Analyse d'atteignabilité des systèmes (max,+)-linéaires à l'aide des polyèdres tropicaux

Abstract

Les SystèmesSystèmes`Systèmesà Evénements Discrets (SED) peuventêtrepeuventêtre définis comme des systèmes dans lesquels les variables d'´ etat changent sous l'occurrence d'´ evènements au fil du temps. Les SED mettant en jeu des phénomènes de synchronisation peuventêtrepeuventêtre modélisés par deséquations deséquations linéaires dans les algèbres de type (max,+). Dans ce papier, on s'intéresse au probì eme de l'atteignabilité des SED décrits dans l'algèbre (max,+). L'objectif est de déterminer l'ensemble atteignable des SED décrits dans l'algèbre (max,+), c'est-` a-dire l'obtention de toutes les trajectoires d'´ etat généréesgénérées`généréesà partir d'un domaine d'´ etat initial. L'approche proposée repose sur la théorie des polyèdres tropicaux. 1 Contexte Les systèmessystèmesàsystèmesàévénements discrets (SED) temporisés comportant des phénomènes de synchro-nisation et des retards peuventêtrepeuventêtre décrits au moyen de modèles (max,+)-linéaires. Le compor-tement dynamique de cette classe de SED peutêtrepeutêtre modélisé par des Graphes d' ´ Evénements Temporisés (GET). La connaissancè a priori de l'espace atteignable contribuè a la résolution de plusieursprobì emes dans le domaine de l'automatique des systèmes dynamiquesàévénementsdynamiquesàdynamiquesàévénements discrets décrits dans l'algèbre (max,+). Par exemple, la vérification de la sûreté de fonction-nement, l'analyse de performances, la commande robuste, etc... En pratique, le calcul exact de cet espace d'´ etat est difficile. Récemment [1] leprobì eme de l'analyse d'atteignabilité pour les systèmes (max,+)-linéaire (MPL) a ´ eté, proprement, résolu en décomposant le système MPL en une combinaison de systèmes affines par morceaux o` u les composantes affines du système sont représentées par des matrices de différences bornées (Difference Bound Matrix, DBM). Dans ce papier, nous montrons que les polyèdres tropicaux permettent de résoudre demanì eré elégante ceprobì eme. 2 Algèbre tropicale Soit R max l'ensemble R ∪ {−∞} muni des lois ⊕ et ⊗ définies par x ⊕ y = max(x, y) et x ⊗ y = x + y. L'algèbre (max, +) est le semi-anneau (R max , ⊕, ⊗) o` u lesélémentsleséléments neutres pour l'addition ⊕ et la multiplication ⊗ sont notés, respectivement, ε = −∞ et e = 0. L'addition et la multiplication peuventêtrépeuventêtré etendues aux vecteurs et matrices de R n : v ⊕ w = (v 1 ,. .. , v n) ⊕ (w 1 ,. .. , w n) = (v 1 ⊕w 1 ,. .. , v n ⊕w n), α⊗v = (α⊗v 1 ,. .. , α⊗v n) et (AB) ij = n k=1 A ik ⊗B kj. * Ce travail a ´ eté soutenu par le biais du programme RFI Atlanstic 2020.

