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Razonar con la covariación. Un estudio sobre las estrategias en un curso de formación de futuros profesores de matemática

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Abstract and Figures

En la investigación internacional se han desarrollado constructos que sugieren acciones mentales, procesos cognitivos y de uso y significado en contextos profesionales y sociales que caracterizan los razonamientos, la modelación y comprensión de la covariación. Este documento ofrece parte de los resultados de un estudio que se propuso investigar las características del razonamiento que exhiben los estudiantes cuando resuelven tareas de modelación de la covariación en las que existe la necesidad de usar información de un contexto extra-matemático. Los resultados sugieren que una parte de los estudiantes se preocupa por determinar un “patrón” para dar sentido a una función como un modelo matemático. También se evidencia que durante su razonamiento utilizan casos particulares para interpretar relaciones entre cantidades como objetos multiplicativos; finalmente se ofrece evidencia de que el razonamiento de otros estudiantes tiene características deductivas; a partir de ello, la tasa de variación emerge de un proceso de interpretación y uso de modelos matemáticos previamente conocidos y como “un caso particular” en la aplicación de estos modelos.
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RAZONAR CON LA COVARIACIÓN. UN ESTUDIO SOBRE LAS ESTRATEGIAS EN
UN CURSO DE FORMACIÓN DE FUTUROS PROFESORES DE MATEMÁTICA
Jhony Alexander Villa-Ochoa
jhony.villa@udea.edu.co
Universidad de Antoquia, Colombia
Resumen
En la investigación internacional se han desarrollado constructos que sugieren acciones
mentales, procesos cognitivos y de uso y significado en contextos profesionales y sociales que
caracterizan los razonamientos, la modelación y comprensión de la covariación. Este
documento ofrece parte de los resultados de un estudio que se propuso investigar las
características del razonamiento que exhiben los estudiantes cuando resuelven tareas de
modelación de la covariación en las que existe la necesidad de usar información de un contexto
extra-matemático. Los resultados sugieren que una parte de los estudiantes se preocupa por
determinar un “patrón” para dar sentido a una función como un modelo matemático. También
se evidencia que durante su razonamiento utilizan casos particulares para interpretar
relaciones entre cantidades como objetos multiplicativos; finalmente se ofrece evidencia de
que el razonamiento de otros estudiantes tiene características deductivas; a partir de ello, la
tasa de variación emerge de un proceso de interpretación y uso de modelos matemáticos
previamente conocidos y como “un caso particular” en la aplicación de estos modelos.
Palabras clave:
razonamiento covariacional, currículo, formación de profesores
Modelación en la perspectiva de la Educación Matemática
El desarrollo del pensamiento matemático es una de las metas para los currículos a nivel global.
Este pensamiento involucra no solo la comprensión conceptual y operatoria sino también la
capacidad de llevar a cabo procesos propios de la matemática, entre ellos, la modelación,
comunicación, argumentación, planteamiento y resolución de problemas. La modelación se
reconoce como un proceso que promueve relaciones entre la matemática y otros dominios
sociales, de las ciencias y de la cotidianidad.
En una reciente revisión, Stillman (2019) informó que la modelación puede valorarse, desde un
punto de vista, para la formación en matemática y, por otro, para la formación en ciudadanía.
Con respecto al primer punto de vista, la autora afirma que la modelación puede considerarse
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un vehículo para la enseñanza de conceptos y procedimientos matemáticos; también para la
enseñanza de modelos y de aplicaciones. En ese sentido, se puede promover las matemáticas
como una actividad humana que permite atender a problemas de diferente naturaleza que den
lugar a la aparición de conceptos, nociones y procedimientos. En el otro punto de vista, la
autora señala que existen investigaciones que se han enfocado en ofrecer experiencias que
posibiliten una educación para la vida después de la escuela; ello involucra el análisis de
problemas sociales, la educación en valores, cuestionar el rol de los modelos matemáticos en
la sociedad y el medio ambiente.
A partir de las investigaciones realizadas en el Grupo de Investigación MATHEMA-Formación
e Investigación en Educación Matemática de la Universidad de Antioquia y la Red Colombiana
de Modelación en Educación Matemática - RECOMEM (Rendón-Mesa, 2016; Rendón-Mesa,
Duarte y Villa-Ochoa, 2016; Parra-Zapata y Villa-Ochoa, 2016; Parra-Zapata et al., 2018; Villa-
Ochoa, 2016; Villa-Ochoa y Berrio, 2015) es posible reconocer la modelación como un
ambiente en que se considera:
1. Las ideas fundamentales de las matemáticas y su relación con los contextos,
significados y procedimientos a partir de los cuales se construyó.
2. El uso de datos
reales
que les permita a los estudiantes matematizar; es decir, plantear
y representar relaciones entre los diferentes objetos y cantidades.
3. El diseño de ambientes de clase que promuevan la participación, discusión,
razonamiento y la toma de decisiones de los aspectos relevantes en el contexto o
situación a modelar.
4. Promover diferentes conocimientos (matemáticos y no matemáticos) sin que se
subordinen entre sí. El uso de estos conocimientos debe emerger de la naturaleza de
la situación estudiada y no como imposiciones
a priori
.
5. Una comprensión de los resultados que proporcionan los modelos como
no absolutos
;
es decir, relativos al campo, condiciones y supuestos bajo los cuales se construyeron.
6. Promover un discurso en el aula que incluya argumentos matemáticos y que se
fundamente en ideas y procedimientos matemáticos.
7. El vínculo directo y constante con expertos (profesionales en distintas áreas) que
permiten, por ejemplo, dar sentido a los datos en el contexto
real
del problema y tener
interpretaciones profesionales de los modelos.
8. La evaluación debe considerarse como un proceso formativo y expresado en diferentes
medios, y que involucra tanto contenidos matemáticos como conceptos, técnicas y
habilidades del contexto en el cual se modela y de la modelación misma.
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RAZONAR CON LA COVARIACIÓN. UN ESTUDIO SOBRE LAS ESTRATEGIAS EN
UN CURSO DE FORMACIÓN DE FUTUROS PROFESORES DE MATEMÁTICA
Jhony Alexander Villa-Ochoa
jhony.villa@udea.edu.co
Universidad de Antoquia, Colombia
Resumen
En la investigación internacional se han desarrollado constructos que sugieren acciones
mentales, procesos cognitivos y de uso y significado en contextos profesionales y sociales que
caracterizan los razonamientos, la modelación y comprensión de la covariación. Este
documento ofrece parte de los resultados de un estudio que se propuso investigar las
características del razonamiento que exhiben los estudiantes cuando resuelven tareas de
modelación de la covariación en las que existe la necesidad de usar información de un contexto
extra-matemático. Los resultados sugieren que una parte de los estudiantes se preocupa por
determinar un “patrón” para dar sentido a una función como un modelo matemático. También
se evidencia que durante su razonamiento utilizan casos particulares para interpretar
relaciones entre cantidades como objetos multiplicativos; finalmente se ofrece evidencia de
que el razonamiento de otros estudiantes tiene características deductivas; a partir de ello, la
tasa de variación emerge de un proceso de interpretación y uso de modelos matemáticos
previamente conocidos y como “un caso particular” en la aplicación de estos modelos.
Palabras clave:
razonamiento covariacional, currículo, formación de profesores
Modelación en la perspectiva de la Educación Matemática
El desarrollo del pensamiento matemático es una de las metas para los currículos a nivel global.
Este pensamiento involucra no solo la comprensión conceptual y operatoria sino también la
capacidad de llevar a cabo procesos propios de la matemática, entre ellos, la modelación,
comunicación, argumentación, planteamiento y resolución de problemas. La modelación se
reconoce como un proceso que promueve relaciones entre la matemática y otros dominios
sociales, de las ciencias y de la cotidianidad.
En una reciente revisión, Stillman (2019) informó que la modelación puede valorarse, desde un
punto de vista, para la formación en matemática y, por otro, para la formación en ciudadanía.
