Aprovechamiento didáctico del GeoGebra en ejercicios sobre tangencias de una esfera y un cono: dos ejemplos

Abstract

El aprovechamiento didáctico del GeoGebra en ejercicios de diferentes áreas de la matemática y de la geometría en particular es un tema actual, en este artículo se aborda la tangencia entre cuerpos, específicamente entre una esfera y un cono, atendiendo a dificultades diagnosticadas en su enseñanza y aprendizaje. Partiendo de dos ejercicios apropiados y variantes de estos, se ofrecen argumentos que muestran la conveniencia de la utilización didáctica de opciones que poseen versiones actuales del GeoGebra para el tratamiento de este tipo de ejercicios. Los ejemplos y argumentos mostrados han contribuido al perfeccionamiento de la enseñanza aprendizaje de la matemática y la superación de docentes de las educaciones media y superior.

Full text

Transformación,ISSN:2077‐2955,RNPS:2098,mayo‐agosto2018,14(2),226‐235 
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2018UniversidaddeCamagüey“IgnacioAgramonteLoynaz”,Cuba226
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AprovechamientodidácticodelGeoGebraenejerciciossobretangencias
deunaesferayuncono:dosejemplos
DidacticuseoftheGeoGebrainexercisesontangenciesofasphereandacone:two
examples

Dr.C.CarlosManuelHernándezHechavarría
carlosmhh@uo.edu.cu
M.Sc.TamaraAcostaGarrido
tacosta@uo.edu.cu
UniversidaddeOriente,Cuba

LosautoressonprofesoresdelaUniversidaddeOriente.HernándezHechevarríaesLicenciadoenMatemática,
MásterenCienciasdelaEducación,DoctorenCienciasPedagógicasyProfesorTitular.Poseeexperiencialaborale
investigativaenlaseducacionesPrimaria,MediaySuperior,laformaciónysuperacióndedocentes.Haparticipado
enproyectosdeinvestigaciónterritoriales,institucionales,asociadosaprogramasnacionalesenCubayotros
desarrolladosenMéxico.ActualmentedirigeelProyecto“Sistematizacióndeprocesosdeevaluacióny
mejoramientoeducativoenSantiagodeCuba”ylaboraenelCentrodeEstudiosPedagógicos“ManuelF.Grandela
UniversidaddeOriente.AcostaGarridoesLicenciadaenEducaciónenlaEspecialidaddeMatemáticay
Computación,MásterenNuevasTecnologíasparalaEducaciónyProfesoraAsistente.Poseeexperiencialaborale
investigativaenlaseducacionesMediaySuperior.ActualmenteparticipaenelProyecto"Sistematizaciónde
procesosdeevaluaciónymejoramientoeducativoenSantiagodeCuba"

RESUMEN
ElaprovechamientodidácticodelGeoGebraenejerciciosdediferentesáreasdelamatemáticaydelageometríaen
particularesuntemaactual,enesteartículoseabordalatangenciaentrecuerpos,específicamenteentreuna
esferayuncono,atendiendoadificultadesdiagnosticadasensuenseñanzayaprendizaje.Partiendodedos
ejerciciosapropiadosyvariantesdeestos,seofrecenargumentosquemuestranlaconvenienciadelautilización
didácticadeopcionesqueposeenversionesactualesdelGeoGebraparaeltratamientodeestetipodeejercicios.
Losejemplosyargumentosmostradoshancontribuidoalperfeccionamientodelaenseñanzaaprendizajedela
matemáticaylasuperacióndedocentesdelaseducacionesmediaysuperior.

Palabrasclave:didáctica,enseñanzadelamatemática,geometría,métodosdeenseñanza.

