G·ρ·M
2R·r2
R2
=p(0) p(0) ·r2
R2
=p(0) ·1r2
R2
(68)
A3.1 Fluchtgeschwindigkeit und Schwarzschildradius der Sonne:
a. Wir wenden die Relation vF=q2G·M
Ran:
vF=s2G·M
R
=s2·6,67 ·1011 m3
kg·s2·2·1030 kg
0,7·109m= 617 km
s(69)
b. Wir wenden den Term RS=2·G·M
c2an:
RS=2·G·M
c2=2·6,67 ·1011 m3
kg·s2·2·1030 kg
3·108m
s2= 2 964 m (70)
A3.2 Schnelle Myonen:
a. Wir wenden die Relation trel =teigen/q1v2
c2an:
τrel =τ /r10,992·c2
c2= 1,52 ·106s/p10,992= 10,77 ·106s (71)
b. Wir wenden den Term mrel =meigen ·1
q1v2
c2
an:
mrel = 1,88 ·1028 kg ·1
p10,992= 13,3·1028 kg (72)
Hans-Otto Carmesin 18
c. Wir wenden den Term E=mrel ·c2an:
E=mrel ·c2= 13,3·1028 kg ·3·108m
s2= 1,2·1010 J (73)
d. Wir wenden den Term Ekin =Emeigen ·c2an:
Ekin =Emeigen ·c2= 1,2·1010 J1,88 ·1028 kg ·3·108m
s2= 1,03 ·1010 J (74)
d. Wir wenden den Term prel =mrel ·van:
prel =mrel ·v= 13,3·1028 kg ·0,99 ·3·108m
s= 3,95 ·1019 kg ·m
s(75)
A3.3 Expedition zu einem schwarzen Loch:
a. Wir wenden den Term RS=2·G·M
c2an:
RS=2·G·10 ·M
c2=2·6,67 ·1011 m3
kg·s2·2·1031 kg
3·108m
s2= 29,64 km (76)
b. Wir wenden den Term r=U
2πan:
r=U
2π=400km
2π= 63,66 km = 2,15 ·RS(77)
c. Wir wenden den Term L=R2,15RS
RS
1
q1RS
r
dr an. Das Integral l¨
osen wir am einfachsten mit dem
Computer (s. (Carmesin, 2020, S. 23) oder ein Computeralgebrasystem, z. B. bei Wolfram Alpha):
L=Z2,15RS
RS
1
q1RS
r
dr = 2,5·RS(78)
d. Wir wenden den Term dst=dt ·q1RS
ran:
teigen(r) = ∆t·r1RS
r(79)
teigen(2,15RS) = 100 h ·r11
2,15 = 73,14 h (80)
e. Wir wenden den Term E(r) = E·q1RS
ran:
E(2,14 ·RS) = 1021 J·r11
2,14 = 0,7314 ·1021 J (81)
f. Wir wenden den Term TH=~·c
4π·RS·kBan:
TH=~·c
4π·RS·kB
=1,05 ·1034 Js ·3·108m
s
4π·29 640 m ·1,38 ·1023 J
K
= 6,13 ·109K (82)
Hans-Otto Carmesin 19
A4.1 Planck - L¨
ange und Lichthorizont:
a. Wir wenden die Relation LP=q~·G
c3an:
LP=v
u
u
t
1,055 ·1034 Js ·6,674 ·1011 m3
kg·s2
2,998 ·108m
s3= 1,616 ·1035 m (83)
b. Wir wenden die Relation rlh,Lichtweg =t0·can:
rlh,Lichtweg =t0·c= 13,8 Mrd.Lichtjahre = 1,31 ·1026 m=8,13 ·1060 ·LP(84)
A4.2 Raumausdehnung und Rotverschiebung:
a. Wir wenden die Relation z=λbeobachtetλausgesendet
λausgesendet an. Wir vermuten, dass die l¨
angste Wellenl¨
ange
der Hα- Strahlung entspricht:
z=3215,9656,3
656,3= 3,90004 (85)
Wir vermuten, dass die zweitl¨
angste Wellenl¨
ange der Hβ- Strahlung entspricht:
z=2381,9486,1
486,1= 3,90002 (86)
Wir vermuten, dass die k¨
urzeste Wellenl¨
ange der Hγ- Strahlung entspricht:
z=2126,6434
434 = 3,9 (87)
Die pr¨
azise ¨
Ubereinstimmung der drei ermittelten Rotverschiebungen deuten wir als klaren Hinweis
darauf, dass die drei beobachteten Strahlungen von Wasserstoff auf dem Quasar ausgesendet wurden,
und zwar bei den Wellenl¨
angen λHα,λHβund λHγ.
