Content uploaded by Olexii Bialobrzheskyi
Author content
All content in this area was uploaded by Olexii Bialobrzheskyi on Oct 25, 2019
Content may be subject to copyright.
Available via license: CC BY
Content may be subject to copyright.
Энергетика. Изв. высш. учеб. заведений и энерг. объединений СНГ. Т. 62, № 5 (2019), с. 433–444
Enеrgеtika. Proс. СIS Higher Educ. Inst. аnd Power Eng. Assoc. V. 62, No 5 (2019), pр. 433–444 433
https://doi.org/10.21122/1029-7448-2019-62-5-433-444
УДК 621.317.38
Искажающая электрическая мощность
переменного тока в простейшей цепи с диодом
А. В. Бялобржеский1), Д. Й. Родькин1)
1)Кременчугский национальный университет имени Михаила Остроградского (Кременчуг,
Украина)
© Белорусский национальный технический университет, 2019
Belarusian National Technical University, 2019
Реферат. Развитие электроэнергетики сопровождается увеличением количества потребите-
лей, имеющих в своем составе нагрузки с нелинейными характеристиками. Возникающая
проблема искажения электрической энергии при работе указанных потребителей частично
решается применением средств повышения качества электрической энергии. Увеличение
доли малых генерирующих установок, размещаемых в узлах потребителей, усугубляет вза-
имодействие нелинейных нагрузок, образуя дополнительные параллельные потоки элект-
рической энергии. Искаженная электрическая энергия не является учетным показателем.
Существующие взгляды на искажающую мощность поддаются критике. В известных рабо-
тах обоснованы предложения по оценке мощности с использованием ее квадратичной нор-
мы и квадратичных норм ее компонент. Для анализа процессов формирования компонент
электрической мощности рассмотрена схема простейшей цепи, содержащая последователь-
но соединенные источник электродвижущей силы, резисторы и диод, с условным разделе-
нием схемы на источник и потребитель. Используя выражения тока и напряжения как пери-
одических функций, представленных посредством тригонометрической формы рядов
Фурье, выполнен анализ формирования мощности каждого элемента схемы. Разделены
компоненты мощности с использованием известного взаимодействия гармонических со-
ставляющих тока и напряжения различного порядка. Для элементов схемы выделены ком-
поненты мощности, образованные гармониками тока и напряжения одного порядка, компо-
ненты мощности, образованные гармониками тока и напряжения разного порядка, в кото-
рых, в свою очередь, выделены компоненты мощности, имеющие такой же порядок, как и
первые. Предложено мощность, образованную действием последней группы, отнести к ис-
кажающей мощности, а ее действие учитывать соответствующей квадратичной нормой.
С использованием указанного распределения компонент мощности выполнен численный
расчет. Временными диаграммами проиллюстрирован процесс взаимодействия компонент
мощности, что в случае диода приводит к отсутствию изменений мощности во времени.
Ключевые слова: периодические ток и напряжение, гармоники тока и напряжения, компо-
ненты мощности, искажающая мощность, норма мощности
Для цитирований: Бялобржеский, А. В. Искажающая электрическая мощность переменно-
го тока в простейшей цепи с диодом / А. В. Бялобржеский, Д. Й. Родькин // Энергети-
ка. Изв. высш. учеб. заведений и энерг. объединений СНГ. 2019. Т. 62. № 5. С. 433–444.
https://doi.org/10.21122/1029-7448-2019-62-5-433-444
Адрес для переписки
Бялобржеский Алексей Владимирович
Кременчугский нац
иональный университет
имени Михаила Остроградского
ул. Первомайская, 20
39600, г. Кременчуг, Украина
Тел. +380 5366 3
-00-50
seemal
@kdu.edu.ua
Address for correspondence
Bialobrzheskyi Olexii V.
