L'algorithmique au lycée entre développement de savoirs spécifiques et usage dans différents domaines mathématiques
Abstract
Les nouveaux programmes des lycées français, mis en place depuis la rentrée 2010, ont fixé des objectifs précis en matière d’algorithmique. A la lecture de ces programmes, l’enseignement de l’algorithmique apparaît comme outil (au sens de Douady, 1986) pour donner sens à un certain nombre de notions étudiées. Comment dépasser ce stade pour que l’algorithmique devienne objet d’apprentissage (au sens de Douady, 1986) ? Le travail de recherche se situe dans le cadre d’apprentissages de connaissances sur les algorithmes en mathématiques dans l’enseignement au niveau des classes de Seconde et du Cycle Terminal Scientifique du lycée. L’étude et la construction d’algorithmes par les élèves sont situées dans un cadre plus général de raisonnement et de preuve, mais aussi de démarches de modélisation en mathématiques. Il s’agit d’étudier l’effectivité de tels enseignements dans le cadre institutionnel français du point de vue des apprentissages effectivement réalisés par les élèves et des pratiques des enseignants, et d’en inférer des résultats plus généraux sur le raisonnement mathématique dans certains domaines spécifiques, pour les classes du lycée. Le travail de recherche entrepris privilégie la place occupée par les algorithmes dans l’enseignement des mathématiques et propose un cadre théorique tenant compte des cadres généraux de la didactique des mathématiques, en particulier les Espaces de Travail Mathématique (ETM) (Kuzniak, Richard, 2014) associés à des domaines mathématiques spécifiques. Plus particulièrement, poursuivant la spécification d’un modèle Espaces de Travail Algorithmique (ETA) (Laval, 2014, 2016), nous précisons ce que peuvent être les plans épistémologique et cognitif dans ces espaces en mettant l’accent sur leurs interactions liées aux genèses sémiotique, instrumentale et discursive auxquelles ces plans donnent lieu. Nous étudions aussi quels espaces personnels peuvent se construire chez les élèves des différents niveaux scolaires du lycée, et comment ils articulent des connaissances sur les algorithmes et les domaines mathématiques scolaires. Les modèles des ETM/ETA sont consacrés à l’analyse du travail mathématique dans des domaines mathématiques spécifiques avec, en particulier, des paradigmes guidant et orientant le travail des élèves. De plus, partant du fait que peu d’études sur des tâches de modélisation ont été basées sur les modèles ETM/ETA, nous affinons certaines de nos analyses dans le cadre des ETM/ETA sur la base du cycle de modélisation proposé par Blum et Leiss (2005) en relation avec certains domaines spécifiques des mathématiques. Pour cela, nous construisons plusieurs ingénieries didactiques mettant en place des expérimentations dans trois domaines mathématiques : (1) la théorie élémentaire des nombres ; (2) l’analyse ; (3) les probabilités et les simulations aléatoires. Ces ingénieries sont expérimentées et analysées dans les trois niveaux du lycée français : seconde et cycle terminal scientifique. Notre travail de recherche comporte des outils d’analyse de tâches et d’activités dans différents domaines mathématiques. La méthodologie employée permet d’obtenir des données globales et d’observer finement les activités des élèves en classe et les pratiques des enseignants
... Plus spécifiquement, à partir de 2000, l'arithmétique, introduite dans cadre des programmes de l'enseignement de spécialité des mathématiques de la Terminale Scientifique, favorise l'introduction de tâches en lien avec l'utilisation d'éléments informatiques (Laval, 2018). Cependant, le constat est le fait que « l'enseignement veut attacher des notions de base de l'informatique (comme boucle, test, structure de données) à des domaines des mathématiques, comme l'analyse, la statistique et récemment l'arithmétique, sans que la notion d'algorithme soit objet d'enseignement » (Bessot et al., 2006). ...
... Cependant, le constat est le fait que « l'enseignement veut attacher des notions de base de l'informatique (comme boucle, test, structure de données) à des domaines des mathématiques, comme l'analyse, la statistique et récemment l'arithmétique, sans que la notion d'algorithme soit objet d'enseignement » (Bessot et al., 2006). Par ailleurs, au cours de la première décennie des années 2000, les élèves utilisent « des algorithmes sans que pour autant un enseignement explicite et institutionnalisé de l'algorithmique trouve sa place dans le système éducatif tout au long de cette décennie » (Laval, 2018). Les programmes scolaires de cette époque ne proposent aucune spécificité de l'algorithmique et de la programmation dans l'enseignement des mathématiques. ...
