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Iniciación a la innovación e investigación educativa mediante el análisis de la idoneidad didáctica de una experiencia de enseñanza sobre proporcionalidad

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Aroza, C. J., Godino, J. D., & Beltrán-Pellicer, P. (2016). Iniciación a la innovación e investigación educativa mediante el análisis de la idoneidad didáctica de una experiencia de enseñanza sobre proporcionalidad. AIRES, 6(1). Resumen La innovación fundamentada de los procesos de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas requiere del profesor una actitud y competencia para la reflexión e indagación sistemática sobre la propia práctica. El desarrollo de dicha competencia debe ser un objetivo de la formación inicial de profesores. En este artículo se describe el proceso de indagación y reflexión sobre una experiencia de enseñanza realizada en la fase de prácticas del máster de formación inicial de profesorado de secundaria en la especialidad de Matemáticas. La reflexión se realiza aplicando la noción de idoneidad didáctica a un proceso de enseñanza y aprendizaje implementado sobre la proporcionalidad y porcentajes en primer curso de educación secundaria. La valoración de la idoneidad didáctica, y la consiguiente identificación de propuestas fundamentadas de cambio para el rediseño de la experiencia, requiere recopilar y sintetizar los conocimientos didáctico-matemáticos producidos en la investigación e innovación sobre la enseñanza y aprendizaje de la proporcionalidad. Dichos conocimientos son sintetizados en criterios de idoneidad específicos para el tema abordado. Se concluye que la aplicación de los criterios de idoneidad didáctica ayuda a sistematizar los conocimientos didácticos y su aplicación a la reflexión y mejora progresiva de la práctica de la enseñanza. Palabras Clave Educación matemática, formación de profesores, educación secundaria, idoneidad didáctica, proporcionalidad y porcentajes.
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Iniciación a la innovación e investigación
educativa mediante el análisis de la idoneidad
didáctica de una experiencia de enseñanza sobre
proporcionalidad
Introducing educational innovation and
research through the analysis of the didactical
suitability for a teaching experience about
proportionality
Carlos J. Aroza1, Juan D. Godino1, Pablo Beltrán-Pellicer2
1 Universidad de Granada, España.
2 Universidad de Zaragoza, España.
carlosjosearoza@gmail.com, jgodino@ugr.es, pbeltran@unizar.es
Resumen
La innovación fundamentada de los procesos de enseñanza y aprendizaje de las
matemáticas requiere del profesor una actitud y competencia para la reflexión e
indagación sistemática sobre la propia práctica. El desarrollo de dicha competencia debe
ser un objetivo de la formación inicial de profesores. En este artículo se describe el
proceso de indagación y reflexión sobre una experiencia de enseñanza realizada en la
fase de prácticas del máster de formación inicial de profesorado de secundaria en la
especialidad de Matemáticas. La reflexión se realiza aplicando la noción de idoneidad
didáctica a un proceso de enseñanza y aprendizaje implementado sobre la
proporcionalidad y porcentajes en primer curso de educación secundaria. La valoración
de la idoneidad didáctica, y la consiguiente identificación de propuestas fundamentadas
de cambio para el rediseño de la experiencia, requiere recopilar y sintetizar los
conocimientos didáctico-matemáticos producidos en la investigación e innovación sobre
la enseñanza y aprendizaje de la proporcionalidad. Dichos conocimientos son
sintetizados en criterios de idoneidad específicos para el tema abordado. Se concluye
que la aplicación de los criterios de idoneidad didáctica ayuda a sistematizar los
conocimientos didácticos y su aplicación a la reflexión y mejora progresiva de la
práctica de la enseñanza.
Palabras Clave
Educación matemática, formación de profesores, educación secundaria,
idoneidad didáctica, proporcionalidad y porcentajes.
Abstract
Well-founded innovation in teaching and learning processes requires some skills
from the teacher, such as a reflective attitude and a competence in systematic inquiring
into his own practice. Developing this kind of competence should be an objective in
initial teacher education. This article describes the inquiring and reflecting process into
a teaching experience carried out within the practical phase of the initial teacher
education master, Mathematics speciality in secondary education. Reflection is done
applying the notion of didactic suitability to a teaching and learning process about
proportionality and percentages, implemented in a first course of secondary education
(12-13 years-old). The assessment of the didactic suitability, and the resulting
identification of well-founded change proposals, oriented towards a redesign of the
experience, require to review and to synthesise the didactic-mathematic knowledge
coming from research and innovation in the teaching and learning of proportionality.
The analysis of this knowledge leads to specific suitability criteria for the considered
field. It is concluded that the implementation of didactic suitability criteria helps to
systematize the didactic knowledge and supports its application to the reflection and the
progressive improvement of the teaching practice.
KeyWords
Mathematics education, teacher education, secondary education, didactical
suitability, proportionality and percentages.
1. Introducción
Diversas tendencias sobre la formación de profesores, tanto inicial como
continua, proponen la investigación del profesorado y la reflexión sobre la práctica
docente como una estrategia clave para el desarrollo profesional y la mejora de la
enseñanza. En particular, la investigación acción es un método de investigación
cualitativa que se basa, fundamentalmente, en convertir en centro de atención lo que
ocurre en la actividad docente cotidiana, con el fin de descubrir qué aspectos pueden ser
mejorados o cambiados para conseguir una actuación más satisfactoria (Elliot, 1991).
La práctica docente se considera el marco de referencia de todo el proceso de
investigación contemplando la acción y la reflexión como dos caras de una misma
realidad.
Los investigadores en la acción planifican ciclos de acción y reflexión y por
tanto deben ser reflexivos sobre cómo se despliegan los esfuerzos de cambio, y
el impacto que nuestra presencia (la intervención) está teniendo. (Bradbury-
Huan, 2010, p. 98).
Se trata, por tanto, de una vía de formación que permite al profesorado ejercer la
investigación en el aula en busca de una mejora significativa de la calidad educativa. La
reflexión constituye la fase que cierra el ciclo y da paso a la elaboración del informe y,
posiblemente, al replanteamiento del problema para iniciar un nuevo ciclo de la espiral
auto-reflexiva. La innovación educativa, es decir, el cambio fundamentado de la
práctica docente, debe estar apoyada en una actitud de investigación y reflexión sobre
los distintos factores que condicionan el ejercicio de la profesión.
En este trabajo, se describe una experiencia de iniciación a la investigación y la
innovación educativa realizada en el marco del Máster de Profesorado de Educación
Secundaria, centrada en el análisis de una experiencia de enseñanza sobre la
proporcionalidad, realizada durante la fase de prácticas por el primer autor y aplicando
como herramienta teórica de apoyo para la reflexión la noción de idoneidad didáctica
(Godino, Contreras y Font, 2006; Godino, 2013).
Organizamos el artículo en los siguientes apartados. Tras esta introducción
general, en la sección 2 describimos el problema de indagación y el marco teórico
mediante el cual se aborda. En la sección 3 describimos la experiencia de enseñanza de
proporcionalidad y porcentajes realizada en la fase de prácticas en un instituto en un
grupo de de Educación Secundaria Obligatoria (ESO). Se realiza una breve
descripción del grupo en el cual se ha impartido la unidad, el tipo de enseñanza
aplicada, así como una síntesis de la evaluación de los aprendizajes logrados por los
estudiantes. Dado que la emisión de un juicio fundamentado sobre la idoneidad de un
proceso de enseñanza - aprendizaje requiere establecer previamente un marco de
referencia, en la sección 4 hemos sintetizado los principales resultados de
investigaciones e innovaciones realizadas sobre la enseñanza y aprendizaje del tema
tratado. Apoyados en esta síntesis de conocimientos didáctico-matemáticos,
presentamos en la sección 5 la valoración de la idoneidad didáctica de la experiencia de
enseñanza descrita en la sección 3, así como algunas propuestas de cambio. En la última
sección, hacemos una síntesis del trabajo, resaltando algunos criterios para la revisión
del diseño e implementación de la unidad didáctica experimentada.
2. Problema y marco teórico
Como indican Godino y Batanero (2009), el valor de la reflexión sobre la
experiencia como un medio para estimular el aprendizaje ha sido destacado desde hace
varias décadas. Schön (1983) describió la reflexión como “una continua interacción
entre el pensamiento y la acción” (p. 281); y describió al “práctico reflexivo” como la
persona que “reflexiona sobre las comprensiones implícitas en la propia acción, que las
hace explícitas, las critica, reestructura y aplica en la acción futura” (p. 50). En trabajos
recientes de diversos campos se ha introducido el concepto de “reflexión guiada” como
un proceso de indagación innovador en el que el práctico es asistido por un mentor (o
“guía”) mediante un proceso de auto-indagación, desarrollo, y aprendizaje a través de la
reflexión, con el fin de llegar a ser enteramente efectivo. También, en el campo de la
formación de profesores, se encuentran referencias en las que se informan de
investigaciones en las que se desarrollan y experimentan técnicas específicas de
“reflexión guiada” (Nolan, 2008).
En nuestro caso, vamos a aplicar como herramienta o guía para la reflexión la
noción de idoneidad didáctica. Esta noción teórica, sus dimensiones, criterios, y
desglose operativo, han sido introducidas en diversos trabajos (Godino, Contreras y
Font, 2006; Godino, Bencomo, Font y Wilhelmi, 2007; Godino, 2013) como
herramientas que permiten el paso de una didáctica descriptiva explicativa a una
didáctica normativa, esto es, una didáctica que se orienta hacia la intervención efectiva
en el aula.
La idoneidad didáctica se define como el grado en que un proceso de instrucción
(o una parte del mismo) reúne ciertas características que permiten calificarlo como
óptimo o adecuado para conseguir la adaptación entre los significados personales
logrados por los estudiantes (aprendizaje) y los significados institucionales pretendidos
(enseñanza), teniendo en cuenta las circunstancias y recursos disponibles (entorno). Esto
supone la articulación coherente y sistémica de seis facetas o dimensiones (Godino,
2013):
1. Idoneidad epistémica, se refiere al grado de representatividad e interconexión de los
significados institucionales implementados (o pretendidos), respecto de un
significado de referencia.
2. Idoneidad ecológica, grado en que el proceso de estudio se ajusta al proyecto
educativo del centro, la escuela y la sociedad y a los condicionamientos del entorno
en que se desarrolla.
3. Idoneidad cognitiva, grado en que los significados pretendidos e implementados
estén en la zona de desarrollo potencial de los alumnos, así como la proximidad de
los significados personales logrados a los significados pretendidos/implementados.
4. Idoneidad afectiva, grado de implicación (intereses, emociones, actitudes y
creencias) del alumnado en el proceso de estudio.
5. Idoneidad interaccional, grado en que las configuraciones didácticas y el discurso en
la clase permiten, por una parte, identificar conflictos semióticos potenciales (que se
puedan detectar a priori), y por otra parte permitan resolver los conflictos que se
producen durante el proceso de instrucción.
6. Idoneidad mediacional, grado de disponibilidad y adecuación de los recursos
materiales y temporales necesarios para el desarrollo del proceso de enseñanza-
aprendizaje.
El problema que abordamos en este trabajo lo podemos formular en los
siguientes términos:
1. ¿Cuál es el grado de idoneidad didáctica del proceso de enseñanza-
aprendizaje, sobre la proporcionalidad y porcentajes, experimentado durante
el periodo de prácticas en primero de la ESO?
2. ¿Qué cambios se podrían introducir, en el diseño e implementación del
proceso de estudio, para incrementar su idoneidad didáctica?
En el marco de la teoría de la idoneidad didáctica se establece que, para poder
emitir un juicio fundamentado sobre la idoneidad didáctica de un proceso de estudio
matemático, es imprescindible realizar una reconstrucción de los significados de
referencia didáctica del tema correspondiente. Ello requiere proceder a una revisión
sistemática de los resultados de las investigaciones e innovaciones realizadas en
educación matemática sobre los aspectos epistémicos, ecológicos, cognitivos, afectivos,
interaccionales y mediacionales. Esto nos lleva a plantearnos una tercera cuestión
previa:
3. ¿Cuáles son los conocimientos didácticomatemáticos resultados de las
investigaciones e innovaciones previas realizadas sobre la enseñanza -
aprendizaje de la proporcionalidad y los porcentajes?
