Content uploaded by Małgorzata. Terepeta
Author content
All content in this area was uploaded by Małgorzata. Terepeta on Nov 02, 2019
Content may be subject to copyright.
Polskie spojrzenie na twierdzenie Riemanna o tasowaniu
Izabela Jóźwik Małgorzata Terepeta
1 Wstęp
Historia szeregów liczbowych sięga starożytności. Szeregi geometryczne pojawiły się już w
V wieku p.n.e. w rozważaniach Zenona z Elei i były źródłem wielu paradoksów. Głównym
problemem było przedstawienie skończonej liczby za pomocą sumy nieskończonej ilości ele-
mentów. W III wieku przed naszą erą Archimedes w pracy The quadrature of the Parabola
pokazał, że suma 1+ 1
4+1
16 +1
64 +. . . jest równa 4
3, czyli obliczył sumę nieskończonego szeregu
geometrycznego o ilorazie 1
4. Dokładniej: Archimedes oszacował sumę częściową tego szeregu i
napisał, że może ona być dowolnie blisko 4
3. Oczywiście, nie używał współczesnej terminologii
oraz symboliki, zaś przeprowadzony dowód miał charakter geometryczny a nie algebraicz-
ny. W XIV wieku Mikołaj Oresme (1320–1382) pokazał, że szereg harmoniczny ∞
P
n=1
1
njest
rozbieżny (warto pamiętać, że nie używano wtedy takiego pojęcia). W tym celu pogrupo-
wał elementy tego szeregu w następujący sposób: 1 + 1
2+1
3+1
4+1
5+1
6+1
7+1
8+. . .
i oszacował z dołu każdy składnik w nawiasie przez 1
2. Zatem Oresme pokazał, że biorąc
odpowiednio dużo elementów tego szeregu możemy otrzymać dowolnie dużą liczbę.
Matematycy XVII–XVIII wieku uważali, że każda suma a1+a2+a3+. . . jest liczbą
i jej wartość nie ulega zmianie, gdy wyrazy będziemy przestawiać (permutować) lub gru-
pować. Nie rozróżniali szeregów zbieżnych i rozbieżnych. Początkowo wielu matematyków
(np. Leonhard Euler (1707–1783) i Joseph Louis Lagrange (1736–1813)) utożsamiało su-
my nieskończone, czyli szeregi, z nieskończonymi wielomianami i uważało, że każdą funkcję
można przedstawić w postaci szeregu, przy czym zakładano wówczas, że szereg potęgowy
otrzymany dla danej funkcji jest zawsze równy tej funkcji. Takie podejście wiązało się także
z wieloma paradoksami. W 1667 roku Isaac Newton (1643–1727) i w 1668 roku Nicolaus
Mercator (1620–1687) (wg [21]) pokazali, że funkcję logarytmiczną można przedstawić za
pomocą następującego wzoru
ln(1 + x) = x−x2
2+x3
3−x4
4+. . . (1)
(przy czym, podobno, Mercator nie potrafił udowodnić poprawności powyższego wzoru (wg
[14]). Wzór ten pozwala bardzo wygodnie obliczyć wartość logarytmu naturalnego dla x
leżących blisko 1. Jednakże dla x= 2 szereg znajdujący się po prawej stronie wzoru (1)
ma nieskończoną sumę, podczas gdy lewa strona powyższej równości ma wartość ln 3. Obaj
matematycy zauważyli tę sprzeczność, nie umieli jednak jej wytłumaczyć. W 1703 roku
Guido Grandi (1671–1742) pokazał, że podobną sprzeczność uzyskamy, jeśli do wzoru
1−x+x2−x3+. . . =1
1 + x(2)
1
wstawimy x= 1. Po prawej stronie otrzymamy wówczas 1
2, po lewej zaś 0, odpowiednio
grupując wyrazy:
1−1+1−1 + . . . = (1 −1) + (1 −1) + . . . = 0.
Zauważmy, że stosując te same metody, po lewej stronie (2) możemy także otrzymać 1:
1−1+1−1 + . . . = 1 −(1 −1+1−1+1−1 + . . .) = 1 −[(1 −1) + (1 −1) + (1 −1) + . . .] = 1.
Euler otrzymał jeszcze inny wynik powyższej sumy. Założył, że jest ona skończona i równa
S. Wówczas korzystając z zależności
S= 1 −1+1−1 + . . . = 1 −(1 −1+1−1 + . . .)=1−S,
Euler pokazał, że S=1
2. Zatem ta sama nieskończona suma mogła mieć trzy wartości: 0,1,1
2.
Wykorzystując wzór (2), Euler pokazał, że skoro n+n2+n3+. . . =n
1−noraz 1+ 1
n+1
n2+. . . =
n
n−1, więc
. . . +1
n3+1
n2+1+n+n2+n3+. . . =n
n−1+n
1−n= 0.
Oznacza to, że sumując nieskończoną ilość dodatnich liczb możemy otrzymać 0. Źródłem
tych paradoksów okazały się szeregi rozbieżne, o których w następujący sposób pisał Niels
Henrik Abel (1802–1829) w liście z dnia 16 stycznia 1826 do nauczyciela Berndta Holmböe
(tłumaczenie [18]):
Szeregi rozbieżne to wymysł diabła, i to wstyd opierać na nich jakikolwiek dowód.
Używając ich można wypisać dowolny wniosek jaki chcemy osiągnąć i to jest
odpowiedź dlaczego te szeregi dają tyle błędów i tak wiele paradoksów1.