Kremenchuk Mykhailo
Ostrohradskyi
National University
20 Pershotravneva str.,
39600, Kremenchuk, Ukraine
Tel.: +380 5366 3
-00-50
seemal@kdu.edu.ua
А. В. Бялобржеский, Д. Й. Родькин
434 Искажающая электрическая мощность переменного тока в простейшей цепи с диодом
Distorting Electrical Power of the Alternating Current
in the Simplest Circuit with a Diode
O. V. Bialobrzheskyi1), D. Y. Rod`kin1)
1)Kremenchuk Mykhailo Ostrohradskyi National University (Kremenchuk, Ukraine)
Abstract. The development of electric power industry is accompanied by an increase in the num-
ber of consumers subjected to loads with nonlinear characteristics. The arising problem of the
distortion of electrical energy that takes place when the mentioned consumers are in operation is
partially solved by using means of improving the quality of electrical energy. The increase in the
share of small generating plants that are placed in the nodes of consumers exacerbates the interac-
tion of non-linear loads, forming additional parallel streams of electrical energy. Distorted electri-
cal power is not an indication to account. Existing views on distorting power are amenable to criti-
cism. In the well-known works, the proposals for the assessment of power using the quadratic
norm and the quadratic norms of its components have been grounded. For the analysis of processes
of formation the components of electrical power, a diagram of the simplest circuit containing
a series-connected source of electromotive force, resistors and a diode is considered; also, the cir-
cuit was conditionally separated into a source and a consumer. The analysis of the power for-
mation of each circuit element is performed with the use of the expression of current and voltage,
as periodic functions represented by the trigonometric form of Fourier series. The power compo-
nents are separated with the use of the known interaction of harmonic components of current and
voltage of different orders. For the circuit elements, the power components formed by current and
voltage harmonics of the same order are selected as well as power components formed by current
and voltage harmonics of different orders, in which, in their turn, the power components are se-
lected that have the same order as the first ones. The power formed by the action of the latter
group is proposed to be attributed to the distorting power and to account its action by the corre-
sponding quadratic norm. A numerical calculation has been performed with a use of the specified
power component distribution. Time diagrams illustrate the process of interaction of the power
components, which–in the case of the diode–leads to no change in power over time.
Keywords: periodic current and voltage, current and voltage harmonics, power components,
distorting power, power norm
For citation: Bialobrzheskyi O. V., Rod`kin D. Y. (2019) Distorting Electrical Power of the Al-
ternating Current in the Simplest Circuit with a Diode. Enеrgеtika. Proс. СIS Higher Educ. Inst.
аnd Power Eng. Assoc. 62 (5), 433–444. https://doi.org/10.21122/1029-7448-2019-62-5-433-444
(in Russian)
Введение
Развитие электроэнергетики в части управления режимами элементов
электроэнергетической системы с использованием полупроводниковых
преобразователей, увеличение количества генерирующих комплексов ма-
лой и средней мощности с применением техники преобразования энергии
постоянного или переменного тока заостряют проблему качества электри-
ческой энергии [1]. Повышение установленной мощности устройств полу-
проводниковой техники в составе электротехнологических установок ока-
зывает негативное влияние на качество электрической энергии. Генериру-
ющие установки электрических станций благодаря организации системы
транспорта и распределения электрической энергии, специфическим схе-
мам соединения трансформаторов подстанций, использованию устройств
компенсации не ощущают влияния нарушения качества электрической
энергии, которое создают указанные выше электротехнологические уста-
Bialobrzheskyi O. V., Rod`kin D. Y.
Distorting Electrical Power of the Alternating Current in the Simplest Circuit 435
новки. Генерирующие установки, размещаемые территориально прибли-
женно к потребителям (ярким примером в данном случае являются когене-
рирующие установки), ощущают наличие нарушения качества электри-
ческой энергии, которое в результате влияет на их режим и характеристи-
ки [2]. Таким образом, возникает ряд задач по выявлению и оценке
искажения электрической энергии [2–4]. Как следствие, формулируются
задачи определения виновников искажения [5] и учета количества иска-
женной энергии, принимая во внимание ее направление.
Анализ предыдущих
исследований
В [6] ток и напряжение на элементах контура заданы с использованием
тригонометрической формы ряда Фурье. При этом определены мощности
каждого из элементов схемы (источника питания, омического сопротивле-
ния, диода) в виде
( )
0
cos ,
s
s
p ui P P s t==+ω
∑
где Р0 – постоянная мощность (среднее значение); Рk – амплитуда колеба-
ний s-х гармоник мощности; ω – угловая частота колебаний.
В результате соответствующие амплитуды мощности сведены в табли-
цу, на основании которой сделан вывод о том, что представление мощ-
ности диода посредством умножения амплитуд гармонических составля-
ющих напряжения и тока подробно раскрывают гармоники мощности
и обнаруживают процессы распределения последней в схеме. Но, как от-
мечается в ряде работ [7–9], анализ процесса образования мощности
и порядка гармоник последней определенным образом отражает извест-
ные энергетические показатели. Так, в [10], используя периодические,
полигармонические напряжение и ток
( )
2 sin ;
k k uk
kk
u u U kt= = ω +ψ
∑∑
( )
2 sin
n n in
nn
i i I nt= = ω +ψ
∑∑
(где k, n – номер гармоники напряжения
и тока; Uk, In – действующее значение гармоники напряжения и тока;
ψuk, ψik – начальная фаза напряжения и тока), анализируют порядок расче-
та гармоник мощности:
()
( )
,
,
cos
cos .
k n k n uk in
k n kn
k n uk in
kn
p u i UI k n t
UI k n t
= = − ω +ψ −ψ −
− + ω +ψ +ψ
∑∑ ∑
∑
Используя в таком случае активную мощность в виде
( )
0
0
,
1cos ,
tT
k n uk in
kn
t
P pdt U I
T
+
= = ψ −ψ
∑
∫
А. В. Бялобржеский, Д. Й. Родькин
436 Искажающая электрическая мощность переменного тока в простейшей цепи с диодом
вводят среднеквадратичное значение мощности
0
0
2
1
tT
rms
t
P p dt
T
+
=
∫
,
где t0 – время начала отсчета; T – период функции.