b. Wir wenden die Relationen E=h·fund f=c
λan. Dazu setzen wir f¨
ur fein:
E=h·c
λ(88)
Wir setzen in den Quotienten ein:
E0
E=λ
λ0(89)
Wir dr¨
ucken λ0durch zaus:
λ0=λ+ ∆λ=λ+z·λ=λ·(z+ 1) (90)
Wir setzen diese Relation in Gl. (89) ein:
E0
E=λ
λ·(z+ 1) =1
z+ 1 (91)
A5.1 Zeitverlauf der Raumausdehnung:
Hans-Otto Carmesin 20
L¨
osung:
a. Wir schreiben die Ableitung im Leibniz - Kalk¨
ul, ˙a=da
dt :
da
dt 2
a2=8π·G
3·(ρr+ρm+ρv) (92)
Wir erweitern den Bruch mit 1/a0:
da/a0
dt 2
(a/a0)2=8π·G
3·(ρr+ρm+ρv) (93)
Wir wenden die Definition x=a/a0an:
dx
dt 2
x2=8π·G
3·(ρr+ρm+ρv) (94)
b. Wir wenden die Gl. (4) an:
dx
dt 2
x2=8π·G
3·ρcr,t0·x4·(ΩΛ·x4+ Ωm·x+ Ωr) (95)
c. Wir wenden die Gl. (5) an:
dx
dt 2
x2=H2
0·x4·(ΩΛ·x4+ Ωm·x+ Ωr) (96)
d. Wir multiplizieren Gl. (96) auf beiden Seiten mit x2·dt2:
dx2=dt2·H2
0·x2·(ΩΛ·x4+ Ωm·x+ Ωr) (97)
Wir ziehen die Wurzel:
dx =dt ·H0·x1·pΛ·x4+ Ωm·x+ Ωr(98)
Wir wenden dt ·H0=an:
dx =·x1·pΛ·x4+ Ωm·x+ Ωr(99)
e. Wir erstellen die Tabellenkalkulation:
f. Wir verwenden die Hubble - Konstante aus der Tabelle und setzen 1 Mpc = 3,0856776 ·1019 km
ein.
H0= 67,36 km
s·Mpc = 2,18299 ·1018 1
s(100)
Wir bilden den Kehrwert:
1
H0
= 4,58088 ·1017 s = 14,5163 ·109Jahre (101)
g. Wir multiplizieren die Dauer 0,951 mit der Zeiteinheit 1/H0:
0,951 ·1
H0
== 0,951 ·14,5163 Mrd.Jahre = 13,8 Mrd.Jahre (102)
Hans-Otto Carmesin 21
Abbildung 4: Formeln in der Tabellenkalkulation.
Abbildung 5: Tabellenkalkulation.
Hans-Otto Carmesin 22
Abbildung 6: Graph zur Tabellenkalkulation.
