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PAPERINO E I PONTI DI QUACKENBERG
LA TEORIA DEI GRAFI A FUMETTI
ALBERTO SARACCO
Sommario. In queste note voglio proporre alcuni possibili percorsi didattici di geome-
tria, sulla teoria dei grafi, basati sul fumetto Paperino e i ponti di Quackenberg [1] a cui
ho avuto l’onore di collaborare.
Il soggetto della storia `e frutto di una collaborazione fra me e lo sceneggiatore Disney
Francesco Artibani, che ne ha anche curato con grande attenzione la sceneggiatura. I
disegni sono opera di Marco Mazzarello.
La storia tratta di un famoso problema che ha dato i natali alla teoria dei grafi, il
problema dei ponti di Konigsberg.
I percorsi didattici sono adatti a varie classi, indicativamente dalla seconda classe della
primaria alla seconda classe della secondaria di secondo grado.
Figura 1. La vignetta iniziale della storia.
©
Disney
Date: 11 febbraio 2018.
1
2 A. SARACCO
1. Introduzione
Insegnare matematica in modo divertente `e una missione obbligata.
Divertendosi si impara meglio.
Il fumetto `e il medium ideale per divulgare la geometria anche ad alti livelli.
Sicuramente da queste mie considerazioni [4], oltre che dalla mia passione per il fumetto
Disney, per la matematica e per la divulgazione, `e nata l’idea di trasformare un problema
classico di geometria, i ponti di Koenigsberg, in un’avventura di paperi.
Non `e certo una novit`a che nelle storie Disney si tratti di scienza o di matematica, fin
quasi dalla sua nascita. La scienza su Topolino `e stata anche oggetto di tesi di laurea (ad
esempio [2]).
Nel 2016 `e poi stato ufficializzato il progetto Topolino Comic&Science, che porta su
Topolino storie a tema scientifico seguite direttamente da scienziati esperti nel settore,
corredate da approfondimenti. Il progetto `e affidato ai due storici sceneggiatori Francesco
Artibani e Fausto Vitaliano.
Il progetto ha forti punti di contatto con Comics&Science di Roberto Natalini e Andrea
Plazzi, che dal 2013 si occupa di divulgazione scientifica attraverso il fumetto.
La vera novit`a ne i ponti di Quackenberg `e la presenza di una dimostrazione all’interno
dei fumetti: ben 2 tavole e mezza (tavole 25-26 e met`a della 27)1sono dedicate alla
dimostrazione di un’affermazione di Eulero de’ Paperis (a tavola 24). La dimostrazione
presente nella storia `e frutto quasi interamente della penna di Francesco Artibani, che si
`e preparato sul problema sotto la mia guida prima di dedicarsi alla sceneggiatura. Le mie
correzioni alla sua dimostrazione sono state minime.
A seguito dell’esperienza di scrittura del fumetto, ho presentato la storia nelle scuole, in
due contesti profondamente diversi tra loro: una classe di seconda primaria e un gruppo
di classi di prima e seconda secondaria di primo grado.
Mi sono convinto che la storia Paperino e i ponti di Quackenberg possa essere ben
sfruttata per vari laboratori nelle scuole, a pi`u livelli, dalla scuola primaria alla scuola
secondaria di secondo grado.
Questa nota vuole fornire agli insegnanti delle idee per tali laboratori.
Dopo una breve introduzione sul problema dei ponti di Koenigsberg e un riassunto della
storia, parler`o dei possibili laboratori, divisi per classi.
Se non avete ancora letto Paperino e i ponti di Quackenberg e non volete rovinarvi la
storia, fatelo ora. Da qui in avanti saranno presenti numerosi spoiler.
2. La storia e il problema
In questa sezione delineiamo gli avvenimenti principali della storia, intrammezzati in
colore differente da leggende e aneddoti sul problema originale dei ponti di Koenigsberg
e sulla risoluzione di Eulero del problema.
1In questa nota indico sempre le tavole, per non vincolarmi alle pagine della prima apparizione della
storia su Topolino. La pagina corrispondente alla tavola nin Topolino 3232 `e la pagina 104 + n.
Per trovare l’elenco di tutte le pubblicazioni della storia, vedi la pagina inducks di Paperino e i ponti
di Quackenberg:https://inducks.org/s.php?c=I+TL+3232-3
PONTI DI QUACKENBERG 3
Come preannuncia la didascalia della prima vignetta (figura 1), i fatti si svolgono a
Quackenberg, perla del nord Europa (nella realt`a Koenigsberg, in Prussia), nel 1736
(anno in cui Eulero si `e effettivamente occupato del problema dei ponti di Koenigsberg,
vedi [3], pagine 71–73).
