ResearchPDF Available

To Prìblhma tou ' Apeirou EkjetikoÔ

January 2019

Authors:

Agricultural University of Athens

Cantor Bouquets as they result from iterating the exponential function. article analyzing the topology and Maple code for producing the resultant pictures. Thesis submitted in the Mathematics dept. at the Agricultural University of Athens in 2019. Revision submitted in 2020.

Julia Set Cantor Bouquet for i^z

…

Figures - uploaded by Yiannis Galidakis

Content may be subject to copyright.

Content uploaded by Yiannis Galidakis

Content may be subject to copyright.

Content uploaded by Yiannis Galidakis

Content may be subject to copyright.

Διατριβή γιά τον τίτλο του ‘Διδάκτωρα Μαθηματικών’ στο Γεωπονικό Πανεπιστήμιο

Αθηνών, υποβληθείσα παρά του Ιωάννη Γαλιδάκη, Μαθηματικού εξ Αθηνών, στις 31 Αυ-

γούστου του 2020.

Εισηγητής: Καθηγητής Ιωάννης Παπαδοπεράκης

Συνεισηγητές: Καθηγητές Δημήτριος Γατζούρας, Χαράλαμπος Χαρίτος

Στην μνήμη των Γονέων μου

1 Εισαγωγή 5

2 Μία εϕαρμογή της συνάρτησης Wστά άπειρα εκθετικά 7

2.1 Ορισμοί ..................................... 7

2.2 Η συνάρτηση W................................. 8

2.3 Τοκεντρικόλήμμα ............................... 10

2.4 Σύγκλιση για x∈R............................... 11

2.5 Σύγκλιση για c∈C............................... 14

2.6 Σύγκλιση για q∈Q............................... 16

3 Μία εϕαρμογή των συναρτήσεων HW στά άπειρα εκθετικά 17

3.1 Ορισμοί ..................................... 17

3.2 Το κεντρικό λήμμα στις HW .......................... 18

4 Τοπολογία του άπειρου εκθετικού 19

4.1 Σύνολα Julia και Fatou ............................. 19

4.2 Ελκυστέςκαιαπωθητές............................. 20

4.3 Γενικός τοπολογικός χάρτης του άπειρου εκθετικού . . . . . . . . . . . . . 21

4.4 Τοπολογία.................................... 22

4.5 Μορϕοκλασματισμός στο άπειρο εκθετικό . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

4.6 Γενέτειρα μπουκέτου Cantor .......................... 27

4.7 Μπιλιάρδο με το άπειρο εκθετικό . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

5 Το γενικό άπειρο εκθετικό 28

5.1 Ορισμοί ..................................... 28

5.2 Ανοδικοίδείκτες ................................ 29

5.3 Καθοδικοίδείκτες................................ 30

6 Παράρτημα: προγραμματισμός/αποτελέσματα 32

7 Ευχαριστίες 34

8 Βιβλιογραϕία 35

Το πρόβλημα του άπειρου εκθετικού παρατηρήθηκε και ερευνήθηκε για πρώτη ϕορά από τον

Leonhard Euler ([85]). Αϕορά την ακολουθία που ορίζεται αναδρομικά ως ακολούθως:

Ορισμός 1.1 Δεδομένου x > 0,

αn+1 =xαn

Το κεντρικό πρόβλημα του άπειρου εκθετικού, τότε, είναι η Πρόταση:

Πρόταση 1.2 Δεδομένου x > 0, να μελετηθεί η συμπεριϕορά της αναδρομικής ακολου-

θίας αn,n∈N.

ΟEuler απέδειξε το ακόλουθο θεώρημα:

Θεώρημα 1.3 Η ακολουθία αnσυγκλίνει εάν και μόνον εάν x∈e−e, ee−1.

Το κεντρικό πρόβλημα οδηγεί σε έναν εκτεταμμένο λαβύρινθο υπο-προβλημάτων, τα

οποία εξετάζονται μερικώς ή ολικώς στις αναϕορές της βιβλιογραϕίας. Ο λόγος για τον

οποίο η περιοχή των υπο-προβλημάτων είναι βαθειά και εκτεταμμένη, είναι ότι η ακολουθία

(1.1) βασίζεται στον αριθμητικό τελεστή της έκθεσης, ο οποίος είναι ο ‘ισχυρότεροσ’ εκ

των τριών {+,×,↑}, αλλά δυστυχώς είναι ο μόνος εκ των τριών ο οποίος δεν είναι γενικώς

αντιμεταθετικός. Με άλλα λόγια, εν γένει , ab̸=ba.

΄Ενας δεύτερος λόγος για τον οποίο το κεντρικό πρόβλημα οδηγεί σε πληθώρα υπο-

προβλημάτων, είναι ότι οι δύο προηγούμενοι τελεστές δεν παρουσιάζουν ιδιοπαθή συμπεριϕο-

ρά σε σχέση με την επαναλαμβανόμενη εϕαρμογή τους. Για παράδειγμα, για δεδομένο x > 1,

οι επαναλαμβανόμενες πράξεις +(n)x=x+x+. . . +x

  

και ×(n)x=x×x×...×x

  

, προ-

καλούν απόκλιση. Δεν συμβαίνει το ίδιο πάντα και με τον εκθετικό τελεστή, καθώς η ακο-

λουθία (1.1), ενδέχεται να συγκλίνει όπως με το Θεώρημα του Euler, για x∈e−e, ee−1.

Η παραπάνω διαϕορά γίνεται αμέσως ορατή για παράδειγμα, αν ένας απλός μαθητής σχο-

λείου επιχειρήσει να διαπιστώσει την συμπεριϕορά της ακολουθίας (1.1), για δεδομένο x > 1,

ας πούμε, για x= 1.2, όπου ένας απλός υπολογιστής τσέπης δείχνει ότι η επαναλαμβανόμενη

έκθεση τέτοιου xοδηγεί σε μία απρόσμενη σύγκλιση.

Αυτή η απρόσμενη σύγκλιση είναι και το εξαιρετικά αξιοπερίεργο του Θεωρήματος (1.3),

το οποίο διαπιστώθηκε από τον Euler, χρησιμοποιώντας μόνον χαρτί και μολύβι. Κάτι τέτοιο

είναι πραγματικά αδιανόητο χωρίς την βοήθεια υπολογιστών, τουλάχιστον όσον αϕορά μο-

ντέρνες μεθόδους υπολογισμού, καθώς από μόνος του, ο τελεστής της έκθεσης παρουσιάζει

πρωτίστως υπολογιστικές δυσκολίες οι οποίες δεν υπάρχουν με τους δύο προηγούμενους τε-

λεστές, εϕ΄ όσον επαλαμβανόμενη πρόσθεση και πολλαπλασιασμός είναι σχετικά ‘γρήγορεσ’

πράξεις όταν χρησιμοποιεί κανείς υπολογιστες.

Εδώ λοιπόν έχουμε ένα Πρόβλημα το οποίο θα μπορούσε πιθανώς να ερευνηθεί περαιτέρω

με την χρήση ισχυρών υπολογιστικών συστημάτων, τα οποία ενδεχομένως να βοηθούσαν σε

πολλά υπο-προβλήματα τα οποία παρουσιάζονται.

ab̸=ba

Η πρώτη σημαντική εξέλιξη επήλθε γύρω στο 1999-2000, όταν παρουσιάστηκαν σχετι-

κά προχωρημένες εκδόσεις των πακέτων συμβολικού υπολογισμού Maple και Mathematica

[154]. Τα πακέτα αυτά συμπεριλαμβάνουν έκτοτε συμβολικές εκδόσεις της μιγαδικής συ-

νάρτησης W, αλλιώς αναϕερόμενης ως συνάρτησης του Lambert. Η συνάρτηση αυτή την

τελευταία δεκαπενταετία έχει βρεί πολλαπλές εϕαρμογές σε διάϕορους τομείς των καθαρών

και εϕαρμοσμένων μαθηματικών, όπως και στην ϕυσική, ηλεκτρονική, οπτική και αστρονο-

μία.

Η συνάρτηση Wείναι ένα περιορισμένο αντίστροϕο της μιγαδικής συνάρτησης z·ez, με

την τελευταία να είναι άρρηκτα συνδεδεμένη με τον τελεστή της επαναλαμβανόμενης έκθεσης,

επειδή αυτή ουσιαστικά αναλύεται κατά τμήματα βάσει της συνάρτησης z·ez, αν ληϕθούν

υπ΄ όψιν οι επί μέρους υπο-εκθέτες ενός επαναλαμβανόμενου εκθετικού, με πρωτόγονη βάση

την μιγαδική εκθετική exp.

Τελικά και μετά από πολύχρονες έρευνες αριθμητικής ανάλυσης των αποτελεσμάτων

της έρευνας της σχετιζόμενης με τα άπειρα εκθετικά και το συμβολικό πακέτο Maple ([67,

332]), επιβεβαιώνεται ότι η συνάρτηση W, παρέχει μία κλειστή μορϕή του ορίου σύγκλισης

της ακολουθίας (1.1) όπως αυτό προκύπτει από το Θεώρημα (1.3), όταν η ακολουθία (1.1)

συγκλίνει.

Η συνάρτηση Wλοιπόν, καθίσταται το κατ΄ εξοχήν εργαλείο για την διερεύνηση του

άπειρου εκθετικού και κατά συνέπεια επιτρέπει άμεσα την εξαγωγή τελικών συμπερασμάτων

σχετικά με την περιοχή σύγκλισης της ακολουθίας (1.1), επεκτείνοντας το Θεώρημα (1.3)

στο μιγαδικό επίπεδο, στην περιοχή η οποία ονομάζεται σήμερα περιοχή Shell-Thron.

Τα παραπάνω αποτελέσματα γενικεύονται άμεσα στον χώρο των Quaternions, με τα απο-

τελέσματα να ταυτίζονται με τα ήδη γνωστά αποτελέσματα τα οποία ισχύουν στο Μιγαδικό

επίπεδο, παρ΄ όλο που ο χώρος αυτός δεν είναι (γενικά) μεταθετικός.

Το πρόβλημα της σύγκλισης του άπειρου εκθετικού όμως δεν τελειώνει εκεί, καθώς

αριθμητικοί υπολογισμοί υποδεικνύουν και μη-συγκλίνουσα η ακόμη και αποκλίνουσα συμ-

περιϕορά της ακολουθίας σε πολλές υποπεριοχές του Μιγαδικού επιπέδου, οι οποίες απαιτούν

επι πλέον υπολογισμούς για να διαπιστωθεί αν σε αυτές τις περιοχές η ακολουθία (1.1) συμ-

περιϕέρεται ομαλά και πώς.

Για να εξεταστούν αυτές οι υποπεριοχές άγνωστης συμπεριϕοράς του άπειρου εκθετικού,

απαιτούνται συναρτήσεις οι οποίες είναι σταδιακά πιο πολύπλοκες γενικεύσεις της Wκαι ο

συγγραϕέας τις ονομάζει HW. Οι συναρτήσεις αυτές επιλύουν επιπρόσθετα τις περιπτώσεις

στις οποίες η ακολουθία (1.1) πέϕτει σε κύκλους περιόδου p > 1, χαρακτηρίζοντας πλήρως

έτσι τις υποπεριοχές σύγκλισης της ακολουθίας του μιγαδικού επιπέδου, όταν υπαρχουν πολ-

λαπλοί ελκυστές, οι οποίοι δίνονται με κλειστές μορϕές από αυτές τις HW, και καθορίζουν

τα επι μέρους όρια της σύγκλισης.

Η παρούσα εργασία συλλέγει υποαποτελέσματα έως ότου απαντηθεί η Πρόταση (1.2) του

Euler στην γενικότερη της μορϕή, που είναι η τοπολογία της ακολουθίας αn+1 =γαn

n, για

γενικό γn∈C, υπολογίζει ένα ϕράγμα διάστασης για το κύριο χαρακτηριστικό σύνολό της

και εξετάζει μερικώς την συμπεριϕορά των συναρτήσεων HW που επιτρέπουν την εξαγωγή

συμπερασμάτων γι αυτην την Πρόταση.

Η συνάρτηση Wεχάρη σημαντικής δημοσιότητας τελευταία, κυρίως λόγω σημαντικής προό-

δου στα υπολογιστικά μαθηματικά. Αν και συνθέσεις αυτής της συνάρτησης παρουσιάζονται

με κρυϕή μορϕή στις αναϕορές [18, 153], [187, 14] και [122, 235], οι ουσιαστικές της ιδιό-

τητες παρουσιάζονται στα [67, 344-349] και [68, 2-8]. Ορισμένες από αυτές τις ιδιότητες

μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να απλουστεύσουν σημαντικά την απάντηση του πότε το

άπειρο εκθετικό συγκλίνει.

Εργαζόμαστε με τον πρωτεύοντα κλάδο της μιγαδικής συνάρτησης log, και χρησιμο-

ποιούμε την ορολογία Maurer, για επαναλαμβανόμενα εκθετικά και για το άπειρο εκθετικό

(βλέπε [122, 239-240]).

Εξισώσεις με μιγαδικούς εκθέτες οπουδήποτε στην διατριβή είναι δεδομένο οτι χρησι-

μοποιούν πάντοτε τον πρωτεύοντα κλάδο της μιγαδικής έκθεσης, όποτε αυτό χρειάζεται:

cw=ew·log(c),c̸= 0, με το log να δηλώνει πάντα τον πρωτεύοντα κλάδο της μιγαδικής

συνάρτησης log(k, z), για θ∈(−π, π].

Ορισμός 2.1 Για z∈C\ {x∈R:x≤0}και n∈N,

nz=z, αν n= 1,

z(n−1z), αν n > 1.

΄Οποτε το ακόλουθο όριο υπάρχει και είναι πεπερασμένο, θετουμε,

∞z= lim

n→∞

nz(1)

Χρησιμοποιούμε την εκθετική συνάρτηση gc(z)και τις συνθέσεις της, για c∈C\

{x∈R:x≤0}. ΄Οπου η παράμετρος cείναι προϕανής, θα παραλείπεται για να αποϕευ-

χθεί όποια σύγχιση.

gc(z) = cz(2)

g(n)

c(z) = gc(z)αν n= 1,

gcg(n−1)

c(z)αν n > 1.(3)

Τα nzκαι g(n)(z)σχετίζονται: nc=g(n)

c(1). Χρησιμοποιούμε επίσης της ακόλουθη

συνάρτηση, η οποία είναι ένα μερικό αντιστροϕο της W:

m(z) = z·ez, z ∈C(4)

Η ορολογία ΄Απειρο Εκθετικό ϕαίνεται να χρησιμοποιήθηκε πρώτα στήν [18, 150]. Εν

συντομία, είναι ο άπειρος πύργος zzz···

1, με zn∈R(ή zn∈C), ∀n∈N. Αρχικά ενδιαϕε-

ρόμαστε για την περίπτωση zn=z,∀n∈N. Αντίστοιχα, η ορολογία zz···z

(πραγματική

ή μιγαδική) θα χρησιμοποιηθεί εναλλακτικά με την ορολογία z(z(···z))για να δηλώσει επα-

ναλαμβανόμενη έκθεση από την κορυϕή πρός την βάση. Στην πληθώρα των περιπτώσεων

χρησιμοποιούμε τον Ορισμό (2.1) για επαλαμβανόμενα εκθετικά.

Η μιγαδική συνάρτηση Wείναι ένα μερικό αντίστροϕο της m(z)ή αλλιώς η συνάρτηση η

οποία επιλύει την εξίσωση m(z) = wως προς z. Εναλλακτικά,

Ορισμός 2.2 ΗWικανοποιεί την συναρτησιακή εξίσωση:

W(z)eW(z)=z, z ∈C

Η συνάρτηση Wείναι πολλαπλότητας μεγαλύτερης του 1 (πολύτιμη) και έχει άπειρους

κλάδους σαν μιγαδική επιϕάνεια Riemann. Συνήθως σημειώνεται ως W(k, z), με το k∈Z

να ορίζει τον αντίστοιχο κλάδο. Συγκεκριμένα, ο πρωτεύων κλάδος της W(0, z )αντιστοιχεί

στο k= 0, και τότε η συνάρτηση σημειώνεται ως W(z).

