Characterization of the numeric sequence schema among Compulsory Secondary Education students

Abstract

The aim of this research is to characterize the understanding of the numerical sequence concept in high school students (14-16 years old). The study draws on the APOS theory, which considers how students use mathematical elements, the relationships established between them, theirs modes of representation and the cognitive structures that are showed in the resolution of mathematical tasks. Our methodology is qualitative, using data from two questionnaires of diverse nature. The different levels of understanding of the scheme of the concept of numerical sequence were characterized taking into consideration the analysis of the two questionnaires.

Full text

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ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 37-3 (2019), 149-167
Investigaciones didácticas
https://doi.org/10.5565/rev/ensciencias.2673
ISSN (impreso): 0212-4521 / ISSN (digital): 2174-6486
Bajo Benito, J. M., Gavilán-Izquierdo, J. M. y Sánchez-Matamoros García, G. (2019). Ca-
racterización del esquema de sucesión numérica en estudiantes de Educación Secundaria
Obligatoria. Enseñanza de las ciencias, 37(3), 149-167
https://doi.org/10.5565/rev/ensciencias.2673
Recepción: mayo 2018 • Aceptación: abril 2019 • Publicación: noviembre 2019
Caracterización del esquema de
sucesión numérica en estudiantes
de Educación Secundaria Obligatoria
Characterization of the numeric sequence schema among
Compulsory Secondary Education students
José Mariano Bajo Benito, José María Gavilán-Izquierdo, Gloria Sánchez-Matamoros García
Departamento de Didáctica de las Matemáticas. Universidad de Sevilla. Sevilla (España)
jbajo@us.es, gavilan@us.es, gsanchezmatamoros@us.es
RESUMEN • El objetivo de esta investigación es la caracterización de la compresión del concepto
de sucesión numérica en los estudiantes de segundo ciclo de Educación Secundaria Obligatoria (14-
16 años), considerando como marco teórico APOS, a través del uso que hacen los estudiantes de los
elementos matemáticos, las relaciones que se establecen entre ellos, los modos de representación y los
modos de conocer que se ponen de maniesto en la resolución de las tareas matemáticas que se les
proponen. Nuestra metodología es cualitativa, usando datos provenientes de dos cuestionarios de dis-
tinta naturaleza. A partir del análisis conjunto de los dos cuestionarios contestados por cada estudiante,
se caracterizan los distintos niveles de comprensión del esquema del concepto de sucesión como lista
numérica.
PALABRAS CLAVE: Sucesiones numéricas; Estudiantes de educación secundaria obligatoria; Teoría
APOS; Desarrollo de un esquema.
ABSTRACT • e aim of this research is to characterize the understanding of the numerical sequen-
ce concept in high school students (14-16 years old). e study draws on the APOS theory, which
considers how students use mathematical elements, the relationships established between them, theirs
modes of representation and the cognitive structures that are showed in the resolution of mathematical
tasks. Our methodology is qualitative, using data from two questionnaires of diverse nature. e di-
erent levels of understanding of the scheme of the concept of numerical sequence were characterized
taking into consideration the analysis of the two questionnaires.
KEYWORDS: Numerical sequences; High school students; APOS theory; Schema development.

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J. M. Bajo Benito, J. M. Gavilán-Izquierdo, G. Sánchez-Matamoros García
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INTRODUCCIÓN
Diversas investigaciones han resaltado la importancia de la investigación sobre el concepto de sucesión
numérica por las implicaciones en la comprensión de otros conceptos de análisis matemático. Así,
Mamona-Downs (2001) y Roh (2008), en sus investigaciones sobre el concepto de límite, destacaron
que una buena concepción del concepto de sucesión es fundamental para la comprensión del concepto
de límite. Vinculadas a la comprensión del concepto de serie numérica, las investigaciones de Bagni
(2005) y Codes Valcarce y González-Martín (2017) señalan la relevancia de las investigaciones sobre el
concepto de sucesión numérica, ya que formalmente una serie numérica es una sucesión de sumas par-
ciales. Debido al auge de la tecnología, actualmente Weigand (2015) considera que se debería prestar
más atención a las sucesiones numéricas en términos de relaciones de recurrencia, pues son prototipos
de objetos discretos en matemáticas.
El análisis de la comprensión del concepto de sucesión ha sido abordado por diferentes investiga-
dores desde distintas perspectivas teóricas. Así, McDonald, Mathews y Strobel (2000), en su investiga-
ción con estudiantes universitarios, en relación con el tipo de construcciones mentales que hacen los
estudiantes sobre la comprensión de dicho concepto, indican que construyen dos objetos cognitivos
diferentes: por una parte, un objeto como listado de números (Seqlist), y, por otra, otro objeto como
función, cuyo dominio pertenece al conjunto de los naturales (Seqfun), centrando su estudio en este
último. Przenioslo (2006), en su investigación con estudiantes de secundaria (16-19 años), dividió
las concepciones de los estudiantes en dos grupos: en un primer grupo se percibía una sucesión como
una función, y en un segundo grupo se percibía una sucesión conectada con un conjunto ordenado de
números, en el que debe existir una relación entre los términos o una cierta regularidad. Esta autora
considera que para la comprensión del concepto de sucesión numérica es conveniente el uso de dife-
rentes modos de representación, distinguiendo dentro del modo gráco entre gráco-lineal (represen-
tación de las sucesiones como puntos de la recta numérica) y gráco-cartesiano (representación de las
sucesiones como puntos del plano cartesiano).
Por su parte, Mor, Noss, Hoyles, Kahn y Simpson (2006), en su investigación también con estudian-
tes de Secundaria, observaron que las secuencias numéricas son consideradas intuitivamente recursivas
por dichos estudiantes. Es decir, más que como una relación entre los valores y sus posiciones respec-
tivamente, se ven como una relación entre valores sucesivos de una secuencia. Cañadas (2007), en su
investigación sobre sucesiones de números naturales lineales y cuadráticos, se centra en cuatro sistemas
relacionados con las representaciones discretas (numérica, gráca, algebraica y verbal) y sus variantes.
González, Medina, Vilanova y Astiz (2011), en su investigación con estudiantes universitarios, identi-
caron dicultades en la relación entre la interpretación gráca y la algebraica en el concepto de sucesión.
En este trabajo, nos centramos en caracterizar la comprensión del concepto de sucesión como lista
numérica en alumnos de segundo ciclo de Educación Secundaria Obligatoria (14-16 años) a través del
desarrollo de un esquema (Arnon et al., 2014).
Desde el punto de vista curricular, el concepto de sucesión numérica aparece en segundo ciclo de
Educación Secundaria Obligatoria, recogido en el bloque de Álgebra, en los siguientes términos «Estu-
dio y análisis de sucesiones numéricas. Progresiones aritméticas y geométricas. Sucesiones recurrentes.
Curiosidad e interés por investigar las regularidades, relaciones y propiedades que aparecen en los
conjuntos de números» (BOE, n.º 5, 05/01/2007, p. 756).
En nuestra investigación, siguiendo la denición de Stewart, Hernández y Sanmiguel (2007), con-
sideramos el concepto de sucesión numérica de la siguiente forma: una sucesión es un conjunto in-
nito de números escritos en un orden especíco, a1, a2, a3..., an..., donde cada miembro del conjunto
ha sido etiquetado con un subíndice natural, siendo a1 el primero y, en general, el término n-ésimo an.
Anotaremos la sucesión como {an}.

