APRENDIZAJE Y PRÁCTICA DE PROCEDIMIENTOS CON DESCARTES

Abstract

La resolución de problemas es una componente básica para la formación en competencias y en ella el paso de la solución teórica a la concreta, así como su verificación, requiere el dominio de destrezas, de técnicas y cálculos auxiliares. Estas tareas suelen convertirse en rutinas mecánicas, pero a través de su ejercitación también puede favorecerse la comprensión y la interiorización de los conceptos matemáticos en los que se sustentan. En esta comunicación presentamos una línea de trabajo en la que utilizando un tipo de escenas interactivas de Descartes el alumnado puede abordar un aprendizaje autónomo y guiado de diversas técnicas de cálculo tanto numérico como simbólico. Estas escenas facilitan el aprendizaje y contribuyen a "aprender a aprender".
Nivel educativo: Educación Secundaria, Bachillerato y Universidad.

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CON DESCARTES
José Luis Alcón Camas, Proyecto Descartes (ITE del Ministerio de Educación) e
Instituto Baelo Claudia de Tarifa (Cádiz)
José Román Galo Sánchez, Proyecto Descartes (ITE) y Universidad de Córdoba
Juan Guillermo Rivera Berrío, Proyecto Descartes (ITE) e Instituto
Tecnológico Metropolitano de Medellín (Colombia)
RESUMEN.
La resolución de problemas es una componente básica para la formación en
competencias y en ella el paso de la solución teórica a la concreta, así como su
verificación, requiere el dominio de destrezas, de técnicas y cálculos auxiliares.
Estas tareas suelen convertirse en rutinas mecánicas, pero a través de su
ejercitación también puede favorecerse la comprensión y la interiorización de los
conceptos matemáticos en los que se sustentan. En esta comunicación
presentamos una línea de trabajo en la que utilizando un tipo de escenas
interactivas de Descartes el alumnado puede abordar un aprendizaje autónomo y
guiado de diversas técnicas de cálculo tanto numérico como simbólico. Estas
escenas facilitan el aprendizaje y contribuyen a “aprender a aprender”.
Nivel educativo: Educación Secundaria, Bachillerato y Universidad.
1. MATEMÁTICAS: CIENCIA Y HERRAMIENTA.
¿Cuánto tiempo dedica a enseñar a su alumnado a realizar operaciones, por
ejemplo, entre fracciones y cuánto le queda para poder resolver problemas que
requieren el uso de esas operaciones como mero medio técnico?
¿Cuánto tiempo emplea en sus clases para que su alumnado aborde el
aprendizaje del cálculo de derivadas y cuánto en el concepto en sí de derivada y
su uso como técnica para la resolución de problemas?
Es perenne el debate sobre las Matemáticas como ciencia autónoma o como
herramienta para otras ciencias. El posicionamiento se distribuye desde el
teórico extremista que es capaz de renegar de su resultados en el momento que
estos tengan alguna aplicación externa al ámbito matemático hasta el tecnólogo
o técnico que se cuestiona la necesidad de demostrar la existencia de solución si
conoce que existe al haberla hallado y por tanto disponer de ella. Este
posicionamiento se manifiesta académicamente, por ejemplo, en los planes de
estudios superiores, especialmente en Escuelas de Ingeniería donde encontramos
asignaturas que integran en su denominación la palabra Cálculo y bajo este
nombre podemos situar contenidos de las ramas clásicas de las Matemáticas, es
decir, Análisis, Álgebra, Geometría y Estadística, centradas en su aspecto
mecanicista como medio de consecución de otros fines. Pero eso acontece
también en los otros niveles del Sistema Educativo, pues muchas veces, en la