Con respecto al primer punto de vista, la autora afirma que la modelación puede considerarse
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un vehículo para la enseñanza de conceptos y procedimientos matemáticos; también para la
enseñanza de modelos y de aplicaciones. En ese sentido, se puede promover las matemáticas
como una actividad humana que permite atender a problemas de diferente naturaleza que den
lugar a la aparición de conceptos, nociones y procedimientos. En el otro punto de vista, la
autora señala que existen investigaciones que se han enfocado en ofrecer experiencias que
posibiliten una educación para la vida después de la escuela; ello involucra el análisis de
problemas sociales, la educación en valores, cuestionar el rol de los modelos matemáticos en
la sociedad y el medio ambiente.
A partir de las investigaciones realizadas en el Grupo de Investigación MATHEMA-Formación
e Investigación en Educación Matemática de la Universidad de Antioquia y la Red Colombiana
de Modelación en Educación Matemática - RECOMEM (Rendón-Mesa, 2016; Rendón-Mesa,
Duarte y Villa-Ochoa, 2016; Parra-Zapata y Villa-Ochoa, 2016; Parra-Zapata et al., 2018; Villa-
Ochoa, 2016; Villa-Ochoa y Berrio, 2015) es posible reconocer la modelación como un
ambiente en que se considera:
1. Las ideas fundamentales de las matemáticas y su relación con los contextos,
significados y procedimientos a partir de los cuales se construyó.
2. El uso de datos
reales
que les permita a los estudiantes matematizar; es decir, plantear
y representar relaciones entre los diferentes objetos y cantidades.
3. El diseño de ambientes de clase que promuevan la participación, discusión,
razonamiento y la toma de decisiones de los aspectos relevantes en el contexto o
situación a modelar.
4. Promover diferentes conocimientos (matemáticos y no matemáticos) sin que se
subordinen entre sí. El uso de estos conocimientos debe emerger de la naturaleza de
la situación estudiada y no como imposiciones
a priori
.
5. Una comprensión de los resultados que proporcionan los modelos como
no absolutos
;
es decir, relativos al campo, condiciones y supuestos bajo los cuales se construyeron.
6. Promover un discurso en el aula que incluya argumentos matemáticos y que se
fundamente en ideas y procedimientos matemáticos.
7. El vínculo directo y constante con expertos (profesionales en distintas áreas) que
permiten, por ejemplo, dar sentido a los datos en el contexto
real
del problema y tener
interpretaciones profesionales de los modelos.
8. La evaluación debe considerarse como un proceso formativo y expresado en diferentes
medios, y que involucra tanto contenidos matemáticos como conceptos, técnicas y
habilidades del contexto en el cual se modela y de la modelación misma.
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Al igual que Rosa y Orey (2019), la modelación, vista como un ambiente, permite que el proceso
de aprender matemáticas se relacione con la elaboración de conceptos matemáticos que
ayudan a los estudiantes a construir conocimiento a partir de sus propios contextos, cultura,
intereses y motivaciones para aprender. Para los autores, este enfoque desarrolla la autonomía
de los estudiantes porque aprenden a elaborar sus propias estrategias para resolver los
problemas que enfrentan en su vida diaria. En el caso particular de este estudio, se han
diseñado ambientes implementados en el trabajo con estudiantes de licenciatura en
matemáticas (futuros profesores). En ellos, el estudio de la variación ha sido un aspecto clave,
por un lado, para promover el desarrollo de un pensamiento variacional; por otro, como una
manera de promover experiencias que le permita a los estudiantes el reconocimiento de
acciones, estrategias y tareas que apoyen su futuro desempeño profesional.
En coherencia con Romo-Vázquez, Barquero y Bosch (2019), en estos ambientes se generan
condiciones para que los participantes puedan comprender el papel de la modelación en el
aprendizaje de las matemáticas, pero también, para que puedan considerarlo como manera de
desarrollar sus futuras prácticas como profesores. En este documento se ofrece un análisis de
dos episodios extraídos de los ambientes implementados con estos estudiantes cuando
resuelven tareas de modelación que involucran el estudio de la covariación.
La covariación y el razonamiento covariacional
En el ámbito internacional se ha recomendado el estudio y la modelación de fenómenos de
variación y cambio como una manera de promover el desarrollo de un pensamiento variacional
(Colombia-MEN, 2006), como base para una comprensión del cálculo (Carlson et al., 2003, Tall,
2009) y como un enfoque para las matemáticas escolares (Villa-Ochoa y Acevedo, 2019). Por
tanto, el estudio y la modelación de fenómenos de variación no solo es un propósito para el
desarrollo de los currículos de matemáticas, sino que también, ha sido un objeto de estudio
para un sector de la investigación en Educación Matemática.
En Colombia, los currículos escolares de matemáticas deben promover “el reconocimiento, la
percepción, la identificación y la caracterización de la variación y el cambio en diferentes
contextos, así como su descripción, modelación y representación en distintos sistemas o
registros simbólicos, ya sean verbales, icónicos, gráficos o algebraicos” (Colombia-MEN, 2006,
p. 66). En relación con el estudio del Cálculo, Tall (2009) puntualiza que la variación está en el
corazón del análisis matemático y que es indispensable hacer énfasis en los procesos
funcionales y dinámicos que subyacen en cada uno de los conceptos allí tratados. Por su parte,
Rueda Rueda y Parada Rico (2016) recomiendan el uso de software como el Geogebra para el
estudio de la covariación debido a las posibilidades que ofrece el software para coordinar
magnitudes que covarían, la cantidad en que covarían y la comprensión de la tasa de variación
media entre esas cantidades.
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En el ámbito de la investigación, se ha desarrollado el constructo “razonamiento covariacional”
(Thompson y Carlson, 2017). Uno de los orígenes de este constructo, tiene su fundamento en
la noción de
covariacion
de Confrey y Smith (1995); los autores describieron el razonamiento
a partir de la noción de covariación entre cantidades; es decir, el reconocimiento de patrón
predecible o reconocible de la manera en que cambia una variable con los cambios de otra
variable. Otro de los orígenes está en el razonamiento cuantitativo descrito en los trabajos de
P. Thompson; de acuerdo con Thompson y Carlson (2017), en estos trabajos existe un interés
por comprender cómo los estudiantes conciben situaciones, cantidades que se involucran y las
relaciones entre cantidades cuyos valores varían y las formas en que los estudiantes conciben
la tasa de cambio.
Carlson et al. (2003) desarrollaron un marco conceptual que se describe en cinco acciones
mentales y cinco niveles de razonamiento; sin embargo, recientemente, Thompson y Carlson
(2017) reorganizaron este marco a través de la distinción de dos tipos de imágenes de
covariación; a saber, suaves (
smooth
) y en partes (
chunky
). Esta reorganización incluye dos
marcos que explican los niveles de razonamiento variacional y covariacional de los estudiantes;
en ellos, el razonamiento que involucra imágenes suaves se encuentra en los niveles más altos
de cada marco.
Las tareas y el contexto
En el marco de este estudio se utilizó el concepto de tareas de modelación presentado por
Villa-Ochoa, Castrillón-Yepes y Sánchez-Cardona (2017), los autores describen estas tareas
“como un conjunto de textos, enunciados, situaciones, orientaciones o indicaciones que se
organizan para “dar vida” a la modelación en la cotidianidad escolar” (p. 222). También se tiene
en cuenta la noción de tareas de covariación que Villa-Ochoa y Acevedo (2019) presentaron
para analizar una interpretación “dinámica” de las razones trigonométricas; para estos autores,
son tareas que exigen el reconocimiento de patrones de los cambios de una cantidad sobre
las demás cantidades involucradas en la tarea. En coherencia con estos planteamientos, una
tarea de modelación de la covariación
puede presentarse a través de enunciados que exigen
el reconocimiento y la matematización de las relaciones entre cantidades a través de funciones;
es decir, las funciones se constituyen en modelos matemáticos de relaciones entre cantidades
que covarían.
