Available via license: CC BY-NC-ND 4.0
Content may be subject to copyright.
Proyección Cónica Equivalente de Albers:
propiedades y aplicación para México
Mariana Vallejo Velázquez*
Jesús Abraham Navarro Moreno**
Recibido el 01 de marzo de 2016: aceptado el 17 de noviembre de 2016
Abstract
The national mapping of Mexico employs three map projections: the Universal
Transverse Mercator, for large-scale and medium-scale topographic maps; the
Lambert Conformal Conic, for mapping the country in small-scale maps; and the
Mercator projection used for nautical charts. The usual employment of these projec-
tions has been recognized by the scientific community so they are normally used;
however, in Mexico the cartographic research related to this subject has not been
produced, and has not sought the application of other map projections in an effort to
achieve a better representation of the results of the various spatial research topics.
This paper aims to show the use of the Albers Equal-Area Conic projection and its
parameters. In this sense, it shows the formulations that allows the projection of the
coordinates, the analysis of the distortions and the conception of national mapping
in a 1:500,000 scale maps; thus, the article intends to encourage the reflection about
the non-conformal characteristic for Mexican mapping.
Key words: Mathematical Cartography, equal-area projection, Albers Equal-
Area Conic, Mexico.
Resumo
A cartografia nacional do México é feita a través do uso de três projeções oficias:
Universal Transversa de Mercator, utilizada em mapas topográficos de escalas
grande e media; Cônica Conforme de Lambert, adaptada às condições do país para
sua representação em escalas pequenas; e a Normal de Mercator, utilizada para fins
de navegação marítima. O uso destas projeções a longo do tempo foi assimilado
* Estudiante de especialidad en Geomática en el Centro de Investigación en Geografía y Geomática
“Ing. Jorge L. Tamayo”, A.C., correo electrónico: mvv_geo@hotmail.com
** Colegio de Geografía, Facultad de Filosofía y Letras, Universidad Nacional Autónoma de México,
correo electrónico: a.navarro@comunidad.unam.mx.
R
evista Cartográfica 94 enero-junio 2017: 105-126
106 Mariana Vallejo Velázquez y Jesús Abraham Navarro Moreno Proyección Cónica…
pela comunidade científica e usado de forma habitual; no entanto, a pesquisa carto-
gráfica relacionada com esta temática parou e não se tem procurado a aplicação de
outras projeções como um esforço para alcançar uma melhor representação dos
vários tópicos de pesquisa, o que também afeta a precisão dos dados obtidos nestas
investigações. Este trabalho tem como objetivo mostrar a utilização da projeção
Cônica Equivalente de Albers com as adaptações dos parâmetros exigidos; a este
respeito, presentam-se as formulações que permitem a projeção das coordenadas, a
análise das deformações e o mapeamento de uma cartografia nacional escala
1:500.000; posteriormente, o trabalho também tem o objetivo de estimular a refle-
xão sobre as possibilidades da projeção que não preserva o ortomorfismo, conside-
rado até agora como a única propriedade na cartografia nacional mexicana.
Palavras chave: Cartografia Matemática, projeção cartográfica equivalente,
Cônica Equivalente de Albers, México.
Resumen
La cartografía nacional de México emplea de manera oficial tres proyecciones: la
Universal Transversa de Mercator, utilizada en las cartas topográficas para escalas
medianas y grandes; la Cónica Conforme de Lambert, adaptada a las condiciones
del país para su representación en escalas pequeñas; y la Normal de Mercator, em-
pleada con fines de navegación marítima. El uso por largo tiempo de estas proyec-
ciones ha sido asimilado por la comunidad científica y se emplean de forma regular;
no obstante, la investigación cartográfica relacionada con esta temática se ha dete-
nido y no se ha buscado la aplicación de otras proyecciones cartográficas en el afán
de alcanzar una mejor representación de los diversos temas de investigación, lo que
impacta también en la precisión de los datos obtenidos. El presente trabajo tiene por
objetivo mostrar el empleo de la proyección Cónica Equivalente de Albers con
las adaptaciones de parámetros necesarios; en este sentido, se presentan las formu-
laciones que posibilitan la proyección de las coordenadas, el análisis de las
deformaciones y la concepción una cartografía nacional a escala 1:500,000; subse-
cuentemente, el trabajo también pretende estimular la reflexión en torno a las posi-
bilidades que tiene esta proyección que no preserva el ortomorfismo, considerado
hasta ahora como única propiedad en la cartografía nacional mexicana.
Palabras clave: Cartografía Matemática, proyección cartográfica equivalente,
Cónica Equivalente de Albers, México.
Introducción
Un mapa requiere de un alto grado de afinidad con la realidad; debe ser confiable,
legible y geométricamente preciso (Eckert, 1961; Salitchev, 1979; Franco y Valdez,
2003), ya que la representación equivocada de la información conducirá a una in-
Revista Cartográfica 94 enero-junio 2017 107
terpretación errada de la realidad. La precisión geométrica, particularmente, deriva
de la base matemática del mapa, que está conformada por la escala, el sistema de
coordenadas y la proyección cartográfica (Franco y Valdez, op. cit.).