В результате предложено выражение для расчета альтернативной реак-
тивной мощности AQ, используя среднеквадратичное значение гармоник
мощности с четным номером Prms(2m) (где m – целое положительное число)
и активную мощность P:
[ ]
22
2 (2 ) .
rms
AQ P m P= −
∑
А также предложено выражение для расчета альтернативной мощности
искажения AD, используя среднеквадратичное значение гармоник мощно-
сти с нечетным номером Prms(2m + 1):
[ ]
2
2 (2 1) .
rms
AD P m= +
∑
Как следствие – формула для расчета альтернативной неактивной мощ-
ности
22
.AN AQ AD
= +
Это позволяет определить альтернативную полную мощность
222
.AS P AQ AD
=++
Недостатком предлагаемого решения является определение показателей
процесса передачи энергии на основании не мгновенной мощности p, а ее
квадратичной нормы Prms.
Цель работы – определение мощности искажения на основании компо-
нент мгновенной мощности.
Р
езультаты исследований
Рассмотрим простой контур, приведенный на рис. 1, включающий неко-
торый источник ЭДС es с внутренним сопротивлением Rs и нагрузку,
содержащую сопротивление Rld и идеальный неуправляемый вентиль VD.
Используя по аналогии с [7] напряжение и ток диода в виде
.0 .
1,2,4,6,8,10
2 cos( );
VD VD VD k
k
u U U kt
=
=+ω
∑
( )
.0 .
1,2,4,6,8,10
2 cos ,
VD VD VD n
n
i I I nt
=
=+ω
∑
где UVD.0, IVD.0 – постоянная составляющая напряжения и тока диода;
UVD.k, IVD.n – амплитуда гармоники напряжения и тока диода, мощность
диода определим по формуле
Bialobrzheskyi O. V., Rod`kin D. Y.
Distorting Electrical Power of the Alternating Current in the Simplest Circuit 437
( )
20
0.
1
cos ,
VD VD VD VD VD s
s
p u i P P st
=
==+ω
∑
где s – номер гармоники мощности; PVD.s – амплитуда гармоник мощности
диода.
Пренебрегая увеличением ошибки, сократим количество гармоник
мощности до 20; для уменьшения объема вычислений рассмотрим лишь
первые 10 гармоник мощности и ее среднее значение.
Используем предложенные в [11] обозначения: с – канонические ком-
поненты мощности, образованные гармониками тока и напряжения при
условии
, ;s k nk n
=±=
pc – псевдоканонические компоненты, образован-
ные гармониками тока и напряжения при условии
, ,s k nk n=±≠
порядок
которых совпадает с порядком канонических компонент; nc – неканониче-
ские компоненты, образованные гармониками тока и напряжения при
условии
, ,s k nk n=±≠
порядок которых не совпадает с порядком кано-
нических компонент.
a b
VD
R
s
R
ld
e
s
Power meter
u
s
=u
ld
Sour ce Load
i
p
pm
0 0.01 0.02 0.03
2.5
10
-5
-12.5
-20
p
pm
,кВА p
pm.nc
+p
pm.pc
p
pm.c
p
pm
t,c
а)б)
Рис. 1. Исследуемый контур: а – упрощенная схема;
b – временные диаграммы компонент мощности в месте учета
Fig. 1. The circuit under study: a – simplified diagram;
b – time diagrams of power components in the section under monitoring
Рассмотрим подробно образование амплитуд гармоник мощности
диода:
.0 .0 .0 .1 .1 .2 .2 .4 .4 .6 .6VD VD VD VD VD VD VD VD VD VD VD
с
P UI UI UI UI UI=+++++→
.8 .8 .10 .10 .0. ;
VD VD VD VD VD c
с
UI U I P→+ + =
.1 .0 .1 .1 .0 .1 .2 .2 .1 .1.