Ακολουθούν ορισμένες χρήσιμες ιδιότητες της W. Οι περισσότερες από αυτές βρίσκονται

στις [67] και [68] και μπορούν να επαληθευτούν αριθμητικά με το πακέτο Maple στην [154,

305]. Αποδεικνύουμε επιλεκτικά μόνον μερικές ιδιότητες οι οποίες δεν είναι προϕανείς στις

αναϕορές [68] ορ [67].

Σχήμα 1: Τροχοπέδη του Ιππία ως ϕραγή του εύρους των W(k, z),k∈Z

Για k∈Z, οι διάϕοροι κλάδοι της W(k, z )ορίζονται στο Cέχοντας ως σημεία ασυνέχειας

τα σημεία του διαστήματος BCk:

BCk=







−∞,−e−1, αν k= 0

−∞,−e−1∪−e−1,0, αν k=−1

(−∞,0) , διαϕορετικά

Παρατηρούμε ότι το σημείο καμπής z0=−e−1της W(z)είναι m(z), με το zνα ικανο-

ποιεί: dm

dz = 0. Αυτό το σημείο καμπής είναι διαμοιραζόμενο μεταξύ των κλάδων W(z)και

W(−1, z). ΄Εστω λοιπόν CN = (−∞,−1) και ας θεωρήσουμε τις καμπύλες:

Ck=−ycot(y) + yi, y ∈(2kπ, (2k+ 1)π), αν k≥0,

−ycot(y) + yi, y ∈((2k+ 1)π, (2k+ 2)π), αν k < 0.

Λήμμα 2.3 Η εικόνα του BCkυπό την W(k, z)είναι:

W(k, B Ck) = C−1∪CN, αν k=−1

Ck, διαϕορετικά

Ορίζουμε τώρα τις περιοχές Dkως ακολούθως:

Dk=









περιοχή μεταξύ C1, CN , C0, αν k= 1

περιοχή μεταξύ C−1, CN , C−2, αν k=−1

περιοχή μεταξύ Ck, Ck−1, διαϕορετικά

Οι καμπύλες ϕραγής του εύρους των W(k, z)Ckκαι οι περιοχές Dkδίνουν την γνωστή

τροχοπέδη του Ιππία, που παρουσιάζεται στην [68] και στο Σχήμα 1.

Το εύρος των εικόνων της Wπεριορίζεται από τις περιοχές Dk(βλέπε [67, 13-23]),

επομένως,

Λήμμα 2.4 W(k, C\ {0}) = Dk∪Ck,k∈Z\ {0}, και W(0,C) = D0∪C0

ΗW(k, z )είναι μερική αντίστροϕος της m(z)στις προαναϕερθείσες περιοχές Dk∪Ck,

επομένως (βλέπε [67])

Λήμμα 2.5 W(k, m(z)) = z,k∈Z,z∈Dkκαι m(W(k, z)) = z,k∈Z,z∈C

Πόρισμα 2.6 W(m(z)) = z,z∈D0και m(W(z)) = z,z∈C

Από την συμμετρία των Ckκαι Dkακολουθεί:

Λήμμα 2.7 W(k, z) = W(−k, z ),k∈Z,z∈C

Πόρισμα 2.8 W(z) = W(z),z∈C

Εϕ΄ όσον (−∞,−1] ∈D−1και [−1,+∞)∈D0, μόνον οι κλάδοι οι οποίοι αντιστοιχούν

στα k= 0 και k=−1μπορούν να λάβουν πραγματικές τιμές.

Λήμμα 2.9 W(k, z)∈R⇒k∈ {−1,0}

Από το πρώτο διάγραμμα στην [67] (ή στοιχειώδη ανάλυση), προκύπτουν τα,

Λήμμα 2.10 ΗW(x)είναι πραγματική, συνεχής και μονότονα αύξουσα στο διάστημα

[−e−1,+∞).

Λήμμα 2.11 ΗW(−1, x)είναι πραγματική, συνεχής και μονότονα ϕθίνουσα στο διάστημα

[−e−1,0).

Τα Λήμματα (2.10) και (2.11) ακολουθούν στοιχειωδώς θεωρώντας την συνάρτηση m(z)

και το γεγονός ότι το −e−1είναι ένα κοινό σημείο καμπής μεταξύ των W(z)και W(−1, z ):

Λήμμα 2.12 W(e) = 1

Λήμμα 2.13 W−e−1= W −1,−e−1=−1

Λήμμα 2.14 D⊂D0και ∂ D ∩∂D0={−1}

Απόδειξη: Αρκεί να δείξουμε |−ycot(y) + yi|>1για κάθε y∈0,π

2. Παρατηρούμε

αμέσως ότι lim

y→0+(−ycot(y) + yi) = −1∈∂D ∩∂D0και z∈∂D ∩∂D0⇒cos(π−y) +

sin(π−y)i=−ycot(y) + yi ⇒ {sin(y) = y, −ycot(y) = cos(π−y)}. Από την πρώτη

εξίσωση παίρνουμε y=kπ,k∈Z. Από αυτήν μόνον η εξίσωση y= (2k+ 1)π,k∈Z

ικανοποιεί την δεύτερη εξίσωση σαν όριο, οπότε z= cos((2k+ 1)π) + sin((2k+ 1)π)i=−1

και το Λήμμα ακολουθεί. 

Λήμμα 2.15 ΗW(z)είναι αναλυτική στο κέντρο z0= 0 με σειρά:

S(z) = ∞



n=1

(−n)n−1zn

και ακτίνα σύγκλισης: Rs=e−1

Απόδειξη: Λεπτομέρειες σχετικές με την σειρά S(z)καθώς και άλλες σχετικές επεκτάσεις

σειράς δίνονται στην [67]. Το Ratio Test αποκαλύπτει την ακτίνα σύγκλισης. lim

n→∞ 

an+1

an=

lim

n→∞ 1 + 1

nn−1z=|ez|<1, ή ισοδύναμα, |z|< e−1. Η S(z)ισχύει σε ολόκληρο τον

δίσκο Dw=z:|z| ≤ e−1. Αν |z|=e−1, τότε 

(−n)n−1zn

n!=nn−1

enn!<nn−1

√2πn(n+1

2)=

√2πn 3

2, χρησιμοποιώντας την προσέγγιση κατά Stirling, και η σειρά ∞



n=1

√2πn 3

2συγκλίνει.



Το ότι η σειρά S(z)έχει ακτίνα σύγκλισης Rs=e−1, ακολουθεί επίσης και από το

γεγονός ότι η W(z)έχει σημείο καμπής στο z0=−e−1.

Το κυρίως αποτέλεσμα του Λήμματος (2.18) που αϕορά το όριο της ακολουθίας του Euler

αναϕέρεται στην [67, 332]. Ο συγγραϕέας νομίζει ότι χρειάζεται μία προσεκτική ανάλυση,

ιδιαίτερα σε συνδυασμό με το γεγονός ότι η Wείναι πολλαπλότητας μεγαλύτερης του 1.

Ηg(z)της (2) είναι άμεσα συνδεδεμένη με το άπειρο εκθετικό. Γενικά, δεδομένου

c∈C,c /∈ {0,1}, αν η ακολουθία g(n)(z),n∈Nσυγκλίνει, τότε πρέπει να συγκλίνει σε

ένα σταθερό σημείο της g(z)ή ισοδύναμα το όριο πρέπει να ικανοποιεί την πρώτη βοηθητική

εξίσωση,

z=g(z)(5)

Η εξίσωση (5) πάντα μπορεί να λυθεί επακριβώς μέσω της W.

Λήμμα 2.16 Τα σταθερά σημεία της g(z)δίνονται από την h:Z×C7→ C, με:

h(k, c) = W(k, −log(c))

−log(c),k∈Z

Απόδειξη: z=g(z)⇔z=cz⇔ze−zlog(c)= 1 ⇔ −zlog(c)e−zlog(c)=−log(c)⇔

m(−zlog(c)) = −log(c)⇔ −zlog(c) = W(k, −log(c)),k∈Z, από τον Ορισμό της m(z),

⇔z=W(k,−log(c))

−log(c),k∈Zκαι το Λήμμα ακολουθεί. 

Λήμμα 2.17 Αν c∈C\ee−1, τότε το h(k, c)είναι ένας απωθητής της g(z).

Απόδειξη: Εάν c̸=ee−1, τότε g′(h(k, c)) = log(c)W(k,−log(c))

−log(c)=−W(k, −log(c)) ∈ −Dk,

από το Λήμμα (2.4), οπότε αν k̸= 0, τότε |g′(h(k, c))|>1, από το Λήμμα (2.12), και το

Λήμμα ακολουθεί. 

Εάν c=ee−1, τότε g′(h(−1, c)) = −W(−1,−e−1) = −1(Λήμμα (2.11)).

Η υπόθεση c̸=ee−1είναι σημαντική. Αλλιώς, g′(h(k, c)) =−Wk, −e−1= 1, για

k=−1(Λήμμα (2.17)).

Τα Λήμματα (2.16) και (2.17) οδηγούν στο κεντρικό Λήμμα της διατριβής.

Λήμμα 2.18 (Corless) ΄Οποτε το όριο της g(n)(z)υπάρχει πεπερασμένα, η τιμή του

δίνεται από:

h(c) = h(0, c) = W(−log(c))

−log(c)

οπότε

lim

n→∞ g(n)(z) = lim

n→∞ g(n)(1) = ∞c=h(c)

x∈R

Το γεγονός ότι το διαδοχικό επαναλαμβανόμενο εκθετικό √2συγκλίνει στο 2 επαληθεύεται

αριθμητικά στην [70, 70] και [117, 66] και εξηγείται αναλυτικά στην [171, 434], [127, 77] και

[139, 643-646]. Αν θεωρήσουμε την ακόλουθη σχέση για την θετική τετραγωνική ρίζα του

2, τότε (√2)2= 2. Αν αντικαταστήσουμε τον εκθέτη της σχέσης με την αριστερή πλευρά

της εξίσωσης, λαμβάνουμε την ακολουθία g(n)(2),n∈N. Από το προηγούμενο Λήμμα όταν

το όριο υπάρχει, limn→∞ g(n)(z) = 2,n∈Nγια κατάλληλο z, συνεπώς,

∞(√2) = 2 (6)

Αυτό θα δειχτεί επίσης και με το τελικό Λήμμα αυτής της ενότητας.

Λήμμα 2.19 Αν x∈e−1, e, τότε hxx−1=x

Απόδειξη: Εξ΄ ορισμού, η h(y)λύνει την εξίσωση x=yxπου είναι ισοδύναμη με την

xx−1=y, οπότε είναι ένα μερικό αντίστροϕο της y(x) = xx−1. Στο δεδομένο διάστημα η

y(x)είναι 1-1 και επί του εύρους e−1, e, και το Λήμμα ακολουθεί. 

Λήμμα 2.20 Αν x∈(e, +∞), τότε hxx−1=w∈(1, e), με ww−1=xx−1

Απόδειξη: Ηy(x)είναι συνεχής στο (1,+∞), λαμβάνει μέγιστο στο x=e, και lim

x→∞ y(x) =

1, οπότε υπάρχει μοναδικό wστο (1, e), τέτοιο ώστε ww−1=xx−1, και το Λήμμα ακολουθεί

από το Λήμμα (2.19). 

Παράδειγμα: y= 1.3304 .

= 1.562(1

1.562 ).

= 6.620(1

6.620 ). Τέτοιες τιμές δίνονται σε

κλειστή μορϕή από την W, αλλά μπορούν να δοθούν και αριθμητικά ή με άλλους μεθόδους

στις αναϕορές που πραγματεύονται την λύση της εξίσωσης xy=yx, όπως [43, 763], [55, 222-

226], [56, 78-83], [89, 137], [141, 233-237], [161, 316], [169, 444-447], [183, 141], και [125,

96-99]. Στις αναϕορές οι συγγραϕείς παρατηρούν ότι η y(x)είναι ένα μερικό αντίστροϕο

της h(x), αλλά δεν ορίζουν την hμέσω της W.

Τα Λήμματα (2.19) και (2.20) εν συντομία:

Λήμμα 2.21

hxx−1=x, αν x∈e−1, e;

w, w ∈(1, e) : ww−1=xx−1,αν x∈(e, +∞).

Λήμμα 2.22 Αν c=e−e,x0= log Wlog(c)−1log(c)−1log(c)−1, και u(x) = g(2) (x)−

x, τότε,

x0είναι το μόνο κριτικό σημείο της u(x), στο [0,1] (7αʹ)

x0=e−1(7βʹ)

u(x0) = 0 (7γʹ)

du

dxx0

= 0 (7δʹ)

dx <0,x∈[0,1] − {x0}(7εʹ)

Απόδειξη: Ηdu

dx = 0 μπορεί να επιλυθεί ακριβώς μέσω της W. Αν du

dx = 0, τότε

g(2)(x)g(x) log(c)2= 1, οπότε eylog(c)ylog(c)= log(c)−1, όπου y=cx. Τότε m(ylog(c)) =

log(c)−1, οπότε ylog(c)= W k, log(c)−1, κατά συνέπεια y= W k, log(c)−1log(c)−1, και

τελικά x= log Wk, log(c)−1log(c)−1log(c)−1,k∈Z. Η (7αʹ) ακολουθεί άμεσα από

το Λήμμα (2.5). Η (7βʹ) ακολουθεί από το Λήμμα (2.11). Οι (7γʹ) και (7δʹ) ακολουθούν

εύκολα. Γιά την (7εʹ) παρατηρούμε ότι log(c) = −e < 0, οπότε, αν x < x0τότε g(x)> e−1

και g(2)(x)< e−1, οπότε g(2) (x)g(x) log(c)2<1, κατά συνέπεια du

dx <0. Για x > x0η

απόδειξη (με αντίστροϕες ανισότητες) είναι παρόμοια και το Λήμμα ακολουθεί. 

Λήμμα 2.23 Αν c∈e−e, ee−1, τότε ∞c=h(c).

Απόδειξη: Αν c=e−e, το σταθερό σημείο της g(x)δίνεται από το Λήμμα (2.18). h(c) =

h(e−e) = W(−log(e−e))

−log(e−e)=W(e)

e=e−1, βάσει του Λήμματος (2.26). Χρησιμοποιώντας

το Λήμμα (2.22), την συνέχεια της u(x)και τα γεγονότα: u(0) = c > 0,u(1) = cc−

1<0, ακολουθεί ότι g(2)(x)> x, αν x∈0, e−1και g(2) (x)< x, αν x∈e−1,1.

Χρησιμοποιώντας τις δύο ανισότητες και επαγωγή στο n, η ακολουθία: an=g(n)(1),n∈N

ικανοποιεί, a2n+2 < a2n, και a2n+3 > a2n+1, για κάθε n∈N. Το τελευταίο δεικνύει ότι

οι a2n+1 και a2nείναι μονότονα αύξουσες και ϕθίνουσες, αντίστοιχα. Επι πλέον, εϕ΄ όσον

0< c =e−e<1, και οι δύο ακολουθίες είναι ϕραγμένες άνω από το 1 κάτω από το 0.

Συνεπάγεται ότι οι a2n+1 και a2nέχουν όρια. Εϕ΄ όσον η μόνη ρίζα της u(x)είναι x0

(αλλιώς η εξίσωση (7αʹ) παραβιάζεται), και οι δύο ακολουθίες συγκλίνουν στο x0, από το

οποίο συνεπάγεται ότι η anσυγκλίνει στο x0=e−1.

Αν c=ee−1, τότε το σταθερό σημείο της συνάρτησης g(x)δίδεται πάλι από το Λήμμα

(2.18). h(c) = hee−1=W(−log(ee−1))

−log(ee−1)=W(−e−1)

−e−1=e, βάσει του Λήμματος (2.27).

