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Trazo de redes de riego mediante algoritmos evolutivos y bioinspirados: Algoritmos Genéticos y Colonia de Hormigas

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En este trabajo el trazo de redes de tuberías para riego se formuló como un problema de optimización combinatoria de variables discretas con restricciones. Con el objetivo de obtener redes de longitud mínima, se obtuvieron soluciones a este problema utilizando dos metaheurísticas, 1) Optimización con Colonia de Hormigas (ACO por sus siglas en inglés de Ant Colony Optimization), y 2) Algoritmos Genéticos (GA por sus siglas en inglés de Genetic Algorithms), mismas que se codificaron en el lenguaje de programación Python 2. El desempeño de ambas metaheurísticas se evaluó con redes de referencia usadas en la literatura y se obtuvieron soluciones iguales o cercanas a las óptimas. Para cada red de prueba se realizaron 20 ejecuciones de ambos métodos, en las que ACO demostró un desempeño superior, puesto que encontró la solución óptima en un número mayor de ejecuciones que GA, requiriendo para ello menos iteraciones.
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Artículo: COMEII-19002
Mazatlán, Sin., del 18 al 20
de septiembre de 2019
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TRAZO DE REDES DE RIEGO MEDIANTE ALGORITMOS EVOLUTIVOS Y
BIOINSPIRADOS: ALGORITMOS GENÉTICOS Y COLONIA DE HORMIGAS
Eduardo Jiménez Hernández1*; Irineo L. López Cruz1
1Posgrado en Ingeniería Agrícola y Uso Integral del Agua. Universidad Autónoma Chapingo. Km. 38.5
carretera México - Texcoco, Chapingo, Estado de México. C.P. 56230.
eduardo.jimenez.eng@gmail.com - 595 133 0178 (*Autor de correspondencia)
Resumen
En este trabajo el trazo de redes de tuberías para riego se formuló como un problema de
optimización combinatoria de variables discretas con restricciones. Con el objetivo de
obtener redes de longitud mínima, se obtuvieron soluciones a este problema utilizando
dos metaheurísticas, 1) Optimización con Colonia de Hormigas (ACO por sus siglas en
inglés de Ant Colony Optimization), y 2) Algoritmos Genéticos (GA por sus siglas en inglés
de Genetic Algorithms), mismas que se codificaron en el lenguaje de programación
Python 2. El desempeño de ambas metaheurísticas se evaluó con redes de referencia
usadas en la literatura y se obtuvieron soluciones iguales o cercanas a las óptimas. Para
cada red de prueba se realizaron 20 ejecuciones de ambos métodos, en las que ACO
demostró un desempeño superior, puesto que encontró la solución óptima en un número
mayor de ejecuciones que GA, requiriendo para ello menos iteraciones.
Palabras clave: sistema de distribución de agua, redes de tuberías, ramales,
optimización.
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Introducción
Una red de distribución de agua es un sistema de elementos hidráulicos que se conectan
para transportar agua desde la fuente de abastecimiento hasta los consumidores. De
forma gráfica se representan mediante dos elementos básicos: nodos (bombas, válvulas,
hidrantes, etc.) y uniones (tuberías). Dependiendo de su topología, se pueden clasificar
en redes cerradas, si sus uniones forman algún tipo de “circuito cerrado”, o redes abiertas
(también llamadas ramales, o redes con forma de árbol) cuando no contienen circuitos.
El proceso completo de planeación de una red de distribución de agua consiste de tres
fases: a) trazo, b) dimensionamiento, y c) operación; y a pesar de que cada fase es
dependiente de las otras, éstas se pueden formular y resolver como problemas
independientes. Entonces el procedimiento de diseño de redes se lleva a cabo mediante
iteraciones de estas tres fases (Eiger, Shamir, & Ben-Tal, 1994).
Aunque el ahorro debido a la optimización de la geometría (trazo) de las redes es
generalmente mayor al que se obtiene por el dimensionamiento de sus componentes, la
mayor parte de la investigación se ha enfocado en éste último, que es el problema más
fácil (M. H. Afshar, 2006).
