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BewertungsPraktiker Nr. 02 27.05.2019
Aufsatz
Der Beitrag ist der Frage gewidmet, wie die durch Abschrei-
bungen ausgelösten Steuereffekte barwertkompatibel in die
Rentenformel integriert werden können, ohne sie separat zu
planen bzw. zu bewerten. Untersucht wird dabei, ob die Ab-
schreibungen in Prozent der Investition im ersten Planjahr for-
muliert werden können und wie mit den Abschreibungen auf
den Sachanlagenbestand zu Beginn der Rentenphase, den Ab-
schreibungen auf die für die Rentenphase erwarteten Investi-
tionen und den Abschreibungen von zyklischen Investitionen
umzugehen ist.
I. Problemstellung
In der Unternehmensbewertungspraxis werden die rele-
vanten Überschüsse häufig für drei bis fünf Jahre detailliert
geplant. Dieser Detailplanungszeitraum mündet entweder
in eine Konvergenzphase („Grobplanungsphase“) oder
unmittelbar in die Phase der ewigen Rente. Die für die
Rentenphase erwarteten Überschüsse (Terminal Value)
werden unter Rückgriff auf die Rentenformel, zumeist mit
Berücksichtigung einer konstanten Wachstumsrate, bewer-
tet. Vernachlässigt man Inflation, persönliche Steuern, Net
Working Capital und Details, könnte man dazu neigen, ein
eigenfinanziertes Unternehmen zu Beginn der Rentenphase
(t = 0) bei konstantem, für alle Teilzahlungsströme geltenden
Diskontierungssatz r zu bewerten mit:1
111
0
1 (1)
()
CC
EBITDACapexDep
V.
rg
tt-- +
=-
Diese Formel unterstellt, dass – blendet man kompensierende
Effekten aus – alle Bestandteile des Überschusses in der Ren-
tenphase mit der Rate g wachsen.
Der vorliegende Beitrag wird sich nur mit der Bewertung der
abschreibungsbedingten Steuereffekte bei gegebener Investi-
tionsplanung befassen. Zu berücksichtigen ist (nicht nur) in
einer Welt mit Wachstum u.a., dass Abschreibungen – sieht
man von Sofortabschreibungen ab – verzögert einsetzen. Auch
sind die Abschreibungen auf den Bestand an Sachanlagen
zu Beginn der Rentenphase relevant. Ein Befüllen der Glei-
chung (1) mit der für das erste Jahr der Rentenphase geplanten
Abschreibung wird daher den Anforderungen vieler Bewer-
tungsfälle nicht gerecht.
Man kann diesem Problem aus dem Weg gehen, indem man die
Steuerwirkungen der Abschreibungen separat plant:
1 Mit: V0: Unternehmenswert bei Eigennanzierung; τC: Unternehmensteuersatz; Capex: Inves-
titionsauszahlung; Dep: Abschreibung; r: Eigenkapitalkosten bei Eigennanzierung; g: Wachs-
tumsrate.
Entsprechende Modellierungen bei unterschiedlichen
Abschreibungs- und Investitionsverläufen finden sich z.B. bei
Dirrigl.2 Die Steuereffekte der Abschreibung sind dabei sepa-
rat zu planen, sofern Investitionen und Abschreibungen (im
unten zu beschreibenden Sinne) noch nicht eingeschwungen
sind. Der rechte Term in Gleichung (2) lässt sich in den Zähler
der Rentenformel einbinden. Dazu sind die Steuereffekte in
einer Nebenrechnung zu bewerten und durch Multiplikation
mit dem Nenner des ersten Terms (r – g) in den Zähler zu
heben. Man darf vermuten, dass dieser (bei Nicht-Aufdeckung
der Nebenrechnung) intransparenten Vorgehensweise in
manchem Bewertungsfall gefolgt wird. Da dazu der Barwert
bekannt sein muss, kann er auch unmittelbar wie i n Gleichung
(2) in den Unternehmenswert eingehen. Nützlich scheinen
daher nur Formulierungen, die keine separate Planung der
Abschreibungen bzw. der zugehörigen Steuereffekte erfordern.