... Pour cette étude qui porte sur les mathématiques au lycée, nous partons de l'hypothèse (Laval, 2018) que la mise en oeuvre d'algorithmes dans des domaines spécifiques et leur implémentation dans des environnements numériques afin de les tester, vont permettre à l'élève d'acquérir une pensée algorithmique (Knuth, 1968(Knuth, , 2011, celle de l'informatique, en complément à une pensée mathématique. ...
... (Modeste, 2012, p. 25). Laval (2018) cited an example of an algorithm: the sorting algorithm. This does not solve the problem of sorting a particular dataset but aims to sort any dataset. ...
... When talking about the concept of algorithm, it is also relevant to mention a closely related concept: algorithmics. Laval (2018) defines algorithmics as: «The set of rules and techniques involved in defining and designing systematic processes for solving a mathematical problem, making it possible to describe precisely the steps needed to solve this problem using an algorithmic approach. Algorithms are therefore the science of algorithms. ...
This article is interested in the teaching and learning of the notions recurrent algorithm and recursion in the 4thyear secondary school class, computer science section. Our main aim is to identify the difficulties and obstacles encountered by students when introducing these concepts in computer science classes. This work has enabled us to obtain several results, the most important of which relate to the complexity of these concepts, the fundamental link between algorithms and mathematical problem solving never being clearly explained in the new Computer Science curricula and the wide variety of formulations and limited understanding of the treatment of recurrent algorithms.
... Or l'analyse ci-dessus laisse percevoir un objet riche avec un potentiel fort d'enrichissement de l'activité mathématique. (p.37) Dans la lignée de Modeste (2012), Briant (2013) et Laval (2018, nous souhaitons prendre en compte cette dialectique objet/outil, au sens de Douady (1986), ce qui suppose de prendre en compte le fait qu'« un algorithme n'est pas uniquement un outil pour la résolution de problèmes mais c'est aussi un objet mathématique à part entière » (Modeste, Gravier et Ouvrier-Buffet, 2010, p. 52) ...
... On constate, aussi bien en France (Laval, 2018), qu'au Québec (Barma, 2020), une volonté institutionnelle de nier l'importance de la dualité objet/outil de l'algorithmique et de réduire son enseignement à un outil pour la résolution de problèmes ou la construction de connaissances mathématiques. Or les enjeux didactiques dans l'enseignement de l'algorithmique sont multiples et rendent impossible la réduction d'un algorithme à un artefact favorisant la médiation entre les élèves et les concepts mathématiques. ...
Prendre en compte les enjeux algorithmiques. Résumé : Nous présentons une réflexion sur le rôle à donner à l'algorithmique dans la formation initiale des enseignants de mathématiques au secondaire au Québec, dans un contexte où l'algorithmique n'est pas inscrite dans les programmes officiels du secondaire. Ancré à la fois en didactique des mathématiques et en didactique de l'informatique, notre travail cherche à prendre en compte les enjeux didactiques algorithmiques et mathématiques dans l'utilisation d'activités de programmation informatique pour des futurs enseignants en formation initiale à la fois en didactique et en mathématiques. Il s'agit de préserver la richesse intrinsèque de l'activité algorithmique, au carrefour des sciences informatiques et mathématiques, tout en répondant à la volonté institutionnelle québécoise d'intégrer la programmation informatique à l'école dans une vison très instrumentale et transversale. Le cadre théorique de l'approche instrumentale nous permet d'aborder les liens possibles entre activité algorithmique et activité mathématique dans la conception de ressources algorithmiques pour l'enseignement des mathématiques. Mots-clés : algorithmique, programmation informatique, formation initiale, enseignement des mathématiques au secondaire, genèse instrumentale. La programmation informatique au Québec Au Québec, suivant une dynamique internationale, l'apprentissage de la programmation informatique à l'école prend de l'expansion. Le plan d'action numérique en éducation et en enseignement supérieur (MEES, 2020) prévoit le développement de l'usage pédagogique de la programmation dans les écoles. Barma et al. (2018), dans un rapport visant à proposer des actions optimales à poser pour favoriser l'usage pédagogique de la programmation informatique dans les écoles du Québec, recommandent que la programmation informatique soit ajoutée au curriculum québécois comme une nouvelle compétence transversale en lien avec la pensée informatique. L'algorithmique n'est donc pas considérée comme un domaine d'étude à part entière. De fait, elle n'est envisagée que de façon implicite pour sous-tendre une compétence prenant ancrage dans plusieurs compétences disciplinaires, en mathématiques,
... All sessions were audio-recorded and the students' written work was collected. A detailed report can be found in the second author's thesis (Laval, 2018). 18 Our aim is to answer RQ2 through an a posteriori interpretation of students' work. ...
