Розрахунок стиснутих елементів за другою формою рівноваги

Abstract

Стаття присвячена методиці розрахунку стиснутих залізобетонних елементів на основі деформаційної моделі за національними нормами з урахуванням впливів першого і другого порядку. Наведено алгоритм розрахунку стиснутих елементів за другою формою рівноваги.

Full text

УДК 624.012
РОЗРАХУНОК СТИСНУТИХ ЕЛЕМЕНТІВ ЗА ДРУГОЮ ФОРМОЮ
РІВНОВАГИ
CALCULATION OF COMPRESSED ELEMENTS ON THE SECOND FORM
OF EQUILIBRIUM
О.А. Ужегова, к.т.н., доцент, С.О. Ужегов, асистент, С.В. Ротко, к.т.н.,
доцент, В.П. Самчук, к.т.н., доцент, Луцький національний технічний
університет, м. Луцьк
Uzhehova O.A., candidate of technical sciences, associate professor, Uzhehov
S.O., teaching assistant, Rotko S.V., candidate of technical sciences, associate
professor, Samchuk V.P., candidate of technical sciences, associate professor,
Lutsk National Technical University, Lutsk
Стаття присвячена методиці розрахунку стиснутих залізобетонних
елементів на основі деформаційної моделі за національними нормами з
урахуванням впливів першого і другого порядку. Наведено алгоритм
розрахунку стиснутих елементів за другою формою рівноваги.
The article is devoted to the calculation method of the compressed concrete
elements based on deformation models with national norms subject to the effects
of first and second order. The algorithm of calculation of compressed elements
on the second form of balance.
При другій формі рівноваги (рис. 1) частина перерізу стиснута, а частина
розтягнута (х < h).
Рис. 1. Деформації та дволінійна епюра напружень при другій формі рівноваги

За межу між першою та другою формами рівноваги було прийнято е0 = r,
де е0 – сумарний ексцентриситет поздовжньої сили з урахуванням впливу
деформацій першого і другого порядку.
При другій формі рівноваги е0 > r найбільші деформації в стиснутій
частині перерізу в граничному стані дорівнюють
ε
с(1) =
ε
си3 .
При максимальному використанні міцності бетону гранична висота
стиснутої зони x = xR =
ξ
Rd .
Коли напруження в бетоні
σ
с досягають значення fcd, деформації
становлять
ε
с,3 . Цьому значенню деформації відповідає координата перерізу
x′
, яку легко знайти з подібності трикутників (рис. 1):
х
xx 3c
u,3с
′
−
=,
ε
ε
або
3cu
3с3cu
х
x
,
,,
ε
εε
−
=
′
. При x = xR
3
cu
3с3cu
R
хx
,
,,
ε
εε
−
=
′
.
Деформацію в бетоні розтягнутої зони знайдемо з подібності трикутників
(рис. 1):
хhx
2c
u,3
с
−
=
,
ε
ε
, звідки
xxh
3cu2c
−
=
,,
εε
. При x = xR
R
R
3cu2c
xxh−
=
,,
εε
.
Аналогічно можна знайти деформації в розтягнутій арматурі:
хd
x
2s
u,3с
−
=
)(
ε
ε
, звідки
xxd
3cu2s
−
=
,)(
εε
, або
R
R
3cu2s
xxd −
=
,)(
εε
.
Напруження в арматурі
σ
s(1) =
ε
s(1)Es = fyd ;
σ
s(2) =
ε
s(2)Es .
Несучу здатність перерізу можна встановити, записавши умову рівноваги
відносно точки О:
ΣМ0 = 0;
( )
0
4xx
d
2xx
bfadAfNe
RR
cdsyd
=





′
+
−
′
+
+
′
−
′
+−
.
звідки необхідна кількість арматури стиснутої зони:
( )
adf 4xx
d
2xx
bfNe
A
yd
RR
cd
s
′
−





′
+
−
′
+
−
=
′
.
Спроектувавши всі сили на вісь Х, отримаємо:

ΣХ = 0;
0A
2x
x
b
f
A
f
Nss(2)
R
cd
s
yd =
−
′
+
+
′
+
−
σ
, звідки необхідна кількість
арматури розтягнутої зони:
)(2s
R
cdsyd
s
2xx
bfAfN
A
σ
′
+
+
′
+−
=
.
Якщо в стиснутому бетоні перерізу напруження розглядати розподіленими
не за білінійним законом, а у формі прямокутника (рис. 2), то несучу здатність
перерізу встановлюють, записавши умову рівноваги відносно точки О: ΣМ0 = 0;
()
( )
0x50dxbfadAfNe
RRcdsyd
=−+
′
−
′
+−
λλ
,
або
( )
0bdfadAfNe
R
2
cdsyd
=+
′
−
′
+−
α
,
звідки необхідна кількість арматури стиснутої зони:
( )
adf bdfNe
A
yd
R
2
cd
s
′
−
−
=
′
α
.
Рис. 2. Деформації і прямокутна епюра напружень при другій формі рівноваги
Спроектувавши всі сили на вісь Х, отримаємо:
ΣХ = 0;
0AxbfAfN
s
s(2)Rcdsyd
=−+
′
+−
σλ
,
звідки необхідна кількість арматури розтягнутої зони може становити:
)(
,
2s
cdRsyd
s
Nbfx
80Af
A
σ
−+
′
=
.
Часто буває так, що площа перерізу арматури стиснутої зони, обчислена за
формулою
( )
adf bdfNe
A
yd
R
2
cd
s
′
−
−
=
′
α
, має від’ємне значення, це означає, що стиснута