Peter Lejeune-Dirichlet (1805–1859) jako pierwszy zauważył, że istnieje możliwość zamiany
kolejności wyrazów pewnych szeregów (szeregów warunkowo zbieżnych, jak już dziś wia-
domo), aby uzyskać różne sumy. Nigdy nie dał pełnej odpowiedzi dlaczego tak się dzieje.
W artykule opublikowanym w 1837 roku udowodnił tylko, że dla szeregów zbieżnych bez-
względnie przestawienie wyrazów szeregu nie zmienia sumy. Pokazanie, że suma szeregu
może ulec zmianie, pozwoliło mu w pracy Sur la convergence des séries trigonométriques qui
servent a représenter une fonction arbitraire entre des limites données z 1829 roku opisać
i udowodnić warunki zbieżności szeregów Fouriera (od 2008 roku praca jest dostępna na
arXiv.org: https://arxiv.org/pdf/0806.1294.pdf).
2 Twierdzenie Riemanna o tasowaniu
W 1852 roku Bernhard Riemann (1826–1866) rozpoczął pracę nad artykułem o szeregach
Fouriera. Znał wyniki uzyskane przez Dirichleta i wiedział, że zamiana kolejności wyrazów
szeregów warunkowo zbieżnych może prowadzić do zmiany ich sumy. Riemann powiązał te
spostrzeżenia z szeregami rozbieżnymi. Wkrótce znalazł rozwiązanie problemu, znane dziś
jako Twierdzenie Riemanna o tasowaniu wyrazów szeregu liczbowego. Włączył je do pracy
1Les séries divergentes sont en général quelque chose de bien fatal et c’est une honte qu’on ose y fonder
aucune démonstration. On peut démontrer tout ce qu’on veut en les employant, et ce sont elles qui ont fait
tant de malheurs et qui ont enfanté tant de paradoxes. (wg [28])
2
o szeregach Fouriera, która była gotowa w końcu 1853 roku, ale opublikowana dopiero po
śmierci Riemanna, w 1866 roku, pod tytułem Über die Darstellbarkeit einer Function durch
eine trigonometrische Reihe ([26]). Twierdzenie Riemanna dotyczyło szeregów rzeczywistych,
ale potrzebne definicje i oznaczenia przedstawimy w ogólnym przypadku, ponieważ w dalszej
części pracy będziemy korzystać z nich dla dowolnej przestrzeni Banacha X.
Niech P={π∈NN:πjest bijekcją},zaś Xdowolną przestrzenią Banacha.
Definicja 1. Będziemy mówić, że szereg ∞
P
n=1 ynelementów przestrzeni Xjest tasowaniem
szeregu ∞
P
n=1 xnelementów tej samej przestrzeni, jeżeli istnieje taka bijekcja π∈ P, że yn=
xπ(n).
W dalszej części pracy bedziemy pomijać oczywisty fakt, że sumujemy elementy danej
przestrzeni X.
Definicja 2. Szereg ∞
P
n=1 xnjest zbieżny warunkowo, jeżeli istnieją takie permutacje π, γ ∈ P ,
że szereg ∞
P
n=1 xπ(n)jest zbieżny, zaś ∞
P
n=1 xγ(n)jest rozbieżny.
Definicja 3. Mówimy, że szereg ∞
P
n=1 xnjest zbieżny bezwarunkowo, jeżeli jest on zbieżny dla
każdego tasowania jego elementów.
Definicja 4. Mówimy, że szereg ∞
P
n=1 xnjest zbieżny bezwzględnie, jeżeli zbieżny jest szereg
∞
P
n=1 kxnk.
W skończenie wymiarowej przestrzeni Banacha pojęcia z definicji 3 i 4 są równoważne.
Przestrzeniami nieskończenie wymiarowymi zajmiemy się w dalszej części pracy.
Twierdzenie Riemanna składało się z dwóch części. Możemy sformułować je w następujący
sposób.
Twierdzenie 5 (Twierdzenie Riemanna o tasowaniu).
1. Jeżeli szereg liczb rzeczywistych ∞
P
n=1 anjest warunkowo zbieżny, to szeregi ∞
P
n=1 a+
ni∞
P
n=1 a−
n
utworzone odpowiednio z jego wyrazów dodatnich i ujemnych są rozbieżne.
2. Jeżeli szereg ∞
P
n=1 anjest warunkowo zbieżny, to dla dowolnej liczby S∈R∪ {±∞}
istnieje taka bijekcja π∈ P, że ∞
P
n=1 aπ(n)=S.
Krótko przedstawimy szkic dowodu. Załóżmy, że szereg ∞
P
n=1 anjest warunkowo zbieżny. Wów-
czas ilość wyrazów ujemnych i ilość wyrazów dodatnich tego szeregu musi być nieskończona.
Szereg ten możemy przedstawić w postaci sumy Pan=Pa+
n+Pa−
n, gdzie
a+
n=(an, gdy an>0
0, gdy an<0, a−
n=(an, gdy an<0
0, gdy an>0.
3
Riemann pokazał, że z czterech możliwych przypadków zbieżności i rozbieżności szeregów
∞
P
n=1 a+
ni∞
P
n=1 a−
ntrzy są sprzeczne z założeniem warunkowej zbieżności szeregu ∞
P
n=1 ani możliwy
jest jedynie ten wskazany w tezie pierwszej części twierdzenia.
