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Revista Premisa (2017), 19 (72)
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PARÁMETROS ENFOCADOS A LA CONTADURÍA Y LOS
NEGOCIOS PARA LA COMPRENSIÓN DE MÉTODOS DE
INTERPOLACIÓN
Sergio Lagunas Puls, Juan Bautista Boggio Vázquez
Universidad del Caribe, México.
slagunas@ucaribe.edu.mx, jboggio@ucaribe.edu.mx
RESUMEN
Conocido es que en la contaduría y los negocios es necesario establecer expectativas para
variables económicas, por esta razón es común que en la formación de profesionales y
posgraduados se procure el apoyo de programas estadísticos o matemáticos para generar
pronósticos. No obstante, dejando a un lado la operatividad técnica de los apoyos tecnológicos, es
fundamental comprender la naturaleza matemática de valores obtenidos mediante interpolación,
además de reflexionar acerca de la necesidad para que la bibliografía de métodos cuantitativos
incluya el tema. El objetivo del presente trabajo es compartir el método de aproximación
polinómica por mínimos cuadrados, recomendado para establecer estimados de interpolación.
PALABRAS CLAVE: Interpolación. Aproximación polinómica. Contaduría. Negocios.
INTRODUCCIÓN
Algunas obras de métodos y análisis numéricos consideran que la interpolación surgió como
producto del estudio astronómico, por la necesidad de observar movimientos en cuerpos celestes
(Gerald & Wheatley, 2000); de forma general se considera que al hablar del tema, se hace
referencia a valores que se asignan a una función pero que no necesariamente aparecen en los
datos originalmente tabulados, cuyos métodos para obtener dichos valores, llamados interpolados,
fueron del interés de Gauss, Bessel y Stirling; también, es aceptado que Almagesto de Tolomeo
presentó formas para que combinando la cuerda de un ángulo en una circunferencia, pudiera ser
utilizado para calcular valores intermedios.
Como producto académico y de investigación que busca integrar la historia de las matemáticas
Erick Temple Bell (2012) considera los orígenes de la interpolación en tiempos babilónicos,
antecesores del excelso pueblo árabe, cuando los estudiosos del álgebra pretendían resolver
sistemas de ecuaciones con el único apoyo de tablas numéricas, de esta forma, prácticamente
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dos mil años antes de Cristo, se presentaba el esfuerzo humano por obtener valores intermedios
para fenómenos cotidianos. Lo cierto es que el tema que inició con los algebristas babilónicos con
posible interés en estructuras piramidales, fue posteriormente retomado por notables matemáticos
como John Wallis a quien se le atribuye la denominada cuadratura del círculo, propuesta que se
conoció como el principio del intercálculo o interpolación (Pinzón, Gordillo, & Sarmiento, 2008),
Isaac Newton en el siglo XVI, Joseph Louis Lagrange con la propuesta del valor medio, en el
siglo XVII (Bell, 2012) y aplicado en la actualidad ya con apoyo de poderosos sistemas
tecnológicos.
Constituyendo la base de otros procedimientos como la derivación y la integración así como de
ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales (Gerald & Wheatley, 2000), una definición
moderna de interpolación es encontrar valores intermedios cuando los valores están dados en un
conjunto finito de datos mediante la formulación de una ecuación que permita obtener los valores
estimados (Gutiérrez, Olmos, & Casilllas, 2010). Para las áreas profesionales de ciencias exactas
e ingenierías, se contempla en sus planes y programas de estudios el análisis numérico (Centro de
Investigación en Matemáticas, 2015; Instituto Politécnico Nacional, 2015; Universidad Nacional
Autónoma de México, 2015), en ocasiones llamado método numérico, cuyo objetivo es la
explicación de procedimientos estructurados para formular algoritmos que puedan llevar a
resolver problemas, producto de lo cual, como su denominación lo indica, se obtiene una
respuesta numérica aun cuando algún planteamiento llegase a no presentar una solución analítica,
quizá por ello, los métodos numéricos modernos tienen un claro enfoque al planteamiento
humano, pero con resolución mediante programas especializados (Cheney & Kincaid, 2011).