En lo concerniente a las proyecciones cartográficas, puede pensarse que el pro-
blema de transferir la forma curva de la Tierra a un plano de representación está
esencialmente resuelto por la ciencia matemática, por consecuencia, no es necesario
formular más proyecciones; por otro lado, en tanto se mantengan las convenciones
y parámetros establecidos, la decisión con respecto a la elección de la proyección
para diseñar un mapa es una tarea sencilla.
Asumir esta postura, sin embargo, disminuye en gran medida las reflexiones en
torno a la Cartografía Matemática y los aportes que esta vertiente investigativa tiene
para plasmar la superficie terrestre. Los realizadores de mapas que se sitúan bajo
esta visión, comúnmente eligen entre un número reducido de proyecciones, lo que
deriva en la homogeneización de las representaciones; pero más allá, se puede pen-
sar que sólo es un requerimiento para obtener información georreferenciada.
La elección de una proyección cartográfica, ya sea para hacer un mapa o plani-
ficar una cartografía nacional, se vincula directamente con las bases teóricas de la
Cartografía, y es una tarea de suma importancia porque induce la manera en que es
visualizada la información; al respecto, Dent (1999) señaló que cada mapa temático
tiene una proyección, y entender esto debería ser parte de la educación de un dise-
ñador de mapas.
Asimismo, si se reflexiona en la perspectiva práctica del uso de los mapas, la
proyección cartográfica también influye en los resultados que se pueden obtener al
realizar cálculos analíticos o mediciones cartométricas.
Perspectivas investigativas relacionadas con el estudio de las
proyecciones cartográficas
En los últimos años, las investigaciones sobre proyecciones cartográficas se han
centrado principalmente en tres enfoques: deformaciones, formulaciones de nuevas
proyecciones y propuestas de proyecciones cartográficas para mapas en Internet.
Con respecto al estudio de las deformaciones, los trabajos se encaminan a desarro-
llar métodos de cálculo de los valores de deformación de las proyecciones y la for-
ma gráfica de su representación (Kirtiloglu, 2010; Battersby y Kessler, 2012;
Oztug, 2015). Por su parte, las perspectivas dedicadas a la propuesta de nuevas
proyecciones buscan reducir en la medida de lo posible las deformaciones; la ten-
dencia es desarrollar proyecciones de manera visual (visually designed projections)
con el uso de softwares, esta práctica permite que usuarios no profesionales en la
materia puedan crear sus propias proyecciones; las proyecciones que se formulan se
fundamentan en las desarrolladas matemáticamente y, generalmente, son resultado
de la combinación de dos proyecciones (Alashaikh, et al., 2014; Jenny y Patterson,
108 Mariana Vallejo Velázquez y Jesús Abraham Navarro Moreno Proyección Cónica…
2013), aunque siguen surgiendo nuevas con parámetros distintos (Šavrič, et al.,
2011; Jenny, et al., 2011; Safari y Ardalan, 2007; Paterson, et al., 2015). Finalmen-
te, otros estudios se están encaminando en proponer nuevas proyecciones para ma-
pas desplegados en los visualizadores dinámicos de Internet; el argumento se centra
en que la proyección de Mercator, empleada en la web, presenta desventajas en el
manejo de la información a diferentes escalas (Šavric
y Jenny, 2014; Streben,
2016).
El número de trabajos de investigación referente al análisis de proyecciones car-
tográficas representan los esfuerzos que existen alrededor del mundo, en especial en
Estados Unidos, por desarrollar representaciones más precisas de la superficie te-
rrestre.
En México no se ha encontrado bibliografía que evidencie continuidad de las
investigaciones sobre Cartografía Matemática; los estándares y normas que rigen la
elaboración de cartografía nacional oficial se basan en postulaciones de larga histo-
ria en el país. Paquentín (1956) determinó que la proyección Cónica Conforme de
Lambert era adecuada para la representación de México; por su parte Caire (1974)
recomendó el empleo de la proyección Universal Transversa de Mercator (UTM)
para la elaboración de cartografía nacional y presentó sus formulaciones; en años
más recientes, Raúl A. Gómez elaboró una guía de proyecciones cartográficas (Ins-
tituto Nacional de Estadística y Geografía —INEGI, 2002), que además de incluir las
proyecciones que oficialmente se utilizan para México, desarrolló cálculos y ejerci-
cios para la transformación de coordenadas en siete proyecciones más, aunque sin
particularizar adaptaciones específicas para el territorio de México.
De forma posterior a la publicación de estas investigaciones, no ha habido pro-
puestas conocidas que esgriman el empleo de otras proyecciones y que pudieran ser
favorables para la representación del territorio mexicano.
