Структурный, кинематический и динамический анализ рычажных механизмов

Abstract

Изложены общие основы структурного анализа механизмов, особенности кинематического анализа с использованием переменных Лагранжа и динамического анализа на основе энергетической модели механики с выполнение закона сохранения энергии на любых элементах и для механизма в целом для любого интервала времени.

Full text

1
№ 2576 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ
УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
«МИСиС»
Кафедра инжиниринга технологического оборудования
Ю.А. Алюшин
П.М. Вержанский
Структурный, кинематический и динамический
анализ рычажных механизмов
Учебное пособие
Рекомендовано редакционно-издательским
советом университета
МИСиС
Москва 2015

2
УДК 531
А60
Рецензент
проф. В.Ф. Замышляев
Алюшин Ю.А.
А60 Структурный, кинематический и динамический анализ рычажных
механизмов: учеб. пособие / Ю.А. Алюшин, П.М. Вержанский. – М.: Изд. Дом
МИСиС, 2015. – 104 с.
ISBN 978-5-87623-893-1
Учебное пособие содержит основной теоретический материал, необходимый
для описания плоско-параллельного движения абсолютно твердых тел в
переменных Лагранжа, основные положения энергетической модели механики,
используемой для динамического анализа механизмов, а также методические
указания по выполнению индивидуальных заданий по структурному,
кинематическому и динамическому анализу плоских механизмов, для которых
кинематические связи можно описать достаточно простыми алгебраическими
уравнениями.
Пособие предназначено для студентов горных специальностей по на-
правлению 130400 (650600) – «Горное дело», обучающихся в технических
университетах.
УДК 531
ISBN 978-5-87623-893-1- © > Ю.А. Алюшин,
П.М. Вержанский, 2015

3
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие
4
Введение
5
1.
Структурный анализ рычажных механизмов
7
1.1.
Основные понятия структурного анализа
7
1.2.
Пример выполнения структурного анализа
шестизвенного механизма
9
1.3.
Устранение избыточных связей
14
2
Кинематический анализ рычажных механизмов
17
2.1.
Уравнения движения твердых тел в форме Лагранжа
17
2.2.
Кинематические связи в рычажных механизмах
26
2.3.
Рекомендуемая последовательность кинематического
анализа с применением электронных таблиц Excel
41
2.4.
Рекомендации по методам проверки результатов
расчета
42
3.
Динамический анализ рычажных механизмов
44
3.1.
Энергия как единая мера движения
44
3.2.
Обобщенные координаты и силы
47
3.3.
Обобщенные силы кинетической энергии
51
3.4.
Обобщенные силы потенциальной энергии и внешних
воздействий
57
3.5.
Расчет обобщенных сил на осях шарниров
59
3.6.
Центробежные силы в рычажных механизмах
74
Приложение 1. Кинематический и динамический анализ
плоского шарнирно-рычажного механизма
81
Приложение 2. Типовые кинематические схемы для
индивидуальных заданий
100
Библиографический список
103

4
ПРЕДИСЛОВИЕ
Повышение производительности труда во всех отраслях производства невозможно
без увеличения рабочих скоростей и нагрузок, возникающих в машинах, агрегатах и
комплексах. Это требует обоснованного выбора типов, схем и конструктивных
параметров проектируемых механизмов, разработки методов анализа и синтеза с учетом
основных принципов и новых направлений развития механики.
Требования научно-технического прогресса приводят к усложнению механизмов,
больше внимания уделяется пространственным механизмам с несколькими степенями
свободы, в частности, роботам. Графические методы исследования механизмов уступают
место аналитическим, которые могут эффективно использовать компьютеры для
построения более точных математических моделей механизмов и машин.
В работе рассмотрены новые по сравнению с известными из учебной литературы
методики кинематического и динамического анализа шарнирно-рычажных механизмов с
использованием переменных Лагранжа и энергетических принципов расчета обобщенных
сил, приведенных к центрам масс и осям шарниров. Уделено внимание энергетической
интерпретации центробежных сил и особенностям их использования при силовом расчете
и уравновешивании механизмов. «Всегда интересно и поучительно исследовать законы
природы с новой точки зрения, придём ли мы при этом к более простому трактованию
того или иного частного вопроса или достигнем лишь большей точности формулировок»
[К. Гаусс в книге Лагранжа Ж. Аналитическая механика. М.–Л.: ГИТТЛ. – 1950. – 440 с.].
Учебное пособие предназначено студентам горных специальностей, обучающимся
по направлению 130400 (650600) «Горное дело», а также магистрам и аспирантам,
изучающим курсы математического моделирования и оптимизации технологического
оборудования. Пособие может быть использовано при выполнении индивидуальных
заданий в курсах «Прикладная механика» и «Теория механизмов и машин», должно
способствовать закреплению знаний по курсам «Высшая математика», «Теоретическая
механика», программирование и обеспечить необходимый уровень подготовки для
выполнения курсовых и дипломных проектов по горным машинам и оборудованию.
Пособие не претендует на полноту изложения всех затрагиваемых вопросов, не
предполагает замену учебников и является лишь дополнением к ним.

5
ВВЕДЕНИЕ
Проектирование новых машин и автоматических линий, также как и модернизация
существующих комплексов, должны соответствовать возрастающим с каждым годом
требованиям эффективности, экономичности и надежности. Эти задачи могут быть
решены только на основе современных достижений фундаментальных и прикладных наук.
Именно они определяют современное состояние научно-технического прогресса во всех
отраслях промышленности, обеспечивая благосостояние и безопасность общества.
В современных машинах получили широкое применение механизмы, которые
преобразуют непрерывное вращательное движение входного звена в колебательное или
поступательное выходного звена. Для этой цели применяют в основном механизмы с
высшими кинематическими парами, например, кулачковые, которые наряду с известными
достоинствами имеют ряд существенных недостатков: повышенный износ, необходимость
разработки специальных конструкций для замыкания звеньев и др. Замена кулачковых
механизмов шарнирными с низшими кинематическими парами позволяет повысить
надежность и долговечность машин, упростить технологию изготовления и ремонта, а в
некоторых случаях осуществить регулировку закона движения выходного звена даже во
время работы машины.
«Вопрос о том, какие механизмы – кулачковые или шарнирные – целесообразнее
применять для осуществления рабочего процесса, чаще всего решается в пользу
кулачковых механизмов, хотя во многих случаях шарнирные механизмы представляют
собой гораздо более удобную и совершенную конструкцию… Причиной этого является то
обстоятельство, что методы расчета звеньев шарнирных механизмов еще мало доступны
многим конструкторам. Им кажется, что в каждом отдельном случае проще и удобнее для
заданного закона движения звена механизма рассчитать кулачковый механизм, чем
шарнирный» [Лихтенхельд В. Синтез механизмов. – М.: Наука, 1964. - 228 с.]. Поэтому
неудивительно, что кулачковые механизмы, теории синтеза которых уделяется
достаточное внимание в учебной и научной литературе, получили широкое применение.
Простейшим видом рычажных механизмов являются двухзвенные механизмы, к
которым относятся электромоторы, турбины, вентиляторы, молотильные барабаны и т.д.
Разнообразие шарнирно-рычажных механизмов с большим числом звеньев не ограничено.
Совершенствование методики проектирования и, прежде всего, кинематического и
динамического анализа таких механизмов относится к одной из актуальных задач
механики. В соответствии с классическими работами по теории механизмов и машин

6
такие задачи до сих пор решают графическими или графо – аналитическими методами на
основе построения планов положений, скоростей и ускорений, предусматривающих
обязательное определение мгновенных центров скоростей и ускорений. Они наглядны и
универсальны, но не всегда обеспечивают необходимую точность. В частности, не
гарантируют высокую точность в особых точках траекторий, в окрестности точек возврата
и др. Кроме того, они требуют численного или графического интегрирования по времени,
поэтому приходится делать много промежуточных построений и расчетов для всех
звеньев после поворота кривошипа на достаточно малый угол.
Графические методы кинематического анализа определяют и соответствующую
методику определения сил. В частности, до сих пор для силового расчета и динамического
исследования механизмов используют «рычаг Жуковского»: все силы, действующие в
рассматриваемый момент на звенья механизма, переносят в соответствующие им точки
повернутого плана скоростей и рассматривают как некоторый рычаг с опорой в полюсе,
находящийся в равновесии. Считают, что метод обеспечивает значительные удобства для
решения многих задач динамики механизмов.
Аналитические методы позволяют с высокой точностью описать математические
связи между кинематическими и геометрическими параметрами. В учебной и
периодической литературе подробно рассмотрена методика расчета аналогов скорости и
ускорений на основе векторных уравнений замкнутости контуров. Аналитическое
представление кинематических связей и их последующее дифференцирование не
приводит к каким-либо трудностям, как при записи окончательных соотношений, так и
при их использовании в численных расчетах. Однако существенным недостатком такой
методики является ограниченность ее применения лишь для точек, расположенных на
прямых отрезках, соединяющих оси шарниров механизма.
Существенному снижению математических трудностей аналитического описания
кинематических соотношений для механизмов любой сложности, в том числе
пространственных, способствует переход к описанию движения в форме Лагранжа и
энергетическим принципам механики, которые используются в данной работе.

7
1. СТРУКТУРНЫЙ АНАЛИЗ
РЫЧАЖНЫХ МЕХАНИЗМОВ
Структурой механизма называют совокупность элементарных звеньев объекта и
взаимосвязи между ними, которые позволяют уяснить работу механизма и особенность
энергетических потоков в самом общем виде [1-3]. В шарнирно-рычажных механизмах
функционально связаны звенья или группы звеньев, а отношения между ними
устанавливаются в виде подвижных кинематических пар или неподвижных соединений.
Структура механизма на уровне звеньев, кинематических пар и структурных групп
отображается на его структурной схеме, которая отличается от кинематической
дополнительной информацией о виде кинематических пар, соединяющих эти элементы.
Структурный анализ является начальным этапом синтеза механизмов и
предполагает сравнение возможных вариантов структурных схем, которые в конечном
итоге определяют его эффективность. На этапе структурного анализа должны быть
рассмотрены вопросы устранения избыточных связей, ликвидации дублирующих звеньев,
возможности перехода к кинематическим парам низшего или высшего порядка, например,
для появления избыточных подвижностей с целью повышения надежности и
работоспособности с параметрами, установленными требованиями технической
документации [3-4].
Структурный анализ включает определение числа подвижных звеньев и
кинематических пар (КП), их классификацию, определение числа степеней свободы для
плоского и пространственного вариантов механизма, устранение избыточных связей (для
пространственных групп) [2-4] и «рационализацию» структуры по Ассуру с
энергетической интерпретацией возможных вариантов схем с избыточными
подвижностями [5].
В данной работе рассмотрены шарнирно-рычажные механизмы с кинематическими
парами типа 1В (вращательная с кодом [100]), 1П (поступательная с кодом [010]), 2Ц
(цилиндрическая [110]) и 3C (сферическая, [300]) [2-4].
1.1. Основные понятия структурного анализа.
Подвижность (число степеней свободы) механизма – число ведущих звеньев
(независимых обобщенных координат), однозначно определяющих положение всех
других звеньев механизма (на плоскости или в пространстве).

8
Местные подвижности – подвижности отдельных звеньев механизма, которые не
оказывают влияния на требуемое число ведущих звеньев, но допускают возможные
смещения звеньев с другими целями, например, вращение ролика, шарнирно
соединенного с толкателем в кулачковом механизме, допускает замену трения скольжения
трением качения на поверхности кулачка.
Связь – ограничение, наложенное на перемещение тела (звена механизма).
Структурные группы Ассура. Всякий механизм можно представить в виде
совокупности одного или нескольких двухзвенных (первичных) механизмов и одной или
нескольких групп Ассура [2-4].
Структурными группами Ассура называют кинематические цепи, образованные только
подвижными звеньями механизма, подвижность которых (на плоскости) равна нулю. Для
плоских механизмов число степеней свободы можно определить по формуле Чебышева
П.Л. [2-3]
023 21 =−−= ррnW
, (1.1.1)
где n – число подвижных звеньев, р1 и р2 – число кинематических пар с одной и двумя
подвижностями, соответственно.
Рис. 1.1. Двухповодковые группы Ассура (2-й класс, 2-й порядок) [2]
Структурная формула группы Ассура следует из уравнения (1.1.1) при W = 0
Wгр=3*nгр-2*p1=0, где nгр=2, p1=3.
i
j
A1В
B1В
C1В
ВВВ
i
j
A1В
B1В
C1П
ВВП
i
j
A1В
C1П
B1П
ВПВ
i
j
C1П
B1В
A1В
ПВП
i
j
A1П
C1В
B1П
ППВ

9
III
V
VII
C
E
0
0
5
VI
4
IV
V
D
2
B
II
A
I
1
3
023 =

−

=н
рnW
, (1.1.2)
откуда
nрн
=
2
3
, (1.1.3)
где
n
– число звеньев в группе,
н
р
– число низших КП в структурной группе (с одной
подвижностью). Так как все числа должны быть целыми, всегда число звеньев в
структурной группе должно быть четным, а число низших КП – кратным 3.
Группа Ассура – плоские кинематические цепи с нулевой подвижностью.
Классом структурной группы Ассура называют число кинематических пар,
образующих наиболее сложный замкнутый контур группы.
Порядок группы Ассура определяет число кинематических пар, которыми она
крепится к стойке, начальному механизму или другим группам.
Поводками структурных групп Ассура называют аналоги элементов механизма, к
которым присоединяется эта группа. Обычно их показывают пунктирными линиями,
отходящими от свободных КП (см. рис. 1.1). С учетом этого понятия порядок группы
определяет число поводков, которыми она крепится к стойке, начальному механизму или
другим группам Ассура.
В табл. 1 приведены примеры структурных групп Ассура II-VI классов [4].
Свободные кинематические пары помечены отходящими поводками – пунктирными
линиями, как на рис. 1.1.
1.2. Пример выполнения структурного анализа
шестизвенного механизма
Рассмотрим пример выполнения структурного анализа механизма,
кинематическая схема которого приведена на рис. 1.2
Рис. 1.2. Кинематическая схема механизма

10
Таблица 1.
Порядок
5-й
4-й
3-й
2-й
Группа
II класса
III класса
IV класса
V класса
VI класса

11
Выделяем неподвижное звено – стойку «0», на которой закреплены
неподвижные оси шарниров А и D, а также направляющие ползуна.
Нумеруем (арабскими цифрами) и классифицируем подвижные звенья. Для
удобства последующего динамического анализа целесообразно нумеровать звенья
последовательно от источника энергии (ведущего звена) до наиболее удаленных
потребителей.
В рассматриваемом механизме пять подвижных звеньев: звено 1 – кривошип,
совершает вращательное движение с полным оборотом на 3600; 2 и 4 – шатуны,
совершают плоскопараллельное движение с вращением относительно подвижных осей
(положение МЦС изменяется во времени); звено 3 – коромысло, совершает
колебательное
движение относительно неподвижной оси D; звено 5 – ползун, совершает возвратно-
поступательное движение по фиксированным направляющим.
Классифицируем кинематические пары (КП), которые определяют
относительное движение смежных звеньев.
В некоторых учебниках кинематические пары нумеруют римскими цифрами,
например, I, II, III, IV, V, VI и VII на рисунках 2, 3 и 5.
Однако с меньшей вероятностью ошибок классификацию КП удобнее
представить в виде табл. 2, в которой вместо римской цифры использованы прописные
латинские буквы с индексами, которые указывают смежные звенья, соединяемые
соответствующими кинематическими парами.
Таблица 2.
№№
Номера смежных звеньев
Цифровой
код КП
Вид КП
Обозначение на рис.
1.2, а, 1.2, б и в тексте
1
0 & 1
I
1В
А01
2
1&2
II
1В
В12
3
2&3
III
1В
С23
4
3&0
V
1В
D30
5
2&4 (или 3&4)
IV
1В
C24 (или С34)
6
4&5
VI
1В
Е45
7
5&0
VII
1П
5&0

12
Определяем степень подвижности плоского механизма. Как следует из табл. 2, в
рассматриваемом механизме семь кинематических пар с одной подвижностью (р1 = 7),
из которых 6 – вращательные (типа «1В») и одна поступательная (типа «1П»).
Контактными элементами пар являются поверхности. Все звенья механизма совершают
плоское движение, т. е. все его точки перемещаются параллельно одной неподвижной
плоскости. Степень подвижности механизма (W) определяем по формуле (1.1.1)
10725323 21 =−−=−−= рpnW
, (1.1.4)
где n =5 – число подвижных звеньев, p1 = 7 – число низших кинематических пар с
одной подвижностью. Высших (с двумя подвижностями на плоскости) кинематических
пар в механизме нет, p2 =0.
Общее число степеней свободы механизма равно 1, т. е. для работы механизма
достаточно одного ведущего звена, в качестве которого может быть использован
кривошип АВ.
Выделяем структурные группы Ассура. Чтобы выделить структурные группы
Ассура (с числом степеней свободы W = 0), расчленим механизм на простейшие
модули, начиная от наиболее удаленного от ведущего звена. Перед этим целесообразно
пары, совмещенные на кинематических схемах (см. рис. 1.2) в одной точке, в
частности, между звеньями 2, 3 и 4, отобразить отдельно, например, как показано на
рис. 1.3, а или на рис. 1.3, б. Эти две схемы, вообще говоря, соответствуют разным
механизмам, отличающимся как по кинематике звеньев 4 и 5 (если оси шарниров,
соединяющих звенья 2, 3 и 4, не совмещены в пространстве), так и по усилиям,
передаваемым через кинематические пары между звеньями 2 и 3.
Если совместить оси вращательных кинематических пар, соединяющих указанные
звенья, тогда кинематические условия будут однозначно определены, но передаваемые
усилия могут изменяться в связи с появлением пассивных сил [6], которые не
участвуют в передаче мощности между соединяемыми смежными звеньями за счет
того, что в каждый момент времени они направлены ортогонально скорости
перемещения этих осей (скалярное произведение ортогональных векторов равно 0!).
Кинематические схемы на рис. 1.3 с изображением шатуна 2 или коромысла 3 в
виде жестких треугольников могут привести к ошибке при классификации механизма,
если отнести его к 3 классу (по числу сторон наиболее сложного замкнутого контура) и
3 порядку (по числу поводков, соединяющих группу с ведущим звеном (начальным
механизмом) и стойкой. Чтобы избежать ошибки, надо расчленять механизм на

13
простейшие модули, отсоединение которых не нарушает работу оставшейся части
механизма. Поэтому выделение надо начинать с двухповодковых групп Ассура 1
класса, приведенных на рис. 1.1.
Рис. 1.3. Возможные кинематические схемы механизма
Наиболее удаленную группу Ассура образуют шатун 4 и ползун 5 с тремя
кинематическими парами: С24, Е45 , 5&0 на рис. 1.3, а или С34, Е45 , 5&0 на рис. 1.3, б, из
них две кинематические пары относятся к типу «1В» и одна – к типу «1П» (5&0).
Поводки на КП С24 и 5&0 (рис. 1.3, а) или С34 и 5&0 (рис. 1.3, б) соединяют эту
структурную группу Ассура (тип ВВП) с шатуном 2 (коромыслом 3 на рис. 3, б) и
стойкой 0.
Число степеней свободы (степень подвижности) оставшейся части (звенья 1, 2 и 3)
0
0
IV
С24
3
4
В12
А01
С23
D03
E45
I
II
III
VI
VII
V
1
2
5
0
а)
А0
1
II
I
V
I
VI
I
0
0
0
5
I
I
I
С
34
С
23
I
V
V
1
2
4
В1
2
D
03
E4
5
б)
3

14
остается равной W = 1, как у исходного механизма. Это подтверждает, что первая
структурная группа выделена правильно.
Далее отделяем вторую группу (звенья 2 и 3) с тремя кинематическими парами
типа «1В» (В12, С23, D03, структурная группа Ассура типа ВВВ). Степень подвижности
оставшейся после этого части – начального механизма с кинематической парой А01 –
остается равной W=1.
На рис. 1.4 показаны группы Ассура отдельно. Пунктирными стрелками у каждой
группы на рис. 1.4 показаны «поводки», которыми группы присоединяются к остальной
части механизма, содержащей приводное звено 1 («начальный механизм»), и стойке 0.
Причем такое присоединение предполагается через внедрение принадлежащей
присоединяемой группе Ассура кинематической пары в тело стойки или механизма-
донора, от которого она будет получать энергию на движение и выполнение
технологической операции.
Рис. 1.4. Структурные группы Ассура
По Артоболевскому И.И. [1] класс группы определяется числом кинематических пар,
образующих наиболее сложный замкнутый контур группы. Порядок группы
определяется числом свободных элементов кинематических пар, которыми группа
может быть присоединена к начальному механизму и стойке. Обе отделяемые
структурные группы относятся ко 2-му порядку и 1 классу, к этому же классу
принадлежит и весь механизм.
1.3. Устранение избыточных связей
Так как предположение о плоскопараллельном движении звеньев относится к
идеальному механизму, а в действительности за счет неточности изготовления
ВВВ
3
С23(1В)
D03(1В)
В12(1В)
2
5&0(1П)
ВВП
5
E45(1В)
С24(1В)
С34(1В)
4
A01(1В)
1
0