En el estudio del cual se deriva este documento, se diseñaron diferentes tipos de tareas de
modelación de la covariación; entre ellas, tareas realistas, de análisis de modelos y la realización
de proyectos de modelación. Estas tareas se han implementado en cursos de formación de
profesores de matemáticas en un programa de Licenciatura en Matemáticas en una
universidad pública en Medellín-Colombia. En particular, los datos que se analizan en este
documento se extrajeron de una experiencia desarrollada durante 2017 en un espacio
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Al igual que Rosa y Orey (2019), la modelación, vista como un ambiente, permite que el proceso
de aprender matemáticas se relacione con la elaboración de conceptos matemáticos que
ayudan a los estudiantes a construir conocimiento a partir de sus propios contextos, cultura,
intereses y motivaciones para aprender. Para los autores, este enfoque desarrolla la autonomía
de los estudiantes porque aprenden a elaborar sus propias estrategias para resolver los
problemas que enfrentan en su vida diaria. En el caso particular de este estudio, se han
diseñado ambientes implementados en el trabajo con estudiantes de licenciatura en
matemáticas (futuros profesores). En ellos, el estudio de la variación ha sido un aspecto clave,
por un lado, para promover el desarrollo de un pensamiento variacional; por otro, como una
manera de promover experiencias que le permita a los estudiantes el reconocimiento de
acciones, estrategias y tareas que apoyen su futuro desempeño profesional.
En coherencia con Romo-Vázquez, Barquero y Bosch (2019), en estos ambientes se generan
condiciones para que los participantes puedan comprender el papel de la modelación en el
aprendizaje de las matemáticas, pero también, para que puedan considerarlo como manera de
desarrollar sus futuras prácticas como profesores. En este documento se ofrece un análisis de
dos episodios extraídos de los ambientes implementados con estos estudiantes cuando
resuelven tareas de modelación que involucran el estudio de la covariación.
La covariación y el razonamiento covariacional
En el ámbito internacional se ha recomendado el estudio y la modelación de fenómenos de
variación y cambio como una manera de promover el desarrollo de un pensamiento variacional
(Colombia-MEN, 2006), como base para una comprensión del cálculo (Carlson et al., 2003, Tall,
2009) y como un enfoque para las matemáticas escolares (Villa-Ochoa y Acevedo, 2019). Por
tanto, el estudio y la modelación de fenómenos de variación no solo es un propósito para el
desarrollo de los currículos de matemáticas, sino que también, ha sido un objeto de estudio
para un sector de la investigación en Educación Matemática.
En Colombia, los currículos escolares de matemáticas deben promover “el reconocimiento, la
percepción, la identificación y la caracterización de la variación y el cambio en diferentes
contextos, así como su descripción, modelación y representación en distintos sistemas o
registros simbólicos, ya sean verbales, icónicos, gráficos o algebraicos” (Colombia-MEN, 2006,
p. 66). En relación con el estudio del Cálculo, Tall (2009) puntualiza que la variación está en el
corazón del análisis matemático y que es indispensable hacer énfasis en los procesos
funcionales y dinámicos que subyacen en cada uno de los conceptos allí tratados. Por su parte,
Rueda Rueda y Parada Rico (2016) recomiendan el uso de software como el Geogebra para el
estudio de la covariación debido a las posibilidades que ofrece el software para coordinar
magnitudes que covarían, la cantidad en que covarían y la comprensión de la tasa de variación
media entre esas cantidades.
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En el ámbito de la investigación, se ha desarrollado el constructo “razonamiento covariacional”
(Thompson y Carlson, 2017). Uno de los orígenes de este constructo, tiene su fundamento en
la noción de
covariacion
de Confrey y Smith (1995); los autores describieron el razonamiento
a partir de la noción de covariación entre cantidades; es decir, el reconocimiento de patrón
predecible o reconocible de la manera en que cambia una variable con los cambios de otra
variable. Otro de los orígenes está en el razonamiento cuantitativo descrito en los trabajos de
P. Thompson; de acuerdo con Thompson y Carlson (2017), en estos trabajos existe un interés
por comprender cómo los estudiantes conciben situaciones, cantidades que se involucran y las
relaciones entre cantidades cuyos valores varían y las formas en que los estudiantes conciben
la tasa de cambio.
Carlson et al. (2003) desarrollaron un marco conceptual que se describe en cinco acciones
mentales y cinco niveles de razonamiento; sin embargo, recientemente, Thompson y Carlson
(2017) reorganizaron este marco a través de la distinción de dos tipos de imágenes de
covariación; a saber, suaves (
smooth
) y en partes (
chunky
). Esta reorganización incluye dos
marcos que explican los niveles de razonamiento variacional y covariacional de los estudiantes;
en ellos, el razonamiento que involucra imágenes suaves se encuentra en los niveles más altos
de cada marco.
Las tareas y el contexto
En el marco de este estudio se utilizó el concepto de tareas de modelación presentado por
Villa-Ochoa, Castrillón-Yepes y Sánchez-Cardona (2017), los autores describen estas tareas
“como un conjunto de textos, enunciados, situaciones, orientaciones o indicaciones que se
organizan para “dar vida” a la modelación en la cotidianidad escolar” (p. 222). También se tiene
en cuenta la noción de tareas de covariación que Villa-Ochoa y Acevedo (2019) presentaron
para analizar una interpretación “dinámica” de las razones trigonométricas; para estos autores,
son tareas que exigen el reconocimiento de patrones de los cambios de una cantidad sobre
las demás cantidades involucradas en la tarea. En coherencia con estos planteamientos, una
tarea de modelación de la covariación
puede presentarse a través de enunciados que exigen
el reconocimiento y la matematización de las relaciones entre cantidades a través de funciones;
es decir, las funciones se constituyen en modelos matemáticos de relaciones entre cantidades
que covarían.
En el estudio del cual se deriva este documento, se diseñaron diferentes tipos de tareas de
modelación de la covariación; entre ellas, tareas realistas, de análisis de modelos y la realización
de proyectos de modelación. Estas tareas se han implementado en cursos de formación de
profesores de matemáticas en un programa de Licenciatura en Matemáticas en una
universidad pública en Medellín-Colombia. En particular, los datos que se analizan en este
documento se extrajeron de una experiencia desarrollada durante 2017 en un espacio
47
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denominado: Semillero de Investigación; en el espacio mencionado, también participaron dos
profesores coordinadores del Semillero. En total la experiencia tomó cuatro horas de clase (dos
sesiones de dos horas cada una). Los datos se extrajeron de las notas de campo de los
investigadores y de grabaciones en audio.
De acuerdo con las ideas presentadas en el primer apartado de este documento, el ambiente
de modelación no se limitó a la presentación del enunciado de la tarea que los estudiantes
deberían realizar; más allá de ello, se ofreció la posibilidad para que los estudiantes buscaran
en diferentes fuentes información necesaria para poder resolverla. En coherencia con ello, la
experiencia inició con una descripción del proyecto desarrollado por estudiantes que
participaron en el estudio reportado por Villa-Ochoa y Berrío (2015). Los profesores
describieron el contexto en el que estos autores desarrollaron el proyecto de modelación y
cómo en la delimitación del tema del proyecto, los estudiantes discutieron sobre variables que
dependen de otras variables. Los profesores también comentaron que, entre varias opciones,
una parte de los estudiantes decidió indagar si la inclinación de un terreno tiene repercusiones
sobre la cantidad de árboles que se pueden sembrar. Después de la presentación de este
contexto, los profesores presentaron el siguiente enunciado
Se tienen dos terrenos, uno plano y otro inclinado, suponga que se desea sembrar
determinado tipo de planta (por ejemplo, arbustos de café) y determine si la inclinación del
terreno tiene o no alguna implicación en la cantidad de árboles que caben en él
”.
