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Un vistazo al método de Taylor con diferenciación automática para problemas de valor inicial

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Abstract

Among the several numerical methods to approximate solutions of ordinary differential equations, Taylor's method is one of the ancient methods to do so. Its developing is not too hard to understand from a theoretical point of view, as a consequence, such a method is studied in early courses of numerical analysis. However, the implementation of this method may result too much expensive because of the computation of the derivatives involved in the expansion. So, it was necessary to develop other methods where the computations of the derivatives are avoided, the classical methods of Runge-Kutta, Adams-Moulton, Adams-Bashfort are good examples of these methods. The main objective of this work is to expose an alternative approach to implement the Taylor's method with the aid of the technique called automatic differentiation. This approach allows us to compute the derivatives without the need of numerical approximations or analytic calculations.
Abstraction & Application volume (year) from page x to page y UADY
Un vistazo al m´etodo de Taylor con diferenciaci´on autom´atica
para problemas de valor inicial
aJaime Burgos-Garc´ıa, bSim´on Rodr´ıguez Rodr´ıguez.
a,bFacultad de Ciencias F´ısico Matem´aticas, Universidad Aut´onoma de Coahuila. Unidad Campo redondo,
Edificio A. Saltillo, Coahuila, 25020. M´exico.
ajburgos@uadec.edu.mx, bsimonrodriguez@uadec.edu.mx.
Abstract
Among the several numerical methods to approximate solutions of ordinary differential equations,
Taylor’s method is one of the ancient methods to do so. Its developing is not too hard to understand
from a theoretical point of view, as a consequence, such a method is studied in early courses of numerical
analysis. However, the implementation of this method may result too much expensive because of the
computation of the derivatives involved in the expansion. So, it was necessary to develop other methods
where the computations of the derivatives are avoided, the classical methods of Runge-Kutta, Adams-
Moulton, Adams-Bashfort are good examples of these methods. The main objective of this work is
to expose an alternative approach to implement the Taylor’s method with the aid of the technique
called automatic differentiation. This approach allows us to compute the derivatives without the need of
numerical approximations or analytic calculations.
Resumen
El m´etodo de Taylor para la aproximaci´on num´erica de soluciones de ecuaciones difererenciales ordina-
rias es uno de los m´etodos m´as antiguos que se conocen para este fin. Su implementaci´on no es complicada
de comprender desde un punto de vista te´orico por lo que es costumbre abordarlo en los primeros temas
de soluci´on num´erica de problemas de valor inicial. Sin embargo, t´ıpicamente la implementaci´on directa
del m´etodo puede resultar en extremo costosa debido al c´alculo de las n´esimas derivadas para la ex-
pansi´on de la soluci´on. Por esta raz´on se desarrollaron otros m´etodos que son computacionalmente m´as
econ´omicos como son los m´etodos cl´asicos de Runge-Kutta, Adams-Moulton, Adams-Bashfort, etc. El
objetivo de este trabajo es exponer al lector una forma alternativa de implementar el m´etodo de Taylor
por medio de la t´ecnica denominada diferenciaci´on autom´atica. Esto permite obtener los coeficientes de
la serie de Taylor de la soluci´on sin necesidad de calcular anal´ıticamente las derivadas o aproximarlas
num´ericamente.
Keywords and phrases : Numerical methods,automatic differentiation,Taylor’s method,simple pendulum.
2010 Mathematics Subj ect Classif ication 34A34 , 34A12, 65L05.
1. Introducci´on
La historia nos ha ense˜nado la tremenda relevancia que han jugado las ecuaciones diferenciales y la
usqueda de sus soluciones en el conocimiento humano. Se sabe que el estudio del viejo problema de la
din´amica de la Luna llev´o a Newton y sus contempor´aneos al desarrollo del c´alculo diferencial y poste-
riormente al desarrollo de la teor´ıa de ecuaciones diferenciales. La b´usqueda de soluciones para la ecuaci´on
diferencial de la propagaci´on del calor llev´o a Fourier a sentar las bases del an´alisis que hoy lleva su nombre.
2014
Nombres abreviados de los autores 2015
Los estudios de Poincar´e en el c´elebre problema gravitacional de tres cuerpos llev´o al descubrimiento de
comportamiento ca´otico en un sistema. Lo antes mencionado es s´olo un intento de mencionar la importancia
que ha tenido la b´usqueda de soluciones de ecuaciones diferenciales, sin embargo, har´ıa falta, sin exagerar,
un libro entero para recopilar las tantas contribuciones que ´esto ha aportado a la ciencia.