15
элементов, прежде всего неортогональности осей плоскости движения звеньев и
непараллельности осей вращательных кинематических пар, механизм преобразуется в
пространственный, число степеней свободы для реального механизма следует
рассчитывать вместо формулы (1.1) по формуле Малышева [2-3], которая
предусматривает для свободного тела в пространстве 6 степеней свободы
qpрpрpnW +++++−= )2345(6 54321
, (1.1.5)
где n – число подвижных звеньев, р1 – число кинематических пар с одной
подвижностью, р2 – с двумя подвижностями, р3, р4 , р5 – с тремя, четырьмя и пятью
подвижностями, соответственно, q – число избыточных связей.
С учетом кинематических пар из табл. 2 получаем
61755623456 54321 −=−=−−−−−= pрpрpnW
.
Механизм имеет 6 избыточных связей, которые можно устранить за счет замены
низших кинематических пар высшими. Для более предпочтительной с точки зрения
энергетических потоков схемы на рис. 1.3, а один из вариантов устранения избыточных
связей приведен в табл. 3 и на рис. 1.5.
Таблица 3.
№№
Номера смежных звеньев
Вид КП
для ППД
Вид КП для
простран-
ственного
движения
Обозначение
на рис. 1.2а
и 1.2б
1
0 & 1
1В
1В
А01
2
1&2
1В
3С
В12
3
2&3
1В
2Ц
С23
4
3&0
1В
1В
D30
5
2&4
1В
3С
C24
6
4&5
1В
3С
Е45
7
5&0
1П
1П
Структурная формула для схемы на рис. 1.5
113314355623456 54321 +=−−−=−−−−−= pрpрpnW
,

16
т. е. механизм имеет 1 общую степень свободы (требуется одно приводное звено) и 1
местную подвижность: шатун 4 может вращаться в сферических кинематических парах
С24 и Е45. Повышать степень подвижности на неподвижных осях шарниров А01 и D03
(например, «2Ц» вместо «1В») не целесообразно в связи с опасностью нарушения
работы всего механизма.
При совмещении в пространстве кинематических пар С24 и С34 их можно изготовить в
виде одной детали с разными диаметрами осей в соответствии с передаваемыми
энергетическими потоками (силами), но в этом случае кинематическая пара С24 может
быть только цилиндрической (типа 2Ц) и структурная формула принимает вид
12324355623456 54321 =−−−=−−−−−= pрpрpnW
.
Избыточная подвижность исчезает, но сборка механизма, как и в предыдущем
варианте, производится без натягов.
Вариант исполнения механизма в соответствии со структурной схемой, показанной на
рис. 1.5, позволяет разгрузить шарнир С23 от энергетического потока, направляемого на
движение шатуна 4, ползуна 5, а также для выполнения технологической операции,
наример, штамповки.
Рис. 1.5. Структурная схема пространственного механизма после устранения
избыточных связей
На рис. 1.5 не соблюдены действующие стандарты графического изображения
кинематических пар «2Ц» и «3С», поэтому их тип указан в скобках при обозначении
кинематических пар.
а)
В12(3С)
0
0
IV
С24(3С)
3
4
А01(1В)
С23(2Ц)
D03(1В)
E45(3С)
I
II
III
VI
VII
V
1
2
5
0
5&0(1П)

17
2. КИНЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
РЫЧАЖНЫХ МЕХАНИЗМОВ
Кинематика изучает геометрические особенности механического движения
материальных объектов, под которым понимают изменение во времени
пространственного положения тел. В задачи кинематического анализа входит определение
координат, скоростей, ускорений и других кинематических характеристик (радиусы
кривизны, мгновенные центры скоростей и пр.) движения для любых частиц (центров
масс, точек съёма мощности и пр.) каждого из звеньев механизма.
Кинематический анализ является необходимым и самым ответственным этапом,
так как его результаты используются в энергетическом и силовом расчете, а также при
поиске вариантов уравновешивания механизмов, например, за счет сближения центров
масс и мгновенных центров скоростей.
Все ошибки кинематического анализа могут быть выявлены в ходе силового
расчета, если воспользоваться общепринятыми правилами приведения системы сил к
новому центру [6-7]. Но они могут быть не замечены при других вариантах расчета
обобщенных сил, приложенных к осям шарниров.
Обычно кинематический анализ проводят на основе графических методов [1-3]. Они
наглядны, но достаточно трудоемки и поэтому применимы лишь при ограниченном
количестве положений ведущего (приводного) звена. Однако основной их недостаток
связан с погрешностью результатов за счет неточности измерений, отклонений от
параллельности или ортогональности прямых. Погрешность возрастает при определении
скоростей и ускорений, особенно в окрестности точек выстоя и бифуркации, когда
перемещения осей шарниров могут изменяться по одному из нескольких возможных
вариантов. Эти недостатки отсутствуют в аналитических методах кинематического
анализа с описанием движения в форме Лагранжа [6-9].
2.1. Уравнения движения твердых тел
в форме Лагранжа
Движение всегда относительно. Говоря о движении, мы предполагаем наличие
движущегося тела и наблюдателя, точнее его системы отсчёта, которая позволяет
установить соответствие между различными функциями, характеризующими
происходящие явления, и точками пространства наблюдателя. Системой координат

18
называют совокупность правил, описывающих каждый объект пространства
упорядоченным множеством чисел х1, х2, х3…, называемых координатами. Число
координат хi, требуемых для определения каждой точки, называют размерностью
пространства.
Перемещение материальных тел в пространстве наблюдателя можно
охарактеризовать изменением положения каждой их частицы. Если движение происходит
без деформации, тогда для однозначного определения положения тела достаточно знать
координаты двух (при плоском движении) или трёх (в случае пространственного
движения) его частиц.
Различают три способа описания движений: векторный, координатный и
естественный [10], причем последний применим только для описания движения
материальных точек. Два других применимы для описания движения твердых тел и
отличаются лишь формой записи математических уравнений. В дальнейшем будет
использован координатный способ с индексными формами записи уравнений.
Математически движение бесконечно малой частицы тела в прямоугольных
декартовых координатах можно описать системой
)(),(),(tzztyytxx ===
или, сокращенно,
)(txx ii =
, (2.1.1)
где t – время,
),,( zyxxi
– текущие координаты частиц тела в системе наблюдателя.
Уравнения (2.1.1) не содержат информации о свойствах частицы или внешних
воздействиях. Основными кинематическими характеристиками движения частиц
являются компоненты векторов перемещения, скорости и ускорения, для которых ниже
использованы обозначения ui , vi, wi. По определению компоненты вектора перемещения
равны разности текущих и начальных x0, y0, z0 координат частиц
0
xxux−=
,
0
yyuy−=
,
0
zzuz−=
,
)0(
iii xxu −=
, (2.1.2)
а компоненты векторов скорости и ускорения – первым и вторым производным по
времени от текущих координат или компонент вектора перемещения
txx xdtdxdtduv== //
,
tyy ydtdydtduv== //
,
tzz zdtdzdtduv== //
(2.1.3)
ttxx xdtxddtdvw== 22 //
,
ttyydtydw = 22 /
,
ttzzdtzdw = 22 /
. (2.1.4)
В индексной форме системы (2.1.3) и (2.1.4) принимают компактный вид
tiii xdtduv,
/=
,
ttiiii xdtxddtdvw,
22 // ==
.
Для произвольной совокупности материальных тел уравнения движения должны
индивидуализировать (отличать от других) каждую частицу, например, с помощью ее

19
начальных координат, которые, являясь аргументами, должны входить в правую часть
уравнений
),,,( 000 tzуxxx =
,
),,,( 000 tzуxуу =
,
),,,( 000 tzуxzz =
. (2.1.5)
Компоненты векторов перемещения, скорости и ускорения, как и для материальной
точки, определяются по уравнениям (2.1.2) – (2.1.4), но каждая из них зависит от 4
аргументов: трех начальных координат x0, y0, z0 и времени t.
Чтобы упростить математические записи, для обозначения начальных координат
воспользуемся греческими символами
0
х

,
0
у

,
0
z

, тогда систему (2.1.5) можно
записать в виде
),( tхх pii

=
. (2.1.5а)
Текущие координаты частиц
),,( zyxхi
принято называть переменными Эйлера, а
начальные координаты
),,(


p
(или любые функции, однозначно связанные с
начальными координатами) – переменными Лагранжа.
Уравнения (2.1.5) записаны в самом общем виде и по существу охватывают все
возможные виды движения любых материальных систем (газообразных, жидких и пр.).
Одним из преимуществ описания движения в форме Лагранжа (2.1.5) является
возможность использования достаточно простого принципа суперпозиции (наложения)
движений [6-8], который сводится к замене переменных Лагранжа внешнего движения
),( tхх pii

=
выражениями для соответствующих переменных Эйлера внутреннего
движения
),( t
pii

=
. В результате получаем уравнения в форме Лагранжа для
совмещенного движения
),(( tхх piii

=
.
Упомянутый принцип суперпозиции позволяет упростить описание сложных,
например, пространственных движений, сводя их к наложению плоскопараллельных
движения, а плоскопараллельные движения твердых тел – к суперпозиции
поступательного движения произвольного полюса, принадлежащего телу, и вращения
тела относительно этого полюса [9].
На рис. 2.1 показаны начальное (в левой части рисунка, t = 0) и текущее (t > 0)
положения двух фиксированных частиц Р и М некоторого тела, совершающего
плоскопараллельное движение в плоскости хOу. В начальный момент положение точек
определяют координаты P0((x0)P,(y0)P), M0((x0)M,(y0)M) или Р0(
PP

,
) и М0(
MM

,
). В
произвольный момент точки занимают новые положения с координатами P(xP,yP) и
M(xM,yM). Угол между прямой РМ, соединяющей рассматриваемые точки, и осью х в

20
исходном состоянии обозначим
0

, в текущем состоянии –

. В качестве полюса может
быть принята любая точка. В приведенных ниже формулах за полюс принята точка Р.
Рис. 2.1. К выводу уравнений плоскопараллельного движения
Соотношение между переменными Лагранжа для точек М0 и Р0 в начальный момент
времени
00 cos

L
PМ+=
,
00 sin

L
PМ+=
. (2.1.6 а)
В общем случае будем предполагать, что расстояние между рассматриваемыми
точками в процессе движения изменяется и в произвольный момент времени составляет
0
LL 
. По аналогии с (2.1.6а) для переменных Эйлера можно записать

cosLxx PМ+=
,

sinLyy PМ+=
. (2.1.6 б)
Переходя к приращениям угла поворота
0

−=
и используя известные
соотношения для косинусов и синусов суммы двух углов, преобразуем уравнения (2.1.6 а)
к виду
=++=+= )cos(cos 0

LxLxx PPM
L
М0
Р0
Р
t>0
L0

у
t=0
М
0
x

21
)sinsincos(cos 00

−+= LxP
,
=++=+= )sin(sin 0

LyLyy PPM
 

++= sincoscossin 00
LyP
,
или
]sin)(cos)[(
0

−−−+= РМРМPМL
L
xx
, (2.1.7)
]cos)(sin)[(
0

−+−+= РМРМPМL
L
yy
.
По существу уравнения (2.1.7) представляют один из вариантов уравнений (2.1.5)
для плоскопараллельного движения твердых тел, в которых параметрами времени
являются текущие длина L и угол поворота тела


. Независимость этих двух
параметров вынуждает вводить новую переменную – время t, чтобы показать
относительную последовательность или характер изменения этих параметров
)(tL
и
)(t


.
Если их продифференцировать по времени, получим соотношения между
скоростями полюса и произвольной частицы М с учетом изменения длины L
−−−−+= ]sin)(cos)[()()(
0

РМРМ
t
PtМtL
L
xx
]cos)(sin)[(
0

−+−− РМРМt
L
L
, (2.1.8)
+−+−+= ]cos)(sin)[()()(
0

РМРМ
t
PtМtL
L
уу
]sin)(cos)[(
0

−−−+ РМРМt
L
L
,
Повторным дифференцированием находим компоненты ускорения
−−−−+= ]sin)(cos)[()()(
0

РМРМ
tt
PttМtt L
L
xx
−−+−− ]cos)(sin)[(2
0

РМРМt
t
L
L

22
−−−−− ]sin)(cos)[(
2
0

РМРМt
L
L
]cos)(sin)[(
0

−+−− РМРМtt
L
L
, (2.1.9)
+−+−+= ]cos)(sin)[()()(
0

РМРМ
tt
PttМtt L
L
уу
−−−−+ ]sin)(cos)[(2
0

РМРМt
t
L
L
+−+−− ]cos)(sin)[(
2
0

РМРМt
L
L
]sin)(cos)[(
0

−−−+ РМРМtt
L
L
Здесь
t
dtd

/
и
tt
dtd


22 /
– угловая скорость и угловое ускорение, соответственно,
рассматриваемого тела. Обозначения
t
LdtdL /
и
tt
LdtLd 
22 /
соответствуют скорости и
ускорению изменения расстояния между рассматриваемыми точками Р и М.
Аргументами правых частей уравнений (2.1.7) – (2.1.9) являются начальные
координаты точек
),(


p
, поэтому их называют соотношениями для координат,
скоростей и ускорений в форме Лагранжа. Однако, учитывая уравнения движения (2.1.7),
для компонент скорости и ускорения можно получить более компактные уравнения в
форме Эйлера (аргументами становятся текущие координаты точек)
)()()()( РМtРМ
t
PtМtуухх
L
L
xx −−−+=

, (2.1.10)
)()()()( РМtРМ
t
PtМtххуу
L
L
уу −+−+=

,
+−−−+= )()()()( 2
2
РМ
t
РМ
tt
PttМtt хх
L
L
хх
L
L
xx
])()[()(])()[( РtМttРМttРtМt
tуууухх
L
L−−−−−+

, (2.1.11)
+−−−+= )()()()( 2
2
РМ
t
РМ
tt
PttМtt уу
L
L
уу
L
L
уу
])()[()(])()[( РtМttРМttРtМt
tххххуу
L
L−+−+−+

.

23
Уравнения (2.1.7) – (2.1.11) могут быть использованы для кинематического анализа
механизмов с изменяемым расстоянием между осями шарниров, например, кулисных (см.
рис. 2.4) или когда смежные звенья образованы гидравлическими или пневматическими
цилиндрами, винтовыми парами типа «винт – гайка». С их помощью можно также учесть
деформации растяжения или сжатия звеньев, как указано в работе [11].
В большинстве механизмов расстояния между осями шарниров не изменяются, тогда
0
LL =
и вместо (2.1.7) получаем

−−−+= sin)(cos)( РМРМPМxx
, (2.1.12)

−+−+= cos)(sin)( РМРМРМ yy
.
Для сокращения объёма пособия все последующие уравнения, если не оговорено
особо, записаны для случая
0
LL =
. Принимая во внимание это ограничение в
уравнениях (2.1.7) – (2.1.11) или дифференцируя координаты (2.1.12) по времени,
получаем соотношения для компонент скорости
]cos)(sin)[()()(

−+−−= РМРМtPtМtxx
, (2.1.13)
]sin)(cos)[()()(

−−−+= РМРМtPtМtyy
и ускорения
]cos)(sin)[()()(

−+−−= РМРМttPttМtt xx
– (2.1.14)
]sin)(cos)[(
2

−−−− РМРМt
,
]sin)(cos)[()()(

−−−+= РМРМttPttМtt уу
]cos)(sin)[(
2

−+−− РМРМt
.
Уравнения (2.1.13) – (2.1.14) можно преобразовать к форме Эйлера, тогда они
принимают более компактный вид, а аргументами правой части будут текущие
i
x
, а не
начальные
р

координаты частиц,
)()()( РМtPtМtууxx −−=

,
)()()( РМtPtМtххyy −+=

, (2.1.13а)
)()()()( 2
РМtРМttPttМtt xxууxx −−−−=

, (2.1.14а)
)()()()( 2
РМtРМttPttМtt yyxxyy −−−+=

.
Уравнения (2.1.12) – (2.1.14) позволяют определить координаты, скорости и
ускорения любых частиц или геометрических точек пространств, например, центров масс,
связанных с каждым из звеньев механизма, а также положение мгновенных центров

24
скоростей или ускорений, кривизну траекторий, шатунные кривые и другие
кинематические характеристики движения рассматриваемого тела.
Необходимо иметь ввиду, что уравнения (2.1.12) – (2.1.14), в отличие от (2.1.7) –
(2.1.11), справедливы только для абсолютно твердых тел, расстояния между любыми
частицами которых не изменяются в процессе движения. В качестве исследуемой точки М
можно рассматривать любую точку этого тела, а для полюса Р координаты
РPуx)(,)(
,
скорости
PtРtуx)(,)(
и ускорения
PttРtt уx)(,)(
, входящие в правую часть приведенных
выше уравнений, должны быть известны при любом положении ведущего звена.
Для определения положения мгновенных центров скоростей (МЦС) следует
приравнять нулю правые части уравнений (2.1.13). В результате получаем значения их
координат в пространстве переменных Эйлера
tPtPМЦС yxx

/)(−=
,
tPtPМЦС xyy

/)(+=
(2.1.15)
или Лагранжа
t
PtPt
PМЦС
yx



+
−= cos)(sin)(
;
t
PtPt
PМЦС
yx



−
−= sin)(cos)(
. (2.1.15а)
Для мгновенных центров ускорений в пространстве переменных Эйлера из уравнений
(2.1.14) следует
24
2)()(
ttt
ttPtttPtt
PМЦУ
yx
xx


+
−
+=
;
24
2
)()(
ttt
tPttttPtt
PМЦУ
yx
yy


+
+
+=
. (2.1.16)
Координаты мгновенного центра ускорений в пространстве переменных Лагранжа
можно найти, используя уравнения (2.1.12) по известному положению механизма и
эйлеровым координатам МЦУ (2.1.16).
Приведенные формулы применимы для определения кинематических характеристик
движения любых точек, заданных начальными координатами (

,
). Все величины,
входящие в правые части уравнений, должны быть определены на предшествующих
стадиях расчета.

25
Нормальные и касательные составляющие векторов ускорений по отношению к
траектории движения частицы, т.е. по направлению вектора скорости и ортогонально ему,
могут быть получены по уравнениям
vyyxx
аtttttt+
=

,
22

аwап−=
, (2.1.17)
где
22 tttt yxw +=
,
22 tt yxv +=
.
Для определения радиуса кривизны траекторий
к

можно воспользоваться
уравнениями [8-9]
п
kа
v2
=

или
||/)()(
11 22
2vyyxxyx
vtttttttttt
k
+−+=

. (2.1.18)
Описанная методика имеет преимущества при анализе шатунных кривых, в
особенности вблизи критических точек, например, точек возврата. В наибольшей степени
они проявляются при последующем динамическом анализе механизмов [5, 11].
Из уравнений (2.1.12) … (2.1.14) как частные случаи следуют соотношения для
вращения относительно неподвижной оси (кривошипа или коромысла). В этом случае
начальные и текущие координаты полюса остаются неизменными. Например, если их
обозначить (a, b), тогда уравнения для координат, скоростей и ускорений преобразуются к
виду

−−−+= sin)(cos)( baax МММ
,

−+−+= cos)(sin)( baby МММ
, (2.1.19)
)()( byx МtМt−−=

,
)()( axy МtМt−=

, (2.1.20)
)()()( 2axbyx МtМttМtt −−−−=

,
)()()( 2byaxy МtМttМtt −−−=

. (2.1.21)
При поступательном движении отсутствует поворот тела. Принимая во внимание
0)0sin(,1)0cos( ==
, из уравнений (2.1.12) – (2.1.14) для ползунов получаем
)( PМPМxx

−+=
,
)( РМРМ yy

−+=
, (2.1.22)
PxМxuu )()( =
,
PyМyuu )()( =
,
PtМtxx )()( =
,
PtМtyy )()( =
, (2.1.23)
PttМtt xx )()( =
,
PttМtt yy )()( =
. (2.1.24)

26
Результаты соответствуют известному положению: компоненты векторов перемещения,
скорости и ускорения для всех частиц поступательно движущихся тел одинаковы.
2.2. Кинематические связи в рычажных механизмах
Кинематический анализ механизма следует начинать от приводного звена
(начального механизма), движение которого предполагается известным. Оно может быть
равномерным вращательным, как это предполагается в графическом методе [1-3], или
неравномерным, т. е. замедленным или ускоренным, вращением. В этом случае изменение
углового ускорения кривошипа
tt
t

 22 /
=
1

на разных участках цикла может быть
определено после динамического анализа механизма через крутящий момент на
приводном валу М0 и момент инерции маховика
0
J
[6-7] по уравнению
=
tt

001 /JM=

.
Приводное звено отличается от «начального механизма» [2-3] тем, что включает
дополнительную кинематическую пару, например, ось шарнира А на кривошипе
(рис. 2.2). Кинематическая пара типа «1В» принадлежит одновременно двумя звеньям:
кривошипу ОА и шатуну АВ. Это позволяет определить текущие значения координат,
компоненты скорости и ускорения точки А, которая может быть использована в качестве
полюса для звена 2 при определении кинематических характеристик других
принадлежащих ему точек. Они, в свою очередь, могут быть использованы в качестве
полюсов при описании движения частиц других смежных звеньев шатуна и т.д.
Из соотношений (2.7) – (2.9) следует, что перед расчетом координат, скоростей и
ускорений частиц каждого звена должны быть известны угол его поворота в
рассматриваемый момент времени или при заданном положении ведущего звена
(например, кривошипа), а также угловые скорости и ускорения рассматриваемого звена.
Их значения определяют кинематические связи механизма, которые должны быть
представлены в виде математических соотношений между постоянными (координаты
неподвижных осей, расстояния между осями шарниров в пределах одного звена и пр.) и
переменными (углы поворота различных звеньев) геометрическими характеристиками
механизма. Именно кинематические связи отличают различные механизмы.
Примеры кинематического анализа механизмов с двухповодковыми группами
Ассура (см. табл. 1) [2-3] с числом подвижных звеньев до 13 и выше, для которых
кинематические связи могут быть представлены в виде приведенных ниже алгебраических
уравнений, приведены на сайтах allmechanics.narod.ru, mexcaf.narod.ru, tpm-
msmu.narod.ru, mehanixx.narod.ru, tpmmsmu.narod.ru.