A6.1 Summen und Reihen:
a. Wir berechnen:
Σj=4
j=10,1j= 0,1+0,01 + 0,001 + 0,0001 = 0,1111 (103)
b. Wir berechnen:
Σ
j=10,1j= 0,1+0,01 + 0,001 + 0,0001 + ... = 0,1111... = 0,¯
1 = 1
9(104)
c. Wir berechnen:
Σj=3
j=10,5j= 0,5+0,25 + 0,125 = 1 0,125 = 1 0,53(105)
d. Wir berechnen:
Σj=n
j=1 0,5j= 0,5+0,25 + 0,125 + ... + 0,5n= 1 0,5n(106)
e. Wir berechnen:
Σ
j=10,5j= lim
n→∞ Σj=n
j=1 0,5j= lim
n→∞ 10,5n= 1 (107)
A6.2 Komplexe Zahlen:
a. Wir berechnen:
z= (3 + 2i) + (4 i) = 3 + 4 + i·(2 1) = 7 + i(108)
b. Wir berechnen:
z= (3 + 2i)2= 9 + 2 ·3·2i+ 4 ·i2= 9 + 12i4 = 5 + 12i(109)
c. Wir stellen zals Summe von realem Teil und imagin¨
arem Teil dar, z=a+i·bund wir ermitteln
die beiden reellen Zahlen aund b.
z2= 3,75 + 2i=a2+ 2 ·a·b·ib2=a2b2+i·(2ab) (110)
Hans-Otto Carmesin 23
Der reale Teil und der imagin¨
are Teil m¨
ussen gleich sein:
3,75 = a2b2und 2 = 2ab (111)
Wir l¨
osen die zweite Gleichung nach bauf und setzen in die erste Gleichung ein:
3,75 = a21/a2und b= 1/a (112)
Da 3,75 = 4 1/4 ist, muss a= 2 oder a=2 sein. Die Wurzel ist also:
z= 2 + i/2 oder z=2i/2 (113)
d. Wir berechnen:
z=3
p8·ei·π/4=3
8·3
pei·π/4= 2 ·3
pei·π/4= 2 ·[ei·π /4]1/3(114)
Eine L¨
osung z1ergibt sich aus dem Potenzgesetz [ab]c=ab·c:
z1= 2 ·ei·π/12 (115)
Da b= [eiπ/3]3= 1 ist, k¨
onnen wir z1mit bmultiplizieren und erhalten eine zweite L¨
osung:
z2= 2 ·ei·π/12 ·ei·π/3= 2 ·ei·π·5/12 (116)
Da auch c= [e·2/3]3= 1 ist, k¨
onnen wir z1mit cmultiplizieren und erhalten eine dritte L¨
osung:
z3= 2 ·ei·π/12 ·ei·π·2/3= 2 ·ei·π·9/12 = 2 ·ei·π·3/4(117)
A6.3 Eigenwert:
a. Wir berechnen: ˆ
=i·~·tψ=i·~·(i)·ω·ψ=~·ω·ψ(118)
Wir identifizieren den Eigenwert ~·ω.
b. Wir berechnen:
ˆ=i·~·xψ=i·~·i·k·ψ+i·~·x
σ2·ψ(119)
Das Ergebnis ist nicht eine Zahl multipliziert mit ψ, denn der Faktor x
σ2stellt eine Funktion von x
dar. Daher ist ψkeine Eigenfunktion des Impulsoperators.
A6.4 Erwartungswert:
a. Wir berechnen:
hpi=~2·R
−∞ ψ∂x(x)·ψdx
R
−∞ ψ2dx (120)
Wir leiten weiter ab:
hpi=~2·R
−∞ ψ·x2·ψdx
R
−∞ ψ2dx +~2·R
−∞ ψ2dx
R
−∞ ψ2dx (121)
Wer berechnen die Integrale, z. B. mit einem Computeralgebrasystem:
hpi=~2·1
2+~2=~2·1
2(122)
Hans-Otto Carmesin 24
Abbildung 7: Formeln in der Tabellenkalkulation.
Abbildung 8: Tabellenkalkulation.
Hans-Otto Carmesin 25
Abbildung 9: Graph zur Tabellenkalkulation: Der Schnittpunkt markiert den di-
mensionalen ¨
Ubergang zwischen D= 3 und D= 7.