Darum geht es mir hier.
Der vorliegende Beitrag ist also der Frage gewidmet, wie die
durch Abschreibungen ausgelösten Steuereffekte barwert-
kompatibel in den Zähler zu integrieren sind, ohne sie separat
zu planen bzw. zu bewerten.
Untersucht wird zunächst, ob die Abschreibungen in Prozent
der Investition im ersten Planjahr formuliert werden können
(Abschn. II.). Dieser Ansatz ist von begrenztem Nutzen, da
zwischen den Abschreibungen auf den Sachanlagenbestand
zu Beginn der Rentenphase (Abschn. III.1.) und den Abschrei-
bungen auf die in der Rentenphase erwarteten Investitionen
(Abschn. III.2.) zu differenzieren ist. In Abschn. III.3. wird
auf das Vorgehen bei zyklischen Investitionen eingegangen.
Abschn. IV. enthält die Folgerungen.
II. Abschreibungen in Prozent der Investitionen in der
Rentenphase
Kann man die Abschreibungen unmittelbar über einen Faktor
d an die Investitionsauszahlung im ersten Jahr der ewigen
Rente andocken, also eine Formel
11
0
1)
() ( )1 (3
CC
EBITDA Capexd
Vrg
tt-- -
=-
einsetzen?
Zur Beantwortung der Frage werden zunächst die Investitio-
nen und die zugehörigen Abschreibungen in der Rentenphase
(Neuinvestitionen bzw. Neuabschreibungen) adressiert. Es
wird eine lineare, die unternehmensteuerliche Bemessungs-
grundlage verkürzende Abschreibung unterstellt, die im Jahr
nach der Investition zum ersten Mal anfällt.
Zuerst wird von einem Planjahr T der Rentenphase unter der
Nebenbedingung 0 < T ≤ ND ausgegangen. ND bezeichnet die
2 Vgl. Dirrigl, Die Bewertung von Beteiligungen an Kapitalgesellschaften, 1988, Kapitel 7. Vgl.
auch z.B. Henselmann, FB 2000 S. 151-157; IDW (Hrsg.) Bewertung und Transaktionsberatung,
2018, Kap. A, Rn. 437 .
»BWP1301345
Prof. Dr. Andreas Schüler, München
Zur Abbildung von Abschreibungen und deren
Steuerwirkungen im Terminal Value
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BewertungsPraktiker Nr. 02 27.05.2019
Aufsatz
betriebsgewöhnliche Nutzungsdauer. In T fallen Abschreibun-
gen auf die in der Rentenphase bis dahin aufgelaufenen (Neu)
Investitionen an. Ausgehend von der Investitionsauszahlung
in Planperiode T lassen sich die Investitionen der Vorperioden
durch entsprechendes Zurückrechnen mit Hilfe der Wachs-
tumsrate ermitteln und die Abschreibungssumme in T folgt
aus:
()
1
1
1
11
11 (4)
1(1
() ()
)
T
TT
T
T
T
Capexg Capexg
Dep...
ND ND
Capex ... .
ND g g
--
-
-
++
=++
éù
êú
=++
êú
+
+
êú
ëû
Die formale Verdichtung folgt den Rechenregeln zur Ver-
arbeitung einer geometrischen Folge, wie man sie z.B. von
der Herleitung von Rentenbarwertfaktoren kennt.3 Die Idee
dabei besteht im Kern darin, vom Barwert der ewigen Rente
den Barwert der ewigen Rente ab der relevanten Periode zu
subtrahieren. Übertragen auf das hier diskutierte Problem,
d.h. unter Rückgriff auf die Wachstumsrate und nicht den
Diskontierungssatz wie bei Rentenbarwertfaktoren, folgt:
1
11
11 1111
(
1(5)
()
1) ()1
T
T
TTT
T
Depg
d.