... The 11 th graders had to be prepared for part 2 by completing part 1. Similarly, 12 th graders completed parts 1 and 2 in preparation for part 3(Laval, 2018). We do not report here on this preparation. ...
Programming-based activities are becoming more widespread in curricula. Our theoretical and empirical investigation seeks to identify appropriate ways to connect computer programming and algorithmics to mathematical learning. We take the intermediate value theorem as our starting point, as it is covered by the French school curriculum, and because of its links with the bisection algorithm. We build upon the theory of mathematical working spaces, distinguishing between algorithmic and mathematical working spaces. Both working spaces are explored from the semiotic, instrumental, and discursive dimensions that support learning. Our two research questions focus on the suitable algorithmic and mathematical working spaces in which students develop an understanding of the intermediate value theorem, and the bisection algorithm. Our method starts at the reference level, with an epistemological and curricular analysis. Then, a series of tasks is designed for students working in adidacticity, and suitable working spaces are determined a priori. The tasks have been implemented in French classrooms with students aged 16–19. An analysis of their work supports an a posteriori examination of the working spaces. Our findings demonstrate that the students were able to make connections between algorithmics and mathematics in each of the three dimensions, semiotic, instrumental, and discursive, and point out the interplay between these dimensions.
... The 11 th graders had to be prepared for part 2 by completing part 1. Similarly, 12 th graders completed parts 1 and 2 in preparation for part 3(Laval, 2018). We do not report here on this preparation. ...
... Availability of data Data that support the findings of this study are available in Laval (2018) on the repository https://tel.archivesouvertes.fr/ with the identifier tel-01943971 ...
This is the authors' preprint. The paper is published by Educational Studies in Mathematics DOI 10.1007/s10649-022-10192-y
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... En particulier, plusieurs thèses au cours des dernières années ont étudié les apports d'une approche basée sur l'algorithmique et la programmation pour l'enseignement des mathématiques au lycée. Entre autres nous citons les travaux de Modeste [2012], qui a étudié les apports de l'algorithmique pour l'apprentissage de la preuve, Laval [2018], qui a analysé le passage de l'algorithme vu comme outil à l'algorithme en tant qu'objet d'apprentissage au secondaire et Briant [2013], qui cherche à comprendre les effets d'une approche algorithmique pour l'enseignement de l'algèbre au secondaire. ...
... Une autre thèse qui a traité cette thématique est celle de Dominique Laval [Laval, 2018]. En se basant sur le cadre des Espaces de Travail Mathématique (ETM) [Kuzniak et Richard, 2014] Quant à la recherche de Michèle Couderette, elle s'intéresse de l'introduction d'un enseignement de l'algorithmique au sein du cours de mathématique qui a eu lieu au lycée en 2009. ...
