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doi: 10.22047/2176-1477/2019.v10i1.898
Recebido em: 21/06/2018 Aprovado em: 22/01/2019 Publicado em: 25/04/2019
VOLUME 10, N.1 – JANEIRO/ABRIL 2019
DESAFIOS COM PALITOS: UMA PROPOSTA LÚDICA
PARA O ENSINO DE GEOMETRIA NOS ANOS INICIAIS
DO ENSINO FUNDAMENTAL
CHALLENGES WITH TOOTHPICKS: A PLAYFUL PROPOSAL FOR TEACHING
GEOMETRY IN EARLY YEARS OF ELEMENTARY SCHOOL
Mauricio Ramos Lutz
mauricio.lutz@iffarroupilha.edu.br
Instituto Federal Farroupilha – Campus Alegrete/RS
José Carlos Pinto Leivas
leivasjc@unifra.br
Universidade Franciscana
RESUMO
Este trabalho é uma pesquisa realizada por meio da aplicação de uma oficina implementada
com dez alunos do Programa Institucional de Bolsa de Iniciação à Docência (PIBID) do Curso
de Licenciatura em Matemática do Instituto Federal Farroupilha – Campus Alegrete/RS. A
oficina em questão teve como objetivo abordar conceitos de geometria plana, com ênfase no
estudo de quadrados e triângulos, por meio da utilização de desafios com palitos. Ela foi
elaborada pensando nas atividades que os alunos do PIBID desenvolvem e aliando a uns dos
tópicos do conteúdo programático desenvolvido na disciplina de Matemática para os anos
iniciais: conteúdos e produções de atividades do Programa de Pós-Graduação em Ensino de
Ciências e Matemática da Universidade Franciscana. A metodologia de ensino utilizada foi a
Investigação Matemática e a de pesquisa adotada é de cunho qualitativo; todavia, dados
quantitativos foram produzidos no intuito de elucidar os achados da pesquisa. Como
potencialidade, os participantes destacaram a concentração e raciocínio que elas requerem e
que poderiam ser desenvolvidos os conceitos iniciais de translação e rotação a partir da
movimentação dos palitos. Como fragilidade, sugeriram trocar o tipo de material utilizado, pois
escorregavam sobre a mesa, e classificar os desafios por nível de dificuldade.
PALAVRAS-CHAVE: Geometria plana; Triângulo; Quadrado; PIBID; Formação Inicial.
ABSTRACT
This article presents a research carried out through the application of a workshop for students
from Programa Institucional de Bolsa de Iniciação a Docência – PIBID Mathematics Degree
Course at Instituto Federal Farroupilha – Campus Alegrete/RS. This workshop aimed to address
the concepts of flat geometry, with emphasis on the study of squares and triangles, through
the use of challenges with toothpicks. It was prepared having in mind the activities that the
PIBID students develop as well as some topics from the syllabus of the subject Mathematics
for early years: content and development of activities from Postgraduate Course in Science
and Mathematics Teaching from Universidade Franciscana. The teaching methodology applied
was the Mathematical Research and the research methodology adopted was qualitative nature.
Quantitative data is produced in order to elucidate the findings of the survey. As potentiality,
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the participants highlighted the concentration and reasoning that they require and that the
initial concepts of translation and rotation could be developed from the movement of the
toothpicks. As fragility, they suggested changing the type of material used, as it slipped on the
table, and sort the challenges by level of difficulty.
KEYWORDS: Plane geometry; Triangle; Square; PIBID; Initial Formation.
INTRODUÇÃO
Analisando o ensino de Matemática no decorrer dos anos, percebemos que ele passou e
passa por grandes modificações desde os anos 50 do século passado, em que era caracterizado
por mecanização e memorização e que, até os dias de hoje, muitas coisas foram modificadas.
Atualmente, este ensino está mais voltado para práticas diferenciadas ou que instiguem e
estimulem os alunos a aprender de forma questionadora e participativa, além de mais aliado
à realidade dos educandos.
No mundo atual, a grande importância da Matemática está na rotina das pessoas,
fazendo-se presente nos mais diferentes momentos do cotidiano. Torna-se, cada vez mais,
imprescindível dominar os conhecimentos inerentes desta ciência. Apesar disso, nem sempre
é fácil mostrar ao estudante aplicações interessantes ou práticas dos conteúdos que estão
sendo desenvolvidos na escola, principalmente nos anos iniciais do Ensino Fundamental.
Pensando nisso, foi elaborada uma oficina com a temática Geometria Plana, tendo como
ênfase o estudo de quadrados e triângulos por meio da utilização de desafios com palitos. Isso
decorreu a partir de atividades que os alunos do Programa Institucional de Bolsa de Iniciação
da Docência (PIBID) estão habituados a desenvolver. A oficina também foi aliada a tópicos do
conteúdo programático desenvolvido na disciplina de Matemática para os anos iniciais:
conteúdos e produções de atividades, a qual faz parte do Programa de Pós-Graduação em
Ensino de Ciências e Matemática da Universidade Franciscana (UFN).
