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Método Simplificado para Modelación de Edificios en media altura tipo Marco-Plataforma de Madera Utilizando un programa Computacional de Elementos Finitos

Authors:

Abstract

The present study consists of the elaboration of a simplified methodology of computational modeling for the seismic design of middle rise buildings composed of timber shear walls using the platform-frame system, applying factors of modification of the rigidities that act in the plane of the shear walls. To do this, it is considered a linear analysis that complies with the formulations presented by Euler-Bernoulli and Timoshenko's beam theory. The application of these coefficients of modification of rigidity to the different structural shear walls modeled, allow to reduce considerably the computational process times when opting for a linear model; in contrast to the non-linear and iterative model. Subsequently, from the results obtained from the formulation and modeling process, tables of coefficients of modification of rigidities were created for different configurations of shear walls with respect to the timber platform-frame system.
SIMPLIFIED METHOD TO MODELING TIMBER MID-RISE BUILDINGS PLATFORM FRAME
SYSTEM USING A FINITE ELEMENTS PROGRAM.
MÉTODO SIMPLIFICADO PARA MODELACIÓN DE EDIFICIOS EN MEDIA ALTURA TIPO
MARCO-PLATAFORMA DE MADERA UTILIZANDO UN PROGRAMA COMPUTACIONAL
DE ELEMENTOS FINITOS
Ignacio González (1), Jorge Vargas (2)
(1) Ingeniero Civil, IGR Structural Engineering, Santiago, Chile. email: ignacio@igr-se.cl
(1) Ingeniero Civil, Santiago, Chile. email: jvargasparada@gmail.com
Resumen
El presente estudio consiste en la elaboración de una metodología simplificada de modelación computacional
para el diseño sísmico de edificios en media altura compuestos de muros de corte de madera utilizando el
sistema marco-plataforma, aplicando factores de modificación de las rigideces que actúan en el plano del muro
de corte. Para ello, se considera un análisis lineal que cumple con las formulaciones presentadas por Euler-
Bernoulli y la teoría de vigas de Timoshenko. La aplicación de estos coeficientes de modificación de rigidez a los
distintos muros estructurales de corte modelados, permiten disminuir considerablemente los tiempos de
proceso computacional al optar por un modelo lineal; en contraste con el modelo no-lineal e iterativo.
Posteriormente, a partir de los resultados obtenidos del proceso de formulación y modelación, se crearon
tablas de coeficientes de modificación de rigideces para distintas configuraciones de muros de corte respecto
al sistema de muro marco-plataforma de madera.
Palabras-Clave: Edificios de madera, Muros de corte, sistema marco-plataforma de madera
Abstract
The present study consists of the elaboration of a simplified methodology of computational modeling for the
seismic design of middle rise buildings composed of timber shear walls using the platform-frame system,
applying factors of modification of the rigidities that act in the plane of the shear walls. To do this, it is
considered a linear analysis that complies with the formulations presented by Euler-Bernoulli and
Timoshenko's beam theory. The application of these coefficients of modification of rigidity to the different
structural shear walls modeled, allow to reduce considerably the computational process times when opting for
a linear model; in contrast to the non-linear and iterative model.
Subsequently, from the results obtained from the formulation and modeling process, tables of coefficients of
modification of rigidities were created for different configurations of shear walls with respect to the timber
platform-frame system.
Keywords: Timber buildings, Shear walls, Platform frame system
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1 Introducción
El sistema marco-plataforma de madera está dentro de los sistemas constructivos mas utilizados en
los paises productores de madera, como Canadá y Estados Unidos. Dentro de los atributos de este
sistema se encuentran la prefabricación, velocidad de construcción, eficiencia energética y en general
su versatilidad ayuda a potenciar soluciones sustentables con el medio ambiente.
Uno de los problemas que deben enfrentar los ingenieros que desarrollan sus proyectos con este
sistema constructivo, es saber aplicar correctamente todas las variables que se involucran en un muro
de corte tales como; la cantidad de pies derecho, espaciameinto de clavos, sistema de anclaje, placas
de OSB, etc. Adaptar todas las variables antes mencionadas en un modelo estructural de elementos
finitos resulta complejo ya que se deben realizar modelos no-lineales, lo que involucra un mayor gasto
de recursos para desarrollar este tipo de proyectos.