CapexNDg ND
ggg
-
--
éù
+-
êú
==-=
êú
++
ëû
Ohne Differenzierung zwischen Nutzungsdauer und T
ist diese Formel in der Literatur zu finden.4 Damit ist die
Annahme eines eingeschwungenen Zustands verbunden.
Denn die z.B. für das Planjahr 1 erwartete Investition führt
erst im Planjahr 2 z u einer Abschreibung. Der Abschreibungs-
faktor gem. Gleichung (5) für T = 1 wäre null und Gleichung
(3) nicht einsetzbar.
Erst für alle Planjahre nach dem durch die Nutzungsdauer
festgelegten Prognosehorizont (T > ND), ist in der Definition
des Abschreibungsfaktors der Exponent T – 1 durch ND zu
ersetzen. Der Abschreibungsfaktor ist konstant, kann in die
Rentenformel eingesetzt und mit der Investitionsauszahlung
multipliziert werden. Eine separate Planung der Abschreibun-
gen und eine Bewertung der zugehörigen Steuereffekte ist ab
dann zwar nicht mehr erforderlich, zuvor aber schon, da der
Faktor noch nicht konstant ist.
Die Abschreibungen auf den Anfangsbestand des Sachanlage-
vermögens zu Beginn der Rentenphase tauchten bisher nicht
auf. Wenn die Nutzungsdauer der dieses Anlagevermögen
begründenden Investitionen ND entspricht, laufen die zugehö-
rigen Abschreibungen in ND Planjahren der Rentenphase aus
und d kann ab T = ND +1 eingesetzt werden.5
3 Bitz/Ewert/Terstege, Investition: Multimediale Einführung in nanzmathematische Entschei-
dungskonzepte, 3. Au. 2018, S. 47, schreiben die Herleitung dem „kleinen Gauss“, gemeint ist
Carl Friedrich Gauß in jungen Jahren, zu; vgl. auch Kruschwitz, Finanzmathematik, 5. Au. 2010,
S. 254.
4 Vgl. insb. Dirrigl, a.a.O. (Fn. 2), S. 487; dort nden sich auch weitere Ausarbeitungen z.B. hin-
sichtlich der Abbildung degressiver Abschreibungen; vgl. auch Dirrigl, in: Kruschwitz (Hrsg.),
Ergebnisse des Berliner Wo rkshops Unternehmensbewertung vom 07.02.1998, 1998, S. 10;
Meitner, in: Peemöller (Hrsg.), Praxishandbuch der Unternehmensbewertung, 6. Au. 2015,
S. 668.
5 Die Abschreibungen auf die Investitionen in T = 0 sind die letzten Abschreibungen auf Altanla-
gen, die in der Rentenphase, und zwar in Periode ND anfallen.
Der Faktor d ist also nur bedingt nutzbar, da die Integration
dieses Faktors in den Zähler der Rentenformel erst für den
eingeschwungenen Zustand und nach Erfassung der letzten
Altabschreibung möglich ist.
Ist eine Anwendung der Rentenformel unmittelbar im
Anschluss an das Ende der Detailplanungsphase vorgese-
hen, wird eine Formulierung benötigt, die die Abschrei-
bungsplanung und die damit verbundenen Steuereffekte
barwertäquivalent abbildet. Deren Herleitung wenden wir
uns nun zunächst für Alt- und dann für Neuabschreibungen
zu.
III. Barwertäquivalente Erfassung von Alt- und
Neuabschreibungen in der Rentenformel
1. Abschreibungen auf den Anfangsbestand des Anlagever-
mögens (Altabschreibungen)
Sofern es die Datenlage im Bewertungsfall zulässt, kann man
die Abschreibungen auf den zu Beginn der Rentenphase noch
nicht abgeschriebenen Stand des Anlagevermögens bzw. die
zugehörigen Steuereffekte explizit in einer Nebenrechnung
planen. Der resultierende Barwert der Steuereffekte kann über
Multiplikation mit dem Nenner der Rentenformel in deren
Zähler gehievt werden.