Desde el punto de vista metodológico, este trabajo sigue una pauta iniciada por
Posadas (2013) como estrategia formativa de profesores de matemáticas de educación
secundaria apoyada en la aplicación de la noción de idoneidad didáctica.
3. Descripción de una experiencia de enseñanza de la proporcionalidad
3.1. El grupo de clase
La unidad didáctica se ha impartido en uno de los grupos de primero de la ESO.
Se trata de una clase de 30 alumnos, compuesto por 8 alumnas y 22 alumnos, en la que
cabe señalar el alto índice de alumnado inmigrante (40%, 9 nacionalidades de origen
diferentes), lo que supone cierta heterogeneidad y diversidad cultural. Es un aula en la
que es difícil mantener el ambiente adecuado, siendo necesario llamarles la atención a
menudo. Por otro lado, más de la mitad de los alumnos presentan actitudes negativas
hacia el estudio y hacia las matemáticas en particular. Esto es debido, en parte, al
desajuste curricular que arrastran 17 de ellos desde la etapa de primaria, con muchas
dificultades de comprensión de conceptos matemáticos básicos y procedimentales. El
resto de alumnos muestran motivación e interés por la asignatura.
La relación profesor-alumno es asimétrica, quedando bien definida la figura del
profesor como autoridad. A pesar de ello, el trato entre profesor y alumno es muy
cercano. Durante los días en los que se ha intervenido en las clases, han mostrado una
actitud respetuosa y participativa dentro del aula.
3.2. Diseño de la unidad didáctica
Marco curricular. Los contenidos curriculares relacionados quedan definidos por la
norma estatal (MECD, 2014), que establece el currículo básico de la ESO y del
Bachillerato a desarrollar por las comunidades autónomas. Los contenidos de
proporcionalidad y porcentajes son los siguientes:
Cálculos con porcentajes (mental, manual, calculadora). Aumentos y
disminuciones porcentuales.
Razón y proporción. Magnitudes directa e inversamente proporcionales.
Constante de proporcionalidad.
Resolución de problemas en los que intervenga la proporcionalidad directa o
inversa o variaciones porcentuales. Repartos directa e inversamente
proporcionales.
En el apartado de criterios de evaluación se indica:
Utilizar diferentes estrategias (empleo de tablas, obtención y uso de la
constante de proporcionalidad, reducción a la unidad, etc.), para obtener
elementos desconocidos en un problema a partir de otros conocidos en
situaciones de la vida real, en las que existan variaciones porcentuales y
magnitudes directamente o inversamente proporcionales.
Este criterio va dirigido a comprobar la capacidad para alcanzar los siguientes
estándares de aprendizaje:
Identifica y discrimina relaciones de proporcionalidad numérica (como el
factor de conversión o cálculo de porcentajes) y las emplea para resolver
problemas en situaciones cotidianas.
Analiza situaciones sencillas y reconoce que intervienen magnitudes que no
son directamente ni inversamente proporcionales.
Los conocimientos previos que se requieren para el estudio de este tema son las
fracciones (concepto de fracción equivalente y propiedades), resolución de problemas
básicos de aritmética y números decimales. Estos conocimientos se incluyen también en
el bloque de números y álgebra del currículo para este curso, de forma previa a la
proporcionalidad.
Contenidos, actividades y secuenciación. El proceso de aprendizaje implementado a los
alumnos, ha seguido básicamente la orientación y contenidos propuestos en el libro de
texto (Colera y Gaztelu, 2010) que se viene usando en el primer curso de ESO, en el
instituto en el que se han realizado las prácticas docentes. Siguiendo estos guiones del
libro de texto, la unidad didáctica se ha impartido en once sesiones (ver Tabla 1) donde,
además de las explicaciones (nociones teóricas), se han resuelto tareas. La última sesión
se ha reservado para la realización de una prueba de evaluación formativa, para
comprobar el nivel de comprensión de los alumnos sobre los diferentes conceptos de la
unidad y valorar el nivel de aprendizaje procedimental en la resolución de los distintos
tipos de tareas de proporcionalidad y porcentajes.
Sesión
Contenidos
1
Identificación y diferenciación de magnitudes que son directamente proporcionales e
inversamente proporcionales. Ejemplos en el contexto cotidiano.
Resolución en clase de tareas donde se distinguen magnitudes proporcionales y se completan
tablas de valores directamente e inversamente proporcionales.
2
Problemas de proporcionalidad directa.
Método de reducción a la unidad.
Fracciones equivalentes en las tablas de valores directamente proporcionales.
Regla de tres directa. Resolución de tarea ejemplo.
Tareas del libro propuestas para casa.
3
Corrección de las tareas propuestas en clase el día anterior.
Problemas de proporcionalidad inversa.
Método de reducción a la unidad.
Fracciones equivalentes en las tablas de valores inversamente proporcionales.
Regla de tres inversa. Resolución de tarea ejemplo.
Tareas del libro propuestas para casa.
4
Corrección de las tareas propuestas en clase el día anterior.
Identificación y resolución de problemas de proporcionalidad directa e inversa mediante la
regla de tres.
Tareas del libro propuestas para casa.
5
Corrección de las tareas propuestas en clase el día anterior.
Resolución individual por parte del alumno de tareas del libro para ser evaluadas.
6
Porcentajes: Concepto de tanto por ciento.
El porcentaje como una fracción.
Porcentajes y números decimales.
Algunos porcentajes especiales.
Resolución de tareas a modo de ejemplo para el cálculo del porcentaje de una cantidad.
Tareas del libro propuestos para casa.
7
Corrección de las tareas propuestas en clase el día anterior.
El porcentaje como una proporción: Cálculo de la parte mediante la regla de tres.
El porcentaje como una proporción: Cálculo del total mediante la regla de tres.
El porcentaje como una proporción: Cálculo del tanto por ciento mediante la regla de tres.
Resolución de tareas a modos de ejemplo.
Tareas del libro propuestos para casa.
8
Corrección de las tareas propuestas en clase el día anterior.
Realización por parejas de tareas de porcentajes.
Tareas del libro propuestos para casa.
9
Corrección de las tareas propuestas en clase el día anterior.
Aumentos porcentuales: Método suma porcentual y método regla de tres simple.
Disminuciones porcentuales: Método resta porcentual y método regla de tres simple.
Resolución de tareas a modo de ejemplo.
Tareas del libro propuestos para casa.
10
Corrección de las tareas propuestas en clase el día anterior.
Repaso de la unidad de cara al examen y resolución de dudas.
Resolución de tareas a modo de repaso de cara al examen.
11
Examen de evaluación formativa.
Tabla 1: Secuencia de contenidos de la unidad didáctica.
El libro de texto seguido en las clases (Colera y Gaztelu, 2010) propone
introducir la proporcionalidad directa e inversa como la relación de dos magnitudes
(Figura 1).
Figura 1: Introducción de la proporcionalidad en el libro de Colera y Gaztelu (2010).
De estas relaciones de proporcionalidad (directa e inversa) se derivan
herramientas que facilitan la resolución de algunos tipos de problemas aritméticos, que
se concretan en dos métodos de resolución: la reducción a la unidad y la regla de tres
simple, tanto directa como inversa (Figura 2).
Figura 2: Procedimientos de resolución de problemas de proporcionalidad en el libro de texto.
El concepto de porcentaje se enfoca desde diferentes perspectivas, como se
aprecia en la Figura 3. Así, se aborda como una operación, con un enfoque puramente
procedimental, como una fracción, como un número decimal y como una proporción.
Por último, se estudia la resolución de dos tipos de problemas muy frecuentes en
el contexto de la vida real y cotidiana; el aumento y la disminución porcentual,
analizados desde dos métodos o algoritmos de resolución: la suma o resta del porcentaje
y la regla de tres directa de proporcionalidad.
Figura 3: Tratamiento del concepto de porcentaje en el libro de texto de Colera y Gaztelu (2010).
Se observa, por tanto, que los autores del libro enfatizan una visión de las
matemáticas como reglas o algoritmos a seguir, ilustradas con ejemplos de cómo
interpretar tales reglas, seguidas de ejercitación procedimental para el dominio de la
aplicación de las mismas.
3.3. Implementación del estudio
Las sesiones solían comenzar corrigiendo las tareas que los alumnos llevaban
propuestas para realizar en casa y con un recordatorio de lo que se estudió en la sesión
anterior. Se les preguntaba a los estudiantes las dudas o dificultades que se les habían
presentado, para hacer hincapié en los conceptos o procedimientos implicados y
afianzar los conocimientos clave. Posteriormente, se comenzaba a explicar la materia
nueva. La introducción de contenido nuevo de la unidad didáctica se procuraba realizar
siempre a través de ejemplos sencillos en situaciones de la vida cotidiana, aumentando
el nivel de dificultad de forma gradual. Además, durante la explicación, se iban
haciendo preguntas de los contenidos que los alumnos ya habían adquirido, para que
mantuvieran el nivel de atención y siguieran la explicación.
Posteriormente, para desarrollar las explicaciones teóricas, se realizaban algunas
tareas-ejemplos contextualizadas en situaciones de la vida real y se trataba de poner
especial atención en los errores y dificultades que les podían surgir. Se hacía necesario
enfatizar sobre los procedimientos y notaciones clave empleadas, tratando de
justificarlos lo máximo posible. En esta fase de resolución de tareas, fomentaba la
participación activa del alumno en clase mediante preguntas frecuentes y salidas a la
pizarra, para mantener su nivel de atención.
Por último, para potenciar el trabajo personal y un mayor grado de consecución
de objetivos, cuando se acercaba el final de la clase, se proponían una serie de tareas
para que realizasen en casa. Dichas tareas estaban relacionadas con la materia impartida
ese día, para que adquirieran cierta destreza procedimental y afianzasen, con abundante
práctica, los conocimientos adquiridos. Las tareas se corregían al comienzo de la
siguiente sesión. Si las tareas se comenzaban a hacer en clase, se les permitía el trabajo
por parejas.
En todo momento se siguió el orden y los contenidos del libro de texto,
utilizándolo como guion, de modo que los alumnos pudieran acceder con facilidad a la
materia, aunque en algunos casos se aportaban ejemplos y tareas que no aparecían en el
mismo.
El concepto de proporcionalidad directa fue introducido mediante series de
valores de magnitudes proporcionales en tablas (en los que abundaban los ejemplos de
cantidad-precio), que los alumnos debían rellenar (Figura 4). De esta manera, los
estudiantes podían comprobar que, cuando una de las magnitudes se multiplicaba por un
número, la otra magnitud que era directamente proporcional a la primera, también debía
multiplicarse por el mismo número. Y no solo eso, sino que cuando una de las
magnitudes se dividía por un número, la otra magnitud, también debía dividirse por el
mismo número, por ser ambas magnitudes directamente proporcionales.
Figura 4: Introducción de la proporcionalidad directa por medio de valores ausentes en tablas
que relacionan dos magnitudes (cantidad-precio) en el libro de texto de Colera y Gaztelu (2010).
El concepto de proporcionalidad inversa, fue introducido también, mediante
ejemplos de serie de valores de magnitudes inversamente proporcionales en tablas, que
ellos debían rellenar y en las que se relacionaban dichas magnitudes. Una vez
introducida la proporcionalidad directa e inversa, se les propusieron a los alumnos
multitud de situaciones, en las que debían distinguir si las dos magnitudes que se les
ejemplificaban eran o no, directamente o inversamente proporcionales.
Figura 5: Fracciones equivalentes para ilustrar la proporcionalidad directa (Colera y Gaztelu,
2010).
Posteriormente, se les explicó que una de las características que poseen los
valores de dos magnitudes proporcionales es que se pueden construir fracciones
equivalentes con ellos (el reconocer cuándo dos fracciones son equivalentes entre sí, fue
objeto de estudio en la unidad didáctica justamente anterior sobre “fracciones”). En la
Figura 5 se observa el ejemplo propuesto para la proporcionalidad directa.
Para que pudieran resolver problemas de valor faltante o desconocido, en
situaciones de proporcionalidad directa e inversa, se les explicó la regla de tres simple,
que no es más que la construcción de dichas fracciones equivalentes para la obtención
del dato incógnita.