A oficina teve como objetivos: construir, identificar, diferenciar e reconhecer formas
geométricas; estimular a curiosidade em relação às figuras de quadrados e triângulos;
estabelecer correspondência numérica do número de palitos necessários para cada desafio;
desenvolver habilidades de raciocínio como organização, atenção e concentração; estimular a
criatividade e estratégias de resolução dos desafios.
O artigo aborda uma pesquisa desenvolvida a partir da aplicação dessa oficina, no
segundo semestre de 2017, a qual teve duração de aproximadamente 4 horas. Foi
desenvolvida com dez alunos (um do 2º semestre; três do 4º semestre; dois do 6º semestre
e quatro do 8º semestre) do curso de Licenciatura em Matemática do Instituto Federal
Farroupilha – Campus Alegrete/RS, os quais participam do PIBID.
O programa, segundo o art. 2º da Portaria nº 096, de 18 de julho de 2013, tem como
um de seus objetivos “fomentar a iniciação à docência, contribuindo para o aperfeiçoamento
da formação de docentes em nível superior e para a melhoria da qualidade da educação básica
pública brasileira” (BRASIL, 2013, p. 1). Pensando por esse viés, as práticas desenvolvidas
pelo PIBID apostam em iniciativas diferenciadas de ensino e aprendizagem dos alunos, com o
que acreditamos estar agregando com a oficina em apreço. Essas práticas são desenvolvidas
pelos bolsistas em duas escolas parceiras, a Escola Estadual de Educação Básica Dr. Lauro
Dornelles e o Instituto Estadual de Educação Oswaldo Aranha, ambas na cidade de
Alegrete/RS.
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INVESTIGAÇÃO MATEMÁTICA
A Matemática, algumas vezes, é vista pelos alunos como uma disciplina de difícil
entendimento, sem conexão com o cotidiano, em que fórmulas complicadas devem ser
decoradas e aplicadas em exercícios não contextualizados. Para Ponte (1994, p. 2),
[...] a principal razão do insucesso na disciplina de Matemática resulta desta
ser extremamente difícil de compreender. No seu entender, os professores
não a explicam muito bem nem a tornam interessante. Não percebem para
que serve nem porque são obrigados a estudá-la. Alguns alunos interiorizam
mesmo desde cedo uma autoimagem de incapacidade em relação à disciplina.
Dum modo geral, culpam-se a si próprios, aos professores, ou às
características específicas da Matemática.
Para tentar resolver essa situação, um dos métodos que podemos utilizar é a
Investigação Matemática. Os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN) dão ênfase ao tipo de
aprendizado ao qual ocorre a interação entre professor e alunos e com a interação entre alunos
e alunos, fazendo com que eles desenvolvam criatividade e aptidão para a investigação.
Fazendo um recorte nos PCN sobre a utilização de atividades investigativas, temos
[...] a Matemática pode dar sua contribuição à formação do cidadão ao
desenvolver metodologias que enfatizem a construção de estratégias, a
comprovação e justificativa de resultados, a criatividade, a iniciativa pessoal,
o trabalho coletivo e a autonomia advinda da confiança na própria capacidade
para enfrentar desafios. (BRASIL, 1998, p. 27).
Desse modo, percebemos que a ideia descrita nos PCN nos remete às atividades de
Investigação Matemática. Nessa metodologia os alunos são convidados a trabalhar como
pesquisadores. De acordo com Ponte, Brocardo e Oliveira (2016, p. 13), “investigar é descobrir
relações entre objetos matemáticos conhecidos ou desconhecidos, procurando identificar as
respectivas propriedades”. Ainda, segundo os autores, é interessante utilizar investigações
matemáticas na sala de aula, pois estudos em Educação têm mostrado que ela é uma poderosa
forma de construir conhecimento.
De acordo com Ponte, Brocardo e Oliveira (2016), a Investigação Matemática é um
método que se originou na década de 80, em Portugal, como resultado de teses e dissertações.
Hoje em dia, já mais divulgado, o método baseia-se na investigação que os alunos exercem
em sala de aula por meio de problemas propostos pelo professor. Diante do problema, o
objetivo do professor é fazer com que os alunos levantem mais questões e busquem sua
resolução.
Segundo os autores, a Investigação Matemática é desenvolvida em quatro etapas que
podem surgir simultaneamente. Na primeira etapa, o pesquisador deve reconhecer a situação,
realizar explorações e formular questões. Em uma segunda etapa, ele organiza os dados e
formula conjecturas. Já no terceiro momento, são realizados os testes das conjecturas
previamente elaboradas e aqueles que não resistem aos testes são descartados, podendo
haver uma nova reformulação e, consequentemente, novos testes. Na última etapa, o
pesquisador procura justificar e organizar sua explicação para eventual comunicação. Cada
uma dessas etapas pode ser vista na Figura 1.
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Figura 1: Etapas na realização de uma Investigação Matemática.
Fonte: adaptado de (PONTE, BROCARDO e OLIVEIRA, 2016, p. 21).