Proyecciones cartográficas empleadas para México
El INEGI es la institución oficial que establece las especificaciones para la cartografía
nacional. La norma NTG-013-2006 Edición de Cartografía Topográfica (INEGI,
2006) regula la edición cartográfica para normalizar formatos, escalas y simbolo-
gías, en el apartado seis menciona las descripciones técnicas y parámetros de las
tres proyecciones cartográficas empleadas para la elaboración de cartas topográficas
(véase Tabla 1).
La CCL es una proyección conforme, secante y normal, se caracteriza por mos-
trar los paralelos como arcos de circunferencias no equidistantes concéntricas al
vértice del cono, la distancia entre ellos disminuye al centro de la proyección. Los
meridianos son radios rectos equidistantes que con los paralelos forman perpendicu-
lares. Como fue mencionado anteriormente, en 1956 Eduardo Paquentín, de la en-
tonces Secretaría de Recursos Hidráulicos (actualmente Comisión Nacional del
Revista Cartográfica 94 enero-junio 2017 109
Agua), concluyó que entre la proyección Transversa de Mercator, la Cónica Con-
forme de Lambert y la Estereográfica, la CCL era la más adecuada para representar
al territorio mexicano en escalas pequeñas (Alonso, 1989). En este sentido, se pue-
de apreciar que la preferencia por el uso de la CCL se basa en la comparación con
respecto a una perspectiva acimutal y otra cilíndrica.
Tabla 1
Proyecciones cartográficas empleadas para México por escala
Proyección cartográfica Escala
Cónica Conforme de Lambert (CCL) 1:4,000,000
Transversa de Mercator
Cónica Conforme de Lambert 1:1,000,000
Universal Transversa de Mercator (UTM) 1:500,000 o mayores
Fuente: INEGI, 2006.
La proyección UTM es una proyección modificada por el U.S. Army Map Ser-
vice en 1940 de la proyección Transversa de Mercator (Ibíd.), es una proyección y
un sistema de coordenadas cartesianas métricas. La diferencia entre ambas es que la
Transversa de Mercator es tangente y la UTM es secante (Robinson, et. al., 1987).
En 1951 la Comisión Cartográfica Militar adoptó la UTM, que sustituyó a la pro-
yección policónica, para construir la Carta General de la República Mexicana escala
1:100,000. En 1968 se creó la Comisión de Estudios del Territorio Nacional
(CETENAL), hoy INEGI, que elaboró cartografía nacional base empleando esta pro-
yección (Caire, op. cit.).
De manera adicional a las proyecciones consideradas por el INEGI, también se
utiliza de forma oficial para México la proyección Normal de Mercator. Esta pro-
yección se desarrolló con fines náuticos y muestra los rumbos como líneas rectas
que indican la dirección como una constante lo que facilita la navegación. En Méxi-
co, la Secretaría de Marina-Armada de México (SEMAR) es la institución encargada
de elaborar las cartas náuticas del país.
Si bien todas estas son proyecciones que se adecuan al territorio, es importante
hacer énfasis en que todas son conformes, por lo que la cartografía oficial de Méxi-
co se caracteriza por esta propiedad; en este sentido, se puede proponer la aplica-
ción de otro tipo de proyección. Los estudios espaciales, ya sean geográficos,
topográficos, biológicos, ambientales, económicos, demográficos o de cualquier
otra ciencia cuyo objeto de estudio sea la superficie terrestre, poseen un extenso
campo de investigación, lo que se manifiesta en una amplia pluralidad de temas que
se pueden abordar dentro de cada dimensión espacial. Todo tipo de estudio espacial
posee características propias cuyos resultados pueden ser representados en un mapa
110 Mariana Vallejo Velázquez y Jesús Abraham Navarro Moreno Proyección Cónica…
y, en consecuencia, cada mapa puede hacer uso de una base matemática cartográfi-
ca particular; por esto, se requiere reflexionar en las características de las proyec-
ciones cartográficas, no sólo conformes, también equivalentes, equidistantes y
anafilácticas.
Proyecciones cartográficas equivalentes
Las propiedades de las proyecciones equivalentes son de gran utilidad para temas
espaciales. También llamadas equiárea o autálicas, tienen la propiedad de mantener
en proporción el tamaño de una superficie; para lograr esta equivalencia, ocurre un
proceso de compresión y extensión, y los ángulos de las figuras que se sitúen sobre
la superficie se deforman (Tyner, 2010). Otra característica de este tipo de proyec-
ciones es que el espaciado entre los paralelos y meridianos debe ser proporcional a
la exageración que se tenga de ellos en el mapa.
Las proyecciones equivalentes son muy importantes para los mapas temáticos
cuantitativos, porque el área, frecuentemente, es parte de los datos a ser incorpora-
dos en la representación; en este sentido, tienen una utilidad general, sin importar
tanto las dimensiones que tenga el territorio cartografiado (Dent, op. cit.). Derivado
de lo anterior, tienen más facilidad de aplicarse en un rango mayor de escalas.