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Existen diversas formas de construir los términos de una sucesión numérica; nosotros vamos a con-
siderar las siguientes: mediante una fórmula que dena el término n-ésimo (término general), a través
de un conjunto de instrucciones que indican cómo se obtiene un término a partir de los anteriores (por
recurrencia) o dando una serie de términos consecutivos ordenados, uno detrás de otro, como una lista
innita de números (por extensión).
Del mismo modo, una progresión aritmética es una sucesión de la forma a, a+d… a+nd..., y una
progresión geométrica es una sucesión de la forma a, ar..., arn... (Stewart et al., 2007).
En consecuencia, en este trabajo vamos a considerar los siguientes elementos matemáticos con
relación al concepto de sucesión como lista numérica:
– E1 Sucesión (como lista): secuencia de números reales dispuestos en un orden, es decir, para
todo número natural n existe un número real.
– E2 Términos de una sucesión: se denen como los integrantes de la sucesión; el lugar que ocupa
lo determina su posición, que se denota por un subíndice que pertenece a los números natura-
les.
– E3 Término general de una sucesión: se dene como el término que, dependiendo de su po-
sición, es decir, subíndice, sabemos su valor, y se denota por «an» (con n perteneciente a los
naturales).
– E4 Progresión aritmética: sucesión donde cada término se obtiene del anterior sumándole una
cantidad ja que denominamos diferencia.
– E5 Término general de una progresión aritmética:
an=a1+(n−1)⋅d,n∈N
{ }
siendo a1 el primer término y d la diferencia entre términos
consecutivos.
– E6 Progresión geométrica: sucesión donde cada término se obtiene del anterior multiplicándolo
una cantidad ja que denominamos razón.
– E7 Término general de una progresión geométrica:
an=a1⋅rn−1, n∈N
{ }
donde a1 es el primer término y r la razón de la progresión.
– E8 Sucesión recurrente: una sucesión es recurrente si hay denida sobre ella una ley de recurren-
cia, es decir, una relación entre un término y los anteriores.
– E9 Sucesión por extensión: se dene una sucesión por extensión cuando se dan una serie de
términos consecutivos de ella.
– E10 Sucesión creciente: se dice que una sucesión
a
n,
n∈N
{ }
es creciente cuando cada término
es menor o igual que el término siguiente.
– E11 Sucesión decreciente: se dice que una sucesión an, n
∈
N
{ }
es decreciente cuando cada
término es mayor o igual que el término siguiente.
MARCO TEÓRICO
Consideramos como marco teórico para estudiar la comprensión del concepto de sucesión numérica
el marco APOS (Arnon et al., 2014; Dubinsky, 1991). En este marco, acciones, procesos, objetos y
esquemas son constructos mentales para la construcción de conocimiento matemático que se orga-
nizan en la descomposición genética de un concepto, entendida como «un conjunto estructurado de
constructos mentales, que pueden describir cómo el concepto se desarrolla en la mente del individuo»
(Asiala et al., 1996). La descomposición genética de un concepto matemático no es única y proporcio-
na una posible progresión en el aprendizaje del estudiante para la formación del concepto.