27
Кривошипно – ползунный механизм
(группы Ассура типа ВВП)
Для кривошипно-ползунного механизма (рис. 2.2) при любом положении кривошипа
(угол
1

) расстояние b должно оставаться неизменным (b= const), следовательно, в любой
момент времени должно выполняться условие
2112 /)sin(sin LbL −=

. (2.2.1)
Если заменить
11 sin

LуА=
, тогда соотношение (2.2.1) будет справедливо для любой
структурной группы Ассура типа ВВП, когда фиксированные направляющие ползуна с
осью «В» параллельны оси «х»
22 /)(sin LbуА−=

. (2.2.1а)
Рис. 2.2. Два варианта сборки кривошипно – ползунного механизма
Дифференцируя уравнение (2.2.1а) по времени, находим соотношения между
угловыми скоростями и ускорениями кривошипа и шатуна
22
,22 cos
)(


L
уAt
t==
,
2
2
2
2
,2
22
,22 sin
cos
)(
cos
)(





L
у
L
уAtt
Att
tt +==
. (2.2.2)
y
В
1
О
x
2
b
А
L1
L2
L2
B

28
Уравнение (2.2.1) предусматривает два решения для двух возможных вариантов
сборки механизма (второй вариант на рис. 2.2 показан пунктиром).
Так как ползун перемещается поступательно, компоненты скорости и ускорения его
частиц совпадают с соответствующими значениями оси шарнира В.
В общем случае произвольного положения направляющих (рис. 2.3) удобнее
воспользоваться уравнением
22
))(( QP
CQyPx
Csignh АА
+
++
−=
, (2.2.3)
которое определяет расстояние от точки А(хА, уА) до прямой Pх + Qу + С = 0. Функция
sign(C) принимает значения +1 или -1 и совпадает по знаку с знаком слагаемого «С» в
уравнении направляющей (прямой) Pх + Qу + С=0. Знак "-" соответствует случаю, когда
точка A и начало координат находятся по одну сторону от прямой. При знаке "+" точка А
и начало координат находятся по разные стороны от прямой.
Рис. 2.3. Кинематические связи при произвольном положении направляющих
Основное преимущество этого варианта состоит в простоте определения
производных по времени ht и htt , так как коэффициенты уравнения направляющей
остаются неизменными. Следовательно, для первой и второй производных по времени
получаем
y
x
О

2
h
К
L1
1
2
А
L2
В

Px+Qy+C=0

29
22
)()(
))(( QP
yQxР
Csignh АtАt
t+
+
−=
,
22
)()(
))(( QP
yQxP
Csignh AttAtt
tt +
+
−=
. (2.2.4)
Угол между прямыми АВ и ВK находим по уравнению
2
/sin Lh=

, (2.2.5)
а наклон прямой АВ по отношению к оси «х» должен быть определен по одной из формул:
если
KАyy 
,

+=
2
(2.2.6)
если
KАyy 
,

−=
2
,
если
KАyy =
,

=
2
,
)0как так (=

.
Соответственно, для угловых скоростей и ускорений вместо (2.1.2) получаем
22
,22 cos


Lht
tt ===
,







+=== 2
2
2
2
,2
22
,22 sin
cos
cos





L
h
Lhtt
tt
tttt
.(2.2.7)
Знак правой части должен соответствовать условиям (2.2.6). Из уравнений (2.2.3) –
(2.2.7) как частный случай следует решение (2.2.1) – (2.2.2) для горизонтальной
направляющей ползуна.

30
Кулисные механизмы (группы Ассура типа ВПВ)
Кулисные шарнирно-рычажные механизмы содержат низшие кинематические
пары, в состав которых входит подвижное звено, образующее с другим подвижным
звеном кинематическую пару типа «1П».
Ниже рассмотрены две схемы (рис. 2.4, a и b), в каждой из них кулисная пара
состоит из шатуна 2 (вращение относительно подвижной оси) и коромысла 3 (вращение
относительно неподвижной оси).
Принципиальное отличие схем состоит в различии относительных размеров
шатунов и коромысел, что оказывает влияние на динамические характеристики
механизма.
При работе механизма должны оставаться неизменными расстояния между
неподвижными опорами (a, b) и осями шарниров О и А (L1) при одинаковых углах наклона
шатуна 2 и коромысла 3 (
32

=
). Наклон прямой АО1 определяет отношение катетов
прямоугольного треугольника
)/()(
2AA xaybtg −−=

. (2.2.8)
После дифференцирования по времени для первой производной
22 /

= t
,
определяющей угловую скорость шатуна и коромысла, находим
2
2
2
2,22 cos
)(
)()()()(
/

A
AAtAAt
txa
xaуybх
t−
−−−
=
. (2.2.9)
Повторное дифференцирование по времени позволяет определить угловое
ускорение
2
2
2
2,2
2
2cos
)(
)()()()(
/

A
AAttAAtt
tt xa
xaуybх
t−
−−−
=
+
−
−
−−−
+2
2
3cos
)(
)()()()(
)(2

A
AAtAAt
At xa
xaуybх
х
2
2
2
,22 cos
)(
)()()()(
)2sin(

A
AAtAAt
txa
xaуybх
−
−−−
−
. (2.2.10)
При соблюдении соответствующих обозначений приведенные уравнения
справедливы для любой из показанных на рис. 2.4 модификаций кулисных механизмов и
групп Ассура типа ВПВ.

31
a)
b)
Рис. 2.4. Модификации кулисных механизмов
Дополнительно отметим, что для определения текущих координат, скоростей и
ускорений частиц коромысла на схеме рис. 2.4,а или шатуна на схеме рис. 2.4,б можно
использовать как уравнения (2.7) – (2.11), так и уравнения (2.12) – (2.14). В частности,
если в качестве полюса для шатуна на схеме рис. 2.4,б использовать ось А, тогда
применимы уравнения (2.12), если же полюс совместить с частицей звена, координаты
которой совпадают с координатами неподвижной оси коромысла (точкой О1), тогда
следует применять уравнения (2.7).
2
1
b

A
у
O
a
х
D
О1
х
2
1
b

A
у
O
a
О1

32
Кривошипно – коромысловый механизм
(группы Ассура типа ВВВ)
Как и в кулисных механизмах, кривошипно-коромысловый механизм (рис. 2.5) имеет
две неподвижные в пространстве наблюдателя оси шарнира О (ось кривошипа совмещена
с началом координат) и О1(a, b) (ведомое коромысло). Начальные и текущие значения
углов
1

,
2

и
3

должны удовлетворять условию неизменности расстояний между
осями шарниров L1 = ОА, L2 = АВ и L3 = ВО1, которое в проекциях на оси координат
имеет вид
aLLL =−+ 332211 coscoscos

, (2.2.11)
bLLL =−+ 332211 sinsinsin

.
Чтобы получаемые ниже зависимости были применимы для групп Ассура типа ВВВ в
любых механизмах, проведем замену
11 cos

LхА=
,
11 sin

LуА=
,
и введем обозначения
А
хaq −=
1
,
A
ybq −=
2
.
Тогда систему (3.1) можно привести к одному уравнению с одним неизвестным
2
3
2
222
2
221 )sin()cos(LLqLq =−−−

,
где
111 cos

Laq −=
,
112 sin

Lbq −=
. После перехода к тангенсу половинного угла
получаем
31
2
3
2
2
2
12
2
2qq
qqqq
tg +
−+
=







, (2.2.12)
где
)2/()( 2
2
3
2
2
2
2
2
13 LLLqqq −++=
. Два возможных результата соответствуют, как и для
других рычажных механизмов, двум возможным вариантам сборки механизма (см.
рис. 2.2 и рис. 2.5). В дальнейшем угол
3

может быть определен по одной из формул
32223 /)sin(sin LqL −=

(2.2.13)
либо
31223 /)cos(cos LqL −=

. (2.2.14)

33
Рис. 2.5. Два варианта сборки кривошипно-коромыслового механизма
Предпочтение следует отдавать формуле, для которой правая часть имеет одинаковый
знак в тех четвертях системы координат, в которых реализуется движение коромысла при
выбранном варианте сборки механизма.
Рис. 2.6. Альтернативный вариант определения углов наклона прямых,
соединяющих оси шарниров кривошипно-коромыслового механизма
O1
L1
B
L2
O
L3
A
a
b
x
y
φ1
φ2
φ3

К
νA
2
νO1
μO1
μB
l
L2
φ2
μA
μA
y
a
A(xA,yA)
φ1
B(xB,yB)
O1(a,b)
φ3
b
x
B(xB,yB)
L3

νО

34
После выбора варианта сборки и значений углов
2

,
3

рекомендуется провести
проверку выполнения системы (2.2.11)
Решение системы (2.2.11) допускает другие варианты записи конечных результатов,
например, через разности углов
32
2
2
2
1
2
3
2
2
32 2
)cos( LL qqLL −−+
=−

. (2.2.15)
Контролировать выбор варианта сборки удобнее при определении угла наклона
шатуна по отношению к оси «х» с помощью уравнения (2.2.3).
Для альтернативного варианта определения углов (рис. 2.6) использованы прежние
обозначения как на рис. 2.5. Предполагаются известными координаты неподвижной оси
О1(a,b), расстояния между осями шарниров АВ = L2, ВО1 = L3, а также текущие значения
угла φ1, координаты А(хА, уА), компоненты скорости (хt)А, (уt)А , φ1,t, линейные и угловые
ускорения (хtt)А, (уtt)А, φ1,tt.
Обозначим внутренние углы νО , νА, νО1 для треугольника
1
ОАО
и μА , μВ, μО1 для
треугольника
1
АВО
. Индексы указывают вершины углов в этих треугольниках.
Последовательность расчета углов φ2 и φ3 :
1) по известным координатам точки А(хА, уА) и положению прямой ОО1 находим
расстояние h =AK с учетом знака
22
))(( QP
CQyPx
CsignAKhAA
+
++
−==
, (2.2.16)
2) определяем расстояние между точками А и О1
2222
1)()()( AA ybxalАО −+−==
, (2.2.17)
3) по расстоянию h находим с учетом знака угол νО1
1
1)sin( AO
h
O=

, (2.2.18)
4) по теореме косинусов находим углы μА и μО1
)(2 )(
cos
12
2
1
2
3
2
2
АОL
АОLL
А
+−
=

,
31
2
2
2
1
2
3
1)(2 )(
cos LАО
LАОL
O
−+
=

, (2.2.19)
5) значения искомых углов φ2 и φ3 составляют
12 ОА

−+=
,
113 ОО

−−+=
, (2.2.20)
где δ – угол наклона прямой ОО1 к оси «х»

35
a
b
tg =

. (2.2.21)
Для проверки результатов можно дополнительно определить угол μА
32
2
1
2
3
2
22)(
cos LL
АОLL
В
−+
=

, μА + μВ. + μО1 =

.
Для второго (альтернативного) решения справедливы соотношения
А

2
22 −=

,
133 2О

+=

. (2.2.20а)
Угловые скорости и ускорения можно найти из уравнений (2.2.20) или (2.2.20а),
например
tОtАt,1,,2

−=
,
tОtОt,1,1,3

−=
,
ttОttАtt ,1,,2

−=
,
ttОttОtt ,1,1,3

−=
,
tОtАt,1,,2

−−=

,
tОtОt,1,1,3 3

−=

,
ttОttАtt ,1,,2

−−=

,
ttОttОt,1,1,3 3

−=

.
Входящие в правую часть уравнений скорости изменения углов находим из соотношений
(2.2.16) – (2.2.18), например







−= 2
1
1
11
,1 )( )(
)cos(
1AO
AOh
AO
htt
О
tО


,
+







+−−= 3
1
2
1
2
1
1
2
1
1
11
,1 )(
)(
2
)(
)(
)(
)(
2
)cos(
1AO
AOh
AO
AOh
AO
AOh
AO
htttttttt
О
ttО


tО
tt
О
ОAO
AOh
AO
h,1
2
1
1
1
1
21)(
)(
)(cos
)sin(










−+
,
22
1)()( byaxAO AA −+−=
,
1
1))(())((
)( AO ybyxax
AO AtAAtA
t
−+−
=
,
−
++−+−
=
1
22
1)()())(())((
)( AO yxybyxax
AO AtAtAttAAttA
tt
t
AtAAtA AO
AO
ybyxax )(
)(
))(())((1
2
1
−+−
−
,
22
)()(
))(( QP
yQxP
Csignh AtAt
t+
+
−=
,

36
22
)()(
))(( QP
yQxP
Csignh AttAtt
tt +
+
−=
,
t
А
tААО
LАОL
АОLL )(
1
)(2 )(
sin11
2
2
12
2
1
2
3
2
2
,






−
+−
=


,
t
O
tO AO
LАО
LАОL
L)(
)( )(1
sin1
)( 1
3
3
1
2
2
2
1
2
3
31
1






−+
−−=


.
Для снижения трудоемкости программирования и уменьшения вероятности ошибок
можно рекомендовать рассчитывать значения углов
2

и
3

по уравнениям (2.2.20), а
угловые скорости шатуна и коромысла – из исходной системы (2.2.11)
А
хaLL −=− 3322 coscos

, (2.2.11а)
А
уbLL −=− 3322 sinsin

.
Производные по времени образуют систему линейных уравнений
Аttt хLL )(sinsin 33,322,2 =−

, (2.2.22)
Аttt уLL )(coscos 33,322,2 −=−

,
откуда
)sin( sin)()(
322
33
,22



−
+
== LyсоsxАtАt
t
,
)sin( sin)()(
323
22
,33



−
+
== LyсоsxАtАt
t
. (2.2.23)
После повторного дифференцирования системы (2.2.22) для угловых ускорений
находим
)sin( sincos
232
3231
,22



−
+
== Lff
tt
,
)sin( sincos
233
2221
,33



−
+
== Lff
tt
, (2.2.24)
где
33
2,322
2,21 coscos)(

LLxf ttAtt −+−=
,
33
2,322
2,22 sinsin)(

LLyf ttAtt −+−=
.

37
Если рассмотренные выше группы Ассура присоединяются непосредственно к
начальному механизму – кривошипу, они образуют так называемые «базовые»
четырехзвенники: кривошипно – ползунные (рис. 2.2 и рис. 2.3), кривошипно – кулисные
(рис. 2.4) и кривошипно – коромысловые (рис. 2.5 и рис. 2.6). Основные отличия
шарнирно-рычажных механизмов состоят в дополнительных присоединяемых группах,
которые расширяют их возможности и увеличивают многообразие воспроизводимых
траекторий (шатунных кривых). Как и для рассмотренных выше трех типов механизмов,
их кинематический анализ предполагает использование уравнений (2.1.12) – (2.1.14) и
геометрических соотношений, накладываемых кинематическими связами.
Ниже рассмотрены две оставшиеся двухповодковые группы Ассура, которые могут
быть присоединены к любому из звеньев, кроме кривошипа, т.е. они не допускают
поворота ведущих (для этих групп) звеньев на полный оборот (3600).
Группы Ассура типа ПВП
Примеры механизмов с группами Ассура типа ПВП приведены на рис. 2.7.
Полюсом для определения кинематических характеристик шатунов 4 и ползунов 5 может
быть ось соединяющих их шарниров D, которая находится на пересечении прямых АВ и
DE.
Для механизма на рис. 2.7, а координаты, скорости и ускорения для осей А и В
определены на предшествующем этапе кинематического анализа базового
четырехзвенника ОАВО1, уравнение прямой АВ можно записать в виде
22

xtgmy +=
, (2.2.25)
где
AB
AB xx yy
tg −
−
=
2

,
AB
BABA xx yxxy
m−
−
=
2
.
Пусть уравнение фиксированной направляющей DE ползуна имеет вид

xtgmy +=
, (2.2.26)
где угол наклона

и отрезок m, отсекаемый прямой DE на оси «у», предполагаются
известными.

38
а)
б)
Рис. 2.7. Схемы механизмов с группами Ассура ПВП
Точка пересечения D должна одновременно принадлежать обеим прямым (2.2.25)
и (2.2.26), следовательно, ее координаты определяет система уравнений
22 mtgxy DD =−

,
mtgxy DD =−

. (2.2.27)
Отсюда находим
2
2

tgtg mm
xD−
−
=
,
2
22


tgtg mtgtgm
yD−
−
=
. (2.2.28)
При решении задач на компьютерах для расчета ординаты yD точки пересечения
прямых удобнее пользоваться вторым из уравнений (2.2.27).
E
φ1
3

L2
φ2
y
a
A
B
O1
φ3
b
x
L3
О
D
1
2
4
5
1
x
O
3
5
4
2
О1
D

39
Дифференцируя уравнения (2.2.27) и (2.2.28), находим компоненты скорости
2
2
2
2
2
2
2
2cos )(
)(
)(
)(



tt
Dt tgtg mm
tgtg m
x−
−
+
−
=
,

tgxуDtDt )()( =
. (2.2.29)
После повторного дифференцирования получим компоненты ускорения оси D
2
2
2
2
3
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2cos )(
)(
2
cos )(
)( )(2)(
)(






ttttt
Dtt tgtg mm
tgtg m
tgtg m
x−
−
+
−
+
−
=
,
2
2
2
2
2
2
2
2
3
2
2
2
2
2cos )(
)(
sin
cos )(
)(
2







ttttgtg mm
tgtg mm
−
−
+
−
−
−
,

tgxуDttDtt )()( =
. (2.2.30)
Этого достаточно для расчета любых кинематических характеристик частиц
звеньев 4 и 5.
На схеме рис. 2.7 б кинематическая пара типа «1В» с осью шарнира D соединяет
шатун 4 (вращается относительно подвижной оси D) и ползун 5 (перемещается
поступательно по фиксированным горизонтальным направляющим). Эта точка может
быть использована в качестве полюса для обоих звеньев. Ее вертикальные перемещения
скорости и ускорения равны 0, изменяются во времени только координаты, компоненты
скорости и ускорения по оси «х».
Координаты неподвижной оси коромысла О1(а, b) и угол наклона φ3 определяют
уравнение прямой О1D
3
)(

tgaxby −+=
.
При известной фиксированной вертикальной координате yD = const находим
текущую координату х
3
/)(

tgbуах DD −+=
,
а затем скорость и ускорение точки D
t
D
Dt bу
х)(
sin )(
)( 3
3
2


−
−=
,
tt
D
t
D
Dtt bуbу
х)(
sin )(
)(cos
sin )(
2)( 3
3
3
2
33
3
3




−
−
−
−=
.
Угловые характеристики вращения шатуна 4 совпадают с ранее вычисленными для
коромысла 3.

40
Рис. 2.8. Кривошипно – коромысловый механизм с кулисной парой на коромысле
Аналогичная методика может быть использована при кинематическом анализе
кулисной пары на коромысле кривошипно – коромыслового механизма (рис. 2.8).
Группы Ассура типа ВПП
Кинематические характеристики поступательно перемещающихся звеньев 4 и 5,
образующих группу Ассура типа ВПП на схеме рис. 2.9, полностью определяются
результатами предшествующего кинематического анализа для оси шарнира D:
вертикальные (для звена 4) и горизонтальные (для звена 5) перемещения, скорости и
ускорения частиц звеньев 4 и 5 совпадают с полученными для оси шарнира D. Эта точка
также принадлежит звену 3, поэтому при определении кинематических характеристик
точки D в качестве полюса удобно принять неподвижную ось вращения коромысла 3.
Уравнения движения всех звеньев, как и для других вариантов механизмов,
приведены в разд. 2.1.
Рис. 2.9. Кинематические схемы механизмов с группами Ассура типа ВПП
Применение аналитических зависимостей типа (3.12), (3.13) и др. необходимо при
анализе состояния и поведения механизмов в области критических точек, например, точек
D
1
2
5
3
4
5
2
3
4
1
D
O
A

41
возврата. В других случаях не исключено применение численных методов анализа с
заменой фактических графиков изменения углов и угловых скоростей
среднеквадратичными параболами второго или третьего порядка.
2.3. Рекомендуемая последовательность
кинематического анализа с применением
электронных таблиц Excel
1. Формируем блок исходных данных, в котором должны быть заданы расстояния
между осями шарниров, положение направляющих ползунов и неподвижных
осей на стойке механизма.
2. Выбираем начало координат (совмещаем с осью кривошипа), начальное
положение механизма (
1

при t=0) и определяем лагранжевы (начальные)
координаты точки А.
3. Задаем предварительный режим работы ведущего звена (кривошипа) в виде
равномерного вращения или с произвольно заданным ускорением (после
завершния силового расчета угловые ускорения будут определены из уравнения
динамики
00,11 /JM
tt ==

).
4. Определяем компоненты скорости и ускорения для оси шрнира А на приводном
звене 1 (кривошипе), которая будет использована в качестве полюса для звена 2
(шатуна).
5. Используя кинематические связи, например, по уравнениям (3.2) или (3.10) для
кривошипно – коромыслового механизма, находим углы, угловые скорости и
ускорения звеньев 2 и 3.
6. С учетом результатов п. 5 находим лагранжевы координаты точек, которые могут
быть приняты за полюсы для кинематического анализа смежных звеньев,
например оси шарнира В на звене 2.
7. Используя точку А в качестве полюса, определяем координаты, скорости и
ускорения исследуемых точек (центр массы, точки съема мощности и пр.) на
звене 2.
8. Переходим к кинематическому анализу звена 3. Для кривошипно –
коромысловых механизмов (рис. 2.5 и рис 2.6) рекомендуется проверить
совпадение результатов, используя в качестве полюса оси шарниров сначала В, а
затем О1.