A6.5 Minimierung der Energie ED:
a. Wir erstellen die Tabellenkalkulation:
b. Der Schnittpunkt in obiger Abbildung entspricht der kritischen Dichte ˜ρD=3,c. Wir lesen ab:
˜ρD=3,c 0,115.
c. Wir stellen in der Tabellenkalkulation Da = 7 und Db = 8 ein. Das Ergebnis zeigt Abb. (10). Der
Schnittpunkt entspricht der kritischen Dichte ˜ρD=7,c. Wir lesen ab: ˜ρD=7,c 0,128.
A6.6 Distanzvergr¨
oßerung:
a. Wir berechnen:
ZDmaxD=3 =qDmax t0
kDmaxt0
=2,56 ·1061
2,96 ·1031 = 8,65 ·1029 (123)
b. Wir berechnen ((Carmesin, 2020, Gl. 6.108)):
Dmax =3
ln 2 ·ln(ZDmaxD=3) + 3 = 3
ln 2 ·ln(8,65 ·1029) + 3 = 301,3301 (124)
c. Bei Dmax ist nD=301 = 2. Daher ist N:
N= 2301 = 4 ·1090 (125)
d. Bei einer kubischen Anordnung der NRegionen erhalten wir:
nD=3 =3
N=3
4·1030 (126)
A6.7 Zeitablauf:
a. Wir erstellen die Tabellenkalkulation (Tab. 11, 12 und Abb. 13). Dabei nimmt die Dichte ˜ρD
aufgrund der Dynamik stetig ab, immer wenn eine kritische Dichte ˜ρD,c erreicht ist, wird die Dimension
entsprechend ge¨
andert.
Hans-Otto Carmesin 26
Abbildung 10: Graph zur Tabellenkalkulation: Der Schnittpunkt markiert den
dimensionalen ¨
Ubergang zwischen D= 7 und D= 8.
Abbildung 11: Formeln in der Tabellenkalkulation.
Abbildung 12: Tabellenkalkulation.
Hans-Otto Carmesin 27
Abbildung 13: Graph zur Tabellenkalkulation, ˜ρD(˜
t): Die Dichte ˜ρD¨
uberstiegt
nie den maximal m¨
oglichen Betrag 0,5.
b. Wir erstellen die Tabellenkalkulation (Abb. 14).
c. Wir erstellen die Tabellenkalkulation (Abb. 15). Dabei nimmt die Dichte ˜ρDaufgrund der Dynamik
stetig ab, immer wenn eine Instabilit¨
atsdichte ˜ρD,ins erreicht ist, wird die Dimension entsprechend
ge¨
andert.
A68. Gesamter Zeitablauf:
a. Wir erstellen die Tabelle und den Graph (Abb. 16, 17).
b. Wir erstellen die Tabelle und erzeugen den Graphen (Abb. 18).
c. Wir erstellen die Tabelle und erzeugen den Graphen (Abb. 19).
8 Diskussion und Ausblick
Mit dem Buch Wir entdecken die Geschichte des Universums mit eigenen Fotos und Experimen-
ten (Carmesin (2020)) k¨
onnen wir unser Universum selbst erkunden, mit eigenen Fotos, durch ei-
genst¨
andiges Experimentieren, mit einfachen Berechnungen oder mit den hier pr¨
asentierten ¨
Ubungs-
aufgaben. Damit k¨
onnen wir uns selbst ¨
uberpr¨
ufen, trainieren, weiter entwickeln und alle Ergebnisse
komplett selbst ermitteln, bis zum kompletten Zeitablauf (s. Cover auf S. 2, s. Carmesin (2020) und
Abb. 19): von der Planck-L¨
ange bis zum Lichthorizont.
Unsere so gewonnenen Resultate stimmen pr¨
azise mit Beobachtungen ¨
uberein. Dabei wenden wir
nur die Gravitation und die Quantenphysik mithilfe etablierter mathematischer und numerischer Me-
thoden an, mit den zugeh¨
origen universellen Konstanten: Gravitationskonstante G, Lichtgeschwin-
digkeit c, Boltzmann-Konstante kBsowie Plancks Konstante h. Das ist eine sachliche und klare
Best¨
atigung unserer Ergebnisse.