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Según Arnon et al. (2014), un concepto se concibe primero como una acción, es decir, como una
transformación externa que necesita ser realizada explícitamente sobre un objeto u objetos concebidos
previamente. A medida que las acciones se repiten, el individuo pasa de depender de señales externas
a tener control interno sobre ellas, pasando a concebir el concepto como un proceso. Los procesos se
construyen utilizando uno de los siguientes mecanismos mentales: interiorización, inversión o coordi-
nación, y cada uno de estos mecanismos da lugar a nuevos procesos.
La interiorización permite ser consciente de una acción, reexionar sobre ella y combinarla con
otras acciones (Dubinsky, 1991). Una acción interiorizada es un proceso. La inversión de un proceso
es la posibilidad de pensarlo invertido en el sentido de deshacer los pasos del proceso interiorizado, lo
que da lugar a un nuevo proceso.
La coordinación de procesos es el acto cognitivo de coger dos o más procesos y usarlos para cons-
truir un nuevo proceso. En general, la coordinación puede transformar procesos en procesos o procesos
en objetos a partir de la encapsulación.
La encapsulación se produce cuando un individuo aplica una acción o proceso a un proceso, es
decir, ve una estructura dinámica (proceso) como una estructura estática (objeto) a la que se pueden
aplicar acciones.
Desarrollo de un esquema en la teoría APOS
La teoría APOS aborda el desarrollo de la comprensión de conceptos matemáticos en términos de
construcción de esquemas, mediante el mecanismo de abstracción reexiva (Piaget y García, 1983).
En este modelo se dene un esquema
como la colección de acciones, procesos, objetos y otros esquemas que están relacionados consciente o in-
conscientemente en la mente de un individuo en una estructura coherente y que pueden ser empleados en
la solución de una situación problemática (Trigueros, 2005: 11).
Un esquema se puede transformar en una estructura estática (objeto) y/o se puede usar
como una estructura dinámica que asimila otros objetos o esquemas relacionados.
Esta aproximación al desarrollo de un esquema ha sido considerada en distintas investigaciones
para caracterizar la comprensión de diferentes conceptos matemáticos como, por ejemplo, el de deri-
vada (Baker, Cooley y Trigueros, 2000; Sánchez-Matamoros, García y Llinares, 2006), transformación
lineal (Roa-Fuentes y Oktac, 2010) o límite (Valls, Pons y Llinares, 2011). En dichas investigaciones,
un esquema se desarrolla pasando por tres niveles (tríada): intra-inter-trans, en un orden jo. En el
esquema de sucesión como lista numérica, estos tres niveles se caracterizan de la siguiente forma:
Nivel intra
Está caracterizado por el uso de elementos matemáticos de forma aislada en algún modo de repre-
sentación, sin establecer relaciones. Es decir, los modos de representación son considerados por el
estudiante como distintos y no los relaciona cognitivamente. Es decir, los estudiantes, en este nivel, no
son capaces de entender que un elemento matemático puede estar representado en diferentes modos
de representación. Un individuo, en este nivel de desarrollo de un esquema, se centra en acciones,
procesos y objetos individuales sin relacionarlos con otros.

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Nivel inter
Está caracterizado por el uso de elementos matemáticos de forma correcta en algunos modos de re-
presentación y se establecen relaciones lógicas entre elementos matemáticos que se encuentran en el
mismo modo de representación. Este nivel está caracterizado por la construcción de relaciones y trans-
formaciones entre los procesos y los objetos que constituyen el esquema.
Nivel trans
En este nivel aumenta el repertorio de uso de las relaciones lógicas entre los elementos matemáticos. Se
produce la síntesis de los modos de representación. Es decir, los estudiantes, en este nivel, son capaces
de entender que un elemento matemático puede estar representado en diferentes modos de represen-
tación y tratarse de un mismo objeto. Todo ello lleva a la construcción de la estructura matemática.
En este nivel es cuando el estudiante reexiona sobre las conexiones y las relaciones desarrolladas en el
nivel anterior y aparecen nuevas estructuras. A través de las síntesis de estas relaciones, el estudiante es
consciente de las transformaciones que se desarrollan en el esquema y construye una estructura nueva.
En este nivel aparece el desarrollo de la coherencia del esquema, que se demuestra por la capacidad
de un individuo para reconocer las relaciones que se incluyen en el esquema, reexionar sobre la es-
tructura explícita del esquema y considerar el contenido del esquema adecuado a la resolución de un
problema.
En los niveles inter y trans de la tríada, el estudiante reorganiza conocimientos adquiridos en el ni-
vel anterior. El paso de un nivel al siguiente por parte del estudiante incluye un aumento en el reperto-
rio de los elementos matemáticos, así como la construcción de nuevas formas de relaciones o transfor-
maciones entre los elementos matemáticos usados por el estudiante en la resolución de un problema.
A partir de las ideas planteadas en este marco teórico, la pregunta que abordamos en este trabajo es
la siguiente: ¿Podemos caracterizar los niveles de comprensión del esquema de sucesión numérica en
estudiantes de segundo ciclo de Educación Secundaria?
METODOLOGÍA
Participantes
Los participantes en esta investigación son 105 estudiantes de segundo ciclo de la ESO (14-16 años)
de un centro de la Comunidad Autónoma de Andalucía. A dichos estudiantes se les había introducido
el concepto de sucesión numérica según el currículo ocial (BOE, n.º 5, 5/01/2007, p. 756; BOJA,
n.º 171, 10/08/2007, p. 54). Es en este ciclo de ESO donde aparece por primera vez este concepto en
el currículo.
Instrumentos de recogida de datos
Como instrumentos de recogida de datos, usamos dos cuestionarios. Un primer cuestionario con
cuatro tareas y un segundo cuestionario diseñado para cada estudiante a partir de las respuestas dadas
en el primer cuestionario (entrevista semiestructurada escrita), y profundizar así en aquellas respuestas
que no habían sido explicadas.
El primer cuestionario se diseñó a partir de una descomposición genética del concepto de sucesión
como lista numérica, construida a partir de la experiencia de los investigadores sobre la enseñanza-
aprendizaje de dicho concepto, su conocimiento del modelo APOS, su conocimiento matemático, el

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desarrollo histórico de dicho concepto y la revisión de investigaciones sobre este (Arnon et al., 2014).
Dicha descomposición genética es la siguiente:
0. Prerrequisitos
Los conceptos previos para la construcción del esquema de sucesión numérica son expresión
algebraica y valor numérico de expresión algebraica como objetos y representaciones grácas de
puntos en la recta numérica y en el plano cartesiano como proceso.
1. Acción de calcular términos de una sucesión a partir de la posición que ocupa.
2. Interiorización de la acción de calcular términos de la sucesión a partir de la posición que ocupa
como proceso, reexionando sobre los resultados obtenidos a partir de la repetición de la acción
de calcular diferentes términos de la sucesión sustituyendo en el término general.
3. Inversión del proceso construido en el punto 2 para obtener la posición que ocupa un término
concreto de la sucesión numérica.
4. Coordinación del proceso construido en el punto 2 en los diferentes modos de representación.
5. Encapsulación del proceso 4 como un objeto sobre el que realizar acciones o procesos para el
estudio de propiedades globales donde están implicados todos los términos de la sucesión (an =
[a1, a2,…]).
6. Desencapsulación del objeto 5 como proceso, donde puede considerarse la sucesión completa
y algunos de sus términos concretos, por ejemplo en situaciones de comparación de sucesiones,
tendencia, etc.
En relación con los modos de representación del concepto de sucesión numérica, teniendo en cuen-
ta la revisión de la literatura, consideramos los siguientes: modo de representación numérico, modo
de representación algebraico, modo de representación gráco-lineal (representación de las sucesiones
como puntos de la recta numérica) y modo de representación gráco-cartesiano (representación de las
sucesiones como puntos del plano cartesiano).
Las tareas fueron diseñadas teniendo en cuenta la descomposición genética de sucesión numérica,
la revisión de la literatura, los elementos matemáticos que constituyen el concepto de sucesión numéri-
ca (enumerados en la introducción) y las relaciones que se podían establecer entre ellos en los diferentes
modos de representación.