Ainda, segundo Ponte, Brocardo e Oliveira (2016), melhorar o processo de ensino e
aprendizagem da Matemática, empregando a Investigação, nada mais é do que considerar ou
elaborar indagações ou questões para as quais não tenhamos uma resposta imediata, fazendo
com que o pesquisador se sinta motivado a realizá-la.
Corroborando com essa ideia, Fiorentini e Lorenzato (2006, p. 29) relatam que as aulas
investigativas são
aquelas que mobilizam e desencadeiam, em sala de aula, tarefas e atividades
abertas, exploratórias e não diretivas do pensamento do aluno e que
apresentam múltiplas possibilidades de alternativa de tratamento e
significação. [...] Dependendo da forma como essas aulas são desenvolvidas,
a atividade pode restringir-se apenas à fase de explorações e
problematizações. Porém, se ocorrer, durante a atividade, formulação de
questões ou conjecturas que desencadeiam um processo de realização de
testes e de tentativas de demonstração ou prova dessas conjecturas, teremos,
então, uma situação de investigação matemática.
Segundo Ponte, Brocardo e Oliveira (2016, p. 23), a Investigação Matemática
[...] ajuda a trazer para sala de aula o espírito da atividade genuína,
construindo, por isso, uma poderosa metáfora educativa. O aluno é chamado
a agir como um matemático, não só na formulação de questões e conjecturas
e na realização de provas e refutações, mas também na apresentação de
resultados e na discussão e argumentação com os colegas e o professor.
É interessante que a proposta de investigação seja um convite ao aluno, que o faça
formular questões e, consequentemente, procurar explicações, de modo a assumir um papel
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de pesquisador, criando com isso um ambiente de aprendizagem no qual sejam responsáveis
pela construção do seu conhecimento.
O ENSINO DE GEOMETRIA
A Geometria é uma área da Matemática de grande aplicabilidade no cotidiano.
Entretanto, às vezes, ela é pouco trabalhada em sala de aula. Tendo em vista sua importância
e esta ser uma área em que, geralmente, os alunos possuem dificuldades, é de grande valia
que seja revisada. Embora existam outras geometrias, na Educação Básica é desenvolvida
apenas a Geometria Euclidiana, que “estuda as propriedades das figuras e dos corpos
geométricos enquanto relações internas entre os seus elementos, sem levar em consideração
o espaço” (NACARATO; PASSOS, 2003, p. 24).
Contudo, alguns estudos mais antigos têm apontado para o abandono do ensino de
Geometria na Educação Básica (PAVANELLO, 1993; FONSECA, 2002), destacando que
provavelmente isso ocorra devido ao despreparo de alguns professores para ensinar tal
conteúdo, por falta de materiais didáticos apropriados ou não adequação metodológica. Tal
realidade faz com que os conhecimentos geométricos sejam de difícil compreensão e, até
mesmo, sem significado, contribuindo, desse modo, para o desinteresse dos estudantes.
Segundo Lindquist (1994, p. 50), “devemos ensinar geometria como geometria, do mesmo
modo como a álgebra e o cálculo são ensinados”. Essa concepção é reforçada por Lorenzato
(2006, p. 59) quando relata que, “por mais conhecimentos sobre outras partes da matemática
que alguém possuir, eles não serão suficientes para resolver questões que demandarem
percepção e raciocínio geométrico”. Portanto, a Matemática apresenta problemas que
demandam uma forma própria de raciocínio, o qual é desenvolvido pelo estudo da Geometria.
A Geometria, segundo Fainguelernt (1999), é empregada como um instrumento para
compreender, descrever e interagir com o espaço em que vivemos. Ela permite o
desenvolvimento do raciocínio, juntamente com a compreensão, descrição e representação da
realidade, sendo fundamental para a formação desse indivíduo. Além disso, Kaleff (2003, p.
14) referencia os trabalhos de Van Hiele em que “a visualização, a análise e a organização
informal (síntese) das propriedades geométricas relativas a um conceito geométrico são
passos preparatórios para o entendimento da formalização do conceito”.
A Geometria necessita ser ensinada sob um enfoque no qual desperte curiosidade no
aluno, sendo abordada de maneira articulada à prática, propiciando ao estudante a
visualização das teorias e mostrando-lhe a beleza que ela contempla. Conforme os PCN,
uma das possibilidades mais fascinantes do ensino da Geometria consiste em
levar o aluno a perceber e valorizar sua presença em elementos da natureza
e em criações do homem. Isso pode ocorrer por meio de atividades em que
ele possa explorar formas como as de flores, elementos marinhos, casa de
abelha, teias de aranha, ou formas em obras de arte, esculturas, pinturas,
arquitetura, ou ainda em desenhos feitos em tecidos, vasos, papéis
decorativos, mosaicos, pisos, etc. (BRASIL, 1998, p. 128).