Gonçalves, Gouveia, & Pato (2014), mencionan que el problema de trazo de una red de
distribución de agua es una instancia del problema de Árbol de Steiner, por lo tanto se
puede clasificar como un problema NP-duro, puesto que es una generalización de un
problema NP-duro conocido. Esto indica que, a pesar de que la formulación del trazo de
una red es sencilla, los recursos de cómputo que se requieren para encontrar soluciones
óptimas se incrementan con respecto al tamaño de la instancia del problema (número de
nodos de la red). Para instancias grandes de estos problemas, y dado su complejidad,
en ocasiones es imposible encontrar soluciones exactas, ya sea porque no existen
métodos analíticos, o bien, porque tomaría mucho tiempo encontrarlas. Por esta razón
se utilizan métodos heurísticos para encontrar soluciones aproximadas o subóptimas.
La palabra heurística proviene del griego euriskein, como la famosa palabra eureka, y
quiere decir: encontrar. Se utiliza para caracterizar a las técnicas por las cuales se
encuentra o se mejora la solución de un problema intratable. Se utilizan algoritmos
heurísticos para obtener “buenas soluciones” (soluciones subóptimas o cercanas a la
óptima global) de problemas cuyos algoritmos exactos de solución no son factibles en
tiempos polinomiales. La palabra metaheurística, combina el prefijo meta del griego (que
significa “más allá́ ”, “a un nivel más alto”) con la palabra heurística, en otras palabras, se
puede decir que metaheurística se refiere a una estrategia de nivel superior que guía a
otras heurísticas para buscar soluciones factibles para problemas complejos.
La computación evolutiva es una de las principales ramas de metaheurísticas utilizadas
para optimización. La idea de un algoritmo evolutivo es que: dada una población de
individuos dentro de un ambiente que tiene recursos limitados, la competencia por dichos
recursos causará selección natural (supervivencia del más apto). Teniendo una función
a ser maximizada se puede crear un conjunto de soluciones candidatas al azar, y
aplicando dicha función se puede obtener una medida abstracta de la aptitud de las
soluciones, entre más alta mejor. Se seleccionan algunos de los candidatos con mas
aptitud para procrear la siguiente generación. Esto se hace mediante la aplicación de
operadores de recombinación y mutación. Los individuos nuevos son evaluados con
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respecto a su aptitud y compiten con los viejos por un lugar en la siguiente generación.
Este proceso se puede iterar hasta que se encuentre un candidato con la calidad
suficiente (una solución) o hasta que se alcance un límite computacional previamente
establecido. Entre los métodos que integran la computación evolutiva se encuentran:
algoritmos genéticos, estrategias evolutivas, evolución diferencial, programación
genética y programación evolutiva.
Bi et al. (2015) señalan que entre los principales algoritmos evolutivos que se han
utilizado para resolver el problema de diseño de redes de distribución de agua, los
algoritmos genéticos (GA por sus siglas en inglés de Genetic Algorithms) destacan por
ser los más usados (M. H. Afshar, 2009; M. H. Afshar & Jabbari, 2008; Dandy, Simpson,
& Murphy, 1996; Nicklow, Reed, & Savic, 2010; Simpson, Dandy, & Murphy, 1994;
Walters & Lohbeck, 1993), sin embargo, su aplicación ha sido principalmente en
problemas de prueba relativamente sencillos. Una revisión de todas las posibles
aplicaciones que pueden tener los algoritmos genéticos en el manejo y planeación de
recursos hídricos se puede encontrar en Nicklow et al. (2010).
Por otra parte se tienen algoritmos inspirados en procesos físicos, químicos y biológicos
de la naturaleza, de los cuales la mayoría se inspira en procesos biológicos a los cuales
se les llama: bio-inspirados. Una clase especial de estos algoritmos se ha desarrollado a
partir de la inteligencia de enjambres, mismos que son los más populares. Algunos
ejemplos son: optimización con colonia de hormigas, optimización con enjambre de
partículas, búsqueda cuckoo, algoritmo de murciélagos y algoritmo de luciérnagas.
Los algoritmos de Optimización con Colonia de Hormigas (ACO por sus siglas en inglés
de Ant Colony Optimization) han resultado ser una alternativa atractiva para el diseño
óptimo de sistemas de distribución de agua ya que encuentra buenas soluciones usando
una menor cantidad de evaluaciones de la función objetivo que GA (Maier et al., 2001,
2003). Una primera revisión de los problemas que se pueden resolver con ACO en
sistemas de recursos hídricos es la realizada por Ostfeld (2011), sin embargo una
referencia más completa se encuentra en A. Afshar, Massoumi, Afshar, & Mariño (2015).
En el diseño de redes de riego usualmente se requiere encontrar una solución para los
problemas de trazo y dimensionamiento, ya sea de forma secuencial (Gonçalves & Pato
(2000) y Gonçalves et al. (2014)); o simultánea, ambos enfoques han sido trabajados
previamente por diversos investigadores utilizando diferentes métodos heurísticos.