La cittadina `e attravesata dal fiume Pretzel (Pregel nella realt`a) che “ha regalato due
isole [...] alla citt`a” (vedi figura 2). Le isole e le sponde del fiume sono collegate tra loro
da sette ponti (come schematizzato in figura 3).
Figura 2. Il fiume Pretzel e le isole di Quackenberg (tavola 4)
©
Disney
Figura 3. Schema delle isole e dei ponti di Quackenberg; a destra il grafo
corrispondente
La vicenda inizia nella bottega di nonna Str¨udel (interpretata da nonna Papera), dove
vengono sfornati vari dolcetti per gli abitanti della citt`a. Paperino `e il garzone della
bottega e ha il compito di consegnare i prodotti del forno in giro per la citt`a. Il suo
lavoro `e reso gravoso dalla tassa di attraversamento dei ponti imposta dal borgomastro
di Quackenberg, che altri non `e che suo zio Paperone.
4 A. SARACCO
In seguito ad un ennesimo sopruso, Paperino ha un battibecco con un gabelliere. Il
borgomastro si accorge del fatto e —dopo un breve colloquio col nipote disutile— propone
a Paperino una sfida (tavole 7-8):
Se sarai in grado di attraversare i sette ponti senza mai passare due volte per lo stesso,
riserver`o una tariffa speciale a tutti i garzoni.
Paperino accetta la sfida e si prepara fiducioso a trovare la strada che passa attraverso
i sette ponti. La saggia nonna Str¨udel e gli avveduti Qui, Quo e Qua sospettano che la
prova sia pi`u ardua del previsto, ma questo non scoraggia Paperino.
L’impresa in effetti non `e affatto semplice. La leggenda vuole che gli abitanti di Koe-
nigsberg provassero ad attraversare i sette ponti senza mai passare due volte dallo stesso.
Ogni tanto qualcuno, di ritorno dalla birreria, raccontava di essere riuscito a farlo, ma
nessuno era in grado di ripetere il percorso da sobrio, alla luce del sole.
Dopo vari tentativi di trovare un percorso che passi su tutti i ponti una e una sola volta,
Paperino si f`a sempre pi`u scuro in volto e decide infine di rivolgersi alla “mente pi`u geniale
di Quackenberg”, Eulero de’ Paperis (interpretato ovviamente da Pico de’ Paperis, tavola
12).
Per quanto riguarda la vera Koenigsberg, `e il sindaco della vicina Danzica che il 6 marzo
1736 pone il problema a Eulero. Eulero risponder`a con la soluzione il successivo 3 aprile
(vedi [3], pagina 72).
Il matematico si mette al lavoro, mentre Paperino compie tentativi sempre pi`u comici
per riuscire nel suo intento e finisce col coinvolgere tutta la citt`a nell’avvincente sfida del
borgomastro. La cittadina piomba nel caos, quando finalmente arriva Eulero de’ Paperis
con la sua soluzione del problema. Eulero annuncia che il problema non ammette soluzione
(vedi figura 4).
Figura 4. Eulero de’ Paperis annuncia la sua conclusione (tavola 25)
©
Disney
Leggermente diverso `e l’atteggiamento avuto verso il problema da parte di Eulero de’
Paperis e Leonhard Euler. Il personaggio di fantasia dichiara che “la questione era in-
gannevole, ma nascondeva un bel problema di geometria, la pi`u nobile delle branche della
PONTI DI QUACKENBERG 5
matematica” (vedi figura 5), mentre Leonhard Euler scrive che “la questione `e molto ba-
nale, ma mi sembra degna di considerazione, in quanto n´e la geometria n´e l’algebra e
neppure l’arte di contare sono sufficienti a risolverla”2.
Figura 5. Eulero de’ Paperis parla del problema dei sette ponti (tavola
25)
©
Disney
Entrambi, per`o, concordano sulla necessit`a della nascita di una nuova area della mate-
matica per affrontare il problema: Leonhard Euler afferma “dato tutto questo, mi sono
chiesto se appartenesse a quella geometria di posizione [geometria situs] che Leibniz un
tempo aveva tanto desiderato”3, mentre la sua controparte papera afferma con maggiore
ottimismo “la citt`a con i suoi ponti mi ha dato lo spunto per inaugurare una nuova disci-
plina! La chiamer`o topologia [...] geometria situs o geometria di posizione” (vedi figura
6). Il nome topologia in questo contesto storico `e una licenza letteraria, dato che sar`a
introdotto oltre un secolo pi`u tardi, a met`a Ottocento.