W dowodzie drugiej części twierdzenia, ustaloną wartość S∈RRiemann przybliżał za
pomocą sum częściowych szeregu w następujący sposób. Przez n1oznaczamy liczbę pierw-
szych dodatnich wyrazów szeregu Pantak, żeby Sn1> S. Do sumy Sn1dodajemy tyle
pierwszych wyrazów ujemnych (oznaczmy ich liczbę przez n2) szeregu ∞
P
n=1 an, aby otrzymana
suma była mniejsza niż S, czyli Sn1+n2< S. Następnie n3jest taką liczbą wyrazów dodat-
nich, że Sn1+n2+n3> S, zaś n4– wyrazów ujemnych, dla których Sn1+n2+n3+n4< S. Proces
ten kontynuujemy uzyskując dowolnie bliskie przybliżenie Sbiorąc odpowiednio „dalekie”
wyrazy szeregu ∞
P
n=1 an. Zatem sumy częściowe szeregu po przetasowaniu wyrazów dążą do S.
Analogiczną metodą możemy tak przegrupować wyrazy, aby otrzymać szereg rozbież-
ny. Należy zwrócić uwagę, że zamianę kolejności wyrazów można robić na wiele sposobów,
permutacja wyrazów nie jest wyznaczona jednoznacznie.
Dla szeregu ∞
P
n=1 xn, gdzie xn∈Xdefiniujemy zbiór sum tasowań tego szeregu
S(xn) = (x∈X:istnieje taka permutacja π∈ P, że
∞
X
n=1
xπ(n)=x).
Korzystając z powyższego oznaczenia możemy zauważyć, że jeżeli szereg rzeczywisty ∞
P
n=1 an
jest zbieżny warunkowo, to S(an) = R. Zatem zbiór wszystkich sum tasowań szeregu liczb
rzeczywistych może być zbiorem pustym (jeżeli szereg jest rozbieżny do ±∞), pojedynczym
punktem (jeśli szereg jest zbieżny bezwzględnie) lub całym zbiorem R(jeżeli szereg jest
zbieżny warunkowo).
Naturalnym pytaniem, które pojawiło się po udowodnieniu twierdzenia Riemanna było,
czy analogiczne wyniki można uzyskać dla szeregów w zbiorze Rmdla m2. Zanim uzyskano
wyniki dla dowolnego m2, rozważano szeregi zespolone. Zauważmy, że dla szeregów
zespolonych zbiorem sum ich tasowań może być także inny zbiór niż ∅, singleton lub cała
przestrzeń. Np. jeśli zn=∞
P
n=1
(−1)n
n,∞
P
n=1
1
n2, to S(zn) = R,π2
6.
W 1905 roku Paul Lévy (1886–1971) udowodnił odpowiednie twierdzenie dla szeregów
zespolonych (czyli dla R2).
Twierdzenie 6 ([17]).Niech X=C. Wówczas S(xn)jest jednym ze zbiorów:
1. zbiorem pustym,
2. singletonem,
3. linią prostą w C,
4. całą płaszczyzną zespoloną.
Lévy stwierdził, że można jego dowód przepisać bez zmian i wynik Riemanna uogólnić
na przypadek Rmdla m3. Okazało się jednak, że w dowodzie Levy’ego była luka, którą
znalazł Ernst Steinitz (1871–1928). W 1913 roku w [31] przedstawił on poprawny dowód dla
dowolnej skończenie wymiarowej przestrzeni Banacha.
4
Zanim przedstawimy rezultat Steinitza wprowadzimy dodatkowe definicje i oznaczenia.
Niech X∗będzie przestrzenią funkcjonałów liniowych f:X→R.
Definicja 7. Niech szereg ∞
P
n=1 xnbędzie zbieżny warunkowo w X. Mówimy, że liniowy funk-
cjonał f∈X∗jest funkcjonałem zbieżności, jeżeli ∞
P
n=1 |f(xn)|<∞.
Zbiór wszystkich takich funkcjonałów oznaczamy przez Γ. Zdefiniujmy zbiór nazywany ani-
hilatorem
Γ⊥={x∈X:f(x) = 0 dla wszystkich f∈Γ}.(3)
Oba zbiory ΓiΓ⊥są liniowymi podprzestrzeniami X∗iX, odpowiednio. Ponadto w prze-
strzeniach skończenie wymiarowych Γ⊥jest zbiorem domkniętym. Steinitz udowodnił twier-
dzenie, które obecnie jest znane pod nazwą twierdzenia Levy’ego-Steinitza.
Twierdzenie 8 ([31]).Niech Xbędzie m- wymiarową przestrzenią Banacha, szereg ∞
P
n=1 xn
będzie warunkowo zbieżny oraz ∞
P
n=1 xn=s. Wówczas
S(xn) = s+ Γ⊥.(4)
Ponadto zbiór S(xn)jest niepusty wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego funkcjonału linio-
wego f:X→Ristnieje taka permutacja π∈ P, że szereg ∞
P
n=1 f(xπ(n))jest zbieżny.
Praca Steinitza napisana była po niemiecku i liczyła około 40 stron. Przedstawiony w
niej dowód był skomplikowany i wymagał wielu pomocniczych lematów. Jak napisał Peter
Rosenthal w [27], stało się to przyczyną małej popularności twierdzenia Steinitza:
The main reason that this theorem is not better known is that the difficulty of
the proof seems to proportion to the result.
Oryginalny dowód pierwszej części tego twierdzenia doczekał się wielu modyfikacji. Najbar-
dziej znane są wersje dowodu przedstawione przez następujących matematyków: W. Groß
(1917, [9]), I. Damsteeg i I. Halperin (1950, [5]), P. Rosenthal (1987, [27]) oraz M. I. Kadets
i V. M. Kadets (1997, [12]).