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enseñanza Primaria y Secundaria nos centramos en la explicación de técnicas o
algoritmos, cuya razón de estudio es como medio para la adquisición de
conceptos y competencias, y al final resulta que se convierten en los
protagonistas y el fin real y casi único del aprendizaje, más que nada porque
suelen consumir un tiempo que relega al que era el objetivo y fin real inicial,
llegando incluso a hacérnoslo olvidar. Así pues, se deslocaliza el objetivo y
desubica al alumnado (e incluso al profesorado) promoviendo la formulación de
la eterna pregunta o cantinela usual: “¿y esto para qué sirve?”. Se confunde el
medio con el fin o bien oculta a éste.
Y todo ese esfuerzo para que a posteriori, una vez asimiladas esas técnicas,
incluso puedan ser abandonadas y suplidas por el empleo de herramientas
tecnológicas que reproducen rápida y automáticamente esos cálculos.
El Cálculo entendido como conjunto de algoritmos y técnicas matemáticas
auxiliares para la resolución de problemas, opinamos, ocupa un espacio temporal
excesivamente amplio en el desarrollo del currículo del aula. Ello acontece
especialmente en un contexto metodológico tradicional expositivo, donde la
secuencia o ciclo didáctico usual podemos describirlo sucintamente como: el
profesorado plantea “cuentas” en la pizarra o selecciona de las escritas en un
libro, el alumnado aborda el cálculo y lo refleja en su cuaderno y finalmente se
procede a su corrección en la pizarra y regreso al inicio;
Pero no prevean que por el discurso iniciado que aboguemos por una
supresión o reducción del aprendizaje de estas técnicas, no. Consideramos que
dichas técnicas no son sólo meros instrumentos, por sí mismos suelen ser
aplicaciones directas de otros conceptos y su aprendizaje forma parte y son la
base necesaria para la construcción del conocimiento matemático y la adquisición
de la competencia matemática. Nuestro planteamiento busca ubicar al medio y al
fin, a cada uno en su lugar, y para ello lo que buscamos es aprovechar las
ventajas que aportan ciertos recursos TIC para que en el aprendizaje de estas
rutinas o técnicas se emplee un tiempo necesario, pero no casi o todo el tiempo.
Y que ese aprendizaje se alcance con análoga o mejor asimilación conceptual
promoviendo la autonomía e iniciativa personal y la competencia de aprender a
aprender.
Así pues nos centrarnos en las Matemáticas como procedimiento, como
herramienta y nos situamos en nuestras aulas y vemos como explicamos
procedimientos, por ejemplo, la suma de fracciones o el cálculo de derivadas e
integrales, que una vez planteados lo que requieren es una ejercitación, un
entrenamiento que haga que el alumnado asimile y consolide la técnica a
emplear. Y en el esquema tradicional antes mencionado comienza la insistencia y
lucha docente, la rutina docente, de abordar ciclos didácticos de entrenamiento
para conseguir que nuestro alumnado haga los suficientes ejercicios para lograr
su adecuado aprendizaje. En un símil deportivo, no basta con saber botar un
balón para ser jugador de baloncesto, sino que se requiere un entrenamiento y
una dedicación para mantener un control del mismo y que de esa forma nos lleve
hacia la canasta contraria y nos conduzca a la consecución de los puntos
necesarios al tirar hacia ella.
Necesitamos abordar “suficientes ejercicios”, pero es obvio que la diversidad
en las capacidades del alumnado de un aula hace difícil la determinación o
cuantificación de esa suficiencia. La diversidad sólo es abordable mediante una
atención diversa, mediante una adaptación a los ritmos personales de
aprendizaje y a un apoyo directo y personalizado. Y ello es viable y posible