Inicialmente los estudiantes trabajaron en subgrupos, mientras los profesores del curso
estaban atentos a las discusiones que se presentaban en ellos. Los profesores también
estuvieron atentos a las opiniones, estrategias de solución, interpretaciones que consideraron
relevantes para promover una discusión plenaria ante todo el grupo. En la primera parte, los
estudiantes se comprometieron con la comprensión de la tarea y la construcción (o
interpretación) del modelo matemático para determinar la cantidad de árboles en un terreno
plano. En la segunda parte, al igual que los participantes de Villa-Ochoa y Berrío (2015), los
estudiantes extendieron los modelos a los terrenos inclinados, compararon los resultados en
ambos casos, y respondieron a la pregunta formulada en la tarea. Para dar sentido a los datos
en términos del razonamiento, se segmentaron y analizaron los datos a partir de las
descripciones del marco del razonamiento covariacional propuesto por Thompson y Carlson
(2017). Con el ánimo de identificar cómo la modelación interviene en ese razonamiento, se
buscaron evidencias sobre las acciones que realizaron los estudiantes y sobre el
porqué
y el
para qué
las realizaron.
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Los resultados
Los resultados que se presentan en este documento se fundamentan en la primera parte de la
tarea, es decir, en las acciones que realizaron los estudiantes para modelar la cantidad de
árboles que caben en un terreno plano. Para enfrentar esta primera parte de la tarea, los
estudiantes se propusieron reconocer las condiciones bajo las cuales se deben sembrar los
árboles. Una pregunta recurrente entre los equipos, fue ¿Qué se debe tener en cuenta para
sembrar los árboles? La respuesta a esta pregunta se deriva de la información propia de la
agricultura. A partir de esta pregunta, dos tipos de estrategias pudieron reconocerse; la primera
de ellas se desarrolló de un grupo a quienes los profesores explicaron las condiciones de
sembrado rectangular (ver Figura 1). La segunda estrategia se derivó de los estudiantes que
buscaron información en Internet y encontraron en el sitio web de Permacultura la distribución
tres bolillos2 y rectangular3; en la página también se encuentra los respectivos modelos
matemáticos que se usan en cada tipo de sembrado. A continuación, se presentan las
características del razonamiento de los estudiantes cuando buscaron describir y matematizar
la covariación presente en esta primera parte de la tarea.
Figura 1. Ilustración sobre la distribución rectangular de arboles.
En la búsqueda de un patrón para el cálculo de árboles que se distribuyen de manera
rectangular
Los estudiantes se comprometieron con la búsqueda de relaciones que le permitiera establecer
la cantidad de árboles que cabrían según las dimensiones largo y ancho del terreno
rectangular. En el siguiente comentario, Karla (seudónimo) explica el procedimiento realizado:
2 https://www.permacultura.org.mx/es/herramientas/formulario/tresbolillo/
3 https://www.permacultura.org.mx/es/herramientas/formulario/marco-en-calles/
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denominado: Semillero de Investigación; en el espacio mencionado, también participaron dos
profesores coordinadores del Semillero. En total la experiencia tomó cuatro horas de clase (dos
sesiones de dos horas cada una). Los datos se extrajeron de las notas de campo de los
investigadores y de grabaciones en audio.
De acuerdo con las ideas presentadas en el primer apartado de este documento, el ambiente
de modelación no se limitó a la presentación del enunciado de la tarea que los estudiantes
deberían realizar; más allá de ello, se ofreció la posibilidad para que los estudiantes buscaran
en diferentes fuentes información necesaria para poder resolverla. En coherencia con ello, la
experiencia inició con una descripción del proyecto desarrollado por estudiantes que
participaron en el estudio reportado por Villa-Ochoa y Berrío (2015). Los profesores
describieron el contexto en el que estos autores desarrollaron el proyecto de modelación y
cómo en la delimitación del tema del proyecto, los estudiantes discutieron sobre variables que
dependen de otras variables. Los profesores también comentaron que, entre varias opciones,
una parte de los estudiantes decidió indagar si la inclinación de un terreno tiene repercusiones
sobre la cantidad de árboles que se pueden sembrar. Después de la presentación de este
contexto, los profesores presentaron el siguiente enunciado
Se tienen dos terrenos, uno plano y otro inclinado, suponga que se desea sembrar
determinado tipo de planta (por ejemplo, arbustos de café) y determine si la inclinación del
terreno tiene o no alguna implicación en la cantidad de árboles que caben en él
”.
Inicialmente los estudiantes trabajaron en subgrupos, mientras los profesores del curso
estaban atentos a las discusiones que se presentaban en ellos. Los profesores también
estuvieron atentos a las opiniones, estrategias de solución, interpretaciones que consideraron
relevantes para promover una discusión plenaria ante todo el grupo. En la primera parte, los
estudiantes se comprometieron con la comprensión de la tarea y la construcción (o
interpretación) del modelo matemático para determinar la cantidad de árboles en un terreno
plano. En la segunda parte, al igual que los participantes de Villa-Ochoa y Berrío (2015), los
estudiantes extendieron los modelos a los terrenos inclinados, compararon los resultados en
ambos casos, y respondieron a la pregunta formulada en la tarea. Para dar sentido a los datos
en términos del razonamiento, se segmentaron y analizaron los datos a partir de las
descripciones del marco del razonamiento covariacional propuesto por Thompson y Carlson
(2017). Con el ánimo de identificar cómo la modelación interviene en ese razonamiento, se
buscaron evidencias sobre las acciones que realizaron los estudiantes y sobre el
porqué
y el
para qué
las realizaron.
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Los resultados
Los resultados que se presentan en este documento se fundamentan en la primera parte de la
tarea, es decir, en las acciones que realizaron los estudiantes para modelar la cantidad de
árboles que caben en un terreno plano. Para enfrentar esta primera parte de la tarea, los
estudiantes se propusieron reconocer las condiciones bajo las cuales se deben sembrar los
árboles. Una pregunta recurrente entre los equipos, fue ¿Qué se debe tener en cuenta para
sembrar los árboles? La respuesta a esta pregunta se deriva de la información propia de la
agricultura. A partir de esta pregunta, dos tipos de estrategias pudieron reconocerse; la primera
de ellas se desarrolló de un grupo a quienes los profesores explicaron las condiciones de
sembrado rectangular (ver Figura 1). La segunda estrategia se derivó de los estudiantes que
buscaron información en Internet y encontraron en el sitio web de Permacultura la distribución
tres bolillos2 y rectangular3; en la página también se encuentra los respectivos modelos
matemáticos que se usan en cada tipo de sembrado. A continuación, se presentan las
características del razonamiento de los estudiantes cuando buscaron describir y matematizar
la covariación presente en esta primera parte de la tarea.
Figura 1. Ilustración sobre la distribución rectangular de arboles.
En la búsqueda de un patrón para el cálculo de árboles que se distribuyen de manera
rectangular
Los estudiantes se comprometieron con la búsqueda de relaciones que le permitiera establecer
la cantidad de árboles que cabrían según las dimensiones largo y ancho del terreno
rectangular. En el siguiente comentario, Karla (seudónimo) explica el procedimiento realizado:
2 https://www.permacultura.org.mx/es/herramientas/formulario/tresbolillo/
3 https://www.permacultura.org.mx/es/herramientas/formulario/marco-en-calles/
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Karla:
(Grupo1)
En primer lugar, dibujamos cómo sería la distribución
[ver Figura 2]
e hicimos
ejemplos concretos
[numéricos]
, por ejemplo, si el ancho del terreno es 50
metros, la copa del árbol es de 1.5 metros de diámetro y la calle
[distancia entre
los tallos de dos árboles sobre la fila]
es de 50 centímetros, entonces todo va a
depender de la distancia que dejemos en los extremos. Nosotros supusimos
que entre los dos extremos también daba 2 metros. Así nos quedaba más fácil
para ver
[encontrar]
la relación. Entonces vimos que dividíamos el ancho
[50 m]
entre 2 metros y nos dio 25; eso quiere decir cabrían 25 árboles a lo ancho.
Luego a lo largo se hace lo mismo, se divide el largo con el valor de la copa
más el puente
[distancia entre los tallos de dos árboles sobre la columna].
Figura 2. Esbozo de la distribución de árboles en un ancho de dimensión 50 metros
Una vez finalizada la intervención de Karla, uno de los profesores la interpeló para preguntarle,
¿
y que pasa si las [suma de las] distancias en los extremos no da 2 metros
? A lo que Juan, otro
compañero del equipo, respondió, “
alteraría el modelo y tendríamos que analizar, porque lo
que sí es cierto, es que debe quedar una distancia entre el árbol y el borde del rectángulo,
porque si no, no se podría recoger cosecha
”.
