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CONSTRUCCIÓN DE RECTÁNGULOS CON GEOGEBRA.
FORMAS DE INSTANCIACIÓN DE UN MISMO SABER MATEMÁTICO
Stephanie Díaz Urdaneta
RESUMEN
En este trabajo se realiza una caracterización de las diferentes formas en las que alumnos
de Educación Media construyen rectángulos en experiencias de elaboración de
simuladores con GeoGebra. Esta caracterización se fundamenta en el vínculo establecido
entre las ideas escolares sobre el rectángulo y los conceptos Saber y Conocimiento de la
Teoría de la Objetivación (Radford, 2013a). Los datos de esta investigación fueron
extraídos de una memoria arbitrada que contempla las experiencias de alumnos que
elaboraron simuladores con GeoGebra durante el año escolar 2015-2016. El análisis de
estos datos se realizó a través de un proceso de selección, reconocimiento y clasificación
de la información recolectada. Como resultado del análisis se identificaron tres clases de
tareas de construcción relacionadas con el rectángulo, cuyos enunciados están en función
de los elementos geométricos con los que contaban los alumnos al momento de realizar
la construcción en el GeoGebra, estos elementos fueron a partir de: (i) un punto libre, (ii)
un punto externo al rectángulo y (iii) sus vértices. Los resultados obtenidos muestran,
entre otras cuestiones, la necesidad de contar con las características o propiedades
geométricas del rectángulo para obtener una representación de este polígono en el
GeoGebra.
Palabras clave: Elaboración de simuladores, Saber, Conocimiento, Rectángulo, GeoGebra.
INTRODUCCIÓN
Desde el año 2013, el Grupo de investigación en Tecnologías en la Educación
Matemática (Grupo TEM) ha promovido en distintas instituciones oficiales de la Educación
Media del Zulia un proyecto socio-educativo conocido actualmente como Club GeoGebra,
por una nueva cultura científica. Los espacios en donde este proyecto funciona
(denominados Clubes GeoGebra) están conformados por alumnos liceístas y profesores de
Matemática y Física, quienes en conjunto llevan a cabo proyectos de simulación.
La actividad más importante que plantean estos proyectos es la elaboración de
simuladores computacionales que modelan el comportamiento de fenómenos naturales o
artificiales. Entendida como una estrategia educativa, esta actividad busca que los
estudiantes aprendan a pensar y actuar geométricamente en sus experiencias y, para ello,
los jóvenes deben formular y resolver tareas de construcción geométrica en la interfaz
gráfica del GeoGebra, de tal manera que los dibujos obtenidos representen con cierta
fidelidad la forma o movimiento característico de alguna parte del fenómeno seleccionado
por ellos mismos.
Otra de las actividades propias de cualquier proyecto de simulación tiene que
ver con la sistematización de las experiencias de elaboración por parte de los
estudiantes. Esta actividad incluye además el compartir de las experiencias
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sistematizadas en un encuentro anual de clubes. El trabajo derivado de cada proyecto
de simulación se hace público a través de un libro de memorias arbitrado, el cual es
editado por el Grupo TEM. Una revisión de las Memorias del II Encuentro de Clubes
GeoGebra del Estado Zulia (Prieto y Gutiérrez, 2016) nos ha permitido reconocer al
rectángulo como modelo geométrico con presencia entre las tareas de construcción
geométrica relacionadas con la representación total o parcial de las piezas
seleccionadas por los estudiantes en sus proyectos.
Ante esta realidad, surge la siguiente pregunta: ¿en qué medida los estudiantes
del Club GeoGebra ponen de manifiesto ideas cultural e históricamente sugeridas en el
ámbito escolar sobre el objeto rectángulo, cuando resuelven tareas de construcción
geométrica con GeoGebra? Para responder esta interrogante, me propongo caracterizar
diferentes formas de construir un rectángulo durante la elaboración de simuladores
con GeoGebra, basando mi interpretación en una teoría socio-cultural del aprendizaje y
enseñanza de la matemática conocida como Teoría de la Objetivación.