ABSTRACT
ThedidacticuseoftheGeoGebrainexercisesofdifferentareasofmathematicsandgeometry,inparticular,isa
currentissue.Thisarticleaimsatexplainingtheteachingofthetangencybetweenbodies,specificallybetweena
sphereandacone,attendingtodiagnosedteachingandlearningdifficulties.Itstartswiththepresentationoftwo
suitableexercisesandtheircorrespondingvariantstogiveargumentstoprovetheconvenienceofusingdidactic
optionssuggestedbythecurrentversionsoftheGeoGebra.Theexamplesandargumentsshownhavecontributed
totheimprovementoftheteachingofmathematicsandtheimprovementofteachersofsecondaryandhigher
education.

AprovechamientodidácticodelGeoGebraenejerciciossobretangenciasdeunaesferayuncono
Transformación,ISSN:2077‐2955,RNPS:2098,mayo‐agosto2018,14(2),226‐235
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Keywords:Didactics,mathematicsinstruction,geometry,teachingmethods,teachingmethods
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
Endiversosinformesdeinvestigaciónpuedeconstatarselapersistenciadedificultadesenlaenseñanza
aprendizajedelamatemáticayaccionesdesarrolladasparacontribuiraerradicarlas,porejemplo,enel
cursoExperienciasdeavanzadaenlamejoraescolardesdelaevaluacióneducativa(Torres,yotros,
2013)seexponenaccionesdemejora,derivadasdeestudiosdeinvestigaciónrealizadosdesdela
perspectivadelaevaluacióneducativaquecontemplanlamatemáticaylageometríaenparticular.
Aunquelacomunidadcientíficareconocelasventajasqueofrecenlossoftwaresdematemáticadinámica
paralaenseñanzaaprendizajedelamatemática,existeninstitutosGeoGebraendistintospaíses,
proyectosydocentesconvaliosasexperienciasypropuestas,asícomodemandasepistemológicasy
didácticasparalamejorutilizacióndedichosoftware.AcertadamenteCarrillodeAlbornozafirmóque
“pordiversasrazonesGeoGebraseestáconvirtiendoenunrecursoTICcasiimprescindibleenelaula.A
lasposibilidadesqueofrece,hayqueañadirsusencillezparacomenzarautilizarloysobretodosu
continuodesarrollo,quehacenqueencadaunadelasnuevasversionesqueaparecen,ofrezcanuevas
opcionesquehacenaumentaraúnmássupotenciayeficacia”(2013,pág.1).
Enlaprácticaescolarpuedenencontrarsemúltiplesdificultades,entreotras:centrosescolaresdondeno
seconocelaexistenciayutilizacióndealgunodeéstos,docentesconconocimientosmuyescasosdel
softwarey,docentesquedominanenalgunamedidaelsoftware,peroconpésimautilizacióndidáctica.
EntrelostrabajosquereflejanlosaspectosplanteadosanteriormenteestánlosdeGutiérrezyJaime
(2015),Hernández(2017),JiménezyJiménez(2017).
Asuvezseapreciaelreconocimientodeventajasdeestesoftwarepordocentesenformaciónen
distintospaíses,porejemploenSánchez(2016),asícomoenTrianayMoreno(2013).Loantesexpuesto
permitecomprenderlanecesidadderealizarinvestigacionesyaportacionesquecontribuyanaresolver
problemasexistentes.Elpropósitofundamentaldeesteartículoesmostrarelaprovechamiento
didácticodealgunasopcionesqueposeenversionesrecientesdelGeoGebra,comola5.0.192.0‐3Dde
2016y5.0.412.0‐dde2017,paraeltratamientodeejerciciosqueinvolucrentangenciasentrecuerpos,
particularmenteentreelconoylaesfera.Elcumplimientodeestepropósitocontribuyeal
perfeccionamientodelaenseñanzadecontenidosgeométricosasociadosaladeterminacióndepuntos
detangenciayque,engeneral,sonimportantesenlaseducacionesmediaysuperior.
Métodos
Losresultadosqueseexponenenesteartículoemanandeinvestigacionesdesarrolladasporelautor
sobrelaestimulaciónydesarrollodelacreatividadmatemáticaenlosescolares,matemáticadinámicay
elenfoqueinvestigativo,enlascualesseaplicaronvariadosmétodosteóricosyempíricos.Parala
obtencióndeinformaciónacercadelaprovechamientodidácticodelGeoGebraseelaboraron
instrumentosparafuentesorales,escritasyvisuales.