42
9. Повторяем пп. 5 – 8 для всех других присоединенных групп Ассура, учитывая
особенности кинематических связей.
10. При необходимости определяем положение МЦС и МЦУ шатунов по уравнения
(2.1.15) – (2.1.16), тангенциальные и касательные составляющие вектора
ускорения, радиусы кривизны траекторий исследуемых точек по уравнениям
(2.1.17) и (2.1.18).
11. Если работа предполагает динамический анализ механизма, в заключительный
блок кинематического анализа рекомендуется включить расчет координат,
скоростей и ускорений центров масс звеньев. Их начальные координаты на этой
стадии работы могут быть выбраны произвольно. В дальнейшем все массовые
характеристики могут быть использованы для уравновешивания и оптимизации
механизма.
2.4. Рекомендации по методам проверки
результатов расчета
В качестве типовых ошибок студентов при выполнении индивидуальных заданий
можно указать неправильный выбор положений неподвижных осей шарниров и
расстояний между осями шарниров, что приводит к нарушению условий
работоспособности механизма, а также ошибки при программировании
кинематических связей, особенно при определении угловых ускорений шатунов.
При выполнении расчетов на компьютерах, в частности, с применением
электронных таблиц Excel, целесообразно регулярно проводить проверку результатов:
• по непрерывности траекторий перемещения осей шарниров и любых частиц
механизма,
• по сохранению расстояний между осями шарниров в пределах каждого звена,
• по выполнению свойств производных на графиках функций, в частности,
линейных и угловых координат, скоростей и ускорений,
• по сравнению результатов аналитического и численного дифференцирования.
С наибольшей вероятностью утверждать об отсутствии ошибок алгоритма и
программирования можно лишь после выполнения силового расчета [6-7] по
результатам сравнения крутящего момента на приводном валу кривошипа через сумму

43
мощностей всех потребителей и через обобщенные силы, приведенные к центрам масс
звеньев и осям шарниров.
Отдельно отметим, что в аналитическом методе обязательно использование
правой системы координат, все величины рассматриваются как алгебраические, а
результаты получаются с учетом знаков, которые дают основание для более детальной их
интерпретации.
Изложенная методика может быть использована для пространственных механизмов
с применением принципа суперпозиции движений [7-8], а также для механизмов более
высоких классов, однако сложность их кинематических связей приводит к необходимости
программирования на языках высокого уровня типа С++ и др.

44
3. ДИНАМИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
РЫЧАЖНЫХ МЕХАНИЗМОВ
В кинематике использованы только понятия пространства и времени. Этого
достаточно для описания геометрических особенностей движения материальных точек и
твердых тел. Все кинематические характеристики являются производными от уравнений
движения по времени (компоненты скорости, ускорения) и направлениям (тензоры
деформации и скорости деформации) или выражаются через них с помощью
определенных математических соотношений (кривизна траекторий, МЦС и пр.) [6, 10]. В
размерностях рассматриваемых в кинематике величин присутствуют только метры и
секунды.
В динамике рассматривается влияние свойств тел и окружающей среды, внешних и
внутренних воздействий на движение материальных частиц [10, 12]. В размерностях,
кроме метров и секунд, появляется килограмм. Эту меру долгое время использовали и для
силы, и для массы, так как считали, что между ними различия нет. Только в начале ХХ
века появился термин Килограмм-сила, который в дальнейшем был заменен на Ньютон.
Лагранж называл силу причиной движения [13] без строгого её определения. В учебной
литературе часто ограничиваются формулировкой «сила – одна из мер механического
взаимодействия материальных тел с векторными свойствами». Как правило, при этом
ссылаются на второй закон Ньютона для материальных точек (основной закон динамики
F = ma), что не совсем корректно, так как законы не определяют понятия, а дают связь
между понятиями (в данном случае между силой F, массой m и ускорением a). В
популярном журнале «Квант» отмечено, что законы Ньютона не раскрывают понятия
«сила» [14].
Утверждение «сила считается основным, первичным понятием, не выражающимся
через другие понятия», наподобие времени [12, стр. 161], не может быть
удовлетворительным и не является общепринятым. Классическая теоретическая механика
не определяет понятие «сила» и это затрудняет понимание физического или
механического смысла явлений, связанных с движением и деформацией.
3.1. Энергия как единая мера движения
Чтобы внести определенность и конкретизировать смысл основных понятий
динамики, по аналогии с кинематикой, воспользуемся «первичным» понятием,

45
необходимым для формулировки объективного закона движения, объективность которого
должны обеспечивать его объективные (не зависящие от субъективных факторов)
аргументы. Причем эти аргументы должны быть инвариантами уравнений движения, так
как любые, значимые с точки зрения механики, воздействия должны проявляться в
уравнениях движения, например в форме Лагранжа (2.1.5) [6-7].
Входящие в уравнения (2.1.5) текущие (эйлеровы)
),,( zyxxi
и начальные
(лагранжевы)
),,(


p
координаты, а также время t по своей природе субъективны,
как и система отсчета наблюдателя. Инвариантами называют величины, которые не
зависят от субъективных факторов, таких как выбор вида (прямоугольная,
цилиндрическая и др.), начала и направления осей системы координат наблюдателя.
Инварианты можно найти только через изменения координат, а также их производные по
времени и пространству.
Логическим основанием для утверждения о достаточности кинематических
инвариантов при описании любых явлений, связанных с движением, может быть
положение, которое обычно не упоминается и считается само собой разумеющимся, что в
механике рассматриваются только такие воздействия, которые отражаются на уравнениях
движения и их инвариантах. Следовательно, уравнения движения и их инварианты несут
информацию, характеризующую все внешние воздействия и внутренние изменения,
происходящие в процессе движения.
В соответствии с основным постулатом механики, поведение системы
материальных частиц зависит только от их положения и скоростей. В самом общем случае
уравнения движения (2.1.5) имеют 13 инвариантов [6-7], включая модули векторов
перемещения
),( tu p


, скорости
),( tv p


и ускорения
),( tw p


, по 3 инварианта
тензоров деформаций и скоростей деформаций [12], а также 4 интегральных по времени
инварианта, в том числе путь s
2
1|| uu ==

,
2
2|| vv ==

,
2
3|| ww ==


==
tdtvs
0
4||

(3.1.1)
Чтобы характеризовать состояние частицы, необходимо привести 12 инвариантов к
одному обобщенному скаляру, иначе нельзя сравнивать состояния одной частицы в
разные моменты времени или нескольких частиц в один момент времени. Такая
обобщенная скалярная величина была введена еще во времена Аристотеля и получила
название «энергия». За прошедшее время по существу не изменилось ее определение:

46
энергия – скалярная физическая величина, являющаяся единой мерой различных форм
движения материи.
Все инварианты являются локальными, т. е. в общем случае изменяются при
переходе от одной частицы к другой. В простейшем случае энергию бесконечно малой
частицы
Е

с объемом
0
V

можно представить в виде суммы слагаемых (отдельных
видов энергии)
)( ii
Е

, каждое из которых зависит только от одного инварианта и
является произведением
i

и скалярных коэффициентов
i
k
[6-7],
 ==
iii
iii VkЕЕ 0
)(

. (3.1.2)
Закон сохранения энергии говорит о неизменности правой части, взаимодействие
частиц в процессе движения сводится к обмену энергией, а уравнение (3.1.2) может быть
использовано для определения ускорений, которые и характеризуют поведение частицы
на ближайшем отрезке времени.
Коэффициенты
i
k
обеспечивают единую размерность слагаемых и должны
характеризовать физические свойства частицы или среды, в которой происходит
движение. Они не являются независимыми, так как связаны законом сохранения энергии.
Выбор значения и размерности одного из них оказывает влияние на значения и
размерность других. Соотношение между этими множителями можно найти, рассматривая
движения, когда изменяются соответствующие виды энергии.
Например, соотношение между коэффициентами при модулях векторов
перемещения
)(tu

и скорости
)(tv

, которые по общепринятой терминологии
характеризуют потенциальную и кинетическую энергию, можно определить,
рассматривая свободное падение тела в виде материальной точки без учета сопротивления
воздуха.
Если ориентировать ось z по направлению гравитационного поля (к Земле), тогда
для приращений потенциальной dEp и кинетической dEk энергии следует записать
(нижний индекс t у координаты z соответствует дифференцированию по времени,
dtdzzt/
)
dzzkdtzzkzdkvdkdE ttttttzk 22
2
2
2
222)()( ====
,
dzkdEp1
−=
.
Кинетическая энергия не зависит от направления скорости, поэтому вместо модуля
использован квадрат скорости. Изменение потенциальной энергии зависит от направления
перемещения и это должен учитывать знак приращения координаты z. Из закона
сохранения энергии

47
dEк + dEp = 0
следует
gkk 21 2=
и если принять
mgk=
1
, тогда
2/
2mk =
, что приводит к
общепринятым выражениям для кинетической и потенциальной энергии материальной
точки
2/
2
mvEk=
,
zmgEp=
.
Для практического использования закона сохранения энергии надо определять
приращения энергии, которые в общем случае зависят от изменения каждого из
инвариантов в правой части уравнения (3.1.2)
jijj
j
i
ijiii dqQdq
q
kVqkEd



=


=0
))((
. (3.1.3)
Операторы d и

характеризуют бесконечно малые приращения функций во
времени и в пространстве переменных Лагранжа, соответственно.
3.2. Обобщенные координаты и силы
Множители
ij
Q

, определяющие приращение энергии
)( ii
Еd

на приращениях
обобщенных кинематических координат
j
dq
, в дальнейшем будем называть
обобщенными силами. Обобщенная сила для бесконечно малой частицы
0
V
q
k
q
E
Q
j
i
i
j
i
ij





=


=
. (3.2.1)
В качестве обобщенной кинематической координаты
j
q
могут быть приняты
текущие декартовы, полярные, цилиндрические, сферические координаты, их
производные по времени или направлениям и пр. В зависимости от особенностей
обобщенной кинематической координаты
j
q
(линейные или угловые перемещения и пр.)
обобщенные силы
ij
Q

могут иметь различную размерность и свойства.
Если измерять энергию в джоулях (Дж = Н*м), тогда обобщенные силы на
линейных перемещениях будут измеряться в ньютонах, а на угловых перемещениях – в
ньютонометрах (Н*м), на приращениях квадратов скоростей – в килограммах (кг).
Изменение объемной плотности энергии на безразмерных кинематических координатах
(деформациях) измеряется в Паскалях (Па = Н/м2) и т.д.
Так как произведение обобщенных сил и соответствующих кинематических
координат должно быть скалярной величиной, обобщенные силы сохраняют

48
математические свойства соответствующих им кинематических координат: для линейных
и угловых перемещений они являются векторами, для скалярных параметров – скалярами,
на тензорных кинематических координатах – тензорами (тензор напряжений) и пр.
В общем случае обобщенные силы являются субъективными, так как каждый из
инвариантов
i

, в зависимости от особенности рассматриваемой задачи, может быть
представлен через проекции векторов в принятой системе координат наблюдателя
(декартовой, цилиндрической, сферической и пр.), субъективной по своей природе.
Только произведение субъективных компонент обобщенных сил (3.2.1) и
соответствующих приращений
j
dq
(или скоростей
tj
q,
) обобщенных координат в
соответствии с уравнением (3.1.3) позволяет получить скалярную характеристику
состояния (или процесса) – изменение энергии (или мощность). Именно для расчета этих
объективных характеристик движения они предназначены, но для этого необходимо знать
полный комплект обобщенных сил и соответствующих кинематических координат.
Для каждого вида энергии можно предложить несколько вариантов представления
правой части уравнения (3.1.3). Например, для кинетической энергии материальной точки
с массой m кинематическими координатами могут быть ее эйлеровы координаты xi или
скорости xi,t, а также непосредственно квадрат скорости v2. В частности, при движении
вдоль оси z для приращения кинетической энергии можно записать










===
tt
tt
ttt
kdzmz
dzmz
vdm
dtzmz
vd
m
mvddE
)(2/
)(
2
)2/(
2
2
2
.
В каждом из этих случаев обобщенными силами являются масса m (с постоянным
коэффициентом ½), произведение массы на ускорение m*a (ньютоновы силы) или на
скорость m*v (количество движения).
Учитывая, что различные виды энергии могут быть определены не только как
локальные функции для бесконечно малых частиц механической системы, но и как
интегральные для макрообъемов системы или, например, абсолютно жестких тел в целом,
предлагаемый подход предусматривает деление обобщенных сил на локальные и
интегральные, например приведенные к кинематическим характеристикам центра массы
тела или других особых точек, на приращениях кинематических координат которых
следует определять изменение соответствующих видов энергии.
Таким образом, для однозначного определения приращения энергии или скорости
ее изменения необходимо знать весь комплект обобщенных сил и соответствующих им

49
кинематических координат, а каждую из обобщенных сил Qij следует классифицировать
по виду энергии, приращение которой она определяет, и по типу обобщенной
кинематической координаты, множителем при которой она является при записи
уравнения (3.1.3), с дополнительным указанием на локальный или интегральный (по
объему или времени) ее характер.
Для абсолютно твердых тел, к которым относят звенья шарнирно-рычажных
механизмов, при отсутствии деформации определяющими остаются три инварианта:
|| u

,
|| v

и s, которые определяют значения потенциальной Ер и кинетической Ек энергии, а
также диссипативные процессы – потери энергии за счет трения. В теоретической
механике последние относят к внешним воздействиям.
Чтобы уточнить понятие “внешних воздействий”, постулируем существование
некоторой системы, движение всех элементов которой не зависит от материальных тел и
источников объёмных взаимодействий, находящихся за её пределами. Такую систему,
которая не обменивается с внешней средой энергией и веществом, называют
изолированной или замкнутой [10, 12].
Для анализа движения отдельных элементов механической системы их можно
выделить в самостоятельные подсистемы, заменив действие отброшенных частей
некоторыми эквивалентными по воздействию на движение (этой подсистемы) функциями.
Именно такие функции, которые представляют собой математические образы внешних по
отношению к рассматриваемой подсистеме материальных объектов или потенциальных
полей, оказывающих влияние на её движение и позволяющих описать его уравнениями
типа (2.1.5), будем называть обобщёнными внешними силами.
Предположение о возможности существования изолированной системы является
абстрактным, но оно целесообразно. Проблема состоит не в доказательстве возможности
существования таких систем, а в умении правильно заменить действие отбрасываемых
частей на оставшиеся в анализируемой системе эквивалентными (по влиянию на
движение материальных частиц) математическими функциями – обобщёнными внешними
силами.
Систему можно считать изолированной, если внешними воздействиями можно
пренебречь. Недостаток информации, погрешности теории или конкретные цели
поставленной задачи могут быть объяснением применения такой приближённой модели.
К таким системам, пренебрегая трением, могут быть отнесены математический или
физический маятники, падающее тело.

50
Если же отбрасываемые части оказывают существенное влияние на движение
исследуемой системы, тогда оно должно быть учтено через энергетически эквивалентные
по влиянию на движение обобщённые силы внешних воздействий. Заменяющие
отбрасываемые части обобщенные силы должны быть приведены к характерным точкам,
например, осям шарниров, соединяющих оставшиеся и отбрасываемые части.
Переход к обобщённым силам целесообразен при анализе механизмов привода
рабочего инструмента без описания движения частиц в технологических процессах, для
выполнения которых они предназначены. Например, технологические нагрузки на
ползуне штамповочного пресса изменяются в зависимости от выполняемых операций,
свойств материалов и пр. При расчёте кривошипно-ползунного механизма привода пресса
их можно заменить некоторой силовой функцией координат, перемещения или скорости
точки закрепления штампа на ползуне, либо угла поворота кривошипа. Со стороны
источника энергии можно не рассматривать особенности её передачи на приводной вал
кривошипа, для которого обобщённой координатой будет угол поворота. Действие
отброшенных частей (двигателя, редуктора и пр.) можно заменить эквивалентным
моментом М0 на приводном валу.
С учетом энергии внешних воздействий
е
Еd

, представленной в виде суммы
скалярных произведений сил
Р


и скоростей
v

на границах бесконечно малого
параллелепипеда
0
V

0)( == dtvРЕde



, (3.2.2)
закон сохранения энергии для бесконечно малой частицы принимает вид
0)()(
0=−=  dtvРkdVЕdiii



. (3.2.3)
Закон сохранения энергии определяет особенности движения любых механических
систем. Все другие принципы и теоремы (статики и динамики) можно рассматривать как
его частные случаи и следствия. Для абсолютно твердых тел его обычно применяют в
интегральном (по объему) виде
0=++=
epk dEdEdEdE
(3.2.4)
и для обобщенных сил вместо уравнений (3.1.3), (3.2.1) будем иметь
jijidqQdE =
,
jiij qEQ = /
. (3.2.5)

51
В дальнейшем вместо двух индексов в обозначениях сил Qij будет использован, с
учетом традиций теоретической механики, один Qi или Fi для сил с размерностью [H] и Mi
для моментов с размерностью [Нм].
3.3. Обобщенные силы
кинетической энергии
Возможные варианты обобщенных сил кинетической энергии для материальной
точки рассмотрены выше. Практический интерес представляют обобщенные силы для
конечных тел.
По определению кинетическая энергия движения системы частиц в объёме тела V
с плотностью

пропорциональна квадрату их скорости v2
 ==
mV
kmvVvE

22 5,05,0
(3.3.1)
и может быть вычислена, в соответствии со свойствами интеграла, через сумму
кинетических энергий составляющих его элементов. При плоском движении твердого тела
+=
0
0
22
0)(5,0
Vttk VyxE

(3.3.2)
с учетом соотношений между компонентами скорости произвольной частицы и полюса Р
(2.1.13a)
)()( PtPtt yyxx −−=−

,
)()( PtPtt xxyy −=−

, (3.3.3)
кинетическую энергию определяет интеграл
E x y y y x x V
k t P t P t P t P
V
= − − + + −

0 5 0
2 2
0
0
, {[( ) ( )] [( ) ( )] }
   
.
Преобразуем правую часть к виду
E x y x y y y x x
k t P t P t t P P t P P
V
= + − − − − +

0 5 2
2 2
0
,{[( ) ( ) [( ) ( ) ( ) ( )]

+ − + −
 
t P P
x x y y m
2 2 2
[( ) ( ) ]}
.
Переходя к координатам центра масс

52
x m x m
C
m
=

;
y m y m
C
m
=

, (3.3.4)
после интегрирования находим

Emv m y x x x y y
k P t t P C P t P C P
= + − − − +0 5 2
2
,[( ) ( ) ( ) ( )]

+ − + −

 
t P P
V
x x y y m
2 2 2
0
[( ) ( ) ] }
.
С учётом понятия осевого момента инерции JP
J x x y y m
P P P
m
= − + −
[( ) ( ) ]
2 2

, (3.3.5)
окончательно получаем
Emv J m x y y y x x
k P t P t t P C P t P C P
= + − − − −
1
2
1
2
2 2
 
[( ) ( ) ( ) ( )]
. (3.3.6)
Таким образом, для определения кинетической энергии тела необходимо знать
положение центра масс C(xC, yC) и его скорость, а также момент инерции тела JP
относительно оси, проходящей ортогонально плоскости вращения через полюс Р. Его
величину можно найти через осевой момент инерции JC относительно оси, проходящей
через центр масс С,
J J x x y y m J CP m
P C C P C P C
= + − + − = +[( ) ( ) ] ( )
2 2 2
. (3.3.7)
Наиболее простой вид уравнение (3.3.6) принимает для случая, когда полюс
совпадает с центром масс (xi)P = (xi)C ,
Emv J
k C t C
= +
1
2
1
2
2 2

. (3.3.8)
Как частный случай из (3.3.6) следуют уравнения для кинетической энергии
поступательно движущихся тел, например ползуна (угловая скорость

t
равна 0)
Emv
k C
=22/
, (3.3.9)
и вращающихся относительно неподвижной точки, например кривошипа
E J
k=0
22

/
, (3.3.10)
где
t

=
– угловая скорость,
0
J
– момент инерции тела относительно оси вращения.
Особо следует отметить, что моменты инерции JP или JC могут быть вычислены
как по начальной (t = 0), так и по текущей конфигурации тела, так как в любой момент
времени из уравнений (2.1.12) следует

53
( ) ( ) ( ) ( )x x y y
P P P P
− + − = − + −
2 2 2 2
   
. (3.3.11)
В практических расчетах удобнее пользоваться не приращением энергии, а
скоростью её изменения. Для кинетической энергии при плоском движении, с учетом
уравнения (3.3.8), получим
CtttCttCtCttCt
k
kJmyymxx
dt
dE
W

++== )()()()(
. (3.3.12)
Множители при скоростях соответствуют обобщенным силам кинетической энергии на
линейных и угловых скоростях
CttСxxmF )()( =
,
CttСyymF )()( =
,
CttCJM

=
, (3.3.13)
с учетом которых правая часть (3.3.12) принимает вид
CtCtCyCtCx
k
kMyFxF
dt
dE
W

++== )()()()(
. (3.3.14)
Если вместо центра масс С за полюс, относительно которого вращается тело,
принять произвольную точку Р, для приращения кинетической энергии следует
воспользоваться уравнением (3.3.6), откуда
−++= PtttPttPtPttPtk JyyxxmdtdE

])()()()[(/
− − − −m x y y y x x
tt t P C P t P C P

[( ) ( ) ( ) ( )]
–
− − − − − − +m x y y y x x m x y y
ttt P C P tt P C P t t P t C t P
 
[( ) ( ) ( ) ( )] ( ) [( ) ( ) ]
])()[()( PtCtPtt xxym −+

.
Переходя в последних двух слагаемых правой части от скоростей полюса Р и центра масс
С к их координатам с помощью уравнений (2.1.13а) и группируя множители при
скоростях изменения линейных и угловых координат
РtРtРyРtРx
k
kMyFxF
dt
dE
W

++== )()()()(
(3.3.15)
для комплекса обобщенных сил получим
)]()()[()( 2PCtPCttPttPx xxyyxmF −−−−=

,
)]()()[()( 2PCtPCttPttPy yyxxymF −−−+=

, (3.3.16)
PttPCPttPCPttPJxxyyyxmM

+−+−−= )]()()()[(
. (3.3.17)
Учитывая кинематические соотношения для плоскопараллельного движения (2.1.14)

54
)()()()( 2PCtPCttPttСtt xxyyxх−−−−=

,
)()()()( 2PCtPCttPttСtt yyxxyy −−−+=

, (3.3.18)
первые два уравнения принимают вид
CttСxРxxmFF )()()( ==
,
CttСyРyymFF )()()( ==
. (3.3.19)
Отсюда следует, что известные зависимости Fi = mai и
РР JM