5
Zdj. 1. http://www.math.lviv.ua/szkocka/view.php, data dostępu 26.07.2018
Wydawało się, że temat modyfikacji dowodu pierwszej części twierdzenia Steinitza został
już zakończony, gdy pojawił się w założonej ponownie w 2016 roku Księdze Szkockiej. 24
września 2017 roku gruziński matematyk Vaja Tarieladze zaproponował, aby znaleźć łatwy
dowód twierdzenia Steinitza. Problem ten został przedstawiony przez Tarasa Banakha na
stronie https://mathoverflow.net/questions/281948/is-weakly-good-series-in-a-
finite-dimensional-banach-space-good (data dostępu 26.07.2018).
Zdj. 2. Problem V. Tarieladze z Księgi Szkockiej.
Już dwa miesiące później, 11 listopada 2017, w arXiv została udostępniona praca, w której
autor – Taras Banakh przedstawił indukcyjny dowód twierdzenia Steinitza zajmujący już
tylko trzy strony ([1]).
6
3 Nieskończenie wymiarowe przestrzenie Banacha
Prace nad nieskończenie wymiarowymi przestrzeniami Banacha zapoczątkował Władysław
Orlicz (1903–1990). Zajmował się on różnymi rodzajami zbieżności szeregów w różnych topo-
logiach (niekoniecznie w przestrzeniach Banacha), np. zbieżnością bezwarunkową i podszere-
gową. Udowodnił, między innymi, że szereg P∞
n=1 xnjest bezwarunkowo zbieżny w przestrze-
ni Banacha Xwtedy i tylko wtedy gdy jest on podszeregowo zbieżny ([23]). Przypomnijmy
definicję podszeregowej zbieżności.
Definicja 9. Szereg ∞
P
n=1 xnjest podszeregowo zbieżny w przestrzeni Banacha X, jeżeli zbieżny
normowo jest każdy jego podszereg ∞
P
k=1
xnk, gdzie (nk)k∈Njest dowolnym rosnącym ciągiem
liczb naturalnych.
Inne twierdzenie uzyskane przez Orlicza łączące pojęcia bezwarunkowej i podszeregowej
zbieżności, nosi obecnie nazwę twierdzenia Orlicza-Pettisa i zostało udowodnione w 1929
roku (10 lat przed Pettisem):
Twierdzenie 10 ([23]).Szereg ∞
P
n=1 xnjest bezwarunkowo zbieżny (wg normy), wtedy i tylko
wtedy, gdy jest podszeregowo zbieżny w słabej topologii.
Orlicz pokazał ponadto, że
Twierdzenie 11 ([24]).Jeżeli szereg ∞
P
n=1 xnelementów przestrzeni Lp[a, b],1¬p < ∞, jest
bezwarunkowo zbieżny, to ∞
P
n=1 kxnkmax(2,p)<∞.
Przestrzenie Banacha, w których dla każdego szeregu bezwarunkowo zbieżnego ∞
P
n=1 xn
zachodzi ∞
P
n=1 kxnk2<∞nazywamy przestrzeniami z własnością Orlicza. Z twierdzenia 11
wynika, że mają ją wszystkie przestrzenie Lpdla 1¬p¬2.
Nieskończenie wymiarowe przestrzenie Banacha pojawiły się także w Księdze Szkockiej.
Wiadomo wówczas było, że w przestrzeniach nieskończenie wymiarowych zbieżność bez-
względna implikuje zbieżność bezwarunkową. Pytanie, czy zachodzi przeciwna implikacja,
sformułowane zostało w Księdze Szkockiej przez Stanisława Mazura (1905–1981) i Włady-
sława Orlicza jako problem 122 (Księga Szkocka):
Czy w każdej przestrzeni typu Bo nieskończenie wielu wymiarach istnieje szereg
zbieżny bezwarunkowo lecz nie bezwzględnie? Szereg ∞
P
n=1 xnnazywa się bezwa-
runkowo zbieżny, gdy gdy jest zbieżny przy każdym uporządkowaniu wyrazów,
bezwzględnie zbieżny, gdy szereg ∞
P
n=1 kxnkjest zbieżny.
7
Zdj. 3. Problem 122, [16].
Odpowiedź na to pytanie została udzielona przez A. Dworetzky’ego i C.A. Rogersa w pracy
[7] w formie następującego twierdzenia.
Twierdzenie 12 (Dworetzky-Rogers, 1950).Przestrzeń Banacha jest skończenie wymiarowa
wtedy i tylko wtedy, gdy każdy szereg bezwarunkowo zbieżny jest zbieżny bezwzględnie.
Cztery lata później w swojej pracy doktorskiej [20] C. W. McArthur udowodnił, że każda
nieskończenie wymiarowa przestrzeń Banacha zawiera szereg ∞
P
n=1 xn, dla którego S(xn)jest
singletonem i który nie jest bezwarunkowo zbieżny.
Brak równoważności bezwarunkowej i bezwzględnej zbieżności szeregów w nieskończe-
nie wymiarowych przestrzeniach Banacha jest przyczyną bardzo interesujących rezultatów
otrzymanych dla szeregów warunkowo zbieżnych. Problem rozszerzenia twierdzenia Levy’ego-
Steinitza na nieskończenie wymiarowe przestrzenie Banacha został sformułowany przez S.
Banacha w Księdze Szkockiej ([16]) jako problem 106 a nagrodą była 1 flaszka wina:
Niechaj Pxibędzie szeregiem (xisą elementami pewnego zbioru typu B) o tej
własności, że przy pewnym uporządkowaniu suma jego wynosi y0, zaś przy innem
y1. Wykazać, że dla każdej liczby rzeczywistej λistnieje takie uporządkowanie
danego szeregu, że suma jego wynosi λy0+(1 −λ)y1. W szczególności, rozpatrzyć
przypadek, w którym xisą funkcjami ciągłemi w przedziale (0,1), zbieżność zaś
wedle normy równoważna jest jednostajnej zbieżności.