Darauf aufbauend wurden wesentliche Geheimnisse der dunklen Energie, des Fine - Tuning -
Problems und der dunklen Materie gel¨
ost (Carmesin (2019)). Auch wurden das Horizontproblem und
das Flachheit - Problem gel¨
ost (Carmesin (2019)). Dazu wird es in K¨
urze einen weiteren Band in der
Hans-Otto Carmesin 28
Abbildung 14: Graph zur Tabellenkalkulation, ZDmaxD(˜
t). Dimensionale
¨
Uberg¨
ange werden bei ˜ρD,c(˜
t) modelliert: Der Faktor ZDmax D(˜
t) erkl¨
art die
extrem schnelle Distanzvergr¨
oßerung im fr¨
uhen Universum.
Abbildung 15: Graph zur Tabellenkalkulation, ZDmaxD(˜
t). Dimensionale
¨
Uberg¨
ange werden bei ˜ρD,ins(˜
t) modelliert: Der Faktor ZDmax D(˜
t) erkl¨
art die
extrem schnelle Distanzvergr¨
oßerung im fr¨
uhen Universum.
Hans-Otto Carmesin 29
Abbildung 16: Tabelle: Radius xbzw. rin Meter abh¨
angig von ˜
t+ 79 tP.
Hans-Otto Carmesin 30
Abbildung 17: Graph: Radius xbzw. rin Meter abh¨
angig von ˜
t+ 79 tP.
Abbildung 18: Graph: Radius r abh¨
angig von ˜
t.
Hans-Otto Carmesin 31
Abbildung 19: Graph: Zeitverlauf des Radius’ rin Metern abh¨
angig von ˜
t: von
der Planck-L¨
ange bis zum Lichthorizont (s. Cover auf S. 2 und in Carmesin
(2019)).
Hans-Otto Carmesin 32
x= 0,5 m
moduliert
Phase ∆φ1
Versuch 1
moduliert
Phase ∆φ2
Versuch 2
Abbildung 20: Versuch zum Ermitteln der Lichtgeschwindigkeit.
Buchreihe Universe: Unified from Microcosm to Macrocosm, der einen einfachen Zugang bietet.
Literatur
[Bos 1974] Bos, H. J. M.: Differentials, higher-order differentials and the derivative in the Leibnizian
calculus. In: Archive for History of Exact Sciences 14 (1974), S. 1–90
[Carmesin 2019] Carmesin, Hans-Otto: Die Grundschwingungen des Universums - The Cosmic
Unification - With 8 Fundamental Solutions based on G, c and h - With Answers to 42 Frequently
Asked Questions. Berlin : Verlag Dr. K¨
oster, 2019
[Carmesin 2020] Carmesin, Hans-Otto: Wir entdecken die Geschichte des Universums mit eigenen
Fotos und Experimenten. Berlin : Verlag Dr. K¨
oster, 2020
9 Anhang
9.1 Wir messen die Lichtgeschwindigkeit
Im ersten Teilabschnitt messen wir die Lichtgeschwindigkeit in Luft. Dazu werden als Versuchsmaterial
ein Oszilloskop und moduliertes Licht ben¨
otigt.
Im zweiten Teilabschnitt messen wir die Lichtgeschwindigkeit in Wasser. Dazu werden als Ver-
suchsmaterial ein schon f¨
ur unter 20 Euro erh¨
altlicher Laser-Entfernungsmesser und ein hohes Gef¨
mit Wasser ben¨
otigt (Abb. 22).