Με επαγωγή στο n, η ακολουθία an=g(n)(1),n∈Nείναι μονότονα αύξουσα και ϕραγμένη

άνω από το e, οπότε συγκλίνει στο eκαι το Λήμμα ακολουθεί. 

Οι [122, 240], [18, 153] και [187, 14-15] ϕτάνουν στο ίδιο αποτέλεσμα διαϕορετικά, χωρίς

να χρησιμοποιούν την συνάρτηση W.

Λήμμα 2.24 Αν c∈(0, e−e), τότε το ∞cδεν υπάρχει.

Απόδειξη: Το σταθερό σημείο h(c)της g(x)από το Λήμμα (2.18) είναι απωθητής. Αν

c∈(0, e−e), τότε W(e)<W(−log(c)) βάσει του Λήμματος (2.10) και επομένως 1<

W(−log(c)), βάσει του Λήμματος (2.26). Αυτό σημαίνει 1<|g′(h(c))|και το Λήμμα ακο-

λουθεί από επανάληψη σταθερού σημείου. 

Λήμμα 2.25 Αν c∈e−e, ee−1, τότε ∞c=h(c).

Απόδειξη: Το σταθερό σημείο h(c)της g(x)από το Λήμμα (2.18) είναι ελκυστής. Αν

c∈e−e, ee−1, τότε −e−1<−log(c)< e, οπότε W−e−1<W(−log(c)) <W(e),

βάσει του Λήμματος (2.7) και κατά συνέπεια |g′(h(c))|<1βάσει των Λημμάτων (2.10) και

(2.11) και το Λήμμα ακολουθεί από επανάληψη σταθερού σημείου. 

Λήμμα 2.26 Αν c∈ee−1,+∞, τότε το ∞cδεν υπάρχει.

Απόδειξη: Το σταθερό σημείο h(c)της g(x)από το Λήμμα (2.18) είναι απωθητής. Αν

c∈ee−1,+∞, τότε −log(c)∈BC0, οπότε W(−log(c)) ∈C0, βάσει του Λήμματος

(2.12), και συνεπώς |g′(h(c))|>1, βάσει του ιδίου Λήμματος και το Λήμμα ακολουθεί από

επανάληψη σταθερού σημείου. 

Τα Λήμματα (2.23)-(2.26) και (2.18) επιβεβαιώνουν το τελικό Λήμμα αυτής της ενότητας

που είναι το Θεώρημα (1.3) του Euler:

Λήμμα 2.27 Το ∞cυπάρχει, τότε και μόνον τότε όταν c∈e−e, ee−1, με ∞c=h(c).

Απόδειξη: Το διάστημα σύγκλισης για την πραγματική περίπτωση μπορεί να προσδιοριστεί

από επανάληψη σταθερού σημείου. Το μόνο εν δυνάμει σταθερό σημείο της g(x)δίνεται

από το Λήμμα (2.18), ως h(c). Χρησιμοποιώντας στοιχειώδεις ιδιότητες όλων των σχετικών

συναρτήσεων, αν |g′(h(c))| ≤ 1, τότε |−W(−log(c))| ≤ 1. Αυτό σημαίνει W(−log(c)) ∈

[−1,1], οπότε m(W(−log(c))) ∈m([−1,1]), ή m(W(−log(c))) ∈−e−1, e, οπότε και

−log(c)∈−e−1, e, βάσει του Ορισμού (2.2) και τελικά c∈e−e, ee−1.

Χρησιμοποιώντας το Λήμμα (2.27) για c=ee−1,c=e−eκαι c=√2,

∞ee−1=ee−1(ee−1)···

=hee−1=e

∞e−e=e−e(e−e)···

=he−e=e−1

∞√2=√2(√2)···

=h21

2= 2

Η τελευταίες εξισώσεις τακτοποιούν κανονικά την ερώτηση της αρχής αυτής της ενότητας

με την εξίσωση (6). Το ότι το άπειρο εκθετικό συγκλίνει εάν και μόνον εάν η βάση του

ανήκει στο διάστημα e−e, ee−1.

= [0.06598,1.44466] αποδεικνύεται επίσης στις [122, 240],

[139, 645] και [146, 556] χρησιμοποιώντας άλλες μεθόδους, αλλά χωρίς την συνάρτηση W.

Οι [9, 207-208] και [135, 301-303] δείχνουν επίσης ότι για k∈N,lim

c→0+

2kc= 1 και

lim

c→0+

2k+1c= 0. ΄Οποτε αν c∈(0, e−e), τότε το nc,n∈Nείναι κύκλος περιόδου 2 θεωρών-

τας τις άρτιες και περιττές υποακολουθίες. Η διάσπαση που συμβαίνει και η συμπεριϕορά

της αναλύονται στις [9, 207], [187, 15] και [135, 299]. Σημειώνουμε ότι οι δύο κλάδοι που

προκύπτουν από την διάσπαση στο σημείο e−e, e−1μπορούν να δοθούν με παραμετρική

μορϕή ως a(a

1−a)και a(1

1−a)για κατάλληλο θετικό a(βλέπε για παράδειγμα [122, 237] ή

[188, 212]). Σε αυτήν την περίπτωση, όπως αποδεικνύεται στις [171, 434], [122, 241-243],

[187, 13] και [129, 501], τα δύο ξεχωριστά όρια a= lim

n→∞

2n+1cκαι b= lim

n→∞

2ncικανοποιούν

την ανισότητα 0< a < h(c)< b < 1και το δεύτερο βοηθητικό σύστημα,

a=cca

b=ca(8)

Μία λύση κλειστής μορϕής του συστήματος (8) δίδεται εκτενέστερα σε μεθεπόμενη ε-

νότητα, όπου παρουσιάζονται οι δυσκολίες επίλυσης της βοηθητικής εξίσωσης τάξεως nγια

την μιγαδική απεικόνιση g(z), χρησιμοποιώντας γενικευμένες μορϕές της συνάρτησης W.

c∈C

΄Εστω Dο μοναδιαίος δίσκος. Θεωρούμε την απεικόνιση ϕ:C7→ C, η οποία ορίζεται ως:

ϕ(z) = e(z

ez)=e−m(−z). Η εικόνα RST =ϕ(D)είναι μία νεϕροειδής περιοχή καλούμενη

περιοχή Shell-Thron, με μία προσέγγιση να δίνεται στην [210] και στο Σχήμα 2.

Οι [165, 679], [164, 12] και [13, 106] δείχνουν οτι στο εσωτερικό του RST έχουμε

σύγκλιση της g(n)(z). Το τι συμβαίνει στην περιϕέρεια του σχήματος αναϕέρεται στις [12,

502] και [11]:

Θεώρημα 2.28 (Baker/Rippon) Η ακολουθία nc,n∈Nσυγκλίνει για log(c)∈ {te−t:

|t|<1, ή tn= 1, για κάποιο n∈N}και αποκλίνει οπουδήποτε αλλού.

Τα tκαι cσχετίζονται μέσω της W, θεωρώντας πάντα τους πρωτεύοντες κλάδους ό-

λων των απεικονίσεων της έκϕρασης. c=ϕ(t)⇔W (−log(c)) = W (m(−t)) ⇔t=

−W (−log(c)), χρησιμοποιώντας το Πόρισμα (2.6) και το Λήμμα (2.12). Επομένως η ϕ

είναι αντιστρέψιμη και ϕ−1= (−W) ◦(−log) με t=ϕ−1(c). Τότε έχουμε το Θεώρημα:

Σχήμα 2: Περιοχή Shell-Thron

Θεώρημα 2.29 Η ακολουθία nc,n∈Nσυγκλίνει εάν ϕ−1(c)<1ήϕ−1(c)n= 1,

όπου ϕ−1=−W(−log(c)), για κάποιο n∈Nκαι αποκλίνει οπουδήποτε αλλού.

Λήμμα 2.30 Εάν c∈C, τότε ο πολλαπλασιαστής του σταθερού σημείου h(c)της g(z)

δίδεται από t=ϕ−1(c).

Απόδειξη:

g′(h(c)) = log(c)·g(h(c))

= log(c)·h(c)

= log(c)·W (−log(c))

−log(c)

=−W(−log(c)) = t

και το Λήμμα ακολουθεί. 

Το Θεώρημα (2.28) τότε αναϕέρει εναλλακτικά οτι αν c=ϕ(t), τότε η ακολουθία g(n)(c),

n∈Nσυγκλίνει εάν και μόνον εάν το μέτρο του πολλαπλασιαστή t=ϕ−1(c)του σταθερού

σημείου h(c)της g(z)είναι μικρότερο του 1, η ο πολλαπλασιαστής είναι n-ιοστή ρίζα της

μονάδας.

Λήμμα 2.31 Αν |t|<1και c=ϕ(t), τότε ∞c=h(c).

Απόδειξη: Το σταθερό σημείο της g(z)δίδεται από το Λήμμα (2.18), ως h(c).h(c) =

W(−log(c))

−log(c)=W(−te−t)

−te−t=W(m(−t))

−te−t=−t

−te−t=et, χρησιμοποιώντας το Λημμα (2.4) και

Πόρισμα (2.6). Το σταθερό σημείο h(c) = etτης g(z)είναι έας εκλυστής. Κατά το Λήμμα

(2.30), |g′(h(c))|=|t|<1, το οποίο είναι αληθές εξ΄ υποθέσεως και το Λήμμα ακολουθεί

από την θεωρία επανάληψης σταθερού σημείου και από το Λήμμα (2.18). 

Λήμμα 2.32 Αν |t|>1και c=ϕ(t), τοτε το ∞cδεν υπαρχει.

Απόδειξη: Το σταθερό σημείο h(c) = etτης g(z)είναι ένας απωθητής: Κατα το (2.30),

|g′(h(c))|=|t|>1, το οποίο είναι αληθές εξ΄ υποθέσεως και το Λήμμα ακολουθεί ομοίως.



Περισσότερες εϕαρμογές γι αυτήν την ενότητα, όπως fractals βασισμένα σε επαναλαμ-

βανόμενα εκθετικά και άλλες ταυτότητες, μπορούν να επαληθευτούν στην [210].

q∈Q

Γενικεύοντας την συνάρτηση W = Wcως Whστον χώρο Q, παρατηρούμε ότι η σύγκλιση

εξακολουθεί να ισχύει. Πρώτα παίρνουμε μία γενίκευση του θεωρήματος του Shell ([164]).

Λήμμα 2.33 ΄Αν q∈Q, τοτε η ακολουθία nq,n∈Nσυγκλίνει αν t=ϕ−1(q)∈(S3)◦.

Λήμμα 2.34 ΄Αν q∈Qκαι η ακολουθία g(n)(q)συγκλίνει, η τιμή του ορίου δίνεται πάντα

ως:

h(q) = Wh(−ln(q))

−ln(q)

Στον χώρο Qη συνάρτηση ln δεν είναι (εν γένει) μεταθετική, οπότε έχουμε δύο τροχιές

σύγκλισης, παρ΄ όλα αυτά οι τροχιές τελικά συγκλίνουν στο ίδιο σημείο το οποίο δίνεται από

το Λήμμα (2.34) και το οποίο αποτελεί γενίκευση του Λήμματος (2.18).

Παραδείγματα:΄Αν q= 1/2−1/2i+1/2j−1/2kτότε |tq|=|−WH(−log(q))|.

= 0.70724 <

1, οπότε tq∈(S3)◦, οπότε βάσει του Λήμματος (2.33) η ακολουθία nqσυγκλίνει. Οι πρώτες

14 τιμές με Maple είναι:

1q.

= 0.5−0.5i+ 0.5j−0.5k

2q.

= 0.34967 −0.11655i+ 0.11655j−0.11655k

3q.

= 0.75577 −0.16732i+ 0.16732j−0.16732k

4q.

= 0.51884 −0.30319i+ 0.30319j−0.30319k

5q.

= 0.49389 −0.17222i+ 0.17222j−0.17222k

6q.

= 0.63600 −0.20888i+ 0.20888j−0.20888k

7q.

= 0.53831 −0.24422i+ 0.24422j−0.24422k

8q.

= 0.54276 −0.19809i+ 0.19809j−0.19809k

9q.

= 0.58839 −0.21696i+ 0.21696j−0.21696k

10q.

= 0.55060 −0.22511i+ 0.22511j−0.22511k

11q.

= 0.55731 −0.20924i+ 0.20924j−0.20924k

12q.

= 0.57094 −0.21767i+ 0.21767j−0.21767k

13q.

= 0.55692 −0.21898i+ 0.21898j−0.21898k

14q.

= 0.56109 −0.21373i+ 0.21373j−0.21373k

Το κεντρικό Λήμμα (2.34) δίνει το όριο: ∞q=h(q).

= 0.56182 −0.21640i+ 0.21640j−

0.21640k.

΄Αν q= 1 + i+j−kτότε |tq|=| − WH(−log(c))|.

= 0.94126 <1, οπότε tq∈(S3)◦,

συνεπώς πάλι βασει του Λήμματος (2.33) η ακολουθία nqεπίσης συγκλίνει. Το Λήμμα (2.34)

δίνει το όριο: ∞q=h(q).

= 0.46827 + 0.33791i+ 0.33791j−0.33791k.

Λεπτομέρειες και εκτενής ανάλυση για τα αποτελέσματα στον χώρο Qδίνονται στη ανα-

ϕορά [207].

Απόκλιση στα παραπάνω δεν σημαίνει απαραίτητα και ότι |∞c|=∞. Η απόκλιση μπορεί να

είναι τέτοια με σημείο σώρευσης το ∞, αλλά μπορεί και να είναι περιοδική η χαοτική. Τα

περιοδικά σημεία που δίνονται από το (2.18) έχουν όλα περίοδο 1, οπότε ακολουθεί ότι αυτά

είναι αυτομάτως λύσεις της n-ιοστής βοηθητικής εξίσωσης g(n)(z) = z, αλλά όλες οι λύσεις

δεν δίνοται μόνον από το κεντρικό Λήμμα. Τέτοια σημεία υπάρχουν. Για να εντοπίσουμε τα

εν λόγω σημεία, χρειαζόμαστε συναρτήσεις πιο ισχυρές από την W.

΄Εστω fi(z)μη μηδενικές ταυτοτικά μιγαδικές συναρτήσεις. Ορίζουμε Fn,m(z) : N2×C→C

ως εξής:

Ορισμός 3.1

Fn,m(z) = ez, εαν n= 1,

ecm−(n−1)Fn−1,m (z), εαν n > 1.

Ορισμός 3.2 G(f1, f2, . . . , fk;z) = z·Fk+1,k+1 (z)

Αν k= 0, τότε G(z) = z·ez. Αν k= 1 τότε G(c1;z) = zec1ez. Αν k= 2 τό-

τε G(c1, c2;z) = zec1ec2ez

. ΄Οταν γράϕουμε για τις HW, μπορούμε να χρησιμοποιήσου-

με την ορολογία G(. . . ;z), εννοώντας ότι η αντίστοιχη συναρτηση περιλαμβάνει εννοούμε-

νους όρουσ-παραμέτρους. Η συνάρτηση που θα μας απασχολήσει είναι το αντίστροϕο της

G(. . . ;z).

HW(f1, f2, . . . , fk;y)(9)

Με άλλα λόγια η Gκαι η HW ικανοποιούν την ταυτοτική σχέση:

G(. . . ; HW(. . . ;y)) = y(10)

υποθέτοντας πάντα ότι η λίστα των παραμέτρων είναι ταυτόσημη και στις δύο πλευρες.

Αυτές οι απεικονίσεις από εδώ και πέρα θα καλούνται συναρτήσεις HW. Παρατηρούμε

ότι όταν k= 0,HW(y) = W(y)είναι η συνάρτηση W. Η ύπαρξη των HW σε όλες τις

περιπτώσεις είναι εγγυημένη απ το θεώρημα αντιστροϕής του Lagrange (βλέπε [159, 201-

202]).

Μια γενίκευση είναι τώρα άμεση, οπότε και πλησιάζουμε σε μία παραλλαγή του κεντρικού

Λήμματος.