Podemos englobar tres distintos enfoques para estudiar un sistema din´amico descrito por un conjunto de
ecuaciones diferenciales y sus soluciones. El primero, llamado anal´ıtico, tiene como objetivo la obtenci´on de
ormulas que relacionan a las variables involucradas de manera tal que ´estas expresiones describan el com-
portamiento del sistema en una cierta regi´on de inter´es. El segundo, llamado cualitativo, se centra en hacer
un estudio topol´ogico-geom´etrico del problema con el fin de obtener informaci´on del comportamiento de las
trayectorias del sistema sin conocer f´ormulas expl´ıcitas que las describan. El tercero, es por medio del uso
de aproximaciones de las soluciones por medio de los m´etodos num´ericos. Actualmente, estos tres enfoques
se utilizan no solo por separado, sino en sus distintas fusiones para estudiar un determinado sistema. Sin
embargo, en la vasta mayoria de sistemas que modelan la naturaleza solo es posible obtener informaci´on
cuantitativa por medio de aproximaciones num´ericas de las soluciones.
El advenimiento de las computadoras y su enorme desarrollo a lo largo de las d´ecadas recientes ha fa-
cilitado e impulsado la implementaci´on de las aproximaciones num´ericas, lo que ha permitido tratar con
problemas que hasta hace 100 a˜nos eran extremadamente dif´ıciles o imposibles de estudiar. Sin embargo, el
precio a pagar al usar aproximaciones es naturalmente la introducci´on de errores entre las soluciones verda-
deras (garantizadas por los teoremas de existencia y unicidad) y las aproximadas, lo cual origina un nuevo
problema que coloquialmente podemos resumir en la siguiente pregunta: ¿Qu´e tan “cercanas”podemos hacer
nuestras aproximaciones a las soluciones verdaderas? La respuesta a la pregunta anterior no es para nada
trivial y de hecho, sigue siendo una rama activa de investigaci´on en nuestros d´ıas. El lector interesado puede
consultar, por ejemplo, [Al2016] para m´as detalles.
El presente trabajo no pretende hacer una revisi´on exhaustiva, ya sea te´orica o hist´orica, de los m´etodos
num´ericos disponibles para obtener soluciones aproximadas de ecuaciones diferenciales; tampoco pretende
profundizar en los temas relacionados al control del error, m´as bien, el objetivo principal es hacer uso de
uno de los m´etodos m´as cl´asicos en el an´alisis num´erico, que a saber es el llamado etodo de Taylor, para
introducir al lector a los denominados etodos de alto orden que permiten mejores aproximaciones de las
soluciones de un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias. De esta forma, el lector se convencer´a, que
por medio del m´etodo expuesto en el presente trabajo, una respuesta pr´actica a la pregunta antes planteada
ser´ıa a grosso modo: se puede hacer la aproximaci´on tan cercana como se desee siempre y cuando lo permita la
aritm´etica de punto flotante que se use. Haremos m´as precisos los t´erminos error,orden ymejor aproximaci´on
en una aplicaci´on a un sistema bastante conocido, el p´endulo simple.
2. El p´endulo simple y su soluci´on
Uno de los problemas m´as b´asicos, pero no menos importantes, que se estudian en cursos introductorios
de sistemas din´amicos es el endulo simple. Dicho sistema corresponde a una idealizaci´on del problema de
describir el movimiento de un objeto esf´erico de masa men el extremo de una barra r´ıgida de longitud ly
masa despreciable, donde dicha barra puede girar alrededor de un punto fijo en el otro extremo. La ecuaci´on
diferencial que describe el movimiento es de la forma
¨
θ+g
lsin θ= 0,
donde grepresenta la aceleraci´on debida a la gravedad y θ[π, π] representa el ´angulo como funci´on del
tiempo que forma el p´endulo con respecto a la vertical. Se ha supuesto que las oscilaciones solo se efect´uan en
un plano y no hay fricci´on en el sistema. El lector que no est´e familiarizado con este sistema puede consultar
el cap´ıtulo 5 del libro [De2012] para m´as detalles.