Este trabajo tiene el objetivo de proporcionar evidencia de que ACO, al ser una
metaheurística que ha demostrado buen desempeño en problemas de grafos, es una
técnica que se puede aplicar eficientemente para obtener soluciones al problema de trazo
de redes de tuberías para riego.
Materiales y Métodos
Los algoritmos genéticos son una técnica utilizada ampliamente y su funcionamiento se
puede consultar en alguna de las referencias anteriores. La adopción de colonia de
hormigas no es tan extensiva, por esta razón a continuación se describe brevemente.
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Optimización con Colonia de Hormigas
ACO fue desarrollado por Dorigo, Maniezzo, & Colorni (1996), es un algoritmo de
optimización combinatoria discreta basado en el comportamiento colectivo de hormigas
en busca de alimento. Al inicio de la búsqueda las hormigas empiezan a explorar el
ambiente de una forma que se presume casi aleatoria. El principio de funcionamiento de
ACO se inspira en el hecho de que, después de un tiempo, esta colonia de hormigas es
capaz de encontrar la ruta más corta desde su nido hasta una fuente de alimento. La
inteligencia colectiva de la colonia se alcanza mediante una forma indirecta de
comunicación que involucra el depósito en el suelo de una sustancia química, llamada
feromona, por las hormigas que encuentran alimento de manera que las demás puedan
seguir el rastro. Al paso del tiempo, las rutas más cortas, y más deseables, se refuerzan
con cantidades más grandes de feromona, dado que requieren de menos tiempo para
recorrerse, por lo que se convierten en la ruta dominante para la colonia.
Para aplicar ACO a un problema de optimización combinatoria, se requiere que el
problema se represente como un grafo (M. H. Afshar & Mariño, 2006). Para esto
considere que un grafo consistente de puntos de decisión  donde cada
punto de decisión está conectado a sus punto de decisión adyacentes mediante un
conjunto de aristas o arcos. Por ejemplo,  representa un conjunto de
arcos disponible en el punto de decisión y  representa el número total de arcos
disponibles dicho punto de decisión. El algoritmo de ACO opera mediante la generación
iterativa de una población de soluciones donde cada solución es representativa de la ruta
que una hormiga ha viajado. Una hormiga genera una solución seleccionando un arco en
cada punto de decisión con base en una regla de decisión probabilística. La regla original
de decisión utilizada en el algoritmo de hormigas es:




(1)
donde  es la probabilidad de que una hormiga seleccione el arco  estando en
el punto de decisión en la iteración ;  es la concentración feromona en el eje 
en la iteración ;  
es un valor heurístico que favorece a los arcos de costo
mínimo local en , es decir, los arcos de distancia más corta; y son dos parámetros
que controlan el peso relativo del rastro de feromona y el parámetro de sensibilidad
heurística. El valor heurístico  es análogo a proveer a las hormigas con visión y a veces
se le llama visibilidad.
Una vez que un ciclo ha sido completado, el rastro de feromonas debe ser actualizado
de manera que se refuercen las mejores soluciones. La forma general de la ecuación de
actualización de feromonas es:

(2)
donde  es la concentración de feromona en el arco  en la iteración ; 
es la concentración de feromona en el arco  en la iteración ; es el coeficiente que
representa el factor de persistencia de feromona, en ocasiones llamado factor de
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evaporación de feromona; y el cambio en la concentración de feromona  está dado
por Dorigo et al. (1996) como:
 

(3)
donde es el número total de hormigas y 
es la feromona depositada por una
hormiga en el arco  durante la iteración . La concentración de feromona 
asociada al arco , intenta representar la tendencia que tiene la colonia a escoger el
arco  estando en el nodo debida su aprendizaje. Es por ello que el rastro de feromona
cambia durante la solución del problema para reflejar la experiencia adquirida por las
hormigas. El factor de persistencia de feromona () es el mecanismo por el que se reduce
la concentración del rastro de feromonas, permitiéndole a la colonia “olvidar arcos malos”
e incrementar la probabilidad de seleccionar arcos que formen una solución óptima. El
valor del factor de persistencia de feromona debe ser menor a uno para simular la
evaporación de feromona. Su principal función es evitar el estancamiento, es decir, la
situación en la que todas las hormigas terminan construyendo la misma solución. La
cantidad de cambio en la concentración de feromona se define por Dorigo et al. (1996)
como:


 
(4)
donde es el costo de la solución producida por la hormiga y es el factor de
recompensa de feromona. Se debe hacer notar que la feromona se actualiza una vez que
las hormigas han construido una solución. Además, las hormigas depositan una cantidad
de feromona proporcional a la calidad de las soluciones que producen, de manera que a
los arcos que se encuentren en soluciones de menor costo se les asignará más feromona
y tendrán una mayor posibilidad de ser elegidos en futuras iteraciones. Los pasos de
ejecución de ACO se muestran en la Figura 1.