Full text

Analyse d’atteignabilit´e des syst`emes (max,+)-lin´eaires `a
l’aide des poly`edres tropicaux ∗
Guilherme E. Winck1, Mehdi Lhommeau2et Laurent Hardouin3
1LARIS - Universit´e d’Angers, Angers, France
guilherme.espindolawinck@univ-angers.fr
2LARIS - Universit´e d’Angers, Angers, France
mehdi.lhommeau@univ-angers.fr
3LARIS - Universit´e d’Angers, Angers, France
laurent.hardouin@univ-angers.fr
R´esum´e
Les Syst`emes `a Ev´enements Discrets (SED) peuvent ˆetre d´efinis comme des syst`emes dans
lesquels les variables d’´etat changent sous l’occurrence d’´ev`enements au fil du temps. Les
SED mettant en jeu des ph´enom`enes de synchronisation peuvent ˆetre mod´elis´es par des
´equations lin´eaires dans les alg`ebres de type (max,+). Dans ce papier, on s’int´eresse au
probl`eme de l’atteignabilit´e des SED d´ecrits dans l’alg`ebre (max,+). L’objectif est de
d´eterminer l’ensemble atteignable des SED d´ecrits dans l’alg`ebre (max,+), c’est-`a-dire
l’obtention de toutes les trajectoires d’´etat g´en´er´ees `a partir d’un domaine d’´etat initial.
L’approche propos´ee repose sur la th´eorie des poly`edres tropicaux.
1 Contexte
Les syst`emes `a ´ev´enements discrets (SED) temporis´es comportant des ph´enom`enes de synchro-
nisation et des retards peuvent ˆetre d´ecrits au moyen de mod`eles (max,+)-lin´eaires. Le compor-
tement dynamique de cette classe de SED peut ˆetre mod´elis´e par des Graphes d’´
Ev´enements
Temporis´es (GET). La connaissance `a priori de l’espace atteignable contribue `a la r´esolution de
plusieurs probl`emes dans le domaine de l’automatique des syst`emes dynamiques `a ´ev´enements
discrets d´ecrits dans l’alg`ebre (max,+). Par exemple, la v´erification de la sˆuret´e de fonction-
nement, l’analyse de performances, la commande robuste, etc... En pratique, le calcul exact de
cet espace d’´etat est difficile. R´ecemment [1] le probl`eme de l’analyse d’atteignabilit´e pour les
syst`emes (max,+)-lin´eaire (MPL) a ´et´e, proprement, r´esolu en d´ecomposant le syst`eme MPL en
une combinaison de syst`emes affines par morceaux o`u les composantes affines du syst`eme sont
repr´esent´ees par des matrices de diff´erences born´ees (Difference Bound Matrix, DBM). Dans ce
papier, nous montrons que les poly`edres tropicaux permettent de r´esoudre de mani`ere ´el´egante
ce probl`eme.
2 Alg`ebre tropicale
Soit Rmax l’ensemble R∪ {−∞} muni des lois ⊕et ⊗d´efinies par x⊕y= max(x, y) et
x⊗y=x+y. L’alg`ebre (max,+) est le semi-anneau (Rmax,⊕,⊗) o`u les ´el´ements neutres pour
l’addition ⊕et la multiplication ⊗sont not´es, respectivement, ε=−∞ et e= 0. L’addition et
la multiplication peuvent ˆetre ´etendues aux vecteurs et matrices de Rn:v⊕w= (v1,...,vn)⊕
(w1,...,wn)=(v1⊕w1,...,vn⊕wn), α⊗v= (α⊗v1, . . . , α⊗vn) et (AB)ij =Ln
k=1 Aik ⊗Bkj .
∗Ce travail a ´et´e soutenu par le biais du programme RFI Atlanstic 2020.