HernándezyAcosta
Transformación,ISSN:2077‐2955,RNPS:2098,mayo‐agosto2018,14(2),226‐235
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Losresultadosdeencuestasyentrevistas,delarevisióndetesisdoctorales,demaestríayartículos
científicosyplanesdeclase,laobservacióndeclasesypreparacionesmetodológicasevidenciaron
múltiplesdificultades,entreellaseldeficienteaprovechamientodidácticodelGeoGebra,ydeaquíla
necesidaddeelaborarysocializarejemplosconelempleodeversionesrecientesdelGeoGebrareferidas
enlasecciónanterior.
Paramostrarelaprovechamientodidácticodelsoftwarefueronelaboradosejerciciosysolucionesque
respondieranadificultadesdiagnosticadasenescolaresdelaseducacionesmediaysuperior,docentes
enformaciónyotros.
ResultadosyDiscusión
ElGeoGebraesunaherramientapoderosaparalaresolucióndeejerciciosyproblemasquemerece
estudiosparasuutilizacióncondiversosfinesdidácticos,entreotros,paralasistematizacióny
profundización,laracionalidaddelasvíasdesolución,laestimulaciónydesarrollodelacreatividad;en
estesentidoresultanimportanteslasexigenciasdelosejercicios,elaprovechamientodinámicodelas
vistas2Dy3Dparabúsquedaydesarrollodevíasdesoluciónylautilizaciónconvenientedeopciones
constructivasqueofreceelsoftware.
Aunquenoespropósitoenesteartículoabordarexplícitamenteyconprofundidadtodoslosaspectos
antesmencionados,losejercicios,solucionesyconsideracionesdidácticasreflejanindicadorescardinales
yejemplosparaelaprovechamientodidácticodepotencialidadesdelGeoGebraconesosfines.Las
particularidadesovariantesdelosejerciciosencuantoasuformulaciónysoluciónconasistenciadel
software,demandanlarealizacióndeanálisiseinferenciasdidácticasdelosaspectosanteriores
atendiendoaparticularidadesdelosescolaresylosprocedimientoslógicosqueutilizan,esdecir,parasu
mejorintroducciónenlaprácticaescolarpuedenserobjetodenuevosabordajesdesdediferentes
aristas.
LaampliavariedaddeopcionesdelGeoGebra,suenriquecimientoyperfeccionamientosistemático,
impideunabordajeexhaustivoytotalizadorenunsoloartículo,muchomenossisepretendeunalto
niveldeprofundidad;noobstante,esposibleilustrarcómoemplearlosenladocencia.Losejemplosque
sepresentaráncorrespondenaunodelostiposdeejerciciosgeométricosconcaracterísticasdinámicas
atendiendoalospuntosoelementosdelafiguraquegeneranladinámica.
ElreferidotipodeejercicioconasistenciadelGeoGebrasedefinecomoejerciciogeométricode
construcciónconexigenciasdinámicasrespectoaunacantidaddeterminadadepuntosquegeneran
dichadinámicaylosefectosquegeneraenunoovarioselementosesencialesdelasfigurasocuerpos
referidosenelenunciadodelejercicio.Dentrodeestetipodeejercicioesposiblehacerdistincioneso
sub‐clasificacionesatendiendoalaexistenciadefiguras,cuerposuotrosobjetosgeométricosfijosoque
tienenunavariaciónlimitadaconrespectoaunoovarioselementos.
Ejercicio1.ConstruyeconasistenciadelGeoGebraunaesferatangenteinteriormenteaunconocuya
baseseencuentreenelplanoXY.Eldinamismodelafiguradebeobtenersesolamenteapartirdedos
puntos(AyB),AparavariarelradiodelabasedelconoyBlaalturadelcono.