Figura 1. Diagrama de flujo del algoritmo de Optimización con Colonia de Hormigas, donde m
es el número de hormigas de la colonia y k es la hormiga que construye una solución.
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Formulación del problema
Aunque las redes de distribución de agua potable generalmente requieren circuitos
cerrados para dar redundancia y asegurar la disponibilidad del agua, las redes de riego
pueden ser abiertas y no tener circuitos en su topología. Estas redes son dendríticas ya
que parten de uno o varios nodos de abastecimiento y tienen un conjunto de ramas que
unen a los nodos fuente con los demás. Este trabajo se limitará a encontrar soluciones
para el trazo óptimo de estas últimas. El trazo óptimo consiste en encontrar el subconjunto
óptimo de conexiones entre sus nodos que proporcionen la red de longitud mínima, sujeto
a un conjunto de restricciones hidráulicas. Formalmente, éste es un problema de
optimización combinatoria de variables discretas con restricciones, cuya función objetivo
se representa con la ecuación (5).

 


(5)
donde es la topología de la red representada por una lista de
adyacencia que contiene las conexiones entre los nodos de la red, es la longitud
total de las tuberías de la red, es el número de tuberías de la red, es el número de
nodos de la red, y es la longitud de la tubería . Dado que los métodos utilizados para
obtener soluciones a esta función contienen elementos estocásticos los valores de
pudieran contener redes o soluciones no factibles. Para descartar dichas soluciones se
utilizan funciones de penalización que incrementan sus valores, alejando así esta
solución del valor mínimo. En la función objetivo,  es una penalización que se aplica
cuando un nodo se conecta con sí mismo,  se aplica cuando el nodo no se conecta
con la fuente de abastecimiento.
Implementación de las metaheurísticas
Una de las metaheurísticas utilizadas fue GA, por ser una de las técnicas de computación
evolutiva más utilizadas en problemas de planeación y manejo de recursos hídricos, y
que ha dado buenos resultados en problemas similares. Los valores de los parámetros
utilizados en GA se muestran en el Cuadro 1.
Cuadro 1. Valores de los parámetros usados en el algoritmo genético para la optimización del
trazo y dimensionamiento de redes de tuberías para riego.
Parámetro
Valor
Población
200
Generaciones
1000
Operador de mutación
Intercambio (swap)
Operador de cruzamiento
En dos puntos
Operador de selección
Ruleta con escala lineal
Probabilidad de mutación
0.1
Probabilidad de cruzamiento
0.85
Por otra parte, se utilizó ACO por ser uno de los métodos inspirados en la naturaleza que
mejor desempeño tienen para resolver problemas que se pueden representar mediante
grafos. En el caso de ACO se utilizó el algoritmo Ant System, uno de los primeros
algoritmos que se propusieron y cuya codificación es muy sencilla. El tamaño de la
colonia es el número de hormigas artificiales y generalmente es igual a la dimensión del
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problema a resolver; se permitieron 20 iteraciones, una tasa de evaporación de feromona
=0.5, =1 y =2, con una feromona inicial de 
, siendo  la longitud de una ruta
generada con un algoritmo de vecinos más cercanos.
Las metaheurísticas GA y ACO se codificaron en el lenguaje de programación Python®
2.7. La organización de los módulos generados se muestra en la Figura 2, donde los
bloques sombreados representan código de terceros utilizado en este proyecto y los
bloques claros indican el código escrito como parte de este trabajo. Se codificaron las
funciones objetivo en un módulo llamado objectivefunctions.py el cual se utiliza por el
módulo principal optimizer.py para obtener soluciones a los problemas utilizando GA o
ACO. Finalmente, se crearon algunos módulos auxiliares utilities.py y graphics.py para
contener funciones de uso común y crear gráficas, respectivamente. Además, se
codificaron algoritmos para el problema de dimensionamiento de la red utilizando el
software EPANET 2 para simular el comportamiento hidráulico, sin embargo, este
problema no se presenta en este trabajo. El código de terceros utilizado consiste en 1) la
librería de funciones EPANET Toolkit, 2) epamodule.py que permite hacer uso del código
de EPANET, escrito en ANSI C, directamente en lenguaje Python® a través del módulo
epanet-python (https://github.com/OpenWaterAnalytics/epanet-python), y 3) una
implementación de algoritmos genéticos llamada pyevolve 0.6rc1.