=
с позиций
энергетической модели механики следует рассматривать как комплекс обобщенных сил,
характеризующих изменение кинетической энергии абсолютно твердого тела на линейных
перемещениях центра масс или любой другой точки тела и его угловых поворотах. Знаки
компонент обобщённых сил (момента Mi и сил Fi) определяют знаки ускорений
соответствующих обобщённых (линейных или угловых) координат.
Таким образом, скорость изменения кинетической энергии движения тела можно
характеризовать совокупностью векторов силы Fi и момента МР, приведенных к любой
точке пространства переменных Лагранжа, связанного с движущимся телом. Из условия
тождественности двух форм представления приращения энергии
tPPtPyPtPxtCCtCyCtCxk MyFxFMyFxFW

++=++= )()()()()()()()(
можно сделать следующие выводы:
1) множители линейных скоростей (ньютоновы силы) (3.3.16) определяются только
массой тела и ускорением центра масс. При переходе от одного полюса к любому
другому, совпадающему с определённой частицей тела или произвольной геометрической
точкой, принадлежащей пространству переменных Лагранжа, связанного с этим телом,
векторы ньютоновых сил и их проекции не изменяются
F F F m x
x x C x P tt C
= = =( ) ( ) ( )
;
F F F m y
y y C y P tt C
= = =( ) ( ) ( )
;
2) зависимость между моментами (3.3.17), характеризующими интенсивность изменения
кинетической энергии на угловых перемещениях тела, при выборе в качестве полюса
различных точек можно выразить через их скорости
tPtCtyPtCtxCP yyFxxFMM

/]})()[(])()[({−+−+=
, (3.3.20)
или координаты
M M F y y F x x
P C x C P y C P
= − − + −( ) ( )
. (3.3.21)
Из уравнения (3.3.21) следует, что при изменении положения полюса Р момент МР
меняется. Вектор МР направлен вдоль оси, проходящей через полюс Р ортогонально

55
плоскости вращения тела, и считается положительным, если вращение происходит против
часовой стрелки (правило буравчика).
Комплекс обобщенных сил Fi, MP, известный для одной точки, с помощью
соотношений (3.3.20) – (3.3.21) можно преобразовать к кинематическим координатам
другой точки, так что результат расчета приращения или мощности кинетической энергии
не изменится.
В случае пространственного движения или когда плоскость движения частиц тела
не совпадает с плоскостями координат наблюдателя, уравнение (3.3.15) можно записать в
векторной форме




+= РРРkMvFW
, (3.3.22)
где использовано обозначение


для вектора углового ускорения вращательного
движения тела.
Векторы
Р
F

и
Р
M

имеют разную размерность, но оба предназначены для
совместного расчета приращения или мощности кинетической энергии. С учетом этого
было бы целесообразно объединить их общим термином, например, кинетические силы и
момент. Но, к сожалению, термин «кинетический момент» используется в классической
механике (характеризует момент количества движения относительно произвольного
полюса). Поэтому в дальнейшем будем называть их комплексом обобщенных сил
кинетической энергии, который включает в случае плоскопараллельного движения вектор
силы
Р
F

с проекциями (3.3.16) и момент
РttРJM

=
. Для проекций силы будет
использован также термин «ньютоновы силы» [15], но он не включает момент
Р
M
.
Таким образом, для определения приращения или скорости изменения
кинетической энергии абсолютно твердого тела при его плоскопараллельном движении
нужно знать вектор силы с проекциями (3.3.19) и момент (3.3.17). При этом вектор силы
является свободным и его можно переносить в любую точку рассматриваемого тела или
пространства переменных Лагранжа, связанного с этим телом. Величина МР зависит от
момента инерции JP относительно оси, проходящей через полюс Р ортогонально
плоскости движения. Этот вектор не является свободным и при изменении полюса новое
его значение определяют формулы (3.3.20) или (3.3.21). Принимая во внимание
необходимость совместного использования полного комплекта обобщенных сил, лучше
указывать в качестве точки его приложения полюс Р, относительно которого
рассчитывается момент инерции тела.

56
В качестве полюса может быть выбрана любая точка пространства переменных
Лагранжа, связанного с рассматриваемым телом, независимо от того, имеется там
материальная частица или нет, например, центр кольца или ось пустотелой трубы.
Приведенные выше формулы относятся к рассматриваемому моменту времени.
При анализе движения на любом интервале времени полюс Р может быть совмещен с
определенной частицей тела, например, с центром масс, или перенесен в новую точку,
например, в мгновенный центр скоростей. В первом случае ускорения изменения
координат полюса, которые участвуют в уравнениях (3.3.12) и (3.3.16) – (3.3.17), могут
быть вычислены по уравнениям (3.3.18). Во втором случае МЦС перемещается в другую
точку пространства, где может находиться другая частица (её лагранжевы координаты
тоже поменяются). Для определения компонент скорости МЦС следует
дифференцировать по времени уравнения (2.1.15). Соответствующий этому случаю
комплекс обобщенных сил кинетической энергии будет рассмотрен ниже (см. разд. 3.6).
В теоретической механике [10, 12] обычно используют термин “точка приложения”
силы и момента. Принимая во внимание энергетический смысл обобщённых сил и
возможность произвольного выбора полюса, правильнее говорить о приведении
интегральной по объему скорости изменения энергии к обобщенным силам в точке,
кинематические координаты которой должны использоваться при определении мощности
(скорости изменения) соответствующих видов энергии. Это оправдано и для вектора
силы, и для вектора момента МР, который отличается от обычного свободного момента
пары сил (см. рис. 3.2).

57
3.4. Обобщенные силы потенциальной
энергии и внешних воздействий
Для потенциальной энергии гравитационного поля (ось y направлена к центру
Земли)
mgdуdEp−=
,
tp mgyW=
,
mgQp−=
, (3.4.1)
обобщенная сила Qр равна по модулю весу тела (
mgР=
), но направлена не к центру
Земли, как обычно изображают на схемах вес, а в сторону возрастания энергии.
Обобщенные силы внешних воздействий можно получить из уравнения (3.2.2).
Интегральные по объему обобщенные силы для твердых тел должны учитывать
приращение работы не только на линейных, но и на угловых перемещениях
iiiiеdМdxQdМrdQdЕ

+=+= 



.
Переходя от приращения энергии Ее к скорости ее изменения
dtdEWeе/=
, при
плоскопараллельном движении получим уравнение, аналогичное скорости изменения
кинетической энергии (3.3.21)
tеtytxеMyQxQW

++=
. (3.4.2)
Технологические силы Тi являются частным случаем внешних сил, поэтому можно
воспользоваться аналогичным уравнением
tTTtTyTtTxТMyTxTW

++= )()()()(
, (3.4.3)
где индекс Т указывает точку их приложения (приведения), т. е. для расчета их мощности
надо заданную совокупность сил Тi умножить на компоненты линейной скорости точки Т,
а момент МТ – на угловую скорость
t

звена, которому принадлежит точка приведения
технологических обобщенных сил.
Разница в том, что если для кинетической энергии обобщенные силы Fi и MC
определяются массовыми и кинематическими характеристиками тела, то Qi и Mi или Тi и
MТ зависят от внешних воздействий, которые должны быть сформулированы в виде
функций времени, согласованных с изменением скоростей точек, к которым они
приведены. Только в этом случае они будут правильно отражать влияние отбрасываемых
частей на движение рассматриваемой механической системы (см. примеры расчета на
сайтах allmechanics.narod.ru, mexcaf.narod.ru, tpm-msmu.narod.ru, mehanixx.narod.ru,
tpmmsmu.narod.ru).

58
Определение внешних сил по уравнению (3.4.2) допускает существование в правой
части скалярных произведений ортогональных векторов сил
N

и скоростей
v

, которые
не меняют численного значения левой части
tеtее MvNvQMvQW

++=+= 





. (3.4.4)
Такие силы
N

, скорость точки приведения которых либо равна нулю
(неподвижные опоры механизма), либо направлена ортогонально силе (усилия на
направляющих ползунов), будем называть пассивными, они не изменяют энергию
внешних воздействий. Пассивные силы можно отнести к потенциальным, так как они
могут производить мощность при изменении кинематических связей. Кроме этого, они
играют существенную роль в диссипативных процессах и определяют силы трения на
поверхностях контакта.
Принимая во внимание, что термин «мощность» определяет в общем случае скорость
изменения, передачи или потребления энергии, в дальнейшем вместо словосочетания
«скорость изменения энергии» будем использовать термины мощность внешний
воздействий, кинетической или потенциальной энергии.

59
3.5. Расчет обобщенных сил на осях шарниров
Как следует из изложенного выше, для выполнения динамического анализа
необходима дополнительная информация о лагранжевых координатах центров масс
звеньев и точек съема мощности, значениях масс и моментах инерции относительно
центральных осей звеньев, а также принятой или заданной зависимости технологических
сил от угла поворота кривошипа (или иного кинематического параметра начального
механизма).
Этих данных, вместе с результатами кинематического анализа, достаточно для
расчета обобщенных сил кинетической и потенциальной энергии, приведенных к центрам
масс звеньев, и технологических сил, приведенных к точкам съёма мощности, если
таковые имеются на рассматриваемом звене. Эти расчеты условно объединим в
энергетический анализа механизма.
Внешние силы, которые заменяют отбрасываемые звенья, должны быть
определены предварительно с использованием общих соотношений преобразования
произвольной системы сил к новому центру, то есть энергия, передаваемая через оси
шарниров со стороны потребителей, должна быть определена на этапе силового расчета
механизма.
Рассмотренные выше варианты расчета обобщенных сил допускают самые
разнообразные методики их применения для динамического анализа конкретных
механизмов, в том числе непосредственное определение на осях шарниров, если они
будут выбраны в качестве полюса для расчета мощности соответствующих видов энергии.
Такой вариант удобен при анализе механизмов с незамкнутыми кинематическими цепями,
большое число степеней подвижности у которых обеспечивается специальными
приводами, позволяющими вывести рабочий орган в любую точку зоны обслуживания в
соответствии с назначением робота.
Для шарнирно-рычажных механизмов усилия на осях шарниров должны
обеспечивать передачу мощности как на движение самого звена, так и всех других
потребителей, для которых звено является ведущим и, соответственно, поставщиком
энергии. Положение центров масс звеньев в значительной степени определяет затраты
энергии на движение и поэтому часто используется для динамического уравновешивания
механизма в целом. В связи с этим совмещение полюсов с центрами масс наиболее
оправдано, изменяя массовые характеристики звеньев и координаты центров масс, можно
добиться желаемых результатов по виду силовых диаграмм на осях шарниров,

60
распределению крутящего момента на приводном валу и пр. Кроме того, методика,
основанная на общих соотношениях приведения произвольной системы сил к новому
полюсу (центру), позволяет выявить ошибки, допущенные в ходе кинематического
анализа, поэтому она рассмотрена ниже более подробно.
Приведение произвольной системы обобщенных сил
к новому полюсу
Рассмотрим произвольную систему обобщенных сил, например, действующих на
шатун шарнирно-рычажного механизма (рис. 3.1). Она включает потенциальную силу Qy,
ньютоновы силы
СуСxFF )(,)(
и момент МС, приведенные к центру массы шатуна
CttСxxmF )()( =
,
CttСxxmF )()( =
,
CttСJМ

=
, (3.5.1)
технологические силы Tx, Ty и момент MT, приведенные к точке съема мощности Т, а
также внешние обобщенные силы Qx, Qy, MD приведенные к оси шарнира D,
эквивалентные мощности, необходимой для движения отбрасываемых частей, например,
ползуна, и выполнения технологической операции (например, с дополнительной точкой
съема мощности на ползуне).
О
Рис. 3.1. Приведение произвольной системы сил к новому полюсу
Требуется определить энергетически эквивалентную систему обобщенных сил,
приведенную к оси шарнира В, через который требуемая мощность поступает от внешнего
В
D
C
T
MB
Qy
Qx
MD
Qy
Qx
MT
Ty
Tx
MC
Fy
Fx
x
y

61
источника (электродвигателя), например, через кривошип, с которым шатун образует
вращательную кинематическую пару в шарнире В.
Чтобы найти общий вид соотношений для обобщенных сил, запишем
энергетическое тождество в виде равенства поступающей и потребляемой мощности
TDpCkСBWWWWW +++=
, (3.5.2)
где заглавные индексы соответствуют точкам приведения мощностей,
kC
W
,
pC
W
–
скорости изменения кинетической и потенциальной энергии. Каждое слагаемое
представим через обобщенные силы в соответствии с уравнениями (3.4.1) … (3.4.4)
tBBtByBtBxB MyQxQW

++= )()()()(
,
tCCtCyCtCxkC MyFxFW

++= )()()()(
,
CtpC ymgW)(=
,
tDDtDyDtDxD MyQxQW

++= )()()()(
,
tTTtTyTtTxT MyTxTW

++= )()()()(
.
Условие энергетического баланса на шарнире В принимает вид
+=++ CtСxtBBtByBtBx xFMyQxQ )()()()()()(

++++ CttCCtСyymgMyF )()()(

++ DtDyDtDx yQxQ )()()()(
tTTtTyTtTxtD MyТxТM

++++ )()()()(
.
Преобразуем скорости точек С, D и Т в правой части энергетического тождества к
скоростям нового полюса В, к которому следует привести силы, в соответствии с
уравнениями (2.1.13)
)()( BtBtt yyxx −−=

,
)()( BtBtt ххуу −+=

. (3.5.3)
В результате получим
tBBtByBtBx MyQxQ

++ )()()()(
=
++−++−−= tCBCtBtСyBCtBtСxMxxyFyyxF

)]()[()()]()[()(
++−++−−+ tDBDtBtDyBDtBtDx MxxyQyyxQ

)]()[()()]()[()(
++−++−−+ tTBTtBtTyBTtBtTx MxxyTyyxT

)]()[()()]()[()(
)]()[(
2BCtBt xxygm −++

.
Равенство будет выполнено, если приравнять в обеих частях множители при одинаковых
компонентах скорости точки В и угловой скорости вращения звена. Отсюда находим
значения обобщенных сил (компоненты главного вектора сил и главного момента):

62
CxTxDxBx FTQQ )()()()( ++=
,
mgFTQQ CyTyDyBy +++= )()()()(
, (3.5.4)
−−−++= )()( BDDxDCTB yyQMMMM
+−−−− )()()()( BCCxBTTx yyFyyT
)]()[()()()()( BCCyBTTyBDDy xxmgFxxTxxQ −++−+−+
.
Полученные уравнения по существу совпадают с используемыми в курсе
«Сопротивление материалов» для определения внутренних силовых факторов [16]. Если
поступление энергии отсутствует, обе части равенства обращаются в 0, движение
прекращается, наступает «равновесие», уравнения совпадают с «уравнениями статики»
[10, 12]: сумма проекций всех сил на любую ось и сумма моментов всех сил относительно
любой точки равны 0.
Особо отметим, что они записаны не как аксиомы, а как следствие закона
сохранения энергии. Возможность равномерного (без ускорений) поступательного или
вращательного движения без дополнительного поступления энергии следует из уравнений
(3.3.8) и (3.3.11).
Уравнения (3.5.4) справедливы для любых звеньев шарнирно – рычажных
механизмов, но для коромысел и ползунов они могут принимать более простой вид (см.
ниже).
Парактивные и парпассивные силы
Как показано выше, для любого шарнира система действующих на звено сил может
быть приведена к вектору силы с проекциями
yx QQ ,
и моменту МВ. Реализация
определяемых ими энергетических потоков на различных механизмах может отличаться.
Например, у роботов на каждом шарнире устанавливается автономный (независимый)
привод, который обеспечивает требуемый момент МВ и его зависимость от фазы цикла.
В шарнирно – рычажных механизмах (с замкнутой кинематической цепью)
шарниры выполняют роль осей и не передают крутящие моменты. В этом случае доля
мощности, затрачиваемая на вращение звена моментом МВ с угловой скоростью
t

,
например, относительно шарнира В на рис. 3.2, создается за счет дополнительной силы
В
R

, энергетически эквивалентной моменту МВ на известной скорости оси шарнира
B
v

,
BBtВvRM 
=

. (3.5.5)

63
Рис. 3.2. Парактивные RB и парпассивные ND силы
Но сила
В
R

будет обеспечивать вращательное движение звена, если появится другая
сила, равная ей по величине и противоположная по направлению, которая не приводит к
появлению дополнительной мощности. Этим условиям удовлетворяет сила
D
N

в шарнире
D с проекциями
BxDx RN )()( −=
,
ByDy RN )()( −=
, если она ортогональна скорости точки
D
v

. Получаем второе уравнение
0== DBDD vRvN 



. (3.5.6)
В проекциях на оси координат оба уравнения приводят к системе
tBBtByBtBx MyRxR

=+ )()()()(
,
0)()()()( =+ DtByDtBx yRxR
,
решение которой имеет вид
BtDtDtBt
DttB
DxBx yxyx yM
NR )()()()( )(
)()( −
=−=

; (3.5.7)
BtDtDtBt
DttB
DyBy yxyx xM
NR )()()()( )(
)()( −
−
=−=

.
Учитывая особую роль пары сил
В
R

и
D
N

, воспользуется терминологией
академика Ишлинского А.Ю. [15] и будем называть их парактивными и парпассивными,
В
D
C
T
MB
Qy
Qx
MD
Qy
Qx
MT
Ty
Tx
MC
Fy
Fx
x
y
RB
ND

64
соответственно. Приставка «пар» подчеркивает их одновременное существование и
назначение. Эти силы обеспечивают выполнение закона сохранения энергии на любом
звене или группе звеньев при согласованном с кинематическими связами движении.
Обобщенные силы на смежных звеньях
кинематических пар
Пересчет момента МВ в пару сил
В
R

и
D
N

соответствует фактическому механизму
передачи энергии. Но для предварительных расчетов, пока не будет выполнена
интегральная проверка энергетического баланса для механизма в целом (по значению
момента на приводном валу), можно сохранить энергетически эквивалентные им
совокупности обобщенных сил с проекциями сил
yx QQ ,
и моментом МВ.
Рис. 3.3. К пересчету момента МВ на смежных звеньях
Для продолжения силового расчета на смежных звеньях кинематических пар они, с
учетом различия угловых скоростей, должны быть пересчитаны в новые значения из
условия равенства передаваемой ими мощности (рис. 3.3)
tBtB MM ,33,22

=
или
ttBB MM ,2,332 /

=
, (3.5.8)
где
t,2

и
t,3

– угловые скорости ведущего и ведомого звеньев, которые определены на
этапе кинематического анализа механизма. Получаемый при этом момент
2B
M
будет
выступать в роли внешней обобщенной силы на шарнире В, но уже в подсистеме звена 2,
т. е. на точке приведения В2.
Аналогичная ситуация возникает на кулисных парах, на которых частицы смежных
звеньев с одинаковыми пространственными координатами, например, точки В2 и В3 на
смежных звеньях 2 и 3, движутся с разными линейными скоростями. В то же время
угловые скорости смежных звеньев кулисных пар остаются одинаковыми
tt ,3,2

=
.
B

3,t

2,t

65
Механизм передачи энергии на кулисных парах может быть различным, в том
числе за счет сил в направлении относительного перемещения, как в пневмо- или
гидроцилиндрах, или в перпендикулярном направлении (по направлению кориолисовых
ускорений), как в синусных и тангенсных механизмах [1-3].
Для выполнения энергетического баланса на смежных звеньях кулисных пар
(рис. 3.4) возможны различные комбинации обобщенных сил, в том числе с сохранением
момента МВ и пересчетом силы
3В
Q

, приведенной к геометрической точке В3 ведомого
звена, на новое значение
2В
Q

, приведенное к геометрической точке В2 ведущего звена
(поставщика энергии) при выполнении условия равенства передаваемой мощности
Рис. 3.4. К пересчету обобщенных сил на кулисных парах
3322 BBBB vQvQ 


=
,
или, в проекциях на оси координат,
33332222 )()()()()()()()( ВtВуВtВxВtВуВtВxуQxQуQxQ +=+
.
Для выполнения энергетического баланса обобщенные силы, приведенные к
линейным скоростям точки В3 на звене 3, преобразуются к новым значениям,
приведенным к линейным скоростям точки В2 на звене 2 в соответствии с соотношениями
2
3
32 )( )(
)()(
Вt
Вt
ВxВxx
x
QQ =
,
2
3
32 )( )(
)()(
Вt
Вt
ВуВу у
у
QQ =
. (3.5.9)
Координаты точки В2 меняются и в каждый момент на ведомом звене (получателе
энергии) в геометрической точке В3 с такими же координатами будет находиться другая
частица, для которой предварительно необходимо вычислить компоненты скорости (xt)B3,
B
2
3

2,t=

3,t

66
(yt)B3, используя в качестве полюса неподвижную ось коромысла (a, b) и известные
текущие координаты этой частицы по уравнениям
)()( 2,33 byx ВtBt −−=

,
)()( 2,33 aхyВtBt −=

.
Такой пересчет не изменяет скалярную величину передаваемой мощности на
кулисной паре
32 BB WW =
.
Последовательность динамического анализа
При выполнении силового расчета каждое звено следует рассматривать отдельно.
Отбрасываемые смежные звенья заменяются энергетически эквивалентными
совокупностями обобщенных сил и рассматриваются как внешние воздействия.
Расчет обобщенных сил, приведенных к осям шарниров, надо начинать с наиболее
удаленного от источника энергии (начального механизма) звена и последовательно
переходить от обобщенных сил, приведенных к центрам масс и точкам съема мощности, к
новым центрам, совпадающим с осями шарниров, через которые поступает энергия на
рассматриваемые звенья механизма.
При этом можно пользоваться общими уравнениями (3.5.4), но, как показывает
опыт, количество ошибок уменьшается, если повторить весь алгоритм приведения
произвольной системы сил к новому центру (полюсу).
1. Записываем в общем виде энергетическое тождество для оси шарнира, на
кинематических координатах которого следует определить обобщенные силы по
образцу
...++++= pCDTkCBWWWWW
2. Мощность, поступающую со стороны ведущего звена, рассматриваем как внешнее
воздействие и преобразуем ее через искомые обобщенные силы и компоненты
скорости этого шарнира
tBBt
B
yBt
B
xB MyQxQW

++= )()(
.
3. Каждое слагаемое правой части п. 1 выражаем через известные обобщенные силы и
компоненты скорости точек их приведения.
4. Заменяем компоненты скорости точек приведения сил правой части
энергетического тождества (п. 1) в соответствии с кинематическими
соотношениями рассматриваемого звена через угловую скорость вращения звена и

67
компоненты скорости шарнира, принятого за новый центр приведения обобщенных
сил.
5. Группируем множители при одинаковых компонентах линейных и угловых
скоростей в правой части тождества и приравниваем каждую группу
соответствующей обобщенной силе из левой части тождества.
6. Умножая полученные результаты на компоненты скорости нового центра,
получаем мощность, необходимую для реализации движения рассматриваемого
звена и всех потребителей, которым она передает мощность от внешнего
источника.
7. Проверяем выполнение энергетического баланса, записанного в п. 1, используя в
правой части вместо обобщенных сил фактические значения мощностей (их
значения должны были быть определены перед началом силового расчета).
8. В случае невыполнения баланса, устраняем ошибки, которые, как правило,
возникают в разделе кинематического анализа механизма.
9. В случае выполнения энергетического баланса, используем полученные значения
обобщенных сил как внешние для расчета на следующем, ближе к источнику
энергии (кривошипу), звене. Для большей определенности будем называть
вычисленные таким образом силы Qi активными.
Предварительный этап силового расчета завершается определением момента на
приводном валу кривошипа по уравнению
CttCCtCyCtCxtO ymgMyFxFM )()()()()( +++=

+
tAAtAyAtAx MyQxQ

+++ )()()()(
.
Так как ось кривошипа неподвижна (компоненты линейной скорости равны 0),
силовой расчет выполнен верно, если выполняется энергетический баланс для всего
механизма
 ===
++= n
jjT
n
jjp
n
jjkt WWWМ
1,
1,
1,0

. (3.5.10)
В правой части должна быть учтена сумма мощностей всех потребителей, включая
затраты мощности на движение
jk
W,
, изменение положения
jр
W,
звеньев, а также на
выполнение технологических операций
jТ
W,
на всех точках съема мощности.

