Mathématisation en contexte d'enseignement : quelques enjeux autour de la résolution d'un problème « réaliste »

Abstract

This study is part of a collaborative research that aims at informing the work of mathematics pedagogical consultants on classroom problem solving (PS) and teachers support. More specifically, we try to identify key issues mathematics pedagogical consultants face, within their professional practice, about PS in a teaching context, and ways in which they can cope with them. In this presentation, we will focus on some challenges emerging from data analysis related to mathematization of realistic problem solving.

Résumé. Cette étude fait partie d'un projet de recherche collaborative visant à éclairer le travail de conseillers pédagogiques en mathématiques au regard de la résolution de problèmes (RP) et de l'accompagnement des enseignants. Plus spécifiquement, il s'agit d'éclairer les enjeux auxquels ils sont confrontés à l'égard de la RP en contexte d'enseignement, de l'intérieur de leur pratique professionnelle, et les manières de faire permettant d'y faire face. Nous nous attardons, dans cette présentation, aux enjeux, émergeant de l'analyse des données, portant sur la mathématisation de problèmes réalistes.

Full text

Mathématisation en contexte d’enseignement :
quelques enjeux autour de la résolution d’un
problème « réaliste »
Nadine Bednarz, Lily Bacon, Caroline Lajoie, Jean-François Maheux et Mireille
Saboya
Groupe de recherche sur la formation à l’enseignement des mathématiques
(GREFEM)
Département de Mathématiques, Université du Québec à Montréal, C.P. 8888,
succursale centre ville, Montréal, H3C3P8
grefem@uqam.ca
Abstract. This study is part of a collaborative research that aims at
informing the work of mathematics pedagogical consultants on classroom
problem solving (PS) and teachers support. More specifically, we try to
identify key issues mathematics pedagogical consultants face, within their
professional practice, about PS in a teaching context, and ways in which
they can cope with them. In this presentation, we will focus on some
challenges emerging from data analysis related to mathematization of
realistic problem solving.
Résumé. Cette étude fait partie d’un projet de recherche collaborative
visant à éclairer le travail de conseillers pédagogiques en mathématiques
au regard de la résolution de problèmes (RP) et de l’accompagnement
des enseignants. Plus spécifiquement, il s’agit d’éclairer les enjeux
auxquels ils sont confrontés à l’égard de la RP en contexte
d’enseignement, de l’intérieur de leur pratique professionnelle, et les
manières de faire permettant d’y faire face. Nous nous attardons, dans
cette présentation, aux enjeux, émergeant de l’analyse des données,
portant sur la mathématisation de problèmes réalistes.
1. Résolution de problèmes en contexte d’enseignement et travail des
conseillers pédagogiques
L’importance accordée à la résolution de problèmes (RP) dans l’enseignement des
mathématiques, est confirmée par plusieurs décennies de recherches, qui ont
permis d'éclairer la notion de problème (Brousseau, 1983; Lukenbein, 1984-1985;
Douady, 1987) et ses caractéristiques (Artigue & Houdement, 2007; Burkhardt &
Bell, 2007; Cai & Nie, 2007; D’Ambrosio, 2007; Hino, 2007; Santos-Trigo, 2007;