Figura 2. Diagrama de bloques del código realizado para el diseño óptimo de redes de riego.
El desarrollo y las pruebas se realizaron en una computadora con sistema operativo Linux
4.4, un procesador de 64 bits Intel® Core™ i7-4500 @ 1.80 GHz y 8 GB de RAM.
Redes de prueba
Las metaheurísticas se pusieron a prueba mediante la solución de redes de referencia
usadas en la literatura. Se utilizan problemas sencillos cuya solución óptima es conocida
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para evaluar si las metaheurísticas son capaces de encontrar dichas soluciones o al
menos acercarse a ellas. Se realizó de esta manera debido a que no es posible asegurar
que estos métodos encuentren o se acerquen a la solución óptima de redes con una gran
cantidad de nodos y tuberías.
La primera red teórica utilizada, es la red de 3 × 3 originalmente propuesta por Geem,
Kim, & Kim (2000) es una cuadricula de 9 nodos, 12 conexiones posibles y una fuente de
abastecimiento en el nodo 9 que tiene una elevación de 50 m. Mientras que los demás
son nodos de demanda y tienen una elevación de cero. La carga de presión mínima
requerida en los nodos es de 30 m, las tuberías tienen una longitud de 100 m y un
coeficiente de Hazen-Williams de C=130. La configuración de esta red se muestra en la
Figura 3 a).
La segunda red de prueba es una red de 8 × 8, o red de 64 nodos, fue propuesta y
resuelta originalmente por Walters & Smith (1995) con base en problemas similares
previamente propuestos por Walters & Lohbeck (1993). La gráfica base de esta red es
una cuadrícula de 8 × 8 nodos que tiene una fuente de abastecimiento en el nodo 64.
a)
b)
Figura 3. Configuración de dos de las redes de prueba utilizadas para evaluar el desempeño de
las metaheurísticas GA y ACO; a la izquierda se muestran los nodos y conexiones de
la red de 3 × 3 y; a la derecha los hidrantes de la red de riego de 12 nodos.
La última red de prueba es una red de riego de 12 nodos propuesta por Ángeles Montiel
(2002) es de un proyecto que se localiza en el predio “La Noria” del Ejido Roque 1, en el
municipio de Celaya, en el DR 085 La Begoña, Guanajuato. La fuente de abastecimiento
es una toma del canal lateral 11+141 que conduce agua desde la presa derivadora La
Soria, este punto se representa con el nodo 1. El material de las tuberías es PVC con un
coeficiente de fricción de Hazen-Williams de C=140. La configuración de esta red se
muestra en la Figura 3 b).
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Resultados y Discusión
Red de 3 x 3
Para conocer el desempeño de las metaheurísticas se realizó el trazo de la red usando
el espacio de búsqueda que resulta de todas las conexiones posibles entre los 9 nodos
que es de 2^36 = 68,719,476,736 incluyendo las soluciones no factibles. Tanto GA como
ACO fueron capaces de encontrar soluciones óptimas, ejemplos de estas redes se
muestran en la Figura 4.
Figura 4. Ejemplos de las mejores soluciones para el trazo de la red de 3 × 3 encontradas con
Algoritmos Genéticos y Optimización con Colonia de Hormigas.
En el Cuadro 2 se presenta una comparación las soluciones obtenidas para el trazo de
la red de 3 × 3 con 20 ejecuciones de ambas metaheurísticas. Para cada ejecución se
presenta la solución mínima obtenida, su diferencia con respecto al optimo global y el
promedio de generaciones o iteraciones en las que se obtuvo dicha solución.
GA obtuvo la solución óptima en 10 de las 20 ejecuciones, el promedio de la solución
mínima obtenida fue un valor de 822.78 con una desviación estándar de 25.05, para ello
se necesitó un promedio de 163 generaciones. Por otra parte, con ACO se obtuvo la
solución óptima en todas las ejecuciones en un promedio de 4 iteraciones. En la literatura
se pueden encontrar ejemplos de optimización del trazo de esta red usando diferentes
metaheurísticas (M. H. Afshar & Mariño, 2006; Geem et al., 2000; Walters & Lohbeck,
1993), sin embargo, el planteamiento de la función objetivo es diferente por lo que no es
posible hacer una comparación directa de las soluciones obtenidas.
