The Maximum Number of Hyperedges of An r-Uniform D-Hypergraph

Full text

Advances in Applied Mathematics 应用数学进展, 2020, 9(1), 105-108
Published Online January 2020 in Hans. http://www.hanspub.org/journal/aam
https://doi.org/10.12677/aam.2020.91013
文章引用: 朱义坪, 熊亚萍. r-一致 D-超图的最大边数[J]. 应用数学进展, 2020, 9(1): 105-108.
DOI: 10.12677/aam.2020.91013
The Maximum Number of Hyperedges of An
r-Uniform D-Hypergraph
Yiping Zhu, Yaping Xiong
School of Mathematics and Statistics, Shandong Normal University, Jinan Shandong
Received: Dec. 26th, 2019; accepted: Jan. 8th, 2020; published: Jan. 15th, 2020
Abstract
A mixed hypergraph on a finite set X is a triple
( )
H XCD,,=
, where C and D are families of subset
of X. The member of C is called C-edge and the member of D is called D-edge. A mixed hypergraph
is called C-hypergraph when
D= ∅
, a mixed hypergraph is called D-hypergraph when
C= ∅
. Let
( )
H XCD,,
=
be a mixed hypergraph, r is a positive integer not less than 2. For an arbitrary
C-edge and D-edge, if we have
Cr=
,
Dr=
, then the mixed hypergraph H is called r-uniform
mixed hypergraph. In particular, if
C= ∅
, the mixed hypergraph H is called r-uniform mixed
D-hypergraph. In this paper, we solve the problem about the maximum number of hyperedges of
an r-uniform D-hypergraph when
( )
.Hk
χ
=
Keywords
Mixed Hypergraph, r-Uniform D-Hypergraph, The Maximum Number of Hyperedges
r-一致D-超图的最大边数
朱义坪，熊亚萍
山东师范大学数学与统计学院，山东 济南
收稿日期：2019年12月26日；录用日期：2020年1月8日；发布日期：2020年1月15日
摘 要
混合超图
( )
H XCD,,=
是一个三元组，其中X为H的顶点集。C为X的子集族，记作C-边。D为X的子集族，