Algunos casos que implican el uso de este tipo de proyección son:
• Mapas de densidad o concentración territorial que muestran la relación entre el
número de objetos por unidad de superficie. El objetivo de este tipo de mapas es
exponer al usuario, en una primera impresión, la cantidad de elementos que ha-
bitan en un espacio.
• Mapas en los que se emplean los símbolos proporcionales como método de
representación. Mostrar el área a escala admite una lectura más certera de la in-
formación al permitir al usuario observar la relación entre el tamaño de la super-
ficie y el tamaño del símbolo.
• Estudios que impliquen el reconocimiento de zonas de influencia.
• Estudios de cambios espacio-temporales requieren del empleo de una proyec-
ción equivalente que permita comparar las áreas afectadas y la rapidez con la
que han ocurrido las trasformaciones espaciales.
• Estudios que requieran cálculos de áreas como son de usos de suelo, predios,
cuencas hidrográficas, zonas de riesgo, municipios o regiones climáticas, entre
otros.
No hay duda de la importancia de la cartografía equivalente; especialmente para
los mapas de corte investigativo, la preservación de un área verdadera es más im-
portante que el sostenimiento de un valor angular teórico. Marschner, 1944 (citado
en Dent, op. cit.) argumentó a favor de la perspectiva equivalente en la Cartografía:
Revista Cartográfica 94 enero-junio 2017 111
el ser humano no habita en una línea de la Tierra, sino en áreas; tampoco se cultiva
en un ángulo de la superficie, sino en un área.
En virtud de lo anterior, se puede proponer el uso de una proyección equiárea
que favorezca las características del territorio mexicano. En general, para elegir una
proyección se debe considerar: la extensión y geometría del territorio, el objetivo
del mapa, los patrones de deformación y la escala del mapa; Robinson et al. (op.
cit.) señalan que al elegir una proyección equivalente se debe considerar el tamaño
del área a representar y la distribución de la deformación de los ángulos, ya que de
ello depende la distorsión de la forma de la superficie.
Proyección Cónica Equivalente de Albers
La proyección Cónica Equivalente de Albers (CEA) (Figura 1) fue desarrollada en
su forma esférica por el alemán Heinrich Christian Albers en 1805, posteriormente
Oscar S. Adams presentó el desarrollo matemático para su forma elipsoidal (Sny-
der, 1997).
Figura 1. Proyección Cónica Equivalente de Albers.
Fuente: elaborado a partir de procesamiento en software.
Se trata de una proyección cónica secante —dos paralelos base—- y normal.
Los paralelos y meridianos son ortogonales entre sí, los paralelos son arcos de cir-
cunferencias concéntricas no equidistantes, la distancia entre ellos disminuye a
medida que se alejan de los paralelos base, por otro lado, los meridianos son líneas
rectas equidistantes cuyo origen es el centro de las circunferencias.
112 Mariana Vallejo Velázquez y Jesús Abraham Navarro Moreno Proyección Cónica…
En una proyección se puede ubicar un punto con coordenadas sexagesimales o
en valores métricos, las coordenadas métricas son las que van a permitir obtener
cálculos geométricos de la superficie terrestre como áreas y distancias.
A continuación, se presentan las fórmulas empleadas y los procedimientos que
explican la transformación directa —de coordenadas geodésicas a cartesianas— en
proyección CEA (INEGI, 2002):
a. Calcular las latitudes de los paralelos base y el meridiano central
Donde:
= latitudes (grados y minutos) extremas de la zona a representar
= grados de coordenadas extremas de la zona a representar
j
= constante. Para Kavrayskiy el valor de es 5 si la superficie a representar
es similar a un rectángulo, 4 si es circular y 3 si es un rombo. Por otro lado,
Deetz y Adams sugieren un valor constante de 6. Para México se aplica el
valor de 6 para j
o
= meridiano central
b. Con las latitudes de los paralelos base, obtener las constantes norte
m, sur
m y
o
m(latitud origen) de la proyección:
2
2
a
ba2
2
e
j
erior
sur inferior sup
inferior '
jinferior eriorsup
superior
norte'
2
oeste este
o
λ
(1)
(2)
(3)
(4)
Revista Cartográfica 94 enero-junio 2017 113
c. Obtener las constantes norte
q, sur
q y o
q (latitud origen) de la proyección:
d. Sustituir los valores obtenidos en los incisos B y C para resolver la constante del
cono:
surnorte
nortesur
qq
mm
22
n
e. Determinar i
p para el paralelo origen ( o
p):
n
qqnma isursur
2
i
p
f. Para el cálculo de las coordenadas, calcular p
q y p
p resolver las ecuaciones 7
y 9, considerar la latitud del punto dado (en grados decimales).
i
22
isen e-1
cos
m
i
Donde:
2
e= excentricidad al cuadrado.
a = semieje mayor del elipsoide de referencia.
b= semieje menor del elipsoide de referencia.
i
= latitud de los paralelos base norte, sur y origen.