L’objectif de notre thèse est de contribuer à l’étude des conditions de viabilité d’une approche basée sur l’algorithmique et la programmation pour l’enseignement et l’apprentissage de notions mathématiques à l’école primaire. Pour cela, nous considérons une séquence d’enseignement portant sur le sens de la division euclidienne, conçue par les chercheurs du projet EXPIRE dans l’environnement de programmation Scratch. Trois axes de recherche sont explorés : 1) la modélisation didactique des savoirs impliqués dans la séquence ; 2) l’étude de la viabilité de la séquence au sein du curriculum de l'école primaire française ; 3) l’étude des conditions et des contraintes qui pèsent sur la transposition didactique interne de la séquence dans le cadre d’une approche écologique.Nous nous inscrivons dans la Théorie Anthropologique du Didactique et, plus spécifiquement, nous exploitons la formalisation du modèle praxéologique issue de T4TEL. En ce qui concerne le premier axe de recherche, à l’aide d’une Organisation Mathématique de Référence, nous construisons un modèle des savoirs qui met en lumière certaines caractéristiques des praxéologies impliquées, censées être problématiques pour la transposition didactique des savoirs en jeu. Nous abordons le deuxième axe à travers une étude statistique de productions d’élèves recueillies avant et après la mise en œuvre de la séquence. Cette étude a impliqué environ 2500 élèves de niveau CM1/CM2 lors de l’année scolaire 2017/2018. Finalement, en réponse au troisième axe, nous présentons les résultats d’une analyse des praxéologies didactiques réalisées par cinq enseignants lors de la transposition didactique interne de la séquence dans leurs classes pour faire émerger et institutionnaliser les connaissances mathématiques visées.Les résultats nous suggèrent qu’une approche ayant les caractéristiques étudiées répond à la demande institutionnelle des programmes scolaires de 2016 d’introduire une « initiation à la programmation » au cycle 3 sans impacter l’écologie du système scolaire. Les conditions de viabilité relevées dans cette étude portent sur la nécessité pour les enseignants d’exploiter les caractéristiques d’une telle approche en réalisant des tâches de verbalisation et de décontextualisation lors du processus de transposition didactique interne.
... Mettre ainsi la pensée algébrique au service du développement de la pensée algorithmique demande cependant de reconnaître à l'algorithme une place d'objet de savoir à part entière, et de prendre en compte la dialectique objet/outil, au sens de Douady (1986), qui en découle. Il s'agit alors, dans la lignée de Modeste (2012b), Briant (2013) et Laval (2018 de prendre en compte le fait qu'« un algorithme n'est pas uniquement un outil pour la résolution de problèmes mais c'est aussi un objet mathématique à part entière » (Modeste, Gravier et Ouvrier-Buffet, 2010, p. 52) ...
Les filiations communes entre l'algèbre et l'algorithmique nous permettent de définir pensée algébrique et pensée algorithmique de façon similaires. Toutefois, des disparités se dessinent notamment autour des formes et des usages pris par les objets étudiés. Une analyse didactique de deux versions d'une même tâche exploitée en formation des maîtres, respectivement en didactique de l'algèbre et en programmation informatique, nous permet de mieux comprendre ces deux modes de pensée. Mots-clefs : Pensée algébrique, pensée algorithmique, programmation informatique Abstract-Starting from the common ancestry between algebra and algorithmics, we similarly define algebraic thinking and algorithmic thinking. However, disparities appear, especially in the forms and uses of the objects studied. A didactic analysis of two versions of the same task used in teacher training, respectively algebra didactics and computer programming, allows us to better understand these two ways of thinking.
This article deals with an introduction of probability at school through sensory modalities. This approach is based on sampling fluctuation with empirical observations of frequencies. Initially, we analyze how students from high school work on such a task by using dice, pencil, and paper. We then identify the use of schemas and data visualization by students. Considering schemas as a primitive form of algorithmic approaches, we observe interaction with mathematics. In class, students know how to use notion of frequency, but linking frequencies with probability appears to be a difficult issue. This absence of a statistical link leads us to identify entry points for probability teaching. We then decide to analyze primary school students when they have to explore a random experiment by using statistics.
The purpose of this contribution is to characterize the work of a teacher on simulations in probability in grade 9 course in France (14-15 year-old students). In a case study, we report in particular on what is at stake in the solving of a probability task with simulations when the teacher decides to organize small group work. Methodological tools, such as the chronogram, related to the specificity of this type of work in class are defined in the article. We have used the theory of Mathematical Work Spaces (MWS) and concepts such as potential suitable MWS and actual suitable MWS have been defined to conduct our study. The analysis of the teacher's interventions in the classroom revealed a standardization of the probabilistic model produced by the teacher during the simulation. The role of the teacher and the choice of the digital artefact transformed the students' work. We matched blockages, rebounds or identified containments in the actual MWS with the potential MWS. Our research has clarified first cognitive task routes in probability on The Hare and the Tortoise game.