AprovechamientodidácticodelGeoGebraenejerciciossobretangenciasdeunaesferayuncono
Transformación,ISSN:2077‐2955,RNPS:2098,mayo‐agosto2018,14(2),226‐235
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Comopuedeapreciarse,elejerciciopuedeclasificarsecomogeométricodeconstrucciónconexigencias
dinámicasrespectoaunacantidaddeterminadadepuntosquegenerandichadinámica,enestecasodos
puntos,quealudenalatransformacióndedoselementosesencialesdeunodeloscuerposreferidosen
elenunciado,elcono;peroqueevidentementegenerantransformacionesenelotro,laesfera,para
cumplirconlaexigenciadetangenciaentreellos.
Mediantelasoluciónquesepresentaenlatabla1ylastresprimerasfigurasseilustrael
aprovechamientodinámicodelasvistas2Dy3Dparabúsquedaydesarrollodevíasdesoluciónyla
utilizaciónconvenienteopcionesconstructivasqueofreceelGeoGebra,enespecialconocidoelvértice,
elcentroyradiodelacircunferenciabasedelcono
ºNombreDescripciónValor
1PuntoA(2,0,0)PuntosobreEjeXA=(2,0,0)
2PuntoA'(‐2,0,0)SimétricodeAporEjeYA'=(‐2,0,0)
3PuntoB(0,0,4)PuntosobreEjeZB=(0,0,4)
4PlanoaPlanoquepasaporA,A',Ba:y=0
5TriánguloTtiángAABPolígonoA,A',BTtiángAAB=8
5SegmentobSegmento[A,A']b=4
5Segmentoa1Segmento[A',B]deTriángulo
TtiángAAB
a1=4.47
5Segmentoa'Segmento[B,A]deTriángulo
TtiángAAB
a'=4.47
6RectacBisectrizdeA',A,Bc:X=(2,0,0)+λ(‐1.45,0,0.89)
7PuntoC(0,0,1.24)Puntodeinterseccióndec,EjeZC=(0,0,1.24)
8RectadRectadelespacioquepasaporC
intersecandoperpendicularmente
aa'
d:X=(0,0,1.24)+λ(‐0.89,0,‐0.45)
9PuntoD(1.11,0,1.79)Puntodeintersecciónded,a'D=(1.11,0,1.79)
10EsferaeEsferaatravésdeDconcentroen
C
e:x²+y²+(z‐1.24)²=1.53
11PuntoE(0,0,0)PuntodeinterseccióndeEjeZ,EjeY E=(0,0,0)
12ConofCono(E,B,Distancia(E,A))f:16.76
12SuperficiehCono(E,B,Distancia(E,A))h:28.1
12CircunferenciagCono(E,B,Distancia(E,A))g:X=(0,0,0)+(2cos(t),‐2sin(t),0)
Tabla1.Protocolodeconstrucciónejercicio1
Enelanálisisdeldesarrollodeestavíadesoluciónporlosalumnostienesentidopreguntarse¿porqué
trazaronelplanoquepasaporA,A',Bconestaopción,¿porquénoconsideraronsuficienteeltrazado
deltriángulodeterminadoporestospuntos,sabiendoqueestánenelplanoquelocontiene?,¿porqué
noconsideraronsuficienteeltriánguloBEAyaplicaronconocimientospensandoenelconocomocuerpo