арматура за розрахунком не потрібна, стиснутого бетону достатньо. Тоді, для
продовження розрахунків необхідно прийняти
0As=
′
і встановити дійсне
значення коефіцієнта
α
т за формулою:
2
cd
m
bdf Ne
=
α
. За отриманим значенням
α
т знаходять величину відносної висоти стиснутої зони бетону
ξ
.
Крім того, враховуючи, що напруження в розтягнутій арматурі в
граничному стані досягнуть межі текучості, формула для обчислення її площі
дещо видозміниться і матиме вигляд:
yd
cd
s
fNbdf80
A−
=
ξ
,
.
Розглянемо приклад розрахунку за наведеною теорією: розрахувати
колону, поперечний переріз якої 250 × 400 мм. Поздовжня сила 1000 кН,
прикладена з ексцентриситетом ео = 250 мм. Бетон С16/20, арматура А400С.
Вихідні дані: b = 250 мм; h = 400 мм; N
Еd
= 500 кН; клас бетону С16/20,
fcd = 11,5 МПа; клас арматури A400C, fyd = 365 МПа; а = 40 мм;
а′
= 40 мм;
Ecd = 20 ГПа;
ε
си3 = 3,23‰;
ξ
R = 0,65; ексцентриситет сили ео = 250 мм
1
а-hd =
= 400 – 40 = 360 мм.
2
x
R
=
ξ
R
d = 0,65 × 360 = 234 мм.
3
ε
с3
= f
cd
/E
cd
= 11,5
⋅
106 / 20
⋅
109 = 0,000575.
4
3cu
3с
3cu
R
хx
ε
εε
−
=
′
=
3192
003230 0005750003230
234 ,
,,, =
−
мм.
5
е = е
о
+(0,5h – a) = 250 + (0,5 ×400 – 40) = 410 мм.
Розрахунок при дволінійній епюрі напружень у бетоні
6
Площа арматури стиснутої зони:
( )
adf 4xx
d
2xx
bfNe
A
yd
RR
cd
s
′
−





′
+
−
′
+
−
=
′
=
( )
=
−





+
−
+
⋅−⋅⋅
=40360356 43192234
360
23192234
25051141010500 3,,
,
425,5 мм2.
7
Площа арматури стиснутої зони
s
A′
>
0.

8
Площа перерізу розтягнутої арматури:
yd
R
cdsyd
s
f
N
2xx
bfAf
A−
′
+
+
′
=
=
=
⋅−
+
⋅+⋅
=365
10500
23192234
2505115425365
3
,
,,
734,6мм2.
За сортаментом підбирають арматуру стиснутої зони
S′
– 3∅14 А400С з
факт,s
A′
= 461,6мм2, розтягнутої зони S – 3∅18 А400С з Аs,факт = 763,0мм2
і конструюють переріз.
Розрахунок при прямокутній епюрі напружень у бетоні
12
Площа арматури стиснутої зони:
()
adf bdfNe
A
yd
R
2
cd
s
′
−
−
=
′
α
( )
=
−
⋅⋅⋅−⋅⋅
=40360356 385036025051141010500 23 ,,
527 мм2.
13
Площа арматури стиснутої зони
s
A′
>
0.
14
Площа перерізу арматури розтягнутої зони:
yd
cdRs
yd
sfNbfx80
Af
A−+
′
=,
=
=
⋅
−⋅⋅⋅
+⋅
=365 10
500250
511234
80527
365 3
,
,
631,6мм2.
За сортаментом підбирають арматуру:
S′
– (2∅12+1∅20)А400С з
факт,s
A′
= 226,1 + 314,0 = 540,1 мм2, S – (2∅16+1∅18)А400С з
Аs,факт = 401,9 + 254,3 = 656,2 мм
2
і конструюють переріз.
Розглянемо приклад розрахунку несучої здатності стиснутого елемента:
визначити несучу здатність колони, поперечний переріз якої 250 × 400 мм.
Поздовжня сила прикладена з розрахунковим ексцентриситетом ео = 250 мм.
Клас бетону С 16/20. Армування колони:
S′
– 2∅14А400С, S – 2∅22А400С.
Вихідні дані: b = 250 мм; h = 400 мм; клас бетону С16/20, f
cd
= 11,5 МПа; клас
арматури A400C, fyd = 365 МПа; а = 40 мм; Ecd = 20 ГПа;
ε
си3 = 3,23‰;
ξ
R = 0,65;
α
R = 0,385; ексцентриситет сили ео = 250 мм;
S′
– 2∅14А400С,
s
A′
= 307,7мм2, S – 2∅22А400С, Аs = 759,9 мм2.
1
а-hd =
= 400 – 40 = 360 мм.
2
xR =
ξ
R d = 0,65 × 360 = 234 мм.
3
ε
с3 = fcd /Ecd = 11,5
⋅
106 / 20
⋅
109 = 0,000575.
4
3cu
3с3cu
R
хx
ε
εε
−
=
′
=
3192
003230 000575
0003230
234 ,
,,, =
−
мм.
Розрахунок несучої здатності при дволінійній епюрі напружень у бетоні