A pesar de lo anterior, como parte del análisis o método numérico, la mayoría de las obras de uso
en México que contienen el tema de interpolación se complementan con un buen nivel de detalle
acerca de métodos para la solución de distintos tipos de ecuaciones y la razón no es en vano ya
que en el específico interés de este artículo, el método de interpolar mediante aproximación por
mínimos cuadrados, después de considerar el orden o grado de una ecuación polinómica que
pueda llevar a estimar valores interpolados, necesita del planteamiento y solución de sistemas de
ecuaciones tan breves o tan grandes conforme haya sido la decisión del orden de la función. En el
libro titulado Análisis Numérico de José Alberto Gutiérrez Robles, Miguel Ángel Olmos Gómez
y Juan Martín Casillas González (2010), se incluye en el Capítulo 5 el tema de interpolación y
ajuste de curvas, sin embargo dicho capítulo está precedido por otros tres capítulos enfocados a
solución de ecuaciones de tipo polinómicas, lineales y no lineales.
Por su parte los autores Ward Cheney y David Kincaid (2011) también contemplan el tema de
interpolación y diferenciación numérica en el Capítulo 4, complementado con otros dos capítulos
que en lo particular abordan el tema de sistemas de ecuaciones lineales, no lineales y temas
adicionales referentes a sistemas de ecuaciones lineales, destacando en este último la
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factorización matricial, soluciones iterativas de sistemas lineales, valores propios y método de
potencias. Una tercer obra que se considera importante agregar es de la autoría de Curtis F.
Gerald y Patrick O. Wheatley (2000) la cual en su tercer capítulo incluye el tema de interpolación
y ajuste de curvas complementado, al igual que las otras obras precedentes, por capítulos y temas
relacionados a la resolución de ecuaciones no lineales, sistemas de ecuaciones y ecuaciones
diferenciales ordinarias.
AUSENCIA DE MÉTODOS DE INTERPOLACIÓN EN CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN
En el caso específico de la contaduría pública, durante la formación se dispone de bibliografía
relacionada a especialidades de la matemática, procurando ofrecer métodos para la toma de
decisiones y solución de problemas, de esta manera se puede distinguir claramente a la estadística
como la forma idónea para analizar el comportamiento de datos e inclusive aportar métodos de
pronósticos como la regresión lineal, promedios móviles o suavización exponencial (Anderson,
Sweeney, & Williams, 2008; Triola, 2009; Levin, 2006; Wackerly, Mendenhall, & Scheaffer,
2010; Bennet, 2011; Díaz, 2012; Kazmier, 2006; Mendenhall, 1994; Pérez, 2013).
La administración de operaciones como conjunto de elementos para asegurar que los bienes y
servicios se produzcan y se entreguen con éxito a los destinos ha profundizado planteamientos de
programación lineal, análisis de sensibilidad y casos especiales de transporte y logística (Collier
& Evans, 2009; Hillier & Lieberman, 2010; Izar, 2012; Chase, 2013) pero en especial destacan
los métodos cuantitativos para los negocios, disciplina o asignaturas que ofrecen a los contadores
públicos acceso a distintos modelos matemáticos para la toma de decisiones, principalmente de
programación lineal, modelos de transporte, modelos de transbordo, optimización de inventarios,
modelos de colas o fila en espera y algunos basados en probabilidad (Anderson D. , Sweeney,
Williams, Camm, & Martin, 2011; Render, Stair, & Hanna, 2012; Hillier & Hillier, 2008;
Gallaher, 1982).