2016 Nombre corto del art´ıculo
Se puede realizar un primer an´alisis cualitativo del problema al considerar que bajo las condiciones
ideales impuestas, la energ´ıa mec´anica total del sistema (denotada como E) est´a dada por energ´ıa cin´etica
as energ´ıa potencial
E=1
2˙
θ2g
lcos θ, (2.1)
la cual se conserva, es decir, permanece constante en el tiempo. Las curvas de nivel de la funci´on (2.1)
nos proporcionan la geometr´ıa de las trayectorias del sistema en el llamado espacio fase cuya estructura se
muestra en la siguiente figura.
Figura 1: El retrato fase del p´endulo simple con las identificaciones x:= θyy:= ˙
θ.
Cabe mencionar que existe una trayectoria especial llamada ´orbita heterocl´ınica o separatriz que nace
en un punto de equilibrio para θ= (2n+ 1)π,nZytermina en otro punto de equilibrio del mismo tipo.
Como su nombre lo indica, el papel de esta ´orbita es separar los distintos tipos de movimiento ya que dentro
de la regi´on confinada por la separatriz las trayectorias son curvas cerradas que representan movimiento
oscilatorio como en un antiguo reloj de p´endulo, por fuera de ´esta regi´on las trayectorias corresponden a
circulaciones (vueltas completas) del p´endulo. Para obtener informaci´on cuantitativa del valor del ´angulo
en funci´on del tiempo necesitamos ya sea obtener una expresi´on que relacione ´estas variables o bien esti-
mar los valores num´ericamente. En los textos cl´asicos solo se aborda el aspecto cualitativo del problema
[Go2011], [Th2003] , [De2012], sin embargo, para nuestros prop´ositos es conveniente considerar la soluci´on
anal´ıtica del problema, vea el cap´ıtulo 3 del libro [Fa2013]. En lo que sigue analizaremos el caso oscilatorio
(curvas cerradas en el espacio fase), por medio de una traslaci´on en el tiempo podemos suponer que ˙
θ(0) = 0.
Por medio de la relaci´on (2.1) se puede obtener la ecuaci´on,
ω0t=Z1
0
dz
p(1 z2)(1 k2z2)Zz
0
ds
p(1 s2)(1 k2s2),(2.2)
donde ω0=pg/l,k= sin(θ0/2), z= sin(θ/2)/sin(θ0/2) siendo θ0la posici´on inicial del p´endulo, es decir,
θ(0) = θ0. La primera integral en la expresi´on anterior
K(k) := Z1
0
dz
p(1 z2)(1 k2z2),
es lo que se conoce como una integral el´ıptica completa de primer tipo con m´odulo ky a la segunda integral
F(k, z) := Zz
0
ds
p(1 s2)(1 k2s2),
se le conoce como una integral el´ıptica incompleta. La primera integral nos proporciona el periodo Tde las
oscilaciones
T=4
ω0Z1
0
dz
p(1 z2)(1 k2z2)=4
ω0
K(k).
Por otra parte, la expresi´on (2.2) se puede escribir con la notaci´on introducida anteriormente como
F(z, k) = K(k)ω0t
Nombres abreviados de los autores 2017
y aqu´ı entra en juego una de las llamadas funciones el´ıpticas de Jacobi estudiada precisamente por este
personaje, N. H. Abel, entre otros. Estos estudios fueron un esfuerzo por extender las tablas de integraci´on
elementales que se usan en c´alculo. La funci´on requerida es la funci´on sn(u, k) que a grosso modo se puede
decir que es una generalizaci´on de la funci´on seno solo que definida sobre una elipse de excentricidad k. El
lector interesado puede consultar el ap´endice del libro [Fa2013] para m´as detalles al respecto. Una de las
virtudes de la funci´on sn(u, k) es que es la inversa de la funci´on F(z , k), por lo tanto la ecuaci´on anterior se
puede escribir como
z=sn(K(k)ω0t, k),
o en t´erminos de las variables originales
sin θ
2= sin θ0
2sn Kθ0
2ω0t, sin2θ0
2,
o bien
θ(t) = 2 sin1sin θ0
2sn Kθ0
2ω0t, sin2θ0
2.
La expresi´on anterior nos servir´a para probar la eficacia del m´etodo de Taylor de orden arbitrario que se
desarrollar´a en las siguientes secciones.