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utilizando recursos TIC, es decir, programas informáticos que den respuesta al
objetivo y tipo de aprendizaje al incorporar características entre las que se
contemple la interactividad, variabilidad de planteamientos y datos, corrección
automática sumativa y formativa. Y con estos asistentes matemáticos o
mediadores virtuales el alumnado puede abordar su aprendizaje autónomamente
(no necesariamente en un contexto externo al aula, pero también pudiendo
hacerlo fuera de ella por ejemplo en casa), llevará su ritmo y aprovechará
intensamente el tiempo que emplee en ese aprendizaje. Aquellos que en un ciclo
tradicional, por su capacidad, necesitaban esperar a la corrección en la pizarra
para limitarse sólo poner una B (de bien) a su tarea, se ven favorecidos al poder
incrementar su práctica con mayor número de ejercicios y diversidad de los
mismos; y aquellos que son más inseguros o que requieren una mayor atención
y apoyo directo se ven motivados al ver confirmados sus aciertos
inmediatamente o al poder contemplar la solución y el desarrollo que le es
facilitado por el propio mediador o bien pudiendo requerir la ayuda del
compañero o del profesor que puede disponer de más tiempo para atender a
dicha diversidad. El alumnado se convierte en protagonista de su aprendizaje y el
profesorado es el arquitecto y facilitador del mismo.
Y es en este contexto señalado donde ubicamos el proyecto Descartes como
mediador virtual del aprendizaje del Cálculo, y donde estimamos que los
recursos desarrollados en este proyecto son catalizadores de un aprendizaje
significativo en el alumnado, promueven un cambio metodológico, permiten una
atención diversa a la diversidad y en definitiva promueven una enseñanza de
calidad en equidad.
2. EL PROYECTO DESCARTES.
El proyecto Descartes es un proyecto promovido por el Instituto de
Tecnologías de la Educación del Ministerio de Educación y tiene como principal
finalidad promover nuevas formas de enseñanza y aprendizaje de las
Matemáticas integrando las Tecnologías de la Información y de la Comunicación
(TIC) en el aula como herramienta didáctica. Se inicia en el año 1998
aprovechando las circunstancias que se dan al finalizar el pasado siglo XX,
circunstancias económicas, tecnológicas y sociales entre las que podemos citar el
abaratamiento de los equipos informáticos, la aparición de las líneas de alta
velocidad para la transmisión de datos, la utilización generalizada de Internet a
bajo coste, etc., y a ello se suma, en particular, el interés de muchos profesores
de matemáticas por las TIC.
En este proyecto se ofrecen materiales didácticos para el aprendizaje de las
matemáticas que favorecen la posibilidad de usar metodologías: activas, en las
cuales el alumno es protagonista de su propio aprendizaje; creativas; en las
cuales los alumnos toman decisiones durante el proceso de aprendizaje;
cooperativas, en las cuales se trabajan los conceptos y procedimientos por
parejas o en pequeños grupos e individualizadas, en las cuales cada alumno
puede ir a su ritmo y tener atención personalizada. Son mediadores virtuales en
el aprendizaje.
El profesorado integrante del proyecto Descartes, entre los que nos
encontramos los autores de este trabajo, desarrolla materiales didácticos y a la
vez fomenta la experimentación en el aula con estos materiales, lo que permite

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compartir experiencias y confrontar las dificultades y las ventajas del uso de
estas nuevas tecnologías en el aula (Galo, 2008) y (Galo y Cañas, 2006).
En el contexto objeto de esta comunicación podemos señalar que dentro de
los materiales de Descartes se cuenta con escenas interactivas cuyo objetivo es
ubicar entornos de aprendizaje en los que se busca que el alumnado, a través de
la práctica, pueda consolidar la asimilación de procedimientos. Para ello se
plantean actividades de carácter repetitivo que ayuden a la automatización de los
procedimientos sin olvidar que estos pueden ser a su vez base de otros
conceptos o contenidos.
No obstante hemos de indicar que el contexto y uso que aquí realizamos de
los recursos de Descartes es sólo una muestra focalizada del amplio rango de
posibilidades pedagógicas y metodológicas de la globalidad de recursos
desarrollados en este proyecto. Como contraste y muestra de esas amplias
posibilidades podemos ubicarnos en un planteamiento opuesto al mostrado en
esta comunicación y resaltar, por contraposición, el posicionamiento
desarrollado en el trabajo “Desarrollo de estrategias con Descartes” presentado
en las XIV JAEM (Rivera et al., 2009) donde en ese caso el trabajo con escenas
interactivas lo que persigue es la elaboración de estrategias de resolución de
problemas, ubicadas en el propio contexto geométrico en el que se formulan,
pero promoviendo a su vez la necesidad de la abstracción y el reflejo algebraico.
Y también podemos referenciar proyectos interdisciplinares que usando escenas
de Descartes son motores de la formación competencial, entre ellos por ejemplo
el proyecto denominado “Gymkhana on line de Sevilla” que fue premio nacional y
europeo eTwinning (Flores et al., 2008).
3. DESCARTES: MEDIADOR VIRTUAL
Las TIC ha hecho viable el diseño y desarrollo de recursos que pueden ser
implementados en sistemas informáticos y que permiten, entre otras
posibilidades, abordar la realización de representaciones gráficas, la introducción
de interactividad persona-máquina, la modelación de objetos, de procesos,
situaciones y hechos que ayudan al aprendizaje, de ahí que estas herramientas
se denominen mediadores virtuales. Estos mediadores nos facilitan y permiten
un aprendizaje basado en la propia experimentación, como base para adquirir
experiencia, todo canalizado y/o catalizado por ellos. Consecuentemente
contribuyen al desarrollo de modelos didácticos y metodologías participativas y
constructivistas, adicionalmente a las tradicionales.
Uno de esos modelos se construye aplicando el mediador virtual desarrollado
dentro del proyecto Descartes del Ministerio de Educación. Como hemos indicado
anteriormente Descartes es un proyecto cuyo objetivo principal es promover
nuevas formas de enseñanza y aprendizaje de las Matemáticas integrando las
TIC en el aula como herramienta didáctica, pero entendiendo un aula no
solamente como el grupo de alumnos y alumnas ubicados en espacio físico
cerrado, propio de una enseñanza presencial y reglada, sino también como un
espacio virtual que abarca la “aldea global” (McLuhan y Powers, 1993), pues las
escenas interactivas de Descartes pueden integrarse en los servicios y
herramientas de la Web, potenciando la comunicación y haciendo efectivas las
estrategias educativas al hacer uso de múltiples servicios de carácter
interactivo.