Λήμμα 3.3 Αν c∈C\ {0,1}, τοτε η p-ιοστή βοηθητική εξίσωση f(p)(z) = z, δέχεται τις

λύσεις z, f (z), . . . , f(p−1)(z), όπου

z=HW(−log(c),...,log(c); log(c))

log(c)(pπαράμετροι)

Απόδειξη: Ακριβώς όμοια με το κεντρικό Λήμμα, οι συναρτήσεις HW επιλύουν την p-ιοστή

εξίσωση g(p)(z) = zως εξής:

g(p)(z) = z⇒

cc...cz

=z⇒

z·c−c...cz

= 1 ⇒

z·e−log(c)e...elog(c)z

= 1 ⇒

zlog(c)·e−log(c)e...elog(c)z

= log(c)⇒

zlog(c) = HW(−log(c), . . . , log(c); log(c)) ⇒

z=HW(−log(c), . . . , log(c); log(c))

log(c)(pπαράμετροι)

Παρατηρούμε οτι εάν το zαποτελεί λύση της g(p)(z) = z, τότε εάν k∈ {1,2, . . . , p −1}

έχουμε και g(p)(g(k)(z)) = g(k)(g(p)(z)) = g(k)(z)και το Λήμμα ακολουθεί. 

Πόρισμα 3.4 ΄Οποτε το nc,n∈Nείναι ελκυστικός κύκλος, τα όρια των pυποακολουθιών

n+kc,n∈N,k∈ {0,1, . . . , p −1}δίδονται ως z, g(z), . . . , g (p−1)(z), με το zνα δίνεται

από την έκϕραση του Λήμματος (3.3).

Τελικώς,

Λήμμα 3.5 ΄Αν c∈C\RST και t= HW(−log(c), . . . , log(c); log(c)) (pπαράμετροι),

τότε η ακολουθία nc,n∈Nείναι ένας κύκλος ελκυστού περιόδου p, αν tetp−2

k=1 f(k)(et)<

log(c)−p+1και μονον εάν tetp−2

k=1 f(k)(et)≤log(c)−p+1.

Απόδειξη: Ο πολλαπλασιαστής του σταθερού σημείου zτης συνάρτησης g(n)(z)δίνεται

στην [209], ως:

g(n)′(z) = (log(c))n·



k=1

g(k)(z)(11)

Το σταθερό σημείο zδίδεται από την έκϕραση του Λήμματος (3.3), μέσω της συνάρτησης

HW, οπότε αντικαθιστώντας αυτό το σημείο στην εξίσωση (11), ο πολλαπλασιαστής παίρνει

την μορϕή:

(log(c))p−1·tet

p−2



k=1

g(k)(et)(12)

Η συνθήκη ελκυστού της συνάρτησης g(p)(z)σε σταθερό σημείο zείναι g(n)(z)′≤1,

οπότε το Λήμμα ακολουθεί από την εξίσωση (12). 

Παράδειγμα: Τι είναι άραγε η ακολουθία nc,n∈Nαν c=−1 + i· Μπορούμε να χρησι-

μοποιησουμε τον κώδικα του Παραρτήματος για να ελέγξουμε το μέγεθος των αντίστοιχων

πολλαπλασιαστών tpγια p-κύκλους. t1=ϕ−1(c) = −W(−log(c)) .

= 1.13445, οπότε

δεν μπορεί να είναι κύκλος περιόδου 1 (δηλαδή δεν μπορούμε να έχουμε σύγκλιση). t2.

0.80847+.33448i, και |t2et2log(c)|.

= 4.67684, οπότε δεν μπορεί να είναι κύκλος περιόδου 2.

t3.

= 0.03281 −0.08534iκαι |t3et3f(et3) log(c)2|.

=.94227, οπότε πρέπει να είναι αναγκαστι-

κά κύκλος περιόδου 3. Από το Πόρισμα (3.4), z= HW(−log(c),log(c); log(c))/log(c).

−0.03344 −0.01884i, οπότε τα τρία όρια του κύκλου δίνονται ως z, g(z), g(2)(z). Αυτό

το σύνολο υπολογίζεται βάσει του κώδικα με ακρίβεια 5 δεκαδικών ψηϕίων ως, −0.03344 −

0.01884i,1.02959 −0.08808i,−1.29112 + 1.19363i. Η σύγκλιση σε αυτά τα σημεία είναι

σπειροειδής (βλέπε [209]). Οι απεικονίσεις HW μελετώνται ξεχωριστά και ο ακριβής τρόπος

εξαγωγής των ριζών δίδεται στην [205].

Julia Fatou

Για να μελετηθεί γενικώς (και ειδικώς) η συμπεριϕορά της ακολουθίας του Euler, μελετάμε

την αντίστοιχη τοπολογία που προκύπτει στο μιγαδικό επίπεδο από την διαδοχική ανακύκλω-

ση (iteration) της εκθετικής απεικόνισης, για διαϕορετικές (αλλά συγκεκριμένες κάθε ϕορά)

βάσεις της εκθετικής, εϕ΄ όσον η ακολουθία του Euler απλά μεταπίπτει σε επαναλαβανόμενη

εϕαρμογή κάποιας κατάλληλης εκθετικής, για συγκεκριμένη βάση λ= log(c), με c∈Cκαι

αρχική τιμή z0∈C.

Η τελευταία αυτή τοπολογία είναι η ένωση των δύο διακεκριμένων συνόλων της οικογέ-

νειας της εκθετικής, ήτοι του συνόλου Julia J[gc]και του συνόλου Fatou F[gc]της εκθετικής,

τα οποία είναι συμπληρωματικά στο μιγαδικό επίπεδο.

Για να χαρακτηρίσουμε επομένως την τοπολογία της ακολουθίας του Euler, αρκεί να

χαρακτηρίσουμε ακριβώς τα σύνολα J[gc]και F[gc]της επαναλαμβανόμενης εκθετικής απει-

κόνισης. Ο χαρακτηρισμός αυτός όμως έχει γίνει στις προαναϕερθείσες αναϕορές για την

οικογένεια απεικονίσεων Eλ(z) = λ·ez, με λ= log(c).

Συγκεκριμένα, το σύνολο Julia της εκθετικής απεικόνισης Eλ(z) = λ·ezδίδεται στις

[76], [75] και [77] και είναι το συμπλήρωμα του συνόλου των περιοδικών απωθητών της Eλ(z),

ήτοι J[Eλ] = z∈C:E(n)

λ(z)→ ∞. Το σύνολο Fatou της εκθετικής απεικόνισης Eλ,

είναι το συμπλήρωμα του συνόλου J[Eλ]ή το συμπλήρωμα των περιοδικών ελκυστών της,

ήτοι F[Eλ] = z∈C:E(n)

λ(z)≤M.

Πρόταση 4.1 Τα σύνολα Julia και Fatou της τοπολογίας του άπειρου εκθετικού, ταυτίζον-

ται με τα αντίστοιχα σύνολα της επαναλαμβανόμενης εκθετικής απεικόνισης Eλ(z) = λ·ez,

με λ= log(c).

Απόδειξη: Στις προαναϕερθείσες αποδεικνύεται οτι το σύνολο Julia J[Eλ]της οικογένειας

εκθετικών απεικονίσεων Eλ(z) = λ·ezείναι ένα μπουκέτο Cantor για 0< λ < 1/e, οπότε

αρκεί να δείξουμε ότι και στην προκειμένη περίπτωση το σύνολο J[gc] = J[cz]είναι εν γένει

ένα τέτοιο μπουκέτο. Η τροχιά ανακύκλωσης στις αναϕορές είναι E=λ·ez, λ ·eλ·ez, . . ..

Αυτή η τροχιά γράϕεται εναλλακτικά και ως E=λ·ez, λ ·(eλ)ez, . . ., οπότε θέτοντας

λ= log(c), η τροχιά είναι ισοδύναμη με την τροχιά Eλ=log(c)=log(c)·ez,log(c)·cez, . . ..

Για z= 0, παίρνουμε την τροχιά του μηδενός, ως E0={log(c),log(c)·c, . . .}. Παρατηρούμε

ότι eE0=(1,)c, cc, ccc, . . ., που είναι η απλούστερη τροχιά της ακολουθίας του Euler για

το άπειρο εκθετικό, οπότε το σύνολο J[g]θα είναι ακριβώς ότι είναι το σύνολο JEλ=log(c)

στο μιγαδικό επίπεδο λ= log(c). Συγκεκριμένα, είναι ένα μπουκέτο Cantor. Εϕ΄ όσον οι

τροχιές ταυτίζονται modulo λ, το αυτόν θα ισχύει και για τα σύνολα Fatou και η απόδειξη

είναι πλήρης. 

Κατατάσουμε τώρα την τοπολογία συγκεκριμένων υποπεριπτώσεων για δεδομένο λ= log(c)

σε μία γειτονιά Bδ,δ > 0του ορίου της περιοχής της Shell-Thron,RST , ανά περίοδο.

Πρόταση 4.2 ΄Οταν για λ= log(c)το σύνολο J[g]είναι ένα πιρούνι pμπουκέτων Can-

tor, τότε, αν υπάρχουν ελκυστές στο σύνολο F[g], αυτοί δίδονται από την έκϕραση A1=

W(−λ)/(−λ)αν p= 1 ή από την έκϕραση Ap=gk(z0), z0= HW(...,λ)/λk∈

{0,1, . . . , p −1}, αν p≥2.

Απόδειξη: Η απόδειξη τελείται επαγωγικά ανάλογα με την τιμή του λ= log(c)στο μιγαδικό

επίπεδο, δηλαδή ανάλογα με την θέση του c=eλσε σχέση με την περιοχή RS T .

•c∈(RST ∩Bδ(ϕ(t)))◦. Θέτοντας λ= log(c) = log(ϕ(t)) = t/et, εξ΄ υποθέσεως ειναι

0<|t|<1, οπότε παίρνουμε την υποπερίπτωση 0<|λ|=|t/et|<1/e. Σε αυτήν

την περίπτωση, η ακολουθία του άπειρου εκθετικού συγκλίνει στο A1=h(0, c) =

−W(−λ)λ, οπότε το σύνολο J[gc(z)] είναι ένα μπουκέτο Cantor. Το σύνολο F[gc(z)]

τότε είναι το συμπλήρωμα του συνόλου J[gc(z)] στο μιγαδικό επίπεδο, το οποίο περιέχει

ακριβώς έναν ελκυστή A1, ο οποίος οδηγεί οποιοδήποτε σημείο του F[gc(z)] στο A1.

•c∈∂RS T ∩Bδ(ϕ(t)). Θέτοντας λ= log(c) = log(ϕ(t)) = t/et, εξ΄ υποθέσεως ειναι

|t|= 1, οπότε παίρνουμε την υποπερίπτωση |λ|=|t/et|. Σε αυτήν την περίπτωση,

όταν p= 1, τότε t= 1 και |λ|= 1/e. Το σύνολο J[gc(z)] τότε είναι ένα σκέτο

μπουκέτο Cantor σε μονό πιρούνι στο ουδέτερο σημείο N1=h(0, ee−1) = e. Το

σύνολο F[gc(z)] είναι απλά το συμπλήρωμα του συνόλου J[gc(z)] στο μιγαδικό επίπεδο.

΄Οταν είναι tp= 1 με p= 2, είναι και t=−1και η ακολουθία του άπειρου εκθετικού

διασπάται σε πιρούνι περιόδου p= 2 στο μιγαδικό επίπεδο, οπότε το σύνολο J[gc(z)]

είναι δύο μπουκέτα Cantor σε διπλό πιρούνι στο ουδέτερο σημείο N2=h(0, e−e) =

1/e. Το σύνολο F[gc(z)] τότε, αποτελείται από p= 2 υποπεριοχές χωρίς ελκυστές.

Συνεχίζοντας επαγωγικά, όταν είναι tp= 1,p > 2, η ακολουθία διασπάται σε πιρούνι

περιόδου p > 2στο ουδέτερο σημείο N3=h(0, c) = −W(−λ)/λ, οπότε το σύνολο

J[gc(z)] είναι δύο μπουκέτα Cantor σε p-οστό πιρούνι στο ουδέτερο σημείο N3. Το

συνολο F[gc(z)] τότε, αποτελείται από p > 2υποπεριοχές χωρίς ελκυστές.

•c∈[(RST )c∩Bδ(ϕ(t))]◦. Θέτοντας λ= log(c) = log(ϕ(t)) = t/et, παίρνουμε την

υποπερίπτωση |λ|=|t/et|με |t|>1και tp= 1. Εάν p≥2, τότε η υποπερίπτωση

ανάγεται στις περιπτώσεις p≥2, των περιπτώσεων 1 και 2, παραπάνω. Επομένως, αν

p > 1, το σύνολο J[gc(z)] είναι δύο μπουκέτα Cantor σε p-ιοστο πιρούνι στον απωθητή

R1=−W(λ)/λ και το σύνολο F[gc(z)] αποτελείται από pυποπεριοχές του μιγαδι-

κού επιπέδου (λουλουδάκι Fatou στην [78]), με κάθε μία να περιέχει τον περιοδικό

ελκυστή Ap=g(k)(z0), z0= HW(. . . , λ)/λ,k∈ {0,1, . . . , p −1}, ο οποίος οδηγεί

οποιοδήποτε σημείο αυτής της υποπεριοχής στο Ap.

Η απεικόνιση ϕ(t)που ορίζει την περιοχή RS T είναι σύμμορϕη σε όλα τα σημεία του

μοναδιαίου κύκλου εκτός του σημείου ϕ(1) = ee−1, οπότε οι τρείς περιπτώσεις παραπάνω

καλύπτουν πλήρως αυτήν την περιοχή πλήν μίας γειτονιάς Bδ(ϕ(1)),δ > 0, του σημείου

ϕ(1), στο οποίο η απεικόνιση παύει να είναι σύμμορϕη. Σε οποιαδήποτε γειτονιά αυτού του

σημείου μπορεί να έχουμε |λ| ≥ 1/e, οπότε το αντίστοιχο σύνολο J[gc(z)] υποκύπτει σε

περιοδικές εκρήξεις, τις οποίες οι αναϕορές χαρακτηρίζουν ως εκρήξεις Knaster, κατά τις

οποίες αυτό το σύνολο ξαϕνικά καλύπτει όλο το μιγαδικό επίπεδο με την μορϕή αδιάσπαστου

συνεχούς (indecomposable continuum). Κατά τα άλλα, με δ > 0καλύπτουμε πλήρως την

περιοχή RST \Bδ(ϕ(1)), οπότε γνωρίζουμε πλήρως τα σύνολα J[gc(z)] και F[gc(z)] και η

απόδειξη της Πρότασης είναι πλήρης. 

΄Ενας γενικός χάρτης που περιγράϕει την κατά τόπους συμπεριϕορά της ακολουθίας αnστο

μιγαδικό επίπεδο για τα αντίστοιχα σύνολα που δημιουργούνται με δεδομένη βάση εκθετικής

λ= log(c), για c∈Cμπορεί να παρατηρηθεί στις [93] και [66] και δίνεται εδώ στο Σχήμα 3.

Σχήμα 3: Παραμετρικός χάρτης της gc(z),c∈C

Οι χρωματιστές περιοχές είναι περιοχές περιόδου p≥1. Τα μαύρα νήματα είναι σύνολα

σημείων που διέϕυγαν του ϕράγματος μεγέθους το οποίο έχει τεθεί στο πρόγραμμα απεικό-

νισης. Επομένως η ακρίβεια αυτών των περιοχών εξαρτάται από το προαναϕερθέν ϕράγμα

διαϕυγής της ανακύκλωσης της ακολουθίας του Euler.

Τα ουδέτερα σημεία του J[g]είναι ακριβώς τα σημεία ϕ(t), με tνιοστή ρίζα της μονάδας

και ϕ(z) = exp(z·exp(−z))), τα οποία βρίσκονται στο ∂RST .