3. El m´etodo de Taylor y la diferenciaci´on autom´atica
Dado el problema de valor inicial (P.V.I) dy (t)
dt =f(t, y(t)), y(t0) = y0,yDRm,t[t0, tf]Ry
dada una discretizaci´on del intervalo, ti+1 =ti+hicon hiun tama˜no de paso. Si se supone que fCp(Ω)
con Ω = [t0, tf]×Dpodemos aproximar una soluci´on del P.V.I como una expansi´on en serie de Taylor a
orden pcomo
y(t0) = y0,
y(ti+1)y(ti) + dy(ti)
dt hi+1
2!
d2y(ti)
dt2h2
i+... +1
p!
dpy(ti)
dtphp
i.
Si usamos la notaci´on yi:= y(ti) y el campo vectorial obtenemos
yi+1 yi+f(ti, yi)hi+1
2f(1)(ti, yi)h2
i+... +1
pf(p1)(ti, yi)hp
i,
donde hemos usado la siguiente notaci´on
f(k)(ti, yi) := 1
k!
dkf
dtk(ti, yi) = 1
k!
dk+1y
dtk+1 (ti)=(k+ 1)y(k+1)(ti)
para k= 0,1, ..., p 1. El defecto del m´etodo radica en el c´alculo de las derivadas del campo vectorial en
cada punto (ti, yi) para i= 1,2,3... Los enfoques cl´asicos para realizar esto podemos resumirlos como sigue
1. alculo anal´ıtico de f(k)(t, y) para cada k= 1,2,3... y su posterior evaluaci´on en cada punto (ti, yi).
2. Aproximaci´on por diferencias finitas. Por ejemplo, en una variable la primera derivada ser´ıa aproximada
por la expresi´on f0(xi)f(xi+h)f(xi)
hcon h“peque˜no”.
3. alculo de f(k)(ti, yi) como coeficientes de expansiones en series de potencia.
Para ver la dificultad de la primera estrategia, considere el ejemplo en una dimensi´on, f(x) = ecos esin(x2+1) .
Si bien el c´alculo anal´ıtico a mano de las primeras dos derivadas ser´ıa un buen ejercicio para un estudiante,
el c´alculo posterior se vuelve tedioso y complejo, inclusive el lector puede verificar que en una computadora
el c´alculo de las derivadas para p10 lleva un tiempo de ejecuci´on y cantidad de memoria considerable.
Por otra parte, el segundo enfoque tiene ciertas dificultades de ´ındole pr´actica. Considere las expresiones
2018 Nombre corto del art´ıculo
f(xi+h) = ¯
f(xi+h)+ e(xi+h) y f(xi) = ¯
f(xi)+ e(xi) donde e(·) representa el inevitable error de redondeo
y¯
fes la evaluaci´on num´erica en cada caso. En los cursos introductorios se muestra que el error absoluto
entre el valor real y el valor aproximado se ve como
f0(x0)¯
f(x0+h)¯
f(x0)
h
Mh
2+2δ
h,
donde Mes una cota para la segunda derivada en el intervalo en cuesti´on y δse supone como una cota
para los errores de redondeo. Es claro que no se puede tomar la cantidad h“grande” ya que la aproximaci´on
ser´ıa mala y por otra parte tampoco podemos hacer tender a cero como dicta la definici´on ya que el error
de redondeo aumentar´ıa arruinando los c´alculos. Por lo tanto, el segundo enfoque requiere que se tomen
tama˜nos de paso ´optimos en cada punto lo que a su vez conlleva a trabajo extra. El lector interesado en los
detalles t´ecnicos puede consultar el libro [Bu2002] para m´as referencias.
El tercer enfoque es el que vale la pena discutir para nuestros fines. Considere las series alrededor de un
punto z0con z0, α C
f(z) =
X
n=0
an(zz0)n,
g(z) =
X
n=0
bn(zz0)n,
Recordemos las operaciones b´asicas entre series de potencias en t´erminos de sus coeficientes
1. (f+g)(n)=an+bn,
2. (αf)(n)=αan,
3. (f0)(n)= (n+ 1)an,
4. (f·g)(n)=Pn
k=0 ankbk.
Suponga por ejemplo que queremos calcular la serie ef(z), la estrategia natural ser´ıa considerar la ex-
pansi´on en serie de la funci´on exponencial hacer la composici´on con la serie f(z) por medio de m´ultiples
aplicaciones de la operaci´on 4; ´esto tampoco es pr´actico si pretendemos calcular numerosos coeficientes de
ef(z). Para sortear esta dificultad, hacemos uso de la t´ecnica denominada diferenciaci´on autom´atica intro-
ducida en los a˜nos sesenta. El lector puede consultar [Mo1966] para m´as detalles al respecto. En aras de la
simplicidad, discutiremos esta t´ecnica en el ejemplo en cuesti´on.