Segundo Lorenzato (2006), a criança aprende quando ouve, vê e manuseia objetos com
o auxílio da linguagem. Ele também ressalta que ela deve ser incentivada a explorar o espaço
em que vive, pois é “pelas ações mentais que a criança realiza quando compara, distingue,
separa e monta” (LORENZATO, 2006, p. 44). Logo, essas habilidades estimulam a criança a
desenvolver a percepção visual e a localização do espaço a sua volta.
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Para Dienes (1974, p. 01), “os conceitos não se ensinam – tudo que se pode fazer é
criar, apresentar situações e as ocorrências que ajudarão a formá-los”. Portanto, devemos
estimular os alunos a realizarem atividades experimentais para que, com diferentes situações,
possam formar conceitos que serão utilizados em outros momentos de sua aprendizagem.
Colaborando com o exposto por Dienes (1974), Fainguelernt (1999), Fonseca et al.
(2002) e Lorenzato (2006) relatam que, considerando o desenvolvimento de habilidades e
competências, o ensino da Geometria é importante à percepção e a melhor compreensão na
resolução de problemas, pois, por meio do seu ensino, o aluno tem a oportunidade de olhar,
comparar, medir, generalizar e abstrair, desenvolvendo o pensamento lógico.
JOGOS E MATERIAIS CONCRETOS NA SALA DE AULA
Quando utilizadas por educadores na Educação Básica nas aulas de Matemática, as
atividades lúdicas, em especial os jogos, podem ser uma possibilidade de melhoria no processo
de ensino e aprendizagem. Os jogos são ferramentas usadas por professores de Matemática
para tornar o aprendizado dos alunos mais instigador e questionador em relação a conteúdos
considerados de difícil aprendizado. Porém, o uso de jogo na sala de aula requer um
planejamento, desde a avaliação da turma na qual será aplicado, a faixa etária dos alunos e o
conteúdo que pode ser desenvolvido, tornando essa ferramenta um auxílio para o professor
detectar e sanar as dificuldades dos alunos.
Apoiando uma ideia de mudança de estratégias de ensino e aprendizagem, D’Ambrósio
(2007, p. 33) relata que
é importante à adoção de uma nova postura educacional, a busca de um novo
paradigma de educação que substitua o já desgastado ensino aprendizagem.
É necessário que ele se empenhe no mundo que cerca os alunos, na sua
realidade, aproveitando cada oportunidade a fim de sugerir atividades para
que o desenvolvimento do ensino aprendizado da matemática seja efetivo e
prazeroso, e que no final de cada aula o educador tenha aplicado a matéria
com qualidade e que tenha conseguido ensinar ao aluno de forma clara.
Segundo Micotti (1999), a utilização dos recursos tradicionais, como aulas expositivas e
livros didáticos, são pouco atrativos para os alunos. Reproduzir os exercícios dos livros
didáticos não significa que o aluno esteja aprendendo Matemática, o que fica evidenciado
quando o enunciado da questão é trocado e o aluno não consegue resolvê-la. Por isso, torna-
se cada vez mais urgente a mudança e a adoção de novas metodologias e práticas pedagógicas
para promover uma aprendizagem real dos conceitos e procedimentos matemáticos. Por esse
viés, o uso de jogos na sala de aula favorece o desenvolvimento do conhecimento matemático,
conforme apontam Agranionih e Smaniotto (2002, p. 16),
[...] é uma atividade lúdica e educativa, intencionalmente planejada, com
objetivos claros, sujeita a regras construídas coletivamente, que oportuniza a
interação com os conhecimentos e os conceitos matemáticos, social e
culturalmente produzidos, o estabelecimento de relações lógicas e numéricas
e a habilidade de construir estratégias para a resolução de problemas.
Os jogos matemáticos têm essa finalidade: a união dos conhecimentos matemáticos com
a prática. Após o conteúdo trabalhado, o jogo é um ótimo instrumento de interação com o
conhecimento. As dúvidas são expostas, possibilitando ao professor, enquanto mediador,
esclarecê-las. Por outro lado, quando tomamos os jogos como método de ensino, devemos
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ter cuidado, pois ele passa a ter várias dimensões, necessitando rever quais serão os objetivos
e o motivo pelos quais estamos utilizando o jogo.
Para Lorenzato (2006, p. 56), “o professor deve saber utilizar corretamente os materiais
didáticos, pois estes exigem conhecimentos específicos de quem os utiliza. Não se pode deixar
que o material se torne apenas um brinquedo para o aluno”. O uso de jogos nas aulas de
Matemática é uma ferramenta que tem se mostrado cada vez mais interessante para alunos e
professores, por serem situações que promovem motivação e desafio para os estudantes.
Conforme nos afirma Grando (2004, p. 26), “é na ação do jogo que o aluno, mesmo que venha
a ser derrotado, pode conhecer-se, estabelecer o limite de sua competência enquanto jogador
e reavaliar o que precisa ser trabalhado, desenvolvendo suas potencialidades para evitar uma
próxima derrota”.