;
VD VD VD VD VD VD VD VD VD VD nc
пс
P UI UI UI UI P=+++=
10,0
2,
5
–5
,0
–
12,5
–
20,0
кВ⋅А
0,01
0,02
0,03
t, с
ррm.nc + ррm.pc
А. В. Бялобржеский, Д. Й. Родькин
438 Искажающая электрическая мощность переменного тока в простейшей цепи с диодом
.2 .1 .1 .2 .0 .0 .2 .4 .2 .2 .4 .6 .4VD VD VD VD VD VD VD VD VD VD VD VD VD
с рс
P UI UI UI UI UI UI
=++++++→
.4 .6 .8 .6 .6 .8 .10 .8 .8 .10 .2. .2.
;
VD VD VD VD VD VD VD VD VD VD VD c VD pc
рс
UI UI UI U I UI P P
→++++ + =+
.3 .1 .2 .2 .1 .4 .1 .1 .4 .3.
;
VD VD VD VD VD VD VD VD VD VD nc
пс
P UI UI UI UI P=+++=
.4 .2 .2
.0 .4 .4 .0 .2 .6 .6 .2 .4 .8 .8 .4
VD VD VD
с
VD VD VD VD VD VD VD VD VD VD VD VD
рс
P UI
UI UI UI UI UI UI
= +
+++++++→
.10 .6 .6 .10 .4. .4.
;
VD VD VD VD VD c VD pc
pc
U I UI P P→++=+
.5 .1 .4 .4 .1 .5.
;
VD VD VD VD VD VD nc
пс
P UI UI P= +=
.6 .0 .6 .6 .0 .2 .4 .4 .2 .2 .8VD VD VD VD VD VD VD VD VD VD VD
рс
P UI UI UI UI UI
=+++++→
.8 .2 .4 .10 .10 .4 .6.
;
VD VD VD VD VD VD VD pc
pc
UI UI U I P
→+++=
.7 .1 .6 .6 .1 .1 .8 .8 .1 .7. ;
VD VD VD VD VD VD VD VD VD VD nc
пс
P UI UI UI UI P=+++=
.8 .4 .4
.0 .8 .8 .0 .2 .6 .6 .2 .2 .10 .10 .2
.8. .8.
;
VD VD VD
с
VD VD VD VD VD VD VD VD VD VD VD VD
рс
VD c VD pc
P UI
UI UI UI UI UI U I
PP
= +
+++++ + =
= +
.9 .1 .8 .8 .1 .1 .10 .10 .1 .9.
;
VD VD VD VD VD VD VD VD VD VD nc
пс
P UI UI UI U I P=++ + =
.10 .0 .10 .10 .0 .2 .8 .8 .2
.4 .6 .6 .4 .10.
.
VD VD VD VD VD VD VD VD VD
рс
VD VD VD VD VD pс
рс
P UI U I UI UI
UI UI P
= + +++→
→++=
Аналогичным образом определим гармоники мощности для всех эле-
ментов схемы (рис. 1а). Примем следующие параметры схемы: еs =
( )
220sin 2 50 0 В;t= π+
2Ом;
ld
R=
0,5 Ом;
s
R=
элемент VD – идеальный
диод. Сведем значение рассчитанных амплитуд компонент мощности
в табл. 1, распределяя по группам: первая, не обозначенная символом, –
Bialobrzheskyi O. V., Rod`kin D. Y.
Distorting Electrical Power of the Alternating Current in the Simplest Circuit 439
амплитуда гармоники мощности, обусловлена суммарным действием сле-
дующих групп; вторая, обозначенная символом «с», – амплитуда гармони-
ки канонической компоненты мощности; третья, обозначенная символами
«pc, nc», – амплитуда гармоники псевдоканонической или неканонической
компонент мощности.