Sollte dies im Einzelfall nicht möglich oder nicht notwendig
sein, kann auf Vereinfachungen zurückgegriffen werden. Man
könnte z.B. annehmen, dass der gesamte Anfangsbestand des
abzuschreibenden Sachanlagevermögens, bezeichnet mit
Assets0, linear über die Nutzungsdauer ND abgeschrieben
wird. Realitätsnäher ist aber die Annahme, dass die Assets0
aus mehreren, unterschiedlich stark abgeschriebenen Teilen
bestehen (gestaffelte Abschreibung).
Die herzuleitende Formulierung soll mit dem Barwert der
Steuereffekte (VTS) auf die Altabschreibungen (Depold) kom-
patibel sein. Dieser Barwert ist für die vereinfachende, lineare
Abschreibung der gesamten Assets0 unter Rückgriff auf den
Rentenbarwertfaktor RBF bei Nullwachstum wie folgt defi-
niert:
Im Folgenden wird angenommen, dass sich das relevante Anla-
gevermögen (Assets0) aus unterschiedlich stark abgeschriebe-
nen Bestandteilen zusammensetzt (gestaffelte Abschreibung).
Hier sind viele Konstellationen denkbar. Es wird hier unter-
stellt, dass die Assets0 über die zurückliegenden ND Jahre
von einer Investition jeweils gleicher Höhe (Capex*) gespeist
worden sind. Für die ä lteste Investition s teht beim Übergang in
die Rentenphase noch eine Abschreibung, im Planjahr 1, aus,
die jüngste, in t = 0 erfolgende Investition ist noch, über ND
Planjahre, abzuschreiben. Die implizierte Investitionsauszah-
lung ist (vgl. Anhang):
0
2(7)
1
Assets
Capex* .
ND
=+
Es lässt sich zeigen, dass der Barwert der resultierenden
abschreibungsbedingten Steuereffekte ohne großen Aufwand
ermittelt werden kann (vgl. Anhang):
42
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BewertungsPraktiker Nr. 02 27.05.2019
Aufsatz
01
1().(8)
old
ND,r
TS,Dep, C
CND,r
Capex* RBF
V
rND
Capex* RBFDep*
r
t
t
æö
÷
ç÷
=-
ç
÷
ç
÷
ç
èø
=-
Dabei bezeichnet Dep* die lineare Abschreibung der Capex*.
Der Abschreibungsverlauf muss nicht explizit modelliert
werden. Gleichung (8) lässt sich mit Gleichung (7) alternativ
formulieren:
0
0
21(9)
(1 )
old
ND,r
TS,Dep, C
Assets RBF
V.
ND rND
t
æö
÷
ç÷
=-
ç
÷
ç
÷
ç
+
èø
Der Barwert der abschreibungsbedingten Steuereffekte lässt
sich für beide betrachteten Abschreibungsmuster (Gleichun-
gen (6) und (8)) durch Multiplikation mit dem Nenner in Glei-
chung (3) in einen barwertäquivalenten Überschussbestand-
teil, definiert als Unternehmensteuersatz multipliziert mit
der barwertäquivalenten Abschreibung (Depequiv,old), umfor-
mulieren, der in den Zähler der Rentenformel aufgenommen
werden kann:
01
( ). (10)
TS,Dep,old, Cequiv,old,
VrgDep
t-=
Damit geht ein Barwert in den Zähler der Rentenformel ein.
Man kann diese Vorgehensweise als redundant empfinden, da
man den ohnehin zu berechnenden Barwert auch unmittelbar
als Bewertungsteilergebnis verwenden kann. Zumindest muss
der Abschreibungsverlauf aber nicht modelliert und die Ren-
tenformel kann verwendet werden:
Nun sind noch die Abschreibungen auf die Neuinvestitionen
(Depnew) in den Zähler der Rentenformel einzufügen.