Schoenfeld, 2007; Coppé & Houdement, 2009; Lajoie & Bednarz, 2012, 2016), le
processus de RP (e.g. Schoenfeld, 1985, 1994), les différentes fonctions assignées à
la RP dans l’enseignement des mathématiques (Lajoie & Bednarz, 2014) ou encore
l’exploitation de certains types de problèmes en classe (Buckhardt, 1984; Arsac et
al., 1988; Charnay, 1992-93; Tanner & Jones, 1994; Grenier & Payan, 1998, 2003;
Adjiage & Rauscher, 2013; Oval-Soto & Oliveira, 2012). Parmi ces travaux,
plusieurs mettent en évidence les difficultés que pose la gestion de cette RP en
classe, notamment dans la prise en compte des solutions des élèves, dont celles
erronées (Oliveira, 2008), la prise en charge de la validation (Barry, 2009; Saboya,
2010), l'instauration d'une culture de recherche dans la classe (Barry, 2009) ou
encore l'exploitation mathématique de problèmes complexes (Maheux, 2007). Ces
différentes études révèlent la complexité de cette RP en classe pour l’enseignant.
Par ricochet, ces résultats viennent questionner les CP, placés aux premières loges
lorsqu’il s’agit d’accompagnement des enseignants. Ces CP sont en effet amenés à
soutenir et accompagner ces enseignants au regard de la RP, un élément clé du
programme de formation, agissant comme « ressources » dans la mise en œuvre de
ce programme (Houle & Pratte, 2003). Or, une analyse historique des documents
officiels québécois de 1900 à nos jours met en évidence le caractère de plus en plus
ambitieux de ce travail associé à la RP (Lajoie & Bednarz, 2012, 2016) et
l’éclairage quasi inexistant fourni aux enseignants pour aborder cette résolution
(Lajoie, Bednarz, 2014). Elle souligne ainsi indirectement la présence d’enjeux
importants associés à la résolution de problèmes en contexte d’enseignement et à
l’accompagnement des enseignants, comme nous avons pu d’ailleurs le constater
lors de rencontres nationales avec ces CP. Les difficultés vécues par les
enseignants, en lien avec l'exploitation de problèmes en classe et leur évaluation, se
répercutent dans les demandes qu'ils adressent aux CP, qui ne sont pas toujours en
mesure d'y répondre, ou qui s'interrogent à leur propos. Bien sûr, les CP ont des
manières de faire pour répondre à ces demandes, mais ils sentent le besoin de se
distancer de ces pratiques spontanées, et de se faire une idée plus précise des
enjeux, questions qui se posent, afin de supporter leur intervention.
Ainsi la nécessité de clarifier ce que recouvre cette résolution dans un contexte
d’enseignement, d’en cerner les enjeux et les approches possibles, constitue un défi
de taille, et confirme l’importance d'avancer, sur le plan de la recherche, dans la
clarification et la prise en compte de ces enjeux. Nous nous centrons plus
particulièrement dans cette présentation sur quelques enjeux, émergeant de notre
analyse, associés à la mathématisation.
2. Processus de mathématisation : une première réponse théorique
Dans la perspective de la « Realistic Mathematics Education » (RME)
(Freudenthal, 1991), le processus de modélisation, plus large que celui de
mathématisation, s’articule sur l’activité informelle des élèves. Ces modèles
émergents, qui permettent d’avancer dans la résolution de situations « réelles »

(Gravermeijer, 1999), sont appelés, tout au long du processus, à se restructurer et à
être revisités par les élèves, et ce en lien avec cette situation de départ ou de
nouvelles situations. Streefland (1991, 1993) parle, pour rendre compte de cette
activité, du passage du « model of » au « model for » pour exprimer le fait qu’au
début un modèle est créé en lien avec une situation donnée et que ce modèle sera
appelé à être généralisé à d’autres situations. Ce processus de modélisation
comprend deux phases profondément imbriquées, celles de formulation et de
validation (Burkhardt, 1984). Selon Bélair (2004), l’aspect le plus difficile de la
phase de formulation, le plus sous-estimé et aussi le plus imprévisible, est celui de
la mathématisation. Le courant de la RME réfère à deux types de mathématisation,
une mathématisation horizontale où des outils mathématiques sont mobilisés et
utilisés pour structurer et résoudre une situation (du monde réel au monde des
représentations, symboles) et une mathématisation verticale qui se joue à un niveau
purement mathématique (circonscrite au seul monde des symboles) (Treffers, 1987,
Freudenthal, 1991). Cette mathématisation progressive, permettant d’aller plus loin
sur la généralisation des modèles, part des stratégies disponibles, dont les
possibilités de généralisation se négocient dans la classe avec les pairs et
l’enseignant. C’est donc à travers les interactions dans la classe que se construit
une « culture de modélisation » (Tanner et Jones, 1994), s’articulant sur la
production et la validation de construits provisoires développés par les élèves. On
perçoit bien à travers ce qui précède le rôle central qu’est appelé à jouer
l’enseignant dans ce processus et, en conséquence, le défi auquel est confronté le
CP chargé d’accompagner les enseignants au regard de cette activité de
modélisation.
3. Quelques repères méthodologiques pour aborder l’analyse des enjeux
Une recherche collaborative (au sens de Desgagné et al., 2001, Bednarz, 2013,
2015) a été mise en place pour explorer, avec des conseillers pédagogiques, les
enjeux rencontrés en lien avec la résolution de problèmes en contexte
d’enseignement. Il s’agit ici de faire sens avec les CP, de l’intérieur de leur
pratique professionnelle, de ces enjeux, en s’appuyant pour cela sur leur expérience
du métier, ce que Lessard (2008) nomme une « intelligence du terrain ». Les
chercheurs sont également appelés à participer à cette explicitation en puisant à un
bagage d’expériences et de connaissances sur le plan didactique, par rapport à
l’objet RP, qui peut ici être mis à profit. Plus précisément, 8 CP responsables du
dossier mathématiques au primaire, provenant de 5 commissions scolaires
différentes, prenant en compte des contextes diversifiés susceptibles d’affecter le
travail du CP, participent à ce projet de recherche collaborative qui s’étend sur
deux ans (2016-2018). Il prend la forme de rencontres réflexives d’une journée
complète (5 la 1ère année, 6 la deuxième année) qui forment le matériau de base de
notre analyse. Nous revenons dans cette présentation sur une partie de ces
rencontres, la 3ème (22 février 2016), ayant pris forme autour de problèmes sans