Zdj. 4. Problem 106, [16].
8
Zauważmy, że jest to w istocie pytanie o wypukłość zbioru S(xi), przy czym pamiętajmy,
że dla skończenie wymiarowych przestrzeni Banacha zbiór sum szeregu zawsze jest wypukły.
Częściowej odpowiedzi udzielił Józef Marcinkiewicz (1910–1940) w 1936 roku udowadniając,
że w przestrzeni L2[0,1] istnieje taki szereg ∞
P
n=1 xn, którego zbiór sum nie jest wypukły.
Przedstawimy krótko przykład Marcinkiewicza, który można znaleźć w angielskiej wersji
Księgi Szkockiej [19]. Przez χ[a,b]oznaczamy funkcję charakterystyczną zbioru [a, b]. Dla
0¬i < ∞oraz 0¬k < 2ikładziemy
xi,k =χ[k·2−i,(k+1)·2−i]
yi,k =−xi,k
Są to funkcje należące do L2[0,1]. Tworzymy sumy:
S1=(x0,0+y0,0)+(x1,0+y1,0)+(x1,1+y1,1)+(x2,0+y2,0) + . . .
S2=x0,0+ (x1,0+x1,1+y0,0)+(x2,0+x2,1+y1,0)+
+(x2,2+x2,3+y1,1) + . . .
Wówczas S1= 0,S2= 1. Nie ma natomiast takiej permutacji, żeby otrzymać sumę S,
która byłaby ułamkiem z przedziału (0,1). Wynik Marcinkiewicza nie był szeroko znany.
Niezależnie od niego powstały inne przykłady szeregów w Lp[0,1] o niewypukłych zbiorach
sum. Były one np. opublikowane niezależnie: przez Nikishina dla p=∞w pracy [22] oraz
przez Kornilova dla 1¬p¬2w pracy [15].
Do pytania Banacha odniósł się w 1986 roku V. M. Kadets, który pokazał ([11]), że w
każdej nieskończenie wymiarowej przestrzeni Banacha istnieje szereg, dla którego odpowiedź
na problem Banacha jest negatywna.
W związku ze zbieżnością szeregów w przestrzeniach nieskończenie wymiarowych rozwa-
żano także problem domkniętości zbioru sum szeregu. Przypomnijmy, że w każdej skończenie
wymiarowej przestrzeni Banacha zbiór S(xn)jest domknięty. Okazało się, że własność ta nie
zachodzi w przestrzeniach nieskończenie wymiarowych. Pokazał to M. I. Ostrovskii w 1986
roku w pracy [25]. Ponadto w przestrzeniach nieskończenie wymiarowych zbiór S(xn)może
składać się z dokładnie dwóch punktów, tzn. jak tylko mamy permutację, dla której szereg
jest zbieżny, to jego sumą jest jeden z 2 punktów. Pokazali to równocześnie: P. A. Kornilov
[15] oraz M. I. Kadec i K. Woźniakowski [10]. W ostatniej z tych prac autorzy zadali pyta-
nie, czy zbiór sum szeregu może zawierać więcej punktów, być dowolnie ustalonym zbiorem.
Okazało się, że odpowiedź na to pytanie jest pozytywna i została przedstawiona w tej samej
pracy Kornilova (autorzy pytania nie znali wyników Kornilova).
Twierdzenie 13 (Kornilov, [15]).Dla dowolnego k∈Nistnieje szereg ∞
P
n=1 xnwarunkowo
zbieżny taki, że zbiór S(xn)składa się z dokładnie k punktów.
Twierdzenie 14 (Wojtaszczyk, [38]).Dla dowolnego zbioru skończonego A⊂Nistnieje taki
szereg ∞
P
n=1 xnwarunkowo zbieżny, że S(xn) = A.
Do tej tematyki nawiązali R. Wituła, E. Hetmaniok i K. Kaczmarek w pracy [37] prze-
nosząc wyniki uzyskane przez Kornilova, Kadeca i Wożniakowskiego na nieskończenie wy-
miarowe przestrzenie Hilberta.
9
4 Inne modyfikacje twierdzenia o tasowaniu
Jedno z podstawowych pytań związanych z twierdzeniami o tasowaniu dotyczyło problemu,
czy można tak dobrać permutację π, żeby dla danej liczby s∈R∪ {±∞} szereg ∞
P
n=1 xnbył
zbieżny do Soraz permutacja ta zmieniała tylko mały (w jakimś sensie) zbiór indeksów.
Pierwsze wyniki zostały uzyskane przez Wacława Sierpińskiego (1882–1969) już w 1910
i 1911 roku. Można je sformułować w postaci następujących twierdzeń.
Twierdzenie 15 ([29]).Jeżeli szereg ∞
P
n=1 xnjest zbieżny warunkowo oraz s=∞
P
n=1 xn, to dla
każdej liczby s0∈R∪ {±∞} istnieje taka permutacja πzachowująca kolejność dodatnich i
ujemnych elementów (tzw. permutacja prosta), że s0=∞
P
n=1 xπ(n).
Twierdzenie 16 ([30]).Jeżeli szereg Pxnjest zbieżny warunkowo oraz s=∞
P
n=1 xn, to
•dla każdej liczby s0¬sistnieje taka permutacja π, że s0=∞
P
n=1 xπ(n)oraz jeśli xn<0,
to π(n) = n;
•dla każdej liczby s0sistnieje taka permutacja π, że s0=∞
P
n=1 xπ(n)oraz jeśli xn>0,
to π(n) = n.