OBJETOS GEOMÉTRICOS: EL RECTÁNGULO
La Geometría surge de la necesidad del ser humano de comprender y estudiar
las formas y dimensiones características de los objetos que le rodeaban. Pero, ¿qué son
los objetos geométricos? ¿Cómo han sido concebidos? Para el filósofo Edmund Husserl
(2000), los objetos geométricos son idealidades geométricas, modelos que surgen de un
mundo pregeométrico conformado por cosas naturales y culturales que están dotadas
de formas espaciales que se materializan mediante sus propiedades intrínsecas como
el tamaño, color, peso, dureza, y demás. Por otro lado, Fischbein (1993), desde su teoría
del concepto figural, define a los objetos geométricos desde su naturaleza conceptual y
figural. Desde lo conceptual, el objeto es visto como una entidad abstracta que puede
ser definido y del cual se tiene una imagen mental. Como figura, cada objeto muestra
las propiedades espaciales que lo caracterizan y que son establecidas a partir de su
carácter conceptual.
Considerando las perspectivas de Husserl y Fischbein, podemos decir que los
objetos geométricos son arquetipos que provienen de la naturaleza y del desarrollo de
la cultura humana, caracterizándose por sus formas espaciales, definidas desde un
punto de vista conceptual. En este sentido, uno de los objetos geométricos que puede
considerarse con presencia en la naturaleza y en el desarrollo de la cultura es el
rectángulo.
Haciendo una revisión de algunos textos escolares y universitarios, se observa
que sus autores plantean diversas concepciones de este objeto geométrico y las
características de su forma espacial. Por ejemplo, para Andonegui (2006) el rectángulo
puede conceptualizarse tanto por sus ángulos interiores (es aquel paralelogramo que
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posee sus cuatro ángulos rectos), como por sus diagonales (es aquel paralelogramo
cuyas diagonales son congruentes y se cortan en su punto medio). Por su parte,
Londoño (2006) lo conceptualiza como un cuadrilátero que tiene dos pares de lados
opuestos paralelos y sus ángulos interiores congruentes.
En un intento por conceptualizar al rectángulo a partir de estos aportes,
podemos considerar esta figura como aquel cuadrilátero que tiene sus ángulos
internos iguales a 90° y debido a esa característica, esta figura posee tres propiedades
intrínsecas: (i) sus lados opuestos son congruentes, (ii) sus diagonales son congruentes
y se cortan en su punto medio, y (iii) es simétrico (posee dos ejes de simetría). Dada su
importancia en este trabajo, en lo que sigue trataré de vincular al rectángulo con los
conceptos clave de saber y conocimiento de la Teoría de la Objetivación.
SABER Y CONOCIMIENTO REFERIDO AL RECTÁNGULO
La Teoría de la Objetivación (Radford, 2013a) plantea dos términos clave, saber y
conocimiento. Con respecto al saber, éste es considerado como un conjunto de formas
ideales de acción y reflexión, sobre eventos o actividades, que han sido constituidas
cultural e históricamente (Radford, 2013a, 2013b). En el caso de los rectángulos, las
formas de reflexionar, conceptualizar y tratar geométricamente a este objeto han sido
determinadas desde los antiguos griegos hasta la actualidad, de manera que tal saber
ha sido constituido de diferentes maneras a lo largo de la historia.
Para que los estudiantes puedan aproximarse a dicho saber, éste debe ser
llevado a la práctica por medio de sus diferentes representaciones, lenguaje natural,
gráficos, símbolos, entre otros. Cuando este saber se concreta en la práctica, entonces
se obtiene un conocimiento (Radford, 2013a), esto es, una forma particular del saber
que se pone de manifiesto a través de una actividad o evento; en este sentido, el
conocimiento es la instanciación o actualización del saber, el cual se entiende como: (i)
algo general, (ii) un proceso, y (iii) el resultado de la actualización.
Por ejemplo, cuando los autores antes mencionados hacen sus propias
conceptualizaciones del rectángulo, cada una de ellas representa su conocimiento, su
forma particular de concebir a este objeto geométrico. En términos de Radford (2013a),
estamos en presencia de diferentes formas de instanciación del saber relacionado con
el rectángulo.
En este sentido, podemos decir que las experiencias descritas en las Memorias
del II Encuentro de Clubes GeoGebra del Estado Zulia (Prieto y Gutiérrez, 2016) son
formas de instanciación del saber matemático relacionado con las experiencias de
elaboración de simuladores con GeoGebra, a partir de las cuales algunas están
referidas al rectángulo. Por esta razón, el interés de este trabajo está puesto en las
diferentes formas de instanciación del saber geométrico mencionado, las cuales se
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ponen de manifiesto en las experiencias sistematizadas por los estudiantes durante la
elaboración de sus simuladores con GeoGebra.