Analyse d’atteignabilit´e (max,+) E.Winck, Lhommeau et Hardouin
Soient les sous-ensemble S1, S2⊆Rn
max, on appelle somme de Minkowski S1⊕S2, l’ensemble
{s1⊕s2|s1∈S1,s2∈S2}. Un vecteur aest une combinaison lin´eaire de l’ensemble des vec-
teurs b1,...,bmsi a=Lm
i=1 αibiavec les αi∈Rmax. Le cˆone engendr´e par A, not´e cone(A),
est l’ensemble de toutes les combinaisons (finies) lin´eaires des ´el´ements de A. Un vecteur a
est une combinaison convexe d’un ensemble de vecteurs b1,...,bmsi a=Lm
i=1 αibiavec les
αi∈Rmax tels que Lm
i=1 αi=e. On d´efinit l’enveloppe convexe, not´ee co(A), comme l’ensemble
de toutes les combinaisons convexes des ´el´ements de A.
3 Repr´esentations des poly`edres tropicaux
Il y a une grande similitude entre la th´eorie des poly`edres tropicaux et les poly`edres g´en´eraux.
En effet, les poly`edres tropicaux peuvent ˆetre d´efinis comme l’intersection d’un ensemble fini de
demi-espaces tropicaux d´ecrits par des in´egalit´es de la forme ax ⊕b≤cx ⊕d, o`u a,c∈R1×n
max et
b, d ∈Rmax
1. On parle de repr´esentation externe. Par l’interm´ediaire de l’´equivalent tropicale
[2] du th´eor`eme de Minkowski-Weyl, on peut d´efinir un poly`edre tropical P0comme la somme
de l’enveloppe convexe d’un nombre fini de points et d’une enveloppe conique, i.e.,
P0=co(V)⊕cone(W),
o`u V=v1,...,vp, W =w1,...,wqet V, W ⊆Rn
max sont des ensembles finis des points
tels que λ1v1⊕ · · · ⊕ λpvp⊕γ1w1⊕ · · · ⊕ γqwq, o`u Lp
i=1 λi=eet γ1, . . . , γq∈Rmax. On parle
de repr´esentation interne.
Dans [1] les auteurs proposent d’utiliser les matrices `a diff´erences born´ees (nous dirons DBM
pour Difference Bound Matrix) pour repr´esenter certains poly`edres tropicaux. Les DBM ne
permettent de repr´esenter que des poly`edres tropicaux qui sont convexes au sens de l’alg`ebre
ordinaire. En effet, une DBM est une matrice permettant de repr´esenter un ensemble d’in´egalit´es
de la forme xi−xj< c ou xi−xj≤cet x0= 0. On peut exprimer une contrainte de la forme
xi−xj> c par xj−xi<−c. La constante x0= 0 permet d’exprimer des contraintes de la
forme xi< c par xi−x0< c. Les DBM sont tr`es utilis´ees en v´erification de mod`eles.
La repr´esentation externe des poly`edres tropicaux est similaire `a la repr´esentation des DBM. On
peut toujours repr´esenter une DBM par un poly`edre tropical [5]. Par exemple, si on consid`ere
les in´egalit´es x1≤net x1−x2≤n. On a, pour la premi`ere x1≤n⇐⇒ e⊗x1⊕ε⊗x2⊕ε≤
ε⊗x1⊕ε⊗x2⊕e⊗n, de mˆeme pour la seconde in´egalit´e x1−x2≤n⇐⇒ x1≤x2+n⇐⇒
e⊗x1⊕ε⊗x2⊕ε≤ε⊗x1⊕n⊗x2⊕ε. Que l’on peut mettre sous la forme Ax⊕b≤Cx⊕d,
e ε
e εx1
x2⊕ε
ε≤ε ε
ε nx1
x2⊕n
ε.
3.1 Exemple
Soit le poly`edre P0(cf. Fig 1) d´efinit par les in´egalit´es qui suivent :
P0=x∈R2
max :x2+ 4 ≥x1, x1≥x2−2, x1≤8, x1≥2, x2≤7, x2≥1,(1)
1. Contrairement `a l’alg`ebre ordinaire, en alg`ebre (max,+) un syst`eme d’in´egalit´es peut ˆetre repr´esent´e comme
un syst`eme d’´egalit´e (et vice versa), en effet nous avons a≥b⇐⇒ a=a⊕b. Par cons´equent, on peut repr´esenter
un poly`edre tropical par un syst`eme d’´egalit´e.
2