Esta investigación apunta a facilitar el desarrollo de proyectos con el sistema marco-plataforma, para
ello se presenta una metodología que se adapta a las practicas mas utilizadas de las oficinas de
ingeneria para el diseño sísmico en media altura y que a su vez sea confiable para la verificación de las
exigencias normtivas de la NCh433 [1].
2 Objetivos
2.1. Objetivo General
Encontrar una metodología simplificada para facilitar la modelación computacional de paneles de
madera aserrada del tipo sistema marco-plataforma, aplicado principalmente a muros de corte
segmentados y muros perforados donde se considere de manera intrínseca las propiedades de los
distintos elementos que componen el sistema estructural.
2.2. Objetivos Específicos
- Analizar y comprender las hipótesis de verificación y diseño de la norma americana de
muros estructurales de corte [2], utilizando el sistema marco-plataforma.
- Proponer una metodología simplificada como análisis racional de ingeniería para la
aplicación de un modelo estructural utilizando el programa de elementos finitos ETABS para
muros de corte del sistema marco-plataforma.
- Desarrollar ábacos con coeficientes de modificación de rigidez de un elemento finito tipo
área para generar un modelo representativo de la estructura.
3. Modelación simplificada utilizando elementos finitos tipo área
3.1. Metodología de cálculo utilizada
La deformación total del sistema marco-plataforma según el código de diseño SDPWS, está gobernada
por la deformación de flexión, la deformación por cortante y la deformación de los conectores.
Mientras tanto, la deformación lineal total para un elemento barra o un elemento área, está
constituida básicamente por la deformación por corte y la deformación por flexión.
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Para realizar una modelación simplificada, se utilizarán coeficientes de modificación para la rigidez en
elementos tipo área. Estos coeficientes vienen especificados en cada programa computacional y
afectan básicamente a la rigidez en el plano y fuera de este.
Como se aprecia en el estudio realizado Cárcamo [3], la metodología más simple para realizar un
modelo simplificado resulta de la igualación de la rigidez lateral total del sistema marco-plataforma
entregado por la American Wood Council, y representado por la ecuación (1), con la rigidez total
lateral de un muro en voladizo representado por la ecuación (1). Posteriormente se procede a la
obtención de coeficientes para muros marco-plataforma con distintas configuraciones o propiedades
entregadas:
(1)
Donde:
KHD : Rigidez del anclaje.
: Distancia entre el anclaje traccionado y el centroide de los pies derechos de borde.
(1)
Donde:
: Factor de forma de Timoshenko.
Asimismo, en el estudio de Cárcamo, se utiliza la rigidez vertical del sistema para obtener una rigidez
representativa, obviando el peso proporcionado por el muro tipo Shell.
La ecuación (2) representa la rigidez axial del sistema SDPWS, siendo esta:
(2)
Donde:
: Área proporcionada por la totalidad de los pies derechos.
: Módulo de elasticidad de los pies derechos.
La ecuación (3) representa la rigidez axial de un elemento tipo barra, y esta queda definida como
sigue:
(3)
Dónde:
A : Área de la sección transversal del elemento área.
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E : Módulo de elasticidad del modelo computacional.
3.2. Obtención de coeficientes de modificación para elementos área
La obtención de coeficientes de modificación se realizará igualando las distintas rigideces del muro de
corte, es decir, igualando la rigidez vertical y horizontal del sistema SDPWS con la rigidez total de un
muro en voladizo. Para ello, se definen tres coeficientes a obtener:
λ : Coeficiente de modificación que se aplica a la rigidez en dirección x e y del elemento tipo área
que en el programa computacional se aplica en f11 y f22.
Ψ : Coeficiente de modificación que se aplica a la rigidez por cortante del elemento tipo área que
en el programa computacional se aplica en f12.
ρ : Coeficiente de modificación que se aplica a la masa y peso del elemento tipo área.
Ya definidos los coeficientes λ, Ψ y ρ se procede a la obtención de estos en los siguientes capítulos.
3.3. Coeficiente de rigidez λ en dirección x e y
Para la obtención del coeficiente de rigidez λ, se igualan las rigideces producto de la carga axial
indicada en las ecuaciones (2) y (3), incorporando el factor λ en la ecuación que representa la rigidez
axial de un elemento tipo barra, obteniéndose escrita la siguiente igualdad:
(4)
Luego, despejando λ se tiene:
(5)
Donde λ representa la razón entre el producto del módulo de elasticidad con el área de los pies
derechos del sistema marco-plataforma, y el producto del módulo de elasticidad por el área
transversal del elemento tipo área. Este es el coeficiente más simple de obtener, ya que sólo basta
con igualar la deflexión axial de ambos sistemas.