(5)
a
ba 22
e
i
i
i
i
sene
sene
ln
e
sene
sen
e
1
1
2
1
1
122
2
i
q
Donde:
e= primera excentricidad.
(6)
(7)
(8)
(9)
114 Mariana Vallejo Velázquez y Jesús Abraham Navarro Moreno Proyección Cónica…
g. Obtener el valor de
y transformarlo a radianes:
h. Para obtener las coordenadas finales, calcular:
El cálculo inverso —de coordenadas cartesianas a coordenadas geodésicas— en
proyección CEA es semejante, y puede servir también a manera de comprobación
de los cálculos directos. Para este proceso se resuelven las siguientes ecuaciones:
Obtener el valor de las constantes norte
m, sur
m, (ecuación 5), y norte
q, sur
q
(7) considerando las latitudes de los paralelos base.
Calcular la constante del cono n(8)
Obtener i
p para el paralelo origen o
p (9)
Determinar los valores de p,
y q:
po
n
γ
180
grados
radianes *
Donde:
p
= longitud del punto dado
(10)
(11)
senpE po X
cosppN poo Y
Donde:
o
E= falso Este
o
N
= falso Norte
(12)
(13)
22 NNpEE ooo p
NNp
EE
arctan
oo
o
γ
n
a
np
qnm sursur
2
22
2
q
(14)
(15)
(16)
Revista Cartográfica 94 enero-junio 2017 115
Donde:
E
y N= valores de coordenadas X y Y del punto dado
o
Ey o
N= valores de falso Este y falso Norte
γ= una vez obtenido el resultado transformar a radianes (11)
A continuación se desarrolla la primera aproximación de la latitud ( o
), este
valor debe transformarse a radianes (11):
2
q
arcsen
o
A partir de esta se calcularán valores más precisos de la latitud con un proceso
iterativo:
1
1
1
22
1
2
2
1
22
12
1
11
2
1
i
i
i
i
1-i
i
isene1
sene-1
nl
e
sene
sen
e
q
cos
sene
La función iterativa concluye cuando se cumple la condición
5
11 101
*
i
segundos, una vez cumplida se obtiene la latitud final.
Para concluir se determina la longitud:
n
o
λ
El resultado de la división n
está dado en radianes, por lo que se debe transfor-
mar a grados para resolver la sustracción.
Las características de la proyección CEA pueden favorecer la representación de
la República Mexicana por dos motivos: en primera instancia, las proyecciones
cónicas son aptas para la representación de territorios que se prolongan longitudi-
nalmente (de Este a Oeste) debido a que el desarrollo del cono se extiende en este
sentido; por otro lado, al ser una proyección secante, los dos paralelos base permi-
ten una menor deformación latitudinal al centro de la proyección y en las latitudes
extremas de México. Además de estos dos argumentos, esta proyección tiene la
propiedad de conservar el área en correcta proporción sin deformar en gran medida
la forma de los territorios (Figura 2).
(17)
(18)
(19)
116 Mariana Vallejo Velázquez y Jesús Abraham Navarro Moreno Proyección Cónica…
Figura 2. a) Comparación de la proyección de la República Mexicana en CCL y CEA.
b) Comparación de estados del Norte y Sur de México.
Fuente: elaborado con base en procesamiento de archivos vectoriales en SIG.
A través de la superposición de la República Mexicana en las proyecciones CCL
y CEA, tomando como referencia para la comparación la latitud y la longitud media
del país, y considerando misma escala y coordenadas extremas, se observa que
existe una diferencia mínima entre ambas proyecciones. La proyección CEA alarga
ligeramente el territorio con dirección Norte-Sur, mientras que en el sentido Este-
Revista Cartográfica 94 enero-junio 2017 117
Oeste es poco visible la deferencia entre ambas. Al no haber una diferencia conside-
rable, se puede afirmar que la CEA no distorsiona de manera relevante la forma del
territorio.
Para representar a la República Mexicana en proyección CEA (Figura 3) se con-
sidera conveniente utilizar los parámetros que la Norma Técnica NTG-013-2006 de
INEGI señala para la proyección CCL para México, ya que ambas son cónicas, se-
cantes y normales:
Paralelos Base: 29° 30’ N y 17° 30’ N
Meridiano central: 102° W
Latitud origen de la proyección: 12° N
Falso Norte: 0 m
Falso Este: 2,500,000 m
Figura 3. Parámetros para la representación de México en proyección CEA.
Fuente: elaborado con base en procesamiento de archivos vectoriales en SIG.
Debido a que los meridianos son perpendiculares a los paralelos, el factor de es-
cala en un meridiano dado un punto es recíproco al factor de escala del paralelo; por
lo que factor será mayor a la unidad sobre el meridiano y menor sobre el paralelo o
viceversa (Adams, 1927). Esto se comprueba con los cálculos desarrollados para
coordenadas de México proyectado en CEA (Tabla 2) (véase Figura 4).