Red de 8 x 8
Las soluciones óptimas para el problema de trazo de la red de 8 × 8 (red de 64 nodos),
incluyen cualquier red ramal que tenga conexiones perpendiculares entre nodos
contiguos, lo que resulta en una red de 630 unidades de longitud. Por lo tanto, cualquier
red que incluya conexiones en diagonal o cruzadas no será una solución óptima. En el
enfoque de solución original (Walters & Lohbeck, 1993; Walters & Smith, 1995) se
delimita un conjunto de 112 conexiones posibles entre los nodos, formando una
cuadrícula. En este caso se utilizó el espacio de búsqueda que consiste en todas las
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conexiones posibles entre los nodos que tiene un tamaño de 2^2016, ya que también se
incluyen conexiones en diagonal entre los nodos.
Cuadro 2. Soluciones para el trazo de la red 3 × 3 obtenidas con las metaheurísticas Algoritmos
Genéticos y Optimización con Colonia de Hormigas.
Ejecución
GA (200 ind., 500 gen.)
ACO (m=5, 10 iter., =0.5)
Mínimo
(m)
Diferencia
(%)
Generaciones
requeridas
Mínimo
(m)
Diferencia
(%)
Iteraciones
requeridas
1
882.84
10.36
24
800
0
3
2
800.00
0.00
51
800
0
7
3
800.00
0.00
403
800
0
5
4
800.00
0.00
304
800
0
5
5
841.42
5.18
12
800
0
5
6
800.00
0.00
35
800
0
3
7
800.00
0.00
179
800
0
4
8
841.42
5.18
67
800
0
6
9
800.00
0.00
58
800
0
3
10
841.42
5.18
16
800
0
3
11
841.42
5.18
52
800
0
4
12
841.42
5.18
32
800
0
6
13
841.42
5.18
30
800
0
4
14
841.42
5.18
23
800
0
4
15
800.00
0.00
41
800
0
5
16
800.00
0.00
63
800
0
4
17
841.42
5.18
291
800
0
3
18
841.42
5.18
40
800
0
5
19
800.00
0.00
440
800
0
5
20
800.00
0.00
54
800
0
5
Promedio:
822.78
2.85
163*
800.00
0.00
4*
Desv. Estándar:
25.05
3.13
160.27
0.00
0.00
1.15
* Solo incluye las ejecuciones que encontraron la solución óptima
Usando ACO se la solución óptima global en el 100% de las ejecuciones realizadas, y se
requirió de 15 iteraciones en promedio. En este caso se utilizó un tamaño de colonia de
m=10 hormigas artificiales, 20 iteraciones y una tasa de evaporación de =0.5. La red
mostrada en la Figura 5 es la mejor obtenida de 20 ejecuciones del algoritmo. Todas las
soluciones óptimas para el trazo de esta red tienen este aspecto, aunque las conexiones
pueden ser diferentes.
Por otra parte, GA fue incapaz de obtener soluciones factibles para este problema a pesar
de que se usaron valores en sus parámetros mayores a los mostrados en el Cuadro 1,
para el tamaño de población se usaron 100 y 200 individuos; y también se intentó con
500, 1000 y 10000 generaciones sin obtener éxito.
Para ayudar al algoritmo a encontrar las soluciones óptimas se utilizaron dos
modificaciones. La primera consistió en reducir el espacio de búsqueda, de manera que
se proporcionó un conjunto reducido de las conexiones permitidas entre los nodos de la
red, utilizando una gráfica base que consiste de una cuadrícula con 112 conexiones para
los 64 nodos, de manera que el espacio de búsqueda se redujo a 2^112 combinaciones
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posibles. La segunda modificación consistió en la exploración del espacio de búsqueda
de las soluciones factibles, para ello se utilizó un algoritmo de crecimiento de árbol
(Walters & Smith, 1995). Este algoritmo elige un nodo raíz de manera aleatoria y va
agregando los nodos que se encuentren desconectados de manera iterativa hasta que
finalmente se conectan todos en una red ramal. Todos los nodos que se van agregando
se escogen mediante una función de probabilidades uniforme discreta y no se toma en
cuenta la proximidad entre ellos. Auxiliándose de estas dos modificaciones, GA fue capaz
de encontrar las soluciones óptimas para esta red desde la primera generación usando
los parámetros recomendados.