Twierdzenia te zainspirowały Władysława Wilczyńskiego, aby rozważyć takie tasowania,
które zmieniają tylko mały, w sensie pewnego ideału, zbiór indeksów.
Niech A⊂N,A(n) = card{m∈A:m¬n}. Liczbę d(A) = lim
n→∞
A(n)
nnazywamy
asymptotyczną gęstością zbioru A. Rodzina zbiorów o gęstości asymptotycznej 0 tworzy
ideał Id. W pracy [33] sformułowane zostały dwa twierdzenia.
Twierdzenie 17. Jeżeli szereg ∞
P
n=1 anjest zbieżny warunkowo, to istnieje taki zbiór A⊂N,
że d(A)=0oraz szereg ∞
P
n=1 χA(n)anjest także zbieżny warunkowo.
Twierdzenie 18. Jeżeli szereg ∞
P
n=1 anjest zbieżny warunkowo, to dla każdej liczby s∈R∪
{±∞} istnieje taka permutacja π∈ P, że ∞
P
n=1 aπ(n)=s. Ponadto tę permutację można wybrać
tak, aby d({n∈N:π(n)6=n}) = 0.
W dowodzie twierdzenia 17 konstruowany jest ciąg zbiorów skończonych (Ak)k2takich,
że Ak⊂N+dla parzystych k,Ak⊂N−dla nieparzystych koraz max(Ak)<min(Ak+1),
przy czym N+={n∈N:an0}oraz N−={n∈N:an<0}. Okazuje się, że zbiór
A=S
k2
Akspełnia warunki zadania. W dowodzie następnego twierdzenia wykorzystuje się
wcześniej wyznaczony zbiór Aoraz odpowiednią permutację π.
Praca [33] miała tylko 4 strony, ale okazała sie inspirująca ze względu na postawiony na
jej zakończenie problem: podać charakteryzację ideału Izawierającgo singletony i mającego
własność, że dla każdego szeregu ∞
P
n=1 anzbieżnego warunkowo istnieje zbiór A∈ I, dla
którego szereg ∞
P
n=1 χA(n)anjest także zbieżny warunkowo.
10
Odpowiedzi udzielili Rafał Filipów i Piotr Szuca w 2010 roku w [8]. Rozważmy dowolny
ideał I ∈ P(N). Będziemy mówić, że permutacja π∈ P zmienia mały podzbiór zbioru N,
jeżeli {n∈N:π(n)6=n}∈I. Ideał Ima własność
(R) jeżeli dla każdego warunkowo zbieżnego szeregu ∞
P
n=1 anoraz s∈R∪ {±∞} istnieje
permutacja πstaka, że ∞
P
n=1 aπs(n)=soraz {n∈N:πs(n)6=n} ∈ I.
(W) jeżeli dla każdego warunkowo zbieżnego szeregu ∞
P
n=1 anistnieje zbiór A∈ I taki, że
szereg P
n∈A
anjest także warunkowo zbieżny.
Problem W. Wilczyńskiego można więc sformułować następująco: scharakteryzować ideał
I, który ma własność (W). Zauważmy, że ideał gęstościowy Idma własność (R), co wyni-
ka z twierdzenia 17 oraz ma własność (W) z twierdzenia 18. Filipów i Szuca pokazali, że
następujące warunki są równoważne:
•Ideał Ima własność (R),
•Ideał Ima własność (W),
•Ideał Inie może być rozszerzony do żadnego ideału sumowalnego.
Przypomnijmy, że rodzinę I(an)=(A⊂N:P
n∈A
an<∞)nazywamy ideałem sumowalnym,
przy założeniu, że (an)n∈Njest takim ciągiem zbieżnym do zera, że an0oraz ∞
P
n=1 an=
∞. Problem W. Wilczyńskiego w przestrzeniach wektorowych był rozwiązany z podobnym
rezultatem przez Pawła Klingę w 2015 roku w [13].
Następnym pytaniem, które pojawiło się przy rozważaniu rozszerzeń twierdzenia Levy’ego-
Steinitza było czy zachodzi ono dla grup abelowych. Jako pierwszy zajął się tym problemem
Stanisław Ulam. W 1958 roku w [32] umieścił bez dowodu twierdzenie będące analogią
pierwszej części twierdzenia Levy’ego-Steinitza:
Twierdzenie 19. Załóżmy, że Xjest zwartą metryzowalną abelową grupą topologiczną, sze-
reg ∞
P
n=1 xnjest zbieżny warunkowo w X. Wówczas S(xn) = x+H, gdzie x∈X, zaś Hjest
pewną podgrupą grupy X.
Natomiast T. Banakh, we wspomnianej wcześniej pracy [1], przedstawił przykład pokazu-
jący, że druga część twierdzenia Steinitza nie zachodzi dla lokalnie zwartych topologicznych
grup abelowych. Rozważył grupę cykliczną T=R/Zi pokazał, że na torusie T×Tistnieje
taki ciąg (xn)n∈Nzbieżny do zera, że szereg ∞
P
n=1 xπ(n)jest rozbieżny dla każdej permutacji π
oraz dla każdego ciągłego homeomorfizmu f:T2→Tszereg ∞
P
n=1 f(xπf(n))jest zbieżny dla
pewnej permutacji πf.