68
Обобщенные силы на осях шарниров
Вместо использования описанной выше последовательности расчета обобщенных
сил на осях шарниров через уравнение энергетического баланса, можно воспользоваться
приведенными ниже уравнениями для звеньев различного типа.
Обобщенные силы на шатуне. Расположение точек и обозначения обобщенных сил на
шатуне приведены на рис. 3.1. Исходное энергетическое тождество
pTDСВ WWWWW +++=
.
Обобщенные силы на шарнире В
CxTxDxBx FTQQ )()()()( ++=
,
mgFTQQ CyTyDyBy +++= )()()()(
, (3.5.11)
−−−++= )()( BDDxDCTB yyQMMMM
+−−−− )()()()( BCCxBTTx yyFyyT
)]()[()()()()( BCCyBTTyBDDy xxmgFxxTxxQ −++−+−+
.
Здесь точки В и D соответствуют осям шарниров со стороны поступления энергии (В) и ее
потребителей (D), С – центр масс шатуна, m – его масса. Точка съема мощности Т может
отсутствовать, тогда соответствующие силы и моменты обращаются в 0: (Тх)Т = 0, (Тх)Т =
0, МТ = 0.
Обобщенные силы на коромысле. Расположение точек и обозначения обобщенных сил
на коромысле приведены на рис. 3.5. Исходное энергетическое тождество
pTСDWWWW ++=
Записываем каждую мощность через обобщенные силы:
=++ tDDtDyDtDx MyQxQ

)()()()(
++++= CttCCtCyCtСxymgMyFxF )()()()()(

tTTtTyTtTx MyQxQ

+++ )()()()(
Используя кинематические соотношения (2.1.13а) в виде
by by
xx
D
C
DtCt −
−
=)()(
,
ax ax
yy
D
C
DtCt −
−
=)()(
,

69
записываем энергетическое тождество через компоненты скорости оси шарнира D и
угловую скорость звена,
tDDtDyDtDx MyQxQ

++ )()()()(
=
tT
D
T
DtTy
D
T
DtTx M
ax ax
yT
by by
xT

+
−
−
+
−
−
=)()()()(
+
+
−
−
+ax ax
ymg
D
C
Dt )(
tC
D
C
DtCy
D
C
DtCx M
ax ax
yF
by by
xF

+
−
−
+
−
−
+)()()()(
.
Рис. 3.5. К расчету обобщенных сил на коромысле
Приравнивая коэффициенты при одинаковых скоростях (xt)D, (уt)D,
t

, получаем
обобщенные силы, приведенные к оси шарнира D,
by by
F
by by
TQ
D
C
Cx
D
T
TxDx −
−
+
−
−
=)()()(
,
ax ax
mg
ax ax
F
ax ax
TQ
D
C
D
C
Cy
D
T
TyDy −
−
+
−
−
+
−
−
=)()()(
, (3.5.12)
CTD MMM +=
.
D
O1
C
T
MD
Qy
Qx
Ny
Nx
MT
Ty
Tx
MC
Fy
Fx
x
y

70
Эта совокупность обобщенных сил не совпадает с полученной по формулам (3.5.4)
или (3.5.11) для шатуна, но мощность, вычисленная с применением этих комбинаций
обобщенных сил и соответствующих им линейных скоростей точек приведения (угловая
скорость звена не меняется) для обоих вариантов одинакова.
Обобщенные силы на ползуне. Исходное энергетическое тождество предусматривает
наличие на ползуне точки съема мощности Т
TркDWWWW ++=
,
DtDyDtDxD yQxQW )()()()( +=
,
CtCyCtCxk yFxFW )()()()( +=
,
Ctp ymgW)(=
,
tTTtTyTtTxТMyTxTW

++= )()()()(
.
Так как ползун движется поступательно, угловая скорость вращения равна
t

=0, но
третье слагаемой в уравнении для мощности технологических сил оставлено, чтобы
отметить возможность наличия момента МТ, например, если хвостовик и центр давления
штампа не совпадают.
Так как скорости всех точек на ползуне одинаковы, получаем
CxTxDx FTQ )()()( +=
,
mgFTQ CyTyDy ++= )()()(
. (3.5.13)
Технологический момент МТ на величину обобщенных сил на ползуне не влияет.
Обобщенные силы на кривошипе. С точки зрения кинематики, кривошип является
частным случаем коромысла, но через него поступает мощность от внешних источников
для движения всех звеньев механизма и выполнения технологических операций.
Энергетическое тождество учитывает затраты на движение WC (силы приведены к центру
массы С), изменение положения центра массы кривошипа Wp, а также на передачу
мощности через шарнир А шатуну и другим потребителям WA
pAСOWWWW ++=
.
Сосредоточенные силы на неподвижной опоре не производят мощности (являются
пассивными), поэтому не влияют на выполнение энергетического баланса и могут быть
определены по уравнениям

71
AxCxOx QFN )()()( +=
,
AyCyOy QmgFN )()()( ++=
.
Момент на приводном валу определяем из энергетического баланса
++++= CttCCtCyCtCxtO ymgMyFxFM )()()()()(

tAAtАyAtАxMyQxQ

+++ )()()()(
.
С учетом кинематических соотношений на кривошипе
yx tt

−=
,
xy tt

=
,
получаем
tAA
A
yA
A
xCC
C
yC
C
xO MxQyQMxmgFyFM

++−+++−= )(
. (3.5.14)
Уравнение (3.5.14) определяет значение момента на приводном валу через
обобщенные силы на всех кинематических парах механизма, так как их значения
учитываются в силовом расчете последующих звеньев. Но этот же момент может быть
определен из общего энергетического баланса для механизма в целом по уравнению
(3.5.10). Равенство этих двух результатов может служить критерием правильности всех
расчетов, в том числе при кинематическом анализе механизма.
Корректировка результатов силового расчета
На заключительном этапе силового расчета, учитывая особенности шарнирно-
рычажных механизмов, следует пересчитать моменты на осях шарниров к парам
(парактивные и парпассивные) сил в соответствии с уравнениями (3.5.7). После этого
целесообразно провести проверку энергетической эквивалентности замены момента на
парактивную силу и отсутствие новых источников мощности за счет парпассивной силы
по уравнениям (3.5.5), (3.5.6).
После проверки правильности всех расчетов (энергетические балансы не
нарушены), для осей шарниров, где возникают парактивные и парпассивные силы,
следует вычислить суммарные силы Si
iii RQS +=
(3.5.15)
или полные Pi, если добавляются еще и парпассивные силы
iiiiii NRQNSР++=+=
. (3.5.16)
Итого, на каждой кинематической паре можно указать различные комплекты
обобщенных сил: активные Qi с моментом MK, суммарные Si, но уже без момента MK, и

72
полные Pi. Причем все перечисленные комплекты на скоростях кинематических
координат соответствующих точек должны обеспечивать одно и то же значение
мощности, т. е. все комплекты должны быть энергетически эквивалентными.
После завершения всех пересчетов на всех осях шарниров должны остаться только
силы, создающие мощности на линейных скоростях (моменты должны отсутствовать). На
каждом звене должно выполняться энергетическое тождество только за счет обобщенных
сил на линейных скоростях осей шарниров.
Если энергетический баланс для мощностей W выполняется на всех звеньях, тогда
будет обеспечено выполнение закона сохранения энергии на любых его участках (группах
Ассура) в любой момент времени, в том числе для всего механизма в целом.
Определённые таким образом силы и моменты могут быть использованы для расчёта
деформаций и прочности звеньев механизма.
Мощности, вычисленные через обобщенные силы, приведенные к центрам масс
звеньев, соответствуют затратам на движение самих звеньев для принятых положений
центров масс, значений массы и момента инерции относительно центральных осей. Они
могут быть изменены и минимизированы за счет переноса центра массы в область малых
смещений и скоростей, в идеале – на неподвижные точки пространства переменных
Лагранжа соответствующих звеньев (например, на ось вращения для кривошипа).
По энергетическим признакам можно выделить механизмы с последовательными,
параллельными и разветвляющимися энергетическими потоками. Мощности,
вычисленные для осей шарниров, соединяющих смежные звенья, дополнительно
учитывают затраты энергии на движение всех звеньев механизма за соответствующим
шарниром и выполнение технологических операций на рассматриваемом направлении
энергетического потока. Характер изменения энергетических потоков на протяжении
цикла может служить надежным индикатором стабильности работы механизма, особенно
в области критических точек с резким возрастанием усилий на отдельных элементах.
В динамике различают два типа задач: 1) по заданным внешним воздействиям
требуется найти движение системы, 2) по заданному движению требуется найти внешние
воздействия, которые обеспечивают его реализацию.
Динамический анализ шарнирно-рычажных механизмов можно отнести ко второй
задаче, так как движение всех звеньев определено кинематическими связями и
геометрическими размерами звеньев. Вместе с тем, для маховичных приводов угловое
ускорение кривошипа должно быть согласовано с моментом инерции маховика и после
завершения силового расчета можно внести исправление в блок режима работы
кривошипа, заменив ранее использованную модель с произвольно взятым ускорением на

73
угловое ускорение, соответствующее принимаемому значению момента инерции
маховика Jm и возникающему на приводном валу моменту (3.5.14)
mt JМ/
0,1 =

. (3.5.17)
Математическая модель механизма может быть использована для его оптимизации,
в том числе за счет выбора более рационального расположения центров масс звеньев и их
массовых характеристик (уравновешивание механизма), что приводит к снижению
амплитуды колебаний момента на приводном валу, угловых ускорений кривошипа и, как
следствие, к снижению обобщенных сил, приведенных к осям шарниров.
Трение в шарнирах можно учесть через дополнительные затраты мощности по
одной из известных методик [3, 12].
Минимальные обобщенные силы на осях шарниров
Из описанной выше методики расчета обобщенных сил на осях шарниров следует
их неоднозначность при обязательной энергетической эквивалентности. Это связано с
возможностью появления пассивных сил (см. ур. 3.4.4), ортогональных скоростям точек
их приложения (например, на осях шарниров), которые, не нарушая общего
энергетического баланса, могут достигать достаточно больших значений. При
возникновении ситуаций, допускающих изменение кинематических связей, они могут
производить неконтролируемую мощность и приводить к разрушению механизма.
Именно пассивные силы чаще всего являются причинами крупных аварий, в том числе на
Саяно-Шушенской ГЭС в 2009 году.
Говоря о неопределенности модулей векторов обобщенных сил, следует отметить,
что замерить их непосредственно нельзя. Их можно только пересчитать через
непосредственно замеряемые кинематические и энергетические параметры, например,
через мощность, потребляемую механизмом от внешнего источника энергии. Но это
относится только к «активным» силам, влияющим на энергетические потоки. Пассивные
силы, как отмечено в разд. 3.4, относятся к потенциальным и могут производить
мощность (работу), только при изменении кинематических связей, влияющих на
возможные варианты продолжения движения.
Из этого следует, что фактически обобщенные силы на осях шарниров могут
превышать рассчитанные, их максимальные значения ограничивать нельзя. Вместе с тем,
можно найти минимальные значения обобщенных сил на осях шарниров, если
предположить, что вектор обобщенной силы совпадает по направлению с вектором

74
скорости оси шарнира и поэтому принимает минимальное значение из всех возможных
для передачи рассматриваемой мощности
||*|)(|*)()( MMeMMeMe vQvQW == 

.
Так как мощность относится к скалярным характеристикам движения и работы
механизма в целом, нет необходимости вводить промежуточные параметры, такие как
обобщенные силы, приложенные к центрам масс или точкам съема мощности. Левая часть
уравнения известна уже на этапе энергетического анализа механизма. Компоненты силы
определяем через условие параллельности векторов силы и скорости
||/|)(|*)()( MMeMtMex vQxQ =
,
||/|)(|*)()( MMeMtMeуvQуQ=
Закон сохранения энергии будет выполнен на любой группе звеньев и в любой
момент времени. Метод применим для механизмов как с замкнутыми, так и незамкнутыми
кинематическими цепями с разветвляющимися потоками энергии.
К недостаткам метода следует отнести отсутствие возможности выявления ошибок
кинематического анализа путем сравнения мощностей, получаемых через обобщенные
силы, приведенные к центрам масс и точкам съёма мощности, и силы, приложенные к
осям шарниров.
3.6. Центробежные силы в рычажных
механизмах
Деление кинетической энергии на составляющие, ассоциируемые в уравнении
(3.3.8) с поступательным и вращательным движением тела, является условным. При
изменении положения полюса Р, как следует из уравнения (3.3.6), слагаемое с квадратом
угловой скорости изменяется и принимает максимальное значение (3.3.10), если полюс
совмещен с осью вращения, в качестве которой в любой момент времени может быть
принят мгновенный центр скоростей (МЦС).
Если поменять полюс для расчета обобщенных сил (3.3.16) и (3.3.17), то значения
слагаемых как для энергии (3.3.6), так и для мощности (3.3.15) поменяются за счет
изменения скорости полюса и момента инерции тела относительно нового полюса.
Иначе говоря, слагаемые кинетической энергии в уравнении (3.3.6) не являются
инвариантами. Инвариантными остаются только суммы слагаемых в уравнениях полной
кинетической энергии (3.3.6) и мощности (3.3.15). Каждое из слагаемых, ассоциируемых с

75
поступательным и вращательным движением тела, является субъективным за счет
субъективного выбора системы координат наблюдателя и полюса Р для расчета момента
инерции. Положение центра масс относительно других частей тела зависит только от его
геометрических особенностей и относится к объективным факторам. Центр масс тела в
виде прямоугольной пластины находится на пересечении его диагоналей и не зависит от
системы координат наблюдателя. Но координаты центра масс субъективны за счет
субъективности системы координат наблюдателя.
При выполнении динамического анализа один из субъективных факторов, а именно
выбор полюса Р, можно исключить, совместив его с мгновенным центром скоростей,
положение которого относительно траектории следует считать объективным. В результате
если не исключается, то существенно уменьшается роль субъективности системы
координат наблюдателя.
В разд. 3.3 представлены 3 эквивалентные формы записи кинетической энергии
при плоскопараллельном движении твердого тела. Обычно основным считают уравнение
(3.3.8), когда полюс совмещен с центром масс. Если полюс совместить с осью вращения
(3.3.10), в качестве которой в каждый момент времени можно рассматривать мгновенный
центр скоростей (МЦС), получим другую форму, которая содержит только второе
слагаемое,
222 2
1
2
1
МЦCtМЦCtk imJE

==
, (3.6.1)
где iМЦС – радиус инерции тела относительно МЦС.
Недостаток этого уравнения связан с изменением положения МЦС в общем случае
движения твердого тела, что приводит к изменению во времени как угловой скорости, так
и момента инерции
МЦC
J
или радиуса инерции
mJi МЦCМЦC /
2=
Ранее упомянутое
утверждение о возможности вычисления момента инерции по начальной или текущей
конфигурации тела за счет равенства (3.3.11), к данному случаю не относится.
В качестве третьей формы можно исключить из уравнения (3.3.8) второе слагаемое,
сохранив только первое, как будто тело, не вращаясь, совершается поступательное
движение со скоростью
mEv kЕ/2
2=
. (3.6.2)
Действительно, учитывая наличие МЦС, всегда можно найти на прямой,
проходящей через МЦС и центр масс, точку Е, линейная скорость которой определяет

76
полную кинетическую энергию тела, если поместить всю массу тела в эту точку.
Определяя кинетическую энергию, например, по уравнению (3.3.8) и принимая во
внимание линейную зависимость скорости от оси вращения
tЕЕ
v

=
, находим
расстояние
Е

между точкой Е и МЦС
2
22
t
k
ЕmE


=
. (3.6.3)
Но, согласно уравнению (3.6.1), правая часть полученного равенства соответствует
квадрату радиуса инерции тела
МЦС
i
относительно МЦС
2
2
2
МЦС
t
ki
m
Е=

Следовательно, расстояние от МЦС до точки Е равно радиусу инерции тела относительно
МЦС
МЦСЕ i=

. Этот результат можно рассматривать как геометрическую
интерпретацию радиуса инерции
МЦС
i
. В соответствии с общим уравнением (3.3.5)
mJmyyxxJ МЦCC
m
МЦСМЦСМЦС
222 ])()[(

+=−+−= 
расстояния от МЦС до точки Е (
Е

) и центра масс С (
МЦC

) связаны отношением
2222 CМЦCМЦСЕ ii +==

, (3.6.4)
где iC – радиус инерции тела относительно центральной оси,
МЦC

– расстояние между
центром масс и МЦС
222 )()( CМЦСCМЦСМЦC yуxх−+−=

. (3.6.5)
Из полученного соотношения (3.6.4) следует, что в окрестности центра масс тела
внутри окружности с радиусом, равным радиусу инерции тела iC, имеется точка Е,
скорость которой
)( 222222 CМЦCtМЦСtЕiiv +==

(3.6.6)
определяет полную кинетическую энергию тела, если туда поместить всю его массу. Если
домножить обе части равенства (3.6.6) на 0,5m
CtCCМЦCtМЦСtЕJmvimimmv 22222222 5,05,0)(5,05,05,0

+=+==
,

77
получим очевидный результат, который соответствует условию инвариантности
кинетической энергии по отношению к выбору полюса
МЦСtCtCЕkJJmvmvE2222 2
1
2
1
2
1
2
1

=+==
.
Таким образом, помещая всю массу тела в эту точку, получаем одновременное
представление полной кинетической энергии либо как результат вращательного движения
тела с моментом инерции
МЦС
J
(радиусом инерции
МЦС
i
), либо как поступательного
движения со скоростью
mEv kЕ/2=
точки, удаленной от мгновенного центра
скоростей на расстояние
МЦС
i
, определяемое равенством (3.6.4). Эти формулировки
менее субъективны, так как используют только инвариантные (для рассматриваемого
момента времени) значения радиуса инерции тела относительно мгновенного центра
скоростей и угловую скорость вращения тела.
В случае совмещения полюса с МЦС вместо (3.6.1) можно записать для энергии
)(
2
122
МЦССtk mJE

+=
, (3.6.7)
и мощности
])(0[
2
МЦCtМЦСtМЦСtttk mJW

++=
.
Из последнего уравнения, преобразованного к виду
tМЦСМЦСtМЦСkQМW)(

+=
, (3.6.8)
находим обобщенные силы
МЦСttМЦС JM

=
,
)(
2
МЦCtМЦС mQ

=
. (3.6.9)
Правую часть уравнения (3.6.7) можно выразить через координаты центра масс в
новой системе
уОх 
, начало которой совмещено с МЦС
}])()[({
2
1222
МЦССtk yxmJE 
+

+=

.
Тогда вместо (3.6.8) имеем

78
)](0[
2уухxmJW tttМЦСtttk 
+

++=

и с учетом
222 )()( ух
МЦC 
+

=

,
МЦCtttМЦC yуxх

/]))(())([()( 
+

=
обобщенные силы можно выразить через координаты
МЦСttМЦС JM

=
,
хmQ tМЦСх 
=2
)(

,
ymQ tМЦСу 
=2
)(

. (3.6.10)
Принимая во внимание соотношения между линейными и угловыми скоростями, для
обобщенной силы
МЦС
Q
можно записать
CCCtМЦС rmvrmQ /
22 ==