Figura 5. Solución óptima para el trazo de la red de 8 × 8 encontrada colonia de hormigas.
Red de riego de 12 nodos
Las soluciones para la red de riego propuesta por Ángeles Montiel (2002) no son tan
fáciles de visualizar como en las otras redes tipo cuadrícula, debido a que la distribución
de los nodos es irregular se tienen que usar algoritmos para encontrar la red de menor
longitud. En este caso se usaron algoritmos de Árbol de Expansión Mínima para encontrar
la solución óptima del trazo de la red. Los algoritmos usados fueron: a) Kruskal y b) Prim,
los cuales hacen una búsqueda exhaustiva y conectan los nodos más próximos, de
manera que se obtiene una red con topología de árbol de longitud mínima. La solución
óptima alcanzada con ambos algoritmos tiene una longitud de 1,946.04 unidades.
En el Cuadro 3 se presenta una comparación las soluciones obtenidas para el trazo de
la red de 12 nodos con 20 ejecuciones de las metaheurísticas GA y ACO. Para cada
ejecución se presenta la solución mínima obtenida, su diferencia con respecto al optimo
global y el promedio de generaciones o iteraciones en las que se obtuvo dicha solución.
Usando la metaheurística ACO se obtuvo la solución igual a la encontrada con los
algoritmos de Kruskal y Prim. Con la configuración indicada se necesitó un máximo de
50 evaluaciones de la función objetivo. La mejor solución se encontró en 9 de las 20
ejecuciones realizadas, esto es el 45 % de las veces y se obtuvo en un promedio de 9
iteraciones por cada ejecución del algoritmo. El promedio de la solución mínima obtenida
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resultó de 1,966.15 con una desviación estándar de 28.31, que es bastante cercano al
óptimo.
Cuadro 3. Soluciones para el trazo de la red de 12 nodos obtenidas con Algoritmos Genéticos y
Optimización con Colonia de Hormigas.
Ejecución
GA (200 ind., 1000 gen)
ACO (m=5, 10 iter., =0.5)
Mínimo
(m)
Diferencia
(%)
Generaciones
requeridas
Mínimo (m)
Diferencia
(%)
Iteraciones
requeridas
1
2619.59
34.61
56
1946.04
0.00
10
2
2546.37
30.85
172
1946.04
0.00
10
3
2391.37
22.88
807
1946.04
0.00
8
4
2165.37
11.27
705
2003.03
2.93
10
5
2503.00
28.62
410
1946.04
0.00
10
6
2497.63
28.34
144
1995.51
2.54
7
7
2291.96
17.78
147
1989.42
2.23
10
8
2607.94
34.01
629
1946.04
0.00
9
9
2374.41
22.01
276
1964.43
0.95
7
10
2479.81
27.43
132
1959.66
0.70
9
11
2381.38
22.37
235
1946.04
0.00
7
12
2443.90
25.58
141
2000.65
2.81
8
13
2481.09
27.49
891
2052.50
5.47
5
14
2922.94
50.20
114
1959.66
0.70
8
15
2416.58
24.18
212
1964.43
0.95
10
16
1987.72
2.14
557
1946.04
0.00
9
17
2479.66
27.42
317
1946.04
0.00
10
18
2542.22
30.64
682
1959.66
0.70
8
19
2093.71
7.59
364
1959.66
0.70
10
20
2264.88
16.38
470
1946.04
0.00
8
Promedio:
2424.58
24.59
373*
1966.15
1.03
9*
Desv. Est.:
203.39
10.45
256.86
28.31
1.45
1.12
* Solo incluye las ejecuciones que encontraron la mejor solución
Por otro lado, la metaheurística GA con los parámetros especificados en el Cuadro 1 no
pudo encontrar la solución óptima y en su lugar tuvo convergencia hacia una solución
subóptima con un valor de 1,987.72, misma que únicamente se obtuvo en una de las 20
ejecuciones (5 % de las veces). GA tuvo un desempeño muy pobre puesto que requirió
de 200,000 evaluaciones de la función objetivo para llegar a la solución subóptima. El
promedio de la solución mínima obtenida es de 2,424.58 con una desviación estándar de
203.39, valores que se encuentran alejados de la solución óptima. En la Figura 6 se
muestran gráficamente las soluciones para el trazo de la red obtenidas con ambas
metaheurísticas.