Le due tavole e mezzo successive sono destinate alla dimostrazione di quanto enunciato
da Eulero de’ Paperis (per approfondire sulla dimostrazione, vedi la sezione 4 a pagina
14).
Scoperta l’impossibilit`a della sfida del borgomastro, Paperone rischia il linciaggio della
folla e si salva solo promettendo l’abolizione della tassa di attraversamento, salvo poi
annunciare che “tolta una [tassa] se ne f`a un’altra”, oltre alla sua intenzione di costruire
un ottavo ponte (tavola 30).
3. Il laboratorio
Qualunque sia la vostra classe di insegnamento, vi consiglio comunque di leggere tutte
le proposte di laboratorio seguenti. In primis perch´e non sono un esperto di didattica, ma
solo un appassionato di divulgazione, in secundis perch´e `e sempre bene avere un quadro
pi`u ampio rispetto a quanto si intende presentare in classe e infine perch´e non tutte le
classi sono uguali e la cosa migliore `e presentare un laboratorio ritagliato sulla propria
classe ispirato alle idee che vi provo a fornire.
2Lettera di Leonhard Euler a Giovanni Marinoni, 13 marzo 1736, citata in [5], traduzione italiana [3],
pagina 73
3Sempre nella lettera citata sopra
6 A. SARACCO
Figura 6. La topologia o geometria di posizione (tavola 25)
©
Disney
3.1. 2
°
-3
°
anno scuola primaria. Questa che segue `e l’effettiva descrizione di un la-
boratorio che ho effettuato in prima persona nella classe di mia figlia Sofia, una seconda
primaria, a fine ottobre 2016, una settimana prima dell’uscita in edicola di Topolino 3232.
I bambini hanno risposto con grandissimo entusiasmo e si sono applicati a tutti i compiti
pratici-laboratoriali che ho dato loro. Hanno seguito con grande interesse la storia, anche
se riportare la calma dopo le singole attivit`a laboratoriali `e stata dura. In ci`o sono stato
fortemente aiutato dalle maestre Loredana e Silvia, che hanno contribuito al laboratorio.
Avendolo effettuato a inizio anno scolastico un una seconda primaria, sono pi`u che
sicuro che sia adatto all’et`a. L’unico prerequisito `e la conoscenza dei concetti di pari e
dispari.
Gran parte del laboratorio si basa sulla lettura della storia. L’ideale `e proiettare la storia
sulla LIM della classe. In assenza di LIM o di proiettore, si pu`o fare una lettura condivisa
del fumetto, con ogni bambino che segue dalla propria copia, mentre qualcuno legge ad
alta voce. Penso per`o che questa seconda opzione sia meno efficace. Soprattutto, per la
buona riuscita del laboratorio sarebbe bene che i bambini non sbirciassero il proseguio
della storia.
Si pu`o presentare l’attivit`a come un laboratorio su un vero problema di matematica,
trasposto poi nel mondo dei paperi Disney. Se siete dei conoscitori dei personaggi Disney,
pu`o essere divertente intermezzare al racconto delle domande ai bimbi, del tipo: all’ultima
vignetta di tavola 4, Chi guida la carrozza? [Battista, storico maggiordomo di Paperone]
Chi ci sar`a dentro la carrozza? [il borgomastro Paperone]; a tavola 8, di solito le sfide
tra zio Paperone e Paperino finiscono bene per il nipote? [No]...
Si inizia leggendo il fumetto. Arrivati alle vignette delle tavole 7-8 in cui il borgomastro
Paperone propone la sfida `e bene assicurarsi che i bambini abbiano capito bene la sfida
posta a Paperino: attraversare tutti i sette ponti passando su ognuno una e una sola
volta.
Giunti alla fine di tavola 9 si interrompe la lettura e si propone la sfida ai bambini: volete
provare ad affrontare la sfida proposta da zio Paperone? Voi sareste capaci di vincere la
sfida? Consegnate ad ogni bambino una mappa schematizzata di Quackenberg, mentre la
proiettate alla LIM e rispiegate bene il compito che devono affrontare. Pu`o andare bene
PONTI DI QUACKENBERG 7
lo schema in figura 3 a pagina 3, ma probabilmente i bambini apprezzerebbero di pi`u la
figura 7, tratta dalle tavole 26 e 27 della storia, con i dialoghi rimossi.
Figura 7. La sfida: riuscite a trovare un percorso che passi da ogni ponte
una e una sola volta?