朱义坪，熊亚萍
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应用数学进展
记作D-边。
C= ∅
的混合超图称为D-超图，
D= ∅
的混合超图称为C-超图。
( )
H XCD,,=
是一混合超图，
r是不小于2的正整数，若满足对任意的C-超边和D-超边，都有
Cr=
，
Dr=
，则称混合超图H为r-一致
混合超图。特别地，若又有
C= ∅
，则 称 混合超图H为r-一致D超图。在本文中，我们解决当
()
Hk
=
χ
时，
r-一致D-超图H的最大边数这一问题。
关键词
混合超图，r-一致D-超图，最大超边数
Copyright © 2020 by author(s) and Hans Publishers Inc.
This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY).
http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
1. 引言
1995 年，Vitaly Voloshin [1]对于超图的染色理论提出了其对偶问题，即：使某些超边中至少有两个
点染相同的颜色，此类超边称为 C-边，传统超边称为 D-边，同时包含 C-边和 D-边的超图称为混合超图，
记为
( )
,,H XCD=
。这两种超图的主要区别体现在染色上。
C= ∅
的混合超图称为 D-超图，
D= ∅
的混
合超图称为 C-超图。
设
( )
,,H XCD=
是一混合超图，H的一个正常的 k-染色是一个映射
ϕ
：
{ }
1, 2, ,Xk
→
，使得下述
条件成立：
1) 每条 C-边中至少有两个顶点染相同的颜色；
2) 每条 D-边中至少有两个顶点染不同的颜色。
混合超图
( )
,,H XCD=
的一个 k色严格染色是一个正常的 k-染色且恰使用了 k种染色。使混合超图
( )
,,
H XCD=
有一个严格染色所需的最多(最少)的颜色数被称为 H的上色数(下色数)，记作
( )
H
χ
(
( )
H
χ
)。
混合超图的概念一经提出，关于混合超图的新的问题也随之产生，如对 C-超图的染色的研究。C-超
图的染色理论是最大顶点染色理论，因为对于 C-超图来说，存在 1色严格染色。而在超图中所用的最多
颜色数即为超图的顶点数，故超图的染色理论是最小顶点染色理论。因此，对于混合超图来说，最小最
大顶点染色理论都是有意义的。对于 D-超图的染色问题已有许多结果，本文中我们将研究 r-一致 D-超图，
我们首先给出 r-一致 D-超图的概念：
设
( )
,,H XCD=
是一混合超图，r是不小于 2的正整数，若满足对任意的 C-超边和 D-超边，都有
Cr=
，
Dr=
，则称混合超图 H为r-一致混合超图。特别地，若又有
C= ∅
(
D= ∅
)，则称 H为r-一致 D-超
图(r-一致 C-超图)。
极值问题在超图与混合超图中是有趣的而又极具挑战性的。在参考文献[1] [2] [3] [4]中已有一些关于
混合超图的最小点数，最小边数等问题的结果。Vitaly Voloshin 在文献[3]中提出一个公开问题：当
( )
Hk
χ
≥
时，r-一致 C-超图 H的最大边数是多少？该问题已经在文献[5]中得到解决。在本文中，我们
解决当
( )
Hk
χ
=
时，r-一致 D-超图 H的最大边数这一问题。
2. 定理及其证明
定理 1 设
( )
,H XD=
是具有 n个顶点的 r-一致 D-超图，
ϕ
是顶点集 X的一个 k-染色且
( )
Hk
χ
=
。
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应用数学进展
则H的最大边数为
1r
kc
−
，其中 r充分大时，对任意的
2
λ
<
，
( )
12
lnc rr
λ
=
。
断言 1 存在
[ ]
0,1p∈
使得
( )
2
11
r
c p cp−+<
。
因为
1e
p
p
−
−≤
。当
( )
lnp rc r=
时，函数
2
epr
c cp
−+
取得最小值。将 p代入上面的函数，若
( )
( )
2
1 ln 1
crc
r+<
则断言 1成立。当 r充分大时，对任意的
2
λ
<
，
( )
12
lnc rr
λ
=
，这个不等式是成立的。因此，断
言1的证明完成。
设
( )
,H XD
=
具有
( )
1r
H kc
ε
−
=
条边且 p满足上述条件。首先我们随机地用
{ }
1, 2, , k
中的一种颜色
逐个给 H的顶点着色。其次对于每个顶点 v，我们抛掷硬币，出现正面的概率为 p。另外，对 V中的顶
点随机排序。
步骤 1. 随机地用
{ }
1, 2, , k
中的一种颜色逐个给 H的顶点着色，称之为第一次染色。令 B表示位于
某条(可能多条)单色边
eE∈
中的点
vV∈
的集合。
步骤 2. 按V中顶点的顺序依次考虑 B中的元素。当我们考虑 b时，若存在某条(可能多条)包含 b的
边
eH
∈
在第一次染色中是单色的且这条边中至今没有顶点改变颜色，则称 b仍然危险。若 b不是仍然
危险的，则保持原有染色。但若 b是仍然危险的，则抛掷硬币。若出现正面则改变 b的颜色，否则保持
原有染色。我们称终止时的染色为最终染色。
坏事件 在最终的染色中，某条边
eH
∈
是单色的。
在最终的染色中，边
eE∈
是单色的有两种情况。要么在第一次染色中，边 e是单色的且在最终的染
色中，边 e仍然是单色的；要么在第一次染色中，边 e不是单色的但在最终的染色中，边 e是单色的。
第一种情况记作
e
A
，第二种情况记作
e
B
。在第一次染色中，边 e是单色的概率为
1
r
k