W latach 1990 i 1993 W. Banaszczyk badał możliwość przeniesienia twierdzenia Levy’ego-
Steinitza na przestrzenie nuklearne. Jest wiele równoważnych definicji przestrzeni nuklear-
nych. Przypomnijmy najprostszą z nich. Lokalnie wypukłą przestrzeń Hausdorffa Xnazy-
wamy przestrzenia nuklearną, jeżeli każdy szereg bezwarunkowo zbieżny jest zbieżny bez-
względnie (bez założenia, że przestrzeń jest Hausdorffa wymagane są dodatkowe definicje
11
wstępne). Taką przestrzenią jest np. C∞(X). Przy wcześniej wprowadzonych oznaczeniach
Banaszczyk w pracy [2] udowodnił, że jeżeli Xjest przestrzenią nuklearną oraz szereg wa-
runkowo zbieżny ∞
P
n=1 xnma sumę s, to zbiór wszystkich sum tego szeregu jest postaci (4),
czyli zachodzi pierwsza część twierdzenia Levy’ego-Steinitza. Ponadto, jeżeli przestrzeń me-
tryzowalna lokalnie wypukła nie jest nuklearna, to zawiera szereg zbieżny ∞
P
n=1 xn, dla którego
nie zachodzi warunek (4) (zob. [3]). Można powiedzieć, że oba twierdzenia stanowią waru-
nek konieczny i dostateczny na to, żeby przestrzeń Xbyła nuklearna. Przez analogię do
twierdzenia Riemanna, w pracy [4] wynik ten został nazwany twierdzeniem Banaszczyka o
tasowaniu (Banaszczyk’s rearrangement theorem).
Wiele wyników związanych z szeregami warunkowo zbieżnymi uzyskał Roman Wituła. Od
ponad 20 lat zajmuje się on permutacjami ciągów i szeregów, między innymi permutacjami
zbieżnymi, rozbieżnymi, zachowującymi sumę oraz wzmocnieniami twierdzenia Riemanna.
Chciałybyśmy przedstawić tylko kilka uzyskanych przez niego rezultatów (więcej informacji
można znaleźć w jego autoreferacie [36]). Jedne z pierwszych jego wyników pochodzą z pracy
[34] z 1995 roku, w której Wituła zajmował się permutacjami rozbieżnymi.
Permutację π∈ P nazywamy zbieżną, jeżeli dla każdego szeregu zbieżnego warunkowo
∞
P
n=1 anszereg ∞
P
n=1 aπ(n)jest zbieżny (rodzinę takich permutacji oznaczamy przez C). Permuta-
cję π∈ P nazywamy rozbieżną, jeżeli istnieje przynajmniej jeden szereg zbieżny warunkowo
∞
P
n=1 antaki, że szereg ∞
P
n=1 aπ(n)jest rozbieżny (rodzinę takich permutacji oznaczamy przez D).
Będziemy pisać π∈ DD wtedy i tylko wtedy, gdy ⇐⇒ π∈ D∧π−1∈ D (jeśli π∈ D∧π−1∈ C,
to wówczas piszemy π∈ DC).
W pracy [34] Wituła udowodnił, że w drugiej części twierdzenia Riemanna o tasowaniu,
permutacja πmoże być tak wybrana, że π∈ DD. W 2012 roku pokazał, że przy dodatkowych
założeniach można ją wybrać tak, aby π∈ DC ([35]).
Wkład polskich matematyków w rozwój teorii związanych z twierdzeniami o tasowa-
niu jest znaczący. Warto zauważyć, że zagadnienia te w dalszym ciągu pozostają w sferze
zainteresowań wielu polskich naukowców, są badane i rozwijane. Tematyka szeregów warun-
kowo i bezwzględnie zbieżnych jest obecnie rozwijana w Łodzi (tzw. zbiorami osiągalnymi
A(xn) = {Pn∈Axn:A⊂N}zajmują się m. in. Artur Bartoszewicz, Szymon Głąb, Małgo-
rzata Filipczak), w Szczecinie (Franciszek Prus-Wiśniowski), w Gliwicach (Roman Wituła,
Edyta Hetmaniok, Konrad Kaczmarek), w Gdańsku (Rafał Filipów, Piotr Szuca, Paweł Klin-
ga).
Podziękowania: Chciałybyśmy podziękować dr Danucie Ciesielskiej za skierowanie na-
szej uwagi na twierdzenie Riemanna o tasowaniu, co stało się inspiracją do powstania niniej-
szego artykułu.
Literatura
[1] T. Banakh, A simple inductive proof of Lev’y-Steinitz theorem, https://arxiv.org/
pdf/1711.04136.pdf, data dostępu 28.07.2018.
[2] W. Banaszczyk, The Steinitz theorem on rearrangement of series for nuclar spaces, J.
Reine Agnew. Math. 403 (1990), 187–200.
12
[3] W. Banaszczyk, Rearrangement of series in nonnuclar spaces, Studia Mathematica 107
(3) (1993), 213–222.
[4] J. Bonet, The Levy-Steinitz rearrangement theorem for duals of matrizable spaces, Israel
Journal of Mathematics, 117, 131–156.
[5] I. Damsteeg, I. Halperin, The Steinitz-Gross theorem on sums of vectors, Trans. Royal
Soc Canada Sect. III. 44, series 3 (1950), 31–35
[6] P. Lejeune-Dirichlet Sur la convergence des séries trigonométriques qui servent a re-
présenter une fonction arbitraire entre des limites données, Journal für die reine und
angewandte Mathematik 4 (1829), 157–169, https://arxiv.org/pdf/0806.1294.pdf
[7] A. Dworetzky, C. A. Rogers, Absolute and unconditional convergence in normed spaces,
Proc. Nat. Acad. Sci. USA 36 (1950), 192–197.
[8] R. Filipów, P. Szuca, Rearrangement of conditionally convergent series on a small set,
Journal of Mathematical Analysis and Applications Volume 362, Issue 1 (2010), 64–71.