Our article aims to define the notion of instrumental proof based on didactic, epistemological and cognitive considerations. We raise issues and challenges related to the use of this type of proof in mathematical work and mathematical thinking. The theory of mathematical working spaces serves as a construct on which we address questions about proof, reasoning and epistemic necessity, taking advantage of the possibilities offered by the development geneses and fibrations in an instrumented perspective. The coordination of the semiotic, discursive and instrumental geneses of the working space founds discursive-graphic proofs, mechanical proofs and algorithmic proofs that are activated at school in the subject-milieu interactions. We end with a discussion on some consequences of the computer-assisted modelling of the learning conditions of mathematics, and we conclude on a necessary reconciliation of heuristics and validation.
In several countries including France, there is a growing interest for the teaching and learning of algorithmics and programming at school and college level. It is then necessary to question the objectives of this teaching and learning, and to propose controlled implementations. This article, written by a researcher in cognitive ergonomics and a researcher in didactics, aims at assessing some research results in this field, on the basis of research work conducted sporadically since thirty years. It first attempts to show the permanence of questions related to beginners’ conceptual difficulties, and then tackles the issue of learning situations. Then it takes stock of results obtained in psychology of programming, focusing on a conceptual field precisely identified around the concept of computer variable. The conclusion gives evidence of a broad field of research now open.
Dynamic figures in a mathematical workspace for the learning of geometrical properties. Our paper aims at showing how dynamic figures are useful in the learning of the use of geometrical properties at a high school level, in continuity with the practices inherited during the primary school education. After considering the general contextual rooting of the problem situations while comparing geometrical reality with educational institution, we focus on the student-milieu system and on the connections between the reasoning and the operational dynamic figure. We then present a research framework in order to analyze a geometrical workspace dedicated towards the learning of the use of properties. The workspace is presented in what it has of generic to enhance such learning and it enables us to conclude by some theoretical remarks on the components from the suitable geometrical working space. Résumé. Notre article vise à montrer comment les figures dynamiques sont utiles pour l'apprentissage des propriétés géométriques de l'école secondaire, en continuité avec les habitudes héritées du primaire. Après avoir considéré l'enracinement contextuel des situations-problèmes en général et mis la réalité géométrique au regard de l'institution scolaire, nous centrons notre propos sur le système sujet-milieu et sur les rapports du raisonnement à la figure dynamique opératoire. Nous situons ensuite un dispositif de recherche afin d'analyser un espace de travail géométrique idoine orienté vers l'apprentissage des propriétés. L'espace de travail est présenté en ce qu'il a de générique pour enclencher un tel apprentissage et il nous permet de conclure par quelques remarques théoriques sur les constituants de l'espace de travail géométrique. Mots-clés. Didactique des mathématiques, géométrie dynamique, raisonnement, espaces de travail géométrique, apprentissage des propriétés géométriques.
Our paper aims at showing how the instrumented learning of the properties in Euclidean geometry can be introduced in continuity with the mathematical competences developed at the elementary school. The principle founder of our research is based on the relation of subordination between the constraints of a property, posed using dynamic geometry software, and a necessary conclusion. Starting from an experimentation carried out in classes of 12-14 years old in France and in Quebec, our study presents a critical analysis of results where the ultimate objective of the activities suggested to the students relates as well to the significance of elementary properties, as on the understanding of the necessity of the link between the antecedents to the consequents of a deduction. Before ending by the didactic consequences of our approach, the text introduces the concept of instrumented figural inference as a means, employed by certain students, to justify a step of structured reasoning. A reconciling of the semiotic, instrumental and discursive aspects is offered throughout the paper.
Research on Mathematical Work Spaces has been developed for more than fifteen years in the field of Geometry. Taking advantage of international meetings, it has been necessary to develop this framework to other fields such as Algebra, Analysis and Probability. In this context, we are interested in articulating mathematical fields in the mathematical work. Our study on changes of field is based more specifically on Geometrical Working Space distinguishing an initial field, or source, and a final field, or resolution. Examples analyzed in this article are taken from researches in Chile and France and allow us to build a set of questions to study changes of field.