La t´ecnica explota fuertemente las propiedades de las funciones en cuesti´on, en este caso de la funci´on
exponencial. No es dificil ver que el primer t´ermino de la serie a calcular es (ef)(0) =ef(z0)=ea0, si a0es
conocido entonces el primer coeficiente estar´a determinado. Ahora bien, usando la notaci´on ya introducida
definimos
ef(z):= g(z) =
X
n=0
bn(zz0)n,
donde b0ya es conocido y quedan por determinar los coeficientes bnpara n1. Una aplicaci´on b´asica de la
regla de la cadena nos da
d
dz g(z) = ef(z)f0(z) = g(z)f0(z),
y usando las operaciones 3 y 4 obtenemos la relaci´on
X
n=0
(n+ 1)bn+1(zz0)n=
X
n=0 n
X
k=0
bnk(k+ 1)ak+1!(zz0)n,
Nombres abreviados de los autores 2019
donde igualando coeficientes obtenemos las relaciones
bn=ea0si n= 0
1
nPn1
k=0 bn(k+1)(k+ 1)ak+1 si n1.
Las f´ormulas anteriores representan una relaci´on que permite calcular los coeficientes de manera recursiva
para cada n1. Por ejemplo, recuerde que b0=ea0y los coeficientes anya son conocidos, el primer paso se
lee como b1=b0a1que determina al siguiente coeficiente, en un segundo paso tenemos b2=1
2(b1a1+ 2b0a2)
el cual puede ser calculado con la informaci´on anterior y as´ı sucesivamente.
Observaciones:
No son necesarias las expansiones convencionales del m´etodo de Taylor del campo vectorial en cuesti´on,
lo que representa un gran ahorro de esfuerzo computacional.
No es necesario realizar truncamientos a priori tanto en la expansiones del campo vectorial como de
las soluciones. Lo que da libertad de escoger a posteriori el orden de expansi´on para las soluciones.
4. Ejemplos de implementaci´on y resultados
4.1. Implementaci´on en el p´endulo simple
Consideremos la ecuaci´on del p´endulo simple correspondiente al sistema de la secci´on (2)
¨
θ+g
lsin θ= 0.
Para facilitar la exposici´on supongamos unidades adecuadas tales que g/l = 1. Para ver la ecuaci´on anterior
como un sistema, introducimos coordenadas u1=θ,u2=˙
θentonces
˙u1=u2,
˙u2=sin(u1).
Supongamos que dichas coordenadas se desean expandir en serie de potencias, entonces la segunda ecua-
ci´on lleva a un problema similar del ejemplo de la secci´on anterior: la composici´on de una serie con una
funci´on diferenciable. Para aplicar la filosof´ıa de la diferenciaci´on autom´atica, introducimos las variables
auxiliares u3= sin(u1) y u4= cos(u1), entonces ˙u3= cos(u1) ˙u1=u4u2y ˙u4=sin(u1) ˙u1=u3u2por lo
que obtenemos el nuevo sistema
˙u1=u2,
˙u2=u3,
˙u3=u4u2,
˙u4=u2u3,
(4.1)
con condiciones iniciales
u1(0) = θ0,
u2(0) = ˙
θ0,
u3(0) = sin(u1(0)),
u4(0) = cos(u1(0)).
Como el lector puede notar el campo vectorial ha tomado una forma polinomial la cual facilita la ma-
nipulaci´on de las series de las soluciones del sistema ya que se reduce el problema a simples productos de
series.
2020 Nombre corto del art´ıculo
Aqu´ı vale la pena reflexionar sobre el costo y beneficio de la implementaci´on de la diferenciaci´on autom´ati-
ca, se puede ver el costo a pagar ha sido un aumento en el tama˜no del sistema, sin embargo, el beneficio ha
sido que se ha evitado la composici´on de series y se ha reemplazado por un producto de las mismas como se
deseaba. Si suponemos para cada coordenada j= 1,2,3,4.y cada tiempo ti[t0, tf]
uj(t) =
X
n=0
u(n)
j(ti)(tti)n
entonces, sustituyendo en el nuevo sistema obtenemos las relaciones
X
n=0
(n+ 1)u(n+1)
1(ti)(tti)n=
X
n=0
u(n)
2(ti)(tti)n,
X
n=0
(n+ 1)u(n+1)
2(ti)(tti)n=
X
n=0
u(n)
3(ti)(tti)n,
X
n=0
(n+ 1)u(n+1)
3(ti)(tti)n=
X
n=0
u(n)
2(ti)(tti)n
X
n=0
(n+ 1)u(n)
4(ti)(tti)n,
X
n=0
(n+ 1)u(n+1)
4(ti)(tti)n=
X
n=0
u(n)
2(ti)(tti)n
X
n=0
(n+ 1)u(n)
3(ti)(tti)n.