118 Mariana Vallejo Velázquez y Jesús Abraham Navarro Moreno Proyección Cónica…
Figura 4. Factor de escala sobre proyección CEA para México. a) Factor de escala sobre
paralelos, b) factor de escala sobre meridianos.
Fuente: elaborado sobre la base de INEGI, 2002; Córdoba, 1977 y procesamiento
de archivos vectoriales en SIG.
a)
b)
Revista Cartográfica 94 enero-junio 2017 119
Tabla 2
Factor de escala sobre meridianos y paralelos en CEA
Factor de escala sobre meridianos
Latitud Arco de meridiano (1’’) Factor de
escala
CEA Elipsoide GRS 80
32°30’ 30.578161 30.804332 0.9927
29°30’ 30.790009 30.790016 1.0000
23°30’ 30.932599 30.764182 1.0055
17°30’ 30.742995 30.742987 1.0000
14°30’ 30.537795 30.734422 0.9936
Factor de escala sobre paralelos
Latitud Arco de paralelo (1’’) Factor de
escala
CEA Elipsoide GRS 80
32°30’ 26.297728 26.104656 1.0074
29°30’ 26.935079 26.935079 1.0000
23°30’ 28.218033 28.372510 0.9946
17°30’ 29.499842 29.499843 1.0000
14°30’ 30.136234 29.943423 1.0064
Nota: Medidas en metros.
Fuente: elaborado sobre la base de INEGI, 2002; Córdoba, 1977.
La relación inversa que existe entre el factor de escala entre meridianos y para-
lelos permite mantener la equivalencia de áreas a escala. En la Tabla 3 se muestra la
comparación del cálculo de áreas en diferentes latitudes sobre la superficie proyec-
tada en CEA y sobre el elipsoide.
Tabla 3
Comparación del cálculo de superficie sobre elipsoide y CEA
Latitud
Superficie 1”lat x 1”long
CEA Elipsoide GRS80
32° 30’ 2 526.26929 2 526.26828
29° 30’ 2 605.42186 2 605.42122
23° 30’ 2 742.16132 2 742.16138
17° 30’ 2 849.15208 2 849.15280
14° 30’ 2 891.18829 2 891.18933
Nota: Medidas en metros cuadrados.
Fuente: elaborado sobre la base de INEGI, 2002; Córdoba, 1977.
120 Mariana Vallejo Velázquez y Jesús Abraham Navarro Moreno Proyección Cónica…
De manera gráfica, la Figura 5 muestra las indicatrices de Tissot en diversas la-
titudes; lo que se observa es que las variaciones de los semiejes de las elipses de
deformación son mínimas.
Figura 5. Indicatriz de Tissot sobre la proyección CEA adaptada para México.
Fuente: elaborado sobre la base de Córdoba, 1977 y procesamiento de archivos
vectoriales en SIG.
La comparación de la variación del valor de superficie calculado en la CEA, con
respecto a las diferentes proyecciones y el elipsoide que se emplean de manera
oficial para la representación de México se muestran en la Tabla 4.
Las variaciones de las áreas que ocurren en cada proyección llevan a reflexionar
que la realización de cálculos de superficies en proyecciones no equivalentes resul-
tará en valores menos precisos e incluso desproporcionados con respecto a la reali-
dad. De aquí la importancia de elegir una proyección adecuada para cada propósito.
Revista Cartográfica 94 enero-junio 2017 121
Tabla 4
Comparación de área de 1” de latitud por 1” de longitud en diferentes proyecciones
y el elipsoide GRS 80
14° 30’ 17° 30’ 23° 30’ 29° 30’ 32° 30’
GRS
80
Área 2,891.188 2,849.152 2,742.161 2,605.422 2,526.269
UTM Área 2,896.094 2,853.318 2,745.131 2,607.042 2,527.196
Diferencia 4.905 4.166 2.970 1.620 0.927
CCL Área 2,930.214 2,849.151 2,712.372 2,605.423 2,562.030
Diferencia 39.025 -0.001 -29.789 0.001 35.761
CEA Área 2,891.189 2,849.153 2,742.161 2,605.421 2,526.268
Diferencia 0.001 0.001 0.000 -0.001 -0.001
Notas:
1. Medidas en metros cuadrados.
2. Longitud de referencia: meridiano 102°W.
3. La diferencia está calculada en relación a la superficie sobre el elipsoide.
Fuente: elaborado sobre la base de INEGI, 2002; Córdoba, 1977.
Cartografía nacional equivalente en escala 1:500,000
Con la finalidad de realizar una cartografía equivalente a escala nacional, se propo-
ne la separación del territorio en 45 cartas escala 1:500,000. Para esta cartografía, el
territorio nacional puede dividirse en franjas de 6° longitud, cada franja mantiene
un meridiano central, de manera que se emplean seis meridianos centrales que coin-
ciden con los utilizados en la proyección UTM para México 87°, 93°, 99°, 105°,
111°, 117° W (Figura 6).