©
Disney
8 A. SARACCO
Accertatevi che tutti i bambini abbiano capito cosa devono fare e magari fate rispiegare
le regole della sfida a qualcuno di loro. Date circa 10 minuti per affrontare la sfida e
rendersi conto che `e davvero difficile. Pu`o essere una buona idea farli lavorare a gruppi.
Nonostante il compito sia impossibile, quasi tutti riusciranno nell’impresa: tuffandosi nel
fiume, uscendo dalla pagina per passare da una sponda all’altra, toccando l’inizio di un
ponte senza attraversarlo, dimenticandosi di un ponte, attraversandone uno pi`u volte...
Vi chiameranno di continuo con le loro soluzioni. Armati della sicurezza che il compito `e
impossibile, con pazienza seguite la loro soluzione e spiegate perch´e `e sbagliata.
Quando si saranno resi conto della difficolt`a, provate a riportare la calma per riprendere
a leggere la storia... “la sfida sembra davvero difficile, vogliamo vedere come se la cava
Paperino?”
Riprendendo la lettura dalla tavola 10, si seguono le peripezie di Paperino fino alla
rivelazione di Eulero de’ Paperis sull’impossibilit`a di trovare una soluzione (tavola 24).
Qui `e possibile osservare alcune reazioni da parte dei bambini, tra il perplesso, l’offeso e
il tradito per il fatto che l’insegnante ha dato loro un compito che mai avrebbero potuto
risolvere!
Dopo aver letto la tavola 25 (pagina 129 in [1]) pu`o essere utile guidare gli alunni
attraverso la dimostrazione, magari proiettando nuovamente la mappa su cui si erano
esercitati a trovare una soluzione, ovvero la figura 3 o 7. Anzich´e procedere con la lettura
del fumetto, ci si affida alla mappa di Quackenberg muta mentre l’insegnante interpreta
Eulero de’ Paperis cercando di guidare man mano gli alunni alla comprensione della
dimostrazione, cos`ı come Paperino `e guidato. Si svilupper`a un bel dibattito, con gli
alunni che cercheranno di dire la loro. Per prepararsi al compito, consiglio all’insegnante
di leggere bene la sezione 4 a pagina 14 di questo articolo.
Dopo aver visto la dimostrazione, si pu`o riprendere la lettura dalla tavola 27, fino alla
conclusione. Paperone nell’ultimissima vignetta della storia annuncia che costruir`a un
ottavo ponte per poi riprendere la sfida con Paperino.
Dopo la costruzione dell’ottavo ponte, si pu`o effettivamente trovare un percorso che
passi su tutti gli otto ponti una e una sola volta (anzi, ce ne sono molti diversi tra loro).
Si pu`o quindi proporre la mappa in [4] (pagina 141), qui riprodotta in figura 8, chiedendo
di trovare un percorso. Consiglio di far notare ai bambini che ora si pu`o fare4, dato che
ora ci sono due zone con un numero pari di ponti (l’isola di sinistra e la sponda in basso,
entrambe con 4 ponti) e solo due con un numero dispari di ponti (l’isola di destra, 5 ponti,
e la sponda in alto, 3 ponti).
Per concludere l’attivit`a laboratoriale si pu`o far colorare qualche disegno stampato dalla
storia o qualche disegno di paperi, per rilassarsi a fine attivit`a.
3.2. 4
°
-5
°
anno scuola primaria. Per gli ultimi due anni della scuola primaria, propor-
rei un percorso essenzialmente simile a quello visto per le classi seconde e terze.
L’unica variazione che si pu`o provare `e alla fine della lettura della storia. Quando
Paperone annuncia che costruir`a un ottavo ponte per rendere possibile la sfida, anzich´e
consegnare ai bambini la mappa con otto ponti (figura 8), darei loro una nuova copia
4Per essere precisi nella storia abbiamo solo dimostrato che nel caso ci siano pi`u di due zone con un
numero dispari di ponti `e impossibile trovare il percorso richiesto. Dimostrare che se ci sono esattamente
due o zero zone con un numero dispari di ponti il percorso c’`e, `e pi`u difficile (vedi sezione 4 a pagina 14).
Inutile (anzi forse dannoso) avventurarsi in un discorso di questo tipo con bambini della primaria).
PONTI DI QUACKENBERG 9
Figura 8. Paperone ha costruito l’ottavo ponte
©
Disney
intonsa della mappa con sette ponti gi`a usata (figura 3 o 7) chiedendo loro dove costrui-
rebbero l’ottavo ponte e perch´e, e quindi di trovare un percorso che passi su tutti gli otto
ponti.