données numériques, amenés par les uns et les autres : un devoir que le groupe
s’était donné lors de la rencontre précédente, dans la perspective de réfléchir au
choix de problèmes susceptibles de forcer une analyse et un engagement dans une
activité mathématique de la part des élèves.
4. Autour d’un problème réaliste : quelques enjeux émergeant de l’analyse
Le problème des taxes, amené par l’un des CP, va faire ressortir des enjeux
fondamentaux à propos de la résolution de problèmes « réalistes » et de leur
mathématisation. Ce problème, formulé ainsi par CP4 1: « Doit-on choisir de
calculer la taxe avant ou après un rabais? », est une adaptation d’un problème de
Mason (1994)2. En puisant ici à diverses ressources- expérimentations conduites en
classe par les CP avec des élèves (10-14 ans), expérimentations auprès
d’enseignants du primaire lors d’accompagnements par les CP, leur propre
engagement face au problème- les discussions vont mettre en lumière à la fois le
potentiel d’un tel problème pour la mathématisation mais aussi les entraves
possibles, enjeux que soulève le travail autour de ce problème.
Un problème intéressant du point de vue d’une mathématisation progressive
La discussion entre les chercheurs et les CP fait ressortir a priori le potentiel de ce
problème du point de vue de sa mathématisation. Cet énoncé met en effet en jeu
une double généralisation possible ouvrant sur un processus de mathématisation
horizontale et verticale, comme le montrent les propos qui suivent.
CP4 (référant ici au problème de Mason, dont le problème proposé est une
adaptation) : on se place dans la peau de la caissière, mais en fait est-ce que ça
marche tout le temps, que ce soit 20% de rabais ou euh si je donne un rabais de 60%,
est-ce que c’est la même chose? C’est comme on peut le donner, on peut le mettre
sans donnée numérique [sous-entendu sans montant de départ sur lequel s’applique
la taxe ou le rabais].
C2 : on revient à ton idée de généraliser tout à l’heure, parce que peu importe le
montant considéré [cas du problème initial de Mason] ou les taxes considérées [cas
du problème énoncé par CP4], on va arriver à la même conclusion
L’analyse montre toutefois qu’un tel processus de mathématisation ne va pas de soi
au regard du contexte choisi, un contexte dit « réaliste ».
Emprise du contexte : une entrave possible à la mathématisation
Le contexte va exercer, nous le voyons dans ce qui suit, une forte emprise sur la
manière dont des élèves et des enseignants, à qui un tel problème a été proposé,
s’engagent dans sa résolution.
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
1 L’abréviation CP reprise dans l’analyse réfère aux conseillers pédagogiques, et C réfère
aux chercheurs
2 Le problème initial, formulé par Mason (1994 ), est ainsi énoncé : un magasin accorde un
rabais de 20% et facture la taxe de vente de 15%. Qu’est-ce que la caissière devrait d’abord
calculer, le rabais ou la taxe ?