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Fig. 1. Tareas del cuestionario 1
El primer cuestionario se respondió en una hora de clase y el segundo fue respondido un par de
semanas después. A continuación, describimos las cuatro tareas del cuestionario primero (gura 1).
En la tarea 1, a partir de expresiones analíticas (numéricas y algebraicas), se pide a los estudiantes
que determinen cuáles de ellas son sucesiones numéricas. Ello requiere del estudiante, en los aparta-
dos b y d, una forma de conocer acción del concepto de sucesión numérica, a través del uso conjunto
(relación «Y lógica») de los elementos matemáticos, término (E2), sucesión como lista (E1) y término

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general (E3). Y para considerar que dicha expresión algebraica es una sucesión, requiere de los estu-
diantes una forma de conocer proceso del concepto de sucesión numérica, ya que debe considerar que es
posible obtener los innitos valores que constituyen la sucesión.
En los apartados a y c, requiere del estudiante una coordinación de procesos en el concepto de suce-
sión numérica a través del uso de la relación lógica de contrarrecíproco de los elementos sucesión como
lista (E1) y términos de una sucesión (E2) (no E2 → no E1); de esta manera el estudiante indicará que
no son sucesiones numéricas, en el apartado a), por no existir el término correspondiente a n = 5, y en
el apartado c) por solo existir el término correspondiente a n = 1.
El apartado e) requiere del estudiante una forma de conocer acción para calcular los términos desde
el primero (ley de recurrencia [E8]), y en el apartado f) requiere del estudiante una forma de conocer
acción para identicar los términos de la progresión geométrica de razón ½ (E6). Y maniesta una
forma de conocer proceso al considerar los innitos valores a través de su término general (E7).
En la tarea 2, a partir de una sucesión numérica expresada en forma algebraica, se requiere del es-
tudiante, por un lado, una forma de conocer acción del concepto de sucesión numérica para el apartado
a), ya que para ello el estudiante debe hacer uso de los elementos término (E2) y término general (E3)
mediante la relación «y lógica». Por otro lado, se requiere de los estudiantes una forma de conocer proceso
para el apartado b) como proceso inverso del descrito anteriormente en la tarea 1 (apartados b, d, e y
f); para este apartado b) se necesita la relación recíproca del elemento término general (E3), donde a
cada valor se le asigna su posición. En el apartado c) se requiere del estudiante una forma de conocer ob-
jeto, ya que debe considerar la sucesión completa y por lo tanto tenerla encapsulada, pues debe decidir
si la sucesión es creciente (E10) o decreciente (E11). Al tratarse de una propiedad global, afecta o están
implicados todos los términos de la sucesión. El apartado d) requiere del estudiante desencapsular el
objeto de sucesión numérica creciente (E10) o decreciente (E11) utilizado en el apartado anterior para
decidir qué ocurre con la sucesión cuando n aumenta indenidamente.
En la tarea 3, a partir de una sucesión numérica expresada en forma gráca-cartesiana, en el apar-
tado a) se requiere del estudiante una forma de conocer acción del concepto de sucesión numérica (E1)
en modo gráco-cartesiano, para poder hallar los términos segundo y cuarto (E2); por otro lado, para
hallar el término sexto se requiere del estudiante una forma de conocer proceso, con el n de considerar
la sucesión como una progresión aritmética (E4) y, a partir del quinto término representado en la grá-
ca, calcular el siguiente. Y en el apartado b), el proceso inverso del término general de una progresión
aritmética (E5), donde a partir del valor (eje Y) obtener la posición mediante la coordinación entre
ambos ejes (E2). En el apartado c), igual que en la tarea anterior, se requiere del estudiante una forma
de conocer objeto, para decidir si la sucesión es creciente (E10) o decreciente (E11). Y, por último, en
el apartado d) se requiere del estudiante desencapsular el objeto de sucesión numérica al igual que en
la tarea anterior.
La consideración conjunta de las tareas 2 y 3 permite apreciar las distintas formas de conocer el
concepto de sucesión numérica en diferentes modos de representación, pudiéndose poner de manies-
to la síntesis entre ellos.
En la tarea 4, a partir de 4 sucesiones numéricas expresadas en modo algebraico y 4 sucesiones
numéricas expresadas en modo gráco (2 en forma gráco-lineal y 2 en forma gráco-cartesiana), se le
pide al estudiante que relacione cada expresión algebraica con su correspondiente representación grá-
ca. Esta tarea requiere del estudiante una forma de conocer objeto del concepto de sucesión numérica,
en los modos de representación algebraico, gráco-lineal y gráco-cartesiano. Por un lado, a través de
la coordinación (mediante una relación de conjunción lógica) como objetos de los elementos mate-
máticos, términos (E2), sucesión como lista numérica (E1) y término general (E3), el estudiante debe
ser capaz de desencapsular el elemento término general (E3), en la expresión algebraica (apartados a,
b, c y d), a un proceso para obtener los términos (E2) y para considerar que es posible obtener los in-