Таблица 1
Значение компонент мощности для схемы рис. 1
The value of power components for the circuit of fig. 1
Значение
компонент
мощности,
В⋅А
Источник Нагрузка
es
Rs
Rld
VD
с pc, nc с pc, nc с pc, nc с pc, nc
Р0 –4840 –4840 0 968 968 0 3872 3872 0 1 1 0
Р1 –8217 0 –8217
1644 0 1644 6573 0 6573 0 0 0
Р2 –4840 –4840 0 969 484 485 3873 1936 1937 –1 2420 –2421
Р3 –1643 0 –1643
328 0 328 1315 0 1315 0 0 0
Р4 0 0 0 0 88 –88 –2 348 –350 2 –436 438
Р5 234 0 234 –46 0 –46 –188 0 –188 0 0 0
Р6 0 0 0 1 0 1 2 0 2 –3 0 –3
Р7 –78 0 –78 16 0 16 62 0 62 0 0 0
Р8 0 0 0 –16 4 –20 –65 14 –79 81 –18 99
Р9 36 0 36 –7 0 –7 –29 0 –29 0 0 0
Р10 0 0 0 5 0 5 18 0 18 –23
0 –23
Учитывая определенные трудности анализа полученных в табл. 1 чис-
ленных значений, придерживаясь введенных выше групп, на рис. 2 приве-
дены диаграммы распределения амплитуд гармоник мощности всех эле-
ментов схемы. Нужно отметить, что сохраняется баланс мощности по всем
гармоникам первой (рис. 2а), второй (рис. 2b) и третьей (рис. 2c) групп,
который иллюстрируется равной суммарной высотой столбцов для каждой
гармоники s. На рис 2а гармоники первой группы мощности источника пи-
тания Pes.s полностью уравновешиваются гармониками мощности сопротив-
ления источника питания PRs.s и мощности сопротивления нагрузки PRld.s,
при этом гармоники мощности диода PVD.s присутствуют на уровне ошибки
расчета и визуально не различаются. Исходя из анализа распределения
гармоник мощности первой группы, диод в формировании энергетического
процесса участия не принимает. Определенный смысл в таком выводе есть,
так как мощность идеального диода равняется нулю, но это противоречит
принципу действия схемы и процессу возникновения высших гармоник в
схеме в целом. Для более глубокого понимания процесса перейдем к сле-
дующей группе канонических гармоник с (рис. 2b). В этом случае постоян-
ная компонента мощности (активная мощность) источника Pes.0.c уравнове-
А. В. Бялобржеский, Д. Й. Родькин
440 Искажающая электрическая мощность переменного тока в простейшей цепи с диодом
шивается постоянными компонентами мощностей сопротивления источ-
ника PRs.0.c и мощности сопротивления нагрузки PRld.0.c, компонента мощно-
сти диода PVD.0.c при этом нулевая. Подробно механизм уравновешения
компонент мощности нулевой частоты изложен в [7, 11] и в данном случае
не рассматривается. Вторая каноническая гармоника мощности источника
Pes.2.c уравновешивается мощностями всех элементов схемы PRs.2.c, PRld.2.c,
в том числе PVD.2.c. При этом, исходя из рис. 2c, вторая псевдоканоническая
гармоника мощности диода PVD.2.pc, которая, придерживаясь обозначений
на диаграммах, им генерируется, уравновешивается псевдоканоническими
гармониками мощности сопротивлений схемы PRs.2.pc, PRld.2.pc. На основа-
нии приведенного выше анализа рассмотрим компоненты мощности диода
в следующем виде:
( ) ( ) ( )
() ( ) ( )
( ) ( )
. 0. .2. .4. .8.
. .2. .4. .6.
.8. .10.
cos 2 cos 4 cos 8 ;
cos 2 cos 4 cos 6
cos 8 cos 10 ;
VD c VD c VD c VD c VD c
VD pc VD pc VD pc VD pc
VD pc VD pc
p P P tP tP t
p P tP tP t
P tP t
= + ω+ ω+ ω
= ω+ ω+ ω+
+ ω+ ω
()() ( )
()()
. .1. .3. .5.
.7. .9.
.. .
cos 1 cos 3 cos 5
cos 7 cos 9 ;
.
VD nc VD nc VD nc VD pc
VD pc VD pc
VD c VD pc VD n
Vc
D
p P tP tP t
P tP t
pp p
p
= ω+ ω+ ω+
+ω
+
=
+ω
+
В связи с наличием в составе тока и напряжения только нулевой, пер-
вой и четных высших гармоник канонические гармоники мощности поряд-
ка
336s=+=
и
5 5 10s=+=
отсутствуют. Временные диаграммы мощно-
сти для всех элементов контура (мгновенной мощности p, канонических
компонент мощности pc, неканонических и псевдоканонических компонент
мощности
)
pc nc
pp+
приведены на рис. 3. Особое внимание следует обра-
тить на рис. 3d.
Как было указано ранее, опираясь на диаграммы гармоник мощ-
ности (рис 2), неканонические и псевдоканонические компоненты мощно-
сти диода
..VD pc VD nc
pp+
уравновешивают действие канонических компо-
нент мощности диода
.
.
VD c
p
Нужно подчеркнуть, что при таком распреде-
лении компонент мощности в соответствии с теоремой Телледжена выпол-
няется их декомпозиция для каждой группы:
.. . .
.. . .
.. . .
0;
0;
0;
0.
Rld VD
c c Rld c VD c
pc pc Rld pc VD pc
nc nc Rld
es Rs
es Rs
es Rs
enc VDsncsR
pppp
pp
pp
pp
pp
pp
pp
++
+
+=
++=
++=
++=
+
+
Bialobrzheskyi O. V., Rod`kin D. Y.