En la parte de la unidad didáctica de porcentajes, se impartió la nomenclatura y
el concepto de porcentaje desde el punto de vista de una fracción, de un número decimal
y de una proporción directa, permitiéndose en éste último caso, usar la regla de tres
directa para resolver problemas de cálculo de porcentajes. Como aplicación de los
cálculos porcentuales se introdujeron los incrementos y disminuciones porcentuales,
mediante dos métodos de resolución: la regla de tres directa y la suma o resta del
porcentaje a la cantidad inicial.
En cuando a la manera de trabajar en clase, los alumnos realizaban de forma
individualizada algunas tareas en el aula, relacionadas con la explicación previamente
impartida. No obstante, se les permitía comentar las dudas con el compañero de clase,
mientras el profesor trataba de resolver otras dudas al resto de los alumnos de forma
personalizada. Más tarde, o en la sesión posterior, las tareas eran corregidas en la
pizarra normalmente por el profesor, aunque, algunas veces, eran los propios alumnos
quienes indicaban los pasos necesarios y el mismo profesor las escribía en la pizarra, y
en esporádicas ocasiones, se realizaban salidas de los alumnos a la pizarra para su
resolución. En todas las correcciones de las tareas, se trataba de enfatizar mucho sobre
los errores que se hacían para que, de este modo, aprendieran a no cometerlos en futuras
situaciones.
3.4. Evaluación de los aprendizajes logrados
Al finalizar la unidad didáctica, los alumnos fueron examinados mediante una
prueba de evaluación formativa por escrito (Tabla 2) para comprobar si éstos
aprendieron los contenidos y alcanzaron los objetivos que se habían propuesto. El
examen, que sólo fue aprobado por el 57% de los alumnos, constaba de 10 tareas,
igualmente valoradas cada una de ellas con un punto.
En la Figura 6 se muestra la distribución de frecuencias de la puntuación total
obtenida por los 30 alumnos en la prueba escrita de evaluación final. Para ello, se tuvo
en cuenta la siguiente valoración: 0 para aquellos alumnos que habían cometido errores
graves en la resolución de la tarea o no la habían realizado, 0,5 para los que habían
realizado parte de la tarea correctamente, y 1 para los que habían realizado la tarea
totalmente correcta. La puntuación mediana fue de 5, dos alumnos obtuvieron
puntuación 0, y otros dos la máxima puntuación, esto es, 10.
Tarea nº 1: Calcula:
a) 50% de 80 = b) 25% de 80 = c) 50% de 24 =
d) 20% de 35 = e) 10% de 450 =
Tarea nº 2: En mi clase somos 24; el 50 %, chicas. ¿Cuántas chicas somos en clase?
Tarea 3: Se han hecho 1000 papeletas para una rifa y ya se ha vendido el 75%. ¿Cuántas
papeletas se han vendido? ¿Cuántas quedan?
Tarea nº 4: Al comprar un jersey que costaba 80 euros, me han rebajado el 10%. ¿Cuánto me
han rebajado?
Tarea 5: Roberto compra unos pantalones de 60 euros, pero le hacen una rebaja del 20%.
¿Cuánto le rebajan? ¿Cuánto paga?
Tarea nº 6: Di si son o no directamente proporcionales:
a) El peso de una sandía y su precio.
b) La edad de una persona y su altura.
c) El tiempo que caminas a velocidad constante y la distancia que recorres.
d) La talla de un pantalón y su precio.
e) El tiempo que permanece abierto un grifo y la cantidad de agua que arroja.
Tarea nº 7: Di cuales de las magnitudes siguientes son inversamente proporcionales:
a) El número de operarios que descargan un camión y el tiempo que tardan.
b) La velocidad de un coche y el tiempo que tarda en cubrir la distancia entre dos ciudades.
c) El precio de las manzanas y los kilos que puedo comprar con el dinero que llevo.
d) La capacidad de un vaso y el número de vasos necesarios para llenar una determinada jarra.
Tarea 8: Un pintor barniza tres ventanas en una hora. ¿Cuántas ventanas barnizará en una
jornada de 8 horas?
Tarea 9: Cuatro cajas de galletas pesan 2,4 kg. ¿Cuánto pesarían cinco cajas iguales a las
anteriores?
Tarea nº 10: Cuatro segadores cortan un campo de heno en tres horas. ¿Cuánto tardará un solo
segador? ¿Y seis segadores?
Tabla 2: Cuestiones de la prueba escrita.
Figura 6: Distribución de frecuencias de la nota del examen.
Finalmente, se describen y sintetizan los principales errores y dificultades
observados en las respuestas dadas por los alumnos, para cada una de las tareas.
Tarea nº 1. Errores y dificultades:
El 80% de los alumnos mostraron dificultades a la hora de realizar las
operaciones mentalmente, pese a que en ninguno de los apartados aparecen
operaciones con decimales difíciles de calcular. Presentan errores a la hora
de operar con decimales (multiplicaciones y divisiones).
Uno de los alumnos marca la solución como un porcentaje, es decir: 50% de
80=40%.
Dos de los alumnos multiplican la cantidad por el tanto, pero no la dividen
por cien.
Cuatro de los alumnos dejan esta tarea prácticamente en blanco.
El error más común es el de no operar correctamente con números decimales. En
segundo lugar, los errores relativos a notaciones y, en tercer lugar, los errores
conceptuales y procedimentales al calcular el porcentaje de una cantidad.
Tarea nº 2. Errores y dificultades:
Tan sólo dos de los alumnos en clase responden mal a esta pregunta; uno de
ellos responde ¿26? Y el otro da una respuesta errónea al equivocarse en la operación de
la división. El error más común es el no operar correctamente (división) y, por otra
parte, la dificultad conceptual a la hora de calcular el porcentaje de una cantidad.
Tarea nº 3. Errores y dificultades:
Tres de los alumnos en clase responden mal a esta pregunta; dos de ellos la
dejan en blanco y otro comete un error a la hora de operar con decimales.
Uno de los alumnos divide por el ciento, pero no lo multiplica por el tanto.
El error cometido más común es el de operar correctamente con números
decimales (multiplicación) y, por otra parte, el error conceptual a la hora de calcular el
porcentaje de una cantidad.
Tarea nº 4. Errores y dificultades:
Dos de los alumnos asocian el problema a un cálculo de decremento
porcentual y, además, proceden en el cálculo erróneamente: 80€-10%=70€.
Me han rebajado 10€.
Tres de los alumnos dejan el problema en blanco.
El error más común es conceptual, correspondiente a calcular el porcentaje de
una cantidad.
Tarea nº 5. Errores y dificultades:
Tres de los alumnos entienden que es un problema de decremento
porcentual, pero proceden erróneamente: 60€-20%=40€. Me ha costado 40€
y me han rebajado 20€.
Un 27 % de los alumnos dejan el problema en blanco
Los errores cometidos más comunes son conceptuales, referidos a calcular el
porcentaje de una cantidad y el de calcular el decremento porcentual.
Tarea nº 6. Errores y dificultades:
Dos de los alumnos dejan la tarea en blanco.
Más del 50% de los alumnos comete al menos un fallo en alguno de los
apartados.
El error cometido más frecuente es conceptual, que es el de no saber distinguir
cuándo dos magnitudes son directamente proporcionales. La mayoría de los alumnos
que cometen algún fallo en esta tarea es porque llegan a asociar la proporcionalidad
directa a que cuando una magnitud crece, la otra también, pero no que este crecimiento
debe seguir una razón de proporcionalidad (detectándose un mayor número de errores
en los apartados b y d).
Tarea nº 7. Errores y dificultades:
Dos de los alumnos dejan la tarea en blanco.
Más del 80% de los alumnos comete al menos un fallo en alguno de los
apartados.
El error cometido más frecuente es conceptual, que es el de no saber distinguir
cuándo dos magnitudes son inversamente proporcionales. A los alumnos parece que les
cuesta más identificar las magnitudes que son inversamente proporcionales,
detectándose un mayor número de errores en los apartados b, c y d.
Tarea nº 8. Errores y dificultades:
Tan solo tres de los alumnos deja el problema en blanco, el resto lo soluciona
correctamente, aunque no todos planteando la regla de tres directa.
La mayor dificultad presentada es la de no saber distinguir convenientemente del
enunciado del problema las magnitudes que se relacionan, los datos que se presentan, el
dato que se pide y las operaciones que hay que realizar.
Tarea nº 9. Errores y dificultades:
El 30% de los alumnos no supieron plantear la regla de tres simple directa, o
la plantearon incorrectamente al colocar los valores en las magnitudes que no
les correspondían.
Plantean correctamente la regla de tres simple directa, pero construyen
erróneamente las fracciones equivalentes para resolver el problema.
Operan incorrectamente (multiplicación y división) con números decimales.
No identifican en la solución la unidad de la magnitud preguntada.
No despejan adecuadamente la x de la ecuación.
El error cometido más común es el de no saber distinguir convenientemente del
enunciado del problema las magnitudes que se relacionan y reconocer que son
directamente proporcionales. En segundo lugar, saber plantear correctamente la regla de
tres directa. En tercer lugar, construir correctamente las fracciones equivalentes. En
cuarto lugar, operar sin errores (multiplicación y división) y, por último, saber despejar
el valor desconocido en una ecuación.
Tarea nº 10. Errores y dificultades:
El 25% de los alumnos no supieron plantear la regla de tres simple inversa.
Muestran muchas dificultades en distinguir las magnitudes que son
inversamente proporcionales. Más del 73% de los alumnos plantearon el
problema como uno de proporcionalidad directa.
Operan incorrectamente (multiplicación y división) con números.
No despejan adecuadamente la x de la ecuación.
El error cometido más común es el de no saber distinguir correctamente del
enunciado del problema las magnitudes que se relacionan, y reconocer que son
inversamente o directamente proporcionales. En segundo lugar, saber construir
correctamente las fracciones equivalentes una vez planteada la regla de tres inversa. En
tercer lugar, operar sin errores con números decimales (multiplicación y división) y, por
último, saber despejar el valor desconocido en la ecuación.
4. Conocimientos didáctico-matemáticos sobre proporcionalidad y porcentajes
Como se ha indicado, el objetivo del proceso formativo es conducir al futuro
profesor a un análisis de la idoneidad didáctica del proceso de enseñanza implementado,
orientado hacia la identificación de propuestas de cambio fundamentadas. Es por ello
por lo que, en primer lugar, se ha realizado una recopilación y síntesis de las principales
investigaciones e innovaciones relacionadas sobre la enseñanza y aprendizaje de la
proporcionalidad y los porcentajes, para construir un fundamento que oriente la
reflexión final. Con ayuda del tutor se identificaron, sintetizaron y clasificaron, los
conocimientos didáctico-matemáticos sobre la proporcionalidad, de acuerdo a las
facetas epistémica, cognitiva, afectiva, interaccional, mediacional y ecológica, descritas
en la sección 2.
En este apartado, se incluyen los principales resultados de dicha síntesis, que
serán usados como apoyo para valorar de, manera fundamentada, la idoneidad didáctica
de la experiencia de enseñanza e identificar posibles mejoras en nuevas
implementaciones.
4.1. Faceta epistémica (conocimientos institucionales)
Desde una perspectiva epistémica, la proporcionalidad puede ser desarrollada
según cuatro enfoques, aproximaciones o significados:
Aproximación intuitiva y cualitativa, centrada en la comparación perceptiva
de la semejanza de formas geométricas, o en la comparación multiplicativa
de los números que intervienen en el problema.
Aproximación geométrica, centrada en las razones y proporciones entre
segmentos, semejanza de figuras y escalas.
Aproximación aritmética, centrada en la noción de razón y proporción.
Aproximación algebraica, centrada en la noción de función lineal.