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nitos valores que constituyen la sucesión numérica (E1). Por otro lado, en el modo de representación
gráco-lineal (apartados 3 y 4) y gráco-cartesiano (apartados 1 y 2) debe ser capaz de desencapsular
el elemento matemático términos (E2) a un proceso para obtener la sucesión como lista numérica (E1)
mediante la relación «implicación lógica» E2 → E1.
Finalmente, el estudiante debe establecer una relación de equivalencia lógica entre los elementos
matemáticos, sucesión como lista numérica (E1), términos (E2) y término general (E3), en diferentes
modos de representación donde a cada término de la expresión en modo algebraico le corresponda su
equivalente en modo gráco-lineal o gráco-cartesiano, y viceversa, poniéndose de maniesto la sínte-
sis entre los modos de representación, lo que le lleva a emparejar el apartado b) con el apartado 2), el
c) con el 1) y el d) con el 3), y a no poder establecer la relación de equivalencia del apartado a), puesto
que el primer término del apartado a) (a1 = 1) no se corresponde con el primer término de ninguna
gráca, y el primer término de la gráca 4) a1 = 8 no se corresponde con el primer término de ninguna
expresión algebraica.
Procedimiento de análisis
El análisis se centró en identicar los elementos matemáticos, las relaciones lógicas que se establecen
entre ellos, los modos de representación, las traslaciones entre ellos y las formas de conocer el concepto
de sucesión numérica que se ponían de maniesto en las repuestas de los estudiantes en la resolución
de las tareas.
El análisis se realizó considerando conjuntamente los datos procedentes de los dos cues-
tionarios. Una característica del proceso de análisis seguido es que el segundo cuestionario se
respondió en días posteriores a la realización del primer cuestionario, con el objetivo de aclarar
el proceso de resolución llevado a cabo por el estudiante en el primer cuestionario. Para ello,
previamente a la realización del segundo cuestionario, se examinaron las respuestas dadas por
los estudiantes en el primer cuestionario, a n de adecuar el segundo cuestionario a las res-
puestas dadas por los estudiantes en el primero. De esta manera, el segundo cuestionario era
personalizado para cada estudiante y permitió ampliar la información.
El procedimiento de análisis se ha realizado en dos fases. En la primera fase, se analizó cada
una de las tareas, considerando conjuntamente las respuestas dadas a la tarea en los dos cues-
tionarios; con ello obtuvimos una caracterización de la comprensión del concepto de sucesión
para cada una de las tareas.
En la segunda fase del análisis, a partir de los resultados obtenidos en la primera fase, se
analizó la resolución de todas las tareas para cada uno de los estudiantes. De esta manera se
obtuvo una caracterización del nivel comprensión del concepto de sucesión numérica que ha
alcanzado el estudiante.
RESULTADOS
En esta sección de resultados mostramos la caracterización de los diferentes niveles de comprensión
del concepto de sucesión numérica puestos de maniesto por los estudiantes. Esta sección está organi-
zada presentando las características de los diferentes niveles de comprensión del concepto de sucesión
numérica, a través de una selección de respuestas de estudiantes que describen comportamientos pro-
totípicos de estos en los diferentes niveles de compresión del concepto de sucesión numérica (intra,
inter y trans).

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Nivel intra del desarrollo del esquema de sucesión numérica
Un individuo, en este nivel de desarrollo del esquema, se centra en acciones, procesos y objetos indivi-
duales sin relacionarlos con otros. Este nivel se caracteriza por el uso que hace el estudiante de (pocos)
elementos matemáticos de forma aislada (a veces de forma correcta) en algún modo de representación,
sin establecer relaciones, es decir, no los relaciona cognitivamente.
Un ejemplo de este nivel lo muestra la estudiante e29. Esta estudiante, en el apartado a) de la tarea
1 del primer cuestionario (gura 1), hace uso correcto del elemento matemático término general de
una sucesión (E3) para calcular algunos términos concretos, a1 y a2, a partir de la expresión algebraica,
lo que pone de maniesto que e29 conoce como acción el concepto de sucesión numérica. Por otra
parte, esta estudiante hace un uso incorrecto de la relación lógica entre sucesión numérica (E1) y
progresión (E4) (gura 2) al considerar una relación de equivalencia lógica entre ambos elementos en
lugar de la relación de implicación (E4 → E1).
Fig. 2. Respuesta de e29 a la tarea 1 del primer cuestionario
Para indagar sobre esta respuesta nos apoyamos en el segundo cuestionario, donde le pedimos que
nos aclare dicha respuesta: «Pregunta: Para el apartado a), ¿por qué no es una sucesión?». «e29: Porque
no había nada que se repita».
En el apartado b) de la tarea 1, hace un uso incorrecto del elemento matemático término general
(E3), que había usado anteriormente de forma correcta, es decir, no obtiene los términos de la sucesión
numérica a partir de la expresión algebraica dada por el término general (gura 2). Esto la ha llevado a
considerar que la expresión es una sucesión al identicarla como una progresión aritmética de diferen-
cia 1. Considerando conjuntamente este apartado con el anterior, se vuelve a evidenciar la relación de
equivalencia que esta estudiante establece incorrectamente entre sucesión y progresión.
A partir de estas respuestas podemos inferir que e29 se encuentra en el nivel intra, pues usa un mis-
mo elemento de forma correcta e incorrecta (término general E3). Y usa las relaciones de equivalencia
lógica e implicación lógica con errores, al establecer relaciones entre sucesión y progresión. Lo mismo
sucede en los restantes apartados de esta tarea 1 y en las tareas 2 y 3.
En la tarea 4, donde e29 tiene que relacionar cada expresión algebraica con su correspondiente
representación gráca, justicando la respuesta (gura 1), no coordina los elementos matemáticos
necesarios para resolver la tarea (términos (E2), sucesión como lista numérica (E1) y término general
(E3)), al no tenerlos como objeto. Tan solo es capaz de emparejar de forma correcta la expresión alge-
braica del apartado d (an = 2n) con la gráca-lineal 3. Esto puede deberse a que se trata de la sucesión
correspondiente a los pares, que e29 puede conocer como acción, puesto que no se evidencia que pue-
da conocerla como objeto que desencapsula. De ser así podría haberla considerado como progresión
aritmética de diferencia 2 en lugar de hablar de la construcción de los números pares («se va multipli-
cando por 2 el término n») (gura 3).