A pesar de los distintos métodos y modelos mencionados anteriormente, durante la formación de
grado o posgrado, la contaduría pública no fortalece y mucho menos complementa las técnicas
algebraicas en la solución de ecuaciones (Swokowski & Cole, 2006; Tan, 2005; Kelly, 2011;
Arvezu, Álvarez, & Marcellán, 2003; Hernández, Vázquez, & Zurro, 2012) que se conocieron en
niveles precedentes, lo que deja en clara desventaja ya que no se estará en condiciones de hacer
un planteamiento de interpolación, mucho menos tratándose de alguna necesidad para proponer
una ecuación de estimados interpolados de segundo o superior orden. Las posibilidades de
aplicación de estimados interpolados en la contaduría son muchos y diversos, por ello se sugiere
que sea agregado en los apoyos bibliográficos de métodos cuantitativos, mencionando como
ejemplo de uso, el aspecto de costeos en producción cuando se dispone de máximos, medios y
mínimos de una máquina pero que presupuestalmente
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pudiera ser necesario conocer valores intermedios; otro claro ejemplo es su aplicación en la
administración pública ya que en ocasiones, como en el desarrollo que se propone más adelante, a
nivel central el Servicio de Administración Tributaria (SAT) da a conocer trimestralmente los
informes de gestión y tributación, siendo una variable de vital importancia el número de
contribuyentes registrados en el país, pues en ocasiones de ello dependen las políticas de fomento
a determinado grupo, sin embargo, la información oficial agrupa el número de contribuyentes a
cierres trimestrales en los meses 3, 6, 9 y 12, pero que de requerirse, por ejemplo, estimar el
número en un mes intermedio, el método de interpolación por mínimos cuadrados representaría
una buena opción.
Se podrían mencionar un gran y variado número de ejemplos en que la interpolación puede y debe
ser empleada como un modelo formal, en consecuencia, a continuación se presentará el
procedimiento que se considera necesario contemplar en la formación contable, con un nivel de
detalle apropiado a la disciplina, buscando no sólo aportar la interpolación en si misma sino
también que los profesionistas vinculen claramente el valioso tema del algebra y que puedan
comprenderlo como la forma de obtener mecanismos para la solución de problemas.
MÉTODO DE INTERPOLACIÓN DE SEGUNDO ORDEN
Para obtener estimados por interpolación de segundo grado o segundo orden, se necesita
establecer la ecuación predictiva de la forma siguiente:
(1)
En donde la obtención de los coeficientes dependerá de un sistema de ecuaciones como
el que se muestra a continuación:
(2)
para estructurar el sistema es necesario atender a una estructura matricial y multiplicación
algebraica, en donde se inicia estableciendo la primera ecuación, observando que el primer
elemento lo constituye el número de renglones o datos que se tiene para las variables
considerando que, independientemente que sean dos columnas e inclusive algunas más
(tratándose de modelos multivariables), no ha de olvidarse que representa únicamente el
número de renglones; el segundo elemento de la primera ecuación surge de la sumatoria de los
datos concernientes a la variable independiente
seguido del símbolo de igualdad para
que finalmente se agregue la sumatoria de los valores de la variable dependiente
Para la segunda ecuación se debe agregar, en primer lugar, sumatoria de la variable independiente
(término que ya se estimó para la primera ecuación)
posteriormente, el
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segundo elemento de la misma segunda ecuación estará dado por el resultado de multiplicar el
segundo término de la primera ecuación por el primero de la segunda ecuación, es decir,
=1
dando lugar al resultado
=12
posteriormente se agrega el símbolo
=
seguido por el
resultado de la multiplicación del último término de la primera ecuación por el primer término de
la segunda, es decir,
que resulta en
.