Η απλούστερη περίπτωση επομένως δίνεται από p= 1 και c=ee−1, που είναι ένα σκέτο

μπουκέτο, με ένα διακριτό ουδέτερο σημείο, την κορυϕή του μπουκέτου στο h(0, c). Η αμέ-

σως απλούστερη περίπτωση δίδεται από p= 2 και c=e−e, που είναι δύο μπουκέτα τα οποία

αλληλοεπιδρούν στο ουδέτερο σημείο h(0, c). Η γενική περίπτωση για c=ϕ(t), με tp= 1,

είναι δύο μπουκέτα τα οποία αλληλοεπιδρούν με περίοδο pστο ουδέτερο σημείο h(0, c). Οι

υπόλοιπες περιπτώσεις για |t|>1δίνουν εν γένει δύο μπουκέτα τα οποία αλληλοεπιδρούν

με περίοδο pστο h(0, c)σε συνδυασμό με τους p-περιοδικούς ελκυστές Ap, τα οποία είναι

κορυϕές παραμορϕωμένου p-πολυγώνου στο μιγαδικό επίπεδο.

΄Αν ένα σημείο κινηθεί από το εσωτερικό της περιοχής RST προς το εξωτερικό, κατά την

διέλευσή του από το ∂RST , παρατηρείται μία περιοδική διάσπαση ή πιρούνιασμα μπουκέτων

Cantor, στην οποία σταδιακά εμϕανίζονται pπεριοδικοί ελκυστές γύρω από το σημείο h(0, c),

όπου pείναι η προπερίοδος του πολλαπλασιαστή του c, όπως στις [76] και [78]. Με άλλα

λόγια, παρατηρείται μία έκρηξη Knaster περιόδου p.

Οι περιοχές του μιγαδικού επιπέδου στις οποίες η αnπροκαλεί πιρούνια περιόδου p

είναι ακριβώς το υποσύνολο Fatou F[gc(z)] του χάρτη του Σχήματος 3. Το υποσύνολο

αυτό αποτελείται από απείρως λεπτά νήματα τα οποία διαχωρίζουν το μιγαδικό επίπεδο σε

περιοχές στις οποίες η αnείναι περιοδική. Τα νήματα αυτά σχηματίζουν μπουκέτα Cantor

και η εμϕάνισή τους εξαρτάται από την ακρίβεια του υπολογιστικού προγράμματος. Αν η

ακρίβεια των υπολογισμών ήταν απεριόριστη, τα νήματα των μπουκέτων δεν θα εμϕανίζονταν

καθόλου, καθ΄ ότι ο πληθάριθμος του συνόλου των νημάτων είναι ίσος με αυτόν του συνεχούς

και το πάχος οποιουδήποτε νήματος είναι μηδενικό.

Επομένως, το Λήμμα (3.3) γενικεύει το Κεντρικό Λήμμα (2.18) και ταξινομεί κανονικά

τις περιόδους των ακολουθιών οποιουδήποτε σημείου στο μιγαδικό επίπεδο με εξαίρεση μία

γειτονιά του ϕ(1). Απαντάται έτσι η Πρόταση (1.2) του Euler στην γενική της μορϕή,

δηλαδή για γενικό x=c̸=ee−1στο μιγαδικό επίπεδο.

Τα χαρακτηριστικά σημεία λοιπόν της τοπολογίας του άπειρου εκθετικού όπως αυτή

προκύπτει από τα παραπάνω είναι ακριβώς p+ 1 σημεία:Το μιγαδικό άπειρο προς το οποίο

προσϕεύγουν όλα τα σημεία όλων των μπουκέτων Cantor και οι pελκυστές των (τυχόντων)

λεκανοπεδίων Fatou όπως αυτοί δίδονται από το Λήμμα 3.3, στους οποίους προσϕεύγουν

όλα τα σημεία αυτών των λεκανοπεδίων, με μορϕή σπειροειδούς σύγκλισης.

Η γωνία στροϕής της σπειροειδούς σύγκλισης των περιοδικών ελκυστών των λεκανοπε-

δίων είναι συνάρτηση της γειτονιάς του σημείου της βάσης της εκθετικής σε σχέση με την

γωνία ϕάσεως του συνόρου της περιοχής Shell-Thron. ΄Ετσι, για να λάβει κανείς σπειροει-

δή σύγκλιση με μεγαλύτερη ή μικρότερη γωνία στροϕής, αρκεί να αλλάξει λίγο την γωνία

προπεριόδου της βάσης της εκθετικής σε μία μικρή γειτονιά της βάσης, σε σχέση με την

προηγούμενη γωνία ϕάσεως της βάσης.

Η Πρόταση (4.2) δείχνει ότι η τοπολογία του συνόλου που προκύπτει από την επαναλαμ-

βανόμενη εϕαρμογή της εκθετικής απεικόνισης, όταν αυτό δεν υϕίσταται εκρήξεις Knaster,

είναι εν γένει μία p-οστή συμμετρία ή αλλιώς, ένα λουλούδι Fatou ή διαϕορετικά, ένα πα-

ραμορϕωμένο p-πολύγωνο στο μιγαδικό επίπεδο ή αλλιώς ένα πιρούνι Cantor μπουκέτων

περιόδου p.

Η τοπολογία ενός μπουκέτου Cantor δίνεται στις παραπάνω αναϕορές και είναι ισόμορϕη

με την τοπολογία ένωσης ημιανοικτών διαστημάτων [α, +∞), με τα ατων κορυϕών του

μπουκέτου σε αντιστοιχία με τα σημεία ενός συνόλου διάτμησης τύπου Cantor CS (βλέπε

ενότητα 4.5).

΄Αν το μπουκέτο είναι CBh(k,c)=

[αk,+∞), στην γενική περίπτωση, η τοπολογία

της ακολουθίας του άπειρου εκθετικού, θα είναι J[gc(z)] F[gc(z)] = CBh(k,c)× ⋄p.

Δηλαδή, ένα p-furcation ή ένα πιρούνι μπουκέτων Cantor, περιόδου p.

Παραδείγματα δίνονται στα Σχήματα 5 και 8, 9, 10, 11, 12, 13 του Παραρτήματος.

Τα σύνολα Julia, δηλαδή τα μπουκέτα Cantor του άπειρου εκθετικού παρουσιάζουν έντονο

μορϕοκλασματικό χαρακτήρα. Συγκεκριμένα, για δεδομένη ανάλυση οθόνης j, η οποία είναι

συνάρτηση της τιμής ϕράγματος (bail-out value στο παράδειγμα κώδικα του Παραρτήματος),

οDevaney τα αναπαριστά με την βοήθεια δακτύλων δj

n,n∈N.

Παρατηρούμε μία περιοδική διάσπαση κάθε δακτύλου δjσε μία υποακολουθία δακτύλων

δj+1

n,n∈N, για κάθε ϕαινόμενο δάκτυλο δj, η οποία επαναλαμβάνεται επ΄ άπειρον για

κάθε νέο δάκτυλο. Επομένως η ακόλουθη σχέση δίνει μία μερική κάλυψη των νημάτων ενός

μπουκέτου στο επίπεδο ανάλυσης j, ως δj=∞

n=0 δj+1

n. ΄Ενα παράδειγμα δίνεται στο Σχήμα

Σχήμα 4: Δάκτυλος Devaney δjμπουκέτου Cantor

Σε έναν ορθοκεντρικά προσανατολισμένο δάκτυλο δj, όπως αυτόν του σχήματος 4 (προ-

σανατολισμένο στην προκείμενη περίπτωση με το άπειρο κάτω), το κάθετο πάχος του μπου-

κέτου είναι ϕραγμένο (βλέπε [76], [75] και [77]) και η διάσπαση στο μισό δάκτυλο μπορεί

να τεθεί σε ομοιομορϕική αντιστοιχία με ένα κατάλληλο σύνολο τύπου Cantor, στο κλειστό

κάθετο διάστημα [a, b], με aτην κάθετη προβολή της κορυϕής του δjστον πραγματικό άξονα

και bτο ήμισυ της οριζόντιας διάστασης του δακτύλου. Οι κεντρικές γραμμές στο Σχήμα 4

δείχνουν περίπου την ομοιομορϕική αντιστοιχία που υποννοείται για τον δάκτυλο δj.

Η διάσταση σε οποιονδήποτε άξονα είναι αθροιστική, οπότε αν anκαι bn,n∈Nείναι τα

ίχνη των βάσεων των (υπο-)δακτύλων δj+1 στο διάστημα [a, b], γράϕουμε την αναδρομική

έκϕραση για την διάσπαση του δακτύλου δjσε δακτύλους δj+1 ως,

dimH,x(δj)∼∞



j=0

dimH(δj+1)x=∞



n=0 |bn−an|(13)

Το συνολικό πάχος του δακτύλου είναι πεπερασμένο (2|b−a|) κατά την οριζόντια διά-

σταση, επομένως η ακολουθία dimH,x(δn)∼n

j=0 |bn−an|είναι γεωμετρική με λόγο,

r=

dimH,x(δn+1 )

dimH,x(δn)=δn+1 x

|δn|x

(14)

Το rόμως είναι ανεξάρτητο του n(όντας σταθερός λόγος γεωμετρικής), οπότε η εξί-

σωση (14) πρέπει να ικανοποιείται και για n= 1, το οποίο αποκαλύπτει ότι στην δεδομένη

ανάλυση δακτύλου δjπου έχουμε στην οθόνη μας αρκεί να μετρήσουμε την διαϕορά στις

διαμέτρους δύο οποιωνδήποτε διαδοχικών ως προς επίπεδο διάσπασης δακτύλων στην εικόνα

του μπουκέτου Cantor.

Αν είχαμε λοιπόν στην διάθεσή μας ένα ‘ίσιο’ μπουκέτο κατά τουλάχιστον μία διάσταση

xήy, τότε θα αρκούσε να μετρήσουμε την διαϕορά διαμέτρου οποιωνδήποτε δύο τέτοιων

δακτύλων σε ιχνοστοιχεία οθόνης και θα πέρναμε αμέσως τον λόγο της γεωμετρικής καίτοι

του λόγου διάσπασης του μπουκέτου Cantor κατά τουλάχιστον μία διεύθυνση.

Υπάρχει ακριβώς ένα και μόνον ένα τέτοιο μπουκέτο. Το μπουκέτο που προκαλεί η

εκθετική απεικόνιση με βάση λ=e−1, το οποίο βλέπει στο σημείο exp(1) (προπερίοδος

p= 1, κέντρο), που περιλαμβάνει το διάστημα [e, +∞). Για οποιαδήποτε βάση πλήν αυτού

του λάμδα η συμπεριϕορά της εκθετικής για βάση στην δεξιά γειτονιά αυτού του σημείου

(λ) κατά την διεύθυνση θείναι απροσδόκητη με εκρήξεις Knaster που παραμορϕώνουν τα

μπουκέτα και τα κάνουν να καταλαμβάνουν ξαϕνικά όλο το μιγαδικό επίπεδο. Μία τέτοια

μέτρηση διαϕοράς δακτύλων επομένως δεν είναι δυνατή σε εικόνες μπουκέτων για βάση

|λ|>1/e.

΄Εχουμε όμως και τις εικόνες από όλες τις άλλες τιμές της βάσης που υπολογίσαμε. Κανέ-

να όμως μπουκέτο δεν επιτρέπει ακριβή μέτρηση κατά συγκεκριμένη διάσταση, επειδή νήματα

του μπουκέτου μπορεί ξαϕνικά να στραϕούν απρόσμενα κατα διεύθυνση άλλη της αναμενό-

μενης διάστασης μέτρησης, οπότε τυχόν μέτρηση κατά αυτήν την διεύθυνση αναγκαστικά

θα παρουσιάζει σϕάλμα.

΄Ετσι, το μόνο μπουκέτο που υπαρχει διαθέσιμο είναι της λ= 1/e, εϕ΄ όσον είναι το μόνο

για το οποίο γνωρίζουμε ότι ακριβώς και μόνον ένα νήμα του είναι ευθεία από τα μπουκέτα

που έχουμε περιγράψει. Μία εικόνα αυτού του μπουκέτου δίνεται στο Σχήμα 5. Η εικόνα

όμως του μπουκέτου εκτείνεται μέχρι το θετικό άπειρο (γωνία περίπτωσης θ= 0), οπότε

παραμορϕώνει τον λόγο rτης γεωμετρικής τουλάχιστο κατά την διεύθυνση θ.

Ο πραγματικός λόγος της γεωμετρικής επομένως μπορεί να μετρηθεί κατά την διεύθυνση

x≥eμε την βοήθεια της απεικόνισης µ(z) = 1/z, οπότε βρίσκουμε την αντίστροϕη ως προς

το άπειρο εικόνα σαν μορϕοκλασματικό σύνολο με την βοήθεια κώδικα της Maple. Είναι η

εικόνα που ϕαίνεται στο Σχήμα 6.

Ηµείναι μερομορϕική σε οποιαδήποτε γειτονιά του απείρου |z| ≥ R > 0και η εκθετική

με βάση λ=e−1είναι και αυτή μερομορϕική στο διάστημα [e, +∞), οπότε η εικόνα του

Σχήματος 6 είναι σύμμορϕη στο διάστημα [µ(R), µ(e)].

Επομένως σε αυτό το διάστημα η διάσταση δίνεται από την τοπολογία του μέτρου της

απόλυτης τιμής γεωμετρικής με διαδοχικά διαστήματα δακτύλων an+1 =bn, για κάθε n∈N,

Σχήμα 5: Μπουκέτο Cantor στο c=e(βάσεως λ=e−1)

Σχήμα 6: Μπουκέτο Cantor στο c=eυπό την απεικόνιση µ(z) = 1/z

ως

|µ(e)−µ(R)|x=∞



n=0

dimH,x(δn)

=∞



n=0 |δn|x

=∞



n=0 |bn−an|

=∞



n=0 |b0−a0| · rn=|b0−a0| · 1

1−r

(15)

Θεωρώντας τώρα μία ακολουθία Rn→ ∞, το μέτρο της γεωμετρικής μπορεί να μετρηθεί

πειραματικά από το Σχήμα 6 είτε ως,

rx= lim

Rn→∞ 1−δ0x

|µ(e)−µ(Rn)|<1(16)

είτε ως,

rx=dimH,x(δ2)

dimH,x(δ1)=δ2x

|δ1|x

<1(17)

Χρησιμοποιώντας την εξίσωση (17) στο Σχήμα 6, βρίσκουμε,

rx∼

490 −337

337 −150= 0.8181 (18)

Κατά την οριζόντια διεύθυνση έχουμε επομένως dimH,x(δ)∼rx. Κατά την κάθετη

διεύθυνση (y)η διάσταση του μπουκέτου είναι τουλαχιστο αυτή του συνεχούς ([e, +∞))

επομένως,

1≤dimH,y(δ)

0≤dimH,x(δ)≤rx⇒

1≤dimH(δ)≤1 + rx= 1.818

Τελικά παίρνουμε 1≤dimH(CBe)≤1+ rx= 1.8181, το οποίο σημαίνει ότι η διάσταση

του μπουκέτου Cantor στο e(λ=e−1) είναι μη ακέραια με λόγο γεωμετρικής διάσπασης

∼rκατά τουλάχιστο μία τυχούσα διεύθυνση.

Κατά την κάθετη διεύθυνση λοιπόν, η τομή του μπουκέτου λ= 1/e είναι ομοιομορϕική

με γενικευμένο σύνολο Cantor, διάστασης r, το οποίο είναι μορϕοκλασματικό. Η διάσταση

java http://www.stevec.org/fracdim/

box counting r∼1.85

Cantor

[e, +∞)

τέτοιων συνόλων αναλύεται μερικώς στη [60] και δίδεται συναρτήσει μίας γενικής παραμέτρου

0< γ < 1, ως

r=ln(2)

ln(1−γ

2)(19)

Στην προκείμενη περίπτωση έχουμε r∼0.8181, οπότε αν λύσουμε την εξίσωση (17) ως

προς γ, παίρνουμε γ∼1/7, που σημαίνει ότι το αντίστοιχο σύνολο τομής είναι ομοιομορϕικό

με ένα σύνολο Cantor έχον γεωμετρικό λόγο διάσπασης 1/7. Το κοινό γνωστό σύνολο

Cantor έχει λόγο διάσπασης 1/3. Επομένως μπορούμε να πούμε ότι το μπουκέτο στο e

για λ= 1/e είναι μορϕοκλασματικό σύνολο. Είναι πυκνό κατά κάθετη τομή και το σύνολο

CBe{+∞} είναι συνδεδεμένο. Αν αϕαιρεθεί όμως το σημείο {+∞}, τότε το σύνολο είναι

εντελώς αποσυνδεδεμένο.