Ovunque decidano di costruire l’ottavo ponte ci saranno due zone con un numero dispari
di ponti e due con un numero pari di ponti. Si pu`o quindi trovare un percorso che passi
per tutti gli otto ponti una e una sola volta5. I bimbi dovrebbero riuscire a trovare varie
soluzioni diverse. A partire dalle loro soluzioni si pu`o cercare di far loro osservare che non
importa dove si costruisce il ponte, il percorso si trova sempre.
3.3. Scuola secondaria di primo grado. Anche in questo caso ho avuto un’esperienza
diretta.
Per le scuole secondarie di secondo grado sono possibili due conclusioni diverse del
laboratorio. Nel laboratorio da me effettuato ho scelto la prima delle due proposte, dato
che avevo di fronte a me 5 classi, per un totale di circa 100-120 studenti. La seconda
proposta ritengo sia pi`u adatta nel caso di un laboratorio per una singola classe.
La prima possibilit`a `e, dopo aver letto la storia e lavorato sulla mappa con gli otto
ponti, in una delle due versioni precedentemente proposte, quella di esaminare due diversi
possibili approcci al problema dei sette ponti.
5Vale nuovamente il discorso della nota 4.
10 A. SARACCO
Il primo approccio `e quello per enumerazione, accennato da Eulero de’ Paperis nella
vignetta finale di tavola 12 (vedi figura 9): ovvero elencare tutti i casi possibili e poi
Figura 9. Strategia n.1: esaminare tutti i percorsi possibili (tavola 12)
©
Disney
vedere quali di questi sodddisfano le richieste del problema.
Una prima possibile enumerazione `e quella della successione di ponti percorsi: dopo aver
assegnato ad ogni ponte una lettera (a, b, c, d, e, f, g) come in figura 10 si considerano
tutte le sequenze costituite da quelle sette lettere e si vede se sono percorsi ammissibili o
no. Ad esempio:
1 Il percorso abcdefg non `e possibile, perch´e dopo aver percorso i primi sei ponti ci
troviamo sulla sponda in basso, da cui non parte il ponte g;
2 il percorso abcdegf non `e possibile, perch´e dopo aver percorso i primi sei ponti ci
troviamo sulla sponda in alto, da cui non parte il ponte f;
3 ...
Il problema `e che le sequenze da esaminare sono ben 5040 e la faccenda rischia di farsi
lunga6.
Una seconda possibile enumerazione `e quella delle zone in cui si passa durante il per-
corso: dopo aver assegnato ad ogni zona una lettera (A, B, C, D) sempre come in figura
10 (e come fa Eulero de’ Paperis, ad esempio in figura 7) si considerano tutte le sequenze
costituite da otto di quelle lettere (senza due lettere consecutive uguali)7e si vede se sono
percorsi ammissibili o no. Ad esempio:
1 Il percorso ABABABAB non `e possibile, perch´e non passa mai dalle zone C e D
e quindi non passa per tutti i ponti;
2 il percorso ABCDABCD non `e possibile, perch´e nessun ponte collega le sponde B
e C;
3 il percorso ABACADBA non `e possibile, perch´e non ci sono 3 ponti che collegano
A e B;
6Nella prossima sezione, destinata agli studenti pi`u grandi, vedremo anche perch´e sono in questo
numero.
7Otto, ovvero la zona iniziale e poi una zona di arrivo per ogni ponte da percorrere.
PONTI DI QUACKENBERG 11
Figura 10. Assegnamo ad ogni ponte una lettera minuscola e ad ogni zona
una lettera maiuscola
4 ...
Il problema `e che le sequenze da esaminare sono ben 8748 e la faccenda rischia di farsi
lunga8.
Il problema pi`u grande nelle tecniche per enumerazione `e che aumentano rapidamente
di complessit`a. Inoltre non ci forniscono un motivo per cui qualcosa si pu`o o non si pu`o
fare: non impariamo nulla dai casi precedenti e ogni volta dobbiamo fare il lavoro da zero.
Una dimostrazione matematica invece ci fornisce le vere motivazioni dietro un fatto, ci
permette di capire meglio il problema e si generalizza ad altri casi. Come osserva Eulero
de’ Paperis “dobbiamo [...] trovare un metodo che funzioni sempre... e poco importa
che i ponti siano sette o settecento!” (tavola 13, vedi figura 11). Occorre generalizzare
il problema particolare, ovvero inserirlo in una classe pi`u ampia di problemi dello stesso
tipo e poi fare una dimostrazione che funzioni in generale.