A continuación se ejemplificará la obtención de una ecuación para estimar interpolación lineal de
segundo grado, para ello se presentan los datos correspondientes al número de contribuyentes en
México al cierre de los trimestres del año 2014 (Servicio de Administración Tributaria, 2015). No
obstante, considerando que la autoridad hacendaria hace cortes de la información por trimestres,
se ignora el número de contribuyentes que podrían haber estado activos en alguno de los meses no
considerados en los reportes oficiales, información que pudiera ser conveniente para otras
autoridades administrativas de nivel estatal o municipal, por ello se opta por obtener estimados de
interpolación de segundo grado
Tabla 1: Millones de contribuyentes activos agrupados por régimen fiscal
Fuente: elaboración propia con datos oficiales del Servicio de Administración Tributaria de México
Figura 1: Número de contribuyentes (millones)
Supóngase que el interés se plantea en conocer el número total de contribuyentes a un mes
determinado que no necesariamente sea alguno que obedezca a cortes trimestrales, es decir, ya sea
el total al mes 4, 5, 7, 8, 10 u 11, de acuerdo a la necesidad para obtener información en
cualquiera de dichos períodos y conforme a la Tabla 1 se debe considerar como variable
independiente a la columna que representa los meses del año (para el ejemplo 2014) y como
variable dependiente el total de contribuyentes en cada uno de los meses con corte trimestral
observados por lo que, conforme al sistema de ecuaciones (2) será necesario contar con la
sumatoria del cuadrado de la variable independiente
así como también de la
multiplicación de la variable dependiente por la independiente
requiriendo y por ende,
desarrollando la siguiente información:
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Tabla 2: Valores para establecer un sistema de ecuaciones de segundo orden
Conforme a los datos contenidos en la Tabla 2, se integra el sistema de ecuaciones (2) quedando
de la siguiente manera:
(3)
El sistema anterior (3) se resuelve mediante algebra de matrices
cuyo valor determinante se
obtiene de siendo que para un sistema del tipo y orden planteados, los coeficientes
necesarios son para obtenerlos, el primer paso es considerar una -estructura matricial,
atendiendo al orden de la interpolación, conforme a lo siguiente:
(4)
Ahora bien, para cada coeficiente se necesitará estimar determinantes para el numerador y
denominador, en todos los casos el determinante para el denominador siempre serán los valores
que corresponden a cada elemento del sistema de ecuaciones pero sin considerar aquellos que se
sitúan después de la igualdad (3), con respecto al numerador se debe ajustar ligeramente para
estimar el determinante que corresponda a cada de tal forma que los valores se colocan en el
orden que tienen en el sistema (3) pero sustituyendo aquellos que pertenecen a una columna, por
los valores después de la igualdad, dependiendo que cuál sea de interés en estimar.
Para obtener se integran los valores de forma matricial como sigue:
Nótese que debido a que los valores de la primera columna del numerador representan aquellos
relacionados con son esos, precisamente, los que se sustituyen por los valores del sistema (3)
después de la igualdad, la razón, el interés en este caso es calcular .para los
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valores que integran la matriz denominador, está conformada por los valores del sistema (3) en el
mismo orden, únicamente se dejan de considerar aquellos que están después de la igualdad.
Después de haber explicado la estructura matricial para cada variable tanto para el numerador
como el denominador se necesitan calcular los determinantes correspondientes, atendiendo al
orden del sistema, la forma para obtenerlos es la siguiente:
(5)
Con base a las indicaciones para obtener los determinantes, se procede a estimarlos y así calcular
el valor de cada coeficiente
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Después de haber obtenido los coeficientes se hace posible establecer la ecuación
predictiva por interpolación de segundo orden o grado de la forma antes mencionada (1) y que
aplicada al ejemplo del número de contribuyentes sería la siguiente:
(6)
De acuerdo a la ecuación obtenida, si se deseara obtener el número de contribuyentes al mes 4,
simplemente se remplazaría para así obtener el estimado por interpolación de segundo
orden:
en consecuencia, el número de contribuyentes al mes de abril debió estar aproximado a 42.9
millones.
Ahora bien, en aplicaciones de interpolación siempre existirá la pregunta acerca de cuál debe ser
el orden o grado de polinomio recomendado para la obtención de los estimados, para mejor
explicación de lo anterior, a continuación se determina el error confrontando los datos oficiales
con el pronóstico obtenido mediante ecuaciones predictivas por el modelo descrito a detalle y
además, mediante una ecuación de tercer orden, obtenida por el mismo método también
desarrollado en este trabajo.