Enfoque intuitivo informal. La aproximación cualitativa, junto con actividades de
estimación, juegan una parte importante en la comprensión de las razones y la
proporcionalidad. Se trata de tareas que involucran aspectos cualitativos de la
proporcionalidad; por ejemplo, que los estudiantes reconozcan perceptivamente las
relaciones proporcionales entre formas de figuras dibujadas a escala (Ruiz y
Valdemoros, 2009). El alumno, antes de saber razonar sobre figuras semejantes,
teniendo en cuenta las relaciones cuantitativas entre las razones de segmentos, sabe
discernir, sólo por simple percepción, si determinadas figuras están o no en la misma
razón de proporcionalidad. Fiol y Fortuny (1990) proponen iniciar el estudio de la
proporcionalidad a partir de las experiencias intuitivas de los estudiantes en el contexto
geométrico y el uso de materiales manipulativos.
Enfoque geométrico (semejanza). Tareas relacionadas con las escalas, ampliaciones y
reducciones de figuras conservando la forma, como las descritas en Ben-Chain, Keret y
Ilany (2012), responden a este enfoque geométrico. Se trata ahora de pasar del estudio
cualitativo de la semejanza de las figuras al cuantitativo, teniendo en cuenta las
relaciones métricas entre los componentes de las figuras. Actividades como la
reproducción de un puzle a escala diferente (Brousseau, 1997, p. 177) lleva a progresar
desde el pensamiento aditivo al multiplicativo, propio del razonamiento proporcional,
en un contexto geométrico. Godino y Ruiz (2002) hacen un estudio sistemático de la
proporcionalidad geométrica desde el punto de vista de la formación matemática y
didáctica de los maestros de educación primaria. Estos autores desarrollan el concepto
de las transformaciones semejantes de figuras geométricas introduciendo previamente
los conceptos de la razón de segmentos y de los segmentos proporcionales.
Enfoque aritmético (proporción). Godino y Batanero (2003) resaltan la importancia de
clarificar los conceptos ligados a la proporcionalidad, en particular las nociones de
razón, proporción y las magnitudes proporcionales, además de los conceptos de fracción
y número racional. La idea clave es que una razón es un par ordenado de cantidades de
magnitudes (homogéneas o heterogéneas), las cuales son comparadas de manera
multiplicativa. Cada una de esas cantidades viene expresada mediante un número real y
una unidad de medida. A partir del concepto de razón, se define la proporción como la
expresión de igualdad de dos razones. Cuando se prescinde de las unidades de medida
de las cantidades correspondientes, una proporción aparece en general bajo la forma de
una igualdad entre dos fracciones equivalentes. Este enfoque aritmético del estudio de la
proporcionalidad es el que predomina en muchas de las propuestas curriculares,
innovaciones e investigaciones (Ben-Chain, Keret y Ilany, 2012; Lamon, 2007).
Enfoque algebraico (función). Los conceptos de razón, proporción y proporcionalidad
adquieren un significado unificado con la noción de función lineal, modelo matemático
que sintetiza diversos lenguajes, situaciones y fenómenos. “La función lineal puede
considerarse como la matematización de las nociones cotidianas y utilitarias de la
proporcionalidad” (Fiol y Fortuny, 1990, p. 83). Algunos autores (Bolea, Bosch y
Gascón, 2001; Obando, Vasco y Arboleda, 2014) enfatizan el razonamiento
proporcional como un razonamiento que involucra una función lineal en un sistema de
dos variables, que permite llegar a conclusiones acerca de una situación o un fenómeno
que puede ser caracterizado por una razón constante entre cantidades de magnitudes.
Así pues, el modelo matemático es una función de la forma , en el que k es la
razón constante, generalmente conocida como constante de proporcionalidad. La gráfica
cartesiana de este tipo de función es una recta que pasa por el origen de coordenadas.
Dado el papel fundamental que la noción de función desempeña en la matemática, se
considera que el estudio de la proporcionalidad con un enfoque funcional debería ser
privilegiado respecto al enfoque aritmético.
Sustentar la enseñanza en uno de estos enfoques exclusivamente puede dar lugar
a la formación de obstáculos epistemológicos. Por ejemplo, existe una tendencia, bien
documentada, de que gran parte del alumnado tiende a utilizar el modelo lineal
(expresado en la regla de tres) en situaciones que no resultan apropiadas, dada la
facilidad con que este modelo puede generalizarse (Modestou y Gagatsis, 2007). No
obstante, hay autores que inciden en la naturaleza instruccional de estos obstáculos (De
Bock et al., 2007).
En la Tabla 3 incluimos criterios específicos de idoneidad epistémica para el
tema de la proporcionalidad en secundaria, inferidos de las publicaciones consultadas y
referidas previamente, así como teniendo en cuenta los componentes y criterios
propuestos en Godino (2013).
COMPONENTES
CRITERIOS
Significados y
relaciones
Se identifican y desarrollan de una manera organizada los cuatro
tipos de enfoques o significados de la proporcionalidad: intuitivo,
geométrico, aritmético y el algebraico.
Se establecen conexiones entre los distintos tipos de enfoque de la
proporcionalidad mediante problemas, representaciones gráficas,
relaciones conceptuales, notaciones matemáticas, procedimientos,
etc.
Se aplica la proporcionalidad y los porcentajes en contextos no
matemáticos como la física, la química, la economía, etc.
Situaciones-
problemas
Se emplea una muestra diversa y representativa de tareas que
permitan contextualizar y aplicar los contenidos de la
proporcionalidad y porcentajes, distinguiendo las situaciones que se
pueden modelizar de manera lineal de las que no.
Se promueve que el alumno se plantee problemas relacionados con
la proporcionalidad y porcentajes.
Lenguaje
matemático
Se utilizan diferentes tipos de expresión y representación (gráfica,
simbólica, tablas de valores, material manipulativo, etc.) en la
resolución de tareas de proporcionalidad y porcentajes, realizando
traducciones y conversiones entre los distintos tipos.
Se fomenta que los alumnos manejen y construyan las diferentes
expresiones y representaciones de la proporcionalidad y porcentajes
(gráficas, símbolos, tablas de valores, material manipulativo, etc.) a
través de las tareas.
El nivel del lenguaje matemático empleado es el adecuado para los
estudiantes del nivel educativo de primero de la ESO.
Reglas
(Definiciones,
propiedades y
procedimientos)
Se presentan de manera clara los conceptos y procedimientos
fundamentales de la proporcionalidad para el nivel educativo de
primero de la ESO, distinguiendo, razón, tasa, proporción,
porcentaje, fracción y número racional.
Se proponen tareas donde los alumnos tienen que reconocer y
aplicar definiciones, propiedades y procedimientos de la
proporcionalidad y los porcentajes.
Argumentos
Se plantean tareas de proporcionalidad y porcentajes que fomenten
la reflexión, el razonamiento y la argumentación por parte del
alumno.
Las explicaciones, comprobaciones y demostraciones de los
contenidos de proporcionalidad y porcentaje son adecuados para el
nivel educativo de primero de la ESO
Tabla 3: Componentes e indicadores de idoneidad epistémica
4.2. Facetas cognitiva y afectiva
A partir de los trabajos de corte cognitivo de Inhelder y Piaget (1955) en torno al
razonamiento proporcional han surgido diferentes propuestas de enseñanza y líneas de
investigación. En la concepción piagetiana, esta forma de razonamiento es una de las
ocho fases básicas que caracterizan el nivel de desarrollo formal de la persona,
enmarcándose en el estadio de las operaciones formales propio de la adolescencia. En
dicho estadio, se requiere del uso de un razonamiento hipotético deductivo, el cual le
permite al sujeto utilizar una relación matemática (razón) y a partir de ésta deducir una
segunda relación también matemática (proporción). Las nociones de comparación y
covariación son la base del razonamiento proporcional, siendo a su vez los soportes
conceptuales de la razón y la proporción. El desarrollo deficiente de estas estructuras
conceptuales obstaculiza la comprensión y el pensamiento cuantitativo en una gran
variedad de disciplinas científico-técnicas, así como en la vida cotidiana.
Tourniaire y Pulos (1985) consideran que las estrategias correctas más
empleadas son las multiplicativas y las de construcción progresiva. En cuanto a los
errores y dificultades más corrientes, nos encontramos con los siguientes (Fernández,
2001):
Ignorar parte de los datos del problema. Por ejemplo, si el problema es de
comparación de razones entonces intentan resolverlo comparando
únicamente los antecedentes (o los consecuentes) de las dos razones y toman
la decisión mediante un razonamiento de tipo directo (o inverso).
En otros casos, por ejemplo, si el problema es de valor faltante, el alumno
ante la necesidad de obtener una solución numérica, opera con parte de los
datos y obtiene una respuesta numérica. Esta estrategia la denomina como
“operaciones al azar”.
Estrategia aditiva o de la diferencia constante. En este caso, los alumnos
relacionan los términos de una razón aditivamente, la cuantifican por
sustracción entre los dos primeros términos de la razón y esta diferencia la
aplican a la segunda razón.
Otra categorización es la que hace Lamon (1993), quien ordena en seis niveles,
en relación con un menor o mayor razonamiento proporcional, las diferentes estrategias
o actuaciones que usan los alumnos:
1. En el primer nivel, sitúa las actuaciones de los estudiantes que no tienen una
interacción con el problema o que no responden.
2. En el segundo nivel, los alumnos dan respuestas sin justificar o usan sin
éxito el método de ensayo o error, o estrategias aditivas incorrectas.
3. En el tercer nivel, los alumnos construyen patrones numéricos sin
comprensión de las relaciones numéricas que utilizan.
4. En el cuarto nivel, se incluyen las actuaciones de los estudiantes que
muestran tener capacidad para resolver los problemas usando materiales
manipulativos, técnicas de conteo o de apareamiento, estrategias de
construcción progresivas y reconocimiento de patrones para la construcción
de tablas de proporcionalidad, pero no demuestran la comprensión de las
propiedades estructurales de una proporción.
5. En el quinto, los estudiantes dan pruebas de un razonamiento proporcional
de tipo cualitativo, usan correctamente el lenguaje cualitativo implícito en
una comparación de razones y para ello utilizan las relaciones entre los
cuatro datos del problema.
6. En el sexto, los estudiantes usan correctamente el lenguaje algebraico para
representar proporciones y muestran su comprensión de las relaciones
numéricas entre los datos, tanto las escalares (dentro de una magnitud) como
las funcionales (entre magnitudes).
En la actualidad, los estudios se dirigen a establecer, cada vez con mayor
precisión, características cognitivas específicas que permitan promover el desarrollo del
razonamiento proporcional y el aprendizaje de la proporcionalidad por medio de la
resolución de situaciones y problemas de razón y proporción.
Desde la faceta afectiva, existen principalmente dos aspectos importantes que
contribuyen adecuadamente en el proceso de enseñanza y aprendizaje del razonamiento
proporcional. Uno de ellos y más general, es el que refiere a concebir el aula de clase
como un espacio social (Godino, Font, Wilhelmi y Castro, 2009), en el que se debe
impulsar la participación del alumno, promover su responsabilidad en el trabajo tanto
individual como grupal y fomentar su interés y motivación por la materia, haciéndole
asumir la responsabilidad del compromiso de aprender los contenidos impartidos.
El segundo de estos aspectos se refiere más particularmente a la visión del
contenido matemático de la proporcionalidad y los porcentajes como algo socialmente
útil y preciso, que conforma un aprendizaje de cosas que se usan en el día a día de la
gente, que contribuye con un desenvolvimiento social adecuado y que, por ende, su
aprendizaje es de interés para las personas. De esta forma, el razonamiento proporcional
constituye la base de un adecuado desenvolvimiento de la persona en actuaciones
comunes de la vida diaria (por ejemplo, considerar la relación precio/peso o
precio/número de piezas para elegir un producto), y además es el fundamento de
diversos contenidos científicos en el resto del currículo escolar.
El profesor es una pieza fundamental para fomentar el interés y la motivación
del alumno, dotando de sentido al contenido matemático de la proporcionalidad y
mostrando su aprendizaje como una acción útil para el adecuado desenvolvimiento del
alumno en el entorno que le rodea. Este objetivo es alcanzable desarrollando
experiencias de enseñanza, tareas y aprendizajes de la proporcionalidad en las que se
tengan en cuenta situaciones próximas al contexto sociocultural del alumno.
En la Tabla 4 se incluyen indicadores de idoneidad didáctica para las facetas
cognitiva y afectiva; algunos son criterios generales propuestos en Godino (2013) y
otros específicos para el estudio del tema de la proporcionalidad en secundaria,
inferidos de las referencias citadas previamente.