Distorting Electrical Power of the Alternating Current in the Simplest Circuit 441
а а
p
es.c
P
s
,кВА
00.01 0.02 0.03
2.5
10
00.01 0.02 0.03
p
VD
-5
-12.5
-20
p
VD.c
p
es
,кВА
p
es
p
es.nc
+p
es.pc
p
VD.nc
+p
VD.pc
p
VD
,кВА
4
2
0
-2
-4
00.01 0.02 0.03
20
12.5
5
-2.5
-10
p
Rld
,кВА
p
Rld
p
Rld.c
p
Rld.nc
+p
Rld.pc
t,c
t,c
а)
в)
г)
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
012345678910
s
P
VD.s
P
Rld.s
P
Rs.s
P
es.s
00.01 0.02 0.03
4
2.5
1
-0.5
-2
p
Rs
,кВА p
Rs
p
Rs.c
p
Rs.nc
+p
Rs.pc
t,c
б)
P
VD.s.с
P
Rld.s.с
P
Rs.s.с
P
es.s.с
P
s.c
,кВА
P
VD.s.nc.pc
P
Rld.s.nc.pc
P
Rs.s.nc.pc
P
es.s.nc.pc
P
s.nc.pc
,кВА
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
012345678910
s
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
012345678910
s
а)
б)
в)
t,c
Рис. 2. Распределение гармоник
мощности компонент:
а – суммарных; b – канонических;
c – псевдоканонических и неканонических
Fig. 2. Distribution of power harmonics
components: a – total; b – canonical;
c – pseudo-canonical and non-canonical
Рис. 3. Временные диаграммы компонент
мощности: а – источника;
b – сопротивления источника;
c – сопротивления нагрузки; d – диода
Fig. 3. Time diagrams of power
components: a – source; b – source resistance;
c – load resistance; d – diode
Первое выражение отвечает в целом закону сохранения энергии в кон-
туре, второе – закону сохранения при учете взаимодействия гармоник тока
и напряжения одного порядка, на основании чего определяются активная
и реактивная мощности в схеме. Последние два выражения дают основание
для оценки искажающего влияния элемента схемы. Используя результаты
из [5, табл. 1], по аналогии с [8] предлагается определять искажающую
электрическую мощность как норму соответствующих компонент мощно-
сти элемента схемы
b
b
с
с
рes, кВ⋅А
кВ⋅А
кВ⋅А
кВ⋅А
кВ⋅А
кВ⋅А
кВ⋅А
–2
–
4
–
6
–
8
–10
–2
–
4
–
6
–
8
–10
–2
–
4
–
6
–
8
–10
10,0
2,5
–5
,0
–
12,5
–20
,0
t, c
0,01
0,02
0,03
4,0
2,5
1,0
–0
,5
–2,
0
t, c
0,01
0,02
0,03
20,0
1
2,5
5
,0
–
2,5
–10
,0
t, c
0,01
0,02
0,03
4
2
0
–
2
–4
t, c
0,01
0,02
0,03
d
А. В. Бялобржеский, Д. Й. Родькин
442 Искажающая электрическая мощность переменного тока в простейшей цепи с диодом
( )
0
0
2
.
1.
tT
pc nc cp nc
t
D p p dt
T
+
= +
∫
Таким образом, искажающая электрическая мощность в месте учета:
( )
( )
0
0
0
0
2
. ...
2
.. ..
1;
1.
tT
source es pc Rs pc es nc Rs nc
t
tT
load Rld pc VD pc Rld nc VD nc
t
D p p p p dt
T
D p p p p dt
T
+
+
= + ++
= +++
∫
∫
Дополняя табл. 1 источника [7], включающую активную P, полную S,
неактивную N и реактивную QH мощности, полученные для схемы на рис. 1,
результатами расчета, выполненного с использованием предложенных со-
отношений, получена табл. 2. Не повторяя выводы, сделанные в [7], обра-
тим внимание на то, что известные показатели активной, реактивной мощ-
ности основной гармоники (P11, Q11) и высших гармоник (Phh, Qhh) сбалан-
сированы по элементам схемы (сумма по столбцу равна нулю, что
соответствует теореме Телледжена), реактивная мощность в схеме отсут-
ствует, диод «генерирует» высшие гармоники мощности.
Таблица 2
Сводные результаты расчета интегральных показателей мощности
Summary results of calculation of integrated power indicators
Показатель
мощности Р, Вт S, В⋅А
N,
В⋅А
QH,
вар
Prms,
В⋅А
Р
11
, Вт
Q11,
вар
P
hh,
Вт
Qhh,
вар
Рс,
В⋅А
Dpc.nc,
В⋅А
Dpc.nc
,
В⋅А
Источ-
ник
e
s
–4833
6837 4837
–1,8 8374
–4840
0 0 0 5925
5926 4946
R
s
966 966 0 395 1675 484 0 483,8
0 1028
1235
Нагруз-
ка
R
ld
3866 3866 0 1584 6699 1936
0 1935
0 4113
4943 4946
VD
0 4837 4837
–1981
32,38 2420
0
–2420
0 1739
1741
ВЫВОДЫ
1. В ходе исследования распределения компонент гармоник мощности
по амплитуде отмечено отсутствие гармоник мощности диода в общем
случае и их существование в группах канонических, псевдоканонических
и неканонических, на основании чего определено влияние последних на
результирующую мощность диода.