SABER Y CONOCIMIENTO EN UN CLUB GEOGEBRA
Para develar los saberes y conocimientos puestos de manifiesto en las
experiencias de elaboración de simuladores, se debe comprender que la presencia de
un conocimiento implica que el saber asociado ha sido instanciado mediante una
actividad (Radford, 2013a). Desde la perspectiva de Leont’ev (2009), toda actividad
educativa tiene un objeto que se desea alcanzar y, para llegar a este, los sujetos
pueden plantearse ciertos objetivos que son logrados en atención a un conjunto de
tareas (Radford, 2015). Partiendo de estas premisas, el objeto de la actividad de
elaborar de simuladores con GeoGebra es la objetivación de formas de pensar y actuar
sobre los objetos geométricos (ver Figura 1).
Figura 1. Objeto – objetivos – tareas en la elaboración de simuladores con GeoGebra
Fuente: Adaptado de Radford (2013a)
Este objeto es alcanzado a partir de dos objetivos: (i) representar una parte del
fenómeno seleccionado y (ii) construir uno o varios objetos geométricos para
representar las formas y movimientos de la parte seleccionada. Además, para lograr
estos objetivos, se plantea la resolución de un conjunto de tareas de simulación y
tareas de construcción geométrica.
En particular, cuando se plantean las tareas de construcción, implícitamente se
contempla el saber geométrico que está próximo a ponerse de manifiesto. Éste se hace
visible cuando los participantes construyen el objeto geométrico a través de una
técnica, es decir, a través de un proceso de resolución de la tarea de construcción
mediado por las herramientas y funcionalidades dinámicas del GeoGebra (Sánchez,
2017). La descripción de la técnica empleada por los alumnos para la resolución de la
tarea de construcción es materializada a través de la sistematización de la experiencia.
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El producto de esta descripción es el conocimiento, el contenido conceptual
concreto a través del cual el saber geométrico asociado al objeto geométrico ha sido
instanciado (Radford, 2013a).
El saber geométrico que ha sido seleccionado en esta investigación es el
rectángulo, el cual se pone de manifiesto en la construcción de este objeto geométrico
para representar una parte de alguna componente del fenómeno de un proyecto de
simulación. Los conocimientos que se produjeron en relación al rectángulo fueron
sistematizados por los alumnos que participan en los Clubes GeoGebra. En la Figura 2
se muestra el saber y los conocimientos que se han reconocido para este trabajo.
Figura 2. Saber y conocimiento en el Club GeoGebra: el caso de rectángulos
Fuente: Adaptado de Radford (2013a)
METODOLOGÍA
Participantes y contexto
Las experiencias reportadas en este trabajo nacen de las actividades llevadas a
cabo durante la elaboración de simuladores en tres (03) Clubes GeoGebra que han
funcionado, por primera vez, en diferentes instituciones oficiales de Educación Media
del Estado Zulia, desde el mes de octubre del año 2015 hasta el mes de junio del año
2016. En total, participaron siete (07) alumnos entre los tres (03) clubes, quienes
asistían de forma libre y voluntaria, cuyas edades estaban comprendidas entre 14 y 16
años. De estos clubes surgieron seis proyectos de simulación y, por cada uno, se realizó
una sistematización de las experiencias vividas durante la elaboración del respectivo
simulador.
En el siguiente cuadro se sintetiza la cantidad de Clubes GeoGebra que han sido
identificados con las letras A, B y C, la cantidad de proyectos de simulación que se
detectaron por club y el año de curso de cada alumno que participó en estos Clubes
GeoGebra.
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Cuadro 1. Clubes GeoGebra, Proyectos de Simulación y el año que cursaban los alumnos
participantes.
Club GeoGebra (CGG)
Proyecto de Simulación (PS)
Año de estudio
CGG A
PS1
4to
PS2
3ero
PS3
3ero
3ero
CGG B
PS4
4to
PS5
4to
CGG C
PS6
4to
En un proyecto de simulación, los alumnos tienen que transitar por cuatro fases,
donde la sistematización representa la tercera de las cuatro fases que comprende un
proyecto (ver Figura 3). A pesar de que esta fase se encuentra de tercer lugar entre las
etapas de los proyectos, en algunos Clubes GeoGebra éstas fueron concretadas entre
los meses de julio y agosto del año 2016, antes de ser sometidos a un proceso de
arbitraje por expertos en Didáctica de las Matemáticas.