Igualando coeficientes y usando las reglas b´asicas antes mencionadas obtenemos
(n+ 1)u(n+1)
1(ti) = u(n)
2(ti),(4.2)
(n+ 1)u(n+1)
2(ti) = u(n)
3(ti),(4.3)
(n+ 1)u(n+1)
3(ti) =
n
X
k=0
u(nk)
2(ti)u(k)
4(ti),(4.4)
(n+ 1)u(n+1)
4(ti) =
n
X
k=0
u(nk)
2(ti)u(k)
3(ti),(4.5)
sujetas a las condiciones iniciales u(0)(t0) := (u(0)
1(t0), u(0)
2(t0), u(0)
3(t0), u(0)
4(t0)).
Las relaciones anteriores proporcionan f´ormulas recursivas que deben ser calculadas para cada ti[t0, tf]
y cada n0. Por ejemplo, para una aproximaci´on de las soluciones por el m´etodo de Taylor a un orden
predeterminado con paso constante (de hecho se pueden considerar tanto orden como paso variables) consi-
deremos h= (tft0)/N,NN,w(i+1)
juj(ti+1) y un orden ppara la expansi´on en serie, entonces con
ti=t0+ih tenemos las f´ormulas iterativas para i= 0,1,2, ..., N 1
wi+1
j=wi
j+
p
X
n=1
u(n)
j(t0+ih)hn,
donde w0
j:= u(0)
j(t0) son las condiciones iniciales para j= 1,2,3,4. Por lo tanto, para determinar el paso
siguiente w1
j(con i= 0) es necesario calcular los coeficientes u(n)
j(t0) con j= 1,2,3,4 y n= 1,2,3, ...p. Las
ormulas (4.2-4.5) para n= 0 se ven como
u(1)
1(t0) = u(0)
2(t0),
u(1)
2(t0) = u(0)
3(t0),
u(1)
3(t0) = u(0)
2(t0)u(0)
4(t0),
u(1)
4(t0) = u(0)
2(t0)u(0)
3(t0),
Nombres abreviados de los autores 2021
y est´an completamente determinadas por las condiciones iniciales. La informaci´on anterior se utilizar´a para
determinar el siguiente vector
(u(2)
1(t0), u(2)
2(t0), u(2)
3(t0), u(2)
4(t0))
y as´ı sucesivamente hasta calcular el vector
(u(p)
1(t0), u(p)
2(t0), u(p)
3(t0), u(p)
4(t0)).
Naturalmente, el siguiente paso w2
jrequiere de w1
jy del c´alculo de pvectores de coeficientes
(u(n)
1(t1), u(n)
2(t1), u(n)
3(t1), u(n)
4(t1)), n= 1,2, ..., p.
4.1.1. Resultados num´ericos
En esta secci´on se muestran algunas exploraciones num´ericas realizadas por medio del m´etodo de Tay-
lor en el p´endulo simple con distintos ordenes, tama˜nos de paso y condiciones iniciales. Cabe mencionar
que sin p´erdida de generalidad usaremos condiciones iniciales del tipo θ(0) = θ0,˙
θ(0) = 0. En cada tabla
hemos usado la notaci´on usada en el texto para el orden p, el tama˜no de paso h, el n´umero Nde puntos
usados en la partici´on del intervalo y el error relativo (denotado por er) generado en el ´ultimo paso, es decir
er= (|θ(tN)wN|)/|θ(tN)|con θ(tN) dado por la soluci´on anal´ıtica (2). Dado que para los m´etodos de un
paso el error tiende a ser acumulativo y el sistema carece de singularidades, consideramos que mostrar el
error en el ´ultimo paso ilustra lo que sucede en los c´alculos.