Também, segundo Smole, Diniz e Candido (2007), a utilização de jogos nas escolas não
é algo inovador, pois isso implica uma mudança significativa no processo de ensino e
aprendizagem, o que acarreta a alteração do método tradicional de ensino (quadro, giz e livro).
Ainda segundo os autores, além do jogo proporcionar a diversão, ele promove a interação com
o meio, o espírito construtivo, a imaginação, a capacidade de sistematizar e abstrair, criar
estratégias e soluções e a capacidade de interagir socialmente.
Aliado ao uso de jogos, podemos utilizar materiais concretos para auxiliar no processo
de aprendizagem dos alunos, fazendo com que os levem a raciocinar e resolver problemas.
Segundo Pais (2006), o uso do material concreto propicia aulas mais dinâmicas e amplia o
pensamento abstrato por um processo de retificações sucessivas que possibilita a construção
de diferentes níveis de elaboração do conceito.
Turrioni e Perez (2006, p. 61) afirmam que “o material concreto é fundamental para o
ensino experimental, uma vez que facilita a observação, análise, desenvolve o raciocínio lógico
e crítico, sendo excelente para auxiliar o aluno na construção dos seus conhecimentos”. Ainda
apoiando o uso de materiais concreto, Toledo e Toledo (1997, p. 10) descrevem que:
[...] adotar um método mais intuitivo e indutivo, em que são respeitados os
conhecimentos já construídos pelo aluno, ao mesmo tempo que lhes são
dados oportunidades de realizar experiências, descobrir propriedades
estabelecer relações entre elas, construir hipóteses e testá-las chegando a
determinados conceitos.
O uso de atividades de manipulação de objetos pode possibilitar o desenvolvimento da
criança em habilidades como discriminação e memória visual. Para Lorenzato (2006, p. 22),
é muito difícil, ou provavelmente impossível, para qualquer ser humano
caracterizar espelho, telefone, bicicleta ou escada rolante sem ter visto,
tocado ou utilizado esses objetos. Para as pessoas que já conceituaram esses
objetos, quando ouvem o nome do objeto, sem precisarem dos apoios iniciais
que tiveram dos atributos tamanho, cor, movimento, forma e peso. Os
conceitos evoluem com o processo de abstração; a abstração ocorre pela
separação.
Sendo assim, o material concreto e o jogo são maneiras de mostrar ao aluno outras
formas de aprendizagem matemática. Nesse contexto, Lorenzato (2006, p. 21) afirma que “o
material concreto pode ser um excelente catalisador para o aluno construir seu saber
matemático, dependendo da forma com que os conteúdos são conduzidos pelo professor. Ele
deverá ter uma postura de mediador entre a teoria/material concreto/realidade”.
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Contudo, é necessário refletir sobre a utilização dessas ferramentas (jogos e materiais
concretos), pois é indispensável para o ensino e aprendizagem da Matemática o
desenvolvimento mental, isto é, em cada aplicação ou utilização desses recursos deve haver
uma sequência organizada com objetivos correspondentes, visando estimular a percepção dos
conceitos envolvidos. Portanto, diante do exposto, o uso de jogos e materiais concretos pode
levar o aluno a melhorar suas habilidades de percepção, criatividade e o raciocínio voltado
para o ensino da Matemática.
MATERIAIS E MÉTODOS
A partir do objetivo a ser desenvolvido na oficina, delineamos a metodologia de ensino
que fundamentou o trabalho, nesse caso a Investigação Matemática, que, segundo Bogdan e
Biklen (1994), é por meio das características dos fenômenos que podemos identificar o grau
qualitativo de uma investigação.
A metodologia da pesquisa adotada é de cunho qualitativo; todavia, dados quantitativos
foram produzidos no intuito de elucidar os achados da pesquisa. Para Cervo, Bervian e Silva
(2007, p.61), “este tipo de pesquisa ocorre quando se registra, analisa e correlaciona fatos ou
fenômenos, sem manipulá-los”. Corroborando com essa ideia, Goldenberg (1999) afirma que
a preocupação do pesquisador numa pesquisa qualitativa é com o aprofundamento da
compreensão do fenômeno, e não com sua representatividade numérica. Dessa forma, ao
empregarmos a abordagem qualitativa, almejamos compreender os modos como os alunos,
numa situação específica, pensam, agem e buscam a generalização de conteúdos
matemáticos. Neste trabalho, as fontes de produção de dados foram os registros realizados a
partir do material preenchido pelos alunos.
A oficina foi desenvolvida em 4 momentos, com uma duração total de 4 horas. Ela foi
planejada para ser desenvolvida com alunos dos anos iniciais (4º ou 5º ano) do Ensino
Fundamental. Porém, com o intuito de teste e ajuste das atividades, foi aplicada aos 10 alunos
participantes do PIBID Matemática no mês de novembro de 2017. A escolha desse público
para o teste se justifica devido as suas atividades serem desenvolvidas em duas escolas
estaduais, sendo que, em uma delas, os alunos são do curso de Magistério, que forma
professores para lecionar na Educação Infantil e nos primeiros anos do Ensino Fundamental.