Varios aspectos se pueden rescatar en la estrategia usada por el equipo de Karla. En primer
lugar, se resalta que los estudiantes buscaron información que les permitiera comprender la
tarea. El esbozo [Fig. 2] y la solución de casos numéricos particulares les permitió reconocer la
relación el ancho y la distancia entre tallo y tallo para calcular la cantidad de árboles. Por un
lado, este hecho se puede interpretar como una estrategia para identificar la relación numérica
entre las cantidades, pero por otro, como una manera de evocar un razonamiento de tipo
inductivo a través del cual se infiere la relación entre cantidades variables.
El hecho que los estudiantes hayan esbozado un caso particular como
ejemplo
[ver segunda
línea descripción de Karla] sugiere que los estudiantes
a priori
reconocen la existencia de una
relación funcional entre las cantidades y
razonan
con el fin de conocerla algebraicamente. En
51
este esfuerzo buscan en los “casos particulares” una forma de “operar con números” para
comprender “las relaciones entre cantidades variables”. Si bien estas acciones pueden asociarse
con el nivel de
coordinación de valores
(Thompson y Carlson, 2017), también es posible
interpretar este hecho como una acción producto del esfuerzo por identificar la expresión
algebraica de “un patrón” previamente existente.
Otro hecho que se puede resaltar radica en que los estudiantes lograron reconocer en el
cociente
a
/
c
la presencia de una “nueva” cantidad denominada
cantidad de árboles que caben
en el ancho del terreno
. Los estudiantes señalaron que el mismo razonamiento se podría
extender para calcular la cantidad de árboles en el largo del terreno. Con base en estos dos
datos señalaron “
Ya con estos datos multiplicamos y tenemos la cantidad de arboles en el
terreno
” [Karla cuando finalizó su presentación ante el grupo]. Después de esta intervención,
los estudiantes señalaron que obtuvieron el siguiente modelo:
C
= (
a
/
c
) (
l
/
p
)
En donde:
C
: cantidad de árboles en el terreno
a
: medida del ancho del terreno
l
: medida del largo del terreno
c
(calle): distancia entre los tallos de dos árboles sobre la fila
p
(puente): distancia entre los tallos de dos árboles sobre la columna.
El reconocimiento de esta “nueva” cantidad es evidencia de una característica del razonamiento
covariacional denominada
objeto multiplicativo
. Para Thompson y Carlson (2017), la relación
entre los valores de cantidades individuales como un objeto multiplicativo implica transformar
cantidades individuales para crear una nueva cantidad conjunta que comprenda las cantidades
individuales. Una interpretación de la manera en que los estudiantes llegaron a este objeto
multiplicativo fue a través de la “ejemplificación” de “casos numéricos particulares”. Otro de
los aspectos a resaltar es la naturaleza de la expresión
C
= (
a
/
c
) (
l
/
p
). Si bien puede considerase
como una función que representa la covariación entre
C
y las demás cantidades (dependiendo
del caso algunas serían constantes) no se encontró evidencia de su construcción como
covariación en los términos de Confrey y Smith (1995); más allá de ello, las descripciones de
los estudiantes sugieren una “aplicación automática” de la “fórmula” del área de un rectángulo
para calcular la cantidad de árboles total en el terreno; esto puede deberse a la “necesidad”
que sintieron de enfocarse en la búsqueda del modelo para el cálculo de la cantidad de árboles,
en sus palabras “para saber si la inclinación tiene un efecto en la cantidad de árboles, debemos
conocer como calcular la cantidad de árboles [que caben el terreno]”[Karla frente a la pregunta,
¿Por qué decidieron buscar la fórmula?].
50
50
Karla:
(Grupo1)
En primer lugar, dibujamos cómo sería la distribución
[ver Figura 2]
e hicimos
ejemplos concretos
[numéricos]
, por ejemplo, si el ancho del terreno es 50
metros, la copa del árbol es de 1.5 metros de diámetro y la calle
[distancia entre
los tallos de dos árboles sobre la fila]
es de 50 centímetros, entonces todo va a
depender de la distancia que dejemos en los extremos. Nosotros supusimos
que entre los dos extremos también daba 2 metros. Así nos quedaba más fácil
para ver
[encontrar]
la relación. Entonces vimos que dividíamos el ancho
[50 m]
entre 2 metros y nos dio 25; eso quiere decir cabrían 25 árboles a lo ancho.
Luego a lo largo se hace lo mismo, se divide el largo con el valor de la copa
más el puente
[distancia entre los tallos de dos árboles sobre la columna].
Figura 2. Esbozo de la distribución de árboles en un ancho de dimensión 50 metros
Una vez finalizada la intervención de Karla, uno de los profesores la interpeló para preguntarle,
¿
y que pasa si las [suma de las] distancias en los extremos no da 2 metros
? A lo que Juan, otro
compañero del equipo, respondió, “
alteraría el modelo y tendríamos que analizar, porque lo
que sí es cierto, es que debe quedar una distancia entre el árbol y el borde del rectángulo,
porque si no, no se podría recoger cosecha
”.
Varios aspectos se pueden rescatar en la estrategia usada por el equipo de Karla. En primer
lugar, se resalta que los estudiantes buscaron información que les permitiera comprender la
tarea. El esbozo [Fig. 2] y la solución de casos numéricos particulares les permitió reconocer la
relación el ancho y la distancia entre tallo y tallo para calcular la cantidad de árboles. Por un
lado, este hecho se puede interpretar como una estrategia para identificar la relación numérica
entre las cantidades, pero por otro, como una manera de evocar un razonamiento de tipo
inductivo a través del cual se infiere la relación entre cantidades variables.
El hecho que los estudiantes hayan esbozado un caso particular como
ejemplo
[ver segunda
línea descripción de Karla] sugiere que los estudiantes
a priori
reconocen la existencia de una
relación funcional entre las cantidades y
razonan
con el fin de conocerla algebraicamente. En
51
este esfuerzo buscan en los “casos particulares” una forma de “operar con números” para
comprender “las relaciones entre cantidades variables”. Si bien estas acciones pueden asociarse
con el nivel de
coordinación de valores
(Thompson y Carlson, 2017), también es posible
interpretar este hecho como una acción producto del esfuerzo por identificar la expresión
algebraica de “un patrón” previamente existente.
Otro hecho que se puede resaltar radica en que los estudiantes lograron reconocer en el
cociente
a
/
c
la presencia de una “nueva” cantidad denominada
cantidad de árboles que caben
en el ancho del terreno
. Los estudiantes señalaron que el mismo razonamiento se podría
extender para calcular la cantidad de árboles en el largo del terreno. Con base en estos dos
datos señalaron “
Ya con estos datos multiplicamos y tenemos la cantidad de arboles en el
terreno
” [Karla cuando finalizó su presentación ante el grupo]. Después de esta intervención,
los estudiantes señalaron que obtuvieron el siguiente modelo:
C
= (
a
/
c
) (
l
/
p
)
En donde:
C
: cantidad de árboles en el terreno
a
: medida del ancho del terreno
l
: medida del largo del terreno
c
(calle): distancia entre los tallos de dos árboles sobre la fila
p
(puente): distancia entre los tallos de dos árboles sobre la columna.
El reconocimiento de esta “nueva” cantidad es evidencia de una característica del razonamiento
covariacional denominada
objeto multiplicativo
. Para Thompson y Carlson (2017), la relación
entre los valores de cantidades individuales como un objeto multiplicativo implica transformar
cantidades individuales para crear una nueva cantidad conjunta que comprenda las cantidades
individuales. Una interpretación de la manera en que los estudiantes llegaron a este objeto
multiplicativo fue a través de la “ejemplificación” de “casos numéricos particulares”. Otro de
los aspectos a resaltar es la naturaleza de la expresión
C
= (
a
/
c
) (
l
/
p
). Si bien puede considerase
como una función que representa la covariación entre
C
y las demás cantidades (dependiendo
del caso algunas serían constantes) no se encontró evidencia de su construcción como
covariación en los términos de Confrey y Smith (1995); más allá de ello, las descripciones de
los estudiantes sugieren una “aplicación automática” de la “fórmula” del área de un rectángulo
para calcular la cantidad de árboles total en el terreno; esto puede deberse a la “necesidad”
que sintieron de enfocarse en la búsqueda del modelo para el cálculo de la cantidad de árboles,
en sus palabras “para saber si la inclinación tiene un efecto en la cantidad de árboles, debemos
conocer como calcular la cantidad de árboles [que caben el terreno]”[Karla frente a la pregunta,
¿Por qué decidieron buscar la fórmula?].