2. Abschreibungen auf jährliche Neuinvestitionen (Neuab-
schreibungen)
Zum Barwert der Steuereffekte auf die in T = 2 beginnenden
linearen Abschreibungen der Neuinvestition in T = 1 gelangt
man nach Multiplikation des jährlichen Steuereffekts mit dem
Rentenbarwertfaktor. Für eine ewige Reihe von mit g wachsen-
den Neuinvestitionen folgt:
11
0
1(12)
new
TS,Capex
TS,Dep, CND,r
VCapex
VRBF .
rg ND rg
t==
--
Mit (10) gelangt man zum barwertäquivalenten Abschrei-
bungsfaktor dequiv,new, der in den Zähler der Rentenformel über
die Multiplikation mit Capex1 integriert werden kann:
(13)
ND,r
equiv,new
RBF
d.
ND
=
Mit diesem Faktor ist die Neuinvestition im ersten Planjahr
der Rentenphase zu multiplizieren, um den äquivalenten, mit
g wachsenden Abschreibungsbetrag in t = 1 zu erhalten. So
können auch die Neuabschreibungen bzw. die entsprechenden
Steuereffekte in den Zähler der Rentenformel aufgenommen
werden:
1
1
0
1
1.(14
(
)
)
()
CCequiv,old
Cequiv,new
EBITDA Dep
Capexd
Vrg
tt
t
-+
--
=-
Eine explizite Abschreibungsplanung und eine Bewertung der
zugehörigen Steuereffekte können unterbleiben.
Als Zwischenergebnis kann festgehalten werden, dass die
Anwendung des im Abschn. II. besprochenen Produkts
aus d und Capex1 nur dann zum richtigen Ergebnis führt,
wenn es der Summe aus äquivalenten Altabschreibungen
zuzüglich der Abschreibungen der seit dem Beginn der Ren-
tenphase bis zum Vor-Planjahr angefallenen Investitionen
entspricht. Dies ist dann der Fall, wenn Abschreibungen
auf Investitionen der Detailplanungsphase ausgelaufen
und Neuinvestitionen über einen Zeitraum von mindes-
tens ND Planjahren angefallen sind. Wenn man aber die
Rentenformel unmittelbar zum Beginn der Rentenphase
anwenden will, ist eine Berücksichtigung der äquivalenten
Altabschreibungen (Abschn. III.1.) in Kombination mit
einer barwertkompatiblen Verarbeitung aller weiteren
Investitionen (Abschn. III.2.), resultierend in Gleichung
(14), zu empfehlen.
3. Abschreibungen auf zyklische Investitionen (Neuab-
schreibungen)
Nun wird – ergänzend zu kontinuierlichen, gem. den A usfüh-
rungen in Abschn. III.2. abzubildenden Investitionen – ein
konstanter Investitionszyklus betrachtet, der alle ND Jahre,
beginnend im ersten Jahr der Rentenphase, eine Investition
erfordert. Die Zykluslänge entspreche der betriebsgewöhn-
lichen Nutzungsdauer. Sollte dies im Einzelfall anders sein,
sind die formalen Zusammenhänge anzupassen. Für die
Abschreibungen der ersten Investition bzw. die zugehö-
rigen Steuereffekte kann grds. auf den in Gleichung (13)
dargestellten Faktor dequiv,new zurückgegriffen werden. Da
aber ein ewig wiederkehrender Zyklus von Investitionen
erwartet wird, tritt an die Stelle der für das Jahr 1 geplanten
Investition ein äquivalenter Investitionsbetrag CapexCycle.6
Es wird hier entsprechend einer Gleichung bei Dirrigl7 auf
einen über ND „kumulierten“ Diskontierungsfaktor und
eine „kumulierte“ Wachstumsrate zur Abzinsung der in
einem ewigen Zyklus anfallenden Investitionen zurückge-
griffen. Da die Division von Capex1 durch die Differenz zwi-
schen „kumulierten“ Diskontierungssatz und „kumulierter“
Wachstumsrate (Nenner) zu einer Abzinsung auf t = – (ND
– 1) führt, ist auf t = 0 aufzuzinsen (Zähler). Schließlich ist
dieser Barwert durch Multiplikation mit der Differenz aus
Diskontierungssatz und Wachstumsrate zu annualisieren,
und man erhält:
6 Vgl. zu einem ähnlichen Problem bei der Erfassung von nicht-kontinuierlichen Investitionen
(„lumpy“ capital expenditures) Holthausen/Zmijewski, Corporate Valuation: Theory, Evidence &
Practice, 2014, S. 227-230.