COMPONENTES
DESCRIPTORES
Conocimientos
previos
Los alumnos tienen los conocimientos previos necesarios para el
estudio de la proporcionalidad en su enfoque geométrico, aritmético y
algebraico (tanto si se han estudiado anteriormente como si el profesor
le dedica unas sesiones previas).
Los contenidos pretendidos de proporcionalidad y porcentajes pueden
ser alcanzados en sus diferentes enfoques por el alumnado, teniendo un
nivel de dificultad accesible.
Aprendizaje
Los distintos instrumentos de evaluación empleados deben indicar si
los alumnos logran los niveles de aprendizaje pretendidos.
Los instrumentos de evaluación tienen en cuenta la evaluación de los
distintos niveles de adquisición del aprendizaje.
Los resultados de las evaluaciones se difunden y usan para tomar
decisiones.
Las tareas que se seleccionan para evaluar son representativas de los
aprendizajes pretendidos.
Adaptaciones
curriculares a las
diferencias
individuales
Se incluyen tareas de ampliación y de refuerzo.
Se fomenta el acceso y el logro de todos los estudiantes al contenido
del tema de la proporcionalidad y porcentajes.
Intereses y
necesidades
Las tareas se contextualizan en temas de interés para los alumnos.
Se proponen tareas de proporcionalidad y porcentajes que valoran su
utilidad en la vida cotidiana y profesional del alumno.
Actitudes
Se promueve la participación del alumnado en las tareas y la
responsabilidad en el trabajo en equipo.
En la resolución en común de tareas se favorece la argumentación en
situaciones de igualdad; el argumento se valora en mismo y no por
quién lo dice.
Se incentiva la constancia y el trabajo sistemático.
Emociones
Se promueve la autoestima y seguridad en sí mismo para realizar
tareas de proporcionalidad y porcentajes (evitando el rechazo, fobia o
miedo a las tareas propuestas).
Se resaltan las cualidades de estética y precisión de la
proporcionalidad y los porcentajes.
Tabla 4: Componentes e indicadores de idoneidad cognitiva y afectiva.
4.3. Faceta instruccional (interaccional y mediacional)
Desde una perspectiva instruccional, autores como Fernández (2001), proponen
intervenir didácticamente por medio de una secuencia de tareas asociadas a la noción de
razón y con un alto contenido de comparaciones proporcionales cualitativas, actuando
desde edades tempranas, previas y preparatorias para que tal noción de proporcionalidad
sea producto de las mismas. Este autor, como también Fiol y Fortuny (1990), propone
un inicio de la enseñanza de la proporcionalidad informal, intuitivo y cualitativo
dirigido, hacia la meta de la formalización y la algoritmización.
En esta propuesta de enseñanza debe tenerse en cuenta inicialmente las
estrategias de resolución que emplean los alumnos; es decir, se debería partir de las
estrategias informales de los estudiantes y reconducirlos a la adquisición de
razonamientos funcionales-algebraicos. El aprendizaje de los algoritmos debe ser
precisamente el punto de llegada o resultado de un profundo razonamiento, y no el
punto de partida con un aprendizaje meramente mecánico.
Otra propuesta didáctica fundamentada de la proporcionalidad es la de Martínez
et al. (2015). En dicha propuesta, se sugiere profundizar en la relación de
proporcionalidad directa durante primer curso de ESO, dejando la inversa para segundo.
Esto permite asimilar mejor el concepto y el manejo de la razón y las relaciones
directas, permitiendo incluso tratar situaciones de proporcionalidad simple compuesta.
Para ello, priorizan el significado de razón como “tanto por uno”, para que la notación
a/b represente una cantidad de una magnitud cociente y no dos números separados.
En el texto de Godino y Batanero (2003) se describen también algunas tareas y
recursos que son fundamentales para iniciar al alumno en el estudio de la
proporcionalidad, partiendo de un concepto intuitivo de razón y proporción, por lo que
serán de gran ayuda en el desarrollo inicial del razonamiento proporcional:
1. Proporcionar una amplia variedad de tareas sobre razones y proporciones en
diversos contextos, que pongan en juego relaciones multiplicativas entre
distintas magnitudes.
2. Estimular la discusión y experimentación en la comparación y predicción de
razones. Procurar que los alumnos distingan las situaciones de comparación
multiplicativa (proporcionalidad), de las no multiplicativas, proporcionando
ejemplos y discutiendo las diferencias entre ellas.
3. Ayudar a los alumnos a relacionar el razonamiento proporcional con otros
procesos matemáticos. El concepto de fracción unitaria es muy similar al de
tasa unitaria. El uso de tasas unitarias para comparar razones y resolver
proporciones, es una de las técnicas más apropiadas.
4. Reconocer que los métodos mecánicos de manipulación de símbolos, como
los esquemas del tipo “regla de tres” para resolver problemas de
proporcionalidad, no son apropiados para desarrollar el razonamiento
proporcional y no se deberían introducir hasta que los alumnos tengan un
cierto dominio de otros métodos intuitivos y con un fundamento matemático
consistente.
Un segundo paso de utilidad práctica para la enseñanza de este tipo de
razonamiento por medio de las tareas, es el cálculo del valor desconocido o faltante de
alguno de los cuatro términos que intervienen en una proporción. El conocimiento de
una razón se puede usar para hallar el valor de otra. Las tareas en las que aparezcan
comparaciones de cantidad-precio, el uso de escalas en los mapas, la solución de
problemas de porcentajes y el empleo de recursos informáticos que se ofrecen en
internet (http://math.rice.edu/~lanius/proportions/index.html) son algunos ejemplos de
recursos prácticos en las que se precisa resolver proporciones. Los alumnos deberán
aprender a plantear estos problemas de manera simbólica, aplicando algún tipo de
algoritmo y a resolverlos numéricamente.
4.4. Faceta ecológica
La proporcionalidad y porcentajes se contempla en diferentes bloques temáticos
dentro del currículo (MECD, 2014), donde se establecen los contenidos, criterios de
evaluación y estándares de aprendizaje del currículo básico para la Educación
Secundaria Obligatoria y el Bachillerato.
En los Principios y Estándares 2000 del NCTM (2000) se menciona la
proporcionalidad ya en los grados 3-5 en la forma siguiente:
Comprensión numérica: reconocer y generar formas equivalentes de formas
comunes en que se representan las fracciones, decimales y porcentajes.
Los estudiantes deben comprender el significado de un porcentaje como parte de
un total y usar porcentajes comunes como 10 o 50 por ciento. Al estudiar las
fracciones decimales y porcentajes conjuntamente pueden aprender a pasar de
una a otra forma equivalente.
Asimismo, en conexión con la estadística se sugiere que los alumnos
representen datos en gráficos de líneas y barras, en cuya construcción aparece
implícitamente la proporcionalidad.
En los grados 6-8 se menciona:
Trabajar con flexibilidad con fracciones, decimales y porcentajes para resolver
tareas.
Comprender porcentajes mayores que 100 y menores que 1.
Como síntesis de criterios de idoneidad ecológica para procesos de estudio de la
proporcionalidad se pueden aplicar los criterios descritos en Godino (2013).
5. Valoración de la idoneidad didáctica y propuestas de cambio
A continuación, se analizan el diseño, la implementación y la evaluación de la
experiencia de enseñanza de la unidad didáctica de proporcionalidad y porcentajes
vivida en el periodo de prácticas, teniendo en cuenta, tanto los conocimientos didáctico-
matemáticos ya sintetizados en la sección anterior, como los criterios de idoneidad
didáctica propuestos en Godino (2013). Se trata de responder a las preguntas:
1. ¿Cuál es el grado de idoneidad didáctica, del proceso de enseñanza-aprendizaje
sobre la proporcionalidad y porcentajes, experimentado durante el periodo de
prácticas en primero de la ESO?
2. ¿Qué cambios se podrían introducir en el diseño e implementación del proceso
de estudio, para incrementar su idoneidad didáctica?
En definitiva, se trata de valorar la idoneidad didáctica de la experiencia y de
identificar propuestas fundamentadas de posibles cambios, para un futuro rediseño de la
unidad didáctica.
5.1. Facetas epistémica y ecológica
El proceso de estudio implementado ha seguido básicamente los contenidos y
orientaciones propuestas en el libro de texto (Colera y Gaztelu, 2010), que se emplea
para 1º de ESO en el instituto en el que se ha realizado la práctica docente. En éste, a lo
largo de todo el desarrollo de la unidad didáctica, se plantea únicamente un enfoque en
el estudio y tratamiento de la proporcionalidad, el “aritmético”, echándose en falta el
enfoque o desarrollo geométrico y el algebraico, precedidos incluso por algunas
actividades de carácter intuitivo y cualitativo. Además, el concepto de la
proporcionalidad, desde este enfoque aritmético, se simplifica básicamente en la
transmisión de un algoritmo (la regla de tres), que hay que saber aplicar y operar en
cada caso. Para poder desarrollar éste método, el libro de texto reduce el concepto de
proporción a un nuevo nombre para dos fracciones equivalentes y el de la razón a
un nuevo nombre para la fracción, no contemplándose otro tipo de tratamiento o de
tareas que ayuden al alumno a desarrollar el razonamiento proporcional mediante la
reflexión. Desde el punto de vista de la estructuración del contenido, este algoritmo no
se debería haber introducido hasta que el alumno hubiera ejercitado o tuviera, un cierto
dominio de otros métodos de comprobación y resolución más intuitivos. Resulta
evidente que su contenido es básicamente procedimental, haciendo de la “regla de tres”
el único método de resolución de los problemas de proporcionalidad, centrando al
alumno en una actuación meramente mecánica, vacía de conceptos, carente de
razonamientos y exenta de reflexión sobre si los problemas que se plantean son o no de
proporcionalidad.
Ahora bien, debido a los contextos en los que se tratan los conceptos y sobre
todo las tareas que se proponen a lo largo del desarrollo de la unidad didáctica, se ve
enriquecido el estudio de algunos otros contenidos intradisciplinares, como son el de los
números racionales, la equivalencia de fracciones, los números decimales y el sistema
métrico decimal; y otros contenidos interdisciplinares como son la física, la química y la
economía, reconociéndose y aplicándose en éstos últimos, propiedades de la
proporcionalidad y los porcentajes. Todo ello contribuye a la formación socio-cultural y
profesional de los alumnos, destacándose en éste sentido la parte del libro relativa a los
porcentajes.
En cuanto a la serie de tareas contenidas en el libro de texto y que se propusieron
a los alumnos para su resolución, suponen una muestra representativa para ejercitar y
aplicar el contenido pretendido, aunque se omiten actividades en las que los alumnos
tengan que formular sus propios problemas de proporcionalidad y porcentajes, tal y
como aconsejan los indicadores de idoneidad epistémica.
En referencia al lenguaje matemático empleado, éste es el adecuado para un
nivel educativo de primero de la ESO, aunque, tanto en la parte de tareas como en la
parte de los desarrollos conceptuales, se puede comprobar el empleo de una pobre
tipología de expresiones y representaciones matemáticas, destacándose únicamente el
empleo del lenguaje simbólico y numérico mediante tablas de valores. Esto es debido a
la inexistencia de los tratamientos o enfoques geométrico y algebraico de la
proporcionalidad, que echan mano principalmente en sus desarrollos del lenguaje
gráfico (función lineal) y manipulativo (construcción de figuras semejantes).
Desde la perspectiva curricular o ecológica, la proporcionalidad es introducida
en el libro mediante ejemplos, que llevan a definir cuándo existe proporcionalidad
directa o inversa entre dos magnitudes, echándose en falta definiciones conceptuales
fundamentales como son los de la razón”, la proporción y la constante de
proporcionalidad”, que ni siquiera son mencionadas en alguna sección del libro y que sí
se recogen como conceptos clave en las orientaciones curriculares para este nivel
educativo.
En consecuencia, por las razones mencionadas anteriormente, se podría calificar
la idoneidad epistémica y ecológica del proceso de enseñanza implementado como baja.
En los trabajos citados en la sección 4 se pueden encontrar más criterios y recursos para
su mejora.