Analyse d’atteignabilit´e (max,+) E.Winck, Lhommeau et Hardouin
x2+ 4 ≥x1
x1≥x2−2x1≤8
x1≥2
x2≤7
x2≥1
•8
4
•
5
7
•
2
1
0246810
0
2
4
6
8
10
x1
x2
Figure 1 – Poly`edre P0
Figure 2 – Le poly`edre tropical P0qui
r´epresente la r´egion X0et l’ensemble Pkqui
repr´esente les r´egions Xk(Atteignabilit´e di-
recte).
ou de mani`ere ´equivalente [2] par
P0=co  8
4,5
7,2
1⊕cone  ε
ε.(2)
Les vecteurs de l’ensemble co(. . .) correspondent aux points extrˆemes du poly`edre P0[4].
4 Atteignabilit´e
Soit le syst`eme dynamique autonome (max,+)-lin´eaire
x(k) = F⊗x(k−1),(3)
avec x(0) ∈ X0⊆Rn
max et F∈Rn×n
max et o`u X0est l’ensemble des conditions initiales des
´etats du syst`eme. Soit X0l’ensemble des conditions initiales, l’ensemble atteignable Xkest
d´efini [1] de fa¸con r´ecursive comme l’image de Xk−1par rapport `a l’´equation dynamique du
syst`eme (max,+)-lin´eaire Xk=`(Xk−1) = {F⊗x|x∈ Xk−1}=F⊗ Xk−1
2. Le calcul de
l’ensemble Xkse base sur la repr´esentation interne d’un poly`edre tropical. En effet, soient
X0⊆ P0=co(V)⊕cone(W) et f:Rn
max →Rn
max une application lin´eaire. On a P1=
f(P0) = f(co(V)) ⊕f(cone(W)) = co(f(V)) ⊕cone(f(W)) o`u P1est un poly`edre tropical.
Ceci peut ˆetre r´eit´er´e et finalement on obtient Xk⊆f(Pk−1). Soit le syst`eme dynamique (3)
avec x(0) ∈ X0⊆ P0, on peut calculer P1=f(P0) = F(λ1v1)⊕. . . ⊕F(λpvp)⊕F(γ1w1)⊕
. . . ⊕F(γqwq) = λ1F(v1)⊕. . . ⊕λpF(vp)⊕λ1F(w1)⊕. . . ⊕λpF(wp). Finalement, on a
X1={F⊗x|x∈ X0}⊆P1.
2. L’op´erateur `est parfois appel´e Post dans la litt´erature [3].
3

Analyse d’atteignabilit´e (max,+) E.Winck, Lhommeau et Hardouin
4.1 Exemple
Soit le syst`eme (3) avec F=2 5
8eet x(0) ∈ X0=x∈R2
max : 0 ≤x1≤2,−4≤x2≤6⊆
P0l’ensemble des conditions initiales. La repr´esentation interne du poly`edre P0est donn´ee par
P0=co  2
−4,e
−4,e
6⊕cone  ε
ε.
Le calcul de l’ensemble X1⊆ P1est obtenu par le calcul qui suit :
P1=f(P0) = co 2 5
8e 2
−4,2 5
8e e
−4,2 5
8e e
6⊕cone 2 5
8e ε
ε.
(4)
En r´eit´erant le processus, on obtient les ensembles atteignables pour diff´erentes valeurs de k
(cf. Figure 2).
5 Conclusion
Dans ce papier, nous avons montr´e que le probl`eme de l’atteignabilit´e des syst`emes (max,+)-
lin´eaires peut ˆetre r´esolu par une approche bas´ee sur les poly`edres tropicaux. Il reste `a comparer
la complexit´e de cette approche avec celle utilisant les DBM[1].
R´ef´erences
[1] D. Adzkiya, B. De Schutter, and A. Abate. Computational techniques for reachability analysis of
max-plus-linear systems. Automatica, 53(3) :293–302, 2015.
[2] X. Allamigeon, S. Gaubert, and ´
E. Goubault. The tropical double description method. In
Proceedings of the 27th International Symposium on Theoretical Aspects of Computer Science
(STACS’2010, March 4-6, Nancy, France). Leibniz Center in Informatics, 2010.
[3] Christel Baier and Joost-Pieter Katoen. Principles of Model Checking (Representation and Mind
Series). The MIT Press, 2008.
[4] St´ephane Gaubert and Ricardo D. Katz. The minkowski theorem for max-plus convex sets. Linear
Algebra and its Applications, 421(2-3) :356–369, 2007. Special Issue in honor of Miroslav Fiedler.
[5] Qi Lu, Michael Madsen, Martin Milata, Søren Ravn, Uli Fahrenberg, and Kim G. Larsen. Rea-
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Programming, 81(3) :298 – 313, 2012.
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