7 Vgl. Dirrigl, a.a.O. (Fn. 2), S. 473; vgl. auch Henselmann, FB 2000 S. 154.
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Auf diesen äquivalenten Investitionsbetrag ist in der Ren-
tenformel zurückzugreifen. Um eine barwertäquivalente
Abbildung der Steuereffekte auf die Abschreibungen von
zyklischen Investitionen im Zähler der Rentenformel
sicherzustellen, ist der Abschreibungsfaktor dequiv,new mit
diesem Investitionsbetrag zu verknüpfen. Fasst man die
äquivalente Investitionsauszahlung und den Steuereffekt
auf die Abschreibung zusammen, resultiert folgender Term,
der in den Zähler der Rentenformel mit negativem Vorzei-
chen eingeht:
)1. (16)(
equiv,Cycle Cequiv,new
Capexdt-
Auch hier ist eine Ausformulierung des Abschreibungsverlaufs
unnötig.
IV. Folgerungen
Der Beitrag ist einem Ausschnitt der Bewertung einer ewigen
Rente, der barwertäquivalenten Abbildung von Abschrei-
bungen bzw. der damit verbundenen Steuerwirkungen,
gewidmet. Die separate Bewertung dieser (und anderer)
Effekte ist möglich. In der praktischen Anwendung über-
wiegt wohl der Rückgriff auf die Rentenformel. Die barwer-
täquivalente Integration der Effekte in die Rentenformel
erfordert ein paar finanzmathematische Handgriffe. Beim
Andocken der Abschreibungen an die Investitionen des
ersten Planjahres über einen Faktor d ist zu beachten, dass
damit die Abschreibungen auf den Sachanlagebestand zu
Beginn der Rentenphase nicht erfasst werden und dieser
Faktor zunächst über einige Planjahre nicht konstant ist.
Er ist erst dann anwendbar, wenn (1) seit Beginn der Ren-
tenphase über einen Zeitraum, der der Nutzungsdauer
entspricht, jährliche Investitionen angefallen, Investitionen
und Abschreibungen in diesem Sinne eingeschwungen sind,
und (2) Altabschreibungen, die regelmäßig von den Neuab-
schreibungen abweichen, ausgelaufen sind. Nützlicher sind
barwertäquivalente Formulierungen, die eine konsistente
Integration der Abschreibungs- bzw. Steuereffekte im Zähler
der Rentenformel ermöglichen. Die Abschreibungen auf zum
Bewertungsstichtag bereits vorliegendes Anlagevermögen
können ganz unterschiedlich verlaufen. Formal verdichtet
werden hier zwei Fälle beschrieben. Die barwertäquivalente
Verdichtung ist nicht nur für die abschreibungsbedingten
Steuereffekte ausgelöst durch kontinuierliche Investitionen
wie z.B. laufende Erweiterungs- und Ersatzinvestitionen,
sondern auch für die durch zyklische Neuinvestitionen aus-
gelösten Effekte möglich.
V. Anhang
1. Herleitung der Gleichung (7)
Die Assets zu Beginn der Rentenphase resultieren aus den
(als konstant unterstellten) Investitionen der Vorjahre. Für
die älteste Investition ist noch eine Abschreibung offen
(erster Term auf der rechten Seite der folgenden Gleichung),
die älteste, in t = 0 erfolgende Investition ist noch voll abzu-
schreiben:
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BewertungsPraktiker Nr. 02 27.05.2019
Aufsatz
folgt (I)
2
1 1() 2
ND tND
t
tr xx... NDx .