5.2. Facetas cognitiva y afectiva
Uno de los errores y dificultades más significativos, detectados en algunos
alumnos mediante los dos instrumentos de evaluación llevados a cabo, fue el de no
saber distinguir entre la proporcionalidad directa y la inversa, y la distinción entre
situaciones proporcionales y no proporcionales. El libro de texto le dedica muy poco
contenido a esta cuestión y hubiera sido conveniente dedicarle algo más de tiempo e
incluso enfatizarlo aún más, dándole una mayor importancia a la proporcionalidad desde
un tratamiento cualitativo para pasar después al aspecto cuantitativo.
Respecto a la secuenciación temporal del contenido curricular, se justifica
suficientemente, (apoyado por lo expuesto anteriormente en la parte de la faceta
epistémica), retrasar el estudio de la proporcionalidad y porcentajes en la programación
didáctica del centro, anteponiendo unidades didácticas relacionadas con la semejanza de
figuras y con las funciones lineales, que sirvan como sustento a los diferentes
tratamientos que requiere el tema.
Desde el enfoque aritmético de la proporcionalidad que propone el libro de
texto, los conocimientos previos que se requieren para el estudio de proporcionalidad y
porcentajes son las fracciones y su equivalencia, la resolución de problemas básicos de
aritmética, las operaciones con números decimales y relaciones entre fracciones y
números decimales. Todos estos contenidos se impartieron en unidades anteriores según
la programación didáctica del centro. Sin embargo, los resultados obtenidos en las dos
evaluaciones llevadas a cabo (corrección de tareas de clase y examen evaluativo
formativo) no fueron muy satisfactorios, pese a que los contenidos impartidos de la
proporcionalidad y porcentajes fueron de un nivel de dificultad accesible y acorde al de
primero de la ESO. Muchos de los alumnos presentaron serias dificultades y errores a la
hora de operar con números decimales y fracciones, por lo que se debería haber
dedicado una sesión inicial al repaso de éstos conocimientos previos.
Uno de los aspectos positivos del libro de texto es que, en la sección de tareas,
todas ellas vienen marcadas con un código de triángulos, según el nivel de dificultad
que presentan, lo que simplificó el trabajo de adaptación curricular, proponiendo para
algunos alumnos tareas de refuerzo y para otros, en el menor de los casos, tareas de
ampliación. Gracias a ello, se facilitó el logro de los aprendizajes pretendidos de la
unidad didáctica a todos los alumnos de la clase, que partían desde su propio y personal
nivel de conocimiento.
Para evaluar el ritmo y el nivel de aprendizaje de los alumnos sobre el contenido
impartido, se utilizaron dos instrumentos de evaluación: la recogida y corrección de una
serie representativa de tareas, a mitad de la unidad didáctica y un examen de evaluación
formativo, al final de ésta. Estos dos instrumentos tuvieron en cuenta en su calificación,
los distintos niveles de adquisición del aprendizaje pretendido y una vez corregidos, se
repartieron entre los alumnos para que comprobasen y revisasen donde habían cometido
los errores. Además, mediante el instrumento evaluativo llevado a cabo a mitad de la
unidad didáctica, se pretendió detectar dónde se habían producido las dificultades y
errores más comunes, para tratar de adaptar y reconducir la enseñanza, enfatizando más
sobre los conceptos y procedimientos clave implicados.
Por otra parte, que el contenido y la serie de tareas propuestas del libro de texto
tuvieran familiaridad con el contexto, enriqueció bastante la propuesta didáctica, no solo
en el aspecto atencional y motivacional, ya que los alumnos valoraban la utilidad de esta
parte de las matemáticas en sus vidas, sino porque, facilitó su entendimiento a la hora de
recibir instrucciones con las que debían enfrentarse a los problemas.
La dinámica didáctica desarrollada a lo largo de las sesiones, pretendió
sistematizar e incentivar una constancia del trabajo en el alumno: atender a las
explicaciones del profesor, empezar a trabajar las tareas de la materia impartida en clase
y terminar de hacer las tareas en casa. También, la realización de las tareas por parejas y
la socialización de sus correcciones a lo largo de las sesiones de clase, con preguntas
frecuentes y salidas esporádicas a la pizarra, contribuyeron a potenciar la autoestima de
los alumnos a la hora de enfrentarse a problemas de proporcionalidad y todos los
alumnos mostraron siempre una actitud muy positiva para este tipo de estrategia de
trabajo, promoviéndose la participación de los alumnos en las tareas.
En consecuencia, se puede calificar la idoneidad cognitiva-afectiva del proceso
implementado como de media-baja por las razones antes mencionadas. En los trabajos
citados en la sección 4 se pueden encontrar más criterios y recursos para su mejora.
5.3. Faceta instruccional (interaccional y mediacional)
Los modos de interacción en el aula que se implementaron en la experiencia
docente de prácticas, respondieron básicamente a un modelo tradicional: el profesor
primero explica los conceptos y procedimientos, ejemplificándolos en contextos de la
vida cotidiana para hacerlos más claros y enfatizando los contenidos clave, para que
posteriormente, los alumnos realicen diversas tareas relacionadas con lo impartido.
Hubiera sido deseable introducir algunos cambios en el proceso de enseñanza,
orientados a que los alumnos planteasen cuestiones y presentasen soluciones;
explorando ejemplos y contraejemplos para investigar y conjeturar; usando una mayor
variedad de herramientas para razonar, argumentar, hacer conexiones, resolver
dificultades y comunicarlas.
Son escasos los momentos en los que se les concedía un grado de autonomía a
los estudiantes, exceptuando los momentos de trabajo individual para la realización de
las tareas propuestas para casa. Por el contrario, en el trabajo de las tareas en clase, a los
alumnos se les permitían que realizasen consultas por parejas con su compañero de
pupitre, lo que favoreció el diálogo, la argumentación y la comunicación entre ellos.
Igualmente sucedía con las salidas esporádicas de algunos alumnos a la pizarra durante
la fase de resolución de las tareas, o con las preguntas lanzadas a los alumnos durante la
fase de explicación del profesor. Éstas, no solo contribuyeron a implicar y captar la
atención y la motivación de los alumnos, sino que también facilitó la inclusión de los
alumnos en la dinámica de clase.
En esta experiencia didáctica se utilizaron únicamente los recursos propios del
aula del instituto al alcance de los alumnos: pizarra, proyector, libro de texto y
calculadora. No se emplearon recursos manipulativos ni otros recursos TIC ya que en
realidad no se consideraron necesarios para apoyar la enseñanza y aprendizaje de los
contenidos planificados.
Con respecto a la componente temporal de la idoneidad instruccional (en su
aspecto temporal), se considera que el empleo de las sesiones dedicadas al desarrollo del
contenido más importante, de tipo conceptual y procedimental de la proporcionalidad y
porcentajes, en sus cuatro enfoques o aproximaciones (intuitivo, geométrico, aritmético
y algebraico) sería escaso si, además, se quiere dedicar el tiempo suficiente a los
contenidos que presentan una mayor dificultad de comprensión y aprendizaje.
La distribución de los alumnos en el aula no fue aleatoria, ni escogida por ellos
mismos, ya que su comportamiento variaba según el compañero con el que estuvieran
sentados. Además, durante las sesiones estuvieron presentes dos profesores de prácticas,
lo que ayudó a que el funcionamiento de la clase fuera el correcto en cuanto a
comportamiento y atención. Cuando los dos profesores trabajaban en clase las tareas,
los alumnos tenían una atención más personalizada y una mayor dedicación,
disponiendo de varias fuentes de consulta para resolver sus dudas. A su vez, a los
profesores les servía para llevar a cabo un mejor seguimiento del progreso cognitivo de
los estudiantes.
El número de alumnos (30) y su distribución eran idóneos, pero el horario de las
clases de matemáticas no fue el adecuado. De las cinco horas semanales de clase, tres
estaban colocadas por la mañana antes del recreo, pero las dos horas restantes se
situaban a última hora, el último día de la semana. Este hecho no favorecía un nivel
adecuado de atención y motivación en clase del alumno, por lo que su comportamiento
era complicado de gestionar en estas horas de trabajo.
La mejora de la idoneidad interaccional y mediacional del proceso, nos llevaría a
incluir actividades y tareas con material manipulativo y con recursos informáticos
(Godino y Batanero, 2003) que pueden constituir herramientas novedosas y útiles para
alcanzar los aprendizajes pretendidos.
6. Síntesis y conclusiones
La elaboración de este trabajo ha permitido conocer y aplicar unas herramientas
útiles para analizar la práctica docente. Focalizar la atención en la valoración de la
idoneidad didáctica del proceso de enseñanza vivido, ha llevado a tomar conciencia de
la necesidad de recopilar, analizar y sistematizar los conocimientos didáctico-
matemáticos disponibles, al menos una parte sustantiva de los mismos. Estos son
resultado de la abundante investigación que se viene realizando a nivel internacional
sobre la enseñanza y aprendizaje de los distintos temas curriculares, por lo que cualquier
propuesta de cambio en el diseño, implementación y evaluación de todo un curso o una
sola unidad didáctica debe tener en cuenta los resultados de las innovaciones e
investigaciones previas.
En este caso, la enseñanza de la proporcionalidad y porcentajes, fue
implementada en un contexto educativo específico, el cual impone condicionamientos
difíciles de superar: tiempo asignado (programación didáctica del centro), material de
aprendizaje (libro de texto), así como una manera o concepción implícita de entender la
matemática y su enseñanza, compartida por el departamento de matemáticas del centro.
Estas restricciones, u otras, siempre estarán presentes en nuestra práctica profesional
como profesores; pero es importante tomar conciencia de las mismas, así como de
conocer otras maneras de concebir la matemática, su enseñanza y aprendizaje. La
reconstrucción de un significado de referencia didáctico-matemático amplio, como el
esbozado en la sección 4, es imprescindible para introducir progresivamente propuestas
de cambio fundamentadas.
Como indican Posadas y Godino (en prensa), la noción de idoneidad didáctica
proporciona una síntesis global sobre los procesos de estudio matemáticos, pero su
aplicación requiere realizar los análisis previos de las diversas facetas implicadas. En
particular, la idoneidad epistémica requiere caracterizar los tipos de problemas, los
sistemas de prácticas institucionales correspondientes, así como la reconstrucción de las
configuraciones y procesos matemáticos implicados. La idoneidad cognitiva precisa
elaborar información detallada de los significados personales de los estudiantes y la
identificación de conflictos de aprendizaje potenciales. La idoneidad interaccional y
mediacional requiere analizar las trayectorias de estudio y las interacciones didácticas
entre el docente, los estudiantes y los medios disponibles. El análisis de las normas
ayudará a comprender los factores ecológicos que condicionan los procesos de estudio,
y, por tanto, la valoración de la idoneidad ecológica. El Ministerio de Educación, a
través del Real Decreto 1105/2014 que establece el currículo básico de la ESO, hace
referencia al estudio de la proporcionalidad y porcentajes de forma conjunta en los
cursos de primero y segundo de la ESO, deja en consecuencia una cierta libertad sobre
la elección del nivel de dificultad en contenidos, a delimitar entre los dos cursos, a los
autores de libros de texto y a los departamentos de matemáticas de los centros
educativos.
El mayor condicionamiento para la enseñanza implementada ha venido de la
decisión de usar el libro de texto (Colera y Gaztelu, 2010). Tras esta decisión, puede
haber una concepción, por parte de los profesores del departamento, que valora
positivamente el aprendizaje de algoritmos y atribuye una cierta incapacidad de los
estudiantes para la comprensión conceptual y la argumentación deductiva.
Otro factor restrictivo para la introducción de cambios en los contenidos y el
consiguiente uso de medios tecnológicos es el tiempo disponible para el desarrollo del
tema, la programación didáctica de las matemáticas de primero de la ESO, y en general,
en toda la etapa. Parece excesivamente recargado de contenidos, lo que puede dificultar
la implementación de innovaciones como las que se han identificado en nuestro estudio
del estado de la cuestión.