9.2 Wir messen die Lichtgeschwindigkeit in Luft
Wir senden ein Lichtsignal, dessen Amplitude Kosinus-f¨
ormig mit einer Frequenz von f= 50 MHz
moduliert ist (Abb. 20). In einem ersten Versuch stellen wir das gesendete Signal und das reflektierte
Signal auf zwei Kan¨
alen eines Oszilloskops dar und lesen den Phasenunterschied ∆φ1ab (Abb. 21).
In einem zweiten Versuch verschieben wir den Reflektor um ∆x= 0,5 m nach hinten. Dann stellen
wir wieder das gesendete und das reflektierte Signal auf zwei Kan¨
alen eines Oszilloskops dar und lesen
den Phasenunterschied ∆φ2ab.
Hans-Otto Carmesin 33
0246810
1
0.5
0
0.5
1
1.5
φ=π
6
φ
y
Abbildung 21: Versuch zum Ermitteln der Lichtgeschwindigkeit: Anzeige am Os-
zilloskop.
Dem Wegunterschied ∆s= 2 ·x= 1 m entspricht der Phasenunterschied ∆φ= ∆φ2φ1.
Wir ermitteln am Oszilloskop ∆φ=π
3(Abb. 21). Dem entspricht die Laufzeit ∆t=T
6. Dabei ist
die Periodendauer T=1
f=1
50 µs. Dem entspricht die Laufzeit ∆t=T
6. Daher betr¨
agt die Laufzeit
t=1
300 µs.
Wir ermitteln die Lichtgeschwindigkeit:
c=s
t=1 m
1
300 µs= 300 000 km
s(127)
9.3 Wir messen die Lichtgeschwindigkeit in Wasser
Die heute kosteng¨
unstig verf¨
ugbaren Laser-Entfernungsmesser (Abb. 22, Hersteller Eventek, Typ
W-60) ermitteln die Laufzeit im Prinzip genauso wie in unserem ersten Versuch gezeigt (Abb. 20,
21), wobei das Oszilloskop durch eine Elektronik zur Auswertung ersetzt ist. Bei einer Wassertiefe
von 0,28 m und einer L¨
ange von 0,11 m des Laser-Entfernungsmessers wird eine Entfernung von
sgemessen =0,494 m angezeigt (Abb. 23). Dieser Anzeige entspricht folgende gemessene Laufzeit:
tgemessen =sgemessen
c=0,494 m
300 000 km
s
= 1,647 ns (128)
Von dieser gemessenen Laufzeit ordnen wir folgende Laufzeit der L¨
ange des Laser-Entfernungsmessers
zu
tGeraet =0,11 m
c=0,11 m
300 000 km
s
= 0,367 ns (129)
Dem Wasser ordnen wir die restlich Laufzeit zu
tW asser = 1,647 ns 0,367 ns = 1,28 ns (130)
Hans-Otto Carmesin 34
Abbildung 22: Versuch: Laser-Entfernungsmesser an einer Vase mit Wasser.
Daher ermitteln wir folgende Lichtgeschwindigkeit f¨
ur Wasser:
cW asser =0,28 m
1,28 ns = 219 000 km
s(131)
Der Literaturwert betr¨
agt cW asser = 225 000 km
s. Somit betr¨
agt unsere Messungenauigkeit 2,7%. Der
Hersteller Eventek nennt f¨
ur den verwendeten Entfernungsmesser vom Typ W-60 eine Messungenau-
igkeit vom 2 mm. Bei der untersuchten Entfernung von 280 mm macht das bereits 0,7 % aus. Bei
der freih¨
andigen Messung ¨
uber der Wasserober߬
ache gehen wir von einer weiteren Messungenauigkeit
von 7 mm aus. Dem entspricht ein relativer Messfehler von 2,5 %. Beides zusammen erkl¨
art gut die
unsere ermittelte Messungenauigkeit von 2,7%.
9.4 Kritische Dichten
Hans-Otto Carmesin 35
Tabelle 1: ˜ρD,c und ˜ρD,ins.