O primeiro momento foi destinado à apresentação da atividade aos alunos, realizada por
meio da utilização de desafios com palitos para desenvolver os conceitos de quadrado e
triângulo.
Inicialmente, fizemos uma sondagem diagnóstica para saber o que os alunos entendem
que seja um triângulo e quadrado, por meio de alguns questionamentos. A primeira pergunta
foi: para você, o que é um triângulo? Faça uma representação por meio de um desenho. A
segunda é semelhante, porém com o quadrado. Ao terceiro questionamento os participantes
respondem: como poderiam ser desenvolvidos os conceitos de triângulo e quadrado nos anos
iniciais?
Após esta etapa, investiga-se sobre a quantidade de triângulos e quadrados que a Figura
2 apresenta.
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Figura 2: Quantos triângulos você observa na figura da esquerda e quantos quadrados na da direita?
Fonte: Elaborado pelos autores.
Para finalizar esse primeiro momento são apresentados alguns conjuntos de figuras
(Figura 3), em que os alunos devem identificar os quadrados e os triângulos presentes, com
as letras Q e T, respectivamente, ou deixar em branco a lacuna.
Figura 3: Sequência de triângulos e quadriláteros.
Fonte: Elaborado pelos autores.
No segundo momento são realizados os desafios com palitos para o estudo do triângulo.
Esses desafios são um tipo de quebra-cabeça que estimula o pensamento e desenvolvimento
do raciocínio lógico de quem o utiliza, além de ser um recurso didático de baixo custo. Como
a proposta desse trabalho é para as séries iniciais, o desenvolvemos, por meio de jogos, sem
necessariamente utilizarmos formalismo geométrico.
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Antes de iniciarmos nossa primeira atividade definimos algumas nomenclaturas que
aparecem nos desafios. Quando aparecer o termo “mova ou movendo” um palito de fósforo,
isso significa mudá-lo de posição sem alterar o número total de palitos. Quando se falar em
“retire ou retirando” um palito de fósforo, significa que ele não fará parte da resposta,
portanto, deixando reduzido o número de palitos dados no enunciado do desafio.
Para essa etapa foram escolhidos 8 desafios, conforme apresentado no Quadro 1.
Quadro 1: Desafios de palitos envolvendo triângulos.
1) Temos aqui 3 triângulos construídos com 9
palitos. Movendo em apenas 2 palitos, forme 4
triângulos.
5) A figura abaixo possuí 3 triângulos composta por 9
palitos. Mova 3 palitos e forme 4 triângulos.
2) A figura é composta por 13 palitos. Mova 2
palitos e forme 6 triângulos.
6) A figura abaixo foi construída com 13 palitos.
Retire 2 palitos para formar 4 triângulos.
3) Nesta figura temos 6 triângulos iguais, formado
com 12 palitos. Mova 4 palitos para formar 3
triângulos.
7) Esta figura foi construída com 12 palitos. Movendo
apenas 4 palitos, obtenha 6 triângulos iguais.
4) Nesta figura composta por 9 palitos, mova 4
palitos para formar 5 triângulos.
8) A figura é construída com 15 palitos. Mova 3
palitos para formar apenas 3 triângulos.
Fonte: adaptado de (FONSECA, 2011).
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O terceiro momento é semelhante ao segundo, porém os desafios com palitos são para
o estudo do quadrado, conforme apresentado no Quadro 2.
Quadro 2: Desafios de palitos envolvendo quadrados.
1) A figura é composta por 12 palitos. Mova 3
palitos e forme 3 quadrados.
5) A figura é composta por 15 palitos. Retire 4 palitos
para formar apenas 2 quadrados.
2) A figura é composta por 12 palitos. Mova 3
palitos da composição para obter 3 quadrados.
6) A figura é composta por 15 palitos. Retirando
somente 3 palitos da composição para obter apenas 3
quadrados.
3) A figura é composta por 12 palitos. Mova 4
palitos da composição para obter 3 quadrados.
7) A figura possuí 5 quadrados compostos por 16
palitos. Retire 4 palitos para formar 3 quadrados.
4) A figura é composta por 12 palitos. Mova
somente 5 palitos da composição para obter 3
quadrados.
8) Temos 5 quadrados formado por 16 palitos. Mova 2
palitos e forme 4 quadrados.
Fonte: adaptado de (FONSECA, 2011).
Destacamos que, no segundo e terceiro momentos, na concepção teórica de
Investigação Matemática de Ponte, Brocardo e Oliveira (2016), os alunos devem descobrir
relações e padrões que os levem a intuir, conjecturar, experimentar, provar, avaliar e
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apresentar os resultados encontrados. Isso reforça atitudes de autonomia ou cooperação e
capacidade de comunicação oral e escrita.
Já o quarto e último momento foi destinado à socialização, em grande grupo, das
atividades realizadas. Para tanto, os alunos participantes responderam a duas perguntas:
1) Expresse sua opinião em relação ao que mais e menos gostou ou chamou sua atenção,
nessa atividade. É viável sua aplicação em sala de aula para o nível indicado? Justifique sua
resposta.