El uso de franjas permite que la posición de las cartas permanezca muy cercana
a la horizontal, de otra manera, en el caso de emplear un solo meridiano central, las
cartas que se ubican en los extremos longitudinales del país presentarían una incli-
nación poco convencional. La discontinuidad del territorio segmentado en franjas
para la obtención de las cartas no representa cambios en el factor de escala indicado
en la Figura 4; de esta manera, dado que la escala varía sólo latitudinalmente, puede
posibilitarse la continuidad por medio de cálculos matemáticos. Esta característica
supone una ventaja con respecto a la cartografía UTM debido a que el factor de
escala en dicha proyección aumenta tanto en sentido latitudinal como longitudinal y
la unión de cartas es menos accesible.
122 Mariana Vallejo Velázquez y Jesús Abraham Navarro Moreno Proyección Cónica…
Figura 6. Representación de México en proyección CEA discontinua con seis meridianos
centrales.
Fuente: elaborado con base en procesamiento de archivos vectoriales en SIG.
La Figura 7 muestra la división de las 45 cartas. El formato para su nomenclatu-
ra es derivado del que establece INEGI en la Norma Técnica NTG-013-2006, donde
se señala que las dimensiones de una carta escala 1:500,000 son 2° latitud por 3°
longitud, sin embargo, algunas cartas cubren hasta 2° 30’ latitud y 3° 30’ longitud
debido a la configuración de la línea de costa del territorio. Las claves de las cartas
se asignaron conforme a la Norma Técnica NTG-008-2005 División y Nomenclatu-
ra de los Conjuntos de Datos Espaciales por Escala emitida por el INEGI (2005), que
indica que el nombre de las cartas se determina, por orden de prioridad, con base en
la localidad con mayor número de habitantes, rasgos hidrológicos y rasgos orográfi-
cos; en este caso, por la amplia cobertura de las cartas, todas se nombraron de
acuerdo a la localidad más poblada. Por otra parte, se les asignó una clave formada
por un número romano, que numera el renglón en el que se ubica la carta, se co-
mienza a enumerar desde los 34° N hasta los 14° N; asimismo se asignó una letra
que señala el número de columna desde la A en los 117° W hasta la J en los 87° W.
Con el fin de reducir el número de cartas y evitar representaciones con un cubri-
miento continental mínimo, en las cartas III-A, VIII-E y VII-J se insertaron los
territorios insulares Isla Guadalupe, Isla Clarión e Isla Socorro, y Arrecife Alacra-
nes, respectivamente.
Revista Cartográfica 94 enero-junio 2017 123
Figura 7. División de cartas escala 1:500,000 para elaboración de cartografía nacional empleando la proyección CEA.
Fuente: elaborado con base en procesamiento de archivos vectoriales en SIG.
124 Mariana Vallejo Velázquez y Jesús Abraham Navarro Moreno Proyección Cónica…
Conclusiones
En el presente trabajo se ha mostrado la posibilidad de representar el territorio me-
xicano de una manera satisfactoria con la proyección Cónica Equivalente de Albers
(CEA); para ello, fue necesario tomar decisiones en cuanto a los parámetros mate-
máticos que deben aplicarse, dadas las condiciones de extensión latitudinal y longi-
tudinal de México. Con esta optimización también se mantienen reducidas las
deformaciones angulares.
La proyección CEA para México también mostró cualidades para su utilización
en distintas escalas, lo que posibilita alcanzar una integración de la cartografía na-
cional. Con las proyecciones UTM y CCL, que tienen actualmente un uso regular
en México, los estudios que requieran un análisis a diferentes escalas deben tomar
decisión, ya sea por la preservación de una sola proyección y asumir el riesgo de
usar inapropiadamente una de ellas, o bien, enfrentar el problema del cambio de
sistema.
La proyección bajo estudio mostró una ventaja en el manejo del factor de escala
en relación con la UTM. Es conocido que, en este último sistema, la escala varía
tanto de forma latitudinal como longitudinal; los patrones de deformación de la
CEA, en cambio, varían sólo en sentido latitudinal y será más preciso hacer medi-
ciones de fenómenos que ocurren en diferentes longitudes, en particular si esas
mediciones implican el cálculo de áreas. Asimismo, en los estudios de escala chica,
mostró ventajas con respecto a la CCL, ya que, por sus propiedades, además de
conservar la dimensión de las áreas, se observó que, al proyectar a México en la
CEA bajo parámetros adecuados, esta no modifica sustancialmente la forma de los
territorios.
Es así que una cartografía nacional equivalente para México permite a los usua-
rios dimensionar correctamente los fenómenos de interés; la escala 1:500,000, pro-
puesta como primer acercamiento para la escisión de las cartas, posibilita la
realización de cálculos analíticos y cartométricos sobre una base más precisa.