CP 4 : Bien ici on peut se placer dans la peau de l’acheteur, du vendeur ou même du
gouvernement.
C1 : C’est vrai
CP4 : Quand je l’ai vécu en classe, rapidement les élèves ont demandé « qu’est-ce
qu’on doit faire? ». Ils voulaient savoir c’était quoi la règle, puis j’ai été obligé
d’aller chercher pour la TPS3, pour aller trouver que la taxe doit absolument être
calculée sur le montant effectivement payé, donc le rabais doit se placer avant. Sinon
c’est un peu injuste pour le vendeur qui se trouve à payer une taxe sur le prix qu’il
ne nous a pas vendu.
CP8 (faisant référence à une expérimentation avec des enseignants) : Face à cette
enseignante qui cherche quand même à nous challenger un peu souvent …donc euh
j’ai sorti ce problème là en me disant si tu comprends l’idée des propriétés, tu es en
mesure de répondre à cette question là. Donc je leur soumets le problème puis là elle
voit, elle comprend l’idée des propriétés derrière, que pour le consommateur ça
change rien en bout de ligne. Mais effectivement après ça, ça été « bien c’est bien
beau, mais on sait que ce n’est pas de même que ça marche » […]
Cette emprise du contexte amène à relativiser le problème posé au regard du point
de vue, de la posture de celui qui se pose la question : les enseignants à qui le
problème a été donné vont chercher, par exemple, à se positionner comme
consommateur, puis comme marchand, en se donnant des exemples, ou encore à
comprendre la règle utilisée par le gouvernement. Elle peut aussi, comme le montre
ce qui suit, devenir une entrave à la mathématisation, en enlevant toute pertinence à
cette mathématisation.
C2 : Mais quelqu’un pourrait te dire c’est quoi l’intérêt de cette question là
puisqu’on sait que dans la vraie vie, c’est toujours sur le montant initial [qu’est
calculé le rabais]
C1 : bien on se demande si ça fait une différence [….]. Est-ce que ça fait une
différence? Est-ce qu’on est en train de se faire avoir comme consommateur?
C2 : Non mais je me fais l’avocat du diable en me disant que dans la classe
quelqu’un pourrait dire ça. […]
CP8 : Une fois que tu te prêtes au jeu puis que tu dis admettons « ok on essaie de
voir » puis que tu te rends compte que si tu regardes du point de vue du
consommateur ça change rien, mais bon l’aspect demeure de dire « ouais dans la
vraie vie, on sait qu’on n’a pas le choix »
Un résultat qui surprend, étonne (lorsqu’on accepte de se prêter au jeu) et force à
raisonner mathématiquement pour aller plus loin
Un doute quant à la réponse, explicité à travers les propos provenant d’enseignants
et de CP, laisse voir le potentiel d’un tel problème au regard d’un engagement dans
une validation.
CP4 : parce que je l’ai présenté à des profs de maths, des profs de maths qui sont très
matheux là, puis ils étaient pas sûrs.
CP1 : c’est contre instinctif.
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
3 TPS : taxe sur les produits et services.