, (3.6.11)
то есть по существу это центробежная сила, которая, как следует из уравнений (3.6.8) и
(3.6.10), направлена вдоль линии, соединяющей МЦС и центр масс, от центра вращения
МЦС. Как и любая другая обобщенная сила, она может быть использована для определения
скорости изменения кинетической энергии на скорости изменения расстояния между МЦС
и центром масс тела.
Как и для кинетической энергии, доли мощности (скорости изменения)
кинетической энергии, ассоциируемые с поступательным и вращательным движением тела,
не являются инвариантами, зависят от выбора полюса. Вместе с тем, скорость изменения
полной кинетической энергии при любом выборе полюса остается одинаковой.
Для ответа на вопрос о точке приложения центробежной силы надо уточнить
понятие «точки приложения». По определению [6-7] «точкой приложения» следует
называть точку, скорости изменения кинематических характеристик которой (как правило,
координат) используются для определения скорости изменения соответствующей энергии
(потенциальной, кинетической или внешних воздействий).
Для кинетической энергии всегда используются две базовые точки: для ньютоновых
сил это начало системы координат наблюдателя и центр масс, для центробежных сил –
центр масс С и МЦС. Первая пара несет больше субъективной информации, чем вторая за
счет субъективного выбора начала системы координат наблюдателя. Это дает основание
считать центробежные силы более информативными, а их «точкой приложения» – центр
масс, считая МЦС аналогом начала координат.
Геометрическая сумма ньютоновых сил, приведенных к центру масс

79
=+=+= Cttttyx yxmFFF )( 2222
2/1422/12222 )(])()[( tttCCtCttCtCtt mryxxym

+=−+−−=
,
совпадает с центробежной силой только при равномерном вращении, когда угловое
ускорение отсутствует (
CCtC rmvmrF/
22 ==

). В других случаях эти силы не должны
совпадать, так как они определяют скорость изменения кинетической энергии на различных
обобщенных координатах. Но мощности кинетической энергии, вычисленные с
применением комплектов обобщенных сил в виде ньютоновых сил (3.3.16) и момента
(3.3.17), а также центробежных сил и момента (3.6.9), должны быть одинаковыми.
При компьютерном моделировании работы шарнирно-рычажных механизмов
трудоёмкость методик с применением ньютоновых или центробежных сил примерно
одинакова. В первом случае надо рассчитывать все кинематические и энергетические
характеристики для центра масс. Во втором они необязательны, но требуются координаты
и скорости МЦС с постоянным пересчетом момента инерции относительно оси вращения.
Расчет положений МЦС и центробежных сил представляет интерес с точки зрения
оптимизации механизма, так как для снижения расходов энергии на движение центры
масс звеньев желательно совмещать с мгновенными центрами скоростей. Это очевидно
для кривошипов и коромысел, но предполагает новый, по сравнению с известными [2-3],
метод уравновешивания механизмов за счет информации о положении МЦС шатунов как
на продолжении всего цикла, так и в наиболее опасные моменты с критическими
обобщенными силами на осях шарниров или приводном валу. Для выбора положений
центров масс шатунов можно рекомендовать графическое отображение мгновенных
центров скоростей в плоскости лагранжевых координат в соответствии с уравнениями
(2.1.15а). Как показывает опыт, размещение центра масс в окрестности точки наиболее
продолжительного расположения МЦС в течение цикла способствует снижению момента
на приводном валу кривошипа.
Примеры динамического анализа механизмов с применением центробежных сил и
пояснительными записками приведены на сайте allmechanics.narod.ru.
Рекомендуемые в пособии математические модели отражают основные свойства
реальных механизмов, имеют существенное значение на этапе проектирования и
модернизации технологического оборудования различного назначения.
Учебное пособие позволяет, используя ранее полученные знания по высшей
математике, физике, теоретической механике и сопротивлению материалов, грамотно

80
ставить вопрос о проектировании шарнирно-рычажных механизмов с учетом основных
принципов механики, современных тенденций развития научно-технического прогресса,
критериев оптимизации, миниатюризации, перехода на новые технологии и материалы.

81
Приложение 1.
Кинематический и динамический анализ
плоского шарнирно - рычажного механизма
В качестве примера рассмотрим шарнирно-рычажный механизм, схема которого
представлена на рис. П1.1.
O

L
1
y
x
L2
L6
L5
L4
L3
a
g

−
b
−


D
A
B
C
O1
Рис. П1.1. Кинематическая схема механизма
Структурный анализ
Стойкой обозначены заштрихованные области, к которым относятся неподвижные
оси О в начале координат и О1 с координатами (a, b), а также направляющие ползуна 5.
Подвижные звенья обозначены арабскими цифрами 1-5. К ним принадлежат кривошип ОА
(звено 1), шатун АВ (звено 2), коромысло ВО1Е (звено 3) с неподвижной осью О1, к
последнему шарнирно присоединены шатун ЕD (звено 4) с ползуном D (звено 5).
Исходными данными являются расстояния между осями шарниров Li, координаты “а” и
“b” неподвижного шарнира О1, уравнение прямой

tgmxy )( −=
, вдоль которой
перемещается ползун с осью D, а также угловые скорость

t
и ускорение

tt
ведущего
кривошипа, а следовательно и принадлежащей кривошипу прямой ОА. Для механизмов с
маховичным приводом (
m
J
– момент инерции маховика) угловое ускорение кривошипа

tt
определяется на заключительной стадии динамического анализа.
Для простоты изложения и обозначений кинематических пар на рис. П1.1 не
указаны нижние индексы, соответствующие номерам участвующих в кинематической
паре звеньев. Эти индексы указаны только в таблице, из которой следует, что в
рассматриваемом механизме 7 кинематических пар с одной подвижностью (р1 = 7), из
Е
m
3
2
1
4
5

82
которых 6 – вращательные (типа «1В») и одна поступательная (типа «1П»). Все звенья
перемещаются параллельно одной плоскости.
Таблица П1.1.
№№
Номера смежных
звеньев
Вид КП
Рекомендуемое
обозначение для рис.
П1.1
1
0 & 1
1В
О01
2
1&2
1В
А12
3
2&3
1В
В23
4
3&0
1В
О130
5
2&4 (или 3&4)
1В
Е24 (или Е34)
6
4&5
1В
Д45
7
5&0
1П
5&0
Степень подвижности механизма (W) определяем по формуле (1.1.1)
10725323 21 =−−=−−= рpnW
,
где n =5 – число подвижных звеньев, p1 = 7 – число низших кинематических пар с
одной подвижностью. Высших (с двумя подвижностями на плоскости) кинематических
пар в механизме нет, p2 =0. Общее число степеней свободы механизма равно 1, т. е. для
работы механизма достаточно одного ведущего звена, в качестве которого может быть
использован кривошип ОА.
O

L
1
y
x
L2
L6
L5
L4
L3
a
g

−
b
−


D
A
B
C
O1
Рис. П1.2. Структурные группы Ассура
Наиболее удаленную группу Ассура образуют шатун 4 и ползун 5 с тремя
кинематическими парами Е34, D45 , 5&0, из них две кинематические пары относятся к
типу «1В» и одна – к типу «1П» (5&0). Поводки на КП Е34 и 5&0 соединяют эту
Е
m
3
2
1
4
5

83
структурную группу Ассура (тип ВВП) с коромыслом 3 и стойкой 0. Число степеней
свободы (степень подвижности) оставшейся части (звенья 1, 2 и 3) остается равной W =
1, как у исходного механизма. Это подтверждает, что первая структурная группа
выделена правильно.
Далее отделяем вторую группу (звенья 2 и 3) с тремя кинематическими парами
типа «1В» (А12, В23, О103, структурная группа Ассура типа ВВВ). Степень подвижности
оставшейся после этого части – начального механизма с кинематической парой О01 –
остается равной W=1.
Пунктирными стрелками у каждой группы на рис. 1.4 показаны «поводки»,
которыми группы присоединяются к остальной части механизма, содержащей приводное
звено 1 («начальный механизм»), и стойке 0. Причем такое присоединение предполагается
через внедрение принадлежащей присоединяемой группе Ассура кинематической пары в
тело стойки или механизма-донора, от которого она будет получать энергию на движение
и выполнение технологической операции.
Обе структурные группы относятся ко 2-му порядку и 1 классу, к этому же классу
принадлежит и весь механизм.
Предполагая возможные неточности изготовления элементов, неортогональности и
непараллельности осей вращательных кинематических пар, число степеней свободы для
реального механизма следует рассчитывать вместо формулы (1.1.1) по формуле
Малышева (1.1.5)
61755623456 54321 −=−=−−−−−= pрpрpnW
.
где n – число подвижных звеньев, р1 – число кинематических пар с одной
подвижностью, р2 – с двумя подвижностями, р3, р4 , р5 – с тремя, четырьмя и пятью
подвижностями, соответственно, q – число избыточных связей.
Механизм имеет 6 избыточных связей, которые можно устранить за счет замены
низших кинематических пар высшими. Один из вариантов устранения избыточных
связей приведен в табл. П1.2.
Структурная формула для схемы на рис. П1.2
113314355623456 54321 +=−−−=−−−−−= pрpрpnW
,
т. е. механизм имеет 1 общую степень свободы (требуется одно приводное звено) и 1
местную подвижность: шатун 4 может вращаться в сферических кинематических парах
Е34 и D45.

84
Таблица П1.2.
Дальнейший кинематический и динамический анализ приведен для плоской схемы
механизма.
Кинематический анализ
Уравнения движения частиц различных звеньев механизма можно получить
суперпозицией вложенных и наложенных движений по методике, описанной в разд. 2. В
частности, частицы звена 2 с прямой AB совершают вращательное движение вокруг оси А
с координатами (
 
A A
,
) в соответствии с уравнениями
xA A A
= + − − −
      
( )cos ( ) sin 
,
yA A A
= + − + −
      
( )sin ( ) cos 
. (П1.1)
На это вращение накладывается поступательное движение центра вращения
x u= +

,
y v= +

, (П1.2)
где ux и uy – компоненты перемещения оси А в рассматриваемый момент времени t>0.
Подставляя эйлеровы координаты, определяемые уравнениями (П1.1), вместо переменных
Лагранжа в уравнения (П1.2), получаем уравнения движения частиц звена 2 (и прямой AB)
при совместном вращении и поступательном движении оси

−−−++= sin)(cos)( AAxA ux
,

−+−++= cos)(sin)( AAyA uy
, (П1.3)
которые с учетом
AxA xu =+

и
AyA yu =+

принимают вид
№№
Номера смежных звеньев
Вид КП
для ППД
Вид КП для
простран-
ственного
движения
Обозначение
на рис. П1.2
1
0 & 1
1В
1В
О01
2
1&2
1В
3С
А12
3
2&3
1В
2Ц
В23
4
3&0
1В
1В
О130
5
2&4
1В
3С
Е34
6
4&5
1В
3С
D45
7
5&0
1П
1П

85
x xA A A
= + − − −( ) cos ( )sin
     
 
,
y yA A A
= + − + −( )sin ( )cos
     
 
. (П1.4)
В справедливости полученных уравнений можно убедиться, рассмотрев
зависимости между начальными и текущими координатами некоторой частицы М звена
AB, расположенной на расстоянии S = АМ от оси шарнира А. Будем считать исходным
состоянием, соответствующим началу отсчёта времени t = 0, положение механизма с
некоторым значением угла наклона кривошипа к оси “х” равным

0
. Обозначим через

0
значение угла между прямой АВ и осью х. Тогда начальные (лагранжевы) координаты
частицы М составят
00 cos)(

Sx AММ +==
,
00 sin)(

Sy AММ +==
. (П1.5)
В произвольный момент времени t > 0 ось шарнира А займёт некоторое новое
положение с координатами (хА, уА), а угол наклона

прямой АВ будет отличаться от
начального за счёт возможного поворота вокруг оси А на величину


. С учетом
  
= +
0
текущие координаты частицы M можно определить по уравнениям
x x S
A
= + +cos( )
 
0
,
y y S
A
= + +sin( )
 
0
. (П1.6)
Преобразуя правую часть уравнений (П1.6) и принимая во внимание соотношения
между переменными Лагранжа и начальным значением угла

0
, получим уравнения
движения частиц звена 2 в форме Лагранжа, которые совпадают с приведенными в разд.
2.1,
x xA A A
= + − − −( ) cos( ) ( )sin( )
     
 
,
y yA A A
= + − + −( )sin( ) ( ) cos( )
     
 
. (П1.4а)
Из этих уравнений как частные случаи можно получить уравнения движения для
других звеньев механизма.
Приводное звено 1 с прямой ОА вращается вокруг оси О, следовательно, в
уравнениях (П1.4) надо заменить полюс А на О. Но ось О остается неподвижной и
совпадает с началом координат (
x y
0 0 0 0 0= = = =
 
) системы отсчёта наблюдателя.
Следовательно, для звена 1 получаем
x= − − −
     
cos( ) sin( )
0
,
x y
t t
= −

,
x y y
tt t t tt
= − −
 
,
y= − + −
     
sin( ) cos( )
0 0
,
y x
t t
=

,
y x x
tt t t tt
= +
 
. (П1.7)
Уравнения для скоростей и ускорений получены дифференцированием по времени
уравнений движения в форме Лагранжа. Для компактности записей они преобразованы к
форме Эйлера, т. е. их аргументами являются текущие координаты частиц.

86
Ведомое звено 3 вращается вокруг неподвижной оси О1 с координатами (а, b),
поэтому вместо (П1.4) следует записать
x a a b= + − − − − −( ) cos( ) ( )sin( )
     
0 0
,
y b a b= + − − + − −( )sin( ) ( ) cos( )
     
0 0
,
x y b
t t
= − −

( )
,
y x a
t t
= −

( )
,
x y y b
tt t t tt
= − − −
 
( )
,
y x x a
tt t t tt
= + −
 
( )
. (П1.8)
Для шатуна АВ справедливы уравнения (П1.4)
x xA A A
= + − − − − −( )cos( ) ( )sin( )
       
0 0
,
y yA A A
= + − − + − −( )sin( ) ( ) cos( )
       
0 0
, (П1.9)
x x y y
t t A t A
= − −( ) ( )

,
y y x x
t t A t A
= + −( ) ( )

,
x x y y y y
tt tt Att A t t t A
= − − − −( ) ( ) [ ( ) ]
 
,
y y x x x x
tt tt Att A t t t A
= + − + −( ) ( ) [ ( ) ]
 
.
Значения углов

и

должны быть определены из наложенных кинематических
связей. Так как расстояния между осями шарниров предполагаются неизменными при
работе механизма, их значения определяет система уравнений
a L L L− = −
1 2 3
cos cos cos
  
,
b L L L− = −
1 2 3
sin sin sin
  
. (П1.10)
Дифференцируя эти уравнения по времени, находим соотношения между угловыми
скоростями звеньев
− + =
     
t t t
L L L
2 3 1
sin sin sin
,
     
t t t
L L L
2 3 1
cos cos cos− = −
, (П1.11)
откуда
   
 
t t
L
L
= − −
−
1
2
sin( )
sin( )
,
   
 
t t
L
L
= − −
−
1
3
sin( )
sin( )
. (П1.11а)
Аналогичным образом, после повторного дифференцирования по времени
соотношений (П1.10), находим систему линейных уравнений для угловых ускорений
звеньев АВ и ВЕ
++=+−

cossinsinsin 1
2
132 LLLL ttttttt

87

coscos 3
2
2
2LL tt −+
;
++−=−

sincoscoscos 1
2
132 LLLL ttttttt

sinsin 3
2
2
2LL tt −+
. (П1.12)
Если воспользоваться для краткости записей обозначениями
       
tt t t t
L L L L f
1
2
1
2
2
2
3 1
sin cos cos cos+ + − =
,
− + + − =
       
tt t t t
L L L L f
1
2
1
2
2
2
3 2
cos sin sin sin
, (П1.13)
тогда решение последней системы можно записать в виде
 
 
tt
f f
L
=+
−
1 2
2
cos sin
sin( )
,
 
 
tt
f f
L
=+
−
1 2
3
cos sin
sin( )
. (П1.14)
В разд. 2.2. рассмотрено два варианта определения углов, входящих в систему
(П1.10). Ниже рассмотрен переход к одному уравнению с одним неизвестным с помощью
перехода к новым переменным
P a L= − 1cos

и
Q b L= − 1sin

P L L− = −
2 3
cos cos
 
,
Q L L− = −
2 3
sin sin
 
, (П1.10а)
Суммируя квадраты обеих частей уравнений, получаем
( cos )P L−2
2

+ − =( sin )Q L L
2
2
3
2

, (П1.10b)
или, после раскрытия скобок и приведения подобных,
P Q P Q L L L Fcos sin ( ) / ( )
 
+ = + + − =
2 2
2
2
3
2
2
2
. (П1.10с)
Преобразуя левую часть к тангенсу половинного угла, приходим к квадратному
уравнению
Ptg Qtg F tg[ ( / )] ( / ) [ ( / )]1 2 2 2 1 2
2 2
− + = +
  
, (П1.15)
решение которого имеет вид
tg Q Q P F
P F

2
2 2 2




= + −
+
. (П1.15а)
Два возможных результата соответствуют, как и для других рычажных
механизмов, двум возможным вариантам сборки механизма (см. рис. 2.5).
Другой вариант определения углов

и

изложен в разд. 2.2.3.
После определения углов

и

, а также их первых и вторых производных по
времени, по уравнениям (П1.9) находим текущие координаты, компоненты скорости и
ускорения точки Е, которая принадлежит звену 3.

88
Частицы звена 4 вращаются относительно оси Е, которая, как и ось А, меняет своё
положение в пространстве наблюдателя. Следовательно, уравнения движения частиц
звена 4 отличаются от уравнений (П1.4) лишь индексом оси и обозначением угла наклона
прямой ЕD к оси “х”
)sin()()cos()(

−−−+= ЕЕЕ
xx
,
)cos()()sin()(

−+−+= ЕЕЕ
yy
. (П1.16)
После двукратного дифференцирования находим компоненты скорости и
ускорения
)()( ЕtЕtt yyxx −−=

,
)()( ЕtЕtt xxyy −+=

,
])([)()( ЕtttЕttЕtttt yyyyxx −−−−=

,
])([)()( ЕtttЕttЕtttt xxxxyy −+−+=

. (П1.16а)
Угол

наклона прямой ЕD зависит от направления движения ползуна 5. Пусть
ползун 5 перемещается по некоторой прямой с углом наклона

к оси “х”, описываемой
уравнением

tgmxy )( −=
, (П1.17)
где m – отрезок, отсекаемый на оси “х” прямой (П1.17). Положительное направление угла
должно отсчитываться против часовой стрелки от положительного направления оси “х”.
На схеме рис. П1.1

0
, следовательно
tg

0
. Расстояние между осями С и D
предполагается неизменным и равным L5. Тогда в произвольный момент времени можно
записать для координат оси D:
x a L L
D= + −
4 5
cos cos
 
,
y b L L
D= + −
4 5
sin sin
 
. (П1.18)
Угол

определяется координатами осей В и E крепления смежных звеньев и зависит от
текущего значения угла

  
= −
,
cos ( ) / ( )

= + −L L L L L
3
2
4
2
6
2
3 4
2
. (П1.19)
Координаты (П1.18) должны соответствовать уравнению прямой (П1.17), т. е. должно
выполняться равенство

sinsin)coscos( 5454 LLbtggLLa −+=−−+
, (П1.20)
из которого следует
tg tg v p
p tgv
( / )

21 1 2 2
= + −
−
, (П1.21)
где

89
p b L a L g tg v L= + − + −[ sin ( cos ) ( )] /
4 4 5
 
. (П1.22)
Полученное уравнение определяет связь между углами

и

, а также между их
первыми производными по времени
   
 
t t
L
L
=−
−
4
5
cos( )
cos( )
, (П1.23)
где, с учётом (П1.19),
 
t t
=
. После повторного дифференцирования находим связь
между вторыми производными по времени
       
tt t
Ltg Ltg
5
2
5
(sin cos ) (cos sin )+ + − =
= + + −
       
tt t
Ltg Ltg
4
2
4
(sin cos ) (cos sin )
. (П1.24)
Вместо решений (П1.21) – (П1.24) через уравнение траектории оси шарнира D
можно воспользоваться условием постоянства расстояния от неподвижной оси шарнира
О1 до прямой (П1.17). Уравнение перпендикуляра к прямой (П1.17), проходящего через
точку О1, имеет вид
y b a x ctg= + −( )

,
а координаты точки её пересечения с прямой (П1.17) составляют
)1/(])([ 2

tgtgmtgbax +++=

,
)1/()( 2

tgtgbmatgy++−=

.
Расстояние между точкой О1 и прямой

sin)(cos)()( 22 ambbyaxh −+=−

+−

=
в процессе движения не изменяется, т. е. кинематическую связь можно записать в виде

sin)(cos)sin()sin( 45 ambLL −+=−+−
, (П1.21а)
откуда для производных следуют записанные ранее уравнения (П1.23) – (П1.24).
Если кинематический анализ надо выполнить для одного положения кривошипа,
значения углов можно определить графически, а угловых скоростей и ускорений – по
соответствующим уравнениям (П1.11), (П1.12), (П1.23) и (П1.24).