El presente trabajo no pretende descalificar la cartografía nacional que se realiza
en México y que se ha practicado sobre bases fundamentadas; más bien, procura
abonar en la discusión y ser de utilidad como producto de una investigación carto-
gráfica que promueve el uso y entendimiento de las proyecciones cartográficas. La
finalidad es contribuir con una alternativa, especialmente para los trabajos que no
requieran emplear la cartografía oficial de México para mostrar sus resultados.
Bibliografía
Adams, O. (1927). Tables for Albers projection, US Government Printing Office,
Estados Unidos.
Revista Cartográfica 94 enero-junio 2017 125
Alashaikh, A.; Bilani, H. y Alsalman, A. (2014), “Modified perspective cylindrical
map projection”, Arabian Journal of Geosciences, Springer, 7(4):1559-1565.
Alonso, F. (1989). Apuntes de Cartografía, División de Ingeniería Civil, Topográfi-
ca y Geodésica, Universidad Nacional Autónoma de México, México.
Battersby, S. y Kessler, F. (2012). “Cues for Interpreting Distortion in Map Projec-
tions”, Journal of Geography, 111(3):93-101.
Caire, J. (1974). “La proyección cartográfica para Petróleos Mexicanos”, Boletín de
la Asociación Mexicana de Geólogos Petroleros, 26(1-3), enero-marzo, México.
——— (2002). Cartografía básica, Facultad de Filosofía y Letras, Universidad
Nacional Autónoma de México, México.
Córdoba, G. (1977). “Control primario para la elaboración de cartas geográficas”,
tesis de licenciatura en Geografía, Facultad de Filosofía y Letras, Universidad
Nacional Autónoma de México, México.
Dent, B. (1999). Cartography Thematic Map Design, Mc. Graw Hill, Estados Uni-
dos.
Eckert, M. (1961). Cartografía, Unión Tipográfica Editorial Hispanoamericana,
México.
Franco, S. y Valdez, M.A. (2003). Principios básicos de cartografía y cartografía
automatizada, Universidad Autónoma del Estado de México, México.
Instituto Nacional de Estadística, Geografía e Informática (INEGI) (2002). Guía de
proyecciones cartográficas, México.
——— (2005), Norma Técnica NTG-008-2005 División y Nomenclatura de los
Conjuntos de Datos Espaciales por escala, México.
——— (2006), Norma Técnica NTG-013-2006 Edición de Cartografía Topográfi-
ca, México.
Jenny, B. y Patterson, T. (2013). “Blending world map projections with Flex Pro-
jector”, Cartography and Geographic Information Science, 40(4):289-296.
Jenny, B.; Patterson, T.; Petrovič, D. y Hurni, L. (2011). “A Polynomial Equation
for the Natural Earth Projection”, Cartography and Geographic Information
Science, 38(4):363-372.
Kirtiloglu, O. (2010). “Distortion analysis of map projections”, 10th International
Multidisciplinary Scientific GeoConference SGEM2010, I:995-1002.
Oztug, I. (2015). “Quasi indicatrix approach for distortion visualization and
analysis for map projections”, International Journal of Geographical Infor-
mation Science, 29(12):2295-2309.
Paquentín, E. (1956). “Proyección Cónica conforme de Lambert. Cálculo de la
proyección respectiva de 5’ en 5’, Ingeniería Hidráulica de México, vol. X, ju-
lio-agosto-septiembre, pp. 57-66.
Patterson, T.; Šavrič, B. y Jenny, B. (2015). “Introducing the Patterson cylindrical
projection”, Cartographic Perspectives, 78:77-81.
126 Mariana Vallejo Velázquez y Jesús Abraham Navarro Moreno Proyección Cónica…
Raisz, E. (1985). Cartografía general, Omega, Barcelona.
Robinson, A.; Sale, R.; Morrison, J. y Muehrcke, P. (1987). Elementos de Carto-
grafía, Omega, Barcelona.
Safari, A. y Ardalan, A. (2007). “New cylindrical equal area and conformal map
projections of the reference ellipsoid for local applications”, Survey Review,
39(304):132-144.
Salitchev, K. (1979). Cartografía, Editorial Pueblo y Educación, La Habana.
Streben, D. (2016). “An adaptable equal-area pseudoconic map projection”, Carto-
graphy and Geographic Information Science, XVIII:338-345.
Šavric
, B. y Jenny, B. (2014). “A new pseudocylindrical equal-area projection for
adaptive composite map projections”, International Journal of Geographical In-
formation Science, 28(12):2373-2389.
Šavrič, B.; Jenny, B.; Patterson, T.; Petrovič, D. y Hurni, L. (2011).” A polynomial
equation for the Natural Earth projection”, Cartography and Geographic Infor-
mation Science, 38(4):363-372.
Snyder, J. (1987). Map projections, a working manual, U.S. Geological Survey
Professional Paper 1395, Government Printing Office, Estados Unidos.
——— (1997). Flattening the earth: two thousand years of map projections, Uni-
versity of Chicago Press, Estados Unidos.
Tyner, J. A. (2010). Principles of map design. Guilford Press, Estados Unidos.