2) Você encontrou alguma potencialidade ou fragilidade nas atividades propostas?
Mudaria ou acrescentaria alguma atividade? Justifique sua resposta.
DISCUSSÃO E RESULTADOS
A oficina foi uma atividade de formação para o grupo de alunos do PIBID Matemática.
Inicialmente, foi explicado que essa oficina foi planejada para desenvolver conceitos iniciais
de triângulo e quadrado nos anos iniciais do Ensino Fundamental. Além disso, houve a
pretensão de proporcionar aos participantes uma experiência com esse nível de ensino.
Após esse primeiro momento, iniciamos a primeira parte das atividades. Os alunos
tiveram que responder aos três questionamentos. Na primeira parte, referente à conceituação
e representação do triângulo, não houve dificuldades. Quatro alunos responderam que
triângulo é uma figura geométrica formada por 3 lados e com três ângulos internos e, na
representação por meio do desenho, apresentaram os ângulos internos.
Dois alunos definiram triângulo como Dolce e Pompeo (1993, p. 36): “Dados três pontos
A, B e C não colineares, a reunião dos segmentos AB, AC e BC, chama-se triângulo ABC”.
Acreditamos que essa definição, para alunos dos anos iniciais, seja mais complexa, pois
poderia ser a primeira vez que eles estariam vendo isso para trazer os termos pontos,
segmentos, colineares.
Para finalizar, quatro alunos apresentaram uma conceituação semelhante àquela
definida por Andrini (1989, p. 159): “triângulo é um polígono de três lados”. Porém, em vez
de chamar de polígono, eles denominaram de figura geométrica. Todas as representações
feitas por desenho trouxeram triângulos acutângulos (possuem todos os ângulos com medidas
menores que 90º). Questionados sobre isso, responderam que os livros didáticos apresentam
dessa forma a definição.
A segunda pergunta foi para conceituar e representar, por meio de desenho, o quadrado.
Também, da mesma maneira que o triângulo, existe mais de uma forma para a definição de
quadrado, como por exemplo, a apresentada por Lima (2009, p. 11): “O quadrado é o
quadrilátero que tem 4 lados iguais e os 4 ângulos retos”. Dolce e Pompeo (1993, p. 101)
assim definem: “um quadrilátero plano convexo
1
é um quadrado se, e somente se, possui os
quatro ângulos congruentes e os quatro lados congruentes”. Todos apresentaram respostas
semelhantes, relatando que o quadrado é uma figura geométrica que possui quatro lados
iguais e quatro ângulos retos (90º), conforme a Figura 4.
1
Para Andrini (1989, p. 201), “um polígono é convexo quando qualquer segmento com extremidades
no polígono está contido nele”.
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Figura 4: Resposta apresentada pelo Aluno C para a segunda pergunta.
Fonte: dados da aplicação.
Para a terceira pergunta, sobre a forma com que poderia ser introduzido o conceito de
triângulo e quadrado nos anos iniciais, cinco alunos responderam que usariam materiais
manipuláveis como canudos de refrigerante ou tiras de papel para montar as figuras
geométricas. Lindquist (1994, p. 77) relata: “materiais de manipulação fornecem
oportunidades para raciocinar com objetos e, portanto, para ensinar a resolver problemas e
ensinar para resolver problemas”, o que indica serem as respostas dos alunos condizentes.
Outros três alunos sugeriram a utilização de jogos como forma de introduzir o conceito, de
revisá-lo e fixá-lo em sala de aula. Apenas dois alunos relataram que poderiam ser utilizados
materiais manipuláveis e jogos, conforme apresentado na Figura 5.
Figura 5: Resposta apresentada pelo Aluno F para a terceira pergunta.
Fonte: dados da aplicação.
Outra sugestão, dada pela grande maioria, foi de apresentar conceitos iniciais de
triângulo e quadrado a partir do mundo que cerca os alunos, ou seja, onde podemos encontrar
triângulo e quadrado em nosso cotidiano. Após esse questionamento, o professor pode
apresentar figuras que são triângulos e quadrados.
Uma segunda parte da primeira atividade foi dividida em três questionamentos. Para os
dois primeiros, os alunos deveriam reconhecer a quantidade de triângulos e quadrados
apresentados na Figura 2. Não houve dificuldades em perceber que, em cada figura, havia 5
triângulos e 5 quadrados. Porém, para a questão 3, na qual havia quatro sequências de figuras
(Figura 3), em que eles deveriam determinar qual desenho era triângulo e qual era quadrado,
dos 10 participantes, 4 não responderam corretamente, pois consideraram o retângulo e
losango como quadrado, conforme apresentado na Figura 6.
Figura 6: Resposta apresentada pelo Aluno A para a Sequência C da terceira atividade.
Fonte: dados da aplicação.