Aunque esta red se ha estudiado muy poco, se realizó una comparación con los
resultados disponibles en la literatura. En el Cuadro 4 se muestra el valor de las mejores
soluciones reportadas y el método con el que se obtuvo dicho valor. Se puede observar
que el autor original obtuvo una solución muy cercana al mínimo, sin embargo, dicha
solución fue modificada manualmente para ajustarse a linderos parcelarios.
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Figura 6. Mejores soluciones para el trazo de la red de 12 nodos, se presenta la mejor solución
obtenida con GA longitud=1,987.72 (izq.) y ACO longitud=1,946.04 (der.).
Cuadro 4. Soluciones reportadas para el trazo de la red de riego de 12 nodos usando
diferentes metaheurísticas: Programación Lineal (LP), Evolución Diferencial (DE), Colonia
Artificial de Abejas (ABC), Algoritmos Genéticos (GA) y Colonia de Hormigas (ACO).
Solución
Método
Evaluaciones
Costo (Longitud, en m)
Ángeles Montiel (2002)
LP
No reportado
2,212.00
Ponce Pacheco (2013)
DE
1,100,000
1,946.04
Ponce Pacheco (2013)
ABC
1,100,000
2,113.86
Este trabajo
Kruskal, Prim
No aplica
1,946.04
Este trabajo
GA
200,000
1,987.72
Este trabajo
ACO
50
1,946.04
Entre la variedad de métodos que se han utilizado para solucionar el trazo de esta red,
se puede observar que únicamente dos metaheurísticas fueron capaces de encontrar la
solución óptima: ACO y DE. ACO es la más eficiente en cuanto al número de
evaluaciones de la función objetivo requeridas para encontrar la solución óptima. Sin
embargo, dado que no se reporta el número de evaluaciones mínimas en las que DE
encuentra la solución, no es posible hacer una comparación justa puesto que las
evaluaciones se obtuvieron directamente del número de ejecuciones del algoritmo.
Conclusiones
Se desarrolló un programa en lenguaje Python® 2 para obtener soluciones óptimas al
problema de trazo de redes de riego mediante Optimización con Colonia de Hormigas
(ACO). Las soluciones obtenidas se compararon con las de Algoritmos Genéticos (GA).
Ambas metaheurísticas se evaluaron utilizando redes de prueba usadas comúnmente en
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la literatura. La mayoría de las soluciones obtenidas fueron iguales o muy cercanas a las
mejores reportadas hasta el momento.
Aunque las soluciones óptimas para el problema de trazo de las tres redes de prueba
evaluadas se obtuvieron con ambos algoritmos, ACO tuvo un desempeño superior ya que
dichas soluciones se obtuvieron en un porcentaje mayor de las ejecuciones, y requirió de
un número menor de evaluaciones de la función objetivo con respecto a GA. Además,
GA tuvo dificultad para encontrar soluciones a instancias grandes del problema de trazo,
como la red de 64 nodos, en un tiempo aceptable por lo que se tuvieron que utilizar
métodos auxiliares adicionales.
La aparente ventaja que tiene ACO sobre GA posiblemente se debe a que GA genera
soluciones completamente al azar, mientras que ACO toma en cuenta la información
geométrica del problema, incrementando la probabilidad de incluir segmentos de
distancia mínima a las mejores soluciones del problema.
Lo anterior refuerza la hipótesis de que ACO es una técnica adecuada y eficiente generar
soluciones óptimas para problemas de grafos, particularmente trazo de redes ramales,
por lo que se recomienda fomentar su uso para obtener soluciones a este tipo de
problemas.
Referencias Bibliográficas
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Among the emerged metaheuristic optimization techniques, ant colony optimization (ACO) has received considerable attentions in water resources and environmental planning and management during last decade. Different versions of ACO have proved to be flexible and powerful in solving number of spatially and temporally complex water resources problems in discrete and continuous domains with single and/or multiple objectives. Reviewing large number of peer reviewed journal papers and few valuable conference papers, we intend to touch the characteristics of ant algorithms and critically review their state-of- the-art applications in water resources and environmental management problems, both in discrete and continuous domains. The paper seeks to promote Opportunities, advantages and disadvantages of the algorithm as applied to different areas of water resources problems both in research and practice. It also intends to identify and present the major and seminal contributions of ant algorithms and their findings in organized areas of reservoir operation and surface water management, water distribution systems, urban drainage and sewer systems, groundwater managements, environmental and watershed management. Current trends and challenges in ACO algorithms are discussed and called for increased attempts to carry out convergence analysis as an active area of interest.
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