Cantor

Η γενέτειρα (primitive) ενός μπουκέτου Cantor επομένως αποκαλύπτεται εάν εξετάσουμε

την εικόνα των νιοστών ριζών της γειτονιάς Bδ(ϕ(1)), υπό από την απεικόνιση gc(z)και

παρατίθεται εδώ στο Σχήμα 7 για n= 100, της γειτονιάς δ= 0.01, του ϕ(1) = ee−1. Το

Σχήμα επιβεβαιώνει τις προαναϕερθείσες αναϕορές στις οποίες η γενέτειρα χαρακτηρίζεται

ομοιομορϕική με βούρτσα C∞.

Σχήμα 7: Γενέτειρα μπουκέτου Cantor στο c=e1/e

Συμπεραίνουμε αμέσως ότι τουλάχιστον όσον αϕορά το μπουκέτο για λ= 1/e, όλα τα

νήματα αυτού του μπουκέτου είναι καμπύλες C∞στο μιγαδικό επίπεδο.

Η μορϕή της γενέτειρας σε συνδυασμό με το μέτρο της μορϕοκλασματικής διάστασης,

αποκαλύπτει πλήρως την δομή του μπουκέτου στο μικροσκόπιο. Αυτό που στοιχειωδώς

βλέπουμε στις εικόνες είναι εν γένει μία ομαλή (απείρως παραγωγίσιμη) καμπύλη-νήμα, η

οποία περιοδικά διασπάται σε ένα συνεχές από άλλες απείρως ομαλές καμπύλεσ-νήματα.

Το αξιοσημείωτο λοιπόν με τα νήματα οποιουδήποτε μπουκέτου, είναι ότι μόνον οι συν-

τεταγμένες του νήματος [e, +∞)του μπουκέτου με λ= 1/e είναι γνωστές. Οποιοδήποτε

άλλο νήμα είναι (υπολογιστικά) άγνωστο, δηλαδή κανένα σημείο (ενδιάμεσου νήματος) δεν

είναι προσδιορίσιμο επακριβώς , εκτός των σημείων στα οποία τα μπουκέτα ‘δείχνουν’ όταν

έχουμε πιρούνι μπουκέτων περιόδου p≥1. Σε αντίθεση με το προηγούμενο χαρακτηριστι-

κό, οι ελκυστές και οι απωθητές των λεκανοπεδίων Fatou μπορούν πάντα να εκϕραστούν

αναλυτικά.

Παρατηρούμε επίσης ότι η όλη τοπολογία του άπειρου εκθετικού είναι επιπλέον περιοδική

modulo γωνία 0< θ ≤2πστο μιγαδικό επίπεδο, καθώς όλα τα γραϕήματα επιδεικνύουν

μπουκέτα τα οποία βαίνουν προς το κέντρο υπό συγκεκριμένη γωνία θ. Η γωνία αυτή είναι

χαρακτηριστική της γωνίας προπεριόδου της βάσης λτης εκθετικής.

Η προηγούμενη περιοδικότητα μας επιτρέπει να επικεντρωθούμε στην τοπολογία της

ακολουθίας του Euler στο μιγαδικό επίπεδο modulo μία στροϕή θη οποία είναι τελικά

ισοδύναμη με την δυναμική των τροχιών μιας μπίλιας σε ένα παιγνίδι μπιλιάρδου στην ταινία

{z:|ℜ(z)| ≤ bθ} × {−∞}, εϕοδιασμένη με την τοπολογία των λεκανοπεδίων Fatou και

υψιπεδίων ή χαραδρών Julia με μετρική την ταχύτητα σύγκλισης/ελκυσμού (βλέπε και [87])

ή απώθησης στο άπειρο και με ελκυστή στο άπειρο ισοδύναμο με την βαρύτητα σε τραπέζι

μπιλιάρδου κλίσης θ.

΄Οτι είναι κοντά σε μπουκέτο Cantor αργά ή γρήγορα πάει στο μιγαδικό άπειρο (πλάγια

διεύθυνση βαρύτητας υπό γωνίαν επιπέδου θως προς οριζόντιο επίπεδο), ενώ ότι είναι μέσα

σε λεκανοπέδιο πέϕτει τελικά σε κάποια τρυπούλα όπως σε ένα κανονικό μπιλιάρδο-ϕλιπεράκι

κλίσης θ, με pεπιτόπιες τρύπες ή κουδουνιστά επιϕανειακά μπιχλιμπίδια.

Με εξαίρεση λοιπόν μία γειτονιά του σημείου λ= log(c) = e−1, για ρητά πολλαπλάσια της

γωνίας προπεριόδου 2π/p της βάσης λτης εκθετικής απεικόνισης gc(z) = cz, η τοπολογία

του άπειρου εκθετικού της είναι (τουλάχιστο) ένα μπουκέτο Cantor σε p-ιοστό πιρούνι σε

λεκανοπέδιο Fatou με κέντρο α, με ακαι p∈Nαναλυτικά υπολογίσιμα.

Το γενικό άπειρο εκθετικό αναλύεται περιορισμένα στις [210] ([18],[178], [179]) και στην

[122]. Ορίζεται αναδρομικά:

Ορισμός 5.1 ΄Εστω Zk={z1, z2, . . . , zk},k∈N, με zk∈C\ {x∈R:x≤0}και

n≤ |Zk|=k,

en(Zk) = zk, αν n= 1,

zen−1(Zk)

k−n+1 , αν n > 1.

΄Οποτε χρειάζεται κάποιος να μελετήσει την σύγκλιση του προηγούμενου εκθετικού, απλά

εξετάζει τις τιμές της ακολουθίας bn=en(Zn). Ξετυλίγοτας αναδρομικά την bn,n∈N,

χρησιμοποιώντας τον Ορισμο (5.1), παράγει τους όρους: z1, z z2

1, zzz3

1, . . . , zzz···zn

Υπάρχει όμως και ένας δυϊκός ορισμός ο οποίος αντιστρέϕει τους δείκτες, ως,

bail-out value

Ορισμός 5.2 Δεδομένης μίας λιστας Zk={z1, z2, . . . , zk},k∈N, με zk∈C\{x∈R:x≤0}

και n≤ |Zk|=k,

e∗

n(Zk) = z1, αν n= 1,

ze∗

n−1(Zk)

n, αν n > 1.

Αναλύοντας αναδρομικά την ακολουθία b∗

n=e∗

n(Zn),n∈N, χρησιμοποιώντας το Ορισμό

(5.2), παράγει την ακολουθία z1, zz1

2, zzz1

3, . . . , zzz···z1

n−2

n−1

΄Οποτε το γενικό άπειρο εκθετικό συγκλίνει, γράϕουμε,

Ορισμός 5.3 ΄Οποτε το ακόλουθο όριο υπάρχει πεπεασμένα,

e∞(Z∞) = lim

n→∞ en(Zn) = lim

n→∞ bn=b∞

e∗

∞(Z∞) = lim

n→∞ e∗

n(Zn) = lim

n→∞ b∗

n=b∗

∞

Οι αναϕορές ([18]) δείχνουν τα ακόλουθα (σε σχέση με τους Ορισμούς (5.1) και (5.2)):

Θεώρημα 5.4 (Barrow) Η ακολουθία bnσυγκλίνει, εάν και μόνον εάν:

• ∃n0:∀n≥n0:bn∈[(1/e)e, e(1/e)].

•znσυγκλίνει.

Το Θεώρημα (5.4) μπορεί επομένως να γενικευτεί εϕ΄ όσον τώρα γνωρίζουμε το πλήρες

εύρος της περιοχής RST :

Θεώρημα 5.5 (Barrow) Η ακολουθία bnσυγκλίνει, εάν και μόνον εάν:

• ∃n0:∀n≥n0:bn∈RST .

•znσυγκλίνει.

Μας ενδιαϕέρει να βρούμε ενδιαϕέρουσες εκϕράσεις για τα όρια b∞και b∗

∞.

Για την πρώτη περίπτωση (Ορισμός (5.1)), θέτουμε Gn(z) = e∗

n+1(Ln∪ {z}), οπότε παίρ-

νουμε την ανακύκλωση:

Gn(z) = y⇒

log(Gn(z)) = log(y)⇒

Gn−1(z) = log(y)

log(zn)⇒

log(Gn−1(z)) = log log(y)

log(zn)⇒

Gn−2(z) = log(Gn−1(z))

log(zn−1)⇒

···

Gn−k+1(z) = log(Gn−k(z))

log(zn−k)

Gm+1(z) = log(Gm(z))

log(zm)

(20)

΄Εστω z0= lim

n→∞ zn. Επιλέγουμε kτέτοιο ώστε m=n−k≥n0. Μπορούμε να πάρουμε

το όριο για m→ ∞ στην τελευταία των (20) και να επιλύσουμε ως προς W:

G(z) = log(G(z))

log(z0)⇒

G(z) = W(−log(z0))

−log(z0)=h(z0)

(21)

Η εξίσώσεις (21) δείχνουν,

Θεώρημα 5.6 ΄Αν z0= lim

n→∞ zn, τοτε για ϵ > 0, υπάρχει n0, τετοιο ώστε για n≥n0,

|b∗

n−h(z0)|< ϵ.

Απόδειξη: Για οποιοδήποτε ϵ > 0, μπορούμε να βρούμε n0αρκετά μεγάλο το οποίο εξα-

σϕαλίζει |zn−z0|< ϵ και τότε οι βάσεις του πύργου έως το zn0μπορούν να εκϕραστούν ως

z0+ϵ. Τα στοιχεία πέραν του zn0μπορούν να σταλθούν σταδιακά στο άπειρο, επιλέγοντας

μεγάλο n0και τότε το όριο του πύργου θα προσεγγίζει τον αριθμό h(z0+ϵ). Το Θεώρημα

ακολουθεί πέμποντας ϵ→0.

Για την δυϊκή περίπτωση (Ορισμός (5.2)), αν Zk={z1, z2, . . . , zk}, μετασχηματίζοντας ως

wm=zn−m+1 και ως Z∗

k={w1, w2, . . . , wk}για να αλλάξουμε την σειρα των δεικτών,

θέτουμε Gn(z) = e∗

n(Z∗

n∪ {z}), οπότε παίρνουμε την ανακύκλωση:

Gn(z) = y⇒

log(Gn(z)) = log(y)⇒

Gn−1(z) = log(y)

log(wn)⇒

log(Gn−1(z)) = log log(y)

log(wn)⇒

Gn−2(z) = log(Gn−1(z))

log(wn−1)⇒

···

Gn−k+1(z) = log(Gn−k(z))

log(wn−k)

Gm+1(z) = log(Gm(z))

log(wm)

(22)

΄Εστω z0= lim

n→∞ zn. Επιλέγουμε kτέτοιο ώστε m=n−k≥n0. Ομοίως, μπορούμε να

πάρουμε το όριο για m→ ∞ στην τελευταία των (22) και να επιλύσουμε ως προς W:

G(z) = log(G(z))

log(z0)⇒

G(z) = W(−log(z0))

−log(z0)=h(z0)

(23)

Οι εξισώσεις (23) δείχνουν,

Θεώρημα 5.7 ΄Αν z0= lim

n→∞ zn, για κάθε ϵ > 0, υπάρχει n0, τέτοιο ώστε για κάθε

n≥n0,|bn−en0+1(Zn0∪ {h(z0)})|< ϵ.

Απόδειξη: Ομοίως, δεδομένου ϵ > 0, μπορούμε να βρούμε n0μεγάλο το οποίο εξασϕαλίζει

|zn−z0|< ϵ, και τότε όλοι οι όροι ψηλότερα το zn0μπορούν να προσεγγιστούν ως h(z0+

ϵ). Ο πύργος κάτω του zn0, αϕήνει τα στοιχεία απείρακτα, οπότε η προσέγγιση θα είναι

zz···

zh(z0)+ϵ

1. Το Θεώρημα ακολουθεί πέμποντας ϵ→0.

Τα Θεωρήματα (5.6) και (5.7) σε συνδυασμό με την Πρόταση (4.2) απαντούν στην Πρό-

ταση (1.2) του Euler στην γενικότερη της μορϕη. Συγκεκριμένα,

Πόρισμα 5.8 ΄Εστω η ακολουθία γn,n∈Nμε γn→c∈C. Η συμπεριϕορά της

ακολουθίας αnμε αn+1 =γαn

n,n∈N, περιγράϕεται από τα σύνολα J[gc+ϵ]και F[gc+ϵ], με

ϵ > 0από το Θεώρημα (5.6).

Εκτελέσιμος κώδικας Maple επισυνάπτεται σε ξεχωριστό έγγραϕο .pdf στο οποίο και παρα-

πέμπει ο συγγραϕέας για την επιβεβαίωση των Πορισμάτων και την δημιουργία των Σχημάτων

της διατριβής. Στα Σχήματα, η πρώτη στήλη περιέχει έναν ελκυστή A1=h(0, c), η δεύτερη

στήλη περιέχει το ουδέτερο σημείο N1=h(0, c)και η τρίτη στήλη περιέχει τον απωθητή

R1=h(0, c)και τους περιοδικούς ελκυστές Apτης Πρότασης (4.2), κατανεμημένους γύρω

από τον απωθητή R1.

Σχήμα 8: Προπερίοδος p= 1, με λ= log(c) = t/et,|t|<1,t= 1 και |λ|>1/e

Σχήμα 9: Προπερίοδος p= 2, με λ= log(c) = t/et,|t|<1,t=eπi =−1και |t|>1

Σχήμα 10: Προπερίοδος p= 3, με λ= log(c) = t/et,|t|<1,t=e2π/3iκαι |t|>1

Σχήμα 11: Προπερίοδος p= 4, με λ= log(c) = t/et,|t|<1,t=eπ/2iκαι |t|>1

Σχήμα 12: Προπερίοδος p= 5, με λ= log(c) = t/et,|t|<1,t=e2π/5iκαι |t|>1

Σχήμα 13: Προπερίοδος p=π, με λ= log(c) = t/et,|t|<1,t=e2iκαι |t|>1

Ο συγγραϕέας επιθυμεί να ευχαριστήσει όλους τους παράγοντες οι οποίοι συνεισέϕεραν στην

δρομολόγηση της εργασίας. Ειδικότερα, τον σύμβουλό του καθηγητή Γιάννη Παπαδοπεράκη

για την σχεδόν απίστευτη υπομονή που έδειξε κατά την δρομολόγηση της κεντρικής δομής

της διατριβής, τον καθηγητή Πάρι Πάμϕιλο και τον καθηγητή Μιχάλη Λάμπρου για τις συ-

στατικές επιστολές τους και όλους τους παράγοντες οι οποίοι έλυσαν πολλά υποπροβλήματα,

όπως τον ερευνητή Alexandr Dubinov που έλυσε την εξίσωση του Kepler, τους καθηγητές

του Πανεπιστημίου Κρήτης, τους σύμβουλους και μαθηματικούς του διαδικτύου οι οποίοι

απάντησαν σε πολλά ερωτήματα σε διεθνή forums του usenet, όπως τον καθηγητή Robert

Israel και λοιπούς, τους μαθηματικούς προγραμματιστές του forum της Maple και λοιπούς,

τον Leroy Quet ο οποίος έλυσε το πρόβλημα του αναπτύγματος της εκθετικής (Λήμμα (8.1)

σε [210]), τον Daniel Geisler της ιστοσελίδας tetration.org, τον Henryk Trappmann,An-

drew Robbins,Gottfried Helms και τους λοιπούς του tetration forum, τον Eric Weisstein

της ιστοσελίδας mathworld.wolfram.com τους κριτές των άρθρων των αναϕορών του συγ-

γραϕέα, τον καθηγητή Dave L. Renfro ο οποίος συνέλεξε, ταξινόμησε και απέστειλε τις

περισσότερες αναϕορές και τους δημιουργούς των χρησιμοποιηθέντων προγραμμάτων frac-

tals τα οποία επιβεβαίωσαν τα αποτελέσματα της εργασίας, όπως τους Jan Hubicka και

Thomas Marsh. Περισσότερες ευχαριστίες δηλωνονται στις αναϕορές του συγγραϕέα. Ο

συγγραϕέας αϕιερώνει την διατριβή στους γονείς του και στον καθηγητή μαθηματικών του

Κώστα Σουρλά.