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Salientamos que esses alunos que responderam erroneamente, definiram corretamente
o que é um triângulo e quadrado, ficando a dúvida do porquê marcarem o retângulo e losango
como quadrado. O quadrado é um caso particular, ao mesmo tempo é retângulo e losango e
não o contrário. Relembramos a definição dada por Dolce e Pompeo (1993, p. 101): “um
quadrilátero plano convexo é um retângulo, se e somente se, possui os quatro ângulos
congruentes” e “um quadrilátero plano convexo é um losango se, e somente se, possui os
quatro lados congruentes”. Acreditamos que esse erro aconteceu devido a esses alunos
saberem conceitos e regras desvinculados com a prática pedagógica, pois, conforme Dante
(1998, p.13) salienta, “[...] isso pode ser atribuído ao exagero no treino de algoritmos e regras
desvinculados de situações reais, além do pouco envolvimento do aluno com aplicações da
Matemática que exijam o raciocínio e o modo de pensar matemático para resolvê-las”.
Portanto, vemos como um professor do Ensino Básico e Superior: temos de estar
constantemente revendo o fazer pedagógico para tentar minimizar erros como esse cometido.
A segunda e terceira parte da oficina foram as atividades com palitos, em que o
professor, utilizando projetor multimídia, projetava a configuração dos palitos que os alunos
deveriam reproduzir com o material. Não houve dificuldades aparentes na resolução, pois eles
investigavam as possíveis soluções, conjecturavam respostas e apresentavam sua solução
(Figura 7). Após um tempo disponibilizado para cada atividade, o professor apresentava uma
forma de resolução. Observamos que alguns alunos obtiveram soluções diferentes da
apresentada pelo professor, mas suas soluções estavam corretas, o que gerou discussão e a
conclusão que existem outras formas de resolução para o mesmo desafio.
Figura 7: Alunos investigando e conjecturando possíveis respostas para as atividades apresentadas.
Fonte: dados da aplicação.
No quarto momento foram verificadas as opiniões e impressões dos participantes sobre
a oficina aplicada. Em relação à sua viabilização, os alunos acreditam que é aplicável nos anos
iniciais, como exemplificado no relato do Aluno D (Figura 8). Porém, quase todos relataram
que se deve trocar o material, pois foram utilizados palitos de pirulito em vez de palitos de
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fósforos, o que acabou por criar uma dificuldade em manter o material imóvel sobre a mesa,
quando finalizado.
Figura 8: Resposta do Aluno D para a primeira pergunta do quarto momento.
Fonte: dados da pesquisa.
Para a segunda pergunta, sobre as fragilidades e potencialidades apresentadas, os
alunos destacaram, para a primeira, o tipo de material utilizado. Sugeriram a troca dos palitos
de pirulitos por outro material, pelo motivo exposto antes. Também perceberam que algumas
questões são mais trabalhosas de resolver do que outras; logo, sugeriram separar as questões
por nível de dificuldades.
Como potencialidades, eles destacaram concentração e raciocínio, pois as atividades
requeria ambas. Poderiam ser trabalhados, também, os conceitos de translação e rotação a
partir da movimentação dos palitos. De forma geral, gostaram da proposta desenvolvida na
oficina.
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Para muitos indivíduos, a Matemática é classificada como complicada por não ser
contextualizada. Essa falta de contextualização faz com que os alunos não tenham interesse
em aprender determinados conteúdos, podendo elevar os índices de reprovação nesta
disciplina na Educação Básica. Visando a redução desses índices, recursos metodológicos
diversos devem ser utilizados, sendo que os jogos lúdicos e a utilização de materiais concretos
têm se revelado como possibilidades interessantes.
Com as experiências desenvolvidas com os bolsistas PIBID Matemática, percebemos que
o ato de ensinar vai muito além de formalizar o conteúdo aos alunos. Esse ato deve ser um
momento de colaboração entre professor e alunos, prezando os conhecimentos já adquiridos
pelos últimos, visando a construção de novos.
A oficina foi elaborada com o objetivo de incentivar o conhecimento e o gosto pela
geometria plana, com ênfase no estudo de triângulos e quadrados, nos anos iniciais do Ensino
Fundamental. Foram utilizados materiais concretos e jogos na expectativa de fazer com que
alunos se sentissem envolvidos nas atividades, o que de fato ocorreu.
É importante o professor estar constantemente revendo e avaliando seu fazer
pedagógico, pois o trabalho do educador está diretamente ligado ao sucesso da aprendizagem
dos alunos. Todavia, é necessário estar continuamente inquieto com esta aprendizagem,
buscando novas ferramentas e referenciais teóricos para a construção de soluções.
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De forma geral, os alunos, futuros professores, que vivenciaram a proposta, gostaram
das atividades. Mediante as respostas obtidas nos questionamentos, percebemos que elas
ajudaram os alunos na construção, identificação e compreensão do conceito de triângulos e
quadrados, estimulando a curiosidade em relação às figuras geométricas. Além disso,
desenvolveram as habilidades de raciocínio, organização, atenção, concentração e criatividade,
e também estratégias para a resolução dos desafios.
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