D˜ρD,c ˜ρD,ins
3 0.11569
4 0.004455296
5 0.03487393
6 0.05736758
7 0.12435 0.07647015
8 0.13715 0.09350022
9 0.1493 0.1089679
10 0.16075 0.1231482
11 0.1715 0.1362208
12 0.1816 0.1483228
13 0.1911 0.1595649
14 0.2 0.1700387
15 0.20835 0.1798226
16 0.21625 0.1889856
17 0.2237 0.1975849
18 0.2307 0.2056743
19 0.23735 0.2132972
20 0.24365 0.2204939
21 0.2496 0.2273018
22 0.2553 0.233751
23 0.26065 0.2398708
24 0.2658 0.2456859
25 0.2707 0.2512199
26 0.2754 0.2564933
27 0.27985 0.261524
28 0.28415 0.2663296
29 0.28825 0.2709249
30 0.29215 0.2753251
Hans-Otto Carmesin 36
Tabelle 2: ˜ρD,c und ˜ρD,ins.
D˜ρD,c ˜ρD,ins
31 2.959500e-001 2.795408e-001
32 2.995500e-001 2.835851e-001
33 3.030500e-001 2.874690e-001
34 3.064000e-001 2.912009e-001
35 3.096500e-001 2.947913e-001
36 3.127500e-001 2.982465e-001
37 3.157500e-001 3.015758e-001
38 3.186500e-001 3.047863e-001
39 3.214500e-001 3.078835e-001
40 3.241500e-001 3.108737e-001
41 3.267500e-001 3.137636e-001
42 3.292500e-001 3.165567e-001
43 3.317000e-001 3.192590e-001
44 3.341000e-001 3.218756e-001
45 3.364000e-001 3.244089e-001
46 3.386000e-001 3.268644e-001
47 3.408000e-001 3.292452e-001
48 3.429000e-001 3.315552e-001
49 3.449500e-001 3.337973e-001
50 3.469000e-001 3.359741e-001
51 3.488500e-001 3.380889e-001
52 3.507000e-001 3.401451e-001
53 3.525500e-001 3.421448e-001
54 3.543000e-001 3.440891e-001
55 3.560500e-001 3.459820e-001
56 3.577000e-001 3.478252e-001
57 3.593500e-001 3.496204e-001
58 3.609500e-001 3.513693e-001
59 3.625000e-001 3.530744e-001
60 3.640500e-001 3.547372e-001
61 3.655500e-001 3.563591e-001
62 3.670000e-001 3.579413e-001
63 3.684000e-001 3.594862e-001
64 3.698000e-001 3.609948e-001
65 3.711500e-001 3.624674e-001
66 3.724500e-001 3.639069e-001
67 3.737500e-001 3.653135e-001
68 3.750000e-001 3.666880e-001
69 3.762500e-001 3.680325e-001
70 3.774500e-001 3.693477e-001
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Abbildung 23: Versuch: Vase mit Wasser.
Tabelle 3: ˜ρD,c und ˜ρD,ins.
D˜ρD,c ˜ρD,ins
71 3.786500e-001 3.706346e-001
72 3.798000e-001 3.718939e-001
73 3.809000e-001 3.731265e-001
74 3.820500e-001 3.743339e-001
75 3.831000e-001 3.755160e-001
76 3.842000e-001 3.766735e-001
77 3.852500e-001 3.778089e-001
78 3.862500e-001 3.789209e-001
79 3.872500e-001 3.800110e-001
80 3.882500e-001 3.810799e-001
100 4.046500e-001 3.988137e-001
120 4.165500e-001 4.116415e-001
140 4.256500e-001 4.213898e-001
160 4.328000e-001 4.290701e-001
180 4.386500e-001 4.352903e-001
200 4.434500e-001 4.404398e-001
220 4.475500e-001 4.447799e-001
240 4.510500e-001 4.484897e-001
260 4.540500e-001 4.517016e-001
280 4.567000e-001 4.545112e-001
300 4.590500e-001 4.569908e-001
301 4.591500e-001 4.571080e-001
Hans-Otto Carmesin 38
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