3.4. Coeficiente de rigidez Ψ producto de las tensiones de corte.
Para la obtención del coeficiente de rigidez Ψ, se iguala la rigidez lateral del sistema marco-
plataforma con la rigidez total para una barra en voladizo. Estas rigideces se entregan en las
ecuaciones (1) y (1) incorporando los factores de modificación λ y Ψ que actúan en la rigidez por
flexión y corte, respectivamente. La ecuación (6) representa la igualdad descrita anteriormente.
(6)
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Considerando que el módulo de corte se puede escribir respecto al módulo de elasticidad y el factor
de Timoshenko igualarlo a uno, la ecuación anterior se puede escribir como sigue:
(7)
Luego, al desarrollar la ecuación anterior, se denomina KSDPWS como KH y se despeja el coeficiente Ψ,
obteniéndose la siguiente ecuación:
(8)
Reemplazando λ de la ecuación (4) en la ecuación (8), podemos escribir la siguiente ecuación:
(9)
Ahora, se considera lo siguiente:
(10)
(11)
(12)
Dadas las ecuaciones (10), (11) y (12), se puede simplificar la ecuación (9) tanto en términos del
módulo de elasticidad mostrada en la ecuación (13), como en términos del módulo de corte de la
ecuación (14).
(13)
(14)
Donde:
KV : Rigidez axial del muro marco-plataforma.
KH : Rigidez lateral total del muro marco-plataforma.
E : Módulo de elasticidad del elemento tipo área modelado.
G : Módulo de corte del elemento tipo área modelado.
3.5. Coeficiente ρ de peso y masa sísmica
Debido a que la sección transversal es una sección que posee vacíos entre pies derechos, es necesario
realizar un ajuste entre el peso del muro y el peso de la sección de modelación. Este factor de ajuste
se obtiene de la razón entre el peso del muro marco-plataforma y el peso del muro modelado
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mediante elementos finitos. En la ecuación (15) se presenta el valor del coeficiente de modificación
relativo al peso y masa sísmica.
(15)
Donde:
ATD : Área total de los pies derechos en el muro.
ϒPR : Peso específico pino radiata considerado.
n : Número de placas de OSB.
Aosb : Área de placas de OSB.
osb : Peso específico placas OSB.
4. Aplicación de la metodología desarrollada a un modelo computacional
Para el desarrollo y obtención de la rigidez total lateral y la rigidez axial, se utiliza la ecuación (17),
conocida como la ley de Hooke, la cual relaciona la fuerza ejercida en un medio elástico con el
producto de la rigidez por la deformación [4].
(17)
De la ecuación (17) se puede dilucidar que, si se aplica una fuerza igual a la rigidez del sistema SDPWS
por una deformación unitaria, el resultado de la deformación esperada en el modelo computacional
será igual a dicha deformación unitaria.
Para analizar la variable de la subdivisión de los elementos finitos, se consideran modelos
computacionales mallados de 30, 40 y 60 cm (Fig.1); esto hace referencia a la posible disposición de
pies derechos o división del elemento por un número múltiplo cercano a 122 cm.
Fig. 1 - Subdivisión de la modelación del muro de corte a 30 cm
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4.1. Evaluación de la rigidez lateral total usando factores de modificación
A continuación se presentan los parámetros elegidos de forma aleatoria para distintas longitudes de
muros, siempre que sean múltiplo de 122 cm.
Pino radiata G1, E : 100000 kg/cm2.
Pino radiata G1, ϒ : 450 kg/m3.
Pies derechos, 2x4 : 41mm x 90mm @ 300 mm
Área pie derecho tramo, ATr : 110.7cm.
Pies derechos de esquina : 4
Área pie derecho tramo, AEsq : 147.6cm.
Placa OSB, e : 11.1 mm. x 2
Placa OSB, ϒ : 721 kg/m3
Placa OSB, Ga : 2678.7 kg/cm
Fijación : 8d@15 cm.
Rigidez del anclaje, KHD : 7920.5 kg/cm.
Distancia anclaje, L´ : 105.6 cm.
Cabe destacar que el módulo de corte aparente Ga, se obtiene de la norma SDPWS. Además, es
necesario definir las propiedades geométricas y de los materiales utilizadas por el elemento tipo placa
a modelar en el programa ETABS. Estas propiedades son:
Módulo de elasticidad, E : 100000 kg/cm2.