References

[1] W.B. Manhard 2d. Is exponentiation commutative? Mathematics Teacher,

74(1):56–60, Jan. 1981.

[2] 30 September 1905 8-th regular meeting of the San Franscisco Section of the AMS,

University of California. Comment 8. Bulletin of the American Mathematical Soci-

ety, 12:115, 1905-1906.

[3] D.S. Alexander. A History of Complex Dynamics, From Schroeder to Fatou and

Julia. Friedrich Vieweg and Sohn Verlagsgesellschaft mbH, Oct. 1994.

[4] A.O. Allen. eπor πe?Journal of Recreational Mathematics, 2(4):255–256, October

1969.

[5] M.M. Alliaume. Sure le developpment en serie de la racine d’ une equation. Mathesis

Requeil Mathematique, 44:163–166, 1930.

[6] J.C. Appleby. Notes on hexponentiation. The Mathematical Gazette, 79(484):x–y,

1995.

[7] R.C. Archibald and R. Clare. Problem 136. Mathematics of Computation, 6(39):204,

July 1952.

[8] F. Arjomandi. Problem 27.1. Mathematical Spectrum, 27(3):68, 1994-1995.

[9] J.M. Ash. The limit of xx···x

as x tends to zero. Mathematics Magazine, 69:207–209,

1996.

[10] A.L. Baker. Functional exponents. School Science and Mathematics, 8(3):225–227,

Mar. 1908.

[11] I.N. Baker and P.J. Rippon. Convergence of inﬁnite exponentials. Annales

Academiae Scientiarum Fennicae. Series A AI Mathematics, pages 179–186, 1983.

[12] I.N. Baker and P.J. Rippon. A note on complex iteration. American Mathematical

Monthly, 92:501–504, 1985.

[13] I.N. Baker and P.J. Rippon. A note on inﬁnite exponentials. The Fibonacci Quar-

terly, 23:106–112, 1985.

[14] I.N. Baker and P.J. Rippon. Iterating exponential functions with cyclic expo-

nents. Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 105:359–

375, 1989.

[15] I.N. Baker and P.J. Rippon. Towers of exponents and other composite maps. Com-

plex Variables, 12:181–200, 1989.

[16] E. Barbette. Des progressions logarithmiques. Mathesis Requeil Mathematique,

8(2):135–137, 1898.

[17] M. Barnsley. Fractals Everywhere. Academic Press, Inc., Cambridge, MA., 1988.

[18] D.F. Barrow. Inﬁnite exponentials. American Mathematical Monthly, 43:150–160,

1936.

[19] K.-H. Becker and M. D¨orﬂer. Dynamical Systems and Fractals. Cambridge Univer-

sity Press, 1990.

[20] S. Bedding and K. Briggs. Iteration of quaternion functions. American Mathematical

Monthly, 8(103):654–664, Oct. 1996.

[21] E.T. Bell. Iterated exponential numbers. Bulletin of the American Mathematical

Society, 43:774–775, 1937.

[22] E.T. Bell. The iterated exponential integers. The Annals of Mathematics, Second

Series, 39:539–557, 1938.

[23] W.W. Beman. An inﬁnite exponential. Mathematical Spectrum, 27(1):22, 1994-

1995.

[24] W.W. Beman. Problem 389. American Mathematical Monthly, 21(1):23, January

1914.

[25] C.M. Bender. Advanced Mathematical Methods for Scientists and Engineers, Ap-

proximate Solution of Nonlinear Diﬀerential Equations. McGraw Hill, 1978.

[26] A.A. Bennet. The iteration of functions of one variable. The Annals of Mathematics,

Second Series, 17:23–60, 1915.

[27] A.A. Bennet. Note on an operation of the third grade. The Annals of Mathematics,

Second Series, 17:74–75, 1915.

[28] A. Bennett. Note on an operation of the third grade. The Annals of Mathematics,

Second Series, 17(2):74–75, Dec. 1915.

[29] A. Bennett. The iteration of functions of one variable. The Annals of Mathematics,

Second Series, 17(1):23–60, Sep. 1915.

[30] W. Bergweiler. Periodic points of entire functions. Complex Variables Theory Appl.,

17:57–72, 1991.

[31] W. Bergweiler. Iteration of meromorphic functions. Bulletin of the American Math-

ematical Society, 29:151–188, 1993.

[32] B.C. Berndt. Ramanujan’s Quarterly Reports. Bull. London Math. Soc.,

16(1984):469–489, Apr. 1983.

[33] H.J.M. Bos. Johann Bernoulli on exponential curves, ca. 1695 innovation and ha-

bituation in the transition from explicit constructions to implicit functions. Nieuw

Archief voor WisKunde, 14(4):1–19, 1996.

[34] L. Brand. Binomial expansions in factorial powers. American Mathematical

Monthly, 67(10):953–957, Dec. 1960.

[35] L. Brand. The roots of a quaternion. The American Mathematical Monthly,

49(8):519–520, Oct. 1942.

[36] B. Branner. Holomorphic dynamical systems in the complex plane an introduction,

1995. Proceedings of the 7th EWM meeting, Madrid.

[37] N. Bromer. Superexponentiation. Mathematics Magazine, 60:169–174, 1987.

[38] H.J. Brothers and J.A. Knox. New closed-form approximations to the logarithmic

constant e.Mathematical Intelligencer, 20(4):25–29, Fall 1998.

[39] M. Brozinsky. Problem 4394. School Science and Mathematics, 93(6):340, Oct.

1993.

[40] B.W. Brunson. The partial order of iterated exponentials. American Mathematical

Monthly, 93:779–786, 1986.

[41] E.P. Bugdanoﬀ. Problem 3515 [1931,462]. American Mathematical Monthly,

39(9):552–555, Nov. 1932.

[42] A.P. Bulanov. Iterated cyclic exponentials and power functions with extra-periodic

ﬁrst coeﬃcients. Sb. Math, 201(1):23:23–55, 2010.

[43] L.E. Bush. The 1961 william lowell putnam mathematical competition. American

Mathematical Monthly, 69:759–767, 1962.

[44] F.A. Butter. A note on the equation xy=yx.American Mathematical Monthly,

46(6):316–317, June/July 1939.

[45] W.D. Cairns. Problem 422. American Mathematical Monthly, 22(4):133, Apr. 1915.

[46] F. Cajori. History of the exponential and logarithmic concepts (part 4). American

Mathematical Monthly, 20(4):107–117, Apr. 1913.

[47] F. Cajori. History of the exponential and logarithmic concepts (part 2). American

Mathematical Monthly, 20(2):35–37, Feb. 1913.

[48] F. Cajori. History of the exponential and logarithmic concepts. American Mathe-

matical Monthly, 20(1):5–14, Jan. 1913.

[49] F. Cajori. History of the exponential and logarithmic concepts (part 6). American

Mathematical Monthly, 20(6):173–182, June 1913.

[50] F. Cajori. Errata in the february issue. American Mathematical Monthly, 20(3):104,

Mar. 1913.

[51] F. Cajori. History of the exponential and logarithmic concepts (part 3). American

Mathematical Monthly, 20(3):75–84, Mar. 1913.

[52] F. Cajori. Napier’s logarithmic concept. American Mathematical Monthly, 23(3):71–

72, Mar. 1916.

[53] F. Cajori. History of the exponential and logarithmic concepts (part 5). American

Mathematical Monthly, 20(5):148–151, May. 1913.

[54] F. Cajori. History of the exponential and logarithmic concepts (part 7). American

Mathematical Monthly, 20(7):205–210, Sep. 1913.

[55] R.D. Carmichael. On a certain class of curves given by transcendental equations.

American Mathematical Monthly, 13:221–226, 1906.

[56] R.D. Carmichael. On certain transcendental functions deﬁned by a symbolic equa-

tion. American Mathematical Monthly, 15:78–83, 1908.

[57] R.D. Carmichael. Problem 275. American Mathematical Monthly, 14(2):27, Feb.

1907.

[58] G.F. Carrier, M. Krook, and C.E. Pearson. Functions of a Complex Variable.

McGraw-Hill Book Company, New York, 1966.

[59] H.S. Carslaw. Relating to Napier’s logarithmic concept. American Mathematical

Monthly, 23(8):310–315, Oct. 1913. (Comments on the Cajori article and a response

by professor Cajori).

[60] A.Yu. Cherny, E.M. Anitas, A.I. Kuklin, M. Balasoiu, and V.A. Osipov. Scattering

from generalized cantor fractals. http://arxiv.org/abs/0911.2497.

[61] R.V. Churchill, J.W. Brown, and R.F. Verhey. Complex Variables and Applications.

McGraw-Hill, New York, 1974.

[62] Jr. C.J. Everett. An exponential diophantine equation. American Mathematical

Monthly, 43(4):229–230, Apr. 1936.

[63] P. Colwell. Bessel functions and Kepler’s equation. American Mathematical

Monthly, 99(1):45–48, Jan. 1992.

[64] S.D. Conte and Carl de Boor. Elementary Numerical Analysis. McGraw-Hill Book

Company, New York, 1980.

[65] R. Cooper. The relative growth of some rapidly increasing sequences. Journal of

the London Mathematical Society, 29(1):59–62, 1954.

[66] R.M. Corless. Lambert W Function, 2000.

http://www.apmaths.uwo.ca/rcorless/frames/PAPERS/LambertW.

[67] R.M. Corless, G.H. Gonnet, D.E. Hare, D.J. Jeﬀrey, and D.E. Knuth. On the

Lambert W function. Advances in Computational Mathematics, 5:329–359, 1996.

[68] R.M. Corless, D.J. Jeﬀrey, and D.E. Knuth. A sequence of series for the Lambert

W function. Proceedings of the 1997 International Symposium on Symbolic and

Algebraic Computation, Maui, Hawaii. New York: ACM Press, pages 197–204,

1997.

[69] Alex D.D. Craik. Prehistory of Fa´a Di Bruno’s formula. American Mathematical

Monthly, 112(2):217–234, Feb. 2005.

[70] R.E. Crandall and M.M. Colgrove. Scientiﬁc Programming with Macintosh Pascal.

Wiley Press, 1986.

[71] C.C. Cross. Problem 93. American Mathematical Monthly, 6(8/9):199–201,

Aug./Sep. 1899.

[72] P.J. Davis. Leohard Euler’s integral: A historical proﬁle of the Gamma function.

American Mathematical Monthly, 66(10):849–869, Dec. 1959.

[73] C. A. Deavours. The quaternion calculus. The American Mathematical Monthly,

9(80):995–1008, 11 Nov., 1973.

[74] E. Delville. Nombres egaux a leurs logarithmes. Mathesis, 4(2):264, 1912.

[75] R.L. Devaney. Accessible points in the julia sets of stable exponentials. Discrete

and Continuous Dynamical Systems, 1:299–318, 2001.

[76] R.L. Devaney. Cantor bouquets, explosions and knaster continua: Dynamics of

complex exponentials. Topology and its Applications, 110:133–161, 2001.

[77] R.L. Devaney. Cantor and Sierpinski, Julia and Fatou: Complex topology meets

Complex dynamics. Notices of the American Mathematical Society, 51(1):9–15,

2004.

[78] R.L. Devaney. Complex Exponential Dynamics (in Handbook of Dynamical Sys-

tems), Vol. 3. Eds. H. Broer, F. Takens, B. Hasselblatt, 2010.

[79] A.C. Dixon. On B¨urmann’s theorem. Proc. London Math. Soc., 34:151–153, 1902.

[80] A.E. Dubinov, I.D. Dubinova, and S.K. Saikov. Lambert W function: Table of Inte-

grals and Other Mathematical Properties [in Russian]. Sarov Physical and Technical

Institute, Sarov, 2004.

[81] R.M. Dudley. Problem 5098 [1963,445]. American Mathematical Monthly, 71(5):563,

May. 1964.

[82] Jr. A. M. E.D.Roe. Problem 68. American Mathematical Monthly, 5(4):110, Apr.

1898.

[83] G. Eisenstein. Entwicklund von aaa...

.Journal Fur Die Reine Und Angewandte

Mathematik, 28(8):49–52, 1944.

[84] G. Enestrom. Es ware ratsam, den passus. Bibliotheca Mathematica, 13(3):270,

1912-1913.

[85] L. Euler. De formulis exponentialibus replicatus. Acta Sci. Petropol., 1:38–60, 1778.

[86] C.L. Evans. Interesting logs, reader’s reﬂection column. Mathematics Teacher,

72(7):489, Oct. 1979.

[87] L. Han F. Gao and K. Schilling. On the rate of convergence of iterated exponentials.

Journal of Applied Mathematics and Computing, pages 1–8, Sep. 2011.

[88] M.J. Farkas. Sur le fonctions iteratives. Journal de Mathematiques Pures et Ap-

pliquees [=Liouville’s Journal], 10(3):101–108, 1884.

[89] P. Franklin. Relating to the real locus deﬁned by the equation xy=yx.American

Mathematical Society, 24:137, 1917.

[90] J. Friedman. On the Convergence of Newton’s Method. PhD thesis, University of

California, Berkeley, 1987.

[91] B. Frizel. The problem of deﬁning the set of real numbers. Bulletin of the American

Mathematical Society [28-th regular meeting of the Chicago section of the AMS,

University of Chicago, 28-30 December 1910]., 17:296, 1910-1911.

[92] R. Garver. On the approximate solution of certain equations. American Mathemat-

ical Monthly, 39(8):476–478, Oct. 1932.

[93] D. Geisler. The Atlas of Tetration, 2004. http://www.tetration.org/.

[94] G.M. Ghunaym. Problem 4696. School Science and Mathematics, 99(1):54, Jan.

1999.

[95] R.A. Gibbs. Problem 4334. School Science and Mathematics, 92(5):292–293,

May/Jun. 1992.

[96] J. Ginsburg. Iterated exponentials. Scripta Mathematica II, pages 292–293, 1945.

[97] J.W.L. Glaisher. A theorem in trigonometry. Quarterly Journal of Pure and Applied

Mathematics, 15:151–157, 1878.

[98] F. Gobel and R.P. Nederpelt. The number of numerical outcomes of iterated powers.

American Mathematical Monthly, 78:1097–1103, 1971.

[99] R.L. Goodstein. The equation ab=ba.The Mathematical Gazette, 28(279):76, May

1944.

[100] R. Greenberg. Problem e 1597 [1963, 757]. American Mathematical Monthly,

71(3):322, Mar. 1964.

[101] M.J.-H. Grillet. Les exponentielles successives d’Euler. Journal de Mathematiques

Pures et Appliquees [=Liousville’s Journal], 10:233–241, 1985.

[102] Sir William Rowan Hamilton. On quaternions. Proceedings of the Royal Irish

Academy, 3(1847):1–16, 11 Nov., 1844.

[103] Sir William Rowan Hamilton. On a new species of imaginary quantities connected

with a theory of quaternions. Proceedings of the Royal Irish Academy, 2:424–434,

13 Nov., 1843.

[104] D. Hammer. Problem 171, parenthetical roots. Mathematics and Computer Edu-

cation, 17(1):73, Winter 1983.