Figura 3. Fases de los Proyectos de Simulación
Datos de la investigación
Los datos de esta investigación surgen del producto final que se obtiene de los
proyectos de simulación, esto es, de las memorias del Encuentro de Clubes GeoGebra
del Estado Zulia. Para este trabajo, fueron tomadas las memorias del II encuentro
publicadas en Prieto y Gutiérrez (2016) por considerarse que en este libro el objeto
rectángulo aparece dos (02) veces en dos (02) trabajos y una (01) vez en cuatro (04)
extensos reportados, es decir, aparece ocho (08) veces en total. En este libro se
encuentran cada una de las sistematizaciones realizadas por los alumnos, en donde se
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describen sus conocimientos sobre los saberes matemáticos que surgieron durante la
elaboración de sus respectivos simuladores con el GeoGebra.
Estos trabajos están compuestos por cuatro apartados que contemplan la
introducción del mismo, una reseña histórico-cultural-social del fenómeno simulado, el
apartado relacionado con las tareas de simulación y construcción geométrica
vinculadas a la representación de una parte del fenómeno y algunas reflexiones finales.
Para efectos de esta investigación, el interés se centra en las descripciones de las
tareas de construcción geométrica, en donde se evidencian las instanciaciones
relacionadas con el rectángulo. Para ello, se realizó el siguiente cuadro que muestra los
seis (06) proyectos de simulación con su respectivo título del trabajo publicado en las
memorias y las tareas de construcción geométrica relacionadas con el rectángulo (ver
Cuadro 2).
Cuadro 2. Publicaciones con instanciaciones del saber de un rectángulo
Proyecto de
simulación (CGG)
Título del trabajo
Tarea de construcción
PS1 (CGG A)
La geometría en los balancines del
mecanismo de Klann
Construir un rectángulo a partir
de dos de sus vértices
PS2 (CGG A)
La rotación en la simulación de un
brazo robótico con GeoGebra
Construir un rectángulo a partir
de sus cuatro vértices
PS3 (CGG A)
Representación del movimiento
circular de la manivela del mecanismo
de Klann por medio del GeoGebra
Construir un rectángulo a partir
de dos de sus vértices
PS4 (CGG B)
Representando el cilindro hidráulico
de una grúa autopropulsada con
GeoGebra
Construir un rectángulo a partir
de un punto libre
Construir un rectángulo a partir
de un punto exterior
PS5 (CGG B)
La rotación en la representación de un
cilindro hidráulico en el GeoGebra
Construir un rectángulo a partir
de un punto libre
Construir un rectángulo a partir
de un punto exterior
PS6 (CGG C)
Simulación de un mecanismo leva-
seguidor con el GeoGebra
Construir un rectángulo a partir
de dos de sus vértices
Cada uno de estos trabajos contiene información de las tareas de construcción
relacionadas con el rectángulo y su resolución. En alguno de estos escritos, el saber
geométrico relacionado con el rectángulo es instanciado más de una vez. Vale destacar
que los Clubes GeoGebra identificados con las letras A, B y C dan cuenta de que tres
(03) trabajos corresponden al Club GeoGebra A (CGG A), dos (02) al B (CGG B) y uno (01)
al Club GeoGebra C (CGG C).
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Análisis de los datos
El análisis de los datos de esta investigación se realizó en tres momentos. En el
primero se seleccionaron, en los seis trabajos presentados en el cuadro anterior, los
discursos escritos por los alumnos en donde ellos formulaban la tarea de construcción
referida a rectángulos y luego describían su proceso de resolución. En el segundo
momento se reconocieron los elementos constitutivos de los enunciados de cada tarea
y las técnicas empleadas para la resolución de las mismas. Finalmente, en el tercer
momento se hizo una clasificación de las tareas de construcción de rectángulos a partir
de los elementos constitutivos que se consideraron para la resolución de la tarea, las
cuales se organizaron en un cuadro como el siguiente (ver Cuadro 3).
Cuadro 3. Instrumento utilizado para clasificar los datos de la investigación
Elementos considerados
Casos
Tarea de construcción
RESULTADOS
Del análisis de los datos se derivaron tres (03) clases de tareas de construcción
de rectángulos, según los elementos con los que los estudiantes contaban para su
elaboración en la vista gráfica del GeoGebra: (i) a partir de un punto libre, (ii) a partir de
un punto exterior y (iii) a partir de los vértices del rectángulo. De la primera clase, se
tienen dos (02) tareas de construcción; de la segunda clase otras dos (02) y de la
tercera clase se tienen cuatro (04) tareas. En total, de los seis (06) trabajos se
identificaron ocho (08) tareas relacionadas con la construcción del rectángulo. En el
siguiente cuadro se muestra cada clase de tareas con sus tareas de construcción
asociadas, el enunciado respectivo y el proyecto al que pertenece cada tarea.