Coeficiente de poisson, ν : 0.2
Ancho de la sección, b : 12 cm.
Alto de la sección, h : 244 cm.
Longitud de la sección, L : múltiplo de 122 cm.
Para realizar la evaluación de los diferentes modelos, se extraen las deformaciones laterales, donde se
puede apreciar que existe una diferencia menor entre la rigidez del modelo representativo y la rigidez
teórica de la metodología indicada en el SPDWS.
También se puede dilucidar el aumento del error a medida que la longitud del muro de corte se
incrementa. El orden de magnitud de los errores porcentuales para cada una de las rigideces laterales
se puede apreciar en la Tabla 1.
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Tabla 1- Porcentaje de error de la rigidez horizontal aplicando factores a un modelo computacional
L
KTEORICO
K30x30
K40x40
K60x60
Error porcentual malla [cm]
[cm]
[kg/cm]
[kg/cm]
[kg/cm]
[kg/cm]
30x30
40x40
60x60
122
999.2
961.7
978.7
1012.4
3.7
2.0
1.3
244
3002.7
2835.1
2861.4
2910.9
5.6
4.7
3.1
366
5316.8
4995.0
5024.7
5084.2
6.1
5.5
4.4
488
7767.3
7343.0
7375.0
7440.3
5.5
5.1
4.2
610
10289.6
9779.5
9812.3
9881.6
5.0
4.6
4.0
732
12854.5
12308.9
12342.7
12414.9
4.2
4.0
3.4
854
15446.7
14859.4
14894.2
14968.2
3.8
3.6
3.1
976
18057.4
17552.8
17588.4
17665.0
2.8
2.6
2.2
1098
20681.2
19945.8
19981.0
20057.9
3.6
3.4
3.0
* Promedio del error porcentual
4.47
3.94
3.18
Si bien el error porcentual promedio para cada tipo de mallado es inferior al 5 por ciento, se
recomienda aplicar un factor de corrección a la rigidez lateral del sistema; esto debido a las prácticas
de ingeniería por aceptar factores de utilización menores al 1.05 por ciento, lo cual produciría una
suma de errores. De la tabla 1 se puede extraer el promedio de error de todas las modelaciones
computacionales, siendo este de 3.86 por ciento.
4.2. Evaluación de la rigidez vertical usando factores de modificación
Utilizando la misma metodología indicada en el punto anterior, se puede apreciar en la Fig.3 que
existe una diferencia despreciable en la rigidez del modelo representativo y la rigidez teórica de la
metodología indicada en el SPDWS; esto significa que las curvas se encuentran superpuestas hasta
una longitud de 732 cm.
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100000
200000
300000
400000
500000
600000
700000
800000
900000
0122 244 366 488 610 732 854 976 1098 1220
Rigidez Vertical, [kg/cm]
Longitud de muro, [cm]
Rigidez teorica
Rigidez Malla 30x30 cm
Rigidez Malla 40x40 cm
Rigidez Malla 60x60 cm
Fig. 2 - Evaluación de la rigidez vertical total respecto a la rigidez teórica.
También se puede observar un leve incremento del error a medida que aumenta la longitud del muro
de corte. El orden de magnitud de los errores porcentuales para cada una de las rigideces laterales se
puede apreciar en la Tabla .
Otro punto para destacar es el porcentaje de error inferior al 1 por ciento, por lo cual no se
recomienda aplicar un factor de corrección al coeficiente de rigidez axial.