[105] M.E. Haruta. Newton’s method on the complex exponential function. Transactions

of the American Mathematical Society, 351(5):2499–2513, 1999.

[106] A. Hathaway. Quaternion space. Transactions of the American Mathematical So-

ciety, 1(3):46–59, Jan. 1902.

[107] A. Hausner. Algebraic number ﬁelds and the diophantine equation mn=nm.

American Mathematical Monthly, 68:856–861, 1961.

[108] A. Hausner. Problem e 1474 [1961,573], the equation mnm=nmn.American

Mathematical Monthly, 69(2):169, Feb. 1962.

[109] N.D. Hayes. The roots of the equation x= (c·exp)nxand the cycles of the

substitution (x|cex). Quarterly Journal of Mathematics (Oxford), 3(2):81–90, 1952.

[110] J. Van Heijenoort. From Frege to Goedel: A Source Book in Mathematical Logic,

1879 - 1931. Section On Hilbert’s construction of the real numbers, written by Wil-

helm Ackermann (1928). Harvard University Press, 1967.

[111] A.S. Hendler. Problem e 1144 [1954,711]. American Mathematical Monthly,

62(6):446, Jun./Jul. 1955.

[112] J.L. Hickman. Analysis of an exponential equation with ordinal variables. Proc-

ceedings of the American Mathematical Society, 61:105–111, 1976.

[113] A. Hoorfar and M. Hassani. Inequalities of the Lambert W function and hyperpower

function. Journal of Inequalities in pure and applied mathematics, 9(2):51–56, 2008.

[114] S. Hurwitz. On the rational solutions of mn=nm, with m/nen.American Mathe-

matical Society, 74:298–300, 1967.

[115] Jr. H.W. Labbers. Problem 420. Nieuw Archief voor WisKunde, 3(24):207–210,

1976.

[116] J.T. Varner III. Comparing ab=bausing elementary calculus. Two Year College

Mathematics Journal, 7(4):46, 1976.

[117] R.B. Israel. Calculus the Maple Way. Addison-Wesley, 1996.

[118] V.F. Ivanoﬀ. Problem e 34 [1933,241]. American Mathematical Monthly, 44(2):101–

106, Feb. 1934.

[119] S. J. J. G. Hagen. On the history of the extensions of the calculus. Bulletin of the

American Mathematical Society, 6:381–390, 1899-00.

[120] D.J. Jeﬀrey. The multi-valued nature of inverse functions, 2001. Available online

at: http://citeseer.ist.psu.edu/jeﬀrey01multivalued.html.

[121] H.W. Lenstra Jr. 3053. problem 566. Nieuw Archief voor WisKunde, 3(28):300–302,

1980.

[122] R.A. Knoebel. Exponentials reiterated. American Mathematical Monthly, 88:235–

252, 1981.

[123] M. Kossler. On the zeros of analytic functions. Proceedings of the London Mathe-

matical Society, 19(2):back pages for the January 13, 1921 Meeting, 1921.

[124] S.G. Krantz. Handbook of Complex Variables. Birkh¨auser, Boston, MA, 1999.

[125] Y.S. Kupitz and H. Martini. On the equation xy=yx.Elemente der Mathematik,

55:95–101, 2000.

[126] L.J. Lander. Problem e 1124 [1954,423]. American Mathematical Monthly,

62(2):124–125, Feb. 1955.

[127] H. L¨anger. An elementary proof of the convergence of iterated exponentials. Ele-

mente der Mathematik, 51:75–77, 1996.

[128] H. Langer. An elementary proof of the convergence of iterated exponentials. Ele-

mente Math., 51:75–77, 1996.

[129] J. Lense. Problem 3053. American Mathematical Monthly, 31:500–501, 1924.

[130] S. De Leo and P. Rotelli. A new deﬁnition of hypercomplex analyticity, January

1997. Dipartimento di Fisica, Universit`a degli Studi Lecce INFN, Sezione di Lecce

via Arnesano, CP 193, I-73100 Lecce, Italy, Dipartimento di Metodi e Modelli

Matematici per le Scienze Applicate, via Belzoni 7, I-35131 Padova, Italy.

[131] S.L. Loney. Plane Trigonometry, 5’th Edition. Cambridge University Press, parts

I and II, 1925.

[132] G.F. Lowerre. A logarithm problem and how it grew. The Mathematics Teacher,

72:227–229, 1979.

[133] S.V. L¨udkovsky and F. van Oystaeyen. Diﬀerentiable functions of quaternion vari-

ables. Bulletin des Sciences Mathematiques, 9(127):755–796, 2002.

[134] J. Van De Lune. Problem 899. Nieuw Archief voor WisKunde, 4(13):251–252, 1995.

[135] J. Macdonnell. Some critical points of the hyperpower function xx···x

.International

Journal of Mathematical Education, 20(2):297–305, 1989.

[136] A.J. Macintyre. Convergence of ii···.Procceedings of the American Mathematical

Society, 17:67, 1966.

[137] R.L. Mayes. Discovering relationships, logarithmic and exponential functions.

School Science and Mathematics, 94(7):367–370, Nov. 1994.

[138] J. Milnor. Dynamics in one complex variable introductory lectures. Institute for

Mathematical Sciences, SUNY, Stony Brook, New York, preprint 1990/5.

[139] M.C. Mitchelmore. A matter of deﬁnition. American Mathematical Monthly,

81:643–647, 1974.

[140] J. Morton. Graphical study of xx=y.The Mathematical Student Journal, 9(2):5,

Jan. 1962.

[141] E.J. Moulton. The real function deﬁned by: xy=yx.American Mathematical

Monthly, 23:233–237, 1916.

[142] R.P. Nederpelt. Elementary problems and solutions: E1903. American Mathemat-

ical Monthly, 79:395–396, 1972.

[143] D.J. Newman. Problem 4569 [1954,51]. The Mathematical Student Journal,

62(3):190–191, Mar. 1955.

[144] I. Niven. Which is larger, eπor πe?Two Year College Mathematics Journal,

3(2):13–15, 1972.

[145] S. Ocken. Convergence criteria for attracting cycles of Newton’s method. SIAM J.

Appl. Math., 58(1):235–244, 1998.

[146] C.S. Ogilvy. Advanced problems and solutions: E853. American Mathematical

Monthly, 56:555–556, 1949.

[147] L. O’Shaughnessy. Problem 433. American Mathematical Monthly, 26(1):37–39,

Jan. 1989.

[148] F.D. Parker. Integrals of inverse functions. The American Mathematical Monthly,

62(6):439–440, 1955.

[149] H.-O. Peitgen and P.H. Richter. The Beauty of Fractals. Springer-Verlag, Berlin,

Germany, 1986.

[150] J.J. Petersen and P. Hilton. exp(π)> πe?Readers Reﬂections Column, Mathemat-

ics Teacher, 74(7):501–502, Oct. 1981.

[151] H. Poritsky. Problem 2851 [1920,377]. American Mathematical Monthly, 29(3):132–

133, Mar. 1922.

[152] S. Rabinowitz. Problem 191, exponential roots. Mathematics and Computer Edu-

cation, 18(2):150–151, Spring 1984.

[153] W.R. Ransom. Problem e 3 [1932,489]. American Mathematical Monthly, 40(2):113,

Feb. 1933.

[154] D. Redfern. The Maple Handbook. Springer-Verlag, 1996.

[155] D.L. Renfro. Exponential and logarithmic commutativity. The Mathematics

Teacher, 91:275–362, 1998.

[156] J. Riordan. A note on Catalan parantheses. American Mathematical Monthly,

80:904–906, 1973.

[157] B. Ross and B.K. Sacheva. The inversion of Kepler’s equation. Int. J. Math. Educ.

Sci. Technol., 16:558–560, 1985.

[158] R.R. Rowe. The mutuabola. Journal of Recreational Mathematics, 3(3):176–178,

July 1970.

[159] S. Saks and A. Sygmund. Analytic Functions. Hafner Publishing Company, New

York, 1952.

[160] H. E. Salzer. An elementary note on powers of quaternions. American Mathematical

Monthly, 5(59):298–300, May 1952.

[161] D. Sato. Shorter notes: Algebraic solution of xy=yx, (0 < x < y). Procceedings of

The American Mathematical Society, 31:316, 1972.

[162] J. Scheﬀer. Problem 307. American Mathematical Monthly, 16(2):32, Feb. 1909.

[163] E.D. Schell. Problem e 640 [1944,472]. American Mathematical Monthly, 52(5):278–

279, May 1945.

[164] D.L. Shell. Convergence of Inﬁnite Exponentials. PhD thesis, University of Cincin-

nati, 1959.

[165] D.L. Shell. On the convergence of inﬁnite exponentials. Procceedings of The Amer-

ican Mathematical Society, 13:678–681, 1962.

[166] T.W. Shilgalis. Graphical solution of the equation ab=ba.The Mathematics

Teacher, 66:235, 1973.

[167] S.L. Siegel. Exponential equations. Reader Reﬂections Columnm, Mathematics

Teacher, 100(4):238, Nov. 2006.

[168] D.J. Silverman. What’s the limit? Journal of Recreational Mathematics, 4(2):144,

Apr. 1971.

[169] H.L. Slobin. The solutions of xy=yx,x, y > 0, x̸=yand their graphical repre-

sentation. American Mathematical Monthly, 38:444–447, 1931.

[170] G.P. Speck. abversus ba.School Science and Mathematics, 65(6):489–490, Jun.

1965.

[171] M. Spivak. Calculus (English). Publish or Perish, Inc., Berkeley, California, 1980.

[172] V.M. Spunar. Problem 430. American Mathematical Monthly, 26(9):415, Nov. 1919.

[173] R.M. Sternheimer. On certain integers which are obtained by repeated exponenti-

ation. Journal of Recreational Mathematics, 22(4):271–276, 1990.

[174] Daniel Drew (student). A recursion relation involving exponentials. American

Mathematical Monthly, 56(9):660–664, Nov. 1949.

[175] Paul Heckbert (student). |x|y=|y|x.The Mathematics Student Journal, 22(4):4,7,

Apr. 1975.

[176] A. Sudbery. Quaternionic analysis. Mathematical Procceedings of the Cambridge

Philosophical Society, 85:199–225, 1979.

[177] W.R. Thomas. John Napier. The Mathematical Gazette, 19(234):192–205, Jun.

1935.

[178] W.J. Thron. Convergence of inﬁnite exponentials with complex elements. Procceed-

ings of The American Mathematical Society, 8:1040–1043, 1957.

[179] W.J. Thron. Convergence regions for continued fractions and other inﬁnite pro-

cesses. American Mathematical Monthly, 68:734–750, 1961.

[180] S.D. Turner. Under what conditions can a number equal its logarithm? (part 2).

School Science and Mathematics, 28(240):376–379, Apr. 1928.

[181] S.D. Turner. Under what conditions can a number equal its logarithm? (part 1).

School Science and Mathematics, 27(7):750–751, Oct. 1927.

[182] H.S. Uhler. On the numerical value of ii.American Mathematical Monthly,

28(3):114–121, Mar. 1921.

[183] unknown. Problems, notes, 7-9. American Mathematical Monthly, 28(3):140–143,

March 1921.

[184] unknown. Problems for solution. American Mathematical Monthly, 70(5):571–573,

May 1963.

[185] G.T. Vickers. Experiments with inﬁnite exponents. Mathematical Spectrum,

27(2):34, 1994/1995.

[186] G.T. Vickers. More about an inﬁnite exponential. Mathematical Spectrum, 27(3):54–

56, 1994/1995.

[187] J.M. De Villiers and P.N. Robinson. The interval of convergence and limiting func-

tions of a hyperpower sequence. American Mathematical Monthly, 93:13–23, 1986.

[188] R. Voles. An exploration of hyperpower equations nx=ny.The Mathematical

Gazette, 83(497):210–215, 1999.

[189] D. Wang and F. Zhao. The theory of smale’s point estimation and its applications.

Journal of Computational and Applied Mathematics, 60:253–269, 1995.

[190] M. Ward. Note on the iteration of functions of one variable. Bulletin of the American

Mathematical Society, 40:688–690, 1934.

[191] M. Ward and F.B. Fuller. Continuous iteration of real functions. Bulletin of the

American Mathematical Society, 42:383–386, 1936.

[192] G. Waters. problem 185. Mathematics and Computer Education, 18(1):69–70, Win-

ter 1984.

[193] W.V. Webb. Rooting around for roots. Mathematics and Computer Education,

24(3):273, Fall 1990.

[194] Eric W. Weisstein. Conformal mapping, from mathworld–a wolfram web resource.,

2011. http://mathworld.wolfram.com/ConformalMapping.html.

[195] Eric W. Weisstein. Contour winding number, from mathworld–a wolfram web re-

source., 2011. http://mathworld.wolfram.com/ContourWindingNumber.html.

[196] F. Woepcke. Note sur l’ expression (((aa)a)... )a, et les fonctions inverses correspon-

dantes. Journal Fur Die Reine und Angewandte Mathematik [=Crelle’s Journal],

42:83–90, 1851.

[197] V. Wood. Quaternions. The Analyst, 1(7):11–13, Jan. 1980.

[198] E.M. Wright. On a sequence deﬁned by a non-linear recurrence formula. Journal

of the London Mathematical Society, 20(1):68–73, 1945.

[199] E.M. Wright. Iteration of the exponential function. Quarterly Journal of Mathe-

matics (Oxford), 18:228–235, 1947.

[200] E.M. Wright. A class of representing functions. Journal of the London Mathematical

Society, 29(1):63–71, 1954.

[201] A. P. Yefremov. Quaternions: Algebra, geometry and physical theories. Hypercom-

plex Numbers in Geometry and Physics, 1:104–119, 2004.

[202] S. Yeshurun. Reverse order exponentiation. School Science and Mathematics,

89(2):136–143, Feb. 1989.

[203] G. Zirkel. But does it converge? Mathematics and Computer Education, 18(2):153,

Spring 1984.

[204] A.E. Dubinov and I.N. Galidakis. An explicit solution to Kepler’s equation. Physics

of Particles and Nuclei. Letters, 4(3):213–216, May 2007.

[205] I.N. Galidakis. On the enumeration of the roots of arbitrary separable equations

using hyper-Lambert maps. Research and Communications in Mathematics and

Mathematical Sciences, 12(1):1–15, 2020.

[206] I.N. Galidakis. Lambert’s W function and convergence of inﬁnite exponentials in

the space of quaternions (corrigendum). Complex Variables, 52(4):351, Apr. 2007.

[207] I.N. Galidakis. Lambert’s W function and convergence of inﬁnite exponentials in

the space of quaternions. Complex Variables, 51(12):1129–1152, Dec. 2006.

[208] I.N. Galidakis. On some applications of the generalized hyper-Lambert functions.

Complex Variables and Elliptic Equations, 52(12):1101–1119, Dec. 2007.

[209] I.N. Galidakis. On solving the p-th complex auxiliary equation f(p)(z) = z.Complex

Variables, 50(13):977–997, Oct. 2005.

[210] I.N. Galidakis. On an application of Lambert’s W function to inﬁnite exponentials.

Complex Variables Theory Appl., 49(11):759–780, Sep. 2004.

[211] I.N. Galidakis and E.W. Weisstein. Power tower, from mathworld–a wolfram web

resource., 2011. http://mathworld.wolfram.com/PowerTower.html.

ResearchGate has not been able to resolve any citations for this publication.

ON THE ENUMERATION OF THE ROOTS OF ARBITRARY SEPARABLE EQUATIONS USING HW HYPER-LAMBERT MAPS

Article

Full-text available

Jan 2020

Yiannis Galidakis

In this article we use the HW maps to solve arbitrary equations , 0 = f by providing an effective enumeration of the roots of f, as these project on and at the branches of the HW maps. This is just an enumeration of the projection points (roots) of a pin-line on the Riemann surface of f through HW.

A Logarithm Problem and How it Grew

Article