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La metodología transmisora tradicional de enseñanza basada en la corrección
de ejercicios en la pizarra se presenta como muy limitada frente al potencial de
los mediadores virtuales. Como hemos señalado anteriormente hay que
contemplar la diversidad en el aula y evitar que quienes adquieren rápidamente
las destrezas consuman parte de su tiempo en la espera de la corrección y
repitiendo innecesariamente determinados ejercicios, a la vez que quienes tienen
más dificultades puedan tener una mayor atención y dedicación y posibilidades.
En términos económicos, no siendo estos los más adecuados en un contexto
educativo, no hay una rentabilidad proporcionada y es necesario encontrar un
equilibrio razonable y adaptado a cada perfil redistribuyendo convenientemente
los recursos para la consecución del fin educativo. Y la interactividad que aportan
las nuevas tecnologías nos permite un gran avance en este campo, en concreto
la corrección automática que aportan los materiales de Descartes permite una
planificación individual y personalizada para cada alumno y alumna, y el profesor
dispone tiempo en el aula para poder atender y ayudar a la intrínseca diversidad
existente en todo grupo. Se potencia la autonomía e iniciativa y la competencia
para aprender a aprender. El uso de aleatoriedad en la generación de ejercicios
hace que en cada instancia o ejecución se presenten diferentes datos o
planteamientos, es decir, se cuenta con modelos de ejercicios que se
particularizan en cada acceso que realice el alumnado y por tanto éste puede
repetir un tipo de ejercicio tanto como lo necesite hasta asimilar la técnica y/o
concepto. La variación en los datos de los ejercicios pero con un mismo objetivo
y fin contribuye a consolidar el cálculo. Disponemos de una herramienta que
contribuye al progreso personal, donde cada cual sigue su ritmo, verifica sus
avances y los logros van confirmando y afianzando su seguridad y confianza.
4. ALGUNOS EJEMPLOS DE DESCARTES COMO MEDIADOR
EN EL CÁLCULO
Para mostrar el carácter de Descartes como mediador virtual en el Cálculo
detallaremos algunas actividades publicadas en la web del proyecto, cuya
dirección web es: http://recursostic.educacion.es/descartes.
No obstante hemos de significar que dado que son recursos interactivos una
descripción no es más que una simple muestra, una mera pincelada
impresionista, que trata de apuntar al verdadero potencial formativo que sólo
puede observarse y comprobar accediendo al recurso referenciado y trabajando
con él. De ahí que aportemos en todos los casos el enlace a los materiales e
invitamos al lector de esta comunicación a acceder y practicar con los objetos
enlazados.
Así mismo señalemos que los ejemplos que aquí se incluyen no son más que
una pocos ejemplos de la amplia variedad de actividades de este tipo que están
a disposición de la comunidad educativa en dicha web. Y si bien en este caso se
ubican en el nivel de Educación Secundaria se cuenta también con materiales
para el nivel de Primaria y para la Universidad.
4.1. FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS.
En este primer ejemplo proponemos una actividad (ver la figura 1) para
practicar y aprender la factorización de polinomios. En cada instancia u
ocurrencia de la escena, es decir, cada vez que se acceda a ella, se planteará un