En el cuadro (1) se muestran las pruebas realizadas con la condici´on inicial θ0=π/4 en el intervalo [0, T ]
con Tdado por la funci´on el´ıptica ya mencionada; en este caso T6.534345. Las primeras tres l´ıneas de la
tabla muestran el error relativo cometido en el ´ultimo paso de la caminata tomando 100 puntos, de hecho el
error cometido en cada punto de la caminata no se aleja mucho de ese orden de magnitud. Si se desean tomar
menos puntos, lo que conlleva a un mayor tama˜no de paso, se necesita aumentar el orden para mantener el
error global del mismo orden que para N= 100 puntos.
p N h er
5 100 6.53 ×1021.70 ×108
7 100 6.53 ×1024.21 ×1012
9 100 6.53 ×1022.40 ×1015
5 50 1.30 ×1015.38 ×107
10 50 1.30 ×1019.32 ×1015
Tabla 1: Pruebas para el p´endulo simple con θ0=π/4
p N h er
9 100 3.40 ×1013.31 ×105
9 200 1.70 ×1011.67 ×107
22 100 3.40 ×1013.57 ×1013
42 50 6.81 ×1011.27 ×1012
Tabla 2: Pruebas para el p´endulo simple con θ0= 3.14
En el cuadro (2) se muestran las pruebas realizadas para un intervalo de integraci´on mucho mayor que
el ejemplo anterior. Dado que para θ0=π,T=, tomamos la aproximaci´on θ0= 3.14 en el intervalo [0, T ]
con T34.087186. Las primeras dos l´ıneas de la tabla muestran el efecto de duplicar el n´umero de puntos,
o equivalentemente, disminuir el tama˜no de paso en la integraci´on para intentar mejorar la precisi´on. Sin
embargo, en nuestra implementaci´on tenemos la ventaja de que en lugar de disminuir el tama˜no de paso,
podemos aumentar el orden de las expansiones para tratar de mejorar la precisi´on. En la ´ultima l´ınea se
muestra un ejemplo m´as dram´atico en el que hemos tomado inclusive menos puntos, lo cual puede ser ´util
2022 Nombre corto del art´ıculo
cuando solo se desea obtener la informaci´on de los ´ultimos puntos del intervalo, con un coste de aumentar
considerablemente el orden del m´etodo en aras de no aumentar el error global cometido.
Con el fin de resaltar las virtudes del m´etodo realizamos algunas comparaciones con uno de los mejores
integradores comerciales en cuanto a precisi´on se refiere, a saber, este integrador est´a basado en un m´etodo
predictor corrector Adams-Bashfort-Moulton (ode113 ) de orden y paso variables, y se encuentra disponible
en la ODE suite de Matlab. El mayor orden utilizado para obtener los resultados es 12 mientras que el
orden 13 se usa para controlar el error. El lector puede encontrar m´as detalles en [Sh1997]. Para el caso de
θ0= 3.14 y con tolerancias especificadas de 1012 para el error relativo y 1014 para el error absoluto en
las opciones de ode113, encontramos en el paso final un error relativo de 6.98 ×1010, donde se emplearon
525 puntos con un tiempo de ejecuci´on de aproximadamente 0.11 segundos. Por otra parte, el m´etodo de
Taylor con 160 puntos y con orden p= 12 produce un error relativo en el paso final de 6.54 ×1010 el cual
es ligeramente menor pero en el que se usan muchos menos puntos en la caminata. Cabe mencionar que
los c´alculos realizados se efectuaron en una computadora de escritorio bastante estandar con un procesador
AMD A9-9430 RADEON R5, 3200Mhz.
5. Conclusiones y comentarios
Las ecuaciones del p´endulo simple permiten realizar experimentos que permiten manejar de manera ma-
nual el n´umero de pasos y el orden del integrador para mejorar los resultados. Sin embargo, en sistemas
ca´oticos y/o con singularidades esto no se vuelve pr´actico y m´as a´un, un paso constante tampoco ayuda
dado que en regiones problem´aticas, por ejemplo, cerca de una singularidad, el tama˜no de paso se debe
tomar muy peque˜no desde el comienzo de la integraci´on a causa de las divisiones entre valores cercanos a
cero. Esto implicar´ıa que en las regiones donde el campo vectorial var´ıa lentamente se estar´ıan realizando una
cantidad inecesaria de evaluaciones, esto lleva a la necesidad de considerar un m´etodo de Taylor con orden y
paso variable que se ajuste autom´aticamente para satisfacer una tolerancia dada para el error, que es lo que
de manera profesional se emplea. El lector puede consultar la referencia [Bu2019] para ver una aplicaci´on
en un problema de din´amica orbital. En este punto confiamos que el lector haya podido convencerse de la
utilidad del m´etodo cuando se requieren c´alculos de gran precisi´on sin sacrificar tiempo de implementaci´on
y ejecuci´on de las rutinas y sin necesidad de grandes modificaciones en los c´odigos, como ser´ıa el caso de
cambiar de orden en un m´etodo de Runge-Kutta.