-
=+=+++
å
Multipliziert man (I) mit x, folgt (II):
23 1
1
1 )2(
ND tND
t
xtrxx... NDx .
-+
=+=+++
å
Zieht man (II) von (I) ab, erhält man:
23 1
1
1
() ()
(24)
1 1 ND ND
ND
ND,
ND t
t
r
xx x... xNDx
RBFND
xt
x
r
.
+
+
-
==+ +++-
=-
-+
å
Ersetzen von x und Umformung führt zu:
()
1
1
1
1 1 (25)() ()
ND ND
tND,r
t
r
tr RBFNDr .
r
-+
-
=
+
éù
+= -+
êú
ëû
å
Eingesetzt in (22):
()
1
0
(1)
1
()
1(26)
()
1
1
old
ND,r
ND
TS,Dep, C
ND,r
CND,r ND
RBFND
Capex* r
V
RBFND
ND r
Capex* ND
RBFND.
ND r
r
rr
t
t
-+
ìü
ïï
+
ïï
ïï
+
=
íý
éù
--
ïï
êú
ïï
ëû
ïï
îþ
éù
æö
êú
÷
ç÷
=-+
ç
êú
÷
ç
÷
ç
èø
êú
+
+
ëû
Über
)
() (
1
))
1111
(27
111(
ND,r ND ND ND
RBF
rr
rr rr rr
+=-+=
+++
folgt Gleichung (8).
Prof. Dr. Andreas Schüler ist Inhaber der Professur
für Finanzwirtschaft und Finanzdienstleistungen an der
Universität der Bundeswehr, München.
Kontakt: autor@cf-fachportal.de
Der Klammerterm in Gleichung (17)entspricht einer endlichen
Reihe mit ND Gliedern beginnend mit 1 (Variable a) und mit
einer Schrittlänge von 1 (Variable d). Die Summe dieser Reihe
ist definiert mit:8
= [2( 1) ](1).(18)
22
ND ND
aNDd ND-= +
å
Aus der Kombination der Gleichungen (17) und (18) folgt:
0
0
1(1 )
2
2(19)
1
Assets Capex* ND
Assets
Capex* .
ND
=+
=
+
Die Summe der Altabschreibungen in einem Planjahr der Ren-
tenphase (T < ND) lässt sich wie folgt berechnen:
[(1)]. (20)
old,T
Capex*
DepNDT
ND
=--
2. Herleitung der Gleichung (8)
Mit (20) lässt sich der Barwert der abschreibungsbedingten
Steuereffekte schreiben als:
01(([(t1)] 1 21))
old
ND t
TS,Dep, C t
Capex*
VNDr.
ND
t-
=
=--+
å
Die von t unabhängigen Elemente in der eckigen Klammer
lassen sich separieren, und man erhält:
01
1 1(22)() ()
old
ND t
TS,Dep, CND,r t
Capex*
VRBF ND tr.
ND
t-
=
éù
=+-+
êú
ëû
å
Der Term
1 )1(
ND t
t
tr
-
=+
å
lässt sich über die verbreitete Vorgehensweise zur Herleitung
von Barwertfaktoren vereinfachen:9
2
1
12
1 (23)
11
() () (1 )
ND t
ND
t
ND
tr ... .
rrr
-
=
+= +++
+
++
å
Mit
1
1
xr
=+
8 Vgl. z.B. Pfu, Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler 1, 3. Au. 1983, S. 37; Kruschwitz,
a.a.O. (Fn. 3), S. 254.
9 Vgl. Kruschwitz, a.a.O. (Fn. 3), S. 260 f.; Schüler, Finanzmanagement mit Excel: Grundlagen und
Anwendungen, 2. Au. 2016, S. 84 f.