Figura 11. La generalizzazione `e fondamentale per affrontare un problema
matematico (tavola 13)
©
Disney
Nella storia, per ovvi motivi di semplicit`a, la dimostrazione delle tavole 25-26-27 `e fatta
per il caso particolare di Quackenberg, ma funziona in generale. La dimostrazione pu`o
8Come nell’altro caso, nella prossima sezione, destinata agli studenti pi`u grandi, vedremo anche perch´e
sono in questo numero.
12 A. SARACCO
essere leggermente riadattata per dimostrare (vedi la sezione 4 a pagina 14) il seguente
enunciato:
Teorema 1. Se una citt`a `e divisa in zone collegate da ponti e ci sono pi`u di due zone
da cui partono un numero dispari di ponti, allora non esiste nessun percorso che passi su
ogni ponte una e una sola volta.
Pu`o essere bello far riflettere gli studenti sulla profonda differenza che vi `e tra un
caso singolo e un teorema generale... riescono a vedere la dimostrazione dell’enunciato
generale?
La seconda possibilit`a `e quella di farli lavorare in maniera laboratoriale a coppie o
a piccoli gruppi su vari problemi di costruzione di ponti. Molto carini sono ad esempio
i seguenti problemi, tratti cos`ı come sono da Wikipedia [7] (a meno di un’ambientazione
pi`u paperosa).
Sulla riva meridionale della citt`a sorge il castello del borgomastro Paperone e sulla riva
settentrionale sorge quello del ricco Rockerduck, acerrimo nemico di Paperone; sull’isola
orientale abita Eulero de’ Paperis; infine nell’isola centrale si trova una la pasticceria di
nonna Str¨udel. In figura 12 il grafo colorato corrispondente a questa situazione.
Figura 12. Il grafo colorato: in blu la sponda di Paperone, in rosso quella
di Rockerduck, in bianco l’isola di Eulero de’ Paperis e in giallo quella di
nonna Str¨udel
L’ottavo ponte del borgomastro Paperone Il borgomastro, dopo aver ascoltato
la spiegazione di Eulero de’ Paperis (tavole 24-28 in [1]), si convince dell’impossibilit`a di
passare i ponti. Decide allora di costruire un ottavo ponte che gli permetta la sera di
passare i ponti partendo dal suo castello e finendo alla pasticceria di nonna Str¨udel dove
potersi vantare della sua riuscita col nipote Paperino.
Dove costruisce l’ottavo ponte il borgomastro?
Il nono ponte di Rockerduck Il ricco Rockerduck, decide di costruire di nascosto
un altro ponte che consenta a lui di traversare i ponti in modo da raggiungere dal suo
castello la pasticceria, rendendo nel contempo impossibile al borgomastro fare lo stesso.
PONTI DI QUACKENBERG 13
Dove costruisce il nono ponte Rockerduck?
Il decimo ponte di Eulero de’ Paperis Eulero de’ Paperis decide di costruire un
decimo ponte che consenta a tutti i cittadini di passare tutti i ponti e fare ritorno alla
propria casa tra i tranquilli affetti familiari, per porre fine alla faida.
Dove costruisce il decimo ponte Eulero de’ Paperis?
3.4. Scuola secondaria di secondo grado. Per gli studenti dei primi anni delle su-
periori, la lettura della storia pu`o essere uno stimolo per indagare alcuni aspetti della
matematica.
Teoria dei grafi. Dovrebbero essere infatti gi`a avvezzi al concetto di dimostrazione
matematica, grazie alla geometria euclidea. Si pu`o pertanto chiedere loro di rielaborare la
dimostrazione di Eulero de’ Paperis, svolta nel caso particolare delle isole di Quackenberg
per dimostrare il pi`u generale teorema 1.
Per porre la questione in maniera pi`u generale, possiamo introdurre le seguenti defini-
zioni.
Definizione 1. Un grafo Γ`e un insieme finito di punti (detti nodi) e di archi ognuno dei
quali connette due nodi.
L’indice di un nodo `e il numero di archi uscenti da un nodo.
Un cammino in Γ`e una successione di archi di Γtali che il nodo finale di un arco
coincida con il nodo iniziale dell’arco successivo.
Un cammino euleriano in Γ`e un cammino in Γin cui ogni arco compare una e una
sola volta.
Un ciclo euleriano in Γ`e un cammino euleriano in Γin cui il nodo finale del cammino
coincide col nodo iniziale.
Si pu`o quindi riformulare il teorema 1 nel seguente modo e chiedere agli studenti di
dimostrarlo.