51
52
Información proporcionada en Internet
Conforme se mencionó anteriormente, otro grupo de estudiantes se comprometió con la
búsqueda de información en Internet. En la Figura 3 se ilustra los detalles de la distribución de
árboles en el cultivo, el modelo matemático dado, y la calculadora ofrecida por la aplicación
web. Después de su hallazgo, los estudiantes comenzaron a ingresar datos en la calculadora
web para determinar la cantidad de árboles dependiendo que cabrían acorde con el área del
terreno. A partir de allí, se esforzaron por “darle sentido” a la expresión n = Su/(M*m) (ver Fig.
3). Para ello, se apoyaron de la distribución de los árboles ofrecida en la Fig. 3 y realizaron
cálculos para verificar si los resultados de sus cálculos a lápiz y papel coincidían con los
resultados en la calculadora web. Posterior a ello, Camilo (Grupo 2) ofreció el siguiente
comentario:
Camilo:
(Grupo2)
En la imagen se muestra que la
distancia entre árboles es 7 metros y por el otro
lado 3 metros. Pensamos en que esos valores son constantes cuando tenemos
un cultivo fijo. Entonces la fórmula sería n sería igual a superficie dividido 21
metros [cuadrados]; y eso nos serviría para cualqu
ier terreno que tenga ese
mismo tipo de árboles.
El comentario de Camilo, como representante del grupo 2, evidencia un razonamiento de tipo
deductivo a partir del cual establecen el modelo
C
(
A
) =
A
/21. Para este grupo de estudiantes,
la cantidad 1/21 aparece como “un valor particular” que resulta de hacer constante algunas
cantidades en el modelo. Sin embargo, aun no aparece evidencia de una interpretación como
constante de proporcionalidad entre
C
(
A
) y
A
. Frente a ello, uno de los profesores cuestionó al
grupo frente al significado de 1/21, a lo que Mariana (integrante del grupo 2) respondió: “sería
el valor cuando el área es 1 [
C
(1)] …. Quiere decir que 1/21 árboles por metro cuadrado
[árbol/metrocuadrado]”.
53
Figura 3. Imagen de la aplicación web: Permacultura
La presencia de los modelos como “expresiones matemáticas dadas” por la aplicación hizo que
los estudiantes se comprometieran con casos particulares para comprender y usar los modelos.
A partir de ello, el razonamiento fue deductivo. El reconocimiento de cantidades constantes
hizo que la razón de cambio emergiera bajo una interpretación de un área particular y no como
una constante de covariación entre las dos cantidades.
52
52
Información proporcionada en Internet
Conforme se mencionó anteriormente, otro grupo de estudiantes se comprometió con la
búsqueda de información en Internet. En la Figura 3 se ilustra los detalles de la distribución de
árboles en el cultivo, el modelo matemático dado, y la calculadora ofrecida por la aplicación
web. Después de su hallazgo, los estudiantes comenzaron a ingresar datos en la calculadora
web para determinar la cantidad de árboles dependiendo que cabrían acorde con el área del
terreno. A partir de allí, se esforzaron por “darle sentido” a la expresión n = Su/(M*m) (ver Fig.
3). Para ello, se apoyaron de la distribución de los árboles ofrecida en la Fig. 3 y realizaron
cálculos para verificar si los resultados de sus cálculos a lápiz y papel coincidían con los
resultados en la calculadora web. Posterior a ello, Camilo (Grupo 2) ofreció el siguiente
comentario:
Camilo:
(Grupo2)
En la imagen se muestra que la distancia entre árboles es 7 metros y por el otro
lado 3 metros. Pensamos en que esos valores son constantes cuando tenemos
un cultivo fijo. Entonces la fórmula sería n sería igual a superficie dividido 21
metros [cuadrados]; y eso nos serviría para cualquier terreno que tenga ese
mismo tipo de árboles.
El comentario de Camilo, como representante del grupo 2, evidencia un razonamiento de tipo
deductivo a partir del cual establecen el modelo
C
(
A
) =
A
/21. Para este grupo de estudiantes,
la cantidad 1/21 aparece como “un valor particular” que resulta de hacer constante algunas
cantidades en el modelo. Sin embargo, aun no aparece evidencia de una interpretación como
constante de proporcionalidad entre
C
(
A
) y
A
. Frente a ello, uno de los profesores cuestionó al
grupo frente al significado de 1/21, a lo que Mariana (integrante del grupo 2) respondió: “sería
el valor cuando el área es 1 [
C
(1)] …. Quiere decir que 1/21 árboles por metro cuadrado
[árbol/metrocuadrado]”.
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Figura 3. Imagen de la aplicación web: Permacultura
La presencia de los modelos como “expresiones matemáticas dadas” por la aplicación hizo que
los estudiantes se comprometieran con casos particulares para comprender y usar los modelos.
A partir de ello, el razonamiento fue deductivo. El reconocimiento de cantidades constantes
hizo que la razón de cambio emergiera bajo una interpretación de un área particular y no como
una constante de covariación entre las dos cantidades.
53
54
Consideraciones finales
La modelación de la covariación se reconoce como un proceso importante para otorgar
significados al concepto de función; también se reconoce como una base para una
comprensión dinámica del cálculo. Una parte significativa de la investigación sobre el
razonamiento que se implica en la solución de tareas de covariación ha estado centrada en las
acciones y procesos mentales que desarrollan los estudiantes cuando modelan la covariación;
en estas tareas, la presencia de información del contexto extra-matemático es reducida.
En el presente estudio, se utilizó un tipo de tarea de modelación realista (Villa-Ochoa et al.,
2017) que se adaptó de los resultados de un proyecto de modelación matemática. Para resolver
la tarea los estudiantes se vieron en la necesidad de obtener información del contexto extra-
matemático para comprender la tarea. Los primeros análisis de los datos permiten colegir que
esta búsqueda de información pudo desencadenar dos tipos de razonamiento en los
estudiantes; por un lado, un razonamiento de tipo inductivo en la que se encuentran indicios
de una comprensión de una cantidad como objeto multiplicativo (Thompson y Carlson, 2017);
pero también aparece una función como una “aplicación directa” de una fórmula previamente
conocida. Por otro lado, la presencia de los modelos en la aplicación web hizo que la tarea se
orientara más hacia el tipo “uso y análisis de modelos” (Villa-Ochoa et al., 2017); a partir de
ello, se observaron características de un razonamiento deductivo en el cual la tasa de variación
emergió como “un caso particular” del modelo previamente constituido. Esta interpretación de
la tasa de variación parece ser diferente de las maneras en que emerge en los trabajos sobre
razonamiento covariacional que se fundamentan en Confrey y Smith (1995).
Referencias
Carlson, M. P., Jacobs, S., Coe, E., Larsen, S., & Hsu, E. (2003). Razonamiento covariacional
aplicado a la modelación de eventos dinámicos: un marco conceptual y un estudio.
Revista
Ema
,
8
(2), 121156.
Confrey, J., & Smith, E. (1995). Splitting, covariation, and their role in the development of
exponential functions.
Journal for Research in Mathematics Education,
26(1), 6686.
Colombia-MEN. (2006).
Estándares Básicos de Compentencias en Matemáticas
. Bogotá:
Magisterio
Parra-Zapata, M. M., Rendón-Mesa, P. A., Ocampo-Arenas, M. C., Sánchez-Cardona, J., Molina-
Toro, J. F., & Villa-Ochoa, J. A. (2018). Participación de profesores en un ambiente de
formación online. Un estudio en modelación matemática.