Cuadro 4. Clases de tareas
Clases de
tareas
Tarea_N
Tarea de construcción
Proyecto de
simulación
(CGG)
Punto libre
Tarea_1
Construir un rectángulo a partir de un punto libre
PS4 (CGG B)
Tarea_2
Construir un rectángulo a partir de un punto libre
PS5 (CGG B)
Punto
exterior
Tarea_3
Construir un rectángulo a partir de un punto exterior
PS4 (CGG B)
Tarea_4
Construir un rectángulo a partir de un punto exterior
PS5 (CGG B)
Vértices del
rectángulo
Tarea_5
Construir un rectángulo a partir de dos de sus vértices
PS1 (CGG A)
Tarea_6
Construir un rectángulo a partir de sus cuatro vértices
PS2 (CGG A)
Tarea_7
Construir un rectángulo a partir de dos de sus vértices
PS3 (CGG A)
Tarea_8
Construir un rectángulo a partir de dos de sus vértices
PS6 (CGG C)
A partir de lo anterior, en lo que sigue se presenta la técnica de cada tarea de
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construcción con los conocimientos que utilizaron los alumnos para construir su
respectivo rectángulo, organizados por cada una de las clases de tareas mencionadas.
Construcción del rectángulo a partir de un punto libre
La Tarea_1 fue la primera de las construcciones realizadas en el proyecto PS4
(CGG B). En ella se partió de un punto libre, ubicado en una posición específica, según
la imagen de referencia (ver Figura 4). Por esta razón, la tarea de construcción asociada
se formula en los siguientes términos: construir un rectángulo a partir de un punto libre
(C es el punto libre), el cual fue colocado apoyándose en la imagen de referencia.
Figura 4. Condiciones previas de la Tarea 1
A partir de lo anterior, la tarea de construcción se resolvió de acuerdo a lo
planteado en la técnica que se muestra en la Figura 5a, en donde se evidencia un
procedimiento de cinco (05) pasos para la construcción del rectángulo, cuatro (04) de
ellos centrados en la localización de los vértices y el último en el trazado del polígono.
En la técnica se evidencia que la relación de perpendicularidad entre cada par de lados
consecutivos del rectángulo fue la característica principal en la que se basó esta
construcción, como se muestra en los pasos 2, 3 y 4 de la técnica (ver Figura 5).
Figura 5. Construcción del rectángulo de la Tarea_1
Al igual que en el caso anterior, la Tarea_2 fue la primera construcción realizada
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en el proyecto PS5 (CGG B). Su resolución parte de un punto libre ubicado según lo
sugiere la imagen de referencia usada por el alumno (ver Figura 6). De esta manera, la
tarea de construcción correspondiente fue formulada en los siguientes términos:
construir un rectángulo a partir de un punto libre (C es el punto libre), el cual fue
colocado apoyándose en la imagen de referencia.
Figura 6. Condiciones previas de la Tarea_2
Luego de formulada la tarea, en el trabajo se presenta el procedimiento para
resolverla, derivando en la técnica que se muestra en la Figura 7a y que se compone de
cuatro (04) pasos para construir el rectángulo. Tres (03) de estos pasos se refieren a la
localización de los vértices del polígono y el último a su construcción. Al igual que en la
técnica anterior, en ésta se pone de manifiesto la relación de perpendicularidad entre
cada par de lados consecutivos y el paralelismo entre un par de lados opuestos del
rectángulo como insumos para localizar los vértices del rectángulo y construir el
polígono (ver Figura 7).
Figura 7. Construcción del rectángulo de la Tarea_2
Construcción de rectángulos a partir de un punto interior
Con respecto a la Tarea_3, que corresponde al proyecto PS4 (CGG B), ya se tenían
construcciones previas de una tarea resuelta, así que se inició la construcción a partir
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de los elementos ya construidos, en este caso, un punto exterior al rectángulo ya que
ese elemento considerado para construir el otro rectángulo no pertenece a éste (ver
Figura 8). Por lo tanto, la tarea de construcción se formuló de la siguiente manera:
construir un rectángulo a partir de un punto exterior.