Teorema 2. Sia Γun grafo con pi`u di due nodi con indice dispari. Allora non esiste
nessun cammino euleriano in Γ.
Due possibili dimostrazioni sono presentate nell’ultima sezione di questa nota.
I ragazzi riescono a dimostrare il teorema 2 in tutta generalit`a, staccandosi dall’inter-
pretazione particolare dei ponti? Sarebbe bello farli riflettere che un tale teorema si pu`o
applicare anche a problemi apparentemente molto diversi. Ad esempio:
Posso disegnare la busta in figura 13 senza staccare la matita dal foglio e senza ripassare
due volte uno stesso lato?
Il problema `e dello stesso tipo del problema dei ponti. La risposta `e no: ci sono ben 6
nodi di indice dispari.
Combinatoria. Un’altra sfida interessante da proporre agli studenti `e quella di con-
tare quanti cammini vanno esaminati nei procedimenti per enumerazione (vedi figura 9).
La combinatoria `e una parte della matematica molto utilizzata nei giochi matematici e
permette di esplorare vari metodi di ragionamento interessanti. Per una teoria e vari
problemi di combinatoria, si pu`o vedere ad esempio l’esauriente [6].
La domanda del quanti ne vadano considerati dipende in realt`a da come intendono
scrivere un cammino. Esamino qui alcune possibilit`a, ma la cosa migliore `e far riflettere i
ragazzi a piccoli gruppi, ponendoli davanti al problema e facendoli ragionare e discutere.
14 A. SARACCO
Figura 13. Posso disegnare la busta senza staccare la matita dal foglio e
senza ripassare due volte uno stesso lato?
Con la prima enumerazione di pagina 10 bisogna permutare in tutti i modi possibili i
7 ponti. Questo si pu`o fare in 7! = 5040 modi (ho 7 scelte per il primo ponte, fissato il
primo ne ho 6 per il secondo, e cos`ı via).
Con la seconda enumerazione di pagina 10 devo elencare 8 zone scelte in modo che non
ce ne siano due consecutive uguali (4 scelte per la prima zona, 3 per ogni successiva),
quindi 4 ·37= 8748.
Sono possibili ulteriori modi di enumerare i cammini? In che modo li elencherebbero
tutti? E quanti sono? Il problema quanto cresce di complessit`a all’aumentare dei ponti o
delle zone?
Queste sono tutte domande che possono portare a una discussione interessante in classe.
4. La dimostrazione di Eulero de’ Paperis e quella di Eulero
La dimostrazione svolta nel fumetto del teorema 1 `e leggermente diversa rispetto a
quella originale di Eulero.
Entrambe le dimostrazioni sono per assurdo, ovvero partono dal presupposto che esista
un percorso con le caratteristiche richieste, per poi ricavarne una contraddizione.
4.1. La dimostrazione di Eulero de’ Paperis.
Dimostrazione. Immaginiamo di avere un percorso che passa su ogni ponte una [e una
sola] volta. [...]
Ogni volta che il percorso passa in una zona devo usare due ponti, uno per entrare e uno
per uscire. [...] Dunque [...] per compiere il percorso [...] abbiamo sempre bisogno di un
numero pari di ponti [per ogni zona attraversata dal percorso.]
Eulero de’ Paperis - [1] tavole 25-27
Pertanto una zona con un numero dispari di ponti pu`o essere solo la zona di partenza
o di arrivo del percorso e quindi se tali zone sono pi`u di due tale percorso non esiste.
PONTI DI QUACKENBERG 15
4.2. La dimostrazione di Eulero. Scrivo qui la dimostrazione di Eulero adattata al
caso particolare dei ponti di Koenigsberg/Quackenberg, lasciando nelle note la dimostra-
zione generale9. Questa dimostrazione, seppur diversa, si basa sempre sul principio usato
nella dimostrazione dell’alter ego papero di Eulero.
Dimostrazione. Supponiamo per assurdo di avere un percorso che passa su ogni ponte una
e una sola volta. Assegnando ad ogni zona una lettera come in figura 10, un percorso `e
una parola di 8 caratteri scritta con queste lettere (come osservato a pagina 10, quando
si parla della seconda possibile enumerazione).
D’altra parte, ogni lettera di una parola identifica uno e due ponti che partono da
quella zona (uno solo se `e la lettera iniziale o finale della parola) e quindi se dalla zona X
escono kponti la lettera Xdeve comparire almeno k/2 volte nella parola che rappresenta
il percorso passante per tutti i ponti. In particolare la lettera Acompare almeno 3 volte
nella parola che identifica il percorso, poich´e 5 ponti partono da essa, mentre B, C, D
compaiono ognuna almeno 2 volte.