2. Анализ компонент мощности с распределением на группы канониче-
ских, псевдоканонических и неканонических с соблюдением теоремы Тел-
леджена раскрывает связь ненулевой активной мощности диода по основ-
ной гармонике тока и напряжения с нулевой мгновенной мощностью.
Bialobrzheskyi O. V., Rod`kin D. Y.
Distorting Electrical Power of the Alternating Current in the Simplest Circuit 443
3. Учитывая выполнение баланса мощности, отделяя компоненты мощ-
ности, образованные гармониками тока и напряжения, которые имеют
одинаковые частоты, предложено определение искажающей электрической
мощности как квадратичной нормы псевдоканонической и неканонической
компонент электрической мощности.
4. Полученные результаты нуждаются в обобщении для произвольных
периодических функций тока и напряжения с целью определения каче-
ственных показателей электрической мощности и соответственно электри-
ческой энергии цепи произвольной конфигурации.
ЛИТЕРАТУРА
1. Жежеленко, И. В. Основные направления повышения эффективности производства, пе-
редачи и распределения электрической энергии / И. В. Жежеленко // Энергетика. Изв.
высш. учеб. заведений и энерг. объединений СНГ. 2018. Т. 61, № 1. С. 28–35.
https://doi.org/10.21122/1029-7448-2018-61-1-28-35.
2. Toups, T. N. Advanced Metering Infrastructure's Measurement of Working Reflected and Det-
rimental Active Power in Microgrids / T. N. Toups, L. S. Czarnecki // 2014 IEEE Green Ener-
gy and Systems Conference (IGESC), Long Beach. CA, 2014. Р. 41–46. https://doi.org/10.
1109/igesc.2014.7018638.
3. Gallo, D. Power Meter Verification Issue: Reactive Power Measurement in Non-Sinusoidal
Conditions / D. Gallo, C. Landi, M. Luiso // 2015 IEEE International Instrumentation
and Measurement Technology Conference (I2MTC) Proceedings. Pisa, 2015. Р. 1255–1260.
https://doi.org/10.1109/i2mtc.2015.7151453.
4. Волошко, А. В. Влияние качества электроэнергии на точность показаний электросчет-
чиков: обзор исследований / А. В. Волошко, Д. В. Филянин // Вiсник Кременчуцького
нацiонального унiверситету iменi Михаила Остроградського. 2014. Т. 87, № 4. С. 38–43.
5. Учет неактивных составляющих полной мощности / Ю. А. Сиротин [и др.] // Вестник
Национального технического университета «Харьковский политехнический институт».
Сер. Системный анализ, управление и информационные технологии. 2017. Т. 948, № 42.
С. 71–76.
6. Сендерович, Г. А. Определение долевого участия субъектов в ответственности за нару-
шение симметрии напряжений / Г. А. Сендерович // Наукові праці Донецького на-
ціонального технічного університету. Сер. «Електротехніка і енергетика». Донецьк:
ДонНТУ. 2011. T. 186, вип. 11. С. 330–335.
7. Bialobrzheskyi, O. Electric Energy Power in the Series Circuit with a Static Resistance Ele-
ment and a Diode / O. Bialobrzheskyi, A. Gladyr // Jornal of Electrical Engineering. 2018.
No 1. Р. 220–226.
8. Jeltsema, D. Budeanu's Concept of Reactive and Distortion Power Revisited / D. Jeltsema //
2015 International School on Nonsinusoidal Currents and Compensation (ISNCC). Lagow,
2015. Р. 1–6. https://doi.org/10. 1109/isncc.2015.7174697.
9. Жемеров, Г. Г. Зависимость дополнительных потерь в трехфазных системах электро-
снабжения от реактивной мощности и пульсаций мгновенной активной мощности /
Г. Г. Жемеров, Д. В. Тугай // Техническая электродинамика. 2015. № 4. C. 66–70.
10. Survey about Classical and Innovative Definitions of the Power Quantities Under Nonsinusoi-
dal Conditions. International / G. Bucci [et al.] //Journal of Emerging Electric Power Systems.