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Tabla 3: Comparativa de pronósticos con interpolación de distinto orden (grado)
Como se aprecia en la Tabla 3 en ambos casos existen buenos estimados aunque con diferencias
en cada caso, por ello, la recomendación al interpolar es contar con al menos dos comparativas
como la que se presenta en la tabla y así decidir cuál o cuáles valores deben ser considerados, por
supuesto que deberán ser aquellos con un menor error.
CONCLUSIONES
Cuando se consulta la bibliografía concerniente a los métodos o análisis numéricos que
regularmente se recomiendan en la formación de las ciencias exactas o ingenierías, se pueden
apreciar claramente métodos para la solución de ecuaciones que van desde los sistemas lineales
hasta las ecuaciones diferenciales, sin embargo, a pesar de la buena calidad de algunas de estas
obras, no son explicadas mediante aplicaciones relacionadas a la contaduría, administración o
negocios.
Esta bibliografía logra un aporte robusto de métodos pero sin una visión clara de aplicaciones a
variables que pueden ser de interés en profesiones o posgrados del área de ciencias sociales, aún a
pesar de requerir su comprensión como parte fundamental para resolver problemas
administrativos.
Por otra parte en la revisión de varias obras de estadística, investigación de operaciones y
métodos cuantitativos que son el enfoque acostumbrado en carreras contables o de negocios, se
aprecia claramente la exposición de modelos que pueden ser aplicados en estas disciplinas pero
que, a diferencia de los títulos para ciencias exactas e ingeniería, tienen por costumbre más que
desarrollar el método matemáticos sobre el que están fundamentados, a apoyarse y recomendar el
uso de programas especializados sin que esto sea necesariamente malo, pero que sin lugar a
dudas, no permite que el capital humano en formación logre vincular métodos vistos en
disciplinas como álgebra, algebra superior o precálculo.
La falta de relación entre temas matemáticos, ya sea en ingeniería con poca aplicación a la
economía pero con fortaleza en los métodos, o caso contrario, en la contaduría y negocios con
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mucha aplicación pero poca suficiencia en el detalle de los métodos matemáticos, no permiten
que la transmisión de conocimiento matemático complete el círculo y por consiguiente, está en
riesgo el alejamiento de la creatividad con base a las matemáticas para crear modelos y acercarse
cada vez más al nivel técnico operativo de los poderosos programas.
Por supuesto que los apoyos de sofisticados y poderosos “softwares” son esenciales para la
solución de problemas, sin embargo, mientras se continúe con falta de complementación entre
método, aplicación y tecnología, se correrá el riesgo, al menos en el área contable y de negocios,
de ser dependientes a los modelos que por costumbre se contemplan en bibliografías
tradicionales, lo que hace muy difícil, que desde estas áreas puedan ser formulados problemas
originales, y más aún, explicados con un nivel de detalle aceptable más allá de sólo interpretar
pantallas de captura o salidas de datos.
Ya en 1967, Peter Drucker advirtió en un artículo clásico titulado “The Manager and the Moron”
que sólo se puede cuantificar lo que se puede definir, y muchas cosas importantes, como las de
índole subjetivo, se encuentran en esta categoría. Para comprender realmente sobre un tema
importante, Drucker advirtió que debemos mirarlo desde varios ángulos diferentes. Por esa razón,
el administrador debe utilizar la computadora para controlar las rutinas de negocio, y obtener de
esta manera la liberación de su tiempo para pensar en cosas críticas que no sabe ni tiene
información al respecto, generalmente sobre el entorno y las personas. Este tipo de cosas que no
tiene definidas, son las que debe salir a buscar, y la única alternativa válida es si conoce las
herramientas correctas para hacerlo.
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