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Caracterización del esquema de sucesión numérica en estudiantes de ESO
ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 37-3 (2019), 149-167
Fig. 3. Respuesta de e29 a la tarea 4 del primer cuestionario
Estos hechos nos llevan a considerar que este comportamiento es característico de los estudiantes
que se encuentran en el nivel intra de desarrollo del esquema de sucesión como lista numérica. Es decir,
se pone de maniesto una forma de conocer acción del concepto de sucesión numérica, lo que conlleva
que a veces un mismo elemento pueda ser usado de forma correcta en determinadas tareas e incorrecta
en otras. Los elementos matemáticos se usan vinculados a un modo de representación, y no se realizan
traslaciones entre modos de representación. Además, en este nivel las relaciones lógicas entre elementos
se producen siempre con errores.
Nivel inter del desarrollo del esquema de sucesión numérica
En este nivel de desarrollo, los estudiantes usan los elementos matemáticos de forma correcta y esta-
blecen relaciones entre ellos cuando se encuentran en un mismo modo de representación, a veces de
forma incorrecta. También en este nivel se ponen de maniesto las traslaciones de un modo de repre-
sentación a otro y diferentes formas de conocer el concepto.
Un ejemplo de este nivel es e5, estudiante que en la respuesta a la tarea 1 pone de maniesto el uso
correcto de la relación de conjunción lógica a través del uso conjunto de los elementos matemáticos,
términos de una sucesión (E2), sucesión como lista (E1) y término general de una sucesión (E3), para
obtener términos concretos a partir de una expresión algebraica o numérica en el apartado a). Y el uso
incorrecto de la relación de equivalencia lógica en el apartado b), en el que justica la respuesta dada
de la siguiente manera: «No es sucesión numérica porque no hay una relación de progresión entre los
valores an al dar valores a n» (gura 4), armación que pone de maniesto que la relación no progresión
(E4-E6) implica no sucesión (E1), lo que muestra un uso incorrecto de la relación lógica de contra-
rrecíproco. Sin embargo, sí hace uso correcto de la implicación lógica E4 → E1 (apartado d) y E6 →
E1 (apartado f).
En el segundo cuestionario le preguntamos sobre este hecho y e5 responde: «Una progresión es un
tipo concreto de sucesión en la cual entre los términos que la forman hay una diferencia/razón (arit-
mética o geométrica) común». Esta respuesta muestra que, aunque e5 conoce la relación que existe
entre sucesiones o progresiones (progresión como tipo de sucesión), cuando debe hacer uso de ello en
la resolución de una tarea no es capaz de hacerlo de forma correcta. Este hecho pone de maniesto que
una característica del nivel inter es el uso incorrecto de algunas relaciones lógicas.
Además, también se pone de maniesto en e5 una forma de conocer proceso del concepto de su-
cesión numérica, al considerar que no es sucesión porque no existe un término a5 (tarea 1 apartado a).
Para contestar de esta manera, el estudiante coordina dos procesos a través del uso de la relación lógica
de contrarrecíproco de los elementos sucesión como lista (E1) y términos de una sucesión (E2) (no
E2 → no E1).

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Fig. 4. Respuesta de e5 a la tarea 1 del primer cuestionario
En la tarea 2, e5 pone de maniesto una forma de conocer proceso el concepto de sucesión numé-
rica, a través de la traslación del modo de representación algebraico al modo numérico, construyendo
una tabla de valores (gura 5), y responde que «se acerca a 3» (gura 5).
En el apartado b) se maniesta una forma de conocer proceso a través de la relación de recíproco
del elemento término general (E3), ya que a partir del valor dado (5) debe decidir si pertenecen o no a
la sucesión, lo que le lleva a demostrar que el valor (5) se alcanza en el sexto término (a6 = 5) y que 10
no es un término de la sucesión (gura 5).
Fig. 5. Respuesta de e5 a la tarea 2 del primer cuestionario
En la tarea 3 se pone de maniesto la traslación del modo de representación gráco-cartesiano a los
modos algebraico (término general de una progresión aritmética, apartado b) y numérico (tabla de va-
lores, apartado d) (gura 6), así como una forma de conocer objeto del concepto de sucesión numérica,
ya que debe considerar la sucesión completa para justicar la monotonía de la sucesión numérica a
través de la coordinación de los elementos término general de la progresión aritmética (E5) y sucesión
creciente (E11) (apartado c) (gura 6): «Es creciente porque mientras más grande sea el valor de n, al
colocarlo en la fórmula de término general el valor de an es siempre mayor».