HernándezyAcosta
Transformación,ISSN:2077‐2955,RNPS:2098,mayo‐agosto2018,14(2),226‐235
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derevolución,considerandoalejeZoalladoBEcomoejederotación?Noexisteunaúnicarespuesta
posible,pueslasfasesopasosconstructivospuedenobedeceradistintasrazones,entreotras,asus
conocimientosyhabilidadesmatemáticasgeneralesyparalautilizacióndelsoftware,porejemplo:
 TrazarelplanoporA,A',Bporquepensóprimeramenteenlainterseccióndeeseplanoconel
conoylacircunferenciadescrita,enestecasonoconsideróestoscuerposapartirde
revolucionesorotacionessobreunejedeterminado,esdecir,noutilizóotravíaporqueconesta
dabarespuestaalasexigenciasdelproblema.
 Porqueconsideraronqueunpuntomás,comoA´,queesfijoyseobtienedemaneramuyrápida,
noafectalaracionalidadoesenciadelavía.
 PorqueconsideraronqueeltrazadodeltriánguloAA'Bsimplificalavisualizacióndelcono.
 Noutilizaronconocimientospensandoenelconocomocuerpoderevoluciónpor
desconocimiento.
Lasrazonesantesexpuestaspermiteninferirlanecesidaddequeeldocenterealiceundiagnósticoy
trabajodiferenciadoconlosescolaresyreflexionesobreelaprovechamientodealgúnsoftware
apropiadoquefacilitenelprocesodeenseñanzaaprendizaje;conrespectoalGeoGebra,nóteselas
ventajasdelprotocolodeconstrucciónparaestudiarvistasgráficas,sobretodoporqueendeterminadas
posiciones,comolasquesemuestranenlasfiguras1y2noseobservanclaramentedeterminadas
letrasuobjetos,noobstanteestadificultaddesaparececonlautilizacióndelficheroGeoGebrapuesse
cambianlasposicionesyseobservaademásladinámica.

Figura1.Posicionesfavorablesparaidentificarradiodelacircunferenciaytrazarcono


AprovechamientodidácticodelGeoGebraenejerciciossobretangenciasdeunaesferayuncono
Transformación,ISSN:2077‐2955,RNPS:2098,mayo‐agosto2018,14(2),226‐235
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
Figura2.Dosvistasdelaconstrucción
Lafigura3muestralaconstrucciónrealizadaocultandoalgunosobjetosaloscuálesnosehace
referenciaenelenunciadodelejercicio,talescomo:rectasyeltriánguloAA´B,elplanoquepasapor
estospuntos,esdecirelplanoy=0,lospuntosA´yE.Además,seoculta,enlavista3D,elplanoXYque
esunobjetoreferidoenelenunciado,conelpropósitodedirigirlaatenciónarelacionesentreelconoy
laesfera;tambiénparapromoverlautilizaciónsimultáneadeestavista3Dconlavistagráfica(que
puedeactivarsedesdeelficheroGeoGebra)quemuestrasolamentelacircunferenciabasedelconoenel
planoXY.Seilustraelefectodelcambiodecolordelabasedelcono,enestecaso,elcontrasteentrela
superficielateralylabase.
Loantesexpuestoreflejaposibilidades,convenienciasypropósitosdelocultamientodeobjetosen
construccionesgeométricasconasistenciadelGeoGebrasinafectarobservacionesyrelaciones
dinámicasesencialeso,afectándolasconvistasapromoverlacreatividaddelosescolaresuotrosfines
didácticos,tambiénelusodecoloresparadistinguirpartesdeobjetosgeométricos.
Figura3.Sinmostrarrectas,planos,puntosy,resaltandocontrastedecolores
Lavíaanteriordenotaracionalidadconrespectoaotrasyundeterminadoordenconstructivorespectoa
loscuerposinvolucrados,noobstante,lacantidaddevariantesdesoluciónrespectoaestosyotros
aspectosesgrande;porejemplo,laquesepresentamedianteelprotocolodeconstrucciónenlatabla2,
sedesarrollaconmenornúmerodepuntosypasos,ademásconstruyeprimeroelcono.Cabedestacar
queenlaprimeravía,aunquesetrazaprimerolaesfera,sereflejanconsideracionespreviasdelcono,es
decirintegraaspectosconceptualesyprocedimentalesparalaconstruccióndeamboscuerpos
independientementedelordenenqueaparecen.
nºNombreDescripciónValor
1PuntoA(2,0,0)PuntosobreEjeXA=(2,0,0)
2PuntoB(0,0,2)PuntosobreEjeZB=(0,0,2)
3PuntoC(0,0,0)InterseccióndeEjeY,EjeXC=(0,0,0)
4ConoaCono(C,B,Distancia(C,A))a:8.38
4SuperficiebCono(C,B,Distancia(C,A))b:17.77
4CircunferenciacCono(C,B,Distancia(C,A))c:X=(0,0,0)+(2cos(t),‐2sin(t),0)
5RectadBisectrizdeB,A,Cd:X=(2,0,0)+λ(‐1.71,0,0.71)