Tabla 2 - Porcentaje de error de la rigidez vertical aplicando factores a un modelo computacional
L
KTEORICO
K30x30
K40x40
K60x60
Error porcentual malla
[cm]
[cm]
[kg/cm]
[kg/cm]
[kg/cm]
[kg/cm]
30x30
40x40
60x60
122
166352.5
166498.7
166855.9
166798.8
0.1
0.3
0.3
244
241967.2
242868.5
243502.8
243253.9
0.4
0.6
0.5
366
317582.0
317736.0
318601.9
318075.2
0.0
0.3
0.2
488
393196.7
395342.5
396415.1
395611.8
0.5
0.8
0.6
610
468811.5
470880.9
472127.7
471082.2
0.4
0.7
0.5
732
544426.2
547968.0
549364.3
548123.2
0.7
0.9
0.7
854
620041.0
627793.8
629315.9
627933.2
1.3
1.5
1.3
976
695655.7
704327.5
705946.9
704463.7
1.2
1.5
1.3
1098
771270.5
782862.7
784551.4
783023.8
1.5
1.7
1.5
* Promedio del error porcentual
0.68
0.93
0.76
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4.3. Factor de corrección asociado a la rigidez por tensiones de corte
Como se vio en el acápite 4.1, es necesario aplicar un factor de corrección al coeficiente de
modificación que afecta a la rigidez por tensiones de corte. Si se supone que el factor de corrección es
lineal respecto al incremento de la rigidez lateral total, y siendo la rigidez del modelo computacional
menor que rigidez teórica entonces se tiene que incrementar el coeficiente de modificación utilizando
la siguiente ecuación:
(18)
De la ecuación (18) se puede obtener el factor de corrección de la rigidez considerando que Ϙ
equivale a 3.86 por ciento, siendo φ un factor de 1.04 aplicable a todos los tipos de mallado de los
elementos finitos. Luego de aplicar este valor se obtienen nuevos factores de modificación los cuáles
se presentan en la tabla 3.
Tabla 3 - Coeficientes de modificación corregidos para modelación de muros de corte.
L
Klateral
Kaxial
φ
[cm]
[kg/cm]
[kg/cm]
f11, f22
f12
122
999.2
166352
0.2773
0.0046
0.5736
244
3002.7
241967
0.2016
0.0066
0.4979
366
5316.8
317582
0.1764
0.0076
0.4727
488
7767.3
393197
0.1638
0.0082
0.4601
610
10289.6
468811
0.1563
0.0087
0.4526
732
12854.5
544426
0.1512
0.0090
0.4475
854
15446.7
620041
0.1476
0.0093
0.4439
976
18057.4
695656
0.1449
0.0095
0.4412
1098
20681.2
771270
0.1428
0.0096
0.4391
Luego de aplicar los nuevos coeficientes a los muros de corte y una vez procesado los modelos
computacionales, se extraen las deformaciones de los muros de corte para obtener las rigideces
globales modificadas utilizando la ecuación (17) para luego mostrar las rigideces asociadas a la
tensión de corte en la Fig. 4.
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Fig. 3 - Evaluación de la rigidez lateral total respecto a la rigidez teórica.
De la figura anterior se puede apreciar a simple vista que las rigideces se encuentran superpuestas, es
decir, tienen un pequeño error de modelación. El error asociado a la rigidez lateral global se puede
apreciar de manera cuantitativa en la tabla 4
Tabla 4 - Porcentaje de error de la rigidez horizontal aplicando factores corregidos a un modelo
computacional
L
KTEÓRICO
K30x30
K40x40
K60x60
Error porcentual malla [cm]
[cm]
[kg/cm]
[kg/cm]
[kg/cm]
[kg/cm]
30x30
40x40
60x60
122
999.2
985.7
1003.3
1038.2
1.3
0.4
3.9
244
3002.7
2932.6
2960.0
3011.7
2.3
1.4
0.3
366
5316.8
5216.6
5247.6
5310.2
1.9
1.3
0.1
488
7767.3
7640.0
7673.2
7741.5
1.6
1.2
0.3
610
10289.6
10275.7
10310.0
10383.2
0.1
0.2
0.9
732
12854.5
12905.3
12940.6
13016.6
0.4
0.7
1.3
854
15446.7
15556.2
15592.5
15670.1
0.7
0.9
1.4
976
18057.4
18150.4
18187.2
18266.5
0.5
0.7
1.2
1098
20681.2
20843.1
20879.7
20960.1
0.8
1.0
1.3
* Promedio del error porcentual
1.08
0.87
1.20
Dado que el promedio de error porcentual asociada a la rigidez horizontal total es de
aproximadamente 1.05 por ciento, se considera un valor aceptable y no se itera nuevamente.
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5. Conclusiones
De los resultados obtenidos se concluye que, si la razón entre la altura y la longitud del muro
aumenta, la rigidez a flexión controla el diseño en base a condiciones de servicio. Por otro lado, si
dicha razón decrece, la rigidez por cortante es fundamental para controlar los límites de
deformaciones indicadas en la norma de diseño sísmico NCh433.
De igual manera, se pudo observar que la magnitud de la rigidez de los elementos finitos disminuye a
medida que se aumenta el mallado del elemento modelado. Para representar la rigidez teórica
indicada por el digo SPDWS, se deben aplicar factores de corrección a los coeficientes de
modificación de las propiedades brutas del elemento área, siendo este factor de 1.04
aproximadamente, y aplicado a la rigidez lateral por cortante.