2017. Vol. 18, No 3. Р. 1–16. https://doi.org/10.1515/ijeeps-2017-0002.
11. Bialobrzheskyi, О. Power Components of Electric Energy for Technical and Commercial
Electricity Metering / О. Bialobrzheskyi, D. Rod’kin, A. Gladyr // Naukovyi Visnyk Natsio-
nalnoho Hirnychoho Universytetu. 2018. No 2. Р. 70–79. https://doi.org/10.29202/nvngu/
2018-2/10.
Поступила 22.08.2018 Подписана в печать 10.01.2019 Опубликована онлайн 30.09.2019
А. В. Бялобржеский, Д. Й. Родькин
444 Искажающая электрическая мощность переменного тока в простейшей цепи с диодом
REFERENCES
1. Zhezhelenko I. V. (2018) The Main Directions of Improving the Efficiency of Production,
Transmission and Distribution of Electrical Energy. Energetika. Izvestiya Vysshikh Uchebnykh
Zavedenii i Energeticheskikh Obedinenii SNG = Energetika. Proceedings of CIS Higher
Education Institutions and Power Engineering Associations, 61 (1), 28–35 (in Russian).
https://doi.org/10.21122/1029-7448-2018-61-1-28-35.
2. Toups T. N., Czarnecki L. S. (2014) Advanced Metering Infrastructure's Measurement
of Working, Reflected, and Detrimental Active Power in Microgrids. 2014 IEEE Green Ener-
gy and Systems Conference (IGESC), Long Beach, CA, 2014, 41–46. https://doi.org/10.
1109/igesc.2014.7018638.
3. Gallo D., Landi C., Luiso M. (2015) Power Meter Verification Issue: Reactive Power Measurement
in Non-Sinusoidal Conditions. 2015 IEEE International Instrumentation and Measurement
Technology Conference (I2MTC) Proceedings, Pisa, 2015, 1255–1260. https://doi.org/10.
1109/i2mtc.2015.7151453.
4. Voloshko A. V., Filianin D. V. (2014) Influence of Electric Power Quality on the Accuracy of
Electricity Meters Reading: Survey of Research. Visnik Kremenchuts'kogo Natsional'nogo
Universitetu imeni Mikhaila Ostrograds'kogo = Transactions of Kremenchuk Mykhailo Ostro-
hradskyi National University. 87 (4), 38–43 (in Russian).
5. Sirotin Yu. A., Grib O. G., Gapon D. A., Ierusalimova T. S., Shvets S. V. (2017) Account
Inactive Components of Full Power.
Vіsnik Natsіonal'nogo Tekhnіchnogo Unіversite-
tu “KhP І”. Serіya: Sistemnii Analіz, Upravlіnnya ta Іnformatsіinі Tekhnologії
Bulletin of Na-
tional Technical University “KhPI”. Series: System Analysis, Control and Information Tech-
nologies,
22, 71–76 (in Russian).
6. Senderovich G. A. (2011) Determination of Share Participation of Subjects in Responsibility
for Violation the Symmetry of Stresses. Naukovі Pratsі Donets'kogo Natsіonal'nogo
Tekhnіchnogo Unіversitetu. Serіya “Elektrotekhnіka і Energetika” [Scientific Works of Do-
netsk National Technical University. Series: “Electrical Engineering and Power Engineering”].
Donetsk, Donetsk National Technical University, 186 (11), 330–335 (in Russian).
7. Bialobrzheskyi O., Gladyr A. (2018) Electric Energy Power in the Series Circuit with a Static
Resistance Element and a Diode. Jornal of Electrical Engineering, (1), 220–226.
8. Jeltsema D. (2015) Budeanu's Concept of Reactive and Distortion Power Revisited. 2015 Inter-
national School on Nonsinusoidal Currents and Compensation (ISNCC), 1–6. https://doi.org/10.
1109/isncc.2015.7174697.
9. Zhemerov G. G., Tugay D. V. (2015). The Dependence of the Additional Losses in Three-
Phase Power Supply System on Reactive Power and Instantaneous Active Power Pulsations.
Tekhnichna Elektrodynamika, (4), 66–70 (in Russian).
10. Bucci G., Ciancetta F., Fiorucci E. et al. (2017). Survey about Classical and Innovative Defini-
tions of the Power Quantities under Nonsinusoidal Conditions. International. Journal of
Emerging Electric Power Systems, 18 (3), 1–16. https://doi.org/10.1515/ijeeps-2017-0002.
11. Bialobrzheskyi О., Rod’kin D., Gladyr A. (2018) Power Components of Electric Energy for
Technical and Commercial Electricity Metering. Naukovyi Visnyk Natsionalnoho Hirnychoho
Universytetu, (2), 70–79. https://doi.org/10.29202/nvngu/2018-2/10.
Recеived: 22 August 2018 Accepted: 10 January 2019 Published online: 30 September 2019