，在最终的染色
中，所有的硬币出现反面的概率为
( )
1r
p−
，即边 e仍然是单色的概率为
1
r
k



，则
[ ]
( )
1
Pr 1
rr
e
Ap
k

= −


故
[ ]
( )
Pr 1
r
e
eH
k Ac p
∈
= −
∑
为了避免过度重染且得到
[ ]
Pr
e
B
更好的界，我们巧妙地界定
[ ]
Pr e
B
。对于不同的边
,ef E
∈
，若
1) 边
,ef
恰重叠一个元素，记作 v；
2) 在第一次染色中边 f是单色的且在最终的染色中 e是单色的；
3) 在步骤 2中，点 v是边 e中最后一个改变颜色的点；
4) 当考虑点 v时，边 f仍然是单色的；
则称边 e取决于边 f。
假设
e
B
成立。因边 e中的某些点会改变染色，故存在最后一个改变颜色的点 v。但对于点 v，为 什 么
仍要抛掷硬币？因为点 v一定存在于某条(可能多条)边f中，边 f在第一次染色中是单色的且当考虑点 v
时，边 f仍然是单色的。那么边
,ef
会重叠另一个点
v′
？答案是否定的。因为点
v′
一定在点 v之前改变
颜色，则当考虑点 v时 ，边 f不再是完全单色的，与边 f的假设矛盾。因此当
e
B
成立时，边 e取决于边 f。
令ef
C
表示事件边 e取决于边 f，则
[ ]
Pr Pr
e ef
e ef
BC
≠

≤
∑∑
。

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设边
,ef
固定且
{ }
ef v
=
(否则
ef
C
不发生)。顶点集 V的随机排序导致了
ef
的一个随机排序
σ
。
令
()
ii
σ
=
(
0
i>
)表示在点 v之前点
ve
′∈
的数量，
( )
jj
σ
=
表示在点 v之前的点
vf
′∈
的数量。
由上述讨论知，计算
Pr
ef
C


须同时满足以下几点。首先，在第一次染色中，边 f是单色的，在最终
的染色中，点 v一定会改变颜色。其次，对点 v之前的点
vf
′∈
进行抛掷硬币时全部是反面朝上。再者，
点v之后的点
ve
′∈
的颜色起初就相同(因为点 v是边 e中最后一个改变颜色的顶点)。最后，随机从
{ }
1, 2, , k
中选择颜色对点 v之前的点
ve
′∈
进行染色且最终染色与点 v之后的顶点颜色相同。
固定
σ
得到
( )
1
1 11
Pr 1
r ri i
j
ef
p
C pp
k kk
σ
−−
+
   

≤−
   

   
故
( ) ()
12
Pr 1 1
ij
r
ef
C k pE p p
−


≤ +−
 
引理 4 [6]
( ) ( )
11 1
ij
Ep p

+ −≤

。
因为至多存在
( )
()
2
21r
H kc
ε
−
=
对边
,ef
且边
ef≠
，则
[ ]
( )
2
1 12 2
Pr rr
e
eB k c k p cp
−−
≤<
∑
因此坏事件出现的概率为
( )
2
1
k
c p cp−+
。由断言 1，坏事件不发生的概率为正。这表明存在一种无单
色边 e的染色。因此，定理 1的证明完成。
致 谢
感谢导师蔡建生教授给我们介绍混合超图的相关知识，并对本文进行了全面的修改。最后，向各位
尊敬的评审专家致以诚挚的感谢，谢谢你们对本论文做出的评审以及提出的宝贵意见。
参考文献
[1] Voloshin, V.I. (2002) Coloring Mixed Hypergraphs: Theory, Algorithms and Applications, AMS, Providence.
[2] Bujt´as, C. and Tuza, Z. (2008) Uniform Mixed Hypergraphs: The Possible Numbers of Colors. Graphs and Combi-
natorics, 24, 1-12. https://doi.org/10.1007/s00373-007-0765-5
[3] Diao, K., Zhao, P. and Wang, K. (2014) The Smallest One-Realization of a Given Set III. Graphs and Combinatorics,
30, 875-885. https://doi.org/10.1007/s00373-013-1322-z
[4] Voloshin, V.I. (1992) On the Upper Chromatic Number of a Hypergraph. Scientific Research Conference of the Mol-
dova State University, Theses of Resports, Kishinev, Vol. 1, 42.
[5] Cai, J., Xiong, Y. and Yang, D. (2020) A Note on the Maximum Number of Hyperedge so f C-Hypergraph. Submitted
for Publication.
[6] Alon, N. and Spencer, J.H. (2008) The Probablistic Method. 3rd Edition, John Wiley and Sons, New York.