Pertanto
8≥3+2+2+2 = 9,
assurdo. Non esiste il percorso cercato.
4.3. Il viceversa del teorema. In realt`a il teorema di Eulero dice di pi`u. Precisamente
vale anche il viceversa, ovvero dato un grafo connesso (ovvero tale che qualsiasi due nodi
del grafo —zone della citt`a— sono collegate da archi —da ponti—) con al pi`u due nodi di
indice dispari (al pi`u due zone con un numero dispari di ponti) esiste un percorso euleriano
che passa da ogni arco (ponte) una e una sola volta. Precisamente:
Teorema 3. Se una citt`a `e divisa in zone collegate da ponti e c’`e modo di andare da una
qualsiasi zona a una qualsiasi altra usando i ponti, allora:
•esiste un percorso chiuso (cio`e con zona finale e iniziale uguali) che passi su tutti
i ponti una e una sola volta se e solo nessuna zona ha un numero dispari di ponti;
9Dimostrazione generale.
Dimostrazione. Supponiamo di avere un percorso che passa su ogni ponte una e una sola volta. Asse-
gnando ad ogni zona una lettera Xi, un percorso `e una parola scritta con queste lettere. Se i ponti sono
n, le parole che passano da nponti sono composte da n+ 1 caratteri.
D’altra parte ogni lettera di una parola identifica uno e due ponti che partono da quella zona (uno
solo se `e la lettera iniziale o finale della parola) e quindi se dalla zona Xiescono k(Xi) ponti la lettera X
deve comparire almeno k(Xi)/2 volte nella parola che rappresenta il percorso passante per tutti i ponti.
Poich´e il numero di volte n(Xi) in cui compare una lettera `e un numero naturale, si ha n(Xi)≥
hk(Xi)+1
2i, dove [·] indica la parte intera. Inoltre il numero totale di ponti uscenti dalle singole zone `e 2n
(ogni ponte esce da due zone).
Pertanto si ha
2n=X
i
k(Xi)
n+ 1 = X
i
n(Xi)≥X
ik(Xi)+1
2
e al massimo 2 dei k(Xi) possono essere dispari.
16 A. SARACCO
•esiste un percorso aperto (cio`e con zona finale e iniziale diverse) che passi su tutti
i ponti una e una sola volta se e solo se esattamente due zone hanno un numero
dispari di ponti.
5. Fonti delle figure
Le figure 1, 2, 4, 5, 6, 9 e 11 sono tratte da [1].
La figura 7 `e tratta da [1], con i dialoghi rimossi.
La figura 8 `e il disegno in bianco e nero realizzato da Marco Mazzarello e comparso in [4], pag. 141.
Tutte le figure sopra citate sono
©
Disney, e qui riprodotte per gentile concessione della Redazione di
Topolino.
La figura 12 `e tratta da [7]: commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=520396, CC BY-SA 3.0.
Riferimenti bibliografici
[1] Francesco Artibani, Marco Mazzarello, Alberto Saracco, Paperino e i ponti di Quackenberg, Topolino
3232 (2017), 105–134.
[2] Fabio Bettani, La scienza su “Topolino” nel decennio 2001–2010, tesi di master in comunicazione del-
la scienza, SISSA, 2012. https://mcs.sissa.it/sites/default/files/allegati/bettani.pdf
[3] Sandro Camparrini (a cura di), Stefano Pisani (biografia), Eulero. Dai logaritmi alla meccanica
razionale, Grandangolo Scienza 24, Corriere della Sera (2017), 168 pp.
[4] Barbara Garufi (interviste a Francesco Artibani e Alberto Saracco), Gettiamo un ponte... sulla
topologia, Topolino 3232 (2017), 136–141.
[5] B. Hopkins e R. Wilson, The truth about K¨onigsberg, in Leonhard Euler: Life, Work and Legacy, a
cura di R. Bradley e E. Sandifer, Elsevier, Amsterdam (2007).
[6] M. Trombetta, Calcolo combinatorio. Teoria e problemi, U Math 1, scienza express (2018), 158 pp.
[7] Wikipedia, Problema dei ponti di K¨onigsberg.
Alberto Saracco, Dipartimento di Scienze Matematiche, Fisiche e Informatiche, Uni-
versit`
a di Parma, Parco Area delle Scienze 53/A, I-43124 Parma, Italy
E-mail address:alberto.saracco@unipr.it