Figura 8. Condiciones previas de la Tarea_3
Seguidamente, se procedió a resolver la tarea de construcción según lo
planteado en la técnica que se muestra en la Figura 9a. En la misma, se observan cinco
(05) pasos para la construcción del rectángulo, en donde cuatro (04) están en relación
con la localización de sus vértices y el último se refiere al trazado de la figura. Esta
técnica pone de manifiesto la relación de perpendicularidad entre cada par de lados
consecutivos y el paralelismo entre un par de lados opuestos del rectángulo como
forma de localizar los vértices del rectángulo, como se aprecia en los pasos 2, 3 y 4 de
la técnica (ver Figura 9).
Figura 9. Construcción del rectángulo de la Tarea_3
En relación a la Tarea_4, ésta fue la segunda tarea de construcción del proyecto
PS5 (CGG B) y, como en el caso anterior, se resolvió después de haberse atendido a una
tarea previa, por lo que se consideró utilizar un punto exterior al polígono para
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construirlo (ver Figura 10). De esta manera, la tarea de construcción quedó formulada
de la siguiente manera: construir un rectángulo a partir de un punto exterior.
Figura 10. Condiciones previas de la Tarea_4
En la resolución de esta tarea, la técnica seguida fue muy parecida a la del caso
anterior, tal y como se observa en la Figura 11a. En los pasos 3 y 4 de la técnica se
evidencia la consideración de las relaciones de perpendicularidad y paralelismo entre
los lados del rectángulo para determinar la ubicación de sus vértices, apoyándose en la
imagen de referencia para, posteriormente, construir este polígono (ver Figura 11).
Figura 11. Construcción del rectángulo de la Tarea_4
Construcción de rectángulos a partir de sus vértices
La Tarea_5 corresponde al proyecto de simulación PS1 (CGG A) y en la Figura 12
se aprecian las condiciones previas a la formulación y resolución de la misma. Como se
observa en la imagen, en ese momento se contaba con dos semicírculos y era necesario
construir el rectángulo entre estas figuras, para lo cual, los puntos 𝐹 y 𝐻 corresponden
a dos vértices del rectángulo. Estos puntos fueron considerados para la formulación y
resolución de la tarea, por lo tanto, su formulación quedó de la siguiente manera:
construir un rectángulo a partir de dos de sus vértices.
265
Figura 12. Condiciones previas de la Tarea_5
Posteriormente, se procedió a resolver la tarea de construcción según el
proceso planteado en la Figura 13a. Como se observa allí, hay tres (03) pasos para la
construcción del rectángulo, en donde dos (02) están relacionados a la localización de
sus vértices y el último al trazado del objeto. Con respecto al desarrollo de la técnica,
se puede decir que la construcción se apoyó en la simetría del rectángulo (propiedad
de este polígono) para determinar los dos vértices faltantes y luego construirlo.
Figura 13. Construcción del rectángulo de la Tarea_5
Con respecto a la Tarea_6 que pertenece al proyecto PS2 (CGG A), las
condiciones previas eran iguales a la tarea anterior y la pieza a representar era la
misma. Sin embargo, ambos correspondían a fenómenos distintos (ver Figura 14). A
pesar de su similitud con el caso anterior, la tarea quedó en los siguientes términos:
construir un rectángulo a partir de sus cuatro vértices.
266
Figura 14. Condiciones previas de la Tarea_6
Aunque en la formulación de la tarea se expresa que se construirá el rectángulo
a partir de sus cuatro vértices, en los pasos 1 y 2 de la técnica se evidencia que los
estudiantes se dedican a determinar dos vértices de la misma forma que para el caso
anterior (ver Figura 15a). Por lo tanto, la teoría que sustenta la técnica termina siendo la
misma, basada en las propiedades de simetría que tiene el rectángulo (ver Figura 15).
Figura 15. Construcción del rectángulo de la Tarea_6
En el caso de la Tarea_7 del proyecto PS3 (CGG A), la pieza a representar en el
GeoGebra era igual que en los casos anteriores, no obstante, en esta tarea solo se
contaba con un semicírculo construido, donde los puntos 𝐷 y 𝐸 corresponden a los dos
vértices del rectángulo a construir (ver Figura 16). Debido a esto, la tarea de
construcción quedó declarada de la siguiente forma: construir un rectángulo a partir de
dos de sus vértices.