La formación inicial y permanente de profesores es un factor esencial para la
mejora de los procesos de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas. Esa formación
debe orientarse al desarrollo profesional de los profesores, y ello supone que éstos
adquieran y pongan en práctica un profundo conocimiento especializado del contenido
en sus diversas facetas: epistémica, ecológica, cognitiva, afectiva, interaccional y
mediacional (Godino, 2009).
7. Reconocimiento
Trabajo realizado parcialmente en el marco del proyecto EDU2012-31869, Ministerio
de Economía y Competitividad (MINECO).
8. Referencias
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... En la tabla 1 incluimos el conjunto de indicadores para los distintos componentes y subcomponentes de la idoneidad epistémica establecidos en Godino, Burgos, Beltrán-Pellicer, Gea y Giacomone (2019). A continuación, se describen los resultados de las investigaciones que fundamentan la adaptación de indicadores de Godino (2013) o de Aroza et al. (2016), o la inclusión de nuevos indicadores en la guía. -Se incluyen problemas para introducir, desarrollar y aplicar nociones de razón, proporcionalidad y porcentajes (involucra resolver y formular problemas). ...
... Problemas. Aroza et al. (2016) distinguen cuatro significados institucionales para la proporcionalidad: intuitivo, geométrico, aritmético y algebraico. Un tratamiento de este tema desde el significado intuitivo-informal supone la presencia de tareas que impliquen la comparación perceptiva de las relaciones proporcionales entre formas geométricas dibujadas a escala (Ruiz y Valdemoros, 2006), o la comparación multiplicativa de los números (Behr, Harel, Post y Lesh, 1992). ...
... Por otro lado, desde el enfoque geométrico del tema (semejanza), son representativas las tareas vinculadas a las escalas, que implican realizar ampliaciones y reducciones de figuras que conservan su forma, como las contempladas en Ben-Chain, Keret e Ilany (2012) y Brousseau (1997). Desde el enfoque aritmético de la proporcionalidad, se reconocen esencialmente dos tipos de problemas: de comparación, en los que se dan cuatro valores, relacionados de manera multiplicativa dos a dos, formando dos razones y que se resuelven por un procedimiento netamente aritmético, o de valor faltante (uno de los términos de la proporción es desconocido), que se suelen resolver con la regla de tres (Aroza et al., 2016). Finalmente, situaciones que puedan ser modeladas con una función de la forma y=kx, en la que k es la razón constante (constante de proporcionalidad) tienen lugar desde el enfoque algebraico de la proporcionalidad (Aroza et al., 2016). ...
Article
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El objetivo de este trabajo es construir una pauta de indicadores de idoneidad didáctica específicos para el tema de la proporcionalidad, que pueda servir de apoyo para el análisis y valoración de lecciones de libros de texto, y como recurso para la reflexión de los profesores sobre procesos de instrucción efectivamente implementados sobre proporcionalidad. Dado que el estudio del razonamiento proporcional se ha constituido en un campo de investigación relevante en educación matemática, es posible identificar criterios de idoneidad específicos para orientar los procesos de enseñanza y aprendizaje, aplicando la metodología de análisis de contenido a una revisión bibliográfica de investigaciones claves en esta área. Las facetas, componentes e indicadores de la noción de idoneidad didáctica orientan la selección y categorización de conocimientos didáctico-matemáticos sobre la proporcionalidad en educación primaria y secundaria derivados de las investigaciones sobre este contenido. Finalmente, se obtiene una Guía de análisis de lecciones de libros de texto de Matemáticas adaptada al tema de proporcionalidad. Dado que el libro de texto es un material curricular que determina en gran medida lo que sucede en el aula y actúa como mediador en el aprendizaje del estudiante, y que el estudio de las razones, proporciones y la proporcionalidad en los currículos de educación primaria y secundaria es un hecho, la guía obtenida puede ser un recurso valioso para el docente. Es necesario el diseño e implementación de acciones formativas con profesores para su conocimiento y uso competente, entendiendo que no supone una propuesta cerrada.
... En cuanto a los proyectos con énfasis investigativos se pueden identificar una gran cantidad de trabajos donde se estudian temas variados, entre los que se pueden mencionar: la valoración de la solución de tareas por parte de los profesores (Aké, Castro y Godino, 2011;Gonzato, Godino y Neto, 2011;Giacomone, Godino, Wilhelmi y Blanco, 2016;Burgos, Beltrán, Giacomone y Godino, 2018); la valoración de la idoneidad didáctica de clases, propuestas didácticas, planes de estudio, libros de texto y las diferentes herramientas curriculares que tienen a disposición los profesores al desarrollar temáticas específicas como sumas y restas (Godino, Font y Wilhelmi, 2006), proporcionalidad (Aroza, Godino y Beltrán, 2016), números racionales (Nardoni y Pochulu, 2013), medidas de longitud (Vanegas, Font y Pino-Fan, 2019), álgebra (Sánchez y Ramírez, 2018), logaritmos (Morales y Font, 2019), funciones (Godino, Bencomo, Font y Wilhelmi, 2006;Amaya, 2020), límites (Contreras, García y Font, 2012), derivada (Robles, Castillo y Font, 2012;Pino-Fan, Castro, Godino y Font, 2013), entre otros; diseños de instrumentos para la evaluación del CDM de los profesores (Godino, Rivas y Arteaga, 2012;Godino, et al., 2015); análisis de los criterios usados por los profesores para justificar y reflexionar sobre propuestas didácticas y su propia práctica (Breda y Lima, 2016;Breda, 2018;Seckel, et al., 2018;Arceo, et al., 2019;Pino-Fan, et al., 2020;Breda, 2020;Esqué y Breda, 2021 (Castro, 2011;Konic, 2011;Arteaga, 2011;Contreras, 2011;Mohamed, 2012;Rubio, 2012;Crisóstomo, 2012;Rivas, 2013;Pino-Fan, 2013;Vásquez, 2014;Gómez, 2014;Rivas, 2014;Seckel, 2016;Mateus, 2017;Giacomone, 2018;Mejías, 2019;Morales, 2019). ...
Thesis
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En este documento se presenta un informe de los resultados obtenido al implementar un proyecto de intervención que busca describir cómo se desarrolla el Conocimiento Didáctico Matemático sobre Modelación Matemática en un grupo de profesores que participan de la implementación de una Lesson Study. Para lograr este objetivo se empleó un diseño metodológico que contempló el uso combinado de la metodología Lesson Study y la herramienta Criterios de Idoneidad, a partir del desarrollo de 4 fases de intervención (Estudio preliminar, Diseño, Implementación y Evaluación, discusión y reflexión) que vincularon la implementación de dos ciclos LS durante 9 sesiones de trabajo con los profesores. Los resultados obtenidos a partir de la implementación de este proyecto de intervención permitieron concluir que, desarrollar este tipo de estrategias al interior de las instituciones educativas, vinculando a docentes de matemáticas en ejercicio, permiten evidenciar un grado de desarrollo de las diferentes facetas que configuran el Conocimiento Didáctico Matemáticos sobre Modelación Matemática de los profesores, y contribuye positivamente en el fomento de nuevas estructuras de trabajo en la escuela, tales como el cultivo de comunidades de aprendizaje entre docentes, y semilleros matemáticos con una participación activa de los estudiantes.
... The use of technological resources in the mathematics class with the purpose of developing the CT in an integrated way is conceived as a didactic innovation, that is, it corresponds to a process of change experienced by teaching practices that, according to Aroza et al. (2016), must be accompanied by reflective processes. In this sense, several authors have given guidelines to train teachers in the development of the CT, and the idea of ...
Article
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The purpose of this study is to analyze the reflections of future kindergarten teachers when designing didactic sequences with the use of the bee-bot robot. A qualitative methodological design was followed to achieve this objective, collecting the data through a written record prepared by the participants from collaborative work. A total of 25 future teachers participated, forming six working groups. The data were analyzed with the content analysis technique, considering the criteria of didactic suitability-epistemic, cognitive, interactional, mediational, affective, and ecological-and their respective components. The results suggest that at the moment prior to the design of the didactic sequences, the reflections of the groups of future teachers are related only to some criteria, while, in the design of the proposed teaching and learning process, the units of analysis were related to all six criteria. With the results obtained, it is concluded that a future implementation and observation of the design of didactic sequences by the participants would allow the participants to consider more components of the criteria when reflecting. In addition, it is concluded that training that contemplates the criteria of didactic suitability, would also allow future teachers to deepen their reflections, guiding them with these tools.
... Una de las líneas de desarrollo de este constructo es su concreción para contenidos y procesos específicos (Breda et al., 2018). En cuanto a los contenidos se destacan, entre otros, los trabajos de Aroza et al. (2016) para la proporcionalidad, y de Posadas y Godino (2017) para la ecuación cuadrática. En cuanto a los procesos, en este estudio se pretende seguir una línea similar para la modelización matemática. ...
Conference Paper
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El objetivo de este trabajo, de corte teórico-reflexivo, es establecer potenciales relaciones entre dos tipos de principios: por una parte, los principios específicos que orientan la incorporación de la modelización matemática en los procesos instruccionales y, por otra parte, los Criterios de Idoneidad Didáctica como una propuesta de principios generales de la Educación Matemática. Para ello, primero se realizó una revisión de la literatura especializada en modelización para identificar los argumentos y principios sobre este proceso y su incorporación en la enseñanza de la matemática; luego, estos argumentos y principios se organizaron en principios más generales; y finalmente, estos principios se relacionaron con los Criterios de Idoneidad Didáctica. Como resultado principal, se sentaron las bases para el diseño de una pauta de Criterios de Idoneidad Didáctica específicos para los procesos instruccionales que incluyan la modelización matemática.
... En la proporcionalidad deberían incluirse situaciones-problemas representativas de sus distintos significados: intuitivo-informal (situaciones de comparación cualitativa), geométrico (situaciones de semejanza, escalas), aritmético (situaciones de comparación y de valor faltante) y algebraico (situaciones que empleen el modelo de la función lineal) (AROZA; GODINO; BELTRÁN-PELLICER, 2016;GODINO, 2020). Estos significados deben aparecer articulados y han de establecerse relaciones con los números racionales y las magnitudes (AROZA; GODINO; BELTRÁN-PELLICER, 2016). ...
Article
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Resumen Una lección de libro de texto describe el proceso instruccional previsto para el estudio de un contenido, por lo que constituye un recurso relevante para los docentes, que deberán ser críticos cuando decidan cómo emplearla en su planificación curricular. En este estudio se describen y analizan las reflexiones que hacen futuros maestros sobre el grado de adecuación de una lección de libro de texto de proporcionalidad, su modo de uso y los cambios que llevarían a cabo para incrementar la idoneidad didáctica del proceso instruccional implementado. El análisis cualitativo de sus informes escritos permite identificar las referencias a criterios de idoneidad didáctica que incluyen en sus valoraciones. Los resultados reflejan que los futuros maestros reflexionan correctamente sobre aspectos epistémicos (falta de argumentación, falta de claridad en la presentación de conceptos, poca variedad de situaciones y representaciones), cognitivos (falta de atención a conocimientos previos, no advertencia de errores y dificultades al alumno) e instruccionales (la lección prioriza el aspecto procedimental y deja interacciones entre alumnos en segundo plano). Aunque la mayoría identifica conflictos semióticos en la lección y reconoce que el texto debe ser un recurso sobre el cual ha de realizarse cambios para una gestión eficiente, las modificaciones que proponen refieren sólo de modo parcial a la valoración realizada previamente, priorizando cambios en lo epistémico (variar tipología de tareas) y cognitivo (incluir resúmenes de contenidos previos). Concluimos este estudio con una propuesta de mejoras para posteriores intervenciones formativas.
Article
The objective of this study is the construction of a guideline of indicators of didactic suitability related to the topic of proportionality, which can be used as a basis for the analysis and evaluation of textbook lessons, and as a resource for teachers’ reflection on effectively implemented instructional processes about proportionality. Since the study of proportional reasoning has become a relevant field of research in mathematics education, it is possible to identify specific suitability criteria for guiding the teaching and learning processes, applying the methodology of content analysis to a bibliographic review of key research in this area. Various aspects, components, and indicators of the notion of didactic suitability guide the selection and categorization of didactic-mathematical knowledge about proportionality in elementary and secondary education derived from research about such content. Finally, a Mathematics Textbook Lesson Analysis Guide adapted to the topic of proportionality was created. Since the textbook contains curricular material that largely determines what happens in the classroom and acts as a mediator in student learning, and ratios, proportions, and proportionality are studied in the curricula of elementary and secondary education, the Guide obtained can be a valuable resource for teachers. It is necessary to design and implement training actions with teachers that they are familiar with and can use competently, bearing in mind that there is always room for further improvement.