Educación Matemática
,
30
(1),
185212. https://doi.org/10.24844/EM3001.07
Parra-Zapata, M. M., & Villa-Ochoa, J. A. (2016). Interacciones y contribuciones. Formas de
participación de estudiantes de quinto grado en ambientes de modelación matemática.
Actualidades Investigativas en Educación
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(3), 127.
https://doi.org/10.15517/aie.v16i3.26084
Rendón-Mesa, P. A., Duarte, P. V. E., & Villa-Ochoa, J. A. (2016). Articulación entre la matemática
y el campo de acción de la ingeniería de diseño de producto: componentes de un proceso
de modelación matemática.
Revista de La Facultad de Ingenieria U.C.V.
,
31
(2), 2136.
55
Rendón-Mesa (2016).
Articulación entre la matemática y el campo de acción de la ingeniería
de diseño de producto: aportes de la modelación matemática
. Tesis de Doctorado (no
publicada). Doctorado en Educación, Facultad de Educación, Medellín: Universidad de
Antioquia.
Romo-Vázquez, A., Barquero, B., & Bosch, M. (2019). El desarrollo profesional online de
profesores de matemáticas en activo: una unidad de aprendizaje sobre la enseñanza de
la modelización matemática.
Uni-pluriversidad
,
19
(2), 161183.
https://doi.org/10.17533/udea.unipluri.19.2.09
Rosa, M., & Orey, D. C. (2019). Mathematical modelling as a virtual learning environment for
teacher education programs.
Uni-pluriversidad
,
19
(2), 80102.
https://doi.org/10.17533/udea.unipluri.19.2.04
Rueda Rueda, N., & Parada Rico, S. (2016). Razonamiento covariacional en situaciones de
optimización modeladas por Ambientes de Geometría Dinámica.
Uni-pluriversidad, 16
(1),
51-63. Recuperado
de http://aprendeenlinea.udea.edu.co/revistas/index.php/unip/article/view/326184
Stillman, G. A. (2019). State of the Art on Modelling in Mathematics EducationLines of Inquiry.
In
Lines of Inquiry in Mathematical Modelling Research in Education
(pp. 120). Springer
International Publishing. https://doi.org/10.1007/978-3-030-14931-4_1
Tall, D. (2009). Dynamic mathematics and the blending of knowledge structures in the calculus.
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(4), 481492. https://doi.org/10.1007/s11858-009-
0192-6
Thompson, P. W., & Carlson, M. P. (2017). Variation, covariation and functions: Foundational
ways of mathematical thinking. In J. Cai (Ed.),
Compendium for Research in Mathematics
Education
(pp. 421456). Reston, VA: NCTM.
Villa-Ochoa, J. A., & Berrío, M. J. (2015). Mathematical Modelling and Culture: An Empirical
Study. In G. A. Stallman, W. Blum, & M. S. Biembengut (Eds.),
Mathematical Modelling in
Education Research and Practice, International Perspectives on the Teaching and Learning
(pp. 241250). Cham: Springer. https://doi.org/10.1007/978-3-319-18272-8_19
Villa-Ochoa, J. A. (2016). Aspectos de la modelación matemática en el aula de clase. El análisis
de modelos como ejemplo. In J. Arrieta & L. Diaz (Eds.),
Investigaciones latinoamericanas
de modelación de la matemática educativa
(pp. 109138). Barcelona: Gedisa.
Villa-Ochoa, J., Castrillón-Yepes, A., & Sánchez-Cardona, J. (2017). Tipos de tareas de
modelación para la clase de matemáticas.
Espaço Plural
,
18
(36), 219-251.
Villa-Ochoa, J. A., & Tavera Acevedo, F. (2019). La covariación en las tareas de los libros
universitarios de precálculo: el caso de las razones trigonométricas.
Bolema:
Boletim de Educação Matemática
,
33
(65), 1379139
54
54
Consideraciones finales
La modelación de la covariación se reconoce como un proceso importante para otorgar
significados al concepto de función; también se reconoce como una base para una
comprensión dinámica del cálculo. Una parte significativa de la investigación sobre el
razonamiento que se implica en la solución de tareas de covariación ha estado centrada en las
acciones y procesos mentales que desarrollan los estudiantes cuando modelan la covariación;
en estas tareas, la presencia de información del contexto extra-matemático es reducida.
En el presente estudio, se utilizó un tipo de tarea de modelación realista (Villa-Ochoa et al.,
2017) que se adaptó de los resultados de un proyecto de modelación matemática. Para resolver
la tarea los estudiantes se vieron en la necesidad de obtener información del contexto extra-
matemático para comprender la tarea. Los primeros análisis de los datos permiten colegir que
esta búsqueda de información pudo desencadenar dos tipos de razonamiento en los
estudiantes; por un lado, un razonamiento de tipo inductivo en la que se encuentran indicios
de una comprensión de una cantidad como objeto multiplicativo (Thompson y Carlson, 2017);
pero también aparece una función como una “aplicación directa” de una fórmula previamente
conocida. Por otro lado, la presencia de los modelos en la aplicación web hizo que la tarea se
orientara más hacia el tipo “uso y análisis de modelos” (Villa-Ochoa et al., 2017); a partir de
ello, se observaron características de un razonamiento deductivo en el cual la tasa de variación
emergió como “un caso particular” del modelo previamente constituido. Esta interpretación de
la tasa de variación parece ser diferente de las maneras en que emerge en los trabajos sobre
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aplicado a la modelación de eventos dinámicos: un marco conceptual y un estudio.
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y el campo de acción de la ingeniería de diseño de producto: componentes de un proceso
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Stillman, G. A. (2019). State of the Art on Modelling in Mathematics EducationLines of Inquiry.
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Study. In G. A. Stallman, W. Blum, & M. S. Biembengut (Eds.),
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Villa-Ochoa, J. A. (2016). Aspectos de la modelación matemática en el aula de clase. El análisis
de modelos como ejemplo. In J. Arrieta & L. Diaz (Eds.),
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Villa-Ochoa, J., Castrillón-Yepes, A., & Sánchez-Cardona, J. (2017). Tipos de tareas de
modelación para la clase de matemáticas.
Espaço Plural
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18
(36), 219-251.
Villa-Ochoa, J. A., & Tavera Acevedo, F. (2019). La covariación en las tareas de los libros
universitarios de precálculo: el caso de las razones trigonométricas.
Bolema:
Boletim de Educação Matemática
,
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(65), 1379139
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El desarrollo profesional online del profesorado permite articular la difusión de nuevas propuestas basadas en la investigación didáctica con la experiencia del docente y sus dificultades para integrarlas en el aula. Presentamos una investigación sobre el diseño e implementación de Unidades de Aprendizaje online y a distancia para profesores de matemáticas en activo basada en una adaptación de la metodología de los Recorridos de Estudio e Investigación para la Formación del Profesorado (REI-FP) propuesta por Ruiz-Olarría (2015). De acuerdo con esta metodología, la Unidad de Aprendizaje (en adelante, UA) pretende abordar, junto con los profesores participantes, los obstáculos institucionales que plantea la enseñanza de la modelización matemática en relación con la enseñanza por transmisión de conocimientos preestablecidos: rigidez del currículo, gestión del tiempo, escasez de dispositivos de evaluación adaptados, control del uso de las TIC, multidisciplinariedad, entre otros.La investigación se basa en un estudio de caso formado por cuatro ediciones sucesivas de una UA para profesores de matemáticas latinoamericanos en activo que se realizó en el Centro de Investigación en Ciencia Aplicada y Tecnología Avanzada de México. La UA se centra en una actividad de modelización sobre previsiones de ventas que adapta la metodología de los REI-FP al caso online y a distancia. Después de describir el contenido de la UA, se realiza un análisis clínico exploratorio del proceso de formación implementado, usando como material empírico las producciones de un grupo de profesores. Los resultados muestran la viabilidad de la adaptación metodológica, poniéndose de manifiesto que los dispositivos de formación implementados facilitan la emergencia e identificación de restricciones institucionales generalmente ocultas a los docentes en su quehacer cotidiano. También muestran limitaciones del proceso de formación que requieren mayor explotación de las herramientas multimedia, así como la necesidad de extender el proceso de formación impartido más allá de la estricta temporalidad de la UA.