Ce travail utilise les cadres théoriques de la planification en psychologie de la programmation et de la théorie des situations pour étudier la conception d'algorithmes par des élèves de lycée. Une attention particulière est portée dans les situations d'apprentissages à la part du travail de conception laissé à la charge de l'élève. L'étude est menée autour de l'algorithme de Kaprekar, choisi parce que son codage en langage algorithmique impose une démarche de planification, à la différence de l’exécution manuelle. Une première partie du mémoire étudie des ressources existantes proposant des situations d'apprentissage en classe de mathématiques en lycée autour de l'algorithme de Kaprekar. Elle montre comment le travail à la charge des élèves est souvent réduit, par absence de prise en compte de la planification. Une seconde partie propose et analyse a priori une situation d'apprentissage puis exploite une expérimentation. Elle montre comment un découpage de la situation en phases alternant discussion collective animée par le professeur et travail en groupe permet de laisser aux élèves la responsabilité de l'élaboration d'un plan et de modules.
Notre thèse de doctorat s'intéresse à l'enseignement et l'apprentissage de savoirs informatiques chez des débutants en France. Elle vise à comprendre comment des débutants mettent en oeuvre et construisent des savoirs informatiques. Nous avons utilisé une méthodologie qualitative de type ethnographique mobilisant des observations, des questionnaires, des entretiens semi-directifs et des analyses de textes officiels et de manuels. Nous avons aussi précédé par une approche comparative des pratiques des lycéens et des étudiants d'une part, et des enseignants, d'autre part. Les résultats montrent des pratiques contrastées, entretenues par des tensions dans le prescrit. Au lycée, en dehors de la spécialité ISN, où l'informatique est rattachée aux mathématiques, les pratiques semblent influencées par quatre facteurs : la motivation (liée aux représentations), la formation continue des enseignants, la jeunesse dans le métier et l'approche pédagogique utilisée. La pratique est focalisée sur l'approche logique de l'algorithmique avec un travail au papier-crayon : la programmation est limitée, et lorsqu'elle a lieu, c'est plus avec une calculatrice mais aussi rarement avec le langage Algobox. Chez les élèves, l'algorithmique est vue comme un nouveau domaine supplémentaire introduit en mathématiques mais différent des mathématiques et de l'informatique. Les très bons élèves en algorithmique sont en général bons en mathématiques. L'ISN accueille des élèves de tous les profils, mais avec des motivations différentes, allant de la découverte de l'informatique dans un contexte formel au refuge des autres spécialités : leurs pratiques sont contrastées. C'est avec l'ISN qu'ils découvrent l'informatique au travers des formes d'enseignement variées et des problèmes de plus en plus complexes. Les pratiques des enseignants restent influencées par leur formation d'origine, avec un manque de recul chez les non-spécialistes d'informatique. À l'Université, les pratiques des étudiants en programmation sont avancées par rapport à celles des lycéens, une avance liée à la complémentarité des modules qui sont dispensés par des spécialistes. Les programmes informatiques ainsi réalisés sont souvent sophistiqués et incorporent des éléments issus de différentes sources externes. Les notions mathématiques investies par les étudiants sont souvent modestes. Si les lycéens et les étudiants sont tous débutants en informatique, les différences de pratiques entre eux semblent liées aux compétences spécifiques des enseignants. Au-delà de la formation des enseignants, la motivation occupe une place fondamentale pour adhérer à cet enseignement/apprentissage et soutenir des pratiques enseignantes comme chez les apprenants.
„Die Theorie der Zahlkörper ist wie ein Bauwerk von wunderbarer Schönheit und Harmonie; als der am reichsten ausgestattete Teil dieses Bauwerkes erscheint mir die Theorie der Abelschen und relativ-Abelschen Körper, die uns Kummer durch seine Arbeiten über die höheren Reziprozitätsgesetze und Kronecker durch seine Untersuchungen über die komplexe Multiplikation der elliptischen Funktionen erschlossen haben. Die tiefen Einblicke, welche die Arbeiten dieser beiden Mathematiker in die genannte Theorie gewähren, zeigen uns zugleich, daß in diesem Wissensgebiete eine Fülle der kostbarsten Schätze noch verborgen liegt, winkend als reicher Lohn dem Forscher, der den Wert solcher Schätze kennt und die Kunst, sie zu gewinnen, mit Liebe betreibt.“