HernándezyAcosta
Transformación,ISSN:2077‐2955,RNPS:2098,mayo‐agosto2018,14(2),226‐235
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6PuntoD(0,0,0.83)Puntodeintersecciónded,EjeZD=(0,0,0.83)
7EsferaeEsferaatravésdeCconcentroenDe:x²+y²+(z‐0.83)²=0.69
Tabla2.Protocolodelasegundasolución
Aunquelasvíasanteriorestienendiferencias,presentanalgunasideascomunesasociadasaltrazadode
labisectrizparadeterminarelcentrodelaesfera,tambiéncabedestacarque,aunquesesitúanpor
comodidadlospuntosAyBsobrelosejesdecoordenadasnoresultadifícilsituarlosenotrasposiciones,
porejemploelpuntoAenunpuntocualquieradelplanosincambiarelprocedimientoperonoesuna
exigenciadelejercicio;noobstanteesconvenientequeeldocentevalorelanecesidaddeabordareste
detalleenotrosejerciciosopromoverdichoanálisisentrelosescolares.
Laposibilidaddequeelprofesorpuedaplantearnuevasinterrogantesyactividadesinvestigativas
escolaresapartirdelassolucionesqueestosgeneranopuedengenerarseconasistenciadelGeoGebra
esotroaspectoquemereceatencióndidáctica.Porejemplo,sobreesteejerciciopudieranpromoverse
indagacionessobrerelacionesentrelasproyeccionesdelaesferayelconosobreelplanoXYalvariar
unodelospuntosAyB;tambiénplantearseincisossobrelabúsquedadeunoovarioscasosparticulares,
dentrodelosinfinitos,quegeneralaconstruccióndinámica,porejemplo,enesteejercicio,paraqueel
áreadelaproyeccióndelaesferasobreelplanoXYsealamitaddelaproyeccióndelcono.
Enestesentidoresultamuyprovechosolautilizaciónsimultáneadelasvistas2Dy3Dylaposibilidadde
rotarlavistagráfica3Dparaunamejorvisualizacióndepuntos,elementosdefigurasocuerpos,
observarlatendenciadecrecimientodeproyeccionesyotroselementosparalabúsquedadeideasde
soluciónqueluegodebenjustificarse,tambiénparaqueeldocenteatiendaerroresconceptualesy
procedimentalesdelosescolares.
Acontinuaciónsepresenta,amaneradeejemplo,unejercicioyunasoluciónquesedistinguedel
primeroporalgunosconocimientosinvolucrados.
Ejercicio2.ConstruyeconasistenciadelGeoGebraunaesferacuyaintersecciónconelplanoYZseala
basedeunconocuyasgeneratricesseantangentesaesta(alacircunferencia);elánguloentrelaaltura
delconoysusgeneratricesde30grados.Eldinamismodelafiguradebeobtenersesolamenteapartirun
puntoAsobreelejeX.
Laconstrucciónrealizadasemuestraenlafigura4ysuprotocolodeconstrucciónenlatablaenlatabla
3.


Figura4.