[9] W. Groß, Bedingt konvergente Reihen, Monatshefte für Mathematik und Physik, De-
cember 1917, Volume 28, Issue 1, 221–237
[10] M. I. Kadec, K. Woźniakowski, On Series Whose Permutations Have only Two Sums,
Bulletin of the Polish Academy of Science Mathematics (1989), Vol. 37, no. 1–6.
[11] V. M. Kadets, A Problem of S. Banach (Problem 106 from the “Scottish Book”), Funkt-
sional. Anal. i Prilozhen vol. 20(4) (1986), 74–75 (wersja angielska: Functional Analysis
and Its Applications (1986), 20:4, 317–319).
[12] M. I. Kadets, V. M. Kadets, Series in Banach spaces: conditional and unconditional
convergence, Operator Theory: Advances and Applications vol. 94, Basel, Boston, Berlin,
Birkhaeuser 1997, s. 156.
[13] P. Klinga, Rearranging series of vectors on a small set, Journal of Mathematical Analysis
and Applications 424 (2015), 966–974.
[14] M. Kordos, Wykłady z historii matematyki, Script Warszawa, 2005.
[15] P. A. Kornilov, On rearrangements of conditionally convergent functional series, Mat.
Sb. (N.S.) 113 (1980), 598–616 (Russian).
[16] Księga Szkocka, http://kielich.amu.edu.pl/Stefan_Banach/pdf/ks-szkocka/ks-
szkocka1pol.pdf, data dostępu 27.07.2018.
[17] P. Lévy Sur les séries semi-convergentes, Éléve de l’École Polytechnique, (1905), 506–
511.
[18] L. Maligranda, Szeregi w pracach Eulera,https://www.researchgate.net/
publication/290759572_SZEREGI_W_PRACACH_EULERA, data dostępu: 24.07.2018.
[19] R. D. Mauldin, The Scottish Book. Mathematics from The Scottish Café, with selected
Problems from The New Scottish Book, Springer, 2015.
13
[20] C. W. McArthur, On unconditional summability of sequences in semigroups with a to-
pology, Tulane University (1954).
[21] J. Mioduszewski, Newton i źródła jego matematyki, Matematyka dawniej i dziś, http:
//www.math.us.edu.pl/ztg/mioduszewski/newton.pdf, data dostępu 07.08.2018.
[22] E. M. Nikishin, Rearrangements of function series, Mat. Sb. (N.S.) 85 (1971), 272–285;
English transl.: Math. USSR-Sb. 14 (1971), 267–280.
[23] W. Orlicz, Beiträge zur Theorie der Orthogonalentwicklungen II, Studia Math. 1 (1929),
241–255.
[24] W. Orlicz, Über unbedingte Konvergenz in Funktionenräumen (II), Studia Math. 4
(1933), 41–47.
[25] M. I. Ostrovskii, Domains of sums of conditionally covergents series in Banach spaces,
Teor. Funktsii Funktsional. Anal. i Prilozhen. 46 (1986), 77–85 (Russian).
[26] B. Riemann Uber die Darstellbarkeit einer Function durch eine trigonometrische
Reihe, (1866), https://www.emis.de/classics/Riemann/Trig.pdf, data dostępu
25.07.2018.
[27] P. Rosenthal, The Remarkable Theorem of Levy and Steinitz,The American Mathema-
tical Monthly, Vol. 94, No. 4 (Apr. 1987), 342–351.
[28] C. Rousseau, Divergent Series: past, present, future,https://arxiv.org/abs/1312.
5712, data dostępu 28.07.2018.
[29] W. Sierpiński, Uwaga do twierdzenia Riemanna o szeregach warunkowo zbieżnych, Prace
Matematyczno-Fizyczne XXI (1910), 17–20.
[30] W. Sierpinski, Sur une propriété des séries qui ne sont pas absolument convergentes,
Bull. Intern. Acad. Sci.: Cracovie A (1911), 149–158.
[31] E. Steinitz Bedingt konvergente Reihen und konvexe Systeme, Journal für die reine und
angewandte Mathematik (1913), Volume: 143, 128–176.
[32] S. Ulam, A collection of mathematical problems, Interscience Publishers, New York,
1960.
[33] W. Wilczyński, On Riemann derangement theorem, Słupskie Prace Matematyczno-
Fizyczne 4 (2007), Akademia Pomorska, Słupsk, 79–82.
[34] R. Wituła, The Riemann theorem and divergent permutations, Colloquium Mathemati-
cae, Vol. LXIX, Fasc.2 (1995), 275–287.
[35] R. Wituła, The Riemann derangement theorem and divergent permutations, Tatra Mo-
untains Mathematical Publications 52 (2012), 75–82.
[36] R. Wituła, Autoreferat,http://news.math.uni.lodz.pl/wp-content/uploads/
2012/11/Autoreferat-dr-R.-Witu\T1\la.pdf, data dostępu 6.04.2018.
14
[37] R. Wituła, E. Hetmaniok, K. Kaczmarek, On series whose rearrangements possess di-
screte sets of limit points, Journal of Applied Analysis vol. 20, nr 1, 2014, s. 93–96.
[38] J. O. Wojtaszczyk, A series whose sum range is an arbitrary finite set, Studia Math.
171 (2005), no. 3, 261–281.
Izabela Jóźwik
Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki, Politechnika Łódzka
al. Politechniki 11, 90-924 Łódź
e-mail:izabela.jozwik@p.lodz.pl
Małgorzata Terepeta
Politechnika Łódzka
Center of Mathematics and Physics, al. Politechniki 11
Institute of Mathematics, ul. Wólczańska 215
Lodz University of Technology, 90-924 Łódź
e-mail:malgorzata.terepeta@p.lodz.pl
15