Article
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This study was developed with 76 students enrolled in a teacher education program in Mathematics, which is part of the Brazilian Open University System, at the Universidade Federal de Ouro Preto. It was conducted during the second semester of 2017, in 5 (five) educational centres (polos) located in the states of São Paulo and Minas Gerais, in Brazil. This research was performed according to methodological procedures used in case studies, by covering the collection and data analysis. Methodological procedures used in this study enabled the critical and reflectpive interpretation of the results through the elaboration of categories that emerged from qualitative data collected during the development of the fieldwork. The main objective of this study was the proposition of mathematical modelling as a virtual learning environment (VLE) that favours the development of a critical view of the reality and the reflection of students in solving problems that they face daily, by developing modelling projects by applying technological tools available in the Moodle platform. Through these projects, students problematized, contextualized, and investigated problems they developed in their projects in the VLE. As well, they elaborated questions that aimed to seek, collect, select, organize, and handle the information that allowed them to critically reflect about the role of mathematics in society.
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Resumen La inclusión del estudio de la variación en la cotidianidad escolar es un propósito en varios currículos alrededor del mundo. Sin embargo, no es clara la manera en que los libros de texto universitarios llevan a cabo este propósito. Por lo tanto, se realizó un análisis de las tareas de libro de texto con el fin de identificar la manera en que la covariación está presente en tales tareas. Se usaron herramientas de análisis de contenido para analizar las tareas de cinco libros universitarios de precálculo. Los resultados de este análisis muestran un énfasis especial en tareas que desaprovechan oportunidades para matematizar la covariación. Se ofrece una tipología de tareas y se sugiere la posibilidad de reorganizar algunas de ellas con el fin de promover el estudio de la covariación.
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En este artículo se presentan algunos resultados de un estudio, desarrollado en un curso de pre-cálculo con estudiantes de nuevo ingreso a la universidad, cuyo objetivo es caracterizar habilidades cognitivas asociadas a procesos de representación de fenómenos de variación que pueden potenciarse mediante la resolución de problemas mediados por tecnologías digitales. En este artículo mostramos los primeros resultados de un estudio de caso, que describe la forma en que dos estudiantes razonan covariacionalmente al enfrentarse a situaciones de optimización mode-ladas por un ambiente de geometría dinámica. Para la descripción del razonamiento covariacional se utiliza el marco conceptual propuesto por Carlson, Jacobs, Coe, Larsen y Hsu (2003). Dadas las acciones realizadas por los estudiantes, se evidencian las ventajas que le puede suministrar el uso de software interactivo para la modificación de sus comportamientos ligados al razonamiento covaria-cional. Así mismo, se observan ciertas características que pueden relacionarse con la permanencia de los estudiantes en un determinado nivel de razonamiento, así como la flexibilidad de éstos. Palabras clave: modelación de situaciones, acciones mentales, niveles de razonamiento.
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Las investigaciones informan sobre la brecha que existe entre las necesidades de formación de los profesores de matemáticas y los contenidos de los programas para formar a futuros profesores. Por este motivo, se propone un curso sobre el uso de tecnología para enseñar matemáticas. En este artículo se utiliza la sistematización para dar cuenta de una mirada de saberes propios sobre las prácticas y la manera en que ellas apoyan la producción de conocimiento en las prácticas de aula. Estos conocimientos buscan aportar al diseño de un curso que se propone formar en el uso de tecnología para enseñar matemáticas. Las conclusiones informan que el diseño metodológico de este curso permitió reconocer y visibilizar necesidades de formación y establecer diferencias entre los usos que realizan los futuros profesores para resolver problemas matemáticos y usos con proyección al ejercicio profesional.
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Este artículo presenta una tipología de tareas de modelación que emergió después de analizar parte de las propuestas reportadas en el campo de la modelación matemática. El análisis se centra en la referencia que los enunciados ofrecen acerca de los contextos y la realidad, así como de los propósitos, alcances y limitaciones que se reportan cuando se implementan las tareas. La tipología ofrece cuatro categorías y, algunas de ellas, poseen subcategorías que ilustran características de las tareas que pueden disponerse para la modelación matemática en el aula. Además, en cada categoría se presentan posibilidades y limitaciones que pueden aportar en la toma de decisiones frente a la elección del tipo de tareas, tanto para el trabajo matemático en el aula como para la investigación. Abstract: This article presents a typology of modelling tasks that arose from analyzing some proposals reported in mathematical modelling. The analysis is focused on the reference that the statements provide about the contexts and reality, as well as the purposes, scope and limitations that emerge when the tasks are implemented. This typology provides four categories and their respective subcategories to illustrate characteristics of the tasks, which would take into account for the mathematical modelling in the classroom. In addition, each category provides some possibilities and limitations that would contribute to decision-making regarding the task-type choice for both, mathematical activity in the classroom and research.
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En este artículo se usa el marco conceptual de Carlson et al. (2003) para discutir los resultados de un estudio de caso, el cual describe la forma como un estudiante razona covariacionalmente al enfrentarse a situaciones de variación asociadas a funciones cuadráticas. El estudio se ideó para desarrollar una línea convergente de indagación (Yin, 2009), la cual se centró en las descripciones que el estudiante realizaba a medida que abordaba las situaciones diseñadas para el estudio; dichas descripciones fueron trianguladas con las producciones escritas y los elementos teóricos. Desde las acciones que el estudiante evidenció, se pudo observar que el proceso de razonamiento covariacional no es un proceso lineal pero sí recursivo. Así mismo, este estudio de caso pone en evidencia el hecho de que existen estudiantes que pueden aproximarse a una interpretación variacional de las concavidades de una gráfica, sin que ello exija un estudio previo del cálculo diferencial. Del estudio se desprenden algunas implicaciones tanto para el marco conceptual abordado en este estudio como para el diseño de situaciones orientadas al aula de clase.
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La literatura internacional reconoce la importancia de una enseñanza de las matemáticas articulada a las necesidades de formación de los futuros ingenieros. En este artículo se propone una modelación matemática en contextos situados a la ingeniería como una manera de promover esa articulación. Se desarrolló una investigación cualitativa en la que se analizaron las producciones orales y escritas de un conjunto de estudiantes que participaron de la elaboración de un proyecto de modelación matemática en ingeniería de diseño de producto. Los resultados sugieren que una estrategia de modelación matemática en contextos situados a la ingeniería debe integrar al menos cuatro aspectos, a saber: la contextualización, la problematización, la interacción con expertos y los diálogos entre disciplinas; y la manera como la formación matemática debe profundizar en las relaciones que se establecen entre los diferentes modelos matemáticos y no matemáticos al crear un diseño.
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Using an actor-oriented perspective on transfer, we report a case of a student’s transfer of covariational reasoning across tasks involving different backgrounds and features. In this study, we investigated the research question: How might a student’s covariational reasoning on Ferris wheel tasks, involving attributes of distance, width, and height, influence a student’s covariational reasoning on filling bottle tasks, involving attributes of volume and height? The student transferred covariational reasoning that she employed on Ferris wheel tasks to filling bottle tasks; yet, her covariational reasoning on filling bottle tasks was less advanced. When designing a sequence of tasks intended to engender students’ covariational reasoning, we recommend that researchers begin by using situations consisting of “simpler” attributes, such as height and distance, which students may more readily conceive of as being possible to measure. By taking into account students’ conceptions of task features, researchers can promote transfer of complex forms of mathematical reasoning, such as covariational reasoning.
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This chapter provides a brief overview of the state of the art in research and curricula on mathematical modelling and applications of mathematics in education. Following a brief illustration of the nature of mathematical modelling in educational practice, research in real-world applications and mathematical modelling in mathematics curricula for schooling is overviewed. The theoretical and empirical lines of inquiry in mathematics education research related to teaching and learning of mathematical applications and mathematical modelling regularly in classrooms are then selectively highlighted. Finally, future directions are recommended.