CP5 : puis là vraiment je suis en train de douter à savoir « là coudonc, c’est tu un
piège cette affaire là, ça reviens tu à la même affaire? ». Je veux dire là, je ne sais
même pas mathématiquement, je ne sais même pas si, si…bon je rougis là.
(et plus tard alors que le groupe continue à discuter de ce type de problème)
CP5 : Mais moi ça me prend l’os, je vais rester toute la journée là dessus.
Le caractère contre-intuitif et l’enjeu de la validation
L’objectif est ici double pour ceux qui sont confrontés à un tel problème, essayer
de répondre à la question, mais aussi trouver pourquoi une telle réponse est
vraisemblable. C’est ici, dans la discussion, que tout l’enjeu de la validation va
apparaître au regard du caractère contre-intuitif de cette réponse :
CP5 : ben là je sais pas. J’ai vraiment une conception. Je me dis c’est sûrement une
conception erronée que j’ai là. Mais je veux dire, je tomberais, s’il y a un piège, je
tomberais dedans.
C : Alors qu’est-ce que tu répondrais toi? Qu’est-ce que la caissière devrait faire?
CP5 : Ben écoute mon intuitif là fait « ah bien oui, je vais aller calculer la taxe après
le rabais parce que la taxe va être moins forte ». Mais je sais que c’est un piège, mais
je ne sais pas pourquoi.
L’enjeu de la validation, comme nous le verrons dans ce qui suit, n’en est pas
uniquement un de validation pour (se) convaincre (que la réponse est
vraisemblable), en ayant recours pour cela à une exemplification (à l’aide de
différents nombres) ou à un passage à l’algèbre qui permet de nous convaincre de
l’égalité peu importe le prix de départ ou les pourcentages associés au rabais et à la
taxe. Il en est surtout un de validation pour comprendre (pourquoi il en est ainsi).
C2 : OK, puis CP5, es-tu convaincu?
CP5 : Bien, j’en reviens pas. Je suis pas convaincu. Ça arrive à la même chose mais
je suis pas convaincu. J’essaie d’aller…vraiment j’ai un besoin d’aller comprendre
comme il faut les propriétés effectivement […]
C1 : C’est que là tu es convaincu parce que tu l’as essayé sur un montant d’argent,
n’est-ce pas?
CP5 : ouais
C1 : OK, puis là tu te demandes si pour d’autres montants d’argent..
CP5 : même pas
C2 : même pas?
CP5 : non
C1 : Tu es sûr que ça marche tout le temps?
CP5 : je suis sûr que ça va marcher tout le temps.
C1 : OK
CP5 : mais je veux comprendre pourquoi en fait. Je comprends intellectuellement la
propriété…c’est comme quelque chose…écoute ça traduit réellement comment j’ai
appris les maths dans mon enfance admettons. Théoriquement, la propriété elle est là
mais pas sûr…hein comme un petit doute pour dire « là il y a quelque chose qui est
là mais c’est pas…c’est pas intégré…ça vit pas »
CP4 : Ta tête est pas en accord avec ton ventre [rires].
CP5 : oui exactement, exactement.

CP1 : est-ce qu’on ne fait pas face à deux réactions à ce moment là. C’est se dire
comme toi « oui je le sais que ça marche avec tous les nombres, mais comment ça se
fait que ça marche ? Ou bien je ne suis pas sûre que ça marche avec tous les
nombres »
Se convaincre que cette réponse est vraisemblable mais surtout comprendre
pourquoi il en est ainsi, apparaît ainsi un enjeu fort de la modélisation associée à ce
problème, dans la mesure où la réponse obtenue est contre intuitive. On retrouve là
deux significations essentielles de la preuve mises en évidence dans les analyses
épistémologiques menées à son sujet à différentes époques : convaincre versus
éclairer (Barbin, 1987-1988).
Valider pour éclairer vient interroger le type de modèle qui permet d’entrer dans
une telle compréhension. Le recours à l’exemplification ou à la symbolisation
algébrique, ce que CP5 nomme une compréhension intellectuelle de la propriété, ne
suffit pas, ou du moins pas toujours, comme le montrent bien les propos
précédents.
Discussion
Quelques enjeux associés au pilotage d’un tel problème en classe peuvent être
anticipés à la lumière de ce qui précède : comment gérer l’emprise d’un contexte
réaliste dans une classe, levier possible à toutes sortes d’entrées non
nécessairement pertinentes sur le plan mathématique? Comment contrer l’intuition
dans l’exploitation du problème? Quels modèles peuvent aider à éclairer le
caractère vraisemblable de cette réponse contre-intuitive? Quels sont ces modèles
émergents développés par les élèves pour justifier le caractère vraisemblable de
cette réponse? Comment tirer partie de ces différents modèles dans le retour sur les
solutions des élèves?
Ces différents enjeux reviennent dans d’autres cas. L’emprise du contexte a ainsi
été soulignée par plusieurs recherches qui pointent que ce dernier peut constituer
un frein à la mise en place d’une activité mathématique (Perrin-Glorian, 1993,
Roiné, 2012). Aussi la question des relances face à des solutions des élèves,
notamment des solutions erronées, l’exploitation des solutions des élèves lors du
retour, au regard notamment de la validation, constituent des moments critiques
dans l’instauration d’une culture de modélisation dans la classe.
Ils posent, pour les CP, la question centrale de l’accompagnement des enseignants
autour de ces moments clés : comment accompagner des enseignants à piloter des
problèmes en classe pour que soient pris en compte ces enjeux et que se développe
une culture de modélisation chez les élèves?
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