5
Момент відносно осі, що проходить через центр ваги розтягнутої
арматури:
( )
=







′
+
−
′
+
+
′
−
′
== 4xx
d
2xx
bfadAfNeМ
RR
cdsydо
( )
=





+
−
+
⋅+−
⋅= 43192234
360
23192234
250511403607073536 ,,
,,
191,2 кНм.
6
е = ео +(0,5h – a) = 250 + (0,5 ×400 – 40) = 410 мм.
7
N = Mo / e = 191239783,906 / 410 = 466438,5 Н = 466,4 кН.
8
Момент відносно осі, що проходить через центр ваги арматури стиснутої
зони:
( )
=







′
−
′
+
′
+
−
′
−=
′
=а
4xx
2xx
bfadAfeNМ
RR
cdsyd1о
( )
=





−
++
⋅−−⋅= 40
43192234
23192
234
250511403609759536 ,,
,,
47,9 кНм.
9
е′
= ео – 0,5h +
а′
= 250 – 0,5 × 400 + 40 = 90 мм.
10
N = Mo1 /
е′
= 47958743,9 / 90 = 532874,9 Н = 532,9 кН.
11
З двох отриманих значень N (пп. 7 і 10) приймаємо менше. Отже, несуча
здатність даної колони становить 466,4 кН.
Розрахунок несучої здатності при прямокутній епюрі напружень у бетоні
12
Момент відносно осі, що проходить через центр ваги розтягнутої
арматури:
( )
=+
′
−
′
=
=
2
cdRsyd
о
bd
fadAfNe
М
α
( )
=⋅⋅⋅+−⋅=
2
3602505113850403607073536 ,,,
179,4 кНм.
13
N = Mo / e = 179390360 / 410 = 437537,5 Н = 437,5 кН.
14
Момент відносно осі, що проходить через центр ваги арматури стиснутої
зони:
( ) ( )
=
′
−−
′
−=
′
=аx40xbf80adAfeNМ
RRcdsyd1о
,,
( ) ( )
=−⋅⋅⋅⋅−−⋅= 402344023425051180403609759536 ,,,,
59,9 кНм.
15
N = Mo1 /
е′
= 59908800 / 90 = 665653,3 Н = 665,6 кН.
16
З двох отриманих значень N (пп. 13 і 15) приймаємо менше. Отже,
несуча здатність даної колони становить 437,5 кН.
1. Конструкції будинків і споруд. Бетонні та залізобетонні конструкції. Основні положення /
Мінрегіонбуд України: ДБН В.2.6-98:2009. – Чинні від 01.06.11. – К.: Мінрегіонбуд України,
2011. – 71 с. 2. Конструкції будинків і споруд. Бетонні та залізобетонні конструкції з важкого
бетону. Правила проектування / Мінрегіонбуд України: ДСТУ Б В.2.6.-156: 2010 – Чинний
від 01.06.11. – К.: Мінрегіонбуд України, 2011. – 123 с. – Національний стандарт України. 3.
Eurocode-2: Design of concrete structures. – Part 1-1: General rules and rules for building: EN
1992-1-1. – [Final draft, december, 2004]. – Brussels: CEN, – 2004. – 225 p. – Європейський
стандарт. 4. Мурашко Л.А., Колякова В.М., Сморкалов Д.В. Розрахунок за міцністю
перерізів, нормальних та похилих до поздовжньої осі, згинальних залізобетонних елементів
за ДБН В.2.6-98:2009: Навчальний посібник. – К.: КНУБА, 2012. – 62 с. 5. Практичний
розрахунок елементів залізобетонних конструкцій за ДБН В.2.6-98:2009 у порівнянні з
розрахунком за СНиП 2.0301-84* і EN 1992-1-1 (Eurocode 2) / В.М. Бабаев, А.М. Бамбура,
О.М. Пустовойтов та ін.; за заг. ред. В.С. Шмуклера. – Харків: Золоті сторінки, 2015. – 208 с.