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Caracterización del esquema de sucesión numérica en estudiantes de ESO
ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 37-3 (2019), 149-167
Fig. 6. Respuesta de e5 a la tarea 3 del primer cuestionario
El estudiante e5, en la tarea 4, pone de maniesto el uso correcto de diferentes elementos y trasla-
ciones entre los distintos modos de representación; esto le lleva a emparejar las distintas sucesiones y
responder que el apartado a) no se corresponde con ninguna gráca (gura 7).
Fig. 7. Respuesta de e5 a la tarea 4 del primer cuestionario
Este comportamiento es característico de los estudiantes que se encuentran en el nivel inter de de-
sarrollo del esquema de sucesión como lista numérica. Es decir, se ponen de maniesto las diferentes
formas de conocer el concepto de sucesión numérica y los elementos matemáticos se usan de forma
correcta, pero vinculados a determinadas tareas o modos de representación. Además, se empieza a po-
ner de maniesto el establecimiento de relaciones lógicas entre elementos de forma correcta, pero en
algunos casos estas se establecen con errores (equivalencia lógica).
Nivel trans del desarrollo del esquema de sucesión numérica
Este nivel se caracteriza por que los estudiantes no tienen restricciones a la hora de establecer relaciones
entre los elementos del esquema, se producen coordinaciones entre los distintos modos de represen-
tación de forma uida (síntesis de los modos de representación) y se maniestan diferentes formas de
conocer el concepto.
Un ejemplo de este nivel es el estudiante e3, que en la tarea 1 pone de maniesto, además del uso
correcto de diferentes elementos matemáticos y las relaciones lógicas entre ellos, una forma de conocer
proceso del concepto de sucesión numérica cuando considera que para que exista una sucesión es nece-
sario que existan todos sus términos, a través de la relación lógica de contrarrecíproco no E2 (términos
de una sucesión) → no E1 (sucesión como lista). De esta manera, e3 señala en el apartado a) que no
es sucesión numérica, ya que no existe a5, pues obtiene como valor 1/0. En el segundo cuestionario le
preguntamos expresamente por esa respuesta: «Pregunta: ¿Si no puedes encontrar el valor entonces es
sucesión?». «e3: No, porque le falta un término».

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Y en los apartados b) y d), para armar que sí son sucesiones, el estudiante e3 escribe como justi-
cación de estos apartados: «es sucesión numérica porque nos da un valor para an según el valor que le
demos a “n”».
En el apartado f) hace uso de la relación de implicación lógica que se da entre estos elementos E6
(progresión geométrica) y E7 (término general progresión geométrica (E6 → E7); y de la relación que
se establece entre progresiones geométricas y sucesiones numéricas (E1), (E6 → E1) cuando escribe:
«es una sucesión porque a partir de este término general que hemos hallado con la fórmula an = a1r(n-1)
para cada valor de n obtenemos an». Y, además, se pone de maniesto, de nuevo, una forma de conocer
proceso cuando responde: «para cada valor de n obtenemos an», es decir, considera este estudiante que,
al ser progresión geométrica, es posible obtener los innitos valores que constituyen la sucesión.
Además, en la tarea 2, en el apartado c) se evidencia una forma de conocer objeto el concepto de suce-
sión numérica por parte de e3, ya que debe considerar la sucesión completa para desencapsularla en un
proceso y así construir la tabla de valores (gura 8). Este hecho se conrma en el apartado d), cuando
a partir del término general desencapsula para obtener un proceso con innitos términos y responde
que: «según va aumentando la posición, el valor de la sucesión disminuye» (elemento sucesión decre-
ciente E11).
Fig. 8. Respuesta de e3 a la tarea 2 del primer cuestionario
El estudiante e3, en las tareas 3 y 4, pone de maniesto la síntesis de los modos de representación.
Por ejemplo, en el apartado c) de la tarea 3 se maniesta dicha síntesis entre los modos algebraico y
gráco-cartesiano cuando responde que

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Caracterización del esquema de sucesión numérica en estudiantes de ESO
ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 37-3 (2019), 149-167
es creciente porque como podemos ver la gráca [reriéndose al modo de representación gráco-cartesiano
del enunciado], y según el término general [reriéndose al modo de representación algebraico especicado
por e3 en el apartado a de esta tarea] mientras mayor sea n mayor será an, ya que cada término es dos cifras
mayor que el anterior [reriéndose a la diferencia de la progresión aritmética].
Estos hechos son característicos de los estudiantes que se encuentran en el nivel trans de desarrollo
del esquema de sucesión como lista numérica. Es decir, hacen siempre uso correcto de los elementos
matemáticos necesarios en la resolución de las diferentes tareas vinculadas a los distintos modos de
representación, lo que evidencia la síntesis entre ellos. Además, establece diferentes tipos de relacio-
nes lógicas (conjunción lógica, implicación lógica, contrarrecíproco, equivalencia lógica) cuando son
necesarias en la resolución de la tarea, y se ponen de maniesto las diferentes formas de conocer del
concepto de sucesión numérica.
Para nalizar, en cada una de las secciones hemos descrito un nivel de compresión del concepto de
sucesión numérica a través de una selección de casos representativos. La siguiente gura muestra los
resultados descritos en esta sección indicando el número de estudiantes en cada uno de los niveles (-
gura 9). Además, en la gura se recogen las características propias de cada nivel. Sin olvidar su carácter
progresivo, es decir, los elementos matemáticos y las relaciones lógicas que se establecen entre ellos, en
el nivel trans son, además de las que guran en dicho nivel, las que guran en el nivel inter e intra. Y lo
mismo sucede con los elementos matemáticos y las relaciones lógicas que guran en el nivel inter con
los que guran en el nivel intra.
Fig. 9. Caracterización de niveles del esquema de sucesión numérica
DISCUSIÓN Y CONCLUSIONES
En este trabajo hemos caracterizado los diferentes niveles de la comprensión del concepto de sucesión
numérica (gura 9). Así, el nivel intra del esquema de sucesión numérica se caracteriza por que, en
la resolución de las diferentes tareas del cuestionario por parte del estudiante, un mismo elemento es
usado en algunas ocasiones de forma correcta y en otras de forma incorrecta, vinculando el uso de los
elementos matemáticos a un modo de representación. Las relaciones lógicas entre elementos se pro-
ducen siempre con errores, lo que pone de maniesto una forma de conocer acción del concepto de