AprovechamientodidácticodelGeoGebraenejerciciossobretangenciasdeunaesferayuncono
Transformación,ISSN:2077‐2955,RNPS:2098,mayo‐agosto2018,14(2),226‐235
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233
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nºNombreDefiniciónValor
1PuntoAPuntosobreEjeXA=(1,0)
2PuntoA'SimétricodeAporEjeYA'=(‐1,0)
3PuntoA'1HomoteciadeA,defactor2desdeA'A'1=(3,0)
4CircunferenciacCircunferenciaquepasaporAconcentroA'c:(x+1)²+y²=4
5RectaaTangenteacquepasaporA'1a:‐1.73x‐3y=‐5.2
5RectabTangenteacquepasaporA'1b:1.73x‐3y=5.2
6PuntoBPuntodeinterseccióndec,aB=(0,1.73)
7PuntoCPuntodeinterseccióndeEjeZ,EjeXC=(0,0,0)
8EsferadEsferaatravésdeBconcentroenA'd:(x+1)²+y²+z²=4
9ConoeCono[C,A'1,Distancia[C,B]]e:9.42
9SuperficiegLateral[e]g:18.85
9CircunferenciafExtremos[e]f:X=(0,0,0)+(0,1.73cos(t),
‐1.73sin(t))
10PlanohPlanoquepasaporByesperpendicularaEjeX h:x=0
Tabla3.Protocolodeconstrucciónejercicio2
Aunque,porrazonesdeextensión,noseabordaconprofundidadestesegundoejercicioyofrecen
variantesdidácticasencuantoalaformulaciónysolución,esfácilnotaralgunasdiferenciasentreestey
elprimero,porejemplo,lasexigenciasreferidasalatangenciayángulosenlaformulaciónylautilización
delahomoteciaenlavíadesolución.
Quedanpendientesdiversosaspectosdidácticos,porejemplo,siesposibleyconvenienteplantear
exigenciasconstructivasconrespectoaltipodecono(recto,oblicuoogeneral)ylosplanos,revelarel
aprovechamientodidácticodelprotocolodeconstrucciónparaeldiagnóstico,evaluación,estimulación
paralautilizacióndedeterminadoscontenidosyotrospropósitos.
Losejemplosyargumentosmostradosformanpartedeunampliotrabajodesarrolladoconvistasal
perfeccionamientodelaenseñanzaaprendizajedelamatemáticaylasuperacióndedocentesdelas
educacionesmediaysuperiorvinculadosalproyecto“Sistematizacióndeprocesosdeevaluacióny
mejoramientoeducativoenSantiagodeCuba”,fueronutilizadosenuncursoimpartidoaestudiantesde
primerañodeArquitecturadelaUniversidaddeOrienteenelprimersemestredelcursoescolar2017‐
2018yprevistosparaeldesarrollodelcursooptativo/electivocentralizado“Matemáticaconasistencia
delGeoGebra”.
Lasopinionesdelosescolaresydocentesrespectoalosejemplos,argumentosyelsoftwareutilizado
fueronsatisfactorias,porejemploenlosescolaresfueronopinionestalescomo“…permitieronobtener
nuevosconocimientos”,y“ofrecenprocedimientosdesolución”;mientrasquelosdocentesreferíanque
“esunaherramientapoderosaparalaenseñanza”,“sonejemplosmuyinteresantes”,“seríabueno

HernándezyAcosta
Transformación,ISSN:2077‐2955,RNPS:2098,mayo‐agosto2018,14(2),226‐235
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234

socializarotros”,“sonejerciciosdiferentesalosqueproponemosenclases”y“lasconsideraciones
didácticassonmuynecesarias”.
Conclusiones
Losejercicios,solucionesyargumentosexpuestosrevelanelaprovechamientodidácticodeopcionesque
poseenversionesrecientesdelGeoGebraparaeltratamientodeejerciciosqueinvolucrentangencias
entrecuerpos,particularmenteentreelconoylaesfera;deestamanerasecontribuyeal
perfeccionamientodelaenseñanzadecontenidosgeométricosenlaseducacionesmediaysuperior.Las
variadasopcionesejemplificadasparalaformulaciónysolucióndeejerciciosconasistenciadelsoftware
reflejansuutilidadparalaatencióndiferenciadaalosescolaresencorrespondenciaconsus
conocimientosprevios,necesidades,potencialidades,iniciativasycreatividadensentidogeneral,es
decir,noselimitanalautilizaciónmecánicadelsoftwarenialosobjetivosbásicosdeunprogramaque
seránobjetodelosexámenesformales.

Recibido:enero2018
Aprobado:marzo2018
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Copyright©Transformación/(CCBY‐NC‐SA4.0)
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