En el ejemplo del p´endulo se obtiene un campo vectorial polinomial a expensas de aumentar el n´umero de
ecuaciones diferenciales, esto ocurrir´a siempre que haya funciones elementales no polinomiales en el campo
vectorial. Por sencillez es deseable (aunque no necesario) que los polinomios sean de grado dos como ocurre
en este caso. En el caso de que el campo vectorial sea polinomial pero de grado mayor que dos es necesario
definir nuevas variables para reducir el grado de los polinomios a dos. En este caso no se aumenta el n´umero
de ecuaciones diferenciales como se ver´a en los siguientes ejemplos.
Las ecuaciones de Van del Pol, que describen un oscilador con amortiguamiento no lineal, expresadas
como un sistema son
˙x=y,
˙y=1x2yx,
si se definen tres variables auxiliares u1=x,u2=yyu3= 1 x2el sistema de ecuaciones queda como
˙u1=u2,
˙u2=u3u2u1,
donde se puede observar que el sistema en las variables u1yu2ya es cuadr´atico por lo que se puede aplicar la
misma estrategia aplicada en el caso del p´endulo simple. Otro ejemplo interesante es la ecuaci´on de Duffing
aut´onoma
¨x+δ˙x+αx +β x3= 0,
Nombres abreviados de los autores 2023
que es una aproximaci´on del sistema del p´endulo con amortiguamiento para ´angulos no tan peque˜nos. La
ecuaci´on se puede escribir como un sistema de ecuaciones polinomiales cuadr´aticas si se definen las variables
auxiliares u1=x,u2= ˙x= ˙u1yu3=x2el sistema queda como
˙u1=u2,
˙u2=δu2αu1βu3u1.
Se puede ver que en ambos ejemplos no fue necesario aumentar el sistema de ecuaciones diferenciales, solo
fue necesario definir variables auxiliares donde se aplicar´an la mismas reglas b´asicas de suma, producto y
diferenciaci´on de series de potencia. El lector interesado en estos ejemplos puede consultar [De2012], [Fa2013].
Por supuesto que este trabajo introductorio solo es la punta del gran iceberg que representa el ´area
de estudio de los m´etodos rigurosos de integraci´on. Ya fue mencionado en varias ocasiones que se pueden
implementar m´etodos de tama˜no de paso y orden variables basados en la t´ecnica de diferenciaci´on autom´atica.
En un trabajo futuro mostraremos la potencia de este m´etodo en el sistema de Lorenz, que resulta ser ca´otico,
[De2012]. Como comentario final, debemos decir que desde luego el m´etodo tiene limitaciones, por ejemplo,
una de ellas es que el campo vectorial debe estar expresado en t´ermino de funciones elementales. Referimos
a lector interesado al trabajo [Jo2005] y su bibliograf´ıa para mayores detalles.
Agradecimientos
El primer autor desea agradecer al Dr. Jason Mireles-James por sus valiosas aportaciones en las ´epocas
tempranas de investigaci´on del autor en este campo
Referencias
[De2012] P. Blanchard, R.L. Devaney, G.R. Hall. Differential Equations. Brooks/ Cole, CENGAGE Learning,
2012.
[Bu2002] R.L. Burden, J.D. Faire. An´alisis num´erico. eptima edici´on, Thomson Learning 2002.
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2019.
[Fa2013] A. Fasano, S. Marmi. Analytical mechanics. Oxford Graduate Texts, Oxford University Press,
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[Go2011] H. Goldstein, C.P. Poole, J.L. Safko. Classical Mechanics, 3rd edition. Pearson Education, 2011.
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[Jo2005] A. Jorba, M. Zou. A software package for the numerical integration of ODEs by means of high-order
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[Mo1966] R. E. Moore. Interval Analysis. Englewood Cliffs, N.J. Prentice-Hall, 1966.
[Sh1997] L.F. Shampine, M.W. Reichelt. ”The MATLAB ODE Suite”. SIAM J. Sci.Comput., 18(1)1-22,
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