Asimismo, del estudio realizado se puede apreciar que sólo es necesario modificar las propiedades del
elemento modelado aplicando sólo tres factores de modificación de las rigideces a un elemento del
tipo membrana; estas afectan básicamente a la rigidez axial, la rigidez a cortante y al peso asociado a
cada uno de los elementos modelados.
Este trabajo significa un aporte para la modelación computacional, ya que reduce significativamente
el proceso de diseño y verificación de muros de corte. Esto se logra debido a que no se incursiona en
modelos no lineales, modificaciones complejas de cada elemento, cálculos de propiedades de los
elementos e iteraciones de verificación de cada uno de los elementos que componen el sistema
marco-plataforma.
El procedimiento descrito en este estudio permitirá a los profesionales de las oficinas de ingeniería
estructural desarrollar de manera práctica proyectos con el sistema marco-plataforma de madera.
Esto marca un hito en el desarrollo de este tipo de proyectos, debido a que es una herramienta que
facilitará el análisis y desarrollo de las edificaciones con este sistema constructivo.
6. Referencias
[1] NCh433. (1996 mod 2009). Instituto Nacional de Normalización. Diseño Sísmico de Edificios.
[2] American Wood Council. (2015). Special Design Provisions for Wind and Seismic. SDPWS.
[3] Cárcamo, S. I. (Julio de 2017). Modelo de muros marco plataforma para un programa de
elementos finitos mediante elementos área. Universidad Tecnica Federico Santa Maria, Obras
Civiles, Valparaiso.
[4] Lebedev, L. P., & Cloud, M. J. (2009). Introduction to Mathematical Elasticity. New Jersey, United
States: World Scientific.
... Los coeficientes de modificación de rigidez aplicados a los modelos, según la tipología de muro definida, se observan en la Tabla N° 2 y fueron obtenidos utilizando el software C+T (Change+Timber) que incorpora la metodología desarrollada por González y Vargas (2019 La filosofía de diseño para los elementos de madera corresponde a la de tensiones admisibles, donde la resistencia del material frente a los distintos tipos de esfuerzos se incrementa o disminuye en función de factores de modificación asociados a distintos efectos constructivos o de servicio de la estructura. ...
Book
El manual de diseño de edificaciones en madera entrega los lineamientos básicos para el diseño de estructuras de vivienda de 1 a 3 pisos, conformadas por envigados, cerchas, columnas y muros de corte; sometidos a solicitaciones generadas por cargas gravitacionales y laterales. El Manual de diseño tiene por objetivo ser una herramienta de consulta para profesionales del área de la construcción con madera interesados en conocer las metodologías de cálculo y de diseño estructural, sobre la base de un software de elementos finitos y la normativa chilena vigente (NCh 1198). Se considera el diseño y cálculo de 3 viviendas con estructura de madera, de 1 a 3 pisos, que utilizan el sistema constructivo plataforma, considerando indicaciones de cálculo usuales para la realidad nacional (calidad del suelo, ubicación geográfica), además de características de diseño que consideran requisitos acústicos y térmicos.
Article
This book provides the general reader with an introduction to mathematical elasticity, by means of general concepts in classic mechanics, and models for elastic springs, strings, rods, beams and membranes. Functional analysis is also used to explore more general boundary value problems for three-dimensional elastic bodies, where the reader is provided, for each problem considered, a description of the deformation; the equilibrium in terms of stresses; the constitutive equation; the equilibrium equation in terms of displacements; formulation of boundary value problems; and variational principles, generalized solutions and conditions for solvability. Introduction to Mathematical Elasticity will also be of essential reference to engineers specializing in elasticity, and to mathematicians working on abstract formulations of the related boundary value problems. © 2009 by World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd. All Rights Reserved.
Special Design Provisions for Wind and Seismic
  • American Wood Council
American Wood Council. (2015). Special Design Provisions for Wind and Seismic. SDPWS.
Modelo de muros marco plataforma para un programa de elementos finitos mediante elementos área
  • S I Cárcamo
Cárcamo, S. I. (Julio de 2017). Modelo de muros marco plataforma para un programa de elementos finitos mediante elementos área. Universidad Tecnica Federico Santa Maria, Obras Civiles, Valparaiso.