Article
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A textbook lesson can be considered as a potential or planned instructional process proposed by the author’s book, which can help the teacher to design and implement an effective instructional process. This permits the application of didactical analysis tools of the onto-semiotic approach to mathematical knowledge and instruction in order to assess the didactical suitability of the instructional process, identify possible conflicts of meaning and potential improvements. In this article, we describe the process of developing a Mathematics Textbook Lesson Analysis Guide using the didactical suitability theory and its operational breakdown into components, subcomponents and indicators. The formulation of the suitability criteria, as rules that permit to guide an informed assessment of the suitability of a teaching and learning process, has led us to carry out a content analysis of the key research on textbook analysis and the consensus adopted in the research community regarding the suitability criteria. Assuming that a mathematics teacher has decided to use a textbook lesson as a resource to help the teaching and learning process of some mathematical content, the analysis guide is presented as a tool that allows the teacher to assess the didactical suitability and facilitate the making of informed decisions about the lesson use in the classroom.
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Resumen Una lección de un libro de texto puede ser considerada como un proceso de instrucción potencial o planificado por el autor del libro, que sirve de apoyo al docente para diseñar e implementar un proceso de instrucción efectivo. Esto permite aplicar las herramientas de análisis didáctico del enfoque ontosemiótico del conocimiento y la instrucción matemática, para valorar la idoneidad didáctica de dicho proceso, identificar posibles conflictos de significado y decidir potenciales mejoras. En este artículo se describe el proceso de elaboración de una Guía de Análisis de Lecciones de Libros de Texto de Matemáticas utilizando la teoría de la idoneidad didáctica y su desglose operativo en componentes, subcomponentes e indicadores. La formulación de los criterios de idoneidad, en tanto reglas que permitan orientar de manera fundamentada la evaluación de la pertinencia de un proceso de enseñanza y aprendizaje, nos ha llevado a realizar un análisis de contenido de las investigaciones clave con relación al análisis de libros de texto y a los consensos adoptados en la comunidad científica. Suponiendo que un profesor de matemáticas ha decidido utilizar una lección de un libro de texto como recurso para apoyar el proceso de enseñanza y aprendizaje de algún contenido matemático, la guía de análisis le puede servir de apoyo para valorar la idoneidad didáctica de la misma y apoyar la toma de decisiones fundamentadas sobre su uso en el aula.
Article
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La educación infantil tiene el reto de constituirse en semilla fértil de una educación estocástica relevante para la formación de una ciudadanía que en contextos de incertidumbre y complejidad sea capaz de la toma las decisiones fundamentada. En respuesta a este desafío, en este artículo se describe, analiza y valora una propuesta de enseñanza para promover la alfabetización estadística, basada en un tipo de coreografía didáctica compleja y enriquecida por los desafíos emergentes del entramado social, natural y tecnológico que habitan los niños y niñas de 4 y 5 años del Jardín de Infantes Marqués de Sobremonte, Córdoba - Argentina; escenario de esta investigación. Se trata de un proceso metodológico de investigación-acción pedagógica que integró los aportes de la Documentación Pedagógica (DP) y de la Teoría de Idoneidad Didáctica (TID) a través de una guía de valoración de la idoneidad didáctica (GVID) que se aplicó a tres coreografías implementadas, obteniéndose un alto grado de idoneidad didáctica global que habilita su recomendación para la alfabetización estadística en edades tempranas y en los primeros años de la escuela primaria. Finalmente, la experiencia de integración de investigación-acción pedagógica, DP y TID potenció el involucramiento activo del equipo docente en la innovación educativa.
Thesis
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The present research is framed in a disciplinary study from Educational Mathematics, specifically taking as a reference the Socioepistemological Theory of Educational Mathematics, as well as psychometrics, by taking up the basic design guidelines that the answer options of a multiple-choice item should have. With the objective of identifying what Educational Mathematics, as a discipline of reference, contributes to the analysis of items and thus, to be able to build an instrument that allows us to identify the functionality of the distractors of the items that will make up a standardized test. For this purpose, we will take again the items referring to direct proportionality of five standardized tests that intend to evaluate the third partial of mathematics of the students of an institution of Higher Secondary Education from two ways: from Educational Mathematics, specifically the Socioepistemological Theory to analyze the mathematical activity put into play in each one of the items and from psychometrics, to analyze the functionality of the distractors. We found that the vast majority of the distractors contain a non-viable distractor and only one that meets all the design guidelines. On the other hand, we identified that the standardized assessment brings into play the notion of calculating in the handling of direct proportionality by focusing the response options on the identification of the correct procedure, as well as the correct accommodation of magnitudes in an equality of ratios. Our study showed that more attention should be paid to the distractors, given that the content they bring into play will be fundamental so that it is not easily discarded by the students. In addition, we were able to glimpse the notions that the standardized assessment brings into play about direct proportionality in the multiple-choice items.
Article
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Resumen: Se describe el proceso de reflexión sobre una experiencia de enseñanza realizada en la fase de prácticas de un máster de formación inicial de profesorado de secundaria en la especialidad de matemáticas. La reflexión se realiza aplicando la noción de idoneidad didáctica a las facetas epistémica, ecológica, cogniti-va, afectiva, interaccional y mediacional del proceso de estudio implementado sobre ecuaciones de segundo grado en tercer curso de educación secundaria. La valoración de la idoneidad didáctica, y la consiguiente identificación de propuestas fundamentadas de cambio para el rediseño de la experiencia, requiere recopilar y sintetizar los conocimientos didáctico-matemáticos producidos en la investigación e innovación sobre la enseñanza y aprendizaje de las ecuaciones cuadráticas. Se concluye que la aplicación de los criterios de idoneidad didáctica ayuda a sistematizar los conocimientos didácticos y su aplicación a la reflexión y mejora progresiva de la práctica de la enseñanza. Palabras clave: educación matemática; formación de profesores; educación secundaria; idoneidad didáctica; ecuaciones cuadráticas. Abstract: We describe the analysis of a teaching experience carried out by a secondary school mathematics trainee during her student teaching. We apply the notion of didactical suitability to the epistemic, ecological, cognitive, affective, interactional and mediational facets of the teaching and learning process on quadratic equations during the third year of secondary school (14-15 year olds). The evaluation of the process didactical suitability, and the subsequent identification of founded proposals to redesign the experience, requires collecting and synthesizing the metacognitive-mathematical knowledge produced in research and innovation on teaching and learning quadratic equations. We conclude that the application of the didactic suitability criteria helps to systematize metacognitive knowledge and its application in order to reflect on, and progressively improve, teaching practice.
Conference Paper
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La proporcionalidad aritmética es un tópico matemático de gran importancia curricular y práctica. Las, cada vez más de moda, pruebas internacionales así como abundantes estudios al respecto, muestran las dificultades que encuentran los alumnos al trabajar con las ideas implicadas en la proporcionalidad: razón y proporción, magnitudes proporcionales, etc. Pensamos que estas dificultades surgen en gran medida como consecuencia del modo en que tradicionalmente se plantea la enseñanza de este tema. Pese a ello, son escasas las investigaciones que abordan una revisión de este modo de enseñar y que plantean propuestas didácticas innovadoras. En esta comunicación presentamos las ideas básicas de una propuesta didáctica para la proporcionalidad aritmética en el primer ciclo de la E.S.O. y analizamos algunos puntos fuertes y debilidades detectados en un punto intermedio de su experimentación.
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Resumen La Didáctica de las Matemáticas debe aportar conocimientos descriptivos y explicativos de los procesos de enseñanza y aprendizaje de contenidos específicos que ayuden a comprender dichos procesos. Pero también debe orientar, de manera fundamentada, la acción efectiva sobre la práctica y promover su mejora progresiva, para lo cual se necesitan teorías de índole instruccional. En este trabajo mostraremos que la noción de idoneidad didáctica introducida en el marco del enfoque ontosemiótico del conocimiento y la instrucción matemática, y el sistema de indicadores empíricos que la desarrollan, puede ser el punto de partida de una teoría de la instrucción matemática orientada hacia la mejora progresiva de la enseñanza. Palabras claves: enseñanza y aprendizaje, diseño educativo, idoneidad didáctica, educación matemática. Abstract Indicators of didactical suitability for mathematics teaching and learning processes Mathematics education should provide descriptive and explanatory knowledge for teaching and learning of specific contents that help understanding these processes. But it also should guide, in a reasoned way, the effective action on practice to promote its progressive improvement. To reach this goal we need to develop instructional theories. In this work, we will show that the notion of didactical suitability and the system of empirical indicators that develop this idea, introduced in the onto-semiotic approach to mathematical knowledge and instruction, can be the starting point for a theory of mathematics instruction oriented towards the progressive improvement of teaching.
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Razones, proporciones y proporcionalidad constituyen un campo ampliamente investigado en los últimos cincuenta años. Evaluaciones recientes muestran que estos objetos de conocimiento siguen siendo difíciles de aprender para la mayoría de los estudiantes, lo que constituye un certero indicador de la necesidad de hacer mayor investigación didáctica que permita nuevas comprensiones de dicha problemática y, por esa vía, lograr mayores impactos en el sistema educativo. En este artículo se revisan y comentan algunas investigaciones recientes sobre razón, proporción y proporcionalidad. De acuerdo con la perspectiva de análisis, se agrupan en tres momentos: cognitivo, epistémico y semióticoantropológico. Finalmente, se plantean algunos problemas de investigación a manera de conclusión.
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This paper reports on the findings of a study conducted with a group of early childhood education undergraduate students. The study trialled a number of guided reflection techniques that acted to stimulate and provide a structure for reflection. These techniques were further supplemented by focus group discussions based on reflective principles, in the hope of fully engaging the students in the reflective process over the course of a year. All techniques were designed to assist the student teachers in becoming aware of the current philosophy they hold in relation to teaching and learning, and also in understanding how this has been shaped by past experiences, beliefs and knowledge. The effectiveness of the guided reflection techniques were evaluated by the participants at the end of the project. The surveys showed that three of the techniques were particularly successful. Student perceptions as to the success of the process are reported in this paper.
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Twenty-four sixth-grade children participated in clinical interviews on ratio and proportion before they had received any instruction in the domain. A framework involving problems of four semantic types was used to develop the interview questions, and student thinking was analyzed within the semantic types in terms of mathematical components critical to proportional reasoning. Two components, relative thinking and unitizing, were consistently related to higher levels of sophistication in a student's overall problem-solving ability within a semantic type. Part-part-whole problems failed to elicit any proportional reasoning because they could be solved using less sophisticated methods. Stretcher/shrinker problems were the most difficult because students failed to recognize the multiplicative nature of the problem situations. Student thinking was most sophisticated in the case of associated sets when problems were presented in a concrete pictorial mode.
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Ratio and Proportion-Research and Teaching in Mathematics Teachers' Education offers its readers an intellectual adventure where they can acquire invaluable tools to turn teaching ratio and proportion to professionals and school children into an enjoyable experience. Based on in-depth research, it presents a deep, comprehensive view of the topic, focusing on both the mathematical and psychological-didactical aspects of teaching it. The unique teaching model incorporates both theoretical and practical knowledge, allowing instructors to custom-design teacher courses according to their speci?c needs. The book reports on hands-on experience in the college classes plus teachers' experience in the actual classroom setting. An important feature is the extensive variety of interesting, meaningful authentic activities. While these activities are on a level that will engage pre- and in-service mathematics teachers in training, most can also be utilized in upper elementary and middle school classes. Accompanying the majority of these activities are detailed remarks, explanations, and solutions, along with creative ideas on how to conduct and expand the learning adventure. While primarily written for educators of mathematics teachers, this book can be an invaluable source of information for mathematics teachers of elementary and middle school classes, pre-service teachers, and mathematics education researchers.