90
Динамический анализ
Для динамического анализа необходимы дополнительные данные о положениях
центров масс звеньев Ci в начальный момент времени
( ) , ( )
 
Ci Ci
, массах mi и моментах
инерции JCi относительно центральных осей.
Динамический анализ состоит из трёх этапов. На первом этапе для каждого звена
(
51  i
для рассматриваемого механизма) определяем кинетическую энергию по
уравнению (3.3.8)
CiitCiiik JvmE )(
2
1
2
1
)( 22

+=
, (П1.25)
изменение потенциальной энергии по отношению к исходному состоянию по уравнению
(3.4.1)
)()( CiСiiip уgmE

−=
, (П1.26)
обобщённые силы по уравнениям (3.3.13)
CittiСixxmF )()( =
,
CittiСiyymF )()( =
,
CiittCi JM )(

=
, (П1.27)
а также скорости изменения потенциальной и кинетической энергии
Citi
ip
ip уgm
dt
Ed
W)(
)(
)( ==
,
CiitCitCiyCitCix
ik
ik MyFxF
dt
Ed
W)()()()()(
)(
)(

++==
. (П1.28)
Мощность технологических сил
iT
W)(
на каждом звене должна быть задана
начальным положением точки их приложения
ТiТi )(,)(

и зависимостью значений сил
iТiуiхМТТ )(,)(,)(
от любого из кинематических параметров кривошипа или звена, на
котором они определяют мощность по уравнению (3.4.3)
itiTTitiyTitixiТMyTxTW )()()()()()()(

++=
(П1.29)
на протяжении всего рабочего цикла механизма.
Предположим, что точка съёма мощности Т на рассматриваемом механизме
находится только на ползуне 5, обобщённые силы зависят от смещения ползуна по
отношению к его исходному положению
0)(),()(),()( 555555555 =−=−= ТTTyуTTxхМyfТxfТ

. (П1.30)

91
Функции f5x и f5у могут быть заданы аналитически или таблично, момент МТ в связи
с отсутствием поворота ползуна (перемещается поступательно по заданной прямой) не
влияет на величину мощности (П1.29) и поэтому принят равным 0.
Чтобы воспользоваться приведенными выше уравнениями, в начале первого этапа
динамического анализа следует определить все кинематические характеристики (текущие
координаты, компоненты скорости и ускорения) для центров масс звеньев и точек съёма
мощности по уравнениям, приведенным выше в разд. 2 для каждого из звеньев. В качестве
полюса могут быть использованы любые из осей шарниров, принадлежащих
рассматриваемому звену (О или А для кривошипа 1, А или В для шатуна 2, О1, В или С для
звена 3 и т.д.). После этого возможен расчёт изменений энергии, сил и мощностей по
уравнениям (П1.25) – (П1.30).
На втором этапе динамического анализа определяем обобщённые силы,
приведенные к осям шарниров, через которые передаётся мощность, необходимая как для
их движения, так и для выполнения технологических операций или передачи другим
смежным звеньям. Учитывая отмеченную в разд. 2 и 3 неоднозначность возможных
вариантов представления энергетических потоков, на втором этапе можно ограничиться
наиболее общей формой (3.4.2). Корректировку обобщённых сил с учётом особенностей
кинематических пар (см. разд. 3.5.6) можно будет провести на третьем этапе
динамического анализа механизма.
Как показано в разд. 3, при расчёте обобщённых сил, приведенных к осям
шарниров, удобнее использовать скорости изменения энергии (мощности), рассматривая
выполнение энергетического тождества для каждого звена, начиная от наиболее
удаленного от источника энергии (кривошипа). В частности, для ползуна 5 поступающая
через шарнир D мощность должна расходоваться на изменение кинетической
5
)( k
W
и
потенциальной
5
)( p
W
энергии, а также на выполнение технологической операции в
соответствии с уравнением (П1.29)
5555 )()()( TpkD WWWW ++=
. (П1.31)
Левую часть уравнения записываем через обобщённые силы, приведенные к оси
шарнира D
5555555 )()()()()()( tDDtDyDtDxDеMyQxQW

++=
. (П1.32)
Для правой части используем приведенные выше уравнения (П1.27) – (П1.30), в
результате получаем
=++ 555555 )()()()()( tDDtDyDtDx MyQxQ


92
++++= 5555555 )()]()[()()( tCCtCyCtCx MygmFxF

555555 )()()()()()( tTTtyTtx MyTxT

+++
. (П1.33)
Принимая во внимание, что при поступательном движении скорости всех частиц
тела одинаковы
555 )()()( TtCtDt xxx ==
,
555 )()()( TtCtDt yyy ==
, а поворот отсутствует
0)( 5=
t

, для выполнения тождества (П1.33) необходимо приравнять коэффициенты при
скоростях
)( t
x
и
)( t
у
в обеих частях равенства. Для обобщённых сил, приведенных к
линейным скоростям оси шарнира D, получаем
555 )()()( xCxDx TFQ +=
,
5555 )()()( yCyDy TgmFQ ++=
. (П1.34)
Уравнение (П1.33) не определяет значение момента МD5 , обычно его принимают
равным 0, а отличный от 0 момент МТ5, например, за счёт несовпадения центра давления и
оси хвостовика штампа, уравновешивают парой сил, ортогональных скорости движения
ползуна.
Для определения обобщённых сил, приведенных к оси шарнира E, рассмотрим
энергетическое тождество для звена 4
4444 )()( DpkЕWWWW ++=
. (П1.35)
Если силы трения в шарнире D не учитывать (их можно рассматривать как
внешние силы), тогда
54 DD WW =
и уравнение (П1.35) можно записать через обобщённые
силы
=++ 444444 )()()()()( tЕЕtЕyЕtЕxMyQxQ

++++= 4444444 )()]()[()()( tCCtCyCtCx MygmFxF

4545 )()()()( DtDyDtDx yQxQ ++
.
Чтобы определить обобщённые силы в левой части равенства, надо перейти от
компонент скорости точек С4 и D4 к компонентам скорости точки Е4 (цифры за буквой
указывают номер звена, частицы которого участвуют в рассматриваемых уравнениях) по
уравнениям (П1.16а). Используя преобразования, подробно описанные в разд. 3.5.1, для
обобщённых сил получаем (см. 3.5.4)
544 )()()( DxCxЕxQFQ +=
,
5444 )()()( DyCyЕyQgmFQ ++=
, (П1.36)
+−−−−= )()()()( 44544 ЕCCxЕDDxCЕyyFyyQMM
)]()[()()( 4445 ЕCCxЕDDуxxgmFххQ−++−+
.

93
Обобщённые силы на шарнире В звена 3 должны обеспечить мощность,
необходимую для изменения кинетической и потенциальной энергии этого звена, а также
мощность
4
)( Е
W
, потребляемую другими присоединенными звеньями,
4333 )()( ЕpkВWWWW ++=
.
Пренебрегая трением в шарнирах, принимаем
43 ЕЕ WW =
и записываем эту
мощность через вычисленные на предыдущем этапе силы (П1.36)
=++ tВВtВyВtВxMyQxQ

33333 )()()()(
++++= tCCtCyCtCx MygmFxF

333333 )]()[()()(
tЕЕtЕyЕtЕxMyQxQ

44444 )()()()( +++
В отличие от расчета обобщённых сил на шатуне 4, в правой части полученного
тождества надо перейти не только к компонентам скорости
ВtВtyx )(,)(
точки В с
помощью соотношений (П1.8), но и к углу поворота звена
t

с учётом уравнения (П1.23)
)cos( )cos(
5
4



−
−
=L
L
tt
.
В результате получаем (см. 3.5.12)
by by
F
by by
QQ
B
C
Сx
B
Е
ЕxBx −
−
+
−
−
=3
343 )()()(
,
ax ax
gmF
ax ax
QQ
B
C
Сy
B
Е
ЕyBy −
−
++
−
−
=3
4343 ])[()()(
, (П1.37)
ttЕCB MMM

/
433 +=
.
Из энергетического тождества для шатуна 2
2222 )()( ВpkАWWWW ++=
,
которое преобразуется к виду
=++ tААtАyАtАxMyQxQ

22222 )()()()(
++++= tCCtCyCtCx MygmFxF

222222 )]()[()()(
tВВtВyВtВxMyQxQ

32222 )()()()( +++
,
принимая во внимание кинематические соотношения (П1.9), для обобщённых сил,
приведенных к скоростям точки А, находим (см. 3.5.11)
222 )()()( ВxCxАxQFQ +=
,

94
2222 )()()( ВyCyАyQgmFQ ++=
, (П1.38)
−+= ttВCАMMM

/
322
+−−−− )()()()( 222 АCCxАВВxyyFyyQ
)]()[()()( 2422 АCCxАВВу xxgmFххQ−++−+
Энергетическое тождество на кривошипе 1
1111 )()( АpkОWWWW ++=
(П1.39)
в левой части не содержит вектора сил, так как ось кривошипа предполагается
неподвижной и силы (Ni)O, не производят мощности. Поэтому уравнение (П1.39)
определяет только момент на валу кривошипа
+++= 11111 )]()[()()( CtCyCtCxtОygmFxFM

tААtАyАtАxtC MyQxQM

2221 )()()()( ++++
Переходя в правой части к угловой скорости кривошипа с помощью уравнений (П1.7),
получаем
−−+= ААxttАCОyQMMM 221 )(/

111211 ])[()()( CCxААуCCx xgmFхQyF +++−
(П1.40)
Правильность расчёта момента на приводном валу (П1.40) должна быть проверена
по выполнению общего энергетического баланса для всего механизма
++=
iiTipiktОWWWM ])()()[(

. (П1.41)
Все слагаемые правой части определены на первом этапе динамического анализа.
Если результаты по двум последним уравнениям не совпадают, следует искать ошибки,
которые, как правило, возникают при кинематическом анализе механизма.
Корректировка результатов силового расчета
На следующем этапе динамического анализа следует провести корректировку
обобщённых сил, приведенных к осям шарниров, с учётом особенностей кинематических
пар. В рассматриваемом механизме кулисные пары отсутствуют, компоненты линейных
скоростей частиц на осях шарниров смежных звеньев одинаковы, отличаются лишь
угловые скорости звеньев. В связи с этим корректировка сводится к пересчёту моментов
МD, ME, MB, MA в пары сил (парактивные Ri и парпассивные Ni силы) по уравнениям (3.5.7)

95
DtЕDDtЕD
DtЕ
DxЕxyyyxxx yM
NR ))(())(()(
)()( 4
−+−
=−=
, (П1.42)
DtЕDDtЕD
DtЕ
DyЕyyyyxxx xM
NR ))(())(()(
)()( 4
−+−
−=−=
.
В результате комплект обобщённых сил на шарнире D (П1.34) должен быть заменён на
новый
DxxCxDxDxDx NTFNQP )()()()()()( 555 ++=+=
,
DyyCyDyDyDy NTgmFNQP )()()()()()( 5555 +++=+=
. (П1.34a)
При этом мощность, определяемая силами (П1.34) и (П1.34a) на скоростях шарнира
D, в любой момент времени и при любых значениях как массовых, так и технологических
сил будет одинаковой.
На шарнире Е обобщённые силы (П1.36) преобразуются в энергетически
эквивалентный комплект
ExDxCxExExEx RQFRQS )()()()()()( 544 ++=+=
,
DyDyCyEyEyEy RQgmFRQS )()()()()()( 5444 +++=+=
, (П1.36a)
т. е. выполняется равенство
EtEyEtExtЕЕtЕyЕtЕxySxSMyQxQ )()()()()()()()()( 444444 +=++

.
Суммарные силы (П1.43) могут быть дополнены пассивными силами от момента
МВ3 из системы (П1.37), если опять воспользоваться уравнениями (3.5.7). Однако
возможен и другой вариант, если в качестве точки приложения пассивных сил принять
неподвижную опору О1.
С энергетической точки зрения возможен комбинированный вариант деления
энергетического потока, эквивалентного произведению момента МВ3 на угловую скорость
коромысла
t

на два указанных выше при условии
333333 )( BBBBBtB vRRvRM 




+

==

,
где
33,BB RR  
– парактивные силы с парпассивными силами
3E
N

,
1O
N

в шарнирах Е и О1,
соответственно. Сила
3B
R

ортогональна текущему положению прямой ВО1, её модуль
зависит от доли общей мощности
333333 )()( BBBtBBtB vRRMMM 
 

+

=

+

=

,
определяемой моментом
3В
М
на угловой скорости
t

звена 3.

96
Рассмотренные варианты дополнительно иллюстрируют возможность
неоднозначного представления пассивных сил при описании скалярных энергетических
потоков через векторные обобщённые силы.
Принимая один из возможных вариантов замены момента МВ3 на векторную силу
B
R

, получим вместо (П1.37)
=+= BxBxBx RQS )()()( 3
Bx
B
C
Сx
B
Е
ЕxR
by by
F
by by
Q)()()( 3
34 +
−
−
+
−
−
=
,
=+= ByByBy RQS )()()( 3
By
B
C
Сy
B
Е
ЕyR
ax ax
gmF
ax ax
Q)(])[()( 3
434 +
−
−
++
−
−
=
. (П1.37а)
Так как шарнир А, как и рассмотренные выше В, Е и D, не может передавать
момент МА2 из решения (П1.38), он должен быть заменён на энергетически эквивалентную
пару сил
А
R

и
B
N

в соответствии с уравнениями (3.5.7)
BtABBtAB
BtA
BxAx yyyxxx yM
NR ))(())(()(
)()( 2
−+−
=−=
, (П1.43)
BtABBtAB
BtA
ByAy yyyxxx xM
NR ))(())(()(
)()( 2
−+−
−=−=
.
С учётом этого результата суммарные силы в шарнире В должны быть дополнены
пассивными силами
+
−
−
=+= by by
QNSP
B
Е
ЕxBxBxBx 4
)()()()(
BxBx
B
C
СxNR
by by
F)()()( 3
3++
−
−
+
,
+
−
−
=+= ax ax
QNSP
B
Е
ЕyByByBy 4
)()()()(
ByBy
B
C
СyNR
ax
ax
gmF )()(])[( 3
43 ++
−
−
++
, (П1.37b)
а обобщённые силы (П1.38) – парактивными силами (П1.43)
АxВxCxАxАxАxRQFRQS )()()()()()( 222 ++=+=
,
АyВyCyАyАyАyRQgmFRQS )()()()()()( 2222 +++=+=
. (П1.38а)

97
При отсутствии момента МА2 момент на приводном валу вместо (П1.40) определяет
уравнение
=
О
M
111111 ])[()()()( CCxААуCCxААxC xgmFхSyFySM +++−−=
(П1.40а)
Естественно, правые части уравнение (П1.40) и (П1.40а), как и энергетические
потоки на всех шарнирах при различных вариантах определяющих их обобщённых сил,
например, (П1.38) и (П1.38а), должны совпадать.
Минимальные обобщенные силы на осях шарниров
Чтобы найти минимальные значения обобщенных сил на осях шарниров,
предположим, что вектор обобщенной силы совпадает по направлению с вектором
скорости оси шарнира и поэтому его модуль принимает минимальное значение из всех
возможных для передачи рассматриваемой мощности
||*|)
ˆ
(|*)
ˆ
()( MMeMMeMe vQvQW == 

Величину передаваемой мощности
Me
W)(
определяем алгебраической суммой
мощностей всех потребителей, расположенных за рассматриваемым шарниром по
направлению энергетического потока
++=
iieikipMe WWWW )()(
.
Слагаемые правой части должны быть определены на этапе энергетического
анализа механизма. Компоненты силы определяем через условие параллельности векторов
силы и скорости
||/|)
ˆ
(|*)()
ˆ
(MMeMtMex vQxQ =
,
||/|)
ˆ
(|*)()
ˆ
(MMeMtMeуvQуQ=
Сравнение графиков изменения модулей обобщенных сил на осях шарниров
показывает, что
ei
Q
ˆ
действительно принимают минимальное значение из всех
рассмотренных вариантов расчета.
Выполнение закона сохранения энергии проверяем на каждом звене, группе
звеньев и для механизма в целом в любой момент времени (см. результаты расчета).

98
Центробежные силы
Для расчета центробежных сил, определяющих скорость изменения кинетической
энергии на скорости изменения расстояния между центрами масс и МЦС звеньев,
необходимо дополнить раздел кинематического анализа расчетом координат мгновенных
центров скоростей при каждом положении кривошипа по формулам (2.1.15)
tPtPМЦС yxx

/)(−=
,
tPtPМЦС xyy

/)(+=
(П1.41)
и расстояния от МЦС до центра масс С (
МЦC

)
222 )()( CМЦСCМЦСМЦC yуxх−+−=

. (П1.42)
После этого находим радиус инерции звена относительно МЦС
222 CМЦCМЦС ii +=

, (П1.43)
где iC – радиус инерции тела относительно центральной оси
mJi CC /
2=
. Значения
массы m и момента инерции относительно центральных осей
C
J
должны быть заданы в
исходных данных.
Величина (П1.43) определяет кинетическую энергию звена
222 2
1
2
1
МЦCtМЦCtk imJE

==
,
а расстояние (П1.42) между центром масс и МЦС – мощность (скорость изменения)
кинетической энергии
tМЦСМЦСtМЦСkQМW)(

+=
,
и обобщенные силы в виде момента
МЦСttМЦС JM

=
,
mJJ МЦCCМЦС
2

+=
и центробежной силы
)(
2
МЦCtМЦС mQ

=
.
Для кривошипа и коромысла МЦС совпадают с неподвижными осями их вращения
и, в соответствии с уравнением (П1.42), расстояние от центров масс до МЦС
определяются их лагранжевыми координатами (заданы в исходных данных).

99
Как правило, центробежные силы не совпадают с модулями «ньютоновых сил»,
приложенных к центрам масс звеньев. Этот раздел динамического анализа представляет
интерес с точки зрения выбора лагранжевых координат центров масс для
уравновешивания механизма: приближение их к области изменения положений МЦС для
шатунов, а также возможное совмещение для кривошипа и коромысел приводят к
снижению энергетических затрат на движение звеньев, которую характеризует
кинетическая энергия механизма.
Момент на приводном валу (П1.40) учитывает все силы, возникающих в процессе
работы механизма с заданным законом движения приводного звена, который может
предусматривать как равномерное его вращение (

tt
= 0), так и этапы разгона или
торможения.
Если известен момент инерции маховика
m
J
, тогда момент МО на предыдущем
временном интервале определяет угловое ускорение кривошипа на последующем
интервале рабочего цикла механизма в математической модели механизма
mtt JM /
0
=

в соответствии с уравнением (3.3.13).
Примеры кинематического и динамического анализа шарнирно-рычажных
механизмов с различными кинематическими схемами (до 13 подвижных звеньев)
приведены на сайте “allmechanics.narod.ru”.

100
Приложение 2
Типовые кинематические схемы
для индивидуальных заданий
1.
6.
2.
7.
3.
8.
4.
9.
5.
10.
O
A
O
A
O
A
O
A
O
A
O
A
O
A
O
A
A
О
O
A

101
11.
16.
12.
17.
13.
18.
14.
19.
15.
20.
O
A
O
A
O
A
O
A
O
A
O
A
O
A
O
A
O
А
О
A

102
21.
26.
22.
27.
23.
28.
24.
29.
25.
30.
A
О
A
О
O
A
О
A
О
A
A
О
A
О
O
A
А
O
А
O

103
Библиографический список
1. Артоболевский И.И. Теория механизмов. – М.: Наука, 1967. 720 с.
2. Теория механизмов и машин. Учеб. для вузов/ К.В. Фролов, С.А. Попов, А.К.
Мусатов и др.; под ред. К.В. Фролова.– М.: Высш. шк., 1987. 496 с.
3. Теория механизмов и механика машин: учеб. для вузов / [К.В. Фролов и др.]; под
ред. Г.А. Тимофеева.–7-е изд. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2012. – 686 с.
4. Структурный анализ механизма. http://tmm-umk.bmstu.ru/
5. Алюшин Ю.А. Силовой расчет шарнирно-рычажных механизмов на основе анализа
энергетических потоков // Проблемы машиностроения и надёжности машин / РАН. – 2003.
– №2. – С. 125-133.
6. Алюшин Ю.А. Энергетические основы механики: Учеб. пособ. для вузов. – М.:
Машиностроение, 1999. – 192 с: ил.
7. Алюшин Ю.А. Механика твердого тела в переменных Лагранжа. Учеб. пособ. для
вузов. – М.: Машиностроение, 2012. – 192 с: ил.
8. Алюшин Ю.А. Принцип суперпозиции движений в пространстве переменных
Лагранжа // Проблемы машиностроения и надёжности машин / РАН. – 2001. – №3. – С. 13-
19.
9. Алюшин Ю.А., Еленев С.А. Кинематический анализ шарнирно-рычажных
механизмов с описанием движения в форме Лагранжа // Проблемы машиностроения и
надёжности машин / РАН. – 2002. – №5. – С. 9-16.
10. Тарг С.М. Краткий курс теоретической механики. – М.: Высш. шк., 1995. – 416 с.:
ил.
11. Алюшин Ю.А., Еленев С.А. Общая методика решения задач динамики с
лагранжевым описанием движения // Проблемы машиностроения и надёжности машин /
РАН. – 2007. – №6. – С. 23-32.
12. Никитин Н.Н. Курс теоретической механики: Учеб. для вузов. – М.: Высш. шк.,
1990. – 607с.: ил. – 6-е изд. – М.:Высш. шк., 2003. – 719с.: ил.
13. Лагранж Ж. Аналитическая механика. – М.-Л.: ГИТТЛ, 1950. – 440 с.
14. www.physbook.ru.
15. Ишлинский А.Ю. К вопросу об абсолютных силах и силах инерции в классической
механике. http:/termech.mpei.ac.ru/info/tm23.html)
16. Феодосьев В.И. Сопротивление материалов. – М.: ГИФМЛ, 1962. – 536с.

104
Учебное издание
Алюшин Юрий Алексеевич
Вержанский Петр Михайлович
Структурный, кинематический
и динамический анализ
рычажных механизмов
Учебное пособие
Редактор И.Н. Машакина
Компьютерная верстка М.А. Шамарина
Подписано в печать 12.08.15 Бумага офсетная
Формат 60 х 90 1/16 Печать офсетная Уч.-изд. л. 6,5
Рег. № 581 Тираж 150 экз. Заказ 4666
Национальный исследовательский
технологический университет «МИСиС»,
119049, Москва, Ленинский пр-т, 4
Тел. (495) 638-45-22
Отпечатано в типографии Издательского Дома МИСиС
109049, Москва, Ленинский пр-т, 4
Тел. (499) 236-76-17, тел./факс (499) 236-76-35