267
Figura 16. Condiciones previas de la Tarea_7
En los pasos 1 y 2 de la técnica, se evidencia que los estudiantes se dedicaron a
localizar los dos vértices faltantes para la construcción del rectángulo. Para ello, en el
desarrollo del paso 1, se determinó uno de los ejes de simetría del rectángulo, que se
utilizó como eje de reflexión para conseguir el tercer vértice. En el paso 2 se determinó
el cuarto vértice y, finalmente, se construyó el rectángulo.
Figura 17. Construcción del rectángulo de la Tarea_7
Ya para finalizar, la Tarea_8 que corresponde al proyecto PS6 contaba con los
puntos 𝐶 y 𝐷 que representan dos vértices del rectángulo y el segmento formado por
ellos era paralelo al 𝑒𝑗𝑒 𝑥. Esto conllevó a que la tarea de construcción se declarara en
los siguientes términos: construir un rectángulo a partir de dos de sus vértices.
268
Figura 18. Condiciones previas de la Tarea_8
Para resolver esta tarea, en la técnica se evidencia (al igual que en los casos
anteriores) que los estudiantes se dedicaron a localizar los vértices restantes para
luego construirlo. Para lograr lo anterior, las relaciones de paralelismo entre cada par
de lados opuestos de un rectángulo fue lo que coadyuvó a la determinación de los
vértices y, posteriormente, a la construcción de este polígono.
Figura 19. Construcción del rectángulo de la Tarea_8
CONCLUSIONES
Los resultados obtenidos en esta investigación permiten ver que las
instanciaciones de un saber matemático pueden ser similares en grupos de alumnos de
un mismo Club GeoGebra. En la primera clase de tareas, ambos casos pertenecen al
mismo club (CGG B) y utilizaron las características de paralelismo y perpendicularidad
entre cada par de lados de rectángulo para construirlo. Esto mismo sucede con los dos
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casos pertenecientes a la segunda clase, en los cuales los alumnos de un mismo club se
apoyaron en ideas similares para resolver sus respectivas tareas de construcción (CGG
B). En el caso de las tareas de la tercera clase, las tres primeras experiencias
pertenecían al mismo Club GeoGebra (CGG A), siendo la simetría el referente teórico
que guio la resolución de las tareas de construcción del rectángulo en los tres casos.
Vale destacar que, en todos los casos, las propiedades y características del rectángulo
fueron las que orientaron su construcción con GeoGebra.
En cada uno de los casos antes referidos, la instanciación del saber referido al
rectángulo dependió de los elementos geométricos con los que se contaban al
momento de resolver las tareas. Haber identificado este patrón fue lo que coadyuvó a
la organización de la información de esta investigación y al análisis de los datos
planteados. A partir de esto, podemos develar o predecir las posibles instanciaciones
que se ponen de manifiesto durante la resolución de una tarea de construcción. En los
casos planteados fue posible observar instanciaciones similares para cada clase de
tareas. En las construcciones a partir de un punto libre, las instanciaciones estuvieron
relacionadas con el paralelismo y/o la perpendicularidad de los lados del rectángulo,
al igual que en el caso de las tareas a partir de puntos exteriores. En el caso de las
construcciones a partir de los vértices del rectángulo, la mayoría de las instanciaciones
estuvieron vinculadas a las propiedades simétricas de este polígono.
Para finalizar, es importante destacar que los medios o artefactos utilizados por
los alumnos en la actividad parecen condicionar las formas de instanciación del saber
que se pusieron de manifiesto. En todos los casos planteados los alumnos se dedicaron
a determinar la ubicación de los vértices del rectángulo. Lo anterior se debe a que en el
software GeoGebra, para construir un polígono cualquiera o con unas determinadas
características, es necesario contar con la localización de cada uno de sus vértices. En
este sentido, para ubicar los vértices del rectángulo fue necesario recurrir a una teoría
geométrica referida a las características y propiedades de este polígono. En gran
medida, esto fue lo que sustentó cada uno de los pasos que se realizaron durante la
resolución de las tareas de construcción.
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
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GeoGebra. Tesis de Maestría. Universidad del Zulia, Venezuela.
DATOS DE LA AUTORA
Stephanie Díaz Urdaneta
Promotor del Club GeoGebra “Francisco Esparza García”
stephaniediazurdaneta@gmail.com
Vídeo de la ponencia: https://goo.gl/5yN2ig