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ejercicio diferente, de esta manera el alumnado puede realizar tantos ejercicios
como desee y también verificar la corrección de su trabajo al poder confrontarlo
con la solución que puede mostrarse activando una opción. Se dispone por tanto
de una herramienta que permite practicar las diferentes estrategias explicadas
en clase o bien aprender éstas contribuyendo a que pasen a formar parte del
bagaje del alumnado. Puede accederse a este recurso desde la dirección:
http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/factorizacio
n_polinomios/index.htm
Figura 1. Actividad propuesta y su solución una vez que se ha seleccionado esta posibilidad.
4.2. SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS.
La escena reflejada en la figura 2 muestra otro ejemplo en el que se aborda la
simplificación de fracciones algebraicas. Es posible visualizar paso a paso el
proceso seguido, y por tanto la evaluación es formativa ya que contribuye a que
el alumnado detecte su posible equivocación, se interrogue acerca de la misma y
proceda a su interiorización. El enlace para acceder es:
http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/simplificar_
fracciones_algebraicas/index.htm
Figura 2. Simplificación de fracciones algebraicas, utilizando las identidades notables.
4.3. CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO Y FUNCIONES DEFINIDAS A
TROZOS.
La claridad de los conceptos es fundamental para comprender el objeto de
estudio, pero la ejercitación es la que en ocasiones presenta las dificultades de
actuación. Cuando hacemos los ejercicios es posible ver la solución y mejorar la

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compresión del concepto al confrontarlo con la teoría. En la figura 3 se refleja la
pantalla inicial de la escena que nos permite la práctica del concepto de
continuidad de una función en un punto, accesible desde la dirección:
http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/continuidad
_punto/continuidad_punto.htm
Figura 3. Resumen teórico del objetivo de la escena.
Y también este tipo de escenas pueden servir para ampliar los contenidos y
permitir una atención a la diversidad a través de ejercicios bien de refuerzo o
bien de ampliación como podría ser el reflejado en la figura 4 y que puede
consultarse desde la dirección:
http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/trozos_rect
as/trozos_rectas.htm
Figura 4. Funciones definidas a trozos
4.4. REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES. EJERCICIOS.
Como hemos observado en todos estos ejercicios no sólo se aporta el
resultado sino que se detalla la forma de resolverlo. La propuesta general en este
tipo de ejercicios consiste en que el alumnado aborde la resolución en su

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cuaderno y posteriormente pueda contrastar su desarrollo con el que se le
muestra en la escena. En la figura 5 se propone el análisis de funciones
racionales, centrándose en la determinación del dominio de definición, asíntotas,
crecimiento y su representación gráfica. Podemos ver la actividad en la siguiente
dirección:
http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/dibujo_raci
onales/racionales.htm
Figura 5. Representación de funciones racionales. Ejercicios
4.5. DERIVADAS. REGLA DE LA CADENA.
Los ejercicios de cálculo pueden encuadrarse en un proceso rutinario de
cálculo simbólico que sólo requiere la asimilación de un conjunto de reglas y su
aplicación. Las escenas de Descartes contribuyen a la asimilación y
automatización de ese procedimiento. De esta manera el profesorado puede
centrarse más y dedicar más tiempo en la explicación de los conceptos y
apoyarse en las escenas interactivas para que el alumnado practique la mera
técnica rutinaria. En la dirección siguiente puede practicarse la regla de la
cadena:
http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/regla_ca
dena/derivadas.htm
Figura 6. Escena para la práctica de la regla de la cadena en la derivación.

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4.6. INTEGRACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES. EJERCICIOS
Una situación análoga la encontramos en la aplicación de integrales de
funciones racionales. En este caso la escena es accesible desde la dirección:
http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/integracion
_racionales/integracion_racionales.htm
Figura 7. Escena para la práctica de la integración por partes.
5. CONCLUSIÓN
En esta comunicación nos hemos centrado en el trabajo con un tipo de
actividades del proyecto Descartes cuya finalidad es la asimilación de técnicas
rutinarias o mecánicas y cuyo aprendizaje puede requerir cierta práctica o
repetición hasta su manejo correcto y eficaz. En este aspecto, pero no sólo en él,
un mediador virtual como el applet Descartes facilita el aprendizaje de las
matemáticas al alumnado.
Las escenas permiten al alumnado ejercitarse a través de la práctica gracias a
la introducción de semillas aleatorias que permiten una amplia variabilidad de
propuestas para un mismo tipo de ejercicio.
La inclusión en las actividades de una evaluación no sólo correctora, sino
también formadora incrementa la autonomía personal y la adquisición de la
competencia de “aprender a aprender”.
El alumnado, bien de manera autónoma o bien supervisada, cuenta con un
medio que se adapta a diferentes ritmos de aprendizaje.
El uso de las nuevas tecnologías no sustituye o elimina el uso de materiales
tradicionales como puede ser el cuaderno, sino que pueden metodológicamente
coexistir, si bien no siempre será necesario.
El profesorado se “libera” de tareas rutinarias y cuenta con mayor tiempo para
profundizar en los conceptos y potenciar la atención a la diversidad.

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