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sucesión numérica. En el nivel inter, el estudiante usa los elementos matemáticos de forma correcta,
pero solo en algunos modos de representación. Se empieza a poner de maniesto el establecimiento de
relaciones lógicas entre elementos de forma correcta (conjunción lógica, implicación lógica y contra-
rrecíproco), y en otros casos con errores (la equivalencia lógica que lleva al estudiante a identicar las
progresiones con las sucesiones). Se ponen de maniesto las diferentes formas de conocer el concepto
de sucesión numérica (acción, proceso y coordinación de procesos). Por último, en el nivel trans, el
estudiante usa siempre los elementos matemáticos necesarios en la resolución de las diferentes tareas
y se evidencia la síntesis entre los modos de representación. Además, establece los diferentes tipos de
relaciones lógicas necesarias en la resolución de la tarea. Y se ponen de maniesto las diferentes formas
de conocer del concepto de sucesión.
La investigación de McDonald et al. (2000) sobre el concepto de sucesión señaló que para la cons-
trucción de dicho concepto los estudiantes construyen dos objetos cognitivos diferentes, la sucesión
como listado de números (seqlist) y la sucesión como función de dominio de los números naturales
(seqfun), centrándose estos investigadores en el segundo de ellos. En nuestro trabajo complementamos
dicha investigación centrándonos en la construcción del primero de ellos, la construcción del objeto
cognitivo de sucesión como listado de números (seqlist).
En la investigación de Przenioslo (2006) hubo estudiantes que consideraron que en una sucesión
«la diferencia entre términos sucesivos es la misma». Para esta investigadora esto podría deberse a que
se consideran las sucesiones como progresiones aritméticas. Este resultado está en relación con los
resultados obtenidos en nuestra investigación en la caracterización de los estudiantes situados en el
nivel inter del esquema de sucesión numérica, en el sentido del establecimiento erróneo de la relación
de equivalencia lógica entre sucesión numérica y progresión (Bajo, Sánchez-Matamoros y Gavilán-
Izquierdo, 2015).
Diversas investigaciones (Cañadas, 2007; González et al., 2011; Przenioslo, 2006) señalan la im-
portancia del uso de los diferentes modos de representación para el estudio del concepto de sucesión
numérica, considerando los modos numérico, gráco algebraico y sus variantes. Nuestros resultados
corroboran dicha importancia e indican la dicultad en las traslaciones entre distintos modos de repre-
sentación. Además, dentro del modo gráco cabe señalar, a la vista de nuestros resultados, el diferente
comportamiento de los estudiantes situados en el nivel inter en relación con los modos gráco-lineal
y gráco cartesiano. Todos los estudiantes situados en el nivel inter muestran esbozos de síntesis de
los modos de representación analítico y gráco lineal; sin embargo, solo 17 de los 37 estudiantes
situados en dicho nivel hacen un uso correcto del modo gráco-cartesiano (Bajo, Gavilán y Sánchez-
Matamoros, 2016). Este hecho nos podría permitir abordar la identicación de diferentes subniveles
de desarrollo del nivel inter.
Para futuras investigaciones a partir de la caracterización de los niveles intra, inter y trans para el
concepto de sucesión numérica, podemos empezar a considerar la identicación de subniveles dentro
de cada uno de los niveles considerados, ya que cada nivel implica a su vez algunos subniveles, siguien-
do el mismo orden de progresión, así como la tematización del esquema (Piaget y García, 1983).

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Caracterización del esquema de sucesión numérica en estudiantes de ESO
ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 37-3 (2019), 149-167
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ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 37-3 (2019), 149-167
Characterization of the numeric sequence
schema among Compulsory Secondary
Education students
José Mariano Bajo Benito, José María Gavilán-Izquierdo, Gloria Sánchez-Matamoros García
Departamento de Didáctica de las Matemáticas. Universidad de Sevilla. Sevilla (España)
jbajo@us.es, gavilan@us.es, gsanchezmatamoros@us.es
An understanding of the numeric sequence concept presents diculties for Compulsory Secondary Education
students (ESO in Spanish) (14-16 years). is, together with the fact that the concept is the basis of other mathe-
matical concepts, such as limits, derivatives, integrals, and numeric series, justies its relevance. e purpose of
this research is to characterize the understanding of the concept of sequence as a numeric list in second cycle
ESO students.
e instruments used for the collection of data consisted of two questionnaires, the former consisting of four
tasks, the latter customized for each student. e students’ responses were analyzed using the APOS theoreti-
cal framework, based on the contributions of Piaget and García with regards to the development of a schema
through intra, inter, and trans levels.
e participants in the research were 105 ESO second course students, and a qualitative methodology was
used throughout. For the analysis process of our study, the two questionnaires answered by each student were
considered. is procedure provided two types of information. On the one hand, it enabled us to describe each
student’s understanding of the concept of sequence as a numeric list. On the other, it provided us with informa-
tion regarding the way in which the understanding of the sequence schema seemed to be developed as a numeric
list at three levels: intra, inter and trans.
e results allowed us to identify the characterization of the dierent levels involved in the mathematical
elements used, their relationships, their representation modes, the translations among them, and the mental
construction of the concept (action, process, and object).
e intra-level is characterized by the correct use of a single element in a representation mode, such use
being incorrect in others. e logical relations between elements always occur with errors. is reveals an action
conception. e inter-level is characterized by the correct use of mathematical elements in some representation
modes. ey start to show the establishment of correct logical relations between mathematical elements (logical
conjunction, logical equivalence, and contrapositive), in other cases with errors (the logical equivalence that leads
students to identify progressions with sequences). e dierent notions of action, process, and coordination of
these processes are revealed. Finally, the trans-level is characterized by the use of the necessary mathematical ele-
ments for the resolution of dierent tasks, revealing the synthesis of the representation modes. Furthermore, the
dierent types of logical relations necessary for task resolution are established. ese reveal the dierent mental
constructions with regards to the concept of sequence.
Our results corroborate the outcomes of diverse research works, indicating the importance of the use of the
dierent representation modes (numeric, graphic, algebraic and corresponding variants) for the study of the
concept of numeric sequence. Moreover, they indicate the diculty in the translations of these. us, in view
of our results, in the graphical mode, the dierent behaviors of students found at the inter-level, as related to
lineal graph and cartesian graphic modes, should be noted. is could enable us to address the identication of
dierent development sub-